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Exercício 7 cap 2, Moysés Nussenzveig

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Uma carga Q é distribuída uniformemente sobre um fio semicircular de raio a. 
Calcule a força com que atua sobre uma carga de sinal oposto -q colocada no 
centro 
. 
Arco carregado com carga Q e densidade ƛ 
Cada elemento de comprimento dl do arco carregado com carga dQ faz uma 
força sobre a carga (-q). 
Sendo r a distância entre dQ e -q. 
Então: 
𝒅𝑸 = ƛ𝒅𝒍 
ƛ
𝟐
= 
𝑸
𝟐𝝅𝒂
 
ƛ = 
𝑸
𝝅𝒂
 
𝒅𝒍 = 𝒂𝒅𝜽 
𝒅𝑸 =
𝑸. 𝒂𝒅𝜽
𝝅𝒂
 
𝒅𝑸 =
𝑸.𝒅𝜽
𝝅
 
em coordenadas polares: 
x = a.cos ө na direção i 
y = a.sen ө na direção j 
𝒅𝑭 = 
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒒𝒅𝑸
𝒓𝟐
 
𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚² 
𝒓𝟐 = 𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋 
𝒅�⃗⃗� = 
𝒒𝒅𝑸
𝟒𝝅𝜺𝟎
 
𝟏
(𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋)
 
Geometricamente resta apenas uma componente de força resultante, ou seja, 
F.senө na direção j. 
 
𝒅�⃗⃗� = 
𝒒𝒅𝑸
𝟒𝝅𝜺𝟎
 
𝟏
(𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋)
. 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 
𝒔𝒆𝒏𝜽 = 
𝒚
𝒓
 
𝒔𝒆𝒏𝜽 = 
𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋
√(𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋)
 
𝒅�⃗⃗� = 
𝒒𝒅𝑸
𝟒𝝅𝜺𝟎
 
𝟏
(𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋)
.
𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋
√(𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋)
 
𝒅�⃗⃗� = 
𝒒𝒅𝑸
𝟒𝝅𝜺𝟎
 
𝟏
(𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒂²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋)
𝟑
𝟐
. 𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 
 
𝒅�⃗⃗� = 
𝒒𝒅𝑸
𝟒𝝅𝜺𝟎
 
𝟏
[𝒂²(𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋)
𝟑
𝟐]
. 𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 
 
 
𝒅�⃗⃗� = 
𝒒𝒅𝑸
𝟒𝝅𝜺𝟎
 
𝟏
𝒂³(𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋)
𝟑
𝟐
. 𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 
𝒅�⃗⃗� = 
𝒒𝒅𝑸
𝟒𝝅𝜺𝟎
 
𝟏
𝒂²(𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋)
𝟑
𝟐
. 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 
𝒅�⃗⃗� = 
𝒒𝒅𝑸
𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂²
 
𝟏
(𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋)
𝟑
𝟐
. 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 
Como 
𝒅𝑸 =
𝑸.𝒅𝜽
𝝅
 
 
𝒅�⃗⃗� = 
𝒒𝑸
𝟒𝝅²𝜺𝟎𝒂²
 
𝒅𝜽
(𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒋)
𝟑
𝟐
. 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒋 
Mas 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒊 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒋 = 𝟏 , então 
𝒅�⃗⃗� = 
𝒒𝑸
𝟒𝝅²𝜺𝟎𝒂²
 . 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒅𝜽. 𝒋 
Portanto 
�⃗⃗� = ∫
𝒒𝑸
𝟒𝝅²𝜺𝟎𝒂²
 . 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒅𝜽. 𝒋
𝝅
𝟎
 
�⃗⃗� = 
𝒒𝑸
𝟒𝝅²𝜺𝟎𝒂²
∫ 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒅𝜽. 𝒋
𝝅
𝟎
 
�⃗⃗� = 
𝒒𝑸
𝟒𝝅𝟐𝜺𝟎𝒂𝟐
∗ (−𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒋) |
𝝅
𝟎
 
 
�⃗⃗� = (− 
𝒒𝑸
𝟒𝝅𝟐𝜺𝟎𝒂𝟐
∗ 𝒄𝒐𝒔𝝅. 𝒋 ) − (−
𝒒𝑸
𝟒𝝅𝟐𝜺𝟎𝒂𝟐
∗ 𝒄𝒐𝒔𝟎. 𝒋 ) 
 
 
 �⃗⃗� = (− 
𝒒𝑸
𝟒𝜺𝟎𝒂𝟐
∗ (−𝟏)) 𝒋 − (− 
𝒒𝑸
𝟒𝝅𝟐𝜺𝟎𝒂𝟐
∗ 𝟏 ) 𝒋 
 
�⃗⃗� = ( 
𝒒𝑸
𝟒𝜺𝟎𝒂𝟐
) 𝒋 + ( 
𝒒𝑸
𝟒𝝅𝟐𝜺𝟎𝒂𝟐
 ) 𝒋 
 
�⃗⃗� = ( 
𝒒𝑸
𝟐𝝅𝟐𝜺𝟎𝒂𝟐
) 𝒋 
X
Leonir Josafat Guembarski

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