Equaçoes de retas e planos

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MATEMÁTICA (11º ano) – Exercícios de Exames e Testes Intermédios
Equações de retas e planos
 1 Seja um número real.
Considere, num referencial o.n. , a reta e o plano definidos, respetivamente, por 
 e 
Sabe-se que a reta é paralela ao plano 
Qual é o valor de ?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 09.02.2012
 2 Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. , a pirâmide quadrangular regular 
Seja o centro da base da pirâmide.
Sabe-se que:
• o ponto tem coordenadas 
• o vetor tem coordenadas 
• a reta é definida pela condição 
 2.1 Escreva uma condição cartesiana que defina a reta 
Nota – Não necessita de apresentar cálculos.
 2.2 Mostre que o plano pode ser definido pela equação 
 2.3 Sabe-se que a condição define a reta 
Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do ponto 
Teste Intermédio 11º ano – 09.02.2012
 3 Considere, num referencial o.n. , a reta definida por 
Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta ?
(A) (B) 
(C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 24.05.2011
 4 Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. , parte 
de um plano 
Cada um dos pontos , e pertence a um eixo coordenado. 
O plano é definido pela equação 
Seja a reta que passa no ponto e é perpendicular ao plano 
Determine uma equação vetorial da reta 
Teste Intermédio 11º ano – 06.05.2010
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 5 Na figura, está representada, num referencial o.n. , uma 
pirâmide quadrangular regular cuja base está contida no 
plano 
Sabe-se que:
• o vértice tem coordenadas 
• o vértice tem coordenadas 
• o plano é perpendicular à reta definida pela condição 
Determine o volume da pirâmide.
Nota – Pode ser-lhe útil determinar uma equação do plano 
Teste Intermédio 11º ano – 24.05.2011
 6 Na figura está representado, em referencial o.n. , o poliedro , que se pode 
decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.
Sabe-se que:
• a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e 
está contida no plano 
• o ponto pertence ao eixo 
• o ponto tem coordenadas 
• o plano é definido pela equação 
 6.1 Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma 
condição cartesiana que o defina.
 6.1.1 Plano paralelo ao plano e que passa na origem do referencial.
 6.1.2 Plano perpendicular à reta e que passa no ponto 
 6.1.3 Reta perpendicular ao plano e que passa no ponto 
 6.1.4 Superfície esférica de centro em e que passa no ponto 
 6.2 Determine o volume do poliedro 
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2011
 7 Considere, num referencial o.n. , a reta e o plano , definidos, respetivamente, por:
 e 
Qual é a intersecção da reta com o plano ?
(A) É o ponto (B) É o ponto 
(C) É o conjunto vazio (D) É a reta 
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2010
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 8 Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. , uma pirâmide quadrangular 
regular cuja base está contida no plano 
Sabe-se que:
• o ponto pertence ao eixo 
• o ponto tem coordenadas 
• o ponto pertence ao plano de equação 
• é uma equação do plano 
• é uma equação do plano 
 8.1 Determine o volume da pirâmide.
 8.2 Determine as coordenadas do ponto , sem recorrer à calculadora.
 8.3 Seja o ponto de coordenadas 
Seja a reta que contém o ponto e é perpendicular ao plano 
Averigue se a reta contém o ponto 
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2010
 9 Na figura ao lado está representado um referencial o.n. .
Cada um dos pontos , e pertence a um eixo coordenado.
O ponto pertence ao plano .
O plano é definido pela equação 
Seja a reta que contém o ponto e é perpendicular ao plano 
.
Determine uma equação vetorial da reta .
Teste Intermédio 11º ano – 07.05.2009
 10 Considere, num referencial o. n. , a superfície esférica de equação 
A intersecção desta superfície com o plano é é
(A) o conjunto vazio (B) um ponto
(C) uma circunferência (D) um círculo
Teste Intermédio 11º ano – 29.01.2009
 11 Considere, num referencial o.n. , a reta definida por 
Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta ?
(A) (B) 
(C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 06.05.2008
 12 Num referencial o. n. , sejam e os planos definidos pelas equações:
 e 
A intersecção dos planos e é
(A) o conjunto vazio (B) um ponto (C) uma reta (D) um plano
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
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 13 Na figura ao lado está representado, em referencial o. n. , 
um cone de revolução. Sabe-se que:
• a base do cone está contida no plano de equação 
• o vértice do cone tem coordenadas 
• o ponto é o centro da base do cone
 13.1 Determine uma equação do plano que contém o vértice do cone e que é paralelo ao plano 
 13.2 Seja o plano definido pela equação 
Averigue se os planos e são perpendiculares.
 13.3 Seja o ponto simétrico do ponto , em relação ao plano . Indique as coordenadas do 
ponto e escreva uma condição que defina o segmento de reta .
 13.4 Sabendo que o raio da base do cone é igual a , determine o volume do cone.
Sugestão: comece por escrever uma condição que defina a reta que contém o vértice do cone e 
que é perpendicular ao plano e utilize-a para determinar as coordenadas do ponto .
Teste Intermédio 11º ano – 29.01.2009
 14 Na figura está representada, em referencial o.n. , uma pirâmide quadrangular.
Admita que o vértice se desloca no semieixo positivo , entre a 
origem e o ponto de cota , nunca coincidindo com qualquer um destes 
dois pontos.
Com o movimento do vértice , os outros quatro vértices da pirâmide 
deslocam-se no plano , de tal forma que:
• a pirâmide permanece sempre regular
• o vértice tem sempre abcissa igual à ordenada
• sendo a abcissa de e sendo a cota de , tem-se sempre 
Admita agora que . Indique, para este caso, as coordenadas dos pontos , e e 
determine uma equação cartesiana do plano ABE.
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
 15 Considere, em referencial o.n. , o ponto 
Seja o plano que contém o ponto e é perpendicular à reta de equação vetorial 
Determine a área da secção produzida pelo plano na esfera definida pela condição 
.
Sugere-se que:
• Determine uma equação do plano .
• Mostre que o centro da esfera pertence ao plano .
• Atendendo ao ponto anterior, determine a área da secção.
Teste Intermédio 11º ano – 10.05.2007
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 16 Na figura estão representadas, em referencial o. n. , uma reta e 
uma circunferência com centro na origem e raio igual a 
Os pontos e pertencem à circunferência.
O ponto também pertence ao eixo das abcissas.
Admitindo que o declive da reta é igual a , resolva as três alíneas 
seguintes:
 16.1 Mostre que uma equação da reta é 
 16.2 Mostre que o ponto tem coordenadas 
 16.3 Seja o ponto de coordenadas 
Verifique que o triângulo é retângulo em 
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
 17 Na figura está representado, em referencial o. n. , um cubo 
 de aresta 
O vértice do cubo coincide com a origem do referencial.
Os vértices , e do cubo pertencem aos semieixos positivos , 
e , respetivamente.
O triângulo escaleno é a secção produzida no cubo pelo plano de 
equação 
 17.1 Escreva uma condição que defina a reta que passa por e é perpendicular ao plano 
 17.2Seja a amplitude, em graus, do ângulo . Determine 
Apresente o resultado arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a 
arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
Sugestão: comece por determinar as coordenadas dos pontos e 
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
 18 Na figura está representada, em referencial o.n. , uma pirâmide regular.
Sabe-se que:
• a base é um quadrado de área com centro na origem do 
referencial;
• a aresta é paralela ao eixo ;
• o vértice tem coordenadas .
Mostre que a reta definida pela condição é perpendicular 
ao plano e escreva uma equação deste plano.
Teste Intermédio 11º ano – 19.05.2006
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 19 Na figura está representado, em referencial o.n. , um paralelepípedo retângulo.
O vértice é a origem do referencial.
O vértice pertence ao eixo .
O vértice pertence ao eixo . 
O vértice pertence ao eixo .
O vértice tem de coordenadas .
Seja a reta de equação 
Qual é o ponto de intersecção da reta com o plano ?
(A) O ponto (B) O ponto (C) O ponto (D) O ponto 
Exame Matemática – 2001, 2ª Fase
 20 Na figura está representado, em referencial o.n. , um octaedro .
Sabe-se que:
• O vértice tem de coordenadas 
• O vértice tem de coordenadas 
• O vértice pertence ao plano 
• O vértice tem de coordenadas 
 20.1 Mostre que a reta definida pela condição é 
perpendicular ao plano .
 20.2 Determine uma equação da superfície esférica que contém os seis vértices do octaedro.
 20.3 Seja um plano definido pelo eixo e pelo ponto .
A secção produzida no octaedro pelo plano é um quadrilátero.
Caracterize esse quadrilátero e determine o seu perímetro.
Exame Matemática – 2001, 2ª Fase
 21 Para um certo número real , as retas e , definidas em referencial o.n. , pelas condições 
 e são coincidentes. Qual é o valor de ?
(A) (B) (C) (D) 
Exame Matemática – 2001, 1ª Fase, 2ª Chamada
 22 Considere, num referencial o.n. , duas retas, e de equações
 e , respetivamente.
 22.1 Justifique que as retas e definem um plano.
 22.2 Mostre que o plano definido pelas retas e é paralelo ao plano de equação 
 22.3 Determine a amplitude do ângulo formado pelas retas e . Apresente o resultado em graus, 
aproximado às unidades.
Nota: Sempre que nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas 
decimais.
Exame Matemática – 2001, 1ª Fase, 1ª Chamada
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 23 Na figura está representada, em referencial o.n. , uma 
pirâmide quadrangular regular.
A base da pirâmide está contida no plano de equação .
O vértice pertence ao eixo .
O vértice pertence ao plano .
O vértice pertence ao plano .
O vértice tem de coordenadas .
A altura da pirâmide é .
 23.1 Mostre que uma condição que define a reta é 
 23.2 Determine uma equação do plano que contém o ponto e é perpendicular à reta 
 23.3 Determine a área da secção obtida na pirâmide pelo plano .
Exame Matemática – 2001, 1ª Fase, 2ª Chamada
 24 Na figura está representada, em referencial o.n. , um cubo.
• O vértice é a origem do referencial
• O vértice pertence ao eixo 
• O vértice pertence ao eixo 
• O vértice pertence ao eixo 
• é o centro da face 
• Uma equação do plano que contém os pontos , e é 
Qual é a medida da aresta do cubo?
(A) (B) (C) (D) 
Exame Matemática – 2001, 1ª Fase, 1ª Chamada
 25 Num referencial o.n. , considere os planos definidos pelas equações e .
Qual das equações seguintes define uma superfície esférica tangente aos dois planos?
(A) (B) 
(C) (D) 
Exame Matemática – 2000, 2ª Fase
 26 Num referencial o.n. , considere o plano , de equação .
Qual dos seguintes pontos é simétrico do ponto , em relação ao plano ?
(A) (B) (C) (D) 
Exame Matemática – 2000, 1ª Fase, 2ª Chamada
 27 Num referencial o.n. , considere os pontos e .
Qual dos pontos seguintes pertence ao plano mediador do segmento de reta ?
(A) (B) (C) (D) 
Exame Matemática – 2000, 1ª Fase, 1ª Chamada
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 28 Na figura abaixo está representada, em referencial o.n. , uma pirâmide quadrangular regular.
O vértice é a origem do referencial
O vértice pertence ao eixo 
O vértice pertence ao plano 
O vértice tem coordenadas 
Uma equação vetorial da reta que contém a altura da pirâmide é
 
 28.1 Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação 
 28.2 Justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas 
 28.3 Determine o volume da pirâmide. 
Exame Matemática – 2000, 2ª Fase
 29 Considere dois planos e .
Sejam e vetores normais a e , respetivamente.
Seja um vetor com a direção da reta de interseção de e .
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) é paralelo a e é paralelo a .
(B) é paralelo a e é perpendicular a .
(C) é perpendicular a e é paralelo a .
(D) é perpendicular a e é perpendicular a .
Exame Matemática – 2000, 1ª Fase, 2ª Chamada
 30 Na figura está representado, em referencial o.n. , um prisma triangular regular.
Sabe-se que:
• o vértice coincide com a origem do referencial
• o vértice pertence ao semieixo positivo 
• o vértice pertence ao semieixo positivo 
• o segmento tem comprimento 
 30.1 Indique, justificando, o valor do produto escalar 
 30.2 Determine uma equação vetorial da reta de interseção do plano com o plano de 
equação 
 30.3 Sabendo que a área lateral do prisma é , determine as coordenadas do ponto 
Exame Matemática – 2000, 1ª Fase, 2ª Chamada
 31 Num referencial o.n. , qual das seguintes retas interseta os três planos coordenados ( , 
 e )?
(A) (B) 
(C) (D) 
Exame Matemática – 2000, 1ª Fase, 1ª Chamada
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 32 Considere num referencial o.n. , um poliedro com doze faces que 
pode ser decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares. 
Sabe-se que:
• o vértice é a origem do referencial;
• o vértice do poliedro tem de coordenadas ;
• a altura de cada uma das pirâmides é igual ao comprimento da aresta 
do cubo.
 32.1 Justifique que o ponto não pertence à superfície esférica de diâmetro .
 32.2 Mostre que a reta é perpendicular ao plano .
 32.3 Determine a área da secção definida no poliedro pelo plano .
Exame Matemática – 2000, 1ª Fase, 1ª Chamada
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