1ª Lista de Exercícios

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica– IE
Introduc¸a˜o a` a´lgebra linear - Turma K
Semana 1 – Lista de exerc´ıcios
Temas abordados: Matrizes, definic¸o˜es e operac¸o˜es entre matrizes. Propriedades.
Matriz Transposta. Exemplos de va´rios tipos de matrizes.
Sugesto˜es Bibliogra´ficas:
– Anton-Rorres, A´lgebra Linear com aplicac¸o˜es (10a edic¸a˜o): Cap 1: 1.3 ,1.4 e 1.7.
1) Nos problemas seguintes, calcular os valores de m e n para que as matrizes A e
B sejam iguais.
(1)
A =
(
8 15n
12 + m 3
)
B =
(
8 75
6 3
)
(2)
A =
(
7 8
4 m2
)
B =
(
7 8
4 10m− 25
)
2) Dadas as matrizes
A =
(
2 3 8
4 −1 −6
)
, B =
(
5 −7 −9
0 4 1
)
, C =
(
0 9 8
1 4 6
)
.
Calcule as seguintes matrizes: A+B, B +C, B−C, 4A− 3B + 5C, 4C + 2A− 6B.
3)Dadas as matrizes
A =

1 −2
3 1
7 −4
5 9
 , B = (1 3 −5 −76 2 −8 3
)
, C =
(
2 4
−3 5
)
, D =

1 7 3 −8
−3 −1 −1 −3
4 1 9 0
5 3 2 −3
 .
Calcule as seguintes matrizes: AB, (AB)D, A(BD), BA, B(AC).
4)Nos problemas seguintes, calcule AB para verificar se A e´ a matriz inversa de B.
(1)
A =
−0, 5 −1, 5 1−0, 5 −2, 5 0, 5
−0, 5 −2 1
 , B =
−12 −4 142 0 −2
−2 −2 4

(2)
A =
 4 5 02 3 0
−6 −1 −2
 , B =
 9 3 4−7 2 5
1 6 8

1
2
5) Dadas as matrizes
A =

5 0 6
−8 0 3
−2 2 7
1 −1 −5
 , B =
1 −3 −2 47 8 5 9
0 6 3 −8
 , C =
2 3 01 1 −8
3 5 4
 ,
D =

5 0 3 2
−8 1 −2 4
−3 2 1 −5
0 1 0 2
 .
Calcule as seguintes matrizes: (AB)DT , 2(ATBT ) + 3CT .
6) Suponha que A,B,C,D e E sejam matrizes dos seguintes tamanhos:
A(4× 5) B(4× 5) C(5× 2) D(4× 2) E(5× 4).
Determine quais das seguintes expresso˜es matriciais esta˜o definidas. Para as que
esta˜o definidas, deˆ o tamanho da matriz resultante.
(a) BA;
(b) AC + D;
(c) AE + B;
(d) AB + B;
(e) E(A + B);
(f) E(AC);
(g) ETA;
(h) (AT + E)D.
7) Seja I a matriz n× n cuja entrada na linha i e coluna j e´{
1 se i = j
0 se i 6= j
Mostre que AI = IA = A para qualquer matriz n× nA.
8) Em cada item a seguir encontre uma matriz A = (aij) de tamanho 6 × 6 que
satisfaz a condic¸a˜o dada. Deˆ respostas gerais, usando letras e na˜o nu´meros para as
entradas na˜o nulas das matrizes.
(a) aij = 0 se i 6= j;
(b) aij = 0 se i > j;
(c) aij = 0 se i < j;
(d) aij = 0 se |i− j|> 1.
9) Em cada item a seguir encontre a matriz A = (aij) de tamanho 4×4 que satisfaz
a condic¸a˜o dada.
(a) aij = i + j;
(b) aij = i
j−1 ;
(c) aij =
{
1 se |i− j|> 1
−1 se |i− j|≤ 1
10) Seja A = (aij) uma matriz n× n. Determine em cada caso se A e´ sime´trica.
3
(a) aij = i
2 + j2;
(b) aij = i
2 − j2;
(c) aij = 2i + 2j;
(d) aij = 2i
2 + 2j3.
11)Quais das seguintes matrizes sa˜o sime´tricas?
A =
(
2 −1
1 2
)
, B =
(
3 4
4 0
)
, C =
 2 −1 3−1 5 1
3 1 7
 , D =
0 0 10 2 0
3 0 0
 .
12) Uma matriz quadrada A e´ dita ser anti-sime´trica se AT = −A. Prove as
seguintes afirmac¸o˜es:
(1) Se A e B sa˜o matrizes anti-sime´tricas, enta˜o tambe´m o sa˜o AT , A+B, A−B
e kA, para qualquer escalar k.
(2) Toda matriz quadrada A pode ser expressa como soma de uma matriz
sime´trica e uma matriz anti-sime´trica.
Sugesta˜o: observe que vale a identidade A = 12(A + A
T ) + 12(A−AT )
13)
(1) Calcule tr(A), o trac¸o da matriz A, para as seguintes matrizes:2 3 01 1 −8
3 5 4
 ,

5 0 3 2
−8 1 −2 4
−3 2 1 −5
0 1 0 2

(2) Se A = (aij) e B = (bij) sa˜o matrizes de tamanho n× n, enta˜o prove que
tr(A + B) = tr(A) + tr(B).