Revisão e Funções (Parte 1)

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TÓPICOS DE 
REVISÃO DA 
 
PROF
UNIVERSIDADE 
NOTAS DE AULA 
 
 
ÓPICOS DE MATEMÁTICA
DA MATEMÁTICA BÁSICA E FUNÇÕES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ROF. LUIZ CARLOS MARTINS JR 
ENGENHARIA BÁSICA 
NIVERSIDADE PAULISTA (UNIP) 
2017 
ATEMÁTICA 
E FUNÇÕES 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 1 
Tópicos de Matemática 
Conteúdo programático: 
 Matrizes: Definição. Operações com matrizes. Matrizes inversas. Aplicações de Matrizes. 
 Sistemas Lineares: Classificação. Resolução. Sistemas por escalonamento. Aplicações de sistemas lineares. 
 Funções: Domínio e Imagem. Função Linear. Função do 1º grau. Função do 2º grau. Função exponencial. Função 
logarítmica. Funções Trigonométricas. Aplicações das funções em problemas e análise de gráficos. 
 Áreas de Figuras Planas: Quadrado, Retângulo, Paralelogramo, Triângulo, Trapézio, Losango, Círculo e Setores 
Circulares. 
 Volume e área da superfície de figuras espaciais: Prismas, Paralelepípedos, Pirâmides, Cilindros, Cones e Esferas. 
 
Bibliografia Básica. 
 KOLMAN, B. e HILL, D. R. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro, LTC – Livros Técnicos e Científicos 
Editora S.A., 2006. 
 HOFFMANN L.D. e BRADLEY G.L., Cálculo – Um curso moderno e suas aplicações. 7ª edição, Rio de Janeiro, LTC – Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A., 2002. 
 Boulos, P. Cálculo Diferencial e Integral, volume 1. Makron Books (Grupo Pearson), 1999. 
 
Bibliografia Complementar. 
 STEWART, J. Cálculo, v.1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. 
 Edwards e Penney. Cálculo com Geometria Analítica, volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2005. 
 RICH, B. Geometria Plana. São Paulo, Bookman Companhia Editora. 2003. 
 KREYSZIG E., Matemática Superior para a Engenharia, volume 1, Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
 LAY, D. C. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 
 
Dicas: 
 Evite faltar e evite chegar atrasado nas aulas. 
 Estude a matéria dada TODAS as semanas e evite estudar de última hora (é suicídio!) 
 Estude, preferencialmente, em grupo. 
 Pegue LIVROS na biblioteca. É melhor estudar com um livro. 
 A internet é uma boa fonte de material para estudo. Mas CUIDADO! Tem muita porcaria também. Você encontrará 
alguns bons vídeos no youtube. Porém, é melhor estudar com um livro!!!! 
 Como está sua MATEMÁTICA BÁSICA? Lembre-se que você esta fazendo um curso superior de ENGENHARIA! Se sua 
matemática básica não está boa (nem regular!) então você está, infelizmente, como a maioria da população brasileira. 
Reserve um tempo na semana pra rever a matemática básica a partir da 5a série (6º ano). É sério!!!!!! MUITO 
SÉRIO!!!!!!!!! 
 Estudo requer planejamento, organização e disciplina para obter resultados. Mas lembre-se que tais resultados virão 
lentamente. Por isso, tenha PACIÊNCIA e PERSEVERÂNÇA. Quem aprende é o aluno. Não é o professor quem ensina. 
 Ouça e coloque em prática as dicas dos seus professores (eles já foram alunos e têm muito mais experiência que você 
nesse assunto!) 
 Tenha uma boa calculadora científica. Recomendo a Casio fx82-MS (ou similar) pois é uma boa calculadora 
a um preço acessível. 
 
 
 
 
 
 
 
"A verdadeira dificuldade não está em aceitar ideias novas, mas em escapar das antigas." 
John Maynard Keynes (economista britânico / 1883 - 1946) 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 2 
Revisão 
Revisão 1 (Operações com números racionais) 
Conjunto dos números naturais: ℕ = {0,1,2,3,4,5, … } 
Conjunto dos números inteiros: ℤ = {… , −5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, … } 
Conjunto dos números racionais: ℚ = ቄ௔
௕
: ܽ, ܾ߳ℤ ݁ ܾ ≠ 0ቅ. 
Na fração ௔
௕
 , o número inteiro a é chamado numerador e número inteiro b de denominador, com 0b . Se essa 
fração não pode mais ser simplificada então dizemos ser uma fração irredutível. Exemplos: ଶ
ଷ
 e ଼
ଵହ
 são frações 
irredutíveis, mas ସ
଺
 não é. 
Observação: A fração ଴
ହ
 tem o mesmo valor que 0. A fração ହ
଴
 não existe, enquanto que ଴
଴
 é chamada de 
indeterminação. 
Definições 
 Igualdade: ௔
௕
= ௫
௬
↔ ܽݕ = ܾݔ ; Exemplo: ଶ
ଷ
= ଺
ଽ
 pois 2 ∙ 9 = 3 ∙ 6 
 Adição: ௔
௕
+ ௫
௬
= ௔௬ା௫௕
௕௬
 ; Exemplo: 
ଷ
ହ
+ ଵ
଻
= ଷ∙଻ାଵ∙ହ
ହ∙଻
= ଶ଺
ଷହ
 
 Subtração: ௔
௕
− ௫
௬
= ௔௬ି௫௕
௕௬
 ; Exemplo: 
ଷ
ହ
− ଵ
଻
= ଷ∙଻ିଵ∙ହ
ହ∙଻
= ଵ଺
ଷହ
 
 Multiplicação: ௔
௕
∙ ௫
௬
= ௔∙௫
௕∙௬
 ; Exemplo: 
ଷ
ହ
∙ ଵ
଻
= ଷ∙ଵ
ହ∙଻
= ଷ
ଷହ
 
 Divisão: ௔
௕
÷ ௫
௬
= ௔
௕
∙ ௬
௫
= ௔௬
௕௫
 ; Exemplo: 
ଷ
ହ
÷ ଵ
଻
= ଷ
ହ
∙ ଻
ଵ
= ଷ∙଻
ହ∙ଵ
= ଶଵ
ହ
 
 Fração inversa: ቀ௔
௕
ቁ
ି௡
= ቀ௕
௔
ቁ
௡
 ; Exemplo: ቀଷ
ହ
ቁ
ିଶ
= ቀହ
ଷ
ቁ
ଶ
= ହ
2
∙
ହ
2
=
25
4
 
 Potência: ቀ௔
௕
ቁ
௡
= ௔
೙
௕೙
 , onde n é um número natural. OBS: ቀ௔
௕
ቁ
଴
= 1 desde que ܽ ≠ 0 ݁ ܾ ≠ 0. 
 
Exercícios em aula 
1) Calcule: 
a) ଻
଺
+ ଵଽ
଺
 
b) ଷ
଻
+ ସ
ହ
 
c) ହ
ସ
+ ଻
଺
 
d) ଷ
ଶ
− ଺
଻
 
e) ସ
଻
× ଷ
ହ
 
f) ଵଶ
ହ
÷ ସ
ଵହ
 
g) ቀ ଷ
ଵସ
∙ ଶଵ
ଵହ
+ ଺
ଷହ
∙ ଵହ
଼
ቁ ÷ ଵ଻ସ
ଷହ
 
2) Resolva: 
a) ଻
௫ିଶ
= ଷ
ଵି௫
 
b) 
54
45
3
12 
x
x 
c) 11 3
8
13
5
2 




 



 x 
d) 
15
2
5
21
3
2 



 
x
 
Respostas 
1) a) ଵଷ
ଷ
 b) ସଷ
ଷହ
 c) ଶଽ
ଵଶ
 d) ଽ
ଵସ
 e) ଵଶ
ଷହ
 f) 9 g) ଵ
଼
 
2) a) ݔ = ଵଷ
ଵ଴
 b) 2 c) ݔ = ଵଷହ
ଵ଺
 d) ݔ = ଵହ
ଵସ
 
 
 
Tópicos de Matemática Revisão 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 3 
Revisão 2 (Potenciação) 
Definição: Seja a um números real e n um número inteiro maior que 1. Então 
 
fatores n
n aaaa  . 
Nomenclatura: Na potência na , chamaremos ܽ de base e ݊ de expoente. 
Exemplos: 
 322222225  
 16222224  
 822223  
 42222  
 ?21  
 ?20  
 ?2 1  
 ?2 2  
Por definição temos que: ቐ
ܽଵ = ܽ 
ܽ଴ = 1 (ܽ ≠ 0)
ܽି௡ = ଵ
௔೙
 (ܽ ≠ 0)
  
Logo, 221  , 120  , 
2
12 1  e 
4
1
2
12 2
2  . 
Importante: Não está definido o símbolo 00 pois este é uma das formas de indeterminação. Se necessário for, por 
definição (e por conveniência algébrica), podemos definir 0଴ = 1. 
Propriedades das potências 
 nmnm aaa  Ex.:     743 2222222222  ou 74343 2222   
 nmn
m
a
a
a  Ex.: 23
5
333
333
33333
3
3 

 ou 2353
5
33
3
3   
   mnnm aa  Ex.:               622232 33333333333  ou   63232 333   
 n
nn
b
a
b
a 




 Ex.: 4
44
3
2
3333
2222
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 






















 ou 4
44
3
2
3
2 




 
   nnn baba  Ex.:         333 7577755575757575  ou   333 7575  
Revisão 3 (Radiciação) 
Definição:  Para n inteiro positivo ímpar .abba nn  
  Para n inteiro positivo par .0,0,  baabba nn 
Exemplos:  283   283   3273   3273  
 √16ర = 2  42564  √−16ర não existe  √16 = ±4 (falso!) 
Nomenclatura: Na raiz n a chamamos n de índice do radical e a de radicando. 
Tópicos de Matemática Revisão 
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Propriedades: Sejam 0, ba . nnn baba  Exemplo: 333 842  
 n
n
n
b
a
b
a  Exemplo: 216
2
32
2
32 44
4
4
 
   n mmn aa  Exemplo:   33 223 422  
 mnn m aa  Exemplo: 12433 4 222   
 pn pmn m aa   Exemplo: 332 26 4416   
 √ܽ௡೙ = ܽ para ݊ ímpar Exemplo: √ݔହఱ = ݔ 
 √ܽ௡೙ = |ܽ| para ݊ par Exemplo: √ݔଶ = |ݔ| 
Módulo de um número real: Seja ݔ um número real qualquer. Então, |ݔ| = ቄ ݔ , ݏ݁ ݔ ≥ 0−ݔ, ݏ݁ ݔ < 0
 . 
 Exemplos: |7| = 7 
|−7| = 7 
|0| = 0 
|ߨ − 4| = 4 − ߨ 
|ݔ| = 2 ↔ ݔ = ±2 
|ݔ − 3| = 5 ↔ ݔ = 8 ݋ݑ ݔ = −2 
Potência de expoente racional: ܽ
೙
೘ = √ܽ௡೘ onde a é não negativo e n é inteiro positivo. Em particular ܽ
భ
೘ = √ܽ೘ 
Exemplos: 25
భ
మ = √25 = 5 ; 8
మ
య = √8ଶయ = √64య = 4 
Exercícios em aula 
3) Calcule: 
a) ( 17342 x 4773) ÷ (17340 x 4774) 
b) 
xx 

 1
1
1
1 
c)       2122 333,0 
d) ଶା√ଷ
ଵି√ହ
− ଶି√ଷ
ଵା√ହ
 
e) 8ି 
ర
య + 16ି 
భ
ర − ቀ− ଵ
ଶ
ቁ
ିଶ
− √−8య 
4) Qual a ordem crescente dos números 43 7,5,3 ? (Não use calculadora!) 
5) Sendo ݔ e ݕ números reais quaisquer, escreva ݕ em função de ݔ sabendo que: ݔଶ + ݕଶ = 9. 
Respostas 
3) a) ଶ଼ଽ
ସ
 b) − ଶ
௫ିଵ
 c) ଵ଼ଶ
ଽ
 d) − √ଷାଶ√ହ
ଶ
 e) − ଶଷ
ଵ଺
 
4) √7ర < ඥ5 < √3
య
 
5) ݕ = √9 − ݔଶ ou ݕ = −√9 − ݔଶ 
 
 
 
Tópicos de Matemática Revisão 
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Revisão 4: Equação do 1º grau. Equação do 2º grau. 
 
Equação: é uma expressão matemática contendo uma igualdade. Raiz de uma equação é um valor que satisfaz a 
equação. 
Equação do 1o grau: é uma equação que pode ser escrita na forma ܽݔ + ܾ = 0 com ܽ ≠ 0. 
Raiz: ݔ = − ௕
௔
 
Equação do 2o grau: é uma equação que pode ser escrita na forma: ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ = 0 onde ܽ ≠ 0. 
Raízes (Fórmula de Báskara): ݔ = ି௕ ± √∆
ଶ௔
 onde ∆ = ܾଶ − 4ܽܿ é chamado discriminante. 
OBS: Se ∆ > 0 então a equação tem 2 raízes reais de distintas 
 Se ∆ = 0 então a equação tem somente 1 raiz (de multiplicidade 2) 
 Se ∆ < 0 então a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas e conjugadas). 
Exercícios em aula 
6) Resolva: 
a. ଶ௫ାଵ
ଷ௫
= ସହ
ହସ
 
b. ௫
ଷ
= ௫ାଵ
ସ
 
c. 2ݔଶ − 4ݔ = −ݔଶ + 2 
d. ଶ௫ାଵ
௫ାଶ
= ௫ାହ
௫ାଷ
 
e. ௫
ଵା௫
+ ௫ିଶ
௫
= 1 
7) Se 
25
7




xx
xx
ee
ee calcule xe . 
8) Se você adicionar um número inteiro, diferente de zero, ao seu inverso multiplicativo, vai obter ଵ଻
ସ
. Que 
número é esse? 
9) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um destes tirou para si metade dos 
bombons da caixa. Mais tarde o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na 
caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa. 
a. 18 
b. 5 
c. 40 
d. 15 
e. 23 
10) Um terreno de forma quadrada foi reduzido para dar lugar a uma calçada com 3m de largura. No final, sua 
área passou a ter 625m2. Qual era a medida do lado do quadrado original? 
Respostas 
6) a) ݔ = 2 b) ݔ = 3 c) ݔ = ଶ
ଷ
± ଵ
ଷ √10 d) ݔ = ±√7 e) ݔ = 1 ± √3 
7) ݁௫ = ସ
ଷ
 
8) 4 
9) c 
10) 31 metros 
 
“Tolice é fazer sempre as coisas do mesmo modo e esperar resultados diferentes.” 
Albert Einstein 
 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
Exercícios propostos 
1) O conjunto solução da equação ୶ାଵ
୶
−
a) {-2} b) {8} c) 
2) Se ݔ(1 − ݔ) = ଵ
ସ
, então: 
a) ݔ = ଵ
ଶ
 b) ݔ = 1 c) ݔ
3) Se ௫ିଶ
௬
= 4 e ݕ − 1 = 0, então ݔ 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
4) Para realizar a transmissão da Copa do Mundo um
patrocinadoras, com cotas de US$400.000 cada uma. Após este acordo, duas delas decidiram que o investimento 
era grande demais para seus portes e rescindiram o contrato. As outras participantes decidiram rat
montante entre si, cabendo a cada uma mais US$160.000. Quantas empresas compunham o pool inicial? Qual o 
valor total do patrocínio? 
a) 6 ; US$2.800.000 
b) 7; US$2.800.000 
c) 6; U$2.600.000 
d) 2; U$2.800.000 
e) 7; U$2.400.000 
5) Um indivíduo fez uma viagem de 630 km. T
dia. Quantos dias gastou na viagem e quantos quilômetros caminhou por dia?
a) 18 dias; 25km b) 16 dias, 32km
6) Uma pessoa gasta 1/3 do dinheiro que tem; em seguida gasta 3/4 do que lhe sobra. Sabendo
com R$12,00, podemos afirmar que tinha inicialmente:
a) menos do que R$50,00. 
b) mais do que R$80,00. 
c) mais do que R$100,00. 
d) menos do que R$90,00. 
e) R$90,00. 
7) Roberto disse a Valéria: "pense um número; dobre esse número; some 12 ao resultado; divida o novo resultado 
por 2. Quanto deu?" Valéria disse "15", ao que Roberto imediatamente revelou o número original que Valéria 
havia pensado. Calcule esse número
a) 3 b) 7 c) 4 d) 9
8) Uma sorveteria tem um custo fixo mensal de R$2.000,00 (custo este que engloba o aluguel, salários e outras 
despesas que independem da quantidade produzida). Sabendo
de R$2,50 e o preço de venda por unidade é R$5,00, quantos sorvetes, no mínimo, devem ser vendidos 
mensalmente para não haver prejuízo?
a) 400 b) 500 c) 600 
9) Em ℕ, o produto das soluções da inequação 
a) maior que 8. b) 6 c) 
10) Qual o conjunto solução da seguinte inequação?
a) {x R | − 2 < ݔ < 1} 
b) {x R | − 5 < ݔ < 2} 
c) {x R | − 2 < ݔ < 2} 
d) {x R | 1 < ݔ < −2} 
e) {x R | − 3 < ݔ < 1} 
11) Durante a discussão da reforma do sistema previdenciário, na década de 1990, aventou
adotada a chamada "fórmula 95". Segundo ela,os trabalhadores teriam direito à aposentadoria quando a soma 
 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP
− ହ
୶ିଶ
= 2 é 
 d) {3,2} e) {1} 
ݔ = ଵ
ସ
 d) ݔ = 0 e) ݔ = ଵ
଼
 
 é igual a 
6 e) n.d.a 
Para realizar a transmissão da Copa do Mundo uma emissora de rádio organizou um pool de empresas 
patrocinadoras, com cotas de US$400.000 cada uma. Após este acordo, duas delas decidiram que o investimento 
era grande demais para seus portes e rescindiram o contrato. As outras participantes decidiram rat
montante entre si, cabendo a cada uma mais US$160.000. Quantas empresas compunham o pool inicial? Qual o 
Um indivíduo fez uma viagem de 630 km. Teria gasto menos quatro dias se tivesse caminhado mais 10 km por 
dia. Quantos dias gastou na viagem e quantos quilômetros caminhou por dia? 
16 dias, 32km c) 18 dias; 35km d) 17 dias; 35km
Uma pessoa gasta 1/3 do dinheiro que tem; em seguida gasta 3/4 do que lhe sobra. Sabendo
com R$12,00, podemos afirmar que tinha inicialmente: 
Roberto disse a Valéria: "pense um número; dobre esse número; some 12 ao resultado; divida o novo resultado 
por 2. Quanto deu?" Valéria disse "15", ao que Roberto imediatamente revelou o número original que Valéria 
mero 
9 e) 2 
Uma sorveteria tem um custo fixo mensal de R$2.000,00 (custo este que engloba o aluguel, salários e outras 
despesas que independem da quantidade produzida). Sabendo-se que o custo da fabricação de cada sorvete é 
de R$2,50 e o preço de venda por unidade é R$5,00, quantos sorvetes, no mínimo, devem ser vendidos 
mensalmente para não haver prejuízo? 
 d) 700 e) 800 
, o produto das soluções da inequação 2ݔ − 3 ൑ 3 é: 
c) 2 d) 1 e) 0 
Qual o conjunto solução da seguinte inequação? 
7 < 3ݔ − 1 < 2 
Durante a discussão da reforma do sistema previdenciário, na década de 1990, aventou
"fórmula 95". Segundo ela,os trabalhadores teriamdireito à aposentadoria quando a soma 
 Revisão 
SP 6 
a emissora de rádio organizou um pool de empresas 
patrocinadoras, com cotas de US$400.000 cada uma. Após este acordo, duas delas decidiram que o investimento 
era grande demais para seus portes e rescindiram o contrato. As outras participantes decidiram ratear o 
montante entre si, cabendo a cada uma mais US$160.000. Quantas empresas compunham o pool inicial? Qual o 
eria gasto menos quatro dias se tivesse caminhado mais 10 km por 
17 dias; 35km e) 19 dias; 28km 
Uma pessoa gasta 1/3 do dinheiro que tem; em seguida gasta 3/4 do que lhe sobra. Sabendo-se que ainda ficou 
Roberto disse a Valéria: "pense um número; dobre esse número; some 12 ao resultado; divida o novo resultado 
por 2. Quanto deu?" Valéria disse "15", ao que Roberto imediatamente revelou o número original que Valéria 
Uma sorveteria tem um custo fixo mensal de R$2.000,00 (custo este que engloba o aluguel, salários e outras 
bricação de cada sorvete é 
de R$2,50 e o preço de venda por unidade é R$5,00, quantos sorvetes, no mínimo, devem ser vendidos 
Durante a discussão da reforma do sistema previdenciário, na década de 1990, aventou-se a hipótese de ser 
"fórmula 95". Segundo ela,os trabalhadores teriam direito à aposentadoria quando a soma 
Tópicos de Matemática Revisão 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 7 
do número de anos trabalhados com a idade do trabalhador fosse igual a 95. Com que idade poderia aposentar-
se uma pessoa que tivesse começado a trabalhar com 23 anos de idade? 
Resp: 36 anos 
12) Maria Helena comprou, no primeiro domingo de junho, cinco quilos de carne e dois pacotes de carvão, pagando 
R$ 34,60. No domingo seguinte, ela retornou ao açougue e comprou apenas 3,5 quilos de carne e um pacote de 
carvão, pagando R$ 23,10. Se os preços não sofreram alterações no período em que Maria Helena fez as 
compras, determine o preço do quilo da carne que ela comprou. 
13) Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o pagamento 
de diárias. Ele tem duas opções de hospedagem: a Pousada A, com diária de R$ 25,00, e a Pousada B, com diária 
de R$ 30,00. Se escolher a Pousada A, em vez da Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias. Nesse 
caso determine quanto este estudante reservou para o pagamento de diárias. 
14) O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função ܥ(݊) = ݊ଷ − 30݊ଶ +
 +500݊ + 200. Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto. 
15) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por 
unidade produzida e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. 
Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro maior que R$ 800,00? 
16) Um restaurante vende dois tipos de refeição: 
 - P.F. ( Prato Feito) R$ 4,00. 
 - Self-Service (Sem Balança) R$ 7,00. 
Num determinado dia, foram vendidas 80 refeições e arrecadou-se R$ 470,00. Determine a quantidade de PF e 
Self-Service que foram vendidas. 
17) A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q unidades de certo produto, é dada por 
ܴ(ݍ) = 115ݍ, e o custo ܥ, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a equação ܥ(ݍ) = 90ݍ + 760. 
Para que haja lucro, é necessário que a receita ܴ seja maior que o custo ܥ. Então, determine o número mínimo 
de unidades desse produto que deverá ser vendido para que essa empresa tenha lucro. 
18) Um motorista de táxi, cobra R$ 3,70 a bandeirada (tarifa fixa) e R$ 1,20 por quilômetro rodado. Determine: 
a) o preço da corrida em função da distância; 
b) o preço de uma corrida de 8 km; 
c) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 18,70 pela corrida. 
19) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 
50,00, e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 39,00 e cada 
minuto em ligações locais custa R$ 0,30. Nessas condições, determine o número de minutos que tornam o plano 
B menos vantajoso do que o plano A. 
20) Uma produtora pretende lançar um filme em DVD e prevê uma venda de 20.000 cópias. O custo fixo de 
produção do filme foi R$ 120.000,00 e o custo por unidade foi de R$ 18,00. Qual o preço mínimo que deverá ser 
cobrado por DVD, para não haver prejuízo? 
Respostas dos exercícios propostos 
1) C 
2) A 
3) D 
4) B 
5) C 
6) D 
7) D 
8) E 
9) E 
10) A 
Tópicos de Matemática Revisão 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 8 
11) 36 anos 
12) R$ 5,80 
13) R$ 450,00 
14) R$ 3.200,00 
15) x  21 
16) 30 PF e 50 Self-service. 
17) 31 
18) a) P = 3,70 + 1,20d b) R$ 13,30 c) 12,5 km 
19) 221 minutos 
20) R$ 24,00 
 
Tópicos de Matemática Funções 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 9 
Funções 
Conceitos Básicos 
Def.: Uma função f: A B consta de três partes: um conjunto A, chamado Domínio de f, indicado por ݀݋݉(݂) ou 
ࡰ(ࢌ) ou ࡰࢌ; um conjunto B, chamado Contradomínio de f, CD(f); e uma regra (lei) que permite associar, de modo 
bem determinado, a cada a  A, um único elemento b = f(a)  B. Simbolicamente,  x  A, ! f(x)  B. 
Podemos usar diagramas de Venn-Euler (ou diagrama de flechas) para representar funções. 
 
 
 
 
 
É função Não é função Não é função 
 
Observações: 
i. IMPORTANTE!! Não confundir f e f(x): f é o “nome” da função, enquanto f(x) é o valor que a função f assume 
no ponto x  A, também chamado de imagem de x pela função f. 
ii. Quando x “percorre” o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado Imagem de f, denotado por 
Im(f). 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii. Para este curso, que trata apenas de funções reais de variável real, A e B serão subconjuntos não vazios do 
conjunto dos reais, em geral intervalos ou união de intervalos; e a lei que define uma função será SEMPRE 
dada por uma expressão matemática. 
iv. É muito comum encontrarmos funções "definidas" apenas por sua expressão matemática. Neste caso, 
podemos considerar o contradomínio como sendo todo o conjunto dos números reais, e o domínio como 
sendo o maior subconjunto dos números reais x tal que f(x) é também um número real (desde que o 
domínio não esteja definido pelo contexto). 
Exemplos 
a) ݂: ℝ → ℝ; ݂(ݔ) = |ݔ| (função Módulo ou Valor Absoluto) 
b) ℎ: ℝ → ℝ; ℎ(ݔ) = ݏ݁݊(ݔ) 
c) ݇: ℝ\{2} → ℝ; ݇(ݔ) = ଵ
௫ିଶ
 
d) ݉: ℝା∗ → ℝ; ݉(ݔ) = ln (ݔ) 
e) ݃: { 4, 5, 8, 13, 20 } → ℝ; ݃(ݔ) = √ݔ − 4 
f f f 
A B A B A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
f(x) 
f 
 * 
 * 
* 
 * 
* 
 * 
 * 
* 
 * 
* 
f 
Imagem de f 
 0 
 1 
2 
 3 
4 
 4 
 5 
8 
 13 
20 
g 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
Exercícios em aula 
1) Dê o domínio das seguintes funções:
a) ݂(ݔ) = √4ݔ − 1య 
b) ݂(ݔ) = √4ݔ − 1 
c) ݂(ݔ) = ௫ିଷ
௫మାଶ௫ିଷ
 
2) Dada a função ݂(ݔ) = ଵିଶ௫
ଷ௫ା଺
 determine:
a) o domínio de ݂. 
b) ݂(0) , ݂(3), ݂(−1) 
c) A imagem de −2 pela função ݂ 
d) o valor de ݔ tal que ݂(ݔ) = 4. 
e) Raiz (ou zero) de uma função é um valor que anula a função, ou seja, é um 
ߙ tal que ݂(ߙ) = 0. Calcule a raiz de 
3) Considere a função ݂ representada pelo diagrama de flechas ao lado:
a) Qual o domínio de ݂? 
b) Qual o contradomínio de ݂? 
c) Qual a imagem de ݂? 
d) Qual a imagem do 3 pela função 
e) Qual a expressão da ݂? 
4) Uma bola é lançada verticalmentepara cima a partir do solo e sua altura 
metros) varia em função do tempo 
−2ݐଶ + 12ݐ. 
a) Qual a altura da bola quando ݐ =
b) Em que instante a bola retorna ao solo?
c) Em que instantes a bola atinge a altura 
5) João deve confeccionar uma caixa de zinco, sem tampa, usando 
uma folha de zinco de 60 cm por 45
quadradinhos de lado x cm em cada canto da folha (como 
mostrada na figura). As abas resultantes são então dobradas 
para cima e ele termina a caixa com uma solda.
a) Expresse o volume da caixa em função de x.
b) Qual o domínio dessa função? 
c) Qual o volume da caixa se o quadradinho retir
cm de lado? 
Respostas 
1) a) ݀݋݉(݂) = ℝ b) ݀݋݉(݂) = ቄ
݀݋݉(݂) = ℝ 
2) a) ݀݋݉(݂) = ℝ\{2} b) ݂(0) = ଵ
଺
3) a) ݀݋݉(݂) = {−1,0,1,2,3} 
 d) ݂(3) = 9 
4) a) ℎ = 10 m b) ݐ = 6 s c) ݐ = 2 
5) a) ܸ(ݔ) = 4ݔଷ − 210ݔଶ + 2700ݔ 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
Def.: O conjunto de pares ordenados
portanto, um subconjunto do ℝଶ (conjunto de todos os pa
quando o domínio de ݂ é um intervalo de números reais, 
domínio um intervalo no eixo x e imagem um intervalo no eixo y.
 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP
Dê o domínio das seguintes funções: 
determine: 
 
Raiz (ou zero) de uma função é um valor que anula a função, ou seja, é um 
. Calcule a raiz de ݂. 
representada pelo diagrama de flechas ao lado: 
Qual a imagem do 3 pela função ݂? 
Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir do solo e sua altura ℎ (em 
a em função do tempo ݐ (em segundos), segundo a função ℎ(ݐ) =
= 5ݏ? 
Em que instante a bola retorna ao solo? 
Em que instantes a bola atinge a altura 16 ݉? 
João deve confeccionar uma caixa de zinco, sem tampa, usando 
cm por 45 cm cortando-se 4 
cm em cada canto da folha (como 
). As abas resultantes são então dobradas 
para cima e ele termina a caixa com uma solda. 
Expresse o volume da caixa em função de x. 
Qual o volume da caixa se o quadradinho retirado for de 4 
) ቄݔ߳ℝ: ݔ ≥ ଵ
ସ
ቅ ou ݀݋݉(݂) = ቃ−∞, ଵ
ସ
ቃ 
) ଵ
଺
 ; ݂(3) = − ଵ
ଷ
 ; ݂(−1) = 1 ; c) ݂(−2) não existe 
 b) ܥܦ(݂) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
 e) ݂(ݔ) = ݔଶ 
 s e ݐ = 4 s 
 b) ݀݋݉(ܸ) = {ݔ ∈ ℝ: 0 < ݔ < 22,5} c) ܸ(4)
de pares ordenados ܩ(݂) = { (ݔ , ݂(ݔ)) ∈ ℝଶ ∶ ݔ݀݋݉(݂) } é denominado gráfico de 
(conjunto de todos os pares ordenados (x;y) de números reais
é um intervalo de números reais, o gráfico de uma função é uma curva em 
domínio um intervalo no eixo x e imagem um intervalo no eixo y.. 
 Funções 
SP 10 
 c) ݀݋݉(݂) = ℝ\{1,3} d) 
) ão existe d) ݔ = − ଶଷ
ଵସ
 e) ଵ
ଶ
 
 c) ܫ݉(݂) = {0,1,4,9} 
( ) = 7696 cm3 
é denominado gráfico de f. É, 
de números reais). De forma geral, 
o gráfico de uma função é uma curva em ℝଶ tendo 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
 
Exemplos 
 a) ݂: ℝ → ℝ; b) ݂: ℝ
 ݂(ݔ) = |ݔ| ݂(ݔ
 
 
Reconhecimento do gráfico de uma função
Considere inicialmente os gráficos a seguir. Você consegue identificar qual deles não representa o gráfico de uma 
função? 
 
Gráfico (I) Gráfico (II) 
 
Podemos então estabelecer que: 
“Retas verticais nunca devem ser transversais ao gráfico de funções em 2 ou mais pontos”
Exercícios em aula 
6) Faça o gráfico da função ݂: {0,1,2,3,4
7) Faça o gráfico da função ݂: ሾ0,4ሿ → ℝ
8) Faça o gráfico da função ݂: ℝ → ℝ definida pela expressão 
Operações com funções 
Def.: Sejam ݂, ݃ ∶ ܣ  ܤ; ܣ, ܤ  ℝ. Define
I. ݂ + ݃: ܣ  ℝ por (݂ + ݃)(ݔ)
 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP
 
ℝା → ℝ; c) ݂: ℝ → ℝ 
(ݔ) = ln (ݔ) ݂(ݔ) = ݏ݁݊
 
Reconhecimento do gráfico de uma função 
Considere inicialmente os gráficos a seguir. Você consegue identificar qual deles não representa o gráfico de uma 
 
Gráfico (III) Gráfico (IV) Gráfico (V)
devem ser transversais ao gráfico de funções em 2 ou mais pontos”
4} → ℝ definida pela expressão ݂(ݔ) = 2ݔ + 1 
ℝ definida pela expressão ݂(ݔ) = 2ݔ + 1 
definida pela expressão ݂(ݔ) = 2ݔ + 1 
. Define-se: 
)( ) = ݂(ݔ) + ݃(ݔ); 
 Funções 
SP 11 
 
 
ݏ݁݊(ݔ) 
 
Considere inicialmente os gráficos a seguir. Você consegue identificar qual deles não representa o gráfico de uma 
 
Gráfico (V) 
devem ser transversais ao gráfico de funções em 2 ou mais pontos” 
 
Tópicos de Matemática Funções 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 12 
II. ݂ − ݃: ܣ  ℝ por (݂ − ݃)(ݔ) = ݂(ݔ) − ݃(ݔ); 
III. ݂ ∙ ݃: ܣ  ℝ por (݂ ∙ ݃)(ݔ) = ݂(ݔ) ∙ ݃(ݔ); 
IV. ݂/݃: ܣ  ℝ por (݂/݃)(ݔ) = ݂(ݔ)/݃(ݔ). 
A operação mais importante envolvendo funções, entretanto, é a COMPOSIÇÃO: 
Def.: Sejam ܣ, ܤ, ܥ  ℝ, com ܤ  ܥ, ݂ ∶ ܣ  ܤ e ݃: ܥ  ℝ. Definimos FUNÇÃO COMPOSTA ݃݋݂ ∶ ܦ  ܣ  ℝ por: 
gof(x) = g(f(x)),x  D 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES!!! 
a. O domínio ܦ de ݃݋݂ consiste nos ݔ  ܣ tais que ݂(ݔ) pertença ao domínio de ݃. Por isso é obrigatório que 
ܤ  ܥ !! 
b. O contradomínio de ݃݋݂ é o contradomínio de ݃. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício em aula 
9) Sejam ݂: ℝ  ℝ dada por ݂(ݔ) = ݔଶ e ݃: ℝ  ℝ por ݃(ݔ) = 2ݔଷ. Determine: 
a) ݂ + ݃ 
b) ݂ − ݃ 
c) ݂ ݃ 
d) ݂/݃ 
e) ݃/݂ 
f) ݂݋݃ 
g) ݃݋݂ 
10) Sejam ݂: ℝ  ℝ; ݂(ݔ) = ݔ + 3 e ݃: ℝ \ { −2 }  ܴ; ݃(ݔ) = 2/(ݔ + 2). Ache ݃݋݂ e ݂݋݃. 
Exercícios propostos 
1) Sabendo que f(g(x)) = 3x - 7 e f( x ) = 
3
1 x - 2, então : 
a) g(x) = 9x - 15 b) g(x) = 9x + 15 c) g(x) = 15x - 9 d) g(x) = 15x + 9 e) g(x) =9x - 5 
2) O domínio da função real f(g(x)), sabendo-se que f(x)= x e g(x) = 
2x
xx 2

 é xR tal que: 
a) x -2 b) x0 e x -2 c) -2<x-1 ou x0 d) -2x-1 ou x 0 e) -2<x<-1ou x 0 
3) Para cada inteiro x > 0 , f(x) é o número de divisores de x e g(x) é o resto da divisão de x por 5. Então g(f(45)) é : 
a)4 b)3 c)2 d)1 e)0 
4) Considere as funções f(x) =2x + 1 e g(x) = x² - 1. Então as raízes da equação f(g(x))=0 são : 
a) inteiras b)negativas c)racionais d)inversas e)opostas 
5) Sejam f(x) = x² + 1 e g(x) = x - 1 duas funções reais. Definimos a função composta de f e g como sendo 
gof(x)=g(f(x)). Então gof(y-1) é igual a : 
a)y²-2y+1 b)(y-1)²+1 c)y²+2y-2 d)y²-2y+3 e)y²-1 
6) A função de R em R é definida por f(x) = mx + p. Se f(2) = -5 e f(-3) = -10, então f(f(18)) é igual 
a)-2 b)-1 c)1 d)4 e)5 
 * 
 * 
* 
 * 
* 
 * 
 * 
* 
 * 
* 
݂ 
 * 
 
* 
 
* 
Imagem de ݃ 
݃ 
Domínio da ݂ 
Domínio da ݃ 
Imagem de ݂ 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
7) As funções f e g , de R em R, são definidas por f(x)=2x+3 e g(x)=3x+m. Se f(g(x))=
a)primo b)negativo c)cubo perfeito
8) Seja f : R  R uma função definida por y = f(x). Sabendo
f(f(x+2)) = 3 é : 
a)0 b)1 c)2 
9) Se f(x) = 3x - 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale :
a)-2 b)0 c)1 
10) Se f(g(x)) = 2x²-4x+4 e f(x-2) = x + 2, então o valor de g(2) é :
a)-2 b)2 c)0 
11) Sendo f(x) = x² - 1 e g(x) = x + 2, então o conjunto solução da equação f(g(x))=0 é :
a){1,3} b){-1,-3} c){1,
12) Sendo f e g funções de R em R , tais que f(x) = 3x 
a)10 b)11 c)12 
13) Os gráficos das funções reais definidas por f(x) = x² 
abscissa 3. Então o valor de f ( g ( k)) é :
a)3 b)9 c)12 
14) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = 3x, 
a)1/4 b)4/5 c) 2 
15) Se f(x) = mx + n e f(f(x)) = 4x + 9, a soma
a) 6 b) –12 c) 
16) Se x >1 e f (x) = 
1xx
, então f (f (x + 1)) é igual a:
a) x+1 b) 
1
1
x
 c)x – 1 
17) Se f e g são funções definidas por f ( x ) = x e g ( x ) = x² + m x + n, com m 
fog é 
a) m b) – m c) n 
18) Se f e g são funções reais tais que f(x)=2x
a) 4 b) 1 c) 0 
19) Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f(x) =
a) 1 b) 2 c) 3 
20) Sejam as funções reais f e g tais que f(x)=2x+1 e (fog)(x)=2x³ 
21) Seja y=f(x) uma função definida no intervalo [
a) 3 b) 0 c) -3 
 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP
As funções f e g , de R em R, são definidas por f(x)=2x+3 e g(x)=3x+m. Se f(g(x))=g(f(x)),então f(m) é um número :
c)cubo perfeito d)menor que 18 
R uma função definida por y = f(x). Sabendo-se que f(0)=3, f(1) = 2 e f(3) = 0, o valor de x tal que 
 d)3 e)4 
4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale : 
 d)3 e)5 
2) = x + 2, então o valor de g(2) é : 
 d)3 e)5 
1 e g(x) = x + 2, então o conjunto solução da equação f(g(x))=0 é : 
c){1,-3} d){-1,3} e){ } 
Sendo f e g funções de R em R , tais que f(x) = 3x - 1 e g(x) = x², o valor de f(g(f(1))) é :
 d)13 e)14 
nções reais definidas por f(x) = x² - 1 e g(x) = xk , 1  k > 0, se interceptam num ponto de 
abscissa 3. Então o valor de f ( g ( k)) é : 
 d)15 e) 18 
Dadas as funções reais definidas por f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = 3x, então o valor de k tal que g(f(k))= 4 é :
 d) 3 e) 7/6 
soma dos possíveis valores de n é: 
c) –6 d)–18 e) 12 
, então f (f (x + 1)) é igual a: 
 d) 
1x
x
 e) 
1
1


x
x
 
definidas por f ( x ) = x e g ( x ) = x² + m x + n, com m 0 e n  0, então a soma das raízes de 
 d) – n e) m.n 
reais tais que f(x)=2x-2 e f(g(x))=x+2, para todo xR, então g(f(2)) é igual a:
 d) 2 e) 3 
os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f(x) = xa .O valor de g(g (
 
 d) 3/2 e) 5/2 
as funções reais f e g tais que f(x)=2x+1 e (fog)(x)=2x³ -4x+1.Calcule os valores de x para os quais g(x)>0.
Seja y=f(x) uma função definida no intervalo [-3;6] conforme indicado no gráfico. Logo
 
 d) -1/2 e) 1 
 Funções 
SP 13 
g(f(x)),então f(m) é um número : 
 e)múltiplo de 12 
se que f(0)=3, f(1) = 2 e f(3) = 0, o valor de x tal que 
, o valor de f(g(f(1))) é : 
k > 0, se interceptam num ponto de 
então o valor de k tal que g(f(k))= 4 é : 
0, então a soma das raízes de 
R, então g(f(2)) é igual a: 
.O valor de g(g (-1))+f(g (3)) é: 
os valores de x para os quais g(x)>0. 
Logo, o valor de f(f(2)) é: 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
22) Com respeito à função f:RR, cujo gráfico está representado abaixo, é correto afirmar:
a) (f o f) (-2) = 1 b) (f o f) (-1) = 2
23) Admita os seguintes dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em 
milhares de habitantes: 
- C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, em partes por milhão, corresponde a C(p)=0,5 p +1;
- em um determinado tempo t, em anos, p será igual a p(t
Em relação à taxa C, 
a) expresse-a como uma função do tempo;
b) calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 partes por milhão.
24) Duas funções, f e g , são tais que f(x)=3x
a) 3 b) 4 c) 5 
25) Sejam f e g funções de R em R definidas por f(x)=x+1 e g(x)=1
g(f(x)), é correto afirmar que 
a) tangencia o eixo das abscissas. 
b) não intercepta o eixo das abscissas.
c) contém o ponto (-2; 0). 
d) tem concavidade voltada para cima.
e) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0;
26) Se f e g são funções de R em R tais que f(x)=2x
a) 2x²+1 b) (x/2) -1 c) x²/2
27) As funções reais f e g são tais que f(g(x))=x²
a) 0 b) 1 c) 2
28) Com a função f(x), representada no gráfico anterior, e com função g(x), obtém
expressão algébrica que define g(x) é:
a) -x/4 -1/4 b) -x/4 +1/4 c) x/4 +1/4
29) Para função f(x)=5x + 3 e um número b, tem
a) -1 b) -4/5 c) 
30) Para um número real fixo  , a função f(x) = 
a) 1 b) 2 c) 3
31) No esquema , f e g são funções, respectivamente, de A em B e de B em C. 
Então: 
a) g(x) = 6x + 5 b) f(x) = 6x + 5
d) f(x) = 8x + 6 e) g(x) = (x 
32) Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g.
 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP
R, cujo gráfico está representado abaixo, é correto afirmar:
 
1) = 2 c) (f o f) (-2) = -1 d) (f o f) (
re as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em 
C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, em partes por milhão, corresponde a C(p)=0,5 p +1;
em um determinado tempo t, em anos, p será igual a p(t)=10 + 0,1 t£. 
a como uma função do tempo; 
b) calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 partes por milhão. 
, f e g , são tais que f(x)=3x-1 e f[g(x)]=2-6x. Nessas condições, o valor de g(
 d) 6 
Sejam f e g funções de R em R definidas por f(x)=x+1 e g(x)=1-x². Relativamente ao gráfico da função dada por 
b) não intercepta o eixo das abscissas. 
tem concavidade voltada para cima. 
e) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0;-1). 
de R em R tais que f(x)=2x-1 e f(g(x))=x²-1, então g(x) é igual a 
c) x²/2 d) x+1 e) x+(1/2) 
que f(g(x))=x²-6x+8 e f(x-3)=x+5. Se g (k) é o menor possível, então k vale:
c) 2 d) 3 e) 4 
Com a função f(x), representada no gráfico anterior, e com função g(x), obtém-se a composta g(f(x)) = x. A 
expressão algébrica que define g(x) é: 
c) x/4 +1/4 d) x/4 -1/4 e) x/4 +1 
f(x)=5x + 3 e um número b, tem-se f(f(b)) = - 2. O valor de b é: 
c) -17/25 d) -1/5 e) -3/5 
, a função f(x) = x - 2 é tal que f(f(1))= -3. O valor de  é:
c) 3 d) 4 e) 5 
, f e g são funções, respectivamente, de A em B e de B em C. 
 
b) f(x) = 6x + 5 c) g(x) = 3x + 2 
e) g(x) = (x - 1)/2 
os esboços dos gráficos das funções f e g. 
 Funções 
SP 14 
R, cujo gráfico está representado abaixo, é correto afirmar: 
d) (f o f) (-1) = 0 e) f(-2) = 1 
re as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em 
C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, em partes por milhão, corresponde a C(p)=0,5 p +1; 
6x. Nessas condições, o valor de g(-1) é: 
x². Relativamente ao gráfico da função dada por 
3)=x+5. Se g (k) é o menor possível, então k vale: 
se a composta g(f(x)) = x. A 
é: 
Tópicos de Matemática Funções 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 15 
 
A soma f(g(1)) + g (f (–1)) é igual a: 
a) –1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 1 
Respostas 
1) A 2)C 3)D 4)E 5)A 6)D 7)D 8)B 9) D 10)C 11) B 12)B 13)D 14)E 15)C 16)A 
17)B 18)E 19)C 20) 2x 21)E 22)B 23) a) C(p(t)) = 6 + 0,05 t² b) 12 anos 24)A 25)C 26)C 27)D 
28)C 29)B 30)A 31)C 32)B 
 
Tópicos de Matemática 
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Funções importantes 
Funções de Primeiro grau 
Uma função ݂: ℝ → ℝ é chamada função do 1
݂(ݔ) = ܽݔ + ܾ, onde ܽ e ܾ são números reais, sendo 
Observações: 
I. O gráfico da função do 1o grau é uma reta e portanto, para 
representá-la, basta conhecer 2 pontos desse reta.
II. Quando ܾ ≠ 0 a função do 1o 
afim. 
III. Quando ܾ = 0 a função do 1o 
linear. Neste caso o gráfico sempre passa pela origem.
IV. Os coeficientes ܽ e ܾ da função do 1
O coeficiente ܽ é chamado coeficiente angular
ܽ < 0 , a função é decrescente.
Quanto ao coeficiente ܾ, chamado de 
cruza o eixo das ordenadas (eixo 
݂(ݔ) = 2ݔ − 4 
V. Quando ܽ = 0 então não temos uma função do 1
associa a cada ݔ ∈ ℝ o valor ݂
horizontal, ou seja, uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo 
 
ܽ > 0: Função crescente/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP
função do 1o grau se a expressão que define ݂ 
números reais, sendo ܽ não nulo com ܽ ≠ 0. 
grau é uma reta e portanto, para 
la, basta conhecer 2 pontos desse reta. 
 grau é chamada de função 
 grau é chamada de função 
Neste caso o gráfico sempre passa pela origem. 
da função do 1o grau caracterizam o seu gráfico. 
coeficiente angular, ou inclinação, da reta. Se ܽ > 
. 
chamado de coeficiente linear, ele é a ordenada do ponto em que o gráfico de 
(eixo ݕ), ou seja, ܾ = ݂(0). 
 
 ݂(ݔ) = 2ݔ
então não temos uma função do 1o grau. Temos uma função constante
݂(ݔ) = ܾ. Seu gráfico também é uma reta que, neste caso, sempre será 
reta paralela ao eixo das abscissas (eixo ݔ). 
 
 
Função crescente ܽ < 0: Função decrescente
 Função do 1º grau 
SP 16 
 pode ser escrita na forma: 
 0 , a função é crescente e se 
 
ele é a ordenada do ponto em que o gráfico de ݂ 
 
− 1 
função constante. A função constante 
Seu gráfico também é uma reta que, neste caso, sempre será 
Função decrescente 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
Exercícios em aula 
33) Dada a função ݂(ݔ) = – 2ݔ + 3, determine 
34) Dada a função ݂(ݔ) = 4ݔ + 5, determine 
35) A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos 
݂(16). 
36) Considere a função ݂: ℝ  ℝ definida por 
a) Verifique se a função é crescente ou decrescente 
b) O zero da função; 
c) O ponto onde a função intersecta o eixo 
d) O gráfico da função; 
e) Faça o estudo do sinal; 
37) Sabendo que a água congela a 32º Fahrenheit e evapora a 212º Fahrenheit (ao nível do mar), escreva 
expressão na qual a temperatura em graus Celsius seja uma função 
Exercícios propostos 
1) Seja f uma função do primeiro grau tal que f(2) = 7 e f(5) = 13, calcule o valor de f(
2) Se f(x) = 3x + 2, qual o valor de x para que f(x) = 5?
3) A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b
são, respectivamente: 
a) 3 e 3 b) 5 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 5 e) 5/3 e 3/5
4) O gráfico da função y = 5x + m – 1 corta o eixo y no ponto de 
5) O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q
proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe
percorridos 3,6km, a quantia cobrada foi de R$8,25 e que em outra corrida, de 2,8km a quantia cobrada foi de 
R$7,25. 
a) Calcule o valor inicial de Q0. 
b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$75,00 em 10 corridas, quantos quilômetros seu carro 
percorreu naquele dia? 
6) Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 
100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura e de 25ºC. Nessas condições, 
podemos afirmar que a temperatura a 1500m de prof
a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC
7) A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao longo do dia. Em certo dia, a concentração de poluentes no 
ar, às 8h, era de 20 partículas, em cada milhão de partículas, e, às 12h, era de 80 partículas, em cada milhão de 
partículas. Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é uma função do 1º grau (função afim) no 
tempo, qual o número de partículas poluentes
 a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 
8) Se f e uma função do primeiro grau tal que f(120) = 370 e
a) 760 b) 590 c) 400 d) 880 
9) Na figura mostrada tem-se o gráfico da função do 1º grau definida por y
 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP
, determine ݂(1). 
, determine ࢞ tal que ݂(ݔ) = 7. 
A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (−2, −63) e (5, 0). Determine essa função e calcule 
definida por ݂(ݔ) = 5ݔ – 3. 
Verifique se a função é crescente ou decrescente 
O ponto onde a função intersecta o eixo y; 
Sabendo que a água congela a 32º Fahrenheit e evapora a 212º Fahrenheit (ao nível do mar), escreva 
expressão na qual a temperatura em graus Celsius seja uma função da temperatura em graus Fahrenheit.
Seja f uma função do primeiro grau tal que f(2) = 7 e f(5) = 13, calcule o valor de f(-1).
o valor de x para que f(x) = 5? 
y = f(x) = ax + b tem o gráfico esboçado. O coeficiente linear e o zero da função 
 
a) 3 e 3 b) 5 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 5 e) 5/3 e 3/5 
1 corta o eixo y no ponto de ordenada 3. Determine o valor de 
O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q0 fixo, mais um valor que varia 
proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram 
quantia cobrada foi de R$8,25 e que em outra corrida, de 2,8km a quantia cobrada foi de 
Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$75,00 em 10 corridas, quantos quilômetros seu carro 
ições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 
100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura e de 25ºC. Nessas condições, 
podemos afirmar que a temperatura a 1500m de profundidade e: 
a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC
A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao longo do dia. Em certo dia, a concentração de poluentes no 
a de 20 partículas, em cada milhão de partículas, e, às 12h, era de 80 partículas, em cada milhão de 
partículas. Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é uma função do 1º grau (função afim) no 
tempo, qual o número de partículas poluentes no ar em cada milhão de partículas, às 10h20min?
a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 
Se f e uma função do primeiro grau tal que f(120) = 370 e f(330) = 1000, então f(250) é igual a:
a) 760 b) 590 c) 400 d) 880 
se o gráfico da função do 1º grau definida por y = ax + b. O valor de a/b é igual a:
 Função do 1º grau 
SP 17 
. Determine essa função e calcule 
Sabendo que a água congela a 32º Fahrenheit e evapora a 212º Fahrenheit (ao nível do mar), escreva uma 
da temperatura em graus Fahrenheit. 
1). 
tem o gráfico esboçado. O coeficiente linear e o zero da função 
ordenada 3. Determine o valor de m. 
fixo, mais um valor que varia 
se que, em uma corrida na qual foram 
quantia cobrada foi de R$8,25 e que em outra corrida, de 2,8km a quantia cobrada foi de 
Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$75,00 em 10 corridas, quantos quilômetros seu carro 
ições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 
100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura e de 25ºC. Nessas condições, 
a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC 
A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao longo do dia. Em certo dia, a concentração de poluentes no 
a de 20 partículas, em cada milhão de partículas, e, às 12h, era de 80 partículas, em cada milhão de 
partículas. Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é uma função do 1º grau (função afim) no 
no ar em cada milhão de partículas, às 10h20min? 
 e) 65 
f(330) = 1000, então f(250)é igual a: 
 e) 920 
= ax + b. O valor de a/b é igual a: 
Tópicos de Matemática Função do 1º grau 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 18 
 
a) 3 b) 2 c) 3/2 d) 2/3 e) 1/2 
10) O gráfico da função f(x) = ax + b passa pelos pontos (1, 2) e (0, -1). Pode-se afirmar que a2.b1/3 é: 
a) – 4 b) 4 c) – 9 d) 9 e) 5 
11) Sabendo que os pontos (2, - 3) e (-1, 6) pertencem ao gráfico da função f: R em R definida por 
݂(ݔ) = ܽݔ + ܾ 
determine o valor de (b – a). 
Respostas 
1) 1; 2) 1; 3) C; 4) 4; 5) a) R$3,75 b) 30km; 6) E; 7) C; 8) A; 9) E; 10) C; 11) 6 
Tópicos de Matemática Função do 2º grau 
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Funções Quadráticas ou de segundo grau 
Uma função ݂: ℝ → ℝ é chamada de função quadrática, ou função do segundo grau, se pode ser escrita na forma 
݂(ݔ) = ܽݔ² + ܾݔ + ܿ, 
 onde a, b e c números reais, com a não nulo. O coeficiente a é chamado coeficiente dominante. 
Exemplos: 
1. f(x)=x² 
2. f(x)=-4 x² 
3. f(x)=x²-4x+3 
4. f(x)=-x²+2x+7 
O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. 
 
O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial indica a concavidade da parábola ("boca 
aberta"). Se a>0 então a concavidade estará voltada para cima e se a<0 estará voltada para baixo. 
Relacionamento entre o discriminante e a concavidade 
O Discriminante de uma função quadrática (∆), denominado Delta, é dado pela forma: 
∆=b2-4ac 
Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante 
da função polinomial. 
Delta A parábola no plano cartesiano 
a>0 
concavidade 
para cima 
a<0 
concavidade 
para baixo 
∆ > 0 
Corta o eixo horizontal em 2 pontos 
(ou 2 raízes reais e distintas) 
∆ = 0 
Toca em 1 ponto do eixo horizontal 
(ou 1 raiz real de multiplicidade 2) 
∆ < 0 
Não corta o eixo horizontal 
(Não tem raiz real) 
Raízes da função quadrática 
Os zeros (ou raízes) da função quadrática f(x)=ax²+bx+c, são encontrados pela fórmula de Bháskara 
Tópicos de Matemática Função do 2º grau 
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ݔ =
−ܾ ± √∆
2ܽ
 
O vértice de uma parábola é o ponto crítico da função quadrática onde ela muda o sentido: ( ݔ௩ , ݕ௩ ) 
ݔ௩ =
ି௕
ଶ௔
 e ݕ௩ =
ି∆
ସ௔
 
O vértice é também o ponto máximo se ܽ < 0, ou o ponto mínimo se ܽ > 0. 
Para construir o gráfico de função quadrática, devemos ter, no mínimo, 3 pontos. Devemos então encontrar as 
raízes, e o vértice. Caso faltem pontos, podemos encontrar os pontos que faltam apenas atribuindo valores para x e 
encontrando o respectivo valor para y. 
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x)=x²+2x-3. 
 
Exemplo: Construir a parábola f(x)=-x²+2x-3. 
 
Exercícios em aula 
1) As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, ache as coordenadas do vértice 
que a representa: 
a) f(x)= x² - 4x + 5 
b) f(x)= x² +4x - 6 
c) f(x)= 2x² +5x - 4 
d) f(x)= -x² + 6x - 2 
2) Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes: 
a) f(x)= 3x² - 7x + 2 
b) f(x)= -x² + 3x - 4 
d) f(x)= x² - 4 
e) f(x)= 3x² 
3) Construa o gráfico das seguintes funções: 
a) f(x)= x² - 16x + 63 
c) f(x)= 4x² - 4x +1 
Tópicos de Matemática Função do 2º grau 
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e) f(x)= -2x² +8x- 6 
4) Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, 
em segundos, de acordo com a relação 
h(t) = -t² + 8t. 
a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima? [Nota]: observem o vértice 
b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola? 
c) Esboce o gráfico que represente esta situação. 
Exercícios propostos 
1) O vértice da parábola y = 2x2 - 4x + 5 é o ponto 
a) (2, 5) b)  1 11, c) (-1, 11) d)  1 3, e) (1, 3) 
2) A função f(x) = x2 - 4x + k tem o valor mínimo igual a 8. O valor de k é: 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 
3) Se o vértice da parábola dada por y = x² - 4x + m é o ponto (2, 5), então o valor de m é: 
a) 0 b) 5 c) -5 d) 9 e) -9 
4) A parábola de equação y = ax², passa pelo vértice da parábola y = 4x - x². Ache o valor de a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) nda 
5) O valor mínimo da função f(x) x2 - kx + 15 é -1. O valor de k, sabendo que k < 0 é: 
a) -10 b) -8 c) -6 d) -1/2 e) -1/8 
6) A parábola definida por y = x2 + mx + 9 será tangente aos eixos das abscissas se, e somente se: 
a) m = 6 ou m = -6 b) -6< m < 6 c)   6 6m 
d) m  6 e) m  6 
7) Considere a parábola de equação y = x² - 4x + m. Para que a abscissa e a ordenada do vértice dessa parábola 
sejam iguais, então m deve ser igual a: 
a) -14 b) -10 c) 2 d) 4 e) 6 
8) O gráfico da função quadrática definida por y = x² - mx + (m - 1), onde m  R, tem um único ponto em comum 
com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é: 
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 
9) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas na região, as 
estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola y = -x² + 10x e da reta y = 4x + 5, com 
2  ݔ  8. Qual a soma das coordenadas do ponto representando a interseção das estradas? 
a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 
10) A distância do vértice da parábola y= -x²+ 8x - 17 ao eixo das abscissas é : 
a) 1 b) 4 c) 8 d) 17 e) 34 
11) O gráfico da função real definida por y = x² + mx + ( 15-m ) tangencia o eixo das abscissas e corta o eixo das 
ordenadas no ponto (0,k). Se a abscissa do vértice da parábola é negativa, k vale : 
a) 25 b) 18 c) 12 d) 9 e) 6 
12) Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de 
abscissa x = - 1/ 4. Logo, o valor de f(1) é: 
a) 1/10 b) 2/10 c) 3/10 d) 4/10 e) 5/10 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
13) O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abscissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f 
coincide com o ponto de mínimo da função g, de R em R, definida por g(x) = (2/9)x² 
ser definida por 
a) y = - x² + 6x + 5 b) y = - x² 
d) y = - x² + 6x – 5 e) y = x² 
14) O gráfico da função quadrática y = ax² + bx + c, x real, é simétrico ao gráfico da parábola y = 2 
reta de equação cartesiana y = -2. Determine o valor de 8a + b + c.
a) – 4 b) 1/2 c) 2
15) A função real f, de variável real, dada por f(x) = 
a) mínimo, igual a -16, para x = 6 
c) máximo, igual a 56, para x = 6 
e) máximo, igual a 240, para x = 20 
16) Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é
a) y = (x² /5) - 2x b) y = x² - 10x c) y = x² + 10x 
17) A função f(x) do segundo grau tem raízes 
A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é
a) f(x) = -2(x-1)(x+3) b) f(x) = -
d) f(x) = (x-1)(x+3) e) f(x) = 2(x+1)(x
18) Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (
a) Determine a equação da reta r. 
b) Determine a equação dessa parábola.
c) Seja f(x) a diferença entre as ordenadas 
e o outro sobre a reta r. Determine x para que f(x) seja a maior possível.
19) Se a função real definida por f(x) = - 
inteiros do real k é: 
a) - 2. b) - 1. c) 0./ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP
O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abscissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f 
com o ponto de mínimo da função g, de R em R, definida por g(x) = (2/9)x² -
x² - 6x + 5 c) y = - x² - 6x - 5 
e) y = x² - 6x + 5 
O gráfico da função quadrática y = ax² + bx + c, x real, é simétrico ao gráfico da parábola y = 2 
2. Determine o valor de 8a + b + c. 
c) 2 d) 1 e) 4 
f, de variável real, dada por f(x) = -x² + 12x + 20, tem um valor 
 b) mínimo, igual a 16, para x = -12 
 d) máximo, igual a 72, para x = 12 
 
Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é
 
10x c) y = x² + 10x d) y = (x²/5) - 10x e) y = (x² /5) + 10x
grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8.
A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é 
-(x-1)(x+3) c) f(x) = -2(x+1)(x-3) 
e) f(x) = 2(x+1)(x-3) 
Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0). 
 
 
Determine a equação dessa parábola. 
Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de pontos de mesma abscissas x, nesta ordem: um sobre a parábola 
Determine x para que f(x) seja a maior possível. 
 x² + (4 – k²) possui um máximo positivo, então a soma dos possíveis valores 
 d) 1. e) 2. 
 Função do 2º grau 
SP 22 
O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abscissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f 
- (4/3)x + 6. A função f pode 
O gráfico da função quadrática y = ax² + bx + c, x real, é simétrico ao gráfico da parábola y = 2 - x² com relação à 
Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é 
10x e) y = (x² /5) + 10x 
3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8. 
de pontos de mesma abscissas x, nesta ordem: um sobre a parábola 
k²) possui um máximo positivo, então a soma dos possíveis valores 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
20) A função f, de R em R, dada por f(x) = ax² 
Nessas condições, f(-2) é igual a 
a) 4 b) 2 c) 0 
21) O gráfico da função y =ax² + bx + c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente:
 
22) A figura a seguir representa o gráfico
A equação da reta r é: a) y = -2x + 2 b) y = x + 2.
23) Qual o maior valor assumido pela função f:[
24) O gráfico de f(x) = x² + bx +c, onde b e c são constantes, passa 
 a) - 2/9 b) 2/9 c) 
25) Na parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice
 a) 3 b) 4 c) 5
26) O ponto de coordenadas (3, 4) pertence
parábola é: 
 a) 1/2 b) 1 c) 3/2
27) Uma função f, do 2grau, admite as raízes 
afirmar que o valor 
 a) mínimo de f é -5/6 b) máximo de f é 
 e) mínimo de f é -49/6 
28) O ponto de maior ordenada, pertence
ordenado (a, b). Então a - b é igual a:
 a) -39/8 b) -11/8 
29) Seja x um número real estritamente 
circunferência de raio x centímetros e g associa a cada x a área d
condições, é verdade que 
 a) f(x) > g(x) para 0 < x < 2. b) f(x) = g(x) para x = 4.
 d) f(x) > g(x) para x > 10. e) f(x) > g(x) para qualquer valor de x.
30) A soma e o produto das raízes de uma função do 2
função é -4, então seu vértice é o ponto
 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP
A função f, de R em R, dada por f(x) = ax² - 4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. 
 d) - 1/2 e) – 2 
y =ax² + bx + c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente:
 
gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. 
 
b) y = x + 2. c) y = 2x + 1 d) y = 2x + 2. e) y = 
Qual o maior valor assumido pela função f:[-7.10]  R definida por f(x) = x² - 5x + 9?
b e c são constantes, passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2). Então f(
c) - 1/4 d) 1/4 e) 4 
vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: 
c) 5 d) 6 e) 7 
pertence à parábola de equação y = ax² + bx + 4. A abscissa do vértice dessa 
c) 3/2 d) 2 
grau, admite as raízes -1/3 e 2 e seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0; 
b) máximo de f é -5/6 c) mínimo de f é -13/3 d) máximo de f é 
pertence ao gráfico da função real definida por f(x) = (2x 
b é igual a: 
 c) 3/8 d) 11/8 e) 39/8 
 positivo. Sejam as funções f e g tais que f associa a cada x o comprimento da 
circunferência de raio x centímetros e g associa a cada x a área do círculo de raio x centímetros. Nessas 
b) f(x) = g(x) para x = 4. c) g(x) > f(x) para 0 < x < 1.
e) f(x) > g(x) para qualquer valor de x. 
roduto das raízes de uma função do 2 grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo dessa 
4, então seu vértice é o ponto 
a) 1, -6 e 0 
b) - 5, 30 e 0 
c) -1, 3 e 0 
d) -1, 6 e 0 
e) -2, 9 e 0 
 Função do 2º grau 
SP 23 
4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. 
y =ax² + bx + c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente: 
e) y = -2x – 2 
5x + 9? 
pelos pontos (0, 0) e (1, 2). Então f(-2/3) vale 
 
à parábola de equação y = ax² + bx + 4. A abscissa do vértice dessa 
1/3 e 2 e seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0; -4). É correto 
13/3 d) máximo de f é -49/9 
ao gráfico da função real definida por f(x) = (2x - 1) (3 - x), é o par 
positivo. Sejam as funções f e g tais que f associa a cada x o comprimento da 
o círculo de raio x centímetros. Nessas 
c) g(x) > f(x) para 0 < x < 1. 
grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo dessa 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
 a) (3, -4) b) (11/2, -4) c) (0, 
31) O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x² e y = 2x² 
 a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
32) O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, passa pelos pontos (
conjunto de todos os valores possíveis de b é:
a) {b IR | b  -4} b) {b  IR | b < 
33) Nessa figura, estão representados os gráficos das funções
Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o gráfico da função f e a outra 
extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim 
sendo, o comprimento do segmento S é
a) 1/2 b) 3/4 c
34) O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c (a, b, c números reais) contém os pontos (
O valor de b é: 
 a) -2. b) -1. c) 0. d) 1
35) Considere a função dada por y = 3t² 
t, em segundos. 
O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a 
 a) -2 b) -1 c) 0 
36) Considere a função dada por y = 3t² 
instante t, em segundos. O ponto de mínimo da função corresponde ao instante em que
a) a velocidade do móvel é nula. b) a velocidade assume valor máximo.
c) a aceleração é nula. d) a aceleração assume valor máxim
e) o móvel se encontra no ponto mais distante da origem
37) O gráfico da função definida por f(x) = x² + bx + cos 8
a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos.
b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos 
c) intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes.
d) intercepta o eixo das abscissas na origem.
e) não intercepta o eixo das abscissas.
38) O gráfico da função quadrática definida por f(x) = 4x² + 5x + 1 é uma parábola de vértice 
abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é
a) 27/8 b) 27/16 
 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP
c) (0, -4) d) (-4; 3) e) (-4, 6) 
deintersecção das duas parábolas y = x² e y = 2x² - 1 é: 
d) 3. e) 4. 
O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, passa pelos pontos (
alores possíveis de b é: 
IR | b < -5} c) {b  IR | b  -3} d) {b IR | b -2} e) {b 
os gráficos das funções: f(x) = x²/2 e g(x) = 3x - 5. 
 
segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o gráfico da função f e a outra 
extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim 
sendo, o comprimento do segmento S é 
c) 1 d) 5/4 
O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c (a, b, c números reais) contém os pontos (-1, -1), (0, 
d) 1 e) 2. 
por y = 3t² - 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante 
O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a 
 d) 1 e) 2 
dada por y = 3t² - 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no 
O ponto de mínimo da função corresponde ao instante em que
a) a velocidade do móvel é nula. b) a velocidade assume valor máximo. 
c) a aceleração é nula. d) a aceleração assume valor máximo. 
e) o móvel se encontra no ponto mais distante da origem. 
por f(x) = x² + bx + cos 8π /7, x  R 
a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos. 
b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos. 
c) intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes. 
d) intercepta o eixo das abscissas na origem. 
e) não intercepta o eixo das abscissas. 
quadrática definida por f(x) = 4x² + 5x + 1 é uma parábola de vértice 
abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é 
 c) 27/32 d) 27/64 
 Função do 2º grau 
SP 24 
O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, passa pelos pontos (-1, 10) e (0, 5). Logo o 
2} e) {b  IR | b  -1} 
 
segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o gráfico da função f e a outra 
extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim 
1), (0, -3) e (1, -1). 
altura, em metros, de um móvel, no instante 
6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no 
O ponto de mínimo da função corresponde ao instante em que 
quadrática definida por f(x) = 4x² + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das 
 e) 27/128 
Tópicos de Matemática Função do 2º grau 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 25 
39) O gráfico da função y = x² - 1 é transladado de 3 unidades na direção e sentido do eixo x e de 1 unidade na 
direção e sentido do eixo y. Em seguida, é refletido em torno do eixo x. A figura resultante é o gráfico da função 
 a) y = -(x + 3)² b) y = -(x - 3)² c) y = -(x + 3)² - 2 d) y = (x - 3)² - 2 e) y = (x + 3)² 
40) O gráfico de uma função do segundo grau tem seu eixo de simetria na reta x = 3, tem uma raiz igual a 1 e corta o 
eixo dos y em y = 25, então seu conjunto imagem é: 
 a) [-20,  [ b) [20,  [ c) ]-  , -20] d) ]-  , 20] e) ]-  , 25] 
41) O intervalo no qual a função f(x) = x2 - 6x + 5 é crescente é: 
 a) x < 5 b) 1 < x < 5 c) x > 1 d) x > 3 
42) A parábola P representada na figura é o gráfico de uma função quadrática f. Se y = g(x) for outra função 
quadrática cujas raízes sejam as mesmas de f e se o vértice do gráfico dessa g for simétrico ao vértice de P com 
relação ao eixo 0x, então g(-1) vale 
 
43) Se a figura mostra o esboço do gráfico de f(x)= ax² + 2bx + c, então os números a, b e c sempre são: 
 
a) nessa ordem, termos de uma PA b) nessa ordem, termos de uma PG c) números inteiros. 
d) tais que a < b < c. e) tais que a > b > c. 
44) Sabe-se que o custo C para produzir x peças de um carro é dado por C = x2 - 40x + 200. Nessas condições, calcule 
a quantidade de peças a serem produzidas para que o custo seja mínimo. Calcule também qual será o valor 
deste custo mínimo. 
45) Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja 
ℎ(ݐ) = − ݐଶ + 8ݐ + 10. Calcule a altura máxima atingida pela bola e em que instante ela alcança esta altura. 
46) O lucro de uma empresa é dado por L = F - C, onde L é o lucro, F o faturamento e C o custo. Sabe-se que, para 
produzir x unidades, o faturamento e o custo variam de acordo com as equações: ܨ(ݔ) = 1500ݔ − ݔଶ e 
ܥ(ݔ) = ݔଶ − 500ݔ. Nessas condições, qual será o lucro máximo dessa empresa e quantas peças deverá 
produzir? 
Respostas 
1) E 2) C 3) D 4) A 5)B 6) A 7) E 8)D 9)C 10)A 11)D 12) C 13)D 14)C 15)C 16)A 17)A 18) a) 
4x + y + 8 = 0 b) y = - x² + 2x c) x = -1 19)D 20)D 21)C 22)E 23) 93 24)A 25)A 26)C 27)E 28)B 
29) A 30)A 31)C 32)B 33) A 34)C 35)D 36)A 37)C 38)E 39)B 40)A 41)D 42)A 43)B 44)R = 20, 1600 
45)R = 4 seg., 26m 46)R = 500 peças, R$ 500.000,00 
 
a) – 8 
b) – 6 
c) 0 
d) 6 
e) 8