Notas de Aula 2

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1 Probabilidade
1.1 Conceitos e Definições Importantes
1.1.1 Experimentos Determinísticos
São aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que
seja o número de repetições. Exemplo: Água aquecida a 100 graus Celsius ,
sob pressão normal, entra em ebulição.
1.1.2 Experimentos Aleatórios
São experimentos produzidos pelo homem ou pela natureza em que os
resultados não são previsíveis mesmo que haja um grande número de re-
petições do mesmo fenômeno. Nos experimentos aleatórios, mesmo que as
condições iniciais sejam sempre as mesmas, os resultados finais de cada ten-
tativa podem ser diferentes e não previsíveis.
Exemplos:
Experimento 1: Determinar o número de vezes que determinado atirador
acerta o alvo.
Experimento 2: Lançamento de uma moeda e observar a face virada para
cima.
Experimento 3: Observar o nascimento de 3 filhotes, considerando a ordem
do nascimento e de terminar o sexo deles.
Como os experimentos aleatórios possuem resultados não previsíveis, o
que a estatística faz é expressar a ocorrência destes resultados mediante
probabilidades. Ela expressa o quão provável é a ocorrência de determinado
evento.
Conceitualmente, as probabilidades classificam-se em dois tipos:
a) Probabilidade a Priori (ou Clássica): quando a probabilidade de
ocorrência de um possível resultado pode ser conhecido antes da realização
do experimento. Exemplo: escolher um aluno aleatoriamente entre os n
alunos da classe. P = 1/n.
b) Probabilidade a Posteriori (ou Frequêncial): quando a probabili-
dade de ocorrência de um possível evento é determinada a partir dos resul-
tados de experimento prévio. Esse tipo de probabilidade está relacionada
a tabela de distribuição de frequências, onde as frequências relativas são
1
consideradas probabilidades de ocorrência. Exemplo: Observar a tabela de
distribuição de frequência.
1.1.3 Espaço Amostral (Ω)
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleató-
rio. Os elementos de Ω são chamados de pontos amostrais.
Exemplos:
Para o experimento 1: Ω1 = {0,1,2,3,...}
Experimento 2: Ω2 = {cara, coroa}
Experimento 3: Ω3 = {(MMM), (MMF ), (MFM), (FMM), (FFF ),
(FFM), (FMF ),(MFF )}
1.1.4 Evento
É um subconjunto de Ω, do qual desejamos conhecer sua probabilidade
de ocorrência, podendo ser um único ponto amostral ou uma reunião deles.
É denotado por uma letra maiúscula (A, B, C, etc.).
Exemplos:
Experimento 1: evento A seja o número de acertos par. A= {2, 4, 6,...}.
Experimento 2: evento B seja a face superior cara. B={cara}.
Experimento 3: evento C seja o nascimento de duas fêmeas. C={(MFF),
(FMF), (FFM)}
1.1.5 Eventos Mutuamente Exclusivos
São eventos que cuja a ocorrência de um resultado exclui a possibilidade
de ocorrência do outro. Exemplo: o lançamento de um dado, se ocorrer
o valor 1, exclui qualquer possibilidade de outro valor, pois não é possível
ocorrer mais de um número ao mesmo tempo.
1.2 Medidas de Probabilidade
A probabilidade de ocorrência de um evento E é definida, segundo o
conceito subjetivista, como a razão entre o número de elementos do evento
E, n(E) e o número de elementos de Ω, n(Ω), ou também, a razão entre o
número de ocorrências favoráveis ao evento E e o número total de ocorrências.
P (E) =
n(E)
n(Ω)
.
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Um outro conceito para probabilidade é o conceito subjetivista, o qual
considera a probabilidade como a medida de uma crença pessoal de que
determinado evento tenha ocorrido, ocorrerá ou esteja ocorrendo.
1.3 Propriedades da Probabilidade
1) Se A não é um evento de Ω, então a probabilidade de A é: P (A) = 0.
2) Se B é um evento de Ω, então a probabilidade de B é: P (B) ≥ 0.
3) Se C contempla todos os resultados possíveis, ou seja, todos os elementos
de Ω, então P (C) = P (Ω) = 1.
4) 0 ≤ Probabilidade ≤ 1.
1.4 Regra da Adição de Probabilidades
Sejam A e B dois eventos independentes de Ω, a probabilidade de ocor-
rência de A ou B é dada por:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
Caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos, então a intersecção
será vazia, logo
P (A ∪B) = P (A) + P (B).
Exemplo em que A ∩B = 0:
Experimento 3: Seja A o nascimento de pelo menos dois machos. A =
{(MMM), (MMF ), (MFM), (FMM)}
Seja B o nascimento de pelo menos duas fêmeas. A = {(FFF ), (FFM),
(FMF ), (MFF )}
P (AouB) = P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
=
4
8
+
4
8
− 0 = 1.
Exemplo em que A ∩B 6= 0:
Seja A: o primeiro a nascer ser macho. A={(MMM),(MMF),(MFM),(MFF)}.
Seja B: o segundo a nascer ser fêmea. B={(MFM),(FFM),(MFF),(FFF)}.
Qual a probabilidade de o primeiro a nascer ser macho ou o segundo ser
fêmea?
3
P (AouB) = P (A ∪B) = 4
8
+
4
8
− 2
8
=
6
8
.
1.5 Regra da Multiplicação de Probabilidades
Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles não afeta
a probabilidade de ocorrência do outro. Sendo assim, a probabilidade de
ocorrência destes dois eventos é dada por:
P (AeB) = P (A.B) = P (A ∩B) = P (A)× P (B).
Esta regra também é valida para n eventos desde que todas as combina-
ções sejam constituídas por eventos independentes. Então:
P (A.B.C...) = P (A ∩B ∩ C ∩ ...) = P (A)× P (B)× P (C)× ...
Experimento 3: Qual é a probabilidade de o primeiro a nascer ser macho e
o segundo ser fêmea?
P (AeB) = P (A.B) = P (A ∩B) = 4
8
× 4
8
=
16
64
=
1
4
.
1.6 Probabilidade Condicional
Se a condição de independência não for satisfeita, deve-se usar uma fór-
mula mais geral, envolvendo probabilidades condicionadas. Sejam dois even-
tos, A e B, a probabilidade de que o evento B ocorra, dado que o evento A
já ocorreu é dada por:
P (A/B) =
P (AeB)
P (B)
=
P (A.B)
P (B)
=
P (A ∩B)
P (B)
.
Exemplo:
Suponha que existam 10 rótulos de papel que podem ser identificados por
um número e pela cor, ou seja, os rótulos numerados por 1, 2 e 3 são amarelos
e os 7 restantes são brancos. Se todos forem colocados em uma urna e retira-
se apenas um, e este rótulo é amarelo. Pergunta-se: qual a probabilidade
de este rótulo sorteado ser o de número 1? Em outras palavras, qual a
probabilidade de o rótulo ser o de número 1 dado que amarelo aconteceu?
4
P (rotulo1/Amarelo) =
P (rotulo1eAmarelo)
P (amarelo)
=
1
10
3
10
=
1
3
.
1.7 Regra Geral da Multiplicação de Probabilidades
A partir da definição de probabilidade condicional , é possível enunciar
esta regra:
P (A.B) = P (A ∩B) = P (A)× P (B/A).
Se esta regra for estendida para os eventos A, B e C, temos:
P (A.B.C) = P (A ∩B ∩ C) = P (A)× P (B/A)× P (C/A.B) ou
= P (A)× P (C/A)× P (B/A.C) ou
= . . .
1.8 Independência de Evetos
Um evento B é considerado independente de um evento A se a probabili-
dade de B é igual à probabilidade condicional de B dado que A ocorreu, isto
é, se P(B) = P(B/A).
Utilizando a regra do produto, temos o seguinte:
P (A.B) = P (A)× P (B/A) = P (A)× P (B).
O conceito de independência pode ser estendido para n eventos, se tais
eventos forem independentes 2 a 2, 3 a 3, ... , n a n, isto é:
P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) = P (A1)× P (A2)× ...× P (An).
1.9 Teorema de Bayes
Em alguns casos, é útil dispormos de um processo sistemático de revi-
são das probabilidades, à medida que forem obtidas novas informações. O
Teorema de Bayes é descrito da seguinte forma:
SejamE1, E2, ... , Ek eventos mutuamente exclusivos, tais que: P (E1)+P (E2)
+ ... + P (Ek) = 1. Seja A um evento qualquer, que se sabe ocorrerá em con-
junto com, ou em consequência de um dos eventos Ei. Então a probabilidade
de ocorrência de um evento Ei, dada a ocorrência de A, é dada por:
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P (Ei/A) =
P (Ei ∩A)
P (A)
=
P (Ei)× P (A/Ei)
P (E1)× P (A/E1) + P (E2)× P (A/E2) + ... + P (Ek)× P (A/Ek)
Exemplo:
Suponhamos 3 gavetas idênticas. A gaveta G1 contém duas moedas de
R$ 0,50; a gaveta G2 contém duas moedas de R$ 1,00; a gaveta G3 uma
moeda de R$ 0,50 e uma de R$ 1,00.Um indivíduo escolheu uma das três
gavetas e retirou uma moeda de R$ 1,00. Pergunta-se: qual a probabilidade
de a gaveta escolhida pelo indivíduo ter sido a G1? qual a probabilidade de
a gaveta escolhida pelo indivíduo ter sido a G2? qual a probabilidade de a
gaveta escolhida pelo indivíduo ter sido a G3?
Logo:
P (G1/A) =
P (G1 ∩A)
P (A)
=
P (G1)× P (A/G1)
P (G1)× P (A/G1) + P (G2)× P (A/G2) + P (G3)× P (A/G3)
=
1
3 × 0
1
3 × 0 + 13 × 22 + 13 × 12
=
0
1
2
= 0
P (G2/A) =
P (G2 ∩A)
P (A)
=
P (G2)× P (A/G2)
1
2
=
1
3 × 22
1
2
=
2
3
P (G3/A) =
P (G3 ∩A)
P (A)
=
P (G3)× P (A/G3)
1
2
=
1
3 × 12
1
2
=
1
3
6