Lógica Proposicional

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LÓGICA FORMAL
CÁLCULO PROPOSICIONALCÁLCULO PROPOSICIONAL
Conteúdo de LógicaConteúdo de Lógica
Õ /• APLICAÇÕES: FORTRAN 90/95
• Conceito Básicos: proposições e notaçãop p ç ç
• Valores lógicos das proposições
• Proposições simples e proposições• Proposições simples e proposições 
compostas
ló• Conectivos lógicos
• Tabela‐verdade
• Tautologia, contradição e contigência
• Equivalências tautológicas• Equivalências tautológicas
Aplicações computacionais
Fortran 90/95
print *,'Digite a nota do aluno: '
read *,    p1,p2
/media=(p1+p2)/2.
if(media>=6.0) then
print *, 'O aluno foi aprovado.'
else
if((media>=2.0).and.(nota<6.0) ) then
print *,'O aluno deve fazer P3.'
else
print *,'O aluno foi reprovado.'
d fendif
endif
Aplicações computacionaisAplicações computacionais
Bloco de decisão
if (( < ) d t (( < ) d ( < 1000)))if ((x < y) and not ((x < y) and (z < 1000)))
faça AlgumaCoisa;ç g
else
faça OutraCoisa;faça OutraCoisa;
endif
Conceitos BásicosConceitos Básicos
Conceitos de ProposiçãoConceitos de Proposição
Proposição
• Chamaremos de proposição ou sentença, a todo 
conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um 
pensamento de sentido completo.pensamento de sentido completo.
• As proposições podem assumir os valores falso ou 
verdadeiro
– Elas expressam a descrição de uma realidade
E emplosExemplos:
a) A FATEC‐Ipiranga fica em São Paulo.
b) O Brasil é um País da América do Sulb) O Brasil é um País da América do Sul.
c) A Bahia é um estado do sul do Brasil.
d) 2<3d) 2<3
e) 2 + 3 = 5
f)  7*15/5 – 6 **2 = ‐15 ) /
Assim, temos:Assim, temos:
) “A FATEC I i fi Sã P l ” éa) “A FATEC‐Ipiranga fica em São Paulo” é uma 
proposição verdadeira.
b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma 
proposição verdadeira.
c) “A Bahia é um estado do sul do Brasil”, é uma 
proposição falsa.
d) “2<3” é uma proposição verdadeira.
e) “2 + 3 = 5” é uma proposição verdadeirae)  2 + 3 = 5  é uma proposição verdadeira.
f)  “7*15/5 – 6 **2 = ‐15” é uma proposição 
d d iverdadeira.
Princípios Fundamentais das Proposições
1) Princípio da contradição
Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação daDadas duas proposições contraditórias (uma é negação da
outra), uma delas é falsa.
2) Princípio da não‐contradição
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo
3) Princípio do terceiro excluído
tempo.
Uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo
outra alternativa, isto é, verifica‐se sempre um desses casos e
nunca um terceiro.nunca um terceiro.
O que não é uma Proposição?O	que	não	é	uma	Proposição?
 Sentenças exclamativas: “Caramba!”, “Feliz aniversário!”,
“Feliz Ano Novo!”.
 Sentenças interrogativas: “Como é seu nome?”, “O jogo
i d t ?”saiu de quanto?”
S i i “E d i ” “L i l li ” Sentenças imperativas: “Estude mais”, “Leia aquele livro”.
d d “ l é b ” Sentenças com sujeito indeterminado: “Ela é bonita”.
 Sentenças matemáticas abertas: “x > 2”.
Proposições simples e compostas
Notações
PROPOSIÇÕES SIMPLES OU ATÔMICASPROPOSIÇÕES SIMPLES OU ATÔMICAS
PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)
Proposição que NÃO contém nenhuma outra 
i ã t i t t d iproposição como parte integrante de si mesmo. 
Minha casa é grande.
S lh ã iSeus olhos são azuis.
Está calorEstá calor.
PROPOSIÇÕES SIMPLES OU ATÔMICASPROPOSIÇÕES SIMPLES OU ATÔMICAS
Sã d i d l l t l ti
PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS): NOTAÇÃO
São designadas pelas letras latinas 
minúsculas p,q,r,s,..., p,q, , , ,
chamadas letras proposicionais.
p:  Minha casa é grande.
q:  Seus olhos são azuis.
E tá lr:  Está calor.
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OUMOLECULARESPROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES
PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULAS)
Formada pela combinação de 2 ou mais 
ÕPROPOSIÇÕES SIMPLES.
Minha casa é grande e meu carro é azul.
Seus olhos são azuis ou verdes.
Se está calor, então é verão.
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OUMOLECULARESPROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES
São designadas pelas letras latinas
PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULAS)
São designadas pelas letras latinas 
maiúsculas P,Q,R,S,..., 
chamadas letras proposicionais.
P:  Minha casa é grande e meu carro é azul.
Q S lh ã i dQ: Seus olhos são azuis ou verdes.
R: Se está calor então é verãoR:  Se está calor, então é verão.
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OUMOLECULARESPROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES
Também chamadas de
PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULAS)
Também chamadas de 
fórmulas proposicionais ou fórmulas.
Notação:
P(q,r,s) – significa que P 
é dé uma proposição composta das 
proposições atômicas q,r e s.proposições atômicas q,r e s.
NOTAÇÃO
V(p): Valor lógico da proposição atômica p.
V(p) = V  ou  V(p) =F
V(P): Valor lógico da proposição molecular PV(P): Valor lógico da proposição molecular P.
V(P) = V ou V(P) = FV(P)   V  ou  V(P)   F
Proposições Compostas e os 
Conectivos Lógicos
i õ i l• Proposições simples:
a: A FATEC‐Ipiranga fica em São Paulo.p g
b: O Brasil é um País da América do Sul.
• Proposição composta:
P = “A FATEC‐Ipiranga fica em São Paulo” e “o 
Brasil é um País da América do Sul”.
simbolicamente: P = a ^ bsimbolicamente: P = a ^ b
Conectivos LógicosConectivos Lógicos
Usados para formar novas 
i õ i dproposições a partir de outras.
E OU NÃOOU...OU...OU...OU...
SE ...SE ESE...
ENTÃO...
...SE E 
SOMENTE SE...
Notação dos Conectivos LógicosNotação dos Conectivos Lógicos
• Negação: ‘,¯,~, ¬, !, “\+” , .NOT., NOR;
• Conjunção (conectivo “e”): ٨, •, &, “,”, .AND.;
• Disjunção inclusiva (conectivo “ou”): ٧, + “;”, .OR.;
• Disjunção exclusiva (conectivo, “ou...ou...”): v , XOR
• Condicional ( “condição”): , ,“:-” ,IF...THEN;
• Bicondicional (“se, e somente se”): ,  ou “=” .
• Obs:. Os símbolos entre aspas são usados em PROLOG.
Exercícios: converter em linguagem
símbolica formal
P: Minha casa é grande e meu carro é azulP:  Minha casa é grande e meu carro é azul.
Q: Seus olhos são azuis ou verdesQ: Seus olhos são azuis ou verdes.
R:  Se está calor então é verão.
S:  Não está chovendo.
T: O triângulo é equilátero se e 
somente se é equiângulo.
NomenclaturaNomenclatura
• A lua é quadrada e a neve é branca.
p  q (p e q são chamados conjuntos)
• A lua é quadrada ou a neve é branca.
p  q (p e q são chamados disjuntos)p  q (p e q são chamados disjuntos)
• Se a lua é quadrada então a neve é branca• Se a lua é quadrada então a neve é branca.
p q (p é o antecedente e q o consequente)
• A lua é quadrada se e somente se a neve é branca.: p q
l é• A lua não é quadrada.: ~p
ANÁLISE DA PRECEDÊNCIA ( d ã há ê t )
Conectivos lógicos
ANÁLISE DA PRECEDÊNCIA (quando não há parênteses):
1. ~ (negação)
2 (e ou)2.  ,  (e, ou)
3.  (Se ... Então)
4.  (Se e somente se)
Padronização da seqüência lógica
das  operações
OBS: Geralmente as expressões vêm com parênteses para evitar 
possíveis ambiguidades quando por exemplo os conectivospossíveis ambiguidades, quando, por exemplo, os conectivos 
lógicos são iguais.
Ex. Como interpretar a expressão:Ex. Como interpretar a expressão:
p  q  s  ~r ?
E a expressão:
p  q  r ?
(ESTA NÃO PRECISA DE PARÊNTESES)
p  q  r ?
(ESTA PRECISA DE PARÊNTESES)
( ), servem para denotar o "alcance" dos conectivos.
Exemplos: p: a lua é quadrada e q: a neve é brancaExemplos: p: a lua é quadrada e q: a neve é branca
∙ Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é
quadrada.:
((p  q) (~p))((p q) ( p))
∙ A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca.:
(( ) )((~p)  q)
Sejam as proposições p e q, traduzir para a
linguagem corrente as seguintes proposições:
1 p: Está frio e q: Está Chovendo1. p: Está frio e q: Está Chovendo.
a) ~p b) p ^ q c)p v q d) q  p e) p  ~q
f) p v ~q g) ~p ^ ~q h) p  ~q i) (p ^ ~q) p) p q g) p q ) p q ) (p q) p
2. p: Jorge é rico e q: Carlos é feliz.
a) q p b) p v ~q c) q ~p d) ~p q e) ~~pa) q  p b) p v q c) q  p d) p  q e) p 
f) (~p ^ q)  p
3 p: Claudio fala inglês e q: Claudio fala alemão3. p: Claudio fala inglês e q: Claudio fala alemão.
a) q v p b) p ^ q c) p ^ ~q d) ~p ^ ~q e) ~~p 
f) ~(~p ^ ~q) ) ( p q)
4. p: João é gaúcho e q: Jaime é paulista.
a) ~(~p ^ ~q) b) ~~p c) ~(~p v ~q) d) p ~q e) ~p ~qa) ~(~p ~q) b) ~~p c) ~(~p v ~q) d) p  ~q e) ~p  ~q 
f) ~(~q  p) 
Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as
seguintes proposições:
a) Marcos é alto e elegante
5. p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante.
b) Marcos é alto, mas não é elegante
c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante
d) Marcos não é nem alto e nem elegante
e) Marcos é alto ou é baixo e elegante) g
f) É falso que Marcos é baixo ou não é elegante
6. p: Suely é rica e q: Suely é feliz.
a) Suely é pobre, mas feliz) y p ,
b) Suely é rica ou infeliz
c) Suely é pobre e infelizc) Sue y é pob e e e
d) Suely é pobre ou rica, mas infeliz
Sejam as proposições p e q, traduzir para a
linguagem simbólica as seguintes proposições:
7. p: Carlos fala francês e q: Carlos fala inglês
e r: Carlos fala alemão
a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão
e r: Carlos fala alemão.
b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão 
c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemãoc) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão
d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não
f f êfala francês
Traduzir para a linguagem simbólica as
seguintes proposições matemáticas:
8. a) x = 0 ou x > 0 b) x  0 ou y  0
c) x > 1 ou x + y > 0 d) x2 = x x ou x0 = 1c) x > 1 ou x + y > 0 d) x = x . x ou x = 1
9 a) (x + y = 0 e z > 0) ou z = 09. a) (x + y = 0 e z > 0) ou z = 0
b) x = 0 e (y + z > x ou z = 0)
c) x  0 ou (x = 0 e y < 0 e z = 0)
d) x + y = 0 e (z > 0 ou z = 0)
Traduzir para a linguagem simbólica as
seguintes proposições matemáticas:
10. a) Se x > 0 então y = 2
b) Se x + y = 2 então z > 0b) Se x + y = 2 então z > 0
c) Se x = 1 ou z = 2 então y > 1
d) Se z > 5 então x  1 e x  2
e) Se x  y então x + z > 5 e y + z < 5
f) Se x + y > z e z = 1 então x + y > 1f) Se x + y > z e z = 1 então x + y > 1
g) Se x < 2 então x = 1 ou x = 0
h) Se y = 4 e se x < y então x < 5
GabaritoGabarito
1.
a) Não está frioa) Não está frio
b) Está frio e está chovendo
c) Está frio ou está chovendoc) Está frio ou está chovendo
d) Está chovendo se e somente se está frio
e) Se está frio, então não está chovendoe) Se está frio, então não está chovendo
f) Está frio ou não está chovendo
g) Não está frio e não está chovendog) Não está frio e não está chovendo
h) Está frio se e somente se não está chovendo
i) Se está frio e não está chovendo, então está frioi) Se está frio e não está chovendo, então está frio
GabaritoGabarito
2.
a) Se Carlos é feliz então Jorge é ricoa) Se Carlos é feliz, então Jorge é rico
b) Jorge é rico ou Carlos não é feliz
c) Carlos é feliz se e somente se Jorge não é ricoc) Carlos é feliz se e somente se Jorge não é rico
d) Se Jorge não é rico, então Carlos é feliz
e) Não é verdade que Jorge não é ricoe) Não é verdade que Jorge não é rico
f) Se Jorge não é rico, e Carlos é feliz, então Jorge é 
ricorico
GabaritoGabarito
3.
a) Cláudio fala alemão ou inglêsa) Cláudio fala alemão ou inglês
b) Cláudio fala inglês e alemão
c) Cláudio fala inglês mas não alemãoc) Cláudio fala inglês, mas não alemão
d) Não é verdade que Cláudio fala inglês e alemão
e) Não é verdade que Cláudio não fala inglêse) Não é verdade que Cláudio não fala inglês
f) Não é verdade que Cláudio não fala inglês e nem
alemãoalemão
GabaritoGabarito
4.
a) Não é verdade que João não é gaúcho e Jaimea) Não é verdade que João não é gaúcho e Jaime
não é paulista
b) Não é verdade que João não é gaúchob) Não é verdade que João não é gaúcho
c) Não é verdade que João não é gaúcho ou que
Jaime não é paulistaJaime não é paulista
d) Se João é gaúcho, então Jaime não é paulista
e) Se João não é gaúcho então Jaime não é paulistae) Se João não é gaúcho então Jaime não é paulista
f) Não é verdade que, se Jaime não é paulista, então
João é gaúchoJoão é gaúcho
GabaritoGabarito
55.
a) p ^ q b) p ^ ~q c) ~(~p v q)) p q ) p q ) ( p q)
d) ~p ^ ~q e) p v (~p ^ q) f) ~(~p v ~q)
66.
a) ~p ^ q b) p v ~q) p q ) p q
c) ~p ^ ~q d) (~p v q) ^ ~q
GabaritoGabarito
7.
a) (p v q) ^ ~r b) (p ^ q) v ~(p ^ r)a) (p v q) ~r b) (p q) v ~(p r)
c) ~(p ^ ~r) d) ~((q v r) ^ ~p)) (p ) ) ((q ) p)
8. 
a) x = 0 v x > 0 b) x  0 v y  0a) x = 0 v x > 0 b) x  0 v y  0
c) x > 1 v x + y > 0 d) x2 = x . x v x0 = 1) y )
GabaritoGabarito
9.
a)(x + y = 0 ^ z > 0) v z = 0a)(x + y = 0 ^ z > 0) v z = 0
b) x = 0 ^ (y + z > x v z = 0)) (y )
c) x  0 v (x = 0 ^ y < 0 ^ z = 0)
d) (x + y = 0 ^ z > 0) v z = 0
GabaritoGabarito
10.
a) x > 0 y = 2
b) x + y = 2 z > 0b) x y 2 z 0
c) x = 1 v z = 2 y > 1
d) > 5 1 ^ 2d) z > 5 x  1 ^ x  2
e) x  y x + z > 5 ^ y + z < 5
f) (x + y > z ^ z = 1) x + y > 1
g) x < 2 x = 1 v x = 0g) x 2 x 1 v x 0
h) (y = 4 v x < y) x < 5
h) 4 ^ ( < < 5)h) y = 4 ^ (x < y x < 5)
Tabela-verdadeTabela verdade
A TABELA-VERDADE é um recurso utilizado
para determinar todos os possíveis valorespara determinar todos os possíveis valores
lógicos de uma proposição composta, a partir
de todas as possíveis atribuições de valoresde todas as possíveis atribuições de valores
lógicos dados às proposições simples que a
compõemcompõem.
O resultado depende do conectivo que gera a
proposição composta Conectivos diferentesproposição composta. Conectivos diferentes
geram tabelas-verdade diferentes.
Tabela-verdadeTabela verdade
Seja p e q 2 átomos. Os valores lógicos possíveisSeja p e q 2 átomos. Os valores lógicos possíveis
para cada um deles é:para cada um deles é:
p
1 V
q
1 V1
2
V
F
1
2
V
F
Tabela-verdadeTabela verdade
Seja P uma molécula: P(p,q). 
A tabela verdade para P é:
Seja P uma molécula: P(p,q). 
A tabela verdade para P é:A tabela-verdade para P é:A tabela-verdade para P é:
p q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
Tabela-verdadeTabela verdade
Seja Q uma molécula: Q(p,q,r). Seja Q uma molécula: Q(p,q,r). 
p q r
1 V V V
2 V V F2 V V F 
3 V F V 
4 V F F4 V F F
5 F V V
6 F V F6 F V F
7 F F V
8 F F F8 F F F
OperaçõesOperações LógicasLógicasOperações	Operações	LógicasLógicas
e	seus	valores	lógicose	seus	valores	lógicosgg
 Depende de duas coisas:p
 Valor lógico das proposições componentes;
 Tipo de conectivo que as une.p q
 Operações Lógicas
ã ( )1 – Negação ( ~ ):
p: Chove na cidadep:  Chove na cidade.
~ p:  Não chove na cidade.
Tabela verdade da negação
p ~ p
V FV F
F V
2 Conjunção ( )2 – Conjunção (  ):
É o ato de criar uma proposição composta a partir de duasp p ç p p
ou mais proposições, unindo-as pelo conectivo e.
Ex:
Valores lógicos:
•V: se p e q têm o valor lógico VEx:
p: Lula é inocente.
q: Maluf é um santo.
V:    se p e q têm o valor lógico V  
simultaneamente.
• F:    demais casos
pq: Lula é inocente e Maluf é um santo.
p q pq
Tabela Verdade:
V V V
V F F
F V FF V F
F F F
Valores lógicos:
•V:    se p ou q tem o valor lógico 
3 – Disjunção (  ):
p q g
V (simultaneamente ou não).
• F:demais casos
Ex:
p: Judas é culpado.
q: Rubens é veloz.
q J d é l d R b é lpq: Judas é culpado ou Rubens é veloz.
Tabela Verdade:
p q pq p q pq
V V V V V V
Tabela Verdade:
V V V
V F F V F V
F V F F V VF V V
F F F F F F
Valores lógicos:
•V:    se p e q não têm o mesmo valor 
lógico
4 ‐ Disjunção exclusiva (  ):
lógico.
• F:    demais casos
4 Disjunção exclusiva  (  ):
P : Carlos é médico ou professor (disjunção inclusiva )
Q: José é (ou) acreano ou gaúcho (disjunção exclusiva )
Tabela Verdade:
p q p  q
V V F
Tabela Verdade:
V V F
V F V
F V V
F F F
5 – Condicional ( ): Se ... então
Ex 1:
p: Choveu agora pouco
Valores lógicos:
• F:    se p é verdadeira e q é falsa
q: A rua está molhada
p  q: Se choveu agora pouco então a rua está molhada.
•V:    demais casos.
Ex 2:
p  q: Se Jorge é engenheiro, então sabe matemática.
p q p q
Tabela ‐ verdade
p q p  q
V V V
V F F
F V V
F F V
6 – Bicondicional (  ): Se, e somente se
Valores lógicos:
p: Um número é par
q: Um número é divisível por 2
Valores lógicos:
• V: se p e q têm o mesmo valor lógico
• F: se p e q têm o valores lógicos diferentes
p q: Um número é par se, e só se for divisível por 2
Ex 2:
O t iâ l ABC é ilát t fp  q: O triângulo ABC é equilátero se, e somente se for
equiângulo.
p q p q
Tabela ‐ verdade
p q p  q
V V V
V F F
F V F
F F V
depoiseformallógicadenotaçãoemsproposiçõeasConverta1
EXERCÍCIOS
13ou13b)24e13a)
compostas. sproposiçõe seguintes das lógico valor o determine
depoiseformal lógicadenotaçãoemsproposiçõe as Converta .1
 V V
 14242d)11531)
13ou 13 b) 24 e 13 a)  V
V
V
V 142ou 4 2 d) 11 5ou 
42
 c)  V V
  73 e 3.23.52)3(5 f) )2(2 e 11 e) 756  F F
 
Ir Ir 1,333... se g)  então V
 2(2,8)mmcse somentese82 h)  F
abaixo. proposição cada de lógico valor o 
determine falsa, ér e as verdadeirsão q e p que Admitindo .2
pr c) qp b) r p a) 
F V V
 
r)(qpf) r)(qpe) qr)(pd) 
V F F
  )~(~p~ri) r p~h) q~p~g) rq
V V V
3. Ex – Considere as proposições a seguir e as a:
p:    sen²θ + cos²θ = 1  
q:      < 2.  
Determinar o valor lógico das seguintes proposições compostas:
( ) ( ) ( ) (b) (p q)  ~p ~q(a)   (~p  q )  ( p  ~q )
p e q  são proposições falsas. Logo: p = F 
q = F
(b) (p  q)  p  q
p = F  
q = F
q
~p = V
~q = V
~p = V
~q = V (p  q ) = (F  F) = V
(~p  q )  = (V  F) = F
( p  ~q ) = (F  V) = F
(p  q)  ~p = V  V = V
Portanto
( ) V V VPortanto
(~p  q )  ( p  ~q ) = (F)  (F) = F
(p  q)  ~p  ~q = V  V = V.
TABELAS‐VERDADE PARA
PROPOSIÇÕES COMPOSTASÇ
Dadas várias proposições simples  p,  q,  r, ..., estas 
podem ser combinadas pelos conectivos lógicos
~,  , , , , 
resultando em proposições compostas P, Q, R, tais como:
P(p,q) = ~p  (p  q)
Q(p,q) = (p ~ q)  qQ(p,q) (p   q)  q
R(p,q,r) = (p  ~q  r)  ~(q  (p  ~r))
Então, conhecendo-se as tabelas verdades das operações 
fundamentais, mostradas na aula anterior, é possível construir a 
tabela verdade de qualquer proposição composta.
Ambigüidades para expressões sem parênteses:
Exemplo:  Seja a proposição:  p  q  r.    Será que   (p  q)  r equivale a  p  (q  r)   ?
(p  q)  r p q r (p  q)(p q) p q (p q)
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F VF F V
F F F
p  (q  r) p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F VF F V
F F F
Ambigüidades para expressões sem parênteses:
Exemplo:  Seja a proposição:  p  q  r.    Será que   (p  q)  r equivale a  p  (q  r)   ?
(p  q)  r p q r (p  q)(p q) p q (p q)
V V V V
V V F V
V F V F
V F F F
F V V F
F V F F
F F V FF F V F
F F F F
p  (q  r) p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F VF F V
F F F
Ambiguidades para expressões sem parênteses:
Exemplo:  Seja a proposição:  p  q  r.    Será que   (p  q)  r equivale a  p  (q  r)   ?
(p  q)  r p q r (p  q)(p q) p q (p q)
V V V V
V V F V
V F V F
V F F F
F V V F
F V F F
F F V FF F V F
F F F F
p  (q  r) p q r (qr)
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F VF F V
F F F
Ambigüidades para expressões sem parênteses:
Exemplo:  Seja a proposição:  p  q  r.    Será que   (p  q)  r equivale a  p  (q  r)   ?
(p  q)  r p q r (p  q)(p q) p q (p q)
V V V V
V V F V
V F V F
V F F F
F V V F
F V F F
F F V FF F V F
F F F F
p  (q  r) p q r (qr)
V V V V
V V F V
V F V V
V F F F
F V V V
F V F V
F F V VF F V V
F F F F
Ambigüidades para expressões sem parênteses:
Exemplo:  Seja a proposição:  p  q  r.    Será que   (p  q)  r equivale a  p  (q  r)   ?
(p  q)  r p q r (p  q) (p  q)  r(p q) p q (p q) (p q)
V V V V
V V F V
V F V F
V F F F
F V V F
F V F F
F F V FF F V F
F F F F
p  (q  r) p q r (qr)
V V V V
V V F V
V F V V
V F F F
F V V V
F V F V
F F V VF F V V
F F F F
Ambigüidades para expressões sem parênteses:
Exemplo:  Seja a proposição:  p  q  r.    Será que   (p  q)  r equivale a  p  (q  r)   ?
(p  q)  r p q r (p  q) (p  q)  r(p q) p q (p q) (p q)
V V V V V
V V F V V
V F V F V
V F F F F
F V V F V
F V F F F
F F V F VF F V F V
F F F F F
p  (q  r) p q r (qr)
V V V V
V V F V
V F V V
V F F F
F V V V
F V F V
F F V VF F V V
F F F F
Ambigüidades para expressões sem parênteses:
Exemplo:  Seja a proposição:  p  q  r.    Será que   (p  q)  r equivale a  p  (q  r)   ?
(p  q)  r p q r (p  q) (p  q)  r(p q) p q (p q) (p q)
V V V V V
V V F V V
V F V F V
V F F F F
F V V F V
F V F F F
F F V F VF F V F V
F F F F F
p  (q  r) p q r (qr) p  (q  r)
V V V V
V V F V
V F V V
V F F F
F V V V
F V F V
F F V VF F V V
F F F F
Ambigüidades para expressões sem parênteses:
Exemplo:  Seja a proposição:  p  q  r.    Será que   (p  q)  r equivale a  p  (q  r)   ?
(p  q)  r p q r (p  q) (p  q)  r(p q) p q (p q) (p q)
V V V V V
V V F V V
V F V F V
V F F F F
F V V F V
F V F F F
F F V F VF F V F V
F F F F F
p  (q  r) p q r (qr) p  (q  r)
V V V V V
V V F V V
V F V V V
V F F F F
F V V V F
F V F V F
F F V V FF F V V F
F F F F F
l1 – Exemplo
a) Construir a tabela verdade da proposição  P(p, q)  =  ~(p  ~q)
1ª f d l ã1ª forma de resolução
Lembre-se que  == conjunção (e / and)
~ == negação (inversão / not)
p q
V V
V FV F
F V
F F
l1 – Exemplo
a) Construir a tabela verdade da proposição  P(p, q)  =  ~(p  ~q)
1ª f d l ã1ª forma de resolução
Lembre-se que  == conjunção (e / and)
~ == negação (inversão / not)
p q ~q
V V
V FV F
F V
F F
l1 – Exemplo
a) Construir a tabela verdade da proposição  P(p, q)  =  ~(p  ~q)
1ª f d l ã1ª forma de resolução
Lembre-se que  == conjunção (e / and)
~ == negação (inversão / not)
p q ~q
V V F
V F VV F V
F V F
F F V
l1 – Exemplo
a) Construir a tabela verdade da proposição  P(p, q)  =  ~(p  ~q)
1ª f d l ã1ª forma de resolução
Lembre-se que  == conjunção (e / and)
~ == negação (inversão / not)
p q ~q p  ~q
V V F
V F VV F V
F V F
F F V
l1 – Exemplo
a) Construir a tabela verdade da proposição  P(p, q)  =  ~(p  ~q)
1ª f d l ã1ª forma de resolução
Lembre-se que  == conjunção (e / and)
~ == negação (inversão / not)
p q ~q p  ~q
V V F F
V F V VV F V V
F V F F
F F V F
l1 – Exemplo
a) Construir a tabela verdade daproposição  P(p, q)  =  ~(p  ~q)
1ª f d l ã1ª forma de resolução
Lembre-se que  == conjunção (e / and)
~ == negação (inversão / not)
p q ~q p  ~q ~(p  ~q)
V V F F
V F V VV F V V
F V F F
F F V F
l1 – Exemplo
a) Construir a tabela verdade da proposição  P(p, q)  =  ~(p  ~q)
1ª f d l ã1ª forma de resolução
Lembre-se que  == conjunção (e / and)
~ == negação (inversão / not)
p q ~q p  ~q ~(p  ~q)
V V F F V
V F V V FV F V V F
F V F F V
F F V F V
2‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:2‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q)  = ( p  ~q )  p  q
LEMBRANDO A PRECED.:
1. ~         (negação)Observando a precedência, temos:
2.  ,  (e, ou)
3.  (Se ... Então)
4.  (Se e somente se)
P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)
p q
V V
V F
F V
F F
Exemplo: determinar P(VV) e P(V F)Exemplo: determinar P(V,V) e P(V,F)
Pela tabela verdade, temos: P(V,V) = F    e    P (V,F) = F.
2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q)  = ( p  ~q )  p  q
LEMBRANDO A PRECED.:
1. ~         (negação)Observando a precedência, temos:
2.  ,  (e, ou)
3.  (Se ... Então)
4.  (Se e somente se)
P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)
p q ~q
V V
V F
F V
F F
Exemplo: determinar P(VV) e P(V F)Exemplo: determinar P(V,V) e P(V,F)
Pela tabela verdade, temos: P(V,V) = F    e    P (V,F) = F.
2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q)  = ( p  ~q )  p  q
LEMBRANDO A PRECED.:
1. ~         (negação)Observando a precedência, temos:
2.  ,  (e, ou)
3.  (Se ... Então)
4.  (Se e somente se)
P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)
p q ~q
V V F
V F V
F V F
F F V
Exemplo: determinar P(VV) e P(V F)Exemplo: determinar P(V,V) e P(V,F)
Pela tabela verdade, temos: P(V,V) = F    e    P (V,F) = F.
2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q)  = ( p  ~q )  p  q
LEMBRANDO A PRECED.:
1. ~         (negação)Observando a precedência, temos:
2.  ,  (e, ou)
3.  (Se ... Então)
4.  (Se e somente se)
P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)
p q ~q ( p  ~q )
V V F
V F V
F V F
F F V
Exemplo: determinar P(VV) e P(V F)Exemplo: determinar P(V,V) e P(V,F)
Pela tabela verdade, temos: P(V,V) = F    e    P (V,F) = F.
2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q)  = ( p  ~q )  p  q
LEMBRANDO A PRECED.:
1. ~         (negação)Observando a precedência, temos:
2.  ,  (e, ou)
3.  (Se ... Então)
4.  (Se e somente se)
P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)
p q ~q ( p  ~q )
V V F F
V F V V
F V F V
F F V F
Exemplo: determinar P(VV) e P(V F)Exemplo: determinar P(V,V) e P(V,F)
Pela tabela verdade, temos: P(V,V) = F    e    P (V,F) = F.
2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q)  = ( p  ~q )  p  q
LEMBRANDO A PRECED.:
1. ~         (negação)Observando a precedência, temos:
2.  ,  (e, ou)
3.  (Se ... Então)
4.  (Se e somente se)
P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)
p q ~q ( p  ~q ) ( p  q )
V V F F
V F V V
F V F V
F F V F
Exemplo: determinar P(VV) e P(V F)Exemplo: determinar P(V,V) e P(V,F)
Pela tabela verdade, temos: P(V,V) = F    e    P (V,F) = F.
2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q)  = ( p  ~q )  p  q
LEMBRANDO A PRECED.:
1. ~         (negação)Observando a precedência, temos:
2.  ,  (e, ou)
3.  (Se ... Então)
4.  (Se e somente se)
P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)
p q ~q ( p  ~q ) ( p  q )
V V F F V
V F V V F
F V F V V
F F V F V
Exemplo: determinar P(VV) e P(V F)Exemplo: determinar P(V,V) e P(V,F)
Pela tabela verdade, temos: P(V,V) = F    e    P (V,F) = F.
2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q)  = ( p  ~q )  p  q
LEMBRANDO A PRECED.:
1. ~         (negação)Observando a precedência, temos:
2.  ,  (e, ou)
3.  (Se ... Então)
4.  (Se e somente se)
P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)
p q ~q ( p  ~q ) ( p  q ) ( p  ~q )  p  q
V V F F V
V F V V F
F V F V V
F F V F V
Exemplo: determinar P(VV) e P(V F)Exemplo: determinar P(V,V) e P(V,F)
Pela tabela verdade, temos: P(V,V) = F    e    P (V,F) = F.
2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:2 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q)  = ( p  ~q )  p  q
LEMBRANDO A PRECED.:
1. ~         (negação)Observando a precedência, temos:
2.  ,  (e, ou)
3.  (Se ... Então)
4.  (Se e somente se)
P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)P(p, q) = ( p  ~q )  (p  q)
p q ~q ( p  ~q ) ( p  q ) ( p  ~q )  p  q
V V F F V F
V F V V F F
F V F V V V
F F V F V F
3 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p q) = ~(p  q)  ~(q p)P(p, q)  =   (p  q)  (q  p)
p q
V V
V FV F
F V
Lembre-se que:
F F
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se e somente se (if and
only if).
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p q) = ~(p  q)  ~(q p)P(p, q)  =   (p  q)  (q  p)
p q p  q
V V
V FV F
F V
Lembre-se que:
F F
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se e somente se (if and
only if).
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p q) = ~(p  q)  ~(q p)P(p, q)  =   (p  q)  (q  p)
p q p  q
V V V
V F FV F F
F V F
Lembre-se que:
F F F
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se e somente se (if and
only if).
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p q) = ~(p  q)  ~(q p)P(p, q)  =   (p  q)  (q  p)
p q p  q ~(p  q)
V V V
V F FV F F
F V F
Lembre-se que:
F F F
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se e somente se (if and
only if).
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p q) = ~(p  q)  ~(q p)P(p, q)  =   (p  q)  (q  p)
p q p  q ~(p  q)
V V V F
V F F VV F F V
F V F V
Lembre-se que:
F F F V
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se e somente se (if and
only if).
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p q) = ~(p  q)  ~(q p)P(p, q)  =   (p  q)  (q  p)
p q p  q ~(p  q) q  p
V V V F
V F F VV F F V
F V F V
Lembre-se que:
F F F V
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se e somente se (if and
only if).
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p q) = ~(p  q)  ~(q p)P(p, q)  =   (p  q)  (q  p)
p q p  q ~(p  q) q  p
V V V F V
V F F V FV F F V
F V F V F
V
Lembre-se que:
F F F V V
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se e somente se (if and
only if).
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:P(p q) = ~(p  q)  ~(q p)P(p, q)  =   (p  q)  (q  p)
p q p  q ~(p  q) q  p ~(q  p)
V V V F V
V F F V FV F F V
F V F V F
V
Lembre-se que:
F F F V V
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se e somente se (if and
only if).
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p q) = ~(p  q)  ~(q p)P(p, q)  =   (p  q)  (q  p)
p q p  q ~(p  q) q  p ~(q  p)
V V V F V F
V F F V F VV F F V
F V F V F V
V F
Lembre-se que:
F F F V V F
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se e somente se (if and
only if).
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p q) = ~(p  q)  ~(q p)P(p, q)  =   (p  q)  (q  p)
p q p  q ~(p  q) q  p ~(q  p) ~(p  ~q)  ~(q  p)
V V V F V F
V F F V F VV F F V
F V F V F V
V F
Lembre-se que:
F F F V V F
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se e somente se (if and
only if).
3 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p q) = ~(p  q)  ~(q p)P(p, q)  =   (p  q)  (q  p)
p q p  q ~(p  q) q  p ~(q  p) ~(p  ~q)  ~(q  p)
V V V F V F F
V F F V F V VV F F V
F V F V F V V
V F V
Lembre-se que:
F F F V V F V
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se e somente se (if and
only if).
4 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  =  p  ~ r  q  ~ r
Lembre-se que:Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r
V V V
V V FV V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F VF F V
F F F
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  =  p  ~ r  q  ~ r
Lembre-se que:Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ~r
V V V
V V FV V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F VF F V
F F F
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  =  p  ~ r  q  ~ r
Lembre-se que:Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ~r
V V V F
V V F VV V F V
V F V F
V F F V
F V V F
F V F V
F F V FF F V F
F F F V
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  =  p  ~ r  q  ~ r
Lembre-se que:Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ~r p  ~ r
V V V F
V V F VV V F V
V F V F
V F F V
F V V F
F V F V
F F V FF F V F
F F F V
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  =  p  ~ r  q  ~ r
Lembre-se que:Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ~r p  ~ r
V V V F V
V V F V VV V F V V
V F V F V
V F F V V
F V V F F
F V F V V
F F V F FF F V F F
F F F V V
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  =  p  ~ r  q  ~ r
Lembre-se que:Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ~r p  ~ r q  ~ r
V V V F V
V V F V VV V F V V
V F V F V
V F F V V
F V V F F
F V F V V
F F V F FF F V F F
F F F V V
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  =  p  ~ r  q  ~ r
Lembre-se que:Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ~r p  ~ r q  ~ r
V V V F V F
V V F V V VV V F V V V
V F V F V F
V F F V V F
F V V F F F
F V F V V V
F F V F F FF F V F F F
F F F V V F
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  =  p  ~ r  q  ~ r
Lembre-se que:Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ~r p  ~ r q  ~ r p  ~ r  q  ~ r
V V V F V F
V V F V V VV V F V V V
V F V F V F
V F F V V F
F V V F F F
F V F V V V
F F V F F FF F V F F F
F F F V V F
4 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  =  p  ~ r  q  ~ r
Lembre-se que:Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not); negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ~r p  ~ r q  ~ r p  ~ r  q  ~ r
V V V F V F F
V V F V V V VV V F V V V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F F V F F F VF F V F F F V
F F F V V F F
5 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:5 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  = ( p  q )  ( q  r )  ( p  r )
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or); disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V VF V V
F V F
F F V
F F FF F F
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  = ( p  q )  ( q  r )  ( p  r )
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or); disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ( p  q )
V V V
V V F
V F V
V F F
F V VF V V
F V F
F F V
F F FF F F
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  = ( p  q )  ( q  r )  ( p  r )
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or); disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ( p  q )
V V V V
V V F V
V F V F
V F F F
F V V VF V V V
F V F V
F F V V
F F F VF F F V
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  = ( p  q )  ( q  r )  ( p  r )
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or); disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ( p  q ) ( q  r )
V V V V
V V F V
V F V F
V F F F
F V V VF V V V
F V F V
F F V V
F F F VF F F V
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  = ( p  q )  ( q  r )  ( p  r )
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or); disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ( p  q ) ( q  r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V V VF V V V V
F V F V F
F F V V V
F F F V VF F F V V
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  = ( p  q )  ( q  r )  ( p  r )
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or); disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);
 == se .... então(if .... then ). 
p q r ( p  q ) ( q  r ) ( p  r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V V VF V V V V
F V F V F
F F V V V
F F F V VF F F V V
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  = ( p  q )  ( q  r )  ( p  r )
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or); disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ( p  q ) ( q  r ) ( p  r )
V V V V V V
V V F V F F
V F V F V V
V F F F V F
F V V V V VF V V V V
F V F V F V
F F V V V V
F F F V V VF F F V V V
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  = ( p  q )  ( q  r )  ( p  r )
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or); disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ( p  q ) ( q  r ) ( p  r ) ( p  q )  ( q  r )
V V V V V V
V V F V F F
V F V F V V
V F F F V F
F V V V V VF V V V V
F V F V F V
F F V V V V
F F F V V VF F F V V V
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  = ( p  q )  ( q  r )  ( p  r )
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or); disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ( p  q ) ( q  r ) ( p  r ) ( p  q )  ( q  r )
V V V V V V V
V V F V F F F
V F V F V V F
V F F F V F F
F V V V V V VF V V V V V
F V F V F V F
F F V V V V V
F F F V V V VF F F V V V V
Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  = ( p  q )  ( q  r )  ( p  r )
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or); disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ( p  q ) ( q  r ) ( p  r ) ( p  q )  ( q  r ) P(p, q, r)  
V V V V V V V
V V F V F F F
V F V F V V F
V F F F V F F
F V V V V V VF V V V V V
F V F V F V F
F F V V V V V
F F F V V V VF F F V V V V
5 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:5 ‐ Ex ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  = ( p  q )  ( q  r )  ( p  r )
Lembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or); disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
p q r ( p  q ) ( q  r ) ( p  r ) ( p  q )  ( q  r ) P(p, q, r)  
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V V F V
V F F F V F F V
F V V V V V V VF V V V V V
F V F V F V F V
F F V V V V V V
F F F V V V V VF F F V V V V V
FAÇA VOCÊ
1 ‐ Construir a tabela verdade da proposição:p p ç
P(p, q, r)  = ( p  ( ~ q  r) )  ~ ( q  ( p  ~ r ) )
L bLembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);~ == negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
 == se e somente se (if and only if).
p q r
V V VV V V
V V F
V F V
V F FV F F
F V V
F V F
F F V
F F F
1 ‐ Construir a tabela verdade da proposição:1 ‐ Construir a tabela verdade da proposição:
P(p, q, r)  = ( p  ( ~ q  r) )  ~ ( q  ( p  ~ r ) )
L bLembre-se que: 
 == conjunção (e / and);
 == disjunção (ou / or);
~ == negação (inversão / not);~ == negação (inversão / not);
 == se .... então (if .... then ). 
 == se e somente se (if and only if).
p q r ~ q ( ~ q  r) p  ( ~ q  r) ~ r ( p  ~ r ) q  ( p  ~ r ) ~ ( q  ( p  ~ r ) ) P(p, q, r)
V V V F V V F F V F F
V V F F F F V V V F F
V F V V V V F F F V V
V F F V V V V V V F FV F F V V V V V V F F
F V V F V V F V V F F
F V F F F V V F V F F
F F V V V V F V V F FF F V V V V F V V F F
F F F V V V V F F V V
Exercícios
1) Construa a tabela verdade das seguintes 
i õproposições:
a) ~pq) p q
b) p(pq)
c) (pq)  (pq)
d) (~pr) (q~r)d) ( pr)  (q r)
e) (pq)r  (~p(q~r))
f) ( p  ( ~ q  r) )  ~ ( q  ( p  ~ r ) )
TautologiaTautologia
Contradição
Contingência
Tautologia
Moléculas que possuem cada uma delas o seu valor verdade 
sempre verdadeiro independentemente dos valores lógicos das 
proposições (átomos) que as compõem.
p q p  q  p ν q (p  q)( p ν q)
V V
V FV F
F V
Ernesto Massa
F F
Contradição
São moléculas que são sempre falsas, 
independentemente do valor lógico das proposições 
(átomos).
p p p ( p)p  p p  ( p)
V F F
F V F
Ernesto Massa
Contingência
• São moléculas que podem assumir valoresSão moléculas que podem assumir valores 
verdade ou verdadeiro ou falso dependendo 
do valor verdade de cada átomo que ado valor verdade de cada átomo que a 
compõe.
• A molécula deve apresentar na tabela verdade 
pelo MENOS um valor verdade FALSO, ou pelopelo MENOS um valor verdade FALSO, ou pelo 
menos um valor verdade VERDADEIRO.
Ernesto Massa
Implicação e EquivalênciaImplicação e Equivalência
C i di ã bi di ã i d l õ♦ Conetivos condição e bicondição induzem relações
entre equações proposicionais (fórmulas)
• Condição: implicação
• Bicondição: equivalência
♦ Importância destas relações
• Relação de implicação
relacionada com o conceito de teorema
• Relação de equivalênciaç q
“mesmo significado” entre fórmulas 
(sintaticamente) diferentes
Relação de EquivalênciaRelação de Equivalência
P Q fó lP e Q fórmulas
P  Q
P é equivalente a Q
se e somente se
P ↔ Q é uma tautologia
Duas proposições P e Q são logicamenteDuas proposições P e Q são logicamente 
equivalentes, se e somente se P↔Q for uma 
l i d átautologia. Nesse caso, pode‐se representá‐
las da seguinte maneira: P≡Q (PQ)
U i lê i ló i é• Uma equivalência lógica é: 
• Reflexiva: P ≡ P 
• Simétrica: se P ≡ Q , então Q ≡ P 
T i i P Q Q R ã P R• Transitiva: se P ≡ Q e Q ≡ R , então P ≡ R 
Propriedade DistributivaPropriedade Distributiva
Bicondição × Condição 
p ↔ q  (p → q)  (q → p)
Bicondição pode ser expressa por duas condições: ida e volta
Contraposição p→ q ¬q→ ¬pContraposição p → q  ¬q → ¬p
Dupla Negação (DN) 
P ≡ ~~P 
Tautologia (TAUT) 
P Λ P ≡ P 
P V P ≡ PP V P ≡ P 
Comutação (COM) 
P V Q ≡ Q V P
Associação (ASSOC) 
P V (Q V R) ≡ (P V Q) V RP V Q ≡ Q V P 
P Λ Q ≡ Q Λ P 
P V (Q V R) ≡ (P V Q) V R 
P Λ (Q Λ R) ≡ (P Λ Q) Λ R 
Distribuição (DIST)  Absorção (ABS) ç ( )
P Λ (Q V R) ≡ (P Λ Q) V (P Λ R) 
P V (Q Λ R) ≡ (P V Q) Λ (P V R) 
ç ( )
P Λ (P V Q) ≡ P 
P V (P Λ Q) ≡ P 
Leis de De Morgan (DM) 
~(P Λ Q) ≡ ~P V ~Q 
~(P V Q) ≡ ~P Λ ~Q 
Implicação Material (IM) 
P→ Q ≡ ~P V Q 
Transposição (TRANS) 
P→ Q ≡ ~Q →~P 
Exportação (EXP) 
(P ΛQ)→ R≡P→(Q→R) 
Bicondicional (BICOND) 
P↔ Q ≡ (P→ Q) Λ (Q→ P)
Idempotentes
P V P ≡ PP ↔ Q   (P→ Q) Λ (Q→ P) 
P ↔ Q ≡ (~P Λ ~Q) V (P Λ Q) 
P V P   P 
P Λ P ≡ P 
ExercíciosExercícios
1. Reescreva as proposições usando as 
equivalências indicadas: q
a) ~~C (DUPLA NEGAÇÃO: P ≡ ~~P) 
b) (X Λ Y) (DE MORGAN (P Λ Q) P V Q )b) ~(X Λ Y) (DE MORGAN: ~(P Λ Q) ≡ ~P V ~Q ) 
c) ~(~X Λ Y) (DE MORGAN) ) ( ) ( )
2. Reescreva as proposições usando a equivalência 
“IMPLICAÇÃO MATERIAL: P→ Q ≡ ~P V Q ” 
a) J→ Ka) J → K 
b) ~J → K 
c) ~J → ~K 
3. Reescreva as proposições usando a equivalência 
“TRANSPOSIÇÃO:P→ Q ≡ ~Q →~P ” 
a) J→ Ka) J → K 
b) ~J → K 
c) ~J → ~K 
4 Construindo a Tabela Verdade verifique se a4. Construindo a Tabela Verdade, verifique se a 
formula seguinte é uma equivalência 
tautológicatautológica: 
a) (P V Q) → Q ≡ P → Q 
Princípio de Substituição 
Uma equivalência podeser usada para substituir uma parte de uma sentença por q p p p ç p
outra logicamente equivalente, uma vez que a substituição mantém o valor lógico 
da expressão original 
E lExemplo: 
a) ~~PVQ
Usando a equivalência 
P ≡~~ PP ≡~~ P, 
pode‐se reescrever a proposição
~~PVQ
ComoComo
PVQ. 
b) ~(P Λ ~Q)b)  (P Λ  Q) 
Usando a equivalência
~(AΛB) ≡ (~A V ~B),  A=P e B=~Q
pode‐se reescrever a proposiçãop p p ç
~(P Λ ~Q) 
Como
~P V ~~Q, 
que por sua vez pode ser reescrita como
~P V Q. 
Aplicações computacionais
Vejamos o seguinte comando na linguagem de programaçãoVejamos o seguinte comando na linguagem de programação 
Pascal:
if (fluxoext > fluxoint) and not ((fluxoext > fluxoint) and 
(pressão < 1000)) 
ththen
UmProcedimento(lista de parâmetros)
elseelse
OutroProcedimento(lista de parâmetros);
A expressão condicional aqui tem a seguinte forma
A ^(A ^ B)'
onde A é fluxoext > fluxoint e 
B é pressão < 1000. 
E t ã d i lifi d b tit i d lEsta expressão pode ser simplificada substituindo‐se algumas 
subexpressões por suas expressões equivalentes.
O comando pode então ser reescrito como
if (fluxoext > fluxoint) and not (pressão < 1000)if (fluxoext > fluxoint) and not (pressão < 1000) 
then
UmProcedimento(lista de parâmetros)UmProcedimento(lista de parâmetros)
else
( )OutroProcedimento(lista de parâmetros);
SimplificarSimplificar
A ^(A ^ B)'A ^(A ^ B)'
SimplificarSimplificar
SimplificarSimplificar