CAP 7 MODELAGEM DE LT

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VI - 1
Capítulo 77
Modelagem de Linhas de
Transmissão
1. OBJETIVO
Este capítulo tem por objetivo apresentar a modelagem das linhas de
transmissão a ser empregada em estudos de regime permanente (fluxo de car-
ga) e de curto circuito em sistemas elétricos.
O principal aspecto a ser considerado na modelagem de uma linha de
transmissão é a dificuldade de se representa-la por um circuito equivalente a
parâmetros concentrados. Uma linha de transmissão é constituída por um
conjunto de parâmetros distribuídos, indutância, resistência, capacitância e
condutância de dispersão. Pela teoria de circuitos, para as linhas de
transmissão serem representadas por circuitos equivalentes com parâmetros
concentrados, elas devem ter as dimensões muito menores que ¼ do
comprimento de onda das tensões e correntes que circulam por ela em regime
permanente. No caso particular dos sistemas elétricos de potência em regime
permanente senoidal na freqüência de 60 Hz, o valor correspondente a ¼ do
comprimento de onda é 1250 km, portanto linhas de transmissão de algumas
dezenas de quilômetros ou mais merecem uma atenção especial.
2. INTRODUÇÃO
As linhas de transmissão são as “artérias” dos sistemas elétricos, elas
transportam toda a energia elétrica produzida nas centrais de geração até os
grandes pontos de consumo. A transmissão de energia em grandes blocos po-
dem ser feitas através de linhas aéreas, cabos subterrâneos e linhas isoladas
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 2
em gás comprimido, como a grande maioria dos casos de transporte de gran-
des blocos no mundo são de linhas aéreas, estas mereceram nossa atenção
neste capítulo.
O termo linhas de transmissão é genérico inclui linhas de todos os ní-
veis de tensão, desde o de 13,8 kV empregado na distribuição até os níveis de
EAT.
A escolha da tensão nominal de uma linha de transmissão depende
essencialmente de duas grandezas: da potência a ser transportada e da dis-
tância associada a este transporte. Existem diversos critérios para a determi-
nação preliminar do nível de tensão de uma linha de transmissão, a referência
[1] apresenta o de Still, cujos resultados são considerados satisfatórios para
linhas com comprimentos maiores que 30 km, neste critério o nível de tensão
preliminar em kV é obtido a partir da seguinte equação:
100
.62,0.5,5
P
LVnom +@ [1]
onde:
L - comprimento da linha em km
P – potência a ser transportada em kW
A escolha dos condutores para uma dada linha de transmissão
obedecem aspectos técnicos e aspectos econômicos. Dentre os aspectos
técnicos destacamos: os esforços mecânicos, aquecimento, queda de tensão e
efeito Corona. Os condutores empregados nas linhas de transmissão são na
sua grande maioria cabos formados pelo encordoamento dos fios elementares
em alumínio puro ( CA ou aluminum conductor AC ) ou de alumínio com alma
de aço ( CAA ou aluminum conductor steel reinforced ACSR ). Nos Estados
Unidos e Canadá são também adotados condutores de alumínio em ligas com
outros materiais como os cabos AAAC ( all aluminum alloy conductor ) e ACAR
( aluminum conductor alloy reinforced ) com alma de alumínio. O uso de cobre
ou ligas de cobre está restrito a um pequeno número de sistemas elétricos tais
como a rede aérea urbana da CELPE.
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 3
 As características de desempenho e a própria operação das linhas
de transmissão estão relacionadas aos seus parâmetros, são eles:
a) resistência da linha, em ohms por metro;
b) indutância, em Henrys por metro;
c) capacitância em paralelo da linha, em Faraday por metro;
d) condutância em paralelo da linha, em mhos por metro.
3. RESISTÊNCIA ELÉTRICA DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO
A resistência elétrica de um condutor empregado nas linhas de trans-
missão está associada a oposição do condutor a passagem da corrente elétri-
ca alternada. A resistência do condutor à corrente alternada, numa freqüência
f, é definida como sendo:
2corrente
ativa potência de perdas
=r [2]
Este valor varia com a temperatura e com a freqüência elétrica. A vari-
ação com a temperatura é matematicamente expressa pela seguinte equação:
)](1[ 12..12 TTRR tTT -a+= [3]
onde:
RT1 – resistência elétrica do condutor na temperatura T1
RT2 – resistência elétrica do condutor na temperatura T2
at – coeficiente do aumento da resistência com a temperatura
T2 – temperatura do condutor onde se deseja obter a resistência
T1 – temperatura do condutor onde se conhece o valor da resis-
tência.
O coeficiente de aumento da resistência com a temperatura tem um
valor relacionado ao material utilizado no condutor, para o cobre duro tomando
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 4
a temperatura de 20o C como referência ele vale 0,00385 (1/0C), para os cabos
de alumínio pode-se adotar o valor de 0,00403 (1/0C).
A variação da resistência com a freqüência está relacionada ao efeito
skin ou pelicular. Este efeito faz com que um condutor cilíndrico ao ser percor-
rido longitudinalmente por uma corrente alternada, a densidade de corrente no
seu interior seja menor junto ao seu eixo longitudinal e máxima junto à sua su-
perfície.
O efeito skin ou pelicular pode ser facilmente entendido imaginando-se
o condutor composto de um número infinito de fibras longitudinais, paralelas
entre si e ao eixo longitudinal, cada qual representando um condutor infinite-
simal. Admitindo duas seções transversais, a uma certa distância entre si, a
queda de tensão em qualquer das fibras deve ser a mesma. Em corrente alter-
nada, em cada fio a não somente uma queda de tensão ôhmica, como também
uma tensão ou fem induzida pelo fluxo magnético alternado. A fem junto à su-
perfície do condutor será menor do que aquela induzida em uma fibra junto a
uma fibra mais próxima ao eixo do condutor, pois a fibra externa é enlaçada
por um fluxo magnético menor do que aquele que enlaça as fibras mais inter-
nas. Então para que as quedas de tensão sejam iguais nas fibras de menor
reatância indutiva que naquelas de maior reatância indutiva, é necessário que
as correntes nas primeiras sejam maiores do que nas segundas, logo a densi-
dade de corrente será maior na periferia dos condutores.
A resistência série de uma linha de transmissão pode ser decomposta
em três parcelas:
adrrrr acc ++= [4]
 onde:
rcc (ohm/km) - resistência que o condutor apresenta à circulação
da corrente contínua;
ra (ohms/km) - resistência aparente que é provocada pela exis-
tência de fluxos magnéticos no interior dos con-
dutores;
rad (ohms/km) - resistência aparente adicional.
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 5
A resistência à corrente contínua depende dos seguintes fatores:
a) natureza do material do condutor, caracterizada pela sua re-
sistividade r. A resistividade é afetada pelos seguintes fatores:
têmpera do material, pureza do material, temperatura e encor-
doamento. Quanto maior a têmpera do material, maior é a re-
sistividade e quanto mais puro for o material condutor menor
será a resistividade.
b) suas dimensões, a resistência elétrica é diretamente proporci-
onal à área de sua seção transversal.
S
l
rcc r= [5]
onde:
l - comprimento do condutor;
S - área da seção transversal do condutor.
O termo rad da resistência elétrica apresentado na equação [2] está
relacionada aos cabos pára-raios multi-aterrados que em regime permanente
constituem fontes adicionais de perdas de energia. Devido ao acoplamentomagnético com os condutores de fase , tensões são induzidas em regime per-
manente nos cabos pára-raios multi-aterrados, produzindo correntes e obvia-
mente perdas e aquecimento pelo efeito Joule. Essas perdas de energia são
incluídas nos cálculos do desempenho das linhas de transmissão.
4. INDUTÂNCIA DAS LINHA DE TRANSMISSÃO
A indutância é de longe o mais importante parâmetro para a análise do
desempenho de uma linha de transmissão. Nos projetos de linhas de
transmissão usualmente a indutância domina a impedância série e
consequentemente a intensidade da queda de tensão e da capacidade de
transmissão.
A circulação de corrente alternada pelos condutores das linhas de
transmissão geram fluxos magnéticos alternados internos e externos, estes
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 6
fluxos enlaçam os próprios condutores como também os condutores vizinhos
produzindo um acoplamento magnético e essencialmente um efeito indutivo,
como pode ser visto na Figura 1.
Figura 1 - Acoplamento magnético numa LT
A maneira mais usual de se calcular a indutância de uma linha de
transmissão é a partir da obtenção do fluxo enlaçado em um dado condutor
utilizando a seguinte equação:
i
L
l
=
 [6]
Na obtenção das formulas para a indutância de uma linha de
transmissão é necessário conhecer acuradamente a geometria do campo
magnético. Considerando que os cabos condutores formam entre torres
adjacentes uma flecha em relação ao solo, bem como as linhas podem
atravessar terrenos com uma topografia bastante irregular cujas características
magnéticas não são bem conhecidas, qualquer expressão obtida será
aproximada. A partir desses fatos as seguintes hipóteses são razoáveis e os
resultados de testes confirmam que elas proporcionam aceitáveis resultados:
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 7
· Os condutores devem ser assumidos retos , paralelos e de comprimento
infinito
· Os condutores são cilíndricos e suas densidades de corrente são uniforme.
· A presença da terra não afeta o campo magnético portanto não afeta as
formulas da indutância.
· A presença da terra afeta o campo elétrico portanto afeta as formulas da
capacitância.
Figura 2 - Condutor retilíneo, infinito percorrido por uma corrente I
Consideremos um condutor cilíndrico, retilíneo, de comprimento
infinito, maciço, homogêneo e isolado, suficientemente afastado do solo e de
qualquer outros condutores que conduzam correntes, de forma que não seja
influenciado pelos mesmos como está apresentado na Figura 2. Este condutor
é percorrido por uma corrente I, que produz um campo magnético concêntrico
com o condutor. Esse campo magnético existe tanto no interior como no
exterior do condutor, no espaço que o envolve. O fluxo magnético total
será igual à soma dos fluxos internos e externos.
O fluxo magnético externo a um condutor num ponto afastado do
centro do condutor pode ser calculado a partir da aplicação da Lei de Ampère,
que relaciona a corrente elétrica que circula num condutor com o campo
magnético gerado por esta corrente. Matematicamente a lei de Ampère é
expressa pela seguinte equação:
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 8
ò = TidlH. [7]
onde :
H – vetor campo magnético
IT – corrente total envolvida pelo percurso fechado
Assumindo um percurso circular de raio y, como está apresentado na
Figura 3 onde o campo magnético é constante, aplicando a Lei de Ampère
resulta em:
y
i
H
p
=
2
 [8]
Figura 3 - Campo magnético externo ao condutor
A densidade de fluxo magnético numa determinada região do espaço
está relacionada com o campo magnético pela seguinte equação:
HB R .. 0mm= [9]
onde:
H - vetor intensidade de campo;
B – vetor densidade de fluxo magnético
m0 - permeabilidade magnética do vácuo ( 4p x 10
-7 );
mR - permeabilidade magnética relativa do meio
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 9
Como a permeabilidade magnética do ar é muito próxima da do vácuo,
admite-se mR = 1.
O fluxo magnético que circula por uma região do espaço S, com uma
densidade de fluxo magnético B, é determinado pela seguinte equação:
ò=f
S
dsB. [10]
Aplicando a equação [10] para determinar o fluxo magnético externo a
um condutor, percorrido por uma corrente i desde a sua superfície num raio R
até um ponto muito distante D, obtemos:
R
D
Ln
i
dy
y
i
dsB
Dy
Ry
Dy
Ry
.
.2
.
.
..2
.
.
00
p
m
=
p
m
==f òò
=
=
=
=
 [11]
Substituindo na equação [6] a equação [11] podemos então obter a in-
dutância externa deste condutor LE
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
mm
=
R
D
LnL
R
E .
. 0
 [12]
Figura 4 – Campo magnético interno a um condutor
O fluxo magnético interno a um condutor é calculado considerando
uma seção transversal A do condutor de raio R, percorrido por uma corrente i,
que admitimos como uniformemente distribuída em seu interior produzindo
linhas de fluxo magnético como pode ser visto na Figura 4. Num círculo de raio
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 10
x interno ao condutor, a corrente no interior é (x/R)2.i e utilizando a lei de Am-
père aplicada a este círculo obtemos:
2
0
0
..2
...
..
R
ix
HB
R
R
p
mm
=mm= [13]
O elemento de volume mostrado na figura tem um volume 2p.x.dx e a
energia total armazenada no campo magnético dentro do condutor é:
20
0
2
2
0
.
.8
.
..2.
..2
.
.
2
.
idxx
R
ix
w
R
Rx
x
R
mf
p
mm
=p÷
ø
ö
ç
è
æ
p
mm
= ò
=
=
 [14]
A mesma energia armazenada no interior do condutor pode também
ser determinada a partir da seguinte equação:
2..
2
1
iLw Imf = [15]
Igualando a equação [11] com equação [12], obtemos a expressão
para a indutância interna do condutor, um valor constante dado por:
p
mm
=
.8
. 0R
IL [16]
 Finalmente a indutância total de um condutor cilíndrico infinito
percorrido por uma corrente i é a soma da indutância externa com a interna,
isto é:
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ
p
mm
=ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ+
p
mm
=÷
ø
ö
ç
è
æ
p
mm
+
p
mm
=
-
4
1
04
1
000
.
ln.
.
lnln.
.
ln.
.
.4
.
eR
D
R
D
e
R
D
L
RRRR
T [17]
Analisando a equação [17] verificamos que substituindo o raio do con-
dutor por um raio equivalente esta equação se torna idêntica a da indutância
externa do condutor. Este raio equivalente pode ser interpretado como sen-
do o raio de um condutor fictício, teórico, que, não possuindo fluxo in-
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 11
terno, produz, no entanto, o mesmo fluxo total f que seria produzido
pela corrente i ao percorrer o condutor sólido real examinado.
Portanto, nos cálculos do fluxo produzido por condutores
cilíndricos maciços, devemos substituir seus raios externos reais por:
rerr .7788,0.' 4
1
==
-
 [18]
O termo r’ é denominado de raio médio geométrico ( RMG ) e é defini-
do como sendo o raio de um condutor fictício cilíndricoe maciço que produz
um campo magnético igual ao campo magnético do condutor real.
5. CAPACITÂNCIA DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO
Uma linha de transmissão ao ser energizada, absorve da fonte cargas
elétricas necessárias ao seu carregamento, da mesma maneira que um capa-
citor.
Aplicando-se uma tensão alternada senoidal a uma linha de transmis-
são, a carga elétrica dos condutores em um ponto qualquer varia de acordo
com valores instantâneos das diferenças de potencial aí existentes entre os
condutores ou entre o condutor e o solo. O fluxo das cargas elétricas constitu-
em uma corrente, corrente de carga da linha.
A carga elétrica de um condutor cilíndrico retilíneo, longo, isolado e
suficientemente longe do solo e de outros condutores carregados, distribuem-
se uniformemente sobre a sua superfície, formando ao seu redor um campo
elétrico, homogêneo, cujas superfícies equipotenciais são também cilíndricas,
e concêntricas com o condutor.
Seja q o valor instantâneo da carga em um metro linear de condutor,
distribuída uniformemente sobre a superfície. Por convenção, é igual a q o
número de linhas de força que emanam radialmente de sua superfície, em um
metro de condutor.
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 12
Consideremos uma superfície cilíndrica de raio x[m] concêntrica com o
condutor. Essa superfície é equipotencial. A densidade de carga elétrica é ex-
pressa por:
x
q
s
q
D
p
==
2
 [19]
onde:
2px - área por metro linear do condutor.
q - número de linhas que atravessam essa superfície.
O campo elétrico é definido como
xp
=
x
=
x
qD
E
2
 [20]
rxx=x 0 [21]
onde:
 x - é a permessividade elétrica do ar.
Considere um condutor longo, retilíneo, possuindo uma carga positiva
de q [coulomb/m]. Os pontos P1 e P2 estão colocados, respectivamente, a dis-
tância D1 e D2 do centro do condutor. A carga positiva no condutor exercerá
uma força sobre a carga positiva colocada no campo. O valor instantâneo da
diferença de potencial entre P1 e P2 será
1
2
12 ln2
2
1
D
Dq
Edxv
D
D
ò px== [22]
A diferença de potencial entre dois condutores a e b carregados de
raio R com uma mesma carga q, afastados de uma distância D utilizando a
equação [22] é
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
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R
Dq
dx
x
q
v
D
R
ab ln.2
.
1
.
2 px
=
px
= ò [23]
E a capacitância desses dois condutores é calculada a partir da carga
por unidade de potencial, isto é:
R
DU
q
C
ab
ab
ln
px
== [ 24]
6. CONDUTÂNCIA DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO
A condutância de dispersão (g) é o parâmetro da linha que modela as
perdas por dispersão. Nestas perdas estão incluídas as perdas devido ao
efeito corona geradas pela ionização do ar em volta do condutor e as perdas
dielétricas nos isoladores. As perdas devido ao efeito corona são distribuídas
ao longo da linha, e as perdas dielétricas nos isoladores se concentram nos
mesmos, porém como as distâncias entre estruturas suportes é relativamente
pequena é usual considerá-las também uniformemente distribuídas.
Da teoria dos materiais elétricos é um fato conhecido que nenhum di-
elétrico é perfeito, isto é todo ele tem correntes de fuga. Assim, os isoladores
das linhas de transmissão, na própria freqüência industrial, estão sujeitos a
essas correntes de fuga que provocam perdas de energia. Essas perdas vari-
am com a qualidade do material do isolador, com as condições superficiais (
poluição, salinidade ), geometria do isolador, freqüência da tensão aplicada,
condições meteorológicas ...
O termo corona é utilizado para descrever fenômenos de descargas
elétricas que ocorrem internamente ou externamente a equipamentos ou com-
ponentes elétricos. O corona pode ser definido como uma descarga localizada,
resultante da ionização transitória de gases em um sistema de isolamento
quando a tensão aplicada excede o valor crítico.
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 14
Há uma distinção entre o termo corona e descargas parciais. O termo
corona é associado ao fenômeno visual, as descargas parciais são fenômenos
não visíveis, por ser interno ao material ou componente.
O efeito corona pode produzir luz, ruído audível e ozônio, podendo ser
detectado pelas nossas capacidades sensoriais convencionais de visão, audi-
ção e olfato.
A seleção dos condutores é uma das decisões mais importantes a se-
rem tomadas pelo projetista das linhas de transmissão. Nas linhas em média e
altas tensões, a escolha das seções dos condutores geralmente está relacio-
nado a um equacionamento econômico envolvendo perdas por efeito Joule,
capacidade de transporte e os investimentos necessários. Nas linhas em ten-
sões de EHV e UHV , o controle das manifestações do efeito Corona pode ser
o elemento dominante para orientar essa escolha.
O efeito corona aparece na superfície dos condutores de uma linha aé-
rea de transmissão quando o valor do gradiente de potencial aí existente ex-
cede o valor do gradiente crítico disruptivo do ar. No campo não uniforme em
torno de um condutor, a divergência do campo exerce influência adicional, e
qualquer partícula contaminadora, como poeira, por exemplo, transforma-se
em fonte punctual de descargas.
Descargas elétricas em gases são geralmente iniciadas por um campo
elétrico que acelera elétrons livres aí existentes. Quando esses elétrons adqui-
rem energia suficiente do campo elétrico, podem produzir novos elétrons por
choque com outros átomos. É o processo de ionização por impacto. Durante a
aceleração no campo elétrico, cada elétron livre colide com átomos de oxigê-
nio, nitrogênio e outros gases presentes, perdendo, nessa colisão, parte de
sua energia cinética. Ocasionalmente um elétron pode atingir um átomo com
força suficiente, de forma a excita-lo. Nessas condições, o átomo atingido pas-
sa a um estado inicial, liberando o excesso de energia em forma de calor, luz,
energia acústica e radiações eletromagnéticas. Um elétron pode igualmente
colidir com um íon positivo, convertendo-o em um átomo neutro.
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 15
Toda a energia liberada deve provir do campo elétrico da linha, por-
tanto, do sistema alimentador, para o qual representa perda de energia, por
conseguinte, prejuízo. As perdas relacionam-se com a geometria dos conduto-
res, tensões de operação, gradientes de potencial nas superfícies dos condu-
tores e com as condições meteorológicas locais.
Descargas individuais de corona provocam pulsos de tensão e cor-
rente de curta duração que se propagam ao longo das linhas, resultando em
campos eletromagnéticos em suas imediações. Essas descargas ocorrem du-
rante ambos os semiciclos da tensão aplicada, porém aquelas que ocorrerem
durante os semiciclos positivos é que irradiam ruídos capazes de interferir na
radio-recepção nas faixas de freqüência das transmissões em amplitudes mo-
duladas.
7. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO
Como foi descrito no início deste capítulo, devido a extensão das li-
nhas de transmissão, modelar uma linha utilizando seus parâmetros concen-
trados pode conduzir a erros significativos nas análises envolvendo o com-
portamento dela em regime permanente. Da teoria dos circuitos elétricos é co-
nhecido que, para que possamos modelar um componente por um circuito à
parâmetros concentrados é necessário que suas dimensões sejam muito me-
nores que 1/4de seu comprimento de onda, isto é:
Km 1250
60.4
000.300
.44
===
f
cl
onde:
c - velocidade de propagação da luz;
f - freqüência em Hz
Assim para estudar uma linha de transmissão em regime permanente,
deve-se considerar um trecho muito pequeno elemento de extensão Dx desta
linha de transmissão onde: l é a indutância por unidade de comprimento, c é a
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 16
capacitância por unidade de comprimento, r é a resistência por unidade de
comprimento e g a condutância de dispersão por unidade de comprimento,
conforme é apresentado na figura 5.
v(x,t)
i(x,t)
v(x+Dx,t)
i(x+Dx,t)
r.Dx l.Dx
g.Dx c.Dx
Figura 5 - Trecho de extensão DDx da linha de transmissão
Aplicando as leis de Kirchhoff da tensão e corrente no trecho da linha
de comprimento Dx mostrado na figura, mostra-se que:
t
v
xcxgtxxvtxxitxi
¶
¶
D+DD++D+= ...).,(),(),( [25]
t
i
xlxrtxitxxvtxv
¶
¶
D+D+D+= ...).,(),(),( [26]
reorganizando-se as equações [25] e [26],
t
i
lir
x
txvtxxv
¶
¶
--=
D
-D+
..
),(),(
 [27]
t
v
cvg
x
txitxxi
¶
¶
--=
D
-D+
..
),(),(
 [28]
tomando o limite quando Dx tende para zero nas equações [27] e [28],
t
i
lir
x
v
¶
¶
--=
¶
¶
.. [29]
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 17
t
v
cvg
x
i
¶
¶
--=
¶
¶
.. [30]
 diferenciando com relação x as equações [29] e [30],
tx
i
l
x
i
r
x
v
¶¶
¶
-
¶
¶
-=
¶
¶
.
..
2
2
2
 [31]
tx
v
c
x
v
g
x
i
¶¶
¶
-
¶
¶
-=
¶
¶
.
..
2
2
2
 [32]
diferenciando com relação t as equações [29] e [30],
t
i
l
t
i
r
xt
v
2
22
.
..
. ¶
¶
-
¶
¶
-=
¶¶
¶
 [33]
t
v
c
t
v
g
tx
i
2
22
..
. ¶
¶
-
¶
¶
-=
¶¶
¶
 [34]
Finalmente, substituindo as equações [29], [30], [33] e [34] nas equa-
ções [31] e [32], obtém-se:
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
--úû
ù
êë
é
¶
¶
---=
¶
¶
t
v
c
t
v
gl
t
v
cgvr
x
v
2
2
2
2
... [35]
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
--úû
ù
êë
é
¶
¶
---=
¶
¶
t
i
l
t
i
rc
t
i
lrig
x
i
2
2
2
2
... [36]
Rearrumando as equações [35] e [36],
( )
t
v
lc
t
v
crvgr
x
v
2
2
2
2
lg..
¶
¶
+
¶
¶
++=
¶
¶
 [37]
( )
t
i
lc
t
i
crigr
x
i
2
2
2
2
lg..
¶
¶
+
¶
¶
++=
¶
¶
 [38]
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 18
As equações [37] e [38] formam um sistema de equações diferenciais
que permitem quando resolvidos, obter a tensão e a corrente em qualquer
ponto da linha e em qualquer instante de tempo t.
Para os objetivos deste texto, estamos apenas interessados em estudar
os casos em que as tensões e correntes ao longo da linha de transmissão es-
tão em regime permanente senoidal. Nesta situação, é possível aplicar o mé-
todo fasorial, que permite representar as tensões e correntes em regime per-
manente por fasores que variam com o ponto x da linha. Assumindo a linha de
transmissão operando em regime permanente senoidal a tensão
Vm.senwtv(t)= e a corrente )-Im.sen(wti(t) f= podem ser representadas pelos
fasores V e I, bem como suas derivadas.
Aplicando o método fasorial nas equações diferenciais [37] e [38], obte-
mos:
Vyz
x
V
..
2
2
=
¶
¶
 [39]
Iyz
x
I
..
2
2
=
¶
¶
 [40]
cujas soluções são:
xx BeAeV gg -+= [41]
x
c
x
c
e
Z
B
e
Z
A
I gg -+-= [42]
onde g é denominada constante de propagação e ZC a impedância caracterís-
tica de uma dada linha de transmissão, pelas seguintes equações:
bag jyz +== . [43]
y
Z
Zc = [44]
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 19
A constante de propagação g está relacionada a forma como os faso-
res tensão e corrente variam ao longo da linha, a variação dos módulos com a
constante de atenuação a e as variações das fases das tensões com a cons-
tante de fase b.
Analisando as equações [41] e [42], pode-se ver que o fasor tensão e
o fasor corrente consistem ambos da soma de suas senóides moduladas a
medida que se propagam ao longo do eixo “x” pelas exponenciais:
xjxeee bag ±±± = .
Logo cada senóide “sofre”:
a) um amortecimento provocado pelo termo eax que dependendo do sinal do
expoente é positivo ou negativo, isto pode aumentar a amplitude das se-
nóides a medida que varia a distância x ou diminui as amplitudes das se-
nóides, caso seja a positivo ou negativo respectivamente.
b) Ocorre ao mesmo tempo, um avanço de ebx na fase da onda à qual é apli-
cado.
Assim concluímos que “g” comanda a forma pela qual as tensões e cor-
rentes se propagam ao longo da linha, daí a denominação de função de pro-
pagação ou constante de propagação.
A determinação das tensões e correntes ao longo de uma linha de
transmissão de comprimento l0 em regime permanente senoidal é obtida atra-
vés das expressões [41] e [42]. Na grande maioria das situações práticas não
se está interessado em calcular a tensão num dado ponto qualquer x da linha
e sim em pontos específicos como início da linha de transmissão ( x=0 ) e final
( x = l0 ). Em x=0 o fasor tensão é V1 e o fasor corrente é I1, em x = l0 e o fasor
tensão é V2 e o fasor corrente é I2, assim::
202
011 I)I(l e V)V(l, II(0) , VV(0) ==== [45]
A partir dos valores conhecidos da tensão e da corrente no início e
final da linha de transmissão se pode obter expressões para as constantes A e
B das equações [41] e [42]:
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 20
( )
1
2
22 g--= e
IZV
A c [46]
1
2
22 ge
IZV
B c ÷
ø
ö
ç
è
æ -= [47]
Utilizando as equações [41] e [42] para obter os valores do fasor ten-
são e do fasor corrente em x=0, substituindo nas equações os valores de A e B
das equações [46] e [47], obtemos:
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ +
=
--
22
1122
221
yy
c
yy ee
IZ
ee
VV [48]
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ +
=
--
22
1122
2
21
yy
c
yy ee
Z
Vee
II [49]
como 
2
cosh
11
1
yy ee -+
=g e 
2
senh
11
1
yy ee --
=g finalmente obtemos uma
equação geral que permite obter a tensão e a corrente no início de uma linha
de transmissão em regime permnanete quando a tensão e a corrente no final
da linha de transmissão são conhecidos, então:
 ).lsenh(IZ).l cosh(VV 02c021 gg += [50]
).lsenh().lcosh(II 02021 gg
cZ
V
+= [51]
8. LINHAS CURTAS:
São aquelas linhas de transmissão que podemos desprezar inteira-
mente os efeitos da capacitância e da condutância de dispersão.São linhas
cujo desempenho em regime permanente pode ser determinado substituindo
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 21
nas equações [50] e [51], os termos hiperbólicos (coseno hiperbólico e seno
hiperbólico) pelos primeiros termos da série de potência, sem incorrer em erros
maiores que 1%. Assim, fazendo: 00 .).senh( ll gg @ e 1).cosh( 0 @lg , encontra-se:
02c21 .lIZVV g+= [52]
21 II @ [53]
A equação [52] pode ser desenvolvida utilizando as definições de im-
pedância característica e constante de propagação, zzy
y
z
Zc == ...g , de
modo que:
2LT22021 I.ZVI.l.zVV +=+= [54]
Onde ZLT é a impedância concentrada da linha de transmissão, obtida
a partir da resistência do cabo e da reatância da linha em ohms por quilometro
multiplicada pelo comprimento l0. A partir da equação [54] podemos concluir
que para modelar linhas curtas devemos adotar o modelo apresentado na figu-
ra.
V V
1 2
X
LT
RR
LT
Figura 6 - Modelo de linhas curtas
Do ponto de vista prático, linhas curtas são que se enquadram nas se-
guintes condições:
· São linhas até 150kV, com comprimentos máximos de 80km
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 22
· São linhas com tensões maiores ou iguais a 150kV, mas menores
que 400kV com comprimentos máximos de 40km.
· São linhas com tensões maiores ou iguais a 500kV com comprimento
máximo de 20km.
9. LINHAS MÉDIAS
São linhas de transmissão cujo desempenho em regime permanente
pode ser determinado substituindo nas equações [50] e [51], os termos hiper-
bólicos (coseno hiperbólico e seno hiperbólico) pelos dois primeiros termos da
série de potência, sem incorrer em erros maiores que 1%.
São linhas que podem ser caracterizadas por:
a) apresentam comprimento de 200km com tensões nominais mai-
ores que150kv e menores que 400kV.
b) Apresentam comprimento máximo de 100km com tensões nomi-
nais maiores que 400kV.
A capacitância é incluída no cálculo das linhas médias e os termos hi-
perbólicos são substituídos empregando as seguintes equações:
( )
!2
)l.(
1)l.cosh( e 
!3
l.
)l.()l.senh(
2
0
0
3
0
00
g
g
g
gg +@+@
Substituindo estas nas equações gerais de análise do desempenho em
regime permanente da linha de transmissão ( equações [41] e [42] ) encontra-
se:
úû
ù
êë
é ++÷
ø
ö
ç
è
æ +=
6
YZ
1.ZI
2
YZ
1.VV
LTLT
LT.2
LTLT
21 [55]
úû
ù
êë
é ++÷
ø
ö
ç
è
æ +=
6
YZ
1YV
2
YZ
1II
LTLT.
LT.2
LTLT.
21 [56]
Embora as equações [55] e [56] possam ser utilizadas diretamente,
para estudar as linhas médias em regime permanente, é conveniente ainda
realizar algumas simplificações adicionais que não irão afetar a própria defini-
ção de linhas médias, isto é incorrendo em erros maiores que 1%.
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 23
Zp
Yp
2
Yp
2
Figura 7 - Circuito Pi
Para o circuito pi mostrado na Figura 7, pode-se obter as seguintes
equações:
2ð
ðð
21 IZ2
YZ
1VV +÷
ø
ö
ç
è
æ += [57]
÷
ø
ö
ç
è
æ ++÷
ø
ö
ç
è
æ +=
4
YZ
1YV
2
YZ
1II ððð2
ðð
21 [58]
Ao se comparar as equações [57] e [58] com as equações [55] e [56]
verifica-se que as diferenças estào apenas nos últimos termos, que para linhas
médias tem valores relativamente pequenos. Diante deste fato, e da facilidade
de visualização que um circuito equivalente agrega a um modelo, é muito
usual se representar as linhas médias pelo circuito pi nominal como pode ser
visto na Figura 8.
ZLT
YLT
2
YLT
2
Figura 8 - Modelo pi nominal das linhas médias
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 24
Uma outra forma de apresentar o modelo de uma linha de transmissão
média é o circuito T nominal (Figura 9), que embora seja bem menos empre-
gado que o modelo pi, em alguns casos facilita a solução de problemas.
ZLT/2
YLT
ZLT/2
Figura 9 - Modelo T nominal para linhas médias
Em ambos circuitos equivalentes ZLT e YLT são os parâmetros concen-
trados da linha de transmissão, de tal forma que, ainda nas linhas médias o
efeito da distribuição dos parâmetros não tem considerável influência na análi-
se do comportamento destas linhas de transmissão em regime permanente.
10. LINHAS LONGAS
São aquelas em cujo cálculo das tensões e correntes em regime perma-
nente é necessário empregar as equações [50] e [51] completas, na forma ex-
ponencial ou na forma hiperbólica.
Para a modelagem destas linhas de transmissão em regime permanente
é usualmente empregado os circuitos pi e T equivalentes, cujos parâmetros
são obtidos comparando os coeficientes dos termos hiperbólicos das equações
[50] e [51] com as equações do circuito pi [57] e [58]. Desta comparação pode-
se obter que:
).lsenh(ZZ 0c gp =
multiplicando-se e dividindo-se o segundo termo por g.l0 obtém-se:
0
0LT
0
0c0.
.l
).lsenh(Z
.l
).lsenh(Z.l
Z
g
g
g
gg
p ==
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 25
finalmente:
FCI.Z
.l
).lsenh(
ZZ LT
0
0
LT == g
g
p [59]
O termo FCI é o denominado fator de correção de impedância, é um
fator que aplicado a impedância concentrada da linha de transmissão, permite
representar através dos circuito pi e T o efeito da distribuição dos parâmetros.
Procendo de forma similar comparando os coeficientes de V2 nas
equações [57] e [58] com o mesmo coeficiente nas equações [55] e [56], pode-
se obter que:
2
YZ
1).l(cosh ðð0 +=g
ou,
ð
0ð
Z
1-).l(cosh
2
Y g
=
como ).lsenh(ZZ 0c gp = :
÷
ø
ö
ç
è
æ==
2
.l
tanh.
Z
1
).lsenh(.Z
1-).l(cosh
2
Y 0
C0C
0ð g
g
g
multiplicando-se e dividindo-se o segundo termo por (g.l0)/2 obtém-se:
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
2
.l
2
.l
tanh
.
2
Y
2
.l
2
.l
tanh
.
Z
2
.l
2
Y
0
0
LT
0
0
C
0
ð
g
g
g
gg
e finalmente:
.FCA
2
Y
2
Y LTð = [60]
Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão
VII - 26
O fator de correção de admitância FCA é o fator que aplicado a
admitância concentrada da linha de transmissão, permite representar através
dos circuito pi e T o efeito da distribuição dos parâmetros.
Nas linhas de transmissão que o parâmetro capacitância não pode ser
considerado desprezível, a identificação de que se trata de uma linha média ou
longa é realizada após se calcular o FCI e o FCA. Numa linha média o fator de
correção de impedância e de admitância são aproximadamente iguais a unida-
de.
11. BIBLIOGRAFIA
[1] Weedy, B.M. – Sistemas Elétricos de Potência;
[2] Stevenson, W. D. – Elementos de Analise de Sistemas de Potência ;
[3] Fuchs, Rubens D. – Transmissão de Energia Elétrica;
[4] Elgerd, Olle – Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica ;
[5] Beeman - Industrial Power Systems Handbook;
[6] Stagg - Computação Aplicada a Sistemas Elétricos de Potência;
[7] Neuenswander - Modern Power System;
[8] Camargo, Celso – Transmissão de Energia Elétrica
[9] Zaborsky, J e Rittenhouse, J. W. – Electric Power Transmission
[10] Projeto EHV, Transmission Line Reference Book