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Alguns Modelos Probabil´ısticos Discretos
1 Distribuic¸a˜o de Bernoulli
Muitos experimentos sa˜o tais que os resultados apresentam ou na˜o uma determinada carac-
ter´ıstica. Por exemplo:
1. uma moeda e´ lanc¸ada: o resultado ou e´ cara, ou na˜o (ocorrendo, enta˜o, coroa);
2. um dado e´ lanc¸ado: ou ocorre face 5 ou na˜o (ocorrendo, enta˜o, umas das faces 1,2,3,4 ou
6);
3. uma pec¸a e´ escolhida ao acaso de um lote contendo 500 pec¸as: essa pec¸a e´ defeituosa ou
na˜o;
4. uma pessoa e´ escolhida ao acaso entre os moradores de uma cidade e verifica-se se ela e´
favora´vel ou na˜o a um projeto social.
Um experimento de Bernoulli e´ um experimento aleato´rio com apenas dois resultados
poss´ıveis; por convenc¸a˜o, um deles e´ chamado “sucesso” e o outro “fracasso”.
Consideremos uma unica tentativa de um experimento aleato´rio, cujo resultado pode ser
sucesso ou fracasso nessa tentativa.
Seja X: nu´mero de sucessos em uma u´nica tentativa do experimento.
X =
{
0, fracasso, com P (X = 0) = q = 1− p
1, sucesso, com P (X = 1) = p.
(1)
Definic¸a˜o A v.a X que assume apenas os valores 0 e 1 com func¸a˜o de probabilidade p(x),
tal que: p(0) = P (X = 0) = 1− p = q e p(1) = P (X = 1) = p, e´ chamada varia´vel aleato´ria de
Bernoulli, e sua func¸a˜o de distribuic¸a˜o e´ dada por:
P (X = x) = pxq1−x, x = 0, 1.
Caracter´ısticas
• E(X) = p;
• V ar(X) = p(1− p);
Exemplo: Uma urna conte´m 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna.
Seja a v.a X: nu´mero de bolas verdes. Determinar a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de X, E(X) e
V ar(X).
2 Distribuic¸a˜o Binomial
Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipo´tes:
1. n provas independentes e do mesmo tipo sa˜o realizadas, ou seja, n ensaios de Bernoulli;
1
2. cada prova admite apenas dois resultados: sucesso ou fracasso.
3. a probabilidade de sucesso em cada prova e´ p e de fracasso e´ 1− p.
Considere agora as seguintes situac¸o˜es, obtidas de (1) a (4) da sec¸a˜o anterior:
1. uma moeda e´ lanc¸da treˆs vezes: qual a probabilidade de se obter duas caras?
2. um dado e´ lanc¸ado cinco vezes: qual e´ a probabilidade de se obter face 5 no ma´ximo treˆs
vezes?
3. dez pec¸as sa˜o extra´ıdas, ao acaso, com reposic¸a˜o, de um lote contendo 500 pec¸as; qual e´ a
probabilidade de que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das pec¸as do lote sa˜o
defeituosas?
4. sabe-se que 90% das pessoas de uma cidade sa˜o favora´veis a um projeto municipal.
Escolhendo-se 100 pessoas ao acaso entre os moradores, qual e´ a probabilidade de que
pelo menos 80 sejam favora´veis ao projeto?
Seja X: nu´mero de sucessos em n tentativas de um experimento. Logo X pode assumir os
valores: 0, 1, . . . , n. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade da v.a X e´ definida por:
P (X = x) =
(
n
x
)
pxqn−x, x = 0, 1, . . . , n e
(
n
x
)
=
n!
(n− x)!x! (2)
• E(X) = np;
• V ar(X) = npq.
Exemplo: Uma moeda na˜o viciada e´ lanc¸ada 3 vezes. Encontre a probabilidade de:
1. dar 3 caras;
2. pelo menos 1 cara.
3. E(X) e V ar(X).
Exemplo: As linhas telefoˆnicas em um sistema de reservas de uma companhia ae´rea esta˜o
ocupadas 40% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas estejam ocupadas em
sucessivas chamadas sejam independentes. Considere que 10 chamadas acontec¸am.
a) Qual e´ a probabilidade de que, para exatamente treˆs chamadas, as linhas estejam ocu-
padas?
b) Qual e´ a probabilidade de que, para no mı´nimo uma chamada, as linhas estejam ocupadas?
c) Qual e´ o nu´mero esperado de chamadas em que todas as linhas estejam ocupadas?
2
3 Distribuic¸a˜o Poisson
Consideremos a probabilidade de ocorreˆncia de sucesso em um determinado intervalo.
A distribuic¸a˜o de Poisson e´ uma distribuic¸a˜o discreta de probabilidade, aplica´vel a ocorreˆncia
de um evento em um intervalo especificado (tempo, distaˆncia, a´rea, volume ou outra unidade
ana´loga). A probabilidade do evento ocorrer x vezes em um intervalo e´ dada a seguir:
Seja X : o nu´mero de sucessos no intervalo, enta˜o:
A varia´vel aleato´ria discreta X tem distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro λ, se sua func¸a˜o
de distribuic¸a˜o de probabilidade e´ dada por
P (X = x) =
λx
x!
e−λ, x = 0, 1, 2, . . .
• E(X) = V (X) = λ;
Como aplicac¸o˜es da distribuic¸a˜o de Poisson podemos citar:
• nu´mero de usua´rios de computador ligados a` Internet;
• nu´mero de clientes que chegam numa loja durante uma hora de promoc¸a˜o relaˆmpago;
• carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia;
• erros tipogra´ficos por pa´gina, em um material impresso;
• defeitos por unidade (m2,m3,m etc ) por pec¸a fabricada;
• coloˆnias de bacte´rias numa da cultura por 0, 01mm2, numa plaqueta de microsco´pio;
• mortes por ataque de corac¸a˜o por ano, numa cidade. E´ aplicada tambe´m em problemas
de filas de espera em geral, e outros.
Exemplo Numa central telefoˆnica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade
de que:
a) num minuto na˜o haja nenhum chamado?
b) em 2 minutos haja 2 chamadas?
c) em t minutos na˜o haja chamadas?
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