Distribuições de Probabilidade Discretas

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Probabilidade – Distribuições de Probabilidade Discretas 
 
1. Distribuição Uniforme Discreta 
 
Características 
A variável aleatória discreta X assume cada um de seus valores com igual probabilidade: 
k
1
)k,x(f  , k321 x,...,x,x,xx  . 
Onde: x representa os valores que a variável aleatória X pode assumir; k representa quantos valores X assume; 
   ixk
1
XE ;  
2
i
2
i
2 x
k
1
x
k
1
)X(VAR 





  . 
 
1. Ao selecionar, aleatoriamente, uma lâmpada de uma caixa que contém 4 lâmpadas: uma de 40W, uma de 60W, 
uma de 75W e uma de 100W, qual a distribuição de probabilidade da variável aleatória L : tipo de lâmpada? 
 
2. Ao lançarmos um dado honesto, qual a distribuição de probabilidade da variável aleatória F : face do dado? 
 
3. Sorteia-se uma bola de uma urna com 10 bolas enumeradas de 1 a 10. Qual a distribuição de probabilidade da 
variável aleatória N : número da bola? Qual a probabilidade de que o número selecionado seja menor do que 5? 
 
2. Distribuição Binomial 
 
Características 
O experimento consiste em n tentativas repetidas, todas independentes; 
Cada tentativa gera um de dois resultados possíveis: sucesso ou falha; 
p)sucesso(P  , p1q)falha(P  ; 
A distribuição binomial da variável aleatória discreta X nos dará a probabilidade de ocorrer k sucessos em n 
tentativas independentes: 
knkqp
k
n
)kX(P 





 , n,...,3,2,1,0x  . 
  pnXE  ; qpn)X(VAR 2  . 
 
1. A probabilidade de que certo tipo de componente sobreviverá a um teste de choque é de 43 . Determine a 
probabilidade de que exatamente dois dos próximos quatro componentes testados sobrevivam. 
 
2. A probabilidade de que um paciente se recupere de uma doença sanguínea rara é de 0,4. Se 15 pessoas 
contraíram a doença, qual é a probabilidade de que 
a) pelo menos dez sobrevivam? b) de três a oito pessoas sobrevivam? 
c) exatamente cinco pessoas sobrevivam? 
 
3. Supõe-se que exista uma impureza em 30% dos poços artesianos de cerca comunidade rural. Dez poços foram 
escolhidos aleatoriamente para serem testados. 
a) qual é a probabilidade de que exatamente três poços tenham impurezas? 
b) qual é a probabilidade de que mais do que três poços apresentem impurezas? 
 
4. Aproximadamente 30% de todas as falhas nas tubulações das indústrias são causadas por erro do operador. 
a) Qual é a probabilidade de que, das próximas 20 falhas na tubulação, pelo menos 10 sejam por erro do operador? 
b) Qual é a probabilidade de que não mais que 4 de 20 falhas sejam causadas por erro do operador? 
 
5. Uma amostra aleatória de 15 pessoas é obtida de uma população em que 40% têm uma determinada posição 
política. Qual é a probabilidade de exatamente 6 indivíduos na amostra ter essa determinada posição política? 
 
 
 
 Probabilidade – Distribuições de Probabilidade Discretas 
6. Estima-se que cerca de 30% dos frangos congelados contenham suficiente número de bactérias salmonelas 
causadoras de doenças, se forem assados inadequadamente. Um consumidor compra 12 frangos congelados. Qual 
é a probabilidade do consumidor ter mais de 6 frangos contaminados? 
 
7. A probabilidade de uma máquina produzir um item defeituoso é 0,20. Se uma amostra aleatória de 6 itens é obtida 
desta máquina, qual é a probabilidade de haver 5 ou mais em itens defeituosos na amostra? 
 
8. Considere 100 doadores escolhidos aleatoriamente de uma população onde a probabilidade de tipo A é 0,40? 
Qual a probabilidade de pelo menos 43 doadores terem sangue do tipo A? 
 
9. Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos 
poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que 
pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso. 
 
10. Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são 
selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que: 
a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho? b) No máximo 13 tenham feito cursinho? 
c) Exatamente 12 tenham feito cursinho? 
d) Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de alunos que fizeram cursinho? 
 
 
3. Distribuição Multinomial 
 
Características 
O experimento consiste em n tentativas repetidas, todas independentes; 
Cada tentativa gera um de k resultados possíveis: m21 X,...,X,X ; 
mm2211 p)X(P,...,p)X(P,p)X(P  , com 1p...pp m21  ; 
A distribuição multinomial da variável aleatória discreta X nos dará a probabilidade de m21 X,...,X,X ocorrerem, 
respectivamente, m21 k,...,k,k vezes: 
m21 k
m
k
2
k
1
m21
mm2211 p...pp
!k...!k!k
!n
)kX,...,kX,kX(f 

 
onde nk...kk m21  . 
 
1. Um aeroporto possui três pistas de decolagem/aterrissagem e sabe-se que as probabilidades de que as pistas 
individuais sejam utilizadas pelas chegadas aleatórias de vôos comerciais são: P(pista 1)=2/9; P(pista 2)=1/6 e 
P(pista 3)=11/18. Qual a probabilidade de que seis aviões chegando aleatoriamente ao aeroporto sejam distribuídos 
da seguinte maneira: dois aviões na pista 1, 1 avião na pista 2 e 3 aviões na pista 3 ? 
 
2. Um estudante dirige até a escola e encontra um semáforo. Esse semáforo fica verde por 35 segundos, amarelo por 
5 segundos e vermelho por 60 segundos. Assuma que o estudante vá para a escola todos os dias da semana. Sejam 
X1 o número de vezes que ele encontra o farol verde, X2 o número de vezes que ele encontra o farol amarelo e X3 o 
número de vezes que ele encontra o farol vermelho. Determine a distribuição multinomial de X1, X2 e X3. 
 
3. De acordo com uma pesquisa de jornal, de quatro milhões de trabalhadores, 5,8% têm teste positivo para o uso de 
drogas. Destes, 22,5% são usuários de cocaína e 54,4% são usuários de maconha. 
a) Qual a probabilidade de que, de dez trabalhadores com teste positivo para drogas, dois sejam usuários de 
cocaína, cinco de maconha e três de outras drogas? 
b) Qual é a probabilidade de que, dos dez testados, todos sejam usuários de maconha? 
c) Qual é a probabilidade de que, dos dez testados, nenhum seja usuário de cocaína? 
 
4. A superfície de um alvo circular de dardos tem um pequeno círculo central 
chamado de olho do touro e 20 regiões em forma de pedaço de pizza 
numeradas de 1 a 20. Cada uma dessas regiões é redividida em três partes, 
 Probabilidade – Distribuições de Probabilidade Discretas 
de modo que, quando uma pessoa atira um dardo e acerta em um número específico, marca os pontos desse 
número, dobra esse número ou o triplica, dependendo de qual das três partes o dardo acerta. Se uma pessoa acerta 
o olho do touro com probabilidade 0,01, acerta um dobro com probabilidade 0,10, um triplo com probabilidade 0,05 e 
erra o alvo com probabilidade 0,02, qual é a probabilidade de que 7 jogadas resultem em nenhum acerto ao olho do 
touro, nenhum triplo, dois dobros e um erro de alvo? 
 
 
4. Distribuição Binomial Negativa 
 
Características 
Na distribuição Binomial de probabilidade, consideramos experimentos em que certa prova é realizada n 
vezes e procuramos calcular a probabilidade de que ocorram k sucessos, nk0  . Considere agora que estejamos 
interessados em calcular a probabilidade de que o k-ésimo sucesso ocorra na x-ésima tentativa dentre as n 
realizações da prova. Por exemplo, em dez arremessos de lance livre, qual a probabilidade do jogador de basquete 
acertar a quinta cesta na sétima tentativa? 
O número X de tentativas para produzir k sucessos em um experimento de n provas é a variável aleatória 
discreta Binomial Negativa. A função de probabilidade da Binomial Negativa pode ser expressa por: 
  kxk qp
1k
1x
xXP 







 , ...,2k,1k,kx  
As outras condições exigidas para se aplicar a distribuição Binomial Negativa são as mesmas da Binomial, ou 
seja, 
i. o experimento consiste em n tentativas (provas) repetidas;ii. cada tentativa pode gerar dois resultados complementares sucesso e falha; 
iii. as probabilidades de sucesso ou falha mantêm-se constantes ao longo do experimento; 
iv. as tentativas são independentes. 
 
1. Em uma série de play-off do campeonato de basquete, o time que ganhar quatro jogos dos sete disputados será 
vencedor. Esse play-off será disputado por times A e B e o time A tem probabilidade 0,6 de ganhar do time B. 
a) qual é a probabilidade de que A vença a série em seis jogos? 
b) qual é a probabilidade de que A vença a série? 
 
2. A probabilidade de que certo tipo de componente sobreviva a um teste de choque é de 0,75. Determine a 
probabilidade de que seja necessário testar cinco itens para encontrar três que sobrevivam ao teste de choque. 
 
3. A probabilidade de que uma pessoa, moradora de certa cidade, tenha um cachorro é estimada em 0,3. Determine 
a probabilidade de que a décima pessoa aleatoriamente entrevistada na cidade seja a quinta a ter um cachorro. 
 
4. Um cientista inocula o germe de certa doença em diversos ratos até encontrar dois que contraíram a doença. Se a 
probabilidade de contrair a doença é de 1/6, qual é a probabilidade de que oito ratos sejam necessários? 
 
5. Determine a probabilidade de que uma pessoa, ao jogar uma moeda, consiga 
a) a terceira cara na sétima jogada; 
b) a primeira cara na quarta jogada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Distribuição Geométrica 
 
Características 
 
 Probabilidade – Distribuições de Probabilidade Discretas 
Agora considere o caso particular da distribuição Binomial Negativa para k = 1, ou seja, queremos calcular a 
probabilidade de que o sucesso ocorra apenas uma vez, na última tentativa do experimento. Essa é a distribuição de 
probabilidade Geométrica e o número X de tentativas até que o primeiro sucesso ocorra é a variável aleatória 
discreta Geométrica. A função de probabilidade da Geométrica pode ser expressa por: 
  1xqpxXP  , ...,3,2,1x  
 Sabe-se que  
p
1
XE  e  
2p
p1
XVAR

 . 
 
Exercícios 
 
1. Em certo processo de fabricação, sabe-se que, em média, um em cada cem itens apresenta defeitos. Qual é a 
probabilidade de que o quinto item inspecionado seja o primeiro item defeituoso encontrado? 
 
2. No horário de pico, uma central telefônica está muito próxima de sua capacidade máxima, por isso os usuários têm 
dificuldade em concluir suas chamadas. Pode ser interessante saber o número de tentativas necessário para que o 
usuário consiga completar sua chamada. Suponha que 05,0p  seja a probabilidade de conexão no horário de pico. 
Estamos interessados em saber a probabilidade de que sejam necessárias cinco tentativas para se completar uma 
chamada. 
 
3. Três pessoas lançam uma moeda não adulterada e aquela que obtiver um resultado diferente das outras duas 
pagam o café. Se os resultados forem os mesmos, elas lançam a moeda novamente. Determine a probabilidade de 
que quatro lançamentos sejam necessários para que alguém ganhe. 
 
4. A probabilidade de que um aluno de autoescola passe no exame escrito é de 0,7. Determine a probabilidade de 
que o aluno passará no teste 
a) na terceira tentativa; 
b) antes da quarta tentativa. 
 
4. Distribuição de Poisson 
 
Características 
Na distribuição Binomial de probabilidade, consideramos experimentos em que certa prova, cujos únicos 
resultados possíveis são sucesso e fracasso, é realizada n vezes e procuramos calcular a probabilidade de que 
ocorram k sucessos, nk0  . A essa distribuição está associada uma variável aleatória discreta X que mensura 
quantos sucessos ocorrem durante o experimento. A probabilidade pode ser calculada pela função: 
    xnx p1p
x
n
xXP







 , em que 
 n: quantidade de vezes em que a provas são realizadas; 
 x: quantos sucessos ocorrem; 
 p: probabilidade do sucesso; 
 p1 : probabilidade do fracasso. 
 
Agora, considere experimentos em que as provas sejam realizadas tantas vezes e em tão curto espaço de 
tempo, que precisamos considerar n muito grande (n  ) e p muito pequeno (p0), como, por exemplo, número de 
chamadas telefônicas para a polícia por hora, o número de acidentes de carro em um cruzamento por semana ou 
quantidade de defeitos em uma pintura automotiva. Assim, enquanto a distribuição Binomial pode ser utilizada para 
encontrar a probabilidade de um número designado de sucessos em n tentativas, a distribuição de Poisson é 
 Probabilidade – Distribuições de Probabilidade Discretas 
utilizada para encontrar a probabilidade de um número designado de sucessos por unidade de intervalo de 
tempo, área, volume... 
As outras condições exigidas para se aplicar a distribuição Binomial são também exigidas para se aplicar a 
distribuição de Poisson, ou seja, 
i. devem existir somente dois resultados mutuamente exclusivos; 
ii. os eventos devem ser independentes; 
iii. o número médio de sucessos por unidade de intervalo deve permanecer constante. 
 
 A função de probabilidade da variável aleatória discreta associada a uma distribuição de Poisson pode ser 
obtida a partir da função de probabilidade Binomial 
   
 
 
   
 



























xn
x
xxn
x
x
xxnxxnx
n
np
1
n
pn
!x!xn
!n
n
np
1
n
n
p
!x!xn
!n
p1p
!x!xn
!n
p1p
x
n
xXP 
 
Fazendo a troca pn  , 
 
 
       
 
   





 










 










 





 xnxxnxxn
x
x
n
1
n...nn
1xn...1nn
!xn
1
!xnn...nn
!xn1xn...1nn
!xn
1
n!x!xn
!n
 
xnxxnx
n
1
n
1x
1...
n
2
1
n
1
11
!xn
1
n
1xn
...
n
2n
n
1n
n
n
!x






 





 



















 








 . 
 
Aplicando limite, com n  , teremos: 
 
      101...01011
n
1x
1...
n
2
1
n
1
11Lim
n





 














 
e 
  










 





 





 
 e01eLim
n
1
n
1Lim
n
1Lim
x
n
xn
n
xn
n
. 
 
Portanto, 
 
!x
e
e
!xn
1
n
1x
1...
n
2
1
n
1
11
!x
Lim...p1p
x
n
Lim
xxxnx
n
xnx
n








 





 



















 




. 
 
Assim, fica definida a função de probabilidade da variável aleatória discreta X, número de sucessos que 
ocorrem em certo intervalo, associada a uma distribuição de Poisson com parâmetro t , em que  é a média de 
ocorrências,  é a taxa ou probabilidade de ocorrências e t é o intervalo de tempo, área, volume... 
 
   
!x
te
!x
e
xXP
xtx 




, para ...3,2,1,0x  
Sabe-se que   XE e que   XVAR . 
 
Exercícios 
 
1. Considere um processo de Poisson que tem uma taxa de 0,2 defeitos por unidade. Qual a probabilidade de uma 
unidade qualquer apresentar 
a) dois defeitos 
b) no máximo dois defeitos 
c) nenhum defeito 
 
 Probabilidade – Distribuições de Probabilidade Discretas 
Solução: neste exercício, 2,012,0t  . 
a)   %64,10164,0
!2
2,0e
2XP
22,0




. 
b)         

!2
2,0e
!1
2,0e
!0
2,0e
2XP1XP0XP2X0P
22,012,002,0
 
%87,999987,00163,01637,08187,0  . 
c)   %87,818187,0
!0
2,0e
0XP
02,0




. 
 
2. Suponha que uma aplicação de tinta em um automóvel seja feita de forma mecânica, e possa produzir defeitos de 
fabricação, como bolhas ou áreas mal pintadas, de acordo com uma variável aleatória X que segue uma distribuição 
de Poisson de parâmetro 1 . Suponha que sorteamos um carro ao acaso para que sua pintura seja inspecionada, 
qual a probabilidade de encontrarmos 
a) pelo menos dois defeitos? 
b) de dois a quatro defeitos? 
 
Solução: 
a)         %44,262644,03678,03678,01
!1
1e
!0
1e
11XP0XP12XP12XP1101






 
b)         

!4
1e
!3
1e
!2
1e
4XP3XP2XP4X2P
413121
 
%05,262605,00153,00613,01839,0  
 
 
 
 
 
3. Experiências anteriores indicam que, na média, seis clientes param, por hora, para colocar combustível em um 
posto. 
a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem ao longo de uma hora? 
b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem ao longo de uma hora? 
c) Qual é o valor esperado, a média e o desvio padrão para esta distribuição? 
 
4. O departamento de polícia recebe em média 5 solicitações por hora. Qual a probabilidade de receber duas 
solicitações numa hora selecionada aleatoriamente? 
 
5. Suponhamos que em uma indústria farmacêutica, 0,001% de um determinado medicamento sai da linha de 
produção somente com o excipiente, ou seja, sem nenhum princípio ativo. Qual a probabilidade de que em uma 
amostra de 4 mil medicamentos mais de 2 deles esteja somente com o excipiente. 
 
 Probabilidade – Distribuições de Probabilidade Discretas 
Solução: neste caso, precisamos calcular 04,000001,04000%001,04000pn  . Assim, temos uma média 
de 0,04 medicamento somente com o excipiente saindo da linha de produção dessa indústria. Logo, 
          

!2
04,0e
!1
04,0e
!0
04,0e
12XP1XP0XP12XP12XP
204,0104,0004,0
 
%00104,00000104,00007,00384,09607,01  
 
6. Resolva o problema utilizando as distribuições de probabilidade Binomial e Poisson. Compare os resultados. 
Lembre-se que pn  . Suponha que 10% das crianças de um determinado bairro do Rio de Janeiro prefiram 
sorvete de baunilha ao de chocolate. Qual a probabilidade de que, se entrevistarmos 10 crianças deste bairro, 
exatamente duas prefiram soverte de baunilha? 
 
7. Pesquisas na linha de produção mostram que 1% das lâmpadas incandescentes produzidas em uma fábrica são 
defeituosas. Encontre a probabilidade de que mais de uma lâmpada numa amostra aleatória de 30 lâmpadas sejam 
defeituosas, utilizando 
a) A distribuição Binomial 
b) A distribuição de Poisson. 
 
8. Uma indústria de automóveis está preocupada com uma falha no mecanismo dos freios de determinado modelo. 
Essa falha pode, em raras ocasiões, ocasionar uma catástrofe em uma rodovia. A distribuição do número de carros, 
por ano, que sofrerão essa falha é uma variável aleatória de Poisson com 5 . 
a) qual é a probabilidade de que no máximo três carros por ano experimentem essa catástrofe? 
b) qual é a probabilidade de que mais de um carro por ano experimente essa catástrofe? 
 
9. Suponha que pequenas aeronaves cheguem a certo aeroporto de acordo com um processo de Poisson, com taxa 
de seis aviões por hora. Então, o parâmetro de Poisson para chegadas em um período de t horas é t6t  . 
a) qual é a probabilidade de que exatamente quatro pequenas aeronaves cheguem durante um período de uma 
hora? 
b) qual é a probabilidade de que pelo menos quatro aviões cheguem durante o período de uma hora? 
c) Se definirmos um dia de trabalho como 12 horas, qual é a probabilidade de que pelo menos 75 aeronaves 
pequenas cheguem em um dia? 
 
10. Assumimos que o número de clientes que chegam a cada hora em certo posto de serviços automobilísticos 
segue uma distribuição de Poisson com taxa média 7 . 
a) Calcule a probabilidade de que mais de dez clientes cheguem em um período de duas horas. 
b) Qual é o número médio de chegadas durante o período de duas horas? 
 
11. Determinar a probabilidade de haver 4 peças defeituosas numa amostra de 300, extraída de um grande lote onde 
há 2% de defeituosas. 
 
12. Suponhamos que os navios cheguem a um porto na razão de 2 navios/hora, e que essa razão seja bem 
aproximada por um processo de Poisson. Observando o processo por um período de meia hora (t = 1/2), determine a 
probabilidade de: 
 Probabilidade – Distribuições de Probabilidade Discretas 
a) não chegar nenhum navio; 
b) chegarem 3 navios. 
 
13. Uma máquina produz 9 peças defeituosas a cada 1000 peças produzidas. Calcule a probabilidade de que em um 
lote que contém: 
a) 200 peças, sejam encontradas 8 peças defeituosas; 
b) 500 peças, não haja nenhuma peça defeituosa. 
 
14. As chamadas de emergência chegam a uma central de polícia a razão de 4 por hora no período de 1 as 6 da 
manhã em dias úteis e podem ser aproximadas por uma distribuição de Poisson. Responda: 
a) Quantas chamadas de emergência são esperadas num período de 30 minutos? 
b) Qual a probabilidade de nenhuma chamada num período de 30 minutos?