Física II - Aula 1 - Oscilações (2009) - Prof. Marlete

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 Fenômenos Oscilatórios 
 Oscilações Harmônicas 
 Exemplos e Aplicações 
 Movimento Harmônico Simples e 
 Movimento Circular e Uniforme 
 Supersposição de Movimentos Harmônicos 
Simples 
 Oscilações Amortecidas e Forçadas 
 Oscilações Forçadas Ressonância 
 
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vibrações 
localizadas 
propagação 
Pêndulos 
Diapasões 
Cordas de instrumentos musicais 
Colunas de ar em instrumentos de sopro 
 
 O sistema não é submetido a forças externas oscilatórias após ser estabelecida a 
 configuração inicial. 
 
 Exemplo: pêndulo desviado da sua posição inicial e estabelece seu próprio 
 período de oscilação determinado pelos parâmetros que o caracterizam 
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 O sistema é submetido a forças externas oscilatórias 
 
 O período das forças externas e sua relação com o período próprio das oscilações 
 livres do sistema passam a ser considerados na caracterização do sistema. 
 
 Exemplo: pêndulo submetido a impulsos externos. 
 um grau de liberdade: descrição em uma única coordenada, por exemplo o ângulo de 
 desvio do pêndulo em relação à posição vertical de equilíbrio. 
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 Num entorno de uma posição de equilíbrio estável, U(x) tem a forma de um poço de 
potencial, com um mínimo na posição de equilíbrio, que pode ser tomada como origem 
O. Para uma dada energia E, a partícula oscila periodicamente entre os pontos de 
retorno x1 e x2. 
2
2
1
)(
)(
)(
kxxU
kxxF
dx
dU
xF



 Para pequenos desvios da posição de equilíbrio 
estável, o gráfico de F(x) é aproximadamente 
linear, ou seja, para –A<x<A, pode-se escrever: 
 Força restauradora, que tende a fazer a partícula voltar para a 
posição de equilíbrio (k>0), obedece aproximadamente a lei de Hooke. 
Então: 
 Considere o sistema constituído por uma massa m suspensa verticalmente por uma 
 mola. 
 (a) Posição de equilíbrio estável, em que a força devida à distensão da mola equilibra o peso. 
 (b) A mola foi esticada, sofrendo um deslocamento x1>0 em relação ao nível de equilíbrio estável, 
 correspondendo a x=0. 
 (c) A mola foi comprimida, com um deslocamento x2<0. 
m
k
ondex
dt
xd
x
x
m
k
x
kxxFxm
kxxF




 ,
)(
)(
2
2
2



Equação do movimento, 
onde k é a constante da 
mola. 
 é a 
frequência 
angular, 
unidade rad/s 
O sistema dinâmico descrito pela equação de movimento chama-se oscilador harmônico (unidimensional) 
(restrição: pequenos desvios de uma posição de equilíbrio estável) 
 O movimento de um oscilador harmônico chama-se movimento harmônico simples 
 (MHS). 
 Para obter a função horária do MHS, é preciso resolver a equação diferencial ordinária 
 de 2a. ordem e identificar os parâmetros 
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         
         ctc
dt
ctd
ctsencct
dt
d
ctsenc
dt
ctsend
ctcctsen
dt
d
soluções
x
dt
dx
dt
d
x
dt
xd
x
cos
cos
cos
cos:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2











O gráfico ao lado caracteriza o 
movimento oscilatório e lembra uma 
senóide com constante à serem 
ajustadas. 
 Fazendo c=, as soluções podem ser escritas como 
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   
     
   






tAtx
tsenbtatx
FCx
dt
dx
B
dt
xd
A
tsenxetx
cos
cos
cos
2
2
11
 Forma geral de uma equação diferencial linear de 2a. ordem 
 
 Qualquer equação diferencial linear de 2a. ordem homogênea (F=0) tem as seguintes 
 propriedades: 
 
 (i) Se x1(t) e x2(t) dão soluções, x1(t)+x2(t) também é. 
(ii) Se x(t) é solução, ax(t) (a é constante) também é. 
 
  Deste modo a forma geral das oscilações livres do oscilador harmônico é 
 
forma equivalente de escrever a 
solução, onde  amenos de 2 e A são 
parâmetros que precisam ser 
interpretados físicamente 
 x(t) oscila entre os valores –A e A. Logo, A=Ix(t)I = amplitude de oscilação. 
 
 Como cosseno é uma função periódica de t de período 2, vemos que o período de 
 oscilação é 
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x
F
ke
m
k
t
T



2
2
12





 é a frequência de oscilação 
Unidade: s-1 ou hertz (Hz) 
 é a fase do movimento e 
 é a constante de fase ou fase inicial (t=0) 
O período de oscilação é independente da amplitude 
(quando as oscilações são não lineares isto não é mais válido) 
2 é a força restauradora por unidade de 
deslocamento e por unidade de massa. Quanto 
maior a força restauradora por unidade de 
deslocamento do equilíbrio e quanto menor a 
inércia (massa), mais rápidas são as oscilações) 
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 
 
   
A
v
sen
A
x
e
v
xA
tsen
v
txtx
senv
Ax
vvx
xx
tsenAtvtx
tAtx
o










00
2
02
0
0
0
0
0
0
,cos
cos)(
cos
)0()0(
)0(
)()(
cos)(
















condições iniciais para o movimento qualquer 
as condições iniciais para as oscilações são obtidas fazendo t=0 em x(t) e v(t) 
Reescrevendo a equação a partir da identidade trigonométrica 
cos(t + )=cos(t) cos - sen(t) sen 
x(t)=A cos(t + ) 
x(t)=A cos(t) cos – A sen(t) sen) 
determinação da amplitude A e o a 
fase inicial  
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   
   
   
     
22
222
2
22
22
2222
2222
2
1
2
1
4
1
2
1
.
2
1
cos
2
1
)(
2
1
2
1
)(
2
1
xA
dt
dx
v
xAmtUE
dt
dx
mtK
AmEUK
constAmtUtKE
tAmtkxtU
tsenAmtxmtK


















O valor médio é obtido a partir da observação das curvas da 
figura que mostra que elas são simétricas em torno de E/2 (têm 
a mesma área acima e abaixo dessa ordenada. 
O sinal depende da porção do 
ciclo de oscilação considerada 
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z 
x 
y 
 
Considere uma barra horizontal suspensa, em equilíbrio, por um fio vertical. Se defletirmos a barra, no 
plano horizontal, de um pequeno ângulo em relação à posição de equilíbrio, a lei de Hooke para a torção 
do fio diz que ele reage com um torque restaurador proporcional ao ângulo de torção: 
I
onde
III


a




22 ,0
0

 é o módulo de torção do fio, que depende do seu comprimento, diâmetro e material, e o sinal negativo indica 
que o torque é no sentido de trazer o sistema de volta à 
posição de equilíbrio 
2 é o torque restaurador por 
unidade de deslocamento angular e 
de momento de inércia 
Sistema deste tipo são empregados em instrumentosde laboratório muito sensíveis, como a balança de torção e 
o galvanômetro. 
mg 
l T  
 
m 
l
g
l
g
sen
sen
l
g
dt
d
senmg
dt
d
mlma
Tmg
dt
d
mlmar











2
2
2
2
2
2
0
1
cos










 
 












cos1
2
1
2
1
1
2
1
cos1
2
1
2
1
2
2
2
2222
2
2
0
0
0
2
22




















mgl
dt
d
mlElmU
parae
l
g
como
mgldmglU
mglldsenmgWU
dt
d
mlmvK
g
l
T
T é o período de 
oscilação do pêndulo 
Energia cinética do 
pêndulo 
Energia potencial do pêndulo 
obtido a partir do trabalho 
realizado pela força num 
deslocamento entre 0 e  
 
 
reduzidamassaaé
mm
mm
onde
kxx
constvxx
mmMonde
M
xmxm
x
kxxm
kxxm
FkxF
lxxx
cmcmcm
cm
21
21
21
2211
22
11
21
12
,0
.0
,












 



22
2
22
2
2
12
2
21
1
2
2
1
2
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
,
2
1
2
1
xkxE
vMKEonde
EEE
xx
M
mmmm
K
x
M
m
vx
M
m
v
KKvMvmK
cmcmcm
cm
cmcmii











 




 





x1 x2 0 
F1 m1 F2 m2 
(l é o comprimento de equilíbrio da mola) 
Equações de movimento 
Equação obtida a partir das 
equações de movimento 
Energia cinética interna=K’ 
 Velocidades relativas ao centro de massa 
 Energia total do sistema 
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Dois diapasões vibrantes produzem tons musicais puros (que correspondem a MHS), que atingem 
simultaneamente o tímpano de nosso ouvido, colocando-o em vibração, esta oscilação é gerada pela 
resultante dos dois MHS. 
Movimento resultante de dois MHS de mesma direção x e de mesma frequência angular  
 
 
 













1
12
2
12
2
1221
2
2
2
1
2
222
111
21
cos)(
)cos(2
)(cos
)(cos
)()()(
tAtx
sen
A
A
sen
sen
A
sen
A
AAAAA
tAx
tAx
txtxtx
Movimento resultante 
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 










21211
1
2
2
1
2
1
222
111
12
121212
2222
1111
21
2
2
0
)(cos
)(cos
)()()(
nn
n
n
n
n
t
tAx
tAx
txtxtx








Exemplo com A1=3A2 e T1=3T2. Se 
a razão das frequências é 
irracional, o movimento resultante 
não é mais periódico. 
(n1 e n2 são inteiros) 
O período T corresponde à solução 
com os menores valores inteiros 
possívei para n1 e n2 
(1 e 2 quaisquer, o movimento resultante 
não será em geral um movimento periódico) 
 
 ttAx
ttttAx








cos
2
cos2
2
1
cos
2
1
cos
2
1
,
2
1
)0(2
2
2
2
1
21
21
21





 





































Caso especial importante : 1 e 2 são muito próximas uma da outra. 





 


tAta
2
cos2)(


Este resultado vale quaisquer que seja 1 e 2. No 
caso em que as frequencias sao muito proximas, 
corresponde a supor 
Nos instantes em que o oscilador passa pela posição de 
equilíbrio, a energia é puramente cinética; quando a 
magnitude do deslocamento é máxima, ela é puramente 
potencial. Em instantes intermediários, as contribuições à 
energia oscilam entre esses dois extremos. 
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)cos()(
)cos()(0
)cos()(
)cos()(
0,0
ˆˆ
,0
1
2
1
22
22














tBty
tAtx
tBty
tAtx
yyxx
jyixr
m
k
rr
rkFrm







2
2
2
2
2
2
cos2
1cos
)(cos)cos(
sen
B
y
A
x
B
y
A
x
sen
A
x
A
x
sentsent
B
y









Um oscilador harmônico bidimensional seria uma partícula cujo movimento é restrito a um plano, sujeita a 
uma força restauradora proporcional ao deslocamento a partir da posição de equilíbrio estável. Tomando 
esta posição como origem e o plano do movimento xy, a equação do movimento será: 
equação do movimento geral 
 Para simplificar o problema sem mudar 
 a trajetória apenas alterando o ponto inicial 
Como –A<x<A, -B<y<B a trajetória está sempre 
incrita num retângulo de lados 2A e 2B. 
 Equação da curva(elipse) : eliminar o 
 tempo nas equações paramétricas 
1
2
3
2
0
2
2
2
2




B
y
A
x
A
B
x
y
A
B
x
y






Elipse se degenera num segmento de reta 
Os eixos principais da elipse coincidem 
com os eixos coordenados. A diferença 
entre os dois casos é o sentido de 
percurso da elipse, que é horário para 
=/2 e anti-horário para =3/2 
Para outros valores da 
defasagem , a elipse é 
inclinada em relação 
aos eixos coordenados, 
por exemplo para =/4 
Curvas de Lissajous 
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2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
0
42
0
,,)(
0,0











p
pp
zpzpzzetz
m
e
m
k
xxx
xxkxm
pt 


 
    tbsentaetx
beaeetz
beaetz
ip
Se
t
titi
t
tptp


















cos)(
)(
)(
4
,
2
2
2
2
2
2
0
0
amortecimento subcrítico 
raiz negativa 
 Para satisfazer às condições iniciais, precisamos de 
 uma solução com duas constantes reais arbitrárias. 
Podemos tomar a combinação linear das soluções 
 correspondentes às duas raízes da equação 
 característica: 
Considerando 
somente a parte real 
 Equação diferencial para um oscilador unidimensional 
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 
    
   



























tsen
xv
txetx
xvbbavx
axx
tbtsenaetxtx
tAetx
AeCCeetz
t
iti
t

















2
cos)(
2
1
2
)0(
)0(
cos)(
2
)(
cos)(
,.)(
00
0
2
000
0
2
2
2


 Forma equivalente para se obter o resultado: 
Tomando a parte real onde as duas constantes reais e 
arbitrárias são agora A e  
 Ajuste das condições iniciais 
Solução da equação diferencial para um 
oscilador unidimensional 
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0
2



0
2



0
2



Sistema não oscila quando deslocado, ele 
simplesmente retorna à posição de 
equilíbrio. (meio altamente viscoso) 
Sistema não oscila quando deslocado, ele 
simplesmente retorna à posição de equilíbrio 
de maneira exponencial como função do 
tempo. 
Quando a força resistiva é relativamente 
pequena, o caráter oscilatório do movimento 
é preservado, mas a amplitude de vibração 
decresce no tempo 
Freqüência natural 
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 O oscilador recebe uma certa energia inicial (através de seu deslocamento e velocidade iniciais) e 
depois é solto, evoluindo livremente. 
 
 O período de oscilação é determinado pela própria natureza do oscilador, ou seja, por sua inércia e 
pelas forças restauradoras que atuam sobre ele. 
 
 A oscilação é amortecida pelas forças dissipativas atuantes (ou, no caso limite em que desprezamos, 
persiste indefinidamente) 
 O oscilador está sob o efeito de uma força externa periódica. 
 
 O período desta força não coincidirá em geral com o período próprio do oscilador, de modo que as 
oscilações por ela produzidas chamam-se oscilaçòes forçadas. 
 
 A força externa supre contiunuamente energia ao oscilador, compensando a dissipação. 
 
 Exemplos: as oscilações de um diafragma de um microfone ou do tímpano de nosso ouvido sob ação 
das ondas sonoras; as oscilações de uma pessoa sentada num balanço sob ação de empurrões 
periódicos; as oscilações elétricas produzidas num circuito detetor de rádio ou televisão sob o efeito do 
sinal eletromagnético captado; as oscilações dos elétrons em átomos ou moléculas de um meio material 
sob ação de uma onda eletromagnética, como a luz, que se propaga nesse meio. 
 
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força externa de freqüência angular  
 
 
 
 
 
22
0
0
22
0
0
02
0
2
0
0
0
,cos)(
cos)(
cos
cos)(
cos)(















m
F
AondetAtx
t
m
F
tx
t
m
F
xx
m
k
tFtFkxxm
tFtF


Equação do movimento 
Equação diferencial de 2a ordem inomogenea, 
onde  e a freqüência própria ou freqüência 
natural das oscilacoes livres 
solução estacionaria da equação diferencial de 
2a ordem inomogenea 
    02
0
002
0
2
0
,coscos 





t
m
F
xt
m
F
x
xx
 (i) Limite de baixas freqüências. 
O deslocamento é no sentido da forçaa externa (=0), que equilibra a força restauradora (-kx+F(t)~0) – o 
movimento é dominado pela força restauradora, e a situação se aproxima do limite de equilíbrio estático 
(->0) 
 (ii) Limite de altas freqüências. 
    02
002
2
0
,coscos 





t
m
F
xt
m
F
x
xx
O deslocamento está em oposição de fase com a força externa (=-). Isto se explica por ser a 
aceleração fornecida quase totalmente pela força externa (kx e desprezível em confronto com o termo de 
inércia mx”, e a aceleração está em oposicao de fase com o deslocamento no MHS. – o movimento é 
dominado pela inércia. 
22
0
0
0





m
F
A
 (iii) Ressonancia. 
• A medida que a freqüencia  da força externa se aproxima da 
freqüencia o das oscilações livres, a amplitude A da resposta vai 
crescendo, e A-> oo para ->o. 
 
• O crescimento da resposta quando  se aproxima de o 
corresponde ao fenômeno de ressonancia. 
 
• Exemplo: a impulsão de uma pessoa sentada num balanço. A 
amplitude de oscilação aumenta fortemente quando a freqüência 
de transmissão dos impulsos se aproxima da freqüência de 
oscilação livre. 
Descontinuidade brusca da defasagem, que passa de 0 a – na ressonancia. 
 
 Tanto a descontinuidade quanto a divergência da amplitude para =o 
indicam apenas que o modelo empregado não é válido nesta situação. 
 
 A dissipação, por menor que seja, não pode ser desprezada para ~o, pois 
ela pode eliminar a divergência e a descontinuidade. 
 
 Se a amplitude cresce suficientemente, a aproximação de pequenas 
oscilações, que leva as equações lineares consideradas, não são válidas, o 
que significa que os efeitos não-lineares tornam-se relevantes. 
 
 Exemplos dos efeitos catastróficos que podem ser produzidos pela 
ressonancia: desabamento de pontes que entram em ressonancia, ruptura de 
cálices de cristal ao som da voz de uma cantora 
Aula 1 - Física II – Profa. Marlete Assunção 
Universidade Federal de São Paulo – Campus Diadema 
 
   
   
 
   




























0
0
22
0
0
000
22
0
0
022
0
0
0022
0
0
coscos
)(
00)0(
0cos)0(
0)0(,0)0(
coscos)(
tt
m
F
tx
Bsenx
m
F
BB
m
F
x
xx
tBt
m
F
tx


   
   
  00
0
0
0
0
0
0
,
2
)(
cos
coscos
lim
0
0


























ttsen
m
F
tx
Para
ttsent
d
dtt
A solução geral da equação diferencial de 2ª. Ordem inomogênea é a soma da solução particular 
encontrada com a solução geral do problema das oscilações livres. Então: 
As constantes B e o são determinadas pelas 
condições iniciais (caso particular: oscilador se 
encontra em repouso na posição de equilíbrio) 
Esta solução corresponde à superposição de 
dois MHS de freqüências diferentes (livre e 
forçada), podendo levar a batimentos para  
próximo de o. 
A ressonancia produz um crescimento linear com o 
tempo da amplitude de oscilação, a partir das 
condições iniciais dadas. A amplitude cresce, na 
realidade, até que seja estabilizada por outros efeitos, 
tais como a presença de efeitos dissipativos ou não 
lineares.