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Uma carga Q é distribuída uniformemente sobre um fio semicircular de raio a. Calcule a força com que atua sobre uma carga de sinal oposto -q colocada no centro . Arco carregado com carga Q e densidade ƛ Cada elemento de comprimento dl do arco carregado com carga dQ faz uma força sobre a carga (-q). Sendo r a distância entre dQ e -q. Então: 𝒅𝑸 = ƛ𝒅𝒍 ƛ 𝟐 = 𝑸 𝟐𝝅𝒂 ƛ = 𝑸 𝝅𝒂 𝒅𝒍 = 𝒂𝒅𝜽 𝒅𝑸 = 𝑸. 𝒂𝒅𝜽 𝝅𝒂 𝒅𝑸 = 𝑸.𝒅𝜽 𝝅 em coordenadas polares: x = a.cos ө na direção i y = a.sen ө na direção j 𝒅𝑭 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝒅𝑸 𝒓𝟐 𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚² 𝒓𝟐 = 𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋 𝒅�⃗⃗� = 𝒒𝒅𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟏 (𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋) Geometricamente resta apenas uma componente de força resultante, ou seja, F.senө na direção j. 𝒅�⃗⃗� = 𝒒𝒅𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟏 (𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋) . 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒚 𝒓 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 √(𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋) 𝒅�⃗⃗� = 𝒒𝒅𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟏 (𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋) . 𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 √(𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋) 𝒅�⃗⃗� = 𝒒𝒅𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟏 (𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋) 𝟑 𝟐 . 𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 𝒅�⃗⃗� = 𝒒𝒅𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟏 [𝒂²(𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋) 𝟑 𝟐] . 𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 𝒅�⃗⃗� = 𝒒𝒅𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟏 𝒂³(𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋) 𝟑 𝟐 . 𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 𝒅�⃗⃗� = 𝒒𝒅𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟏 𝒂²(𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋) 𝟑 𝟐 . 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 𝒅�⃗⃗� = 𝒒𝒅𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂² 𝟏 (𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋) 𝟑 𝟐 . 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 Como 𝒅𝑸 = 𝑸.𝒅𝜽 𝝅 𝒅�⃗⃗� = 𝒒𝑸 𝟒𝝅²𝜺𝟎𝒂² 𝒅𝜽 (𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋) 𝟑 𝟐 . 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 Mas 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒋 = 𝟏 , então 𝒅�⃗⃗� = 𝒒𝑸 𝟒𝝅²𝜺𝟎𝒂² . 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒅𝜽. 𝒋 Portanto �⃗⃗� = ∫ 𝒒𝑸 𝟒𝝅²𝜺𝟎𝒂² . 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒅𝜽. 𝒋 𝝅 𝟎 �⃗⃗� = 𝒒𝑸 𝟒𝝅²𝜺𝟎𝒂² ∫ 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒅𝜽. 𝒋 𝝅 𝟎 �⃗⃗� = 𝒒𝑸 𝟒𝝅𝟐𝜺𝟎𝒂𝟐 ∗ (−𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒋) | 𝝅 𝟎 �⃗⃗� = (− 𝒒𝑸 𝟒𝝅𝟐𝜺𝟎𝒂𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝝅. 𝒋 ) − (− 𝒒𝑸 𝟒𝝅𝟐𝜺𝟎𝒂𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟎. 𝒋 ) �⃗⃗� = (− 𝒒𝑸 𝟒𝜺𝟎𝒂𝟐 ∗ (−𝟏)) 𝒋 − (− 𝒒𝑸 𝟒𝝅𝟐𝜺𝟎𝒂𝟐 ∗ 𝟏 ) 𝒋 �⃗⃗� = ( 𝒒𝑸 𝟒𝜺𝟎𝒂𝟐 ) 𝒋 + ( 𝒒𝑸 𝟒𝝅𝟐𝜺𝟎𝒂𝟐 ) 𝒋 �⃗⃗� = ( 𝒒𝑸 𝟐𝝅𝟐𝜺𝟎𝒂𝟐 ) 𝒋 X Leonir Josafat Guembarski
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