Lista de Exercícios 3

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UFPB - CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 
3a LISTA DE EXERCÍCIOS – PERÍODO 2013.2 
 
Nos exercícios 01 → 14, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus 
autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. 
 
01. :T R2 →R2, ),2(),( xyyxT = . 
02. :T R2 →R2, )2,(),,( yxyxzyxT ++= . 
03. :T R2 →R2, ),()( xyxT −= . 
04. :T R3 →R3, )3,2,(),,( zzyzyxzyxT +++= . 
05. :T R3 →R3, )2,2,(),,( zyxzyxyxzyxT −++−+= . 
06. :T R3 →R3, )33,4,33(),,( zyxyzyxzyxT −+−−+= . 
07. :T R4 →R4, ),,,(),,,( tzyxzyxyxxtzyxT ++++++= . 
08. :T R4 →R4, )3,2,2,,2(),,,( tzyyxyxtzyxT ++= . 
09. :T 22 ×M → 22 ×M , tAAT =)( , onde tA representa a transposta da matriz A . 
10. :T P1 )( x → P1 )( x , baxbaxT −=+ 2)( . 
11. :T P2 )( x → P2 )( x , )('))(( xpxpT = . 
12. :T P2 )( x → P2 )( x , bcxaxcbxaxT ++=++ 22 )( . 
13. :T P3 )( x → P3 )( x , )1())(( += xpxpT . 
14. :T P3 )( x → P3 )( x , )('2)('')1())(( 2 xxpxpxxpT −−= . 
15. Encontre o polinômio minimal de cada um dos operadores acima e identifique os que são 
diagonalizáveis. Quando o operador for diagonalizável, determine uma base do espaço em relação 
a qual a matriz do operador é diagonal e escreva essa matriz. 
16. Seja f o operador linear sobre o R2 dado por )cos,cos(),( θθθθ yxsenysenxyxf +−= . Se θ é um 
múltiplo inteiro de π , verirfique que os autovalores de f são 1−=λ e 1=λ . 
17. Qual é o operador linear sobre o R2 que possui 2−=λ e 3=λ como autovalores associados, 
respectivamente, aos autovetores )1,3( e )1,2(− ? 
18. Se T é um operador linear que possui 0=λ como autovalor, prove que T não é injetor. 
19. Sejam f um operador linear e λ um autovalor de f associado ao autovetor v. Se f é um isomorfismo, 
prove que 1−λ é um autovalor de 1−f , associado ao mesmo autovetor v. 
20. Se T é um operador linear sobre o R2 cuja matriz em relação à base canônica é simétrica, prove 
que T é diagonalizável. 
21. Se :T R2 →R2 é o operador linear definido por ),(),( dycxbyaxyxT ++= , onde a, b,c e d são 
números reais positivos, prove que: 
a) os autovalores de T são dados por }.]4)[(){(
2
1 212 bcdada +−±+ 
b) os autovalores de T são reais, distintos e pelo menos um deles é positivo. 
22. Para quais valores de a, os operadores ),(),( ayyxyxT += e ),(),( yayxyxT += são 
diagonalizáveis? 
23. Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2 que possuem polinômios característicos iguais, prove 
que A e B também possuem determinantes iguais. 
24. Se )4()1()1()( 23 +−+= λλλλp é o polinômio característico de um operador linear, quais os 
polinômios podem ser o seu minimal? 
25. Suponha que o operador linear a que se refere a questão anterior seja diagonalizável. Qual seria o 
polinômio minimal desse operador? Dê uma matriz diagonal que possa representar esse operador. 
26. Dada a matriz ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= 11
24A , encontre uma matriz P tal que APP 1− seja uma matriz diagonal.