Apostila 01

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Prof. Vanderlei Peres
Porcentagem
Introdução
É muito comum os veículos de comunicação apresentarem as seguintes manifestações:
A cesta básica teve um reajuste de 2,3%.
O rendimento médio da caderneta de poupança para o mês de agosto 2010 foi de 0,52%.
Das 96 mortes registradas no Brasil até 1º de agosto por síndrome respiratória aguda provocada pela gripe suína 39,5% eram gestantes. (Fonte: Jornal Estado de Minas – 06/08/2009)
	 Todos os enunciados acima podem ser expressos por meio de uma razão a qual denominamos de porcentagem.
Elementos do cálculo percentual
	 Nos problemas de porcentagem, três elementos são importantes: O principal, que é o número sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa, que é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada cem do principal e a porcentagem, que é o total das taxas.
	 Pode-se usar diversos procedimentos para calcular porcentagens. No caso da calculadora, cada um encontra um jeito de fazer suas contas. Basicamente, as definições matemáticas mais usadas para resolver a maioria dos problemas de porcentagem são as seguintes:
	Qual é o valor de 45% de 60?
	1º modo de resolução
	2º modo de resolução
	3º modo de resolução
	
	
	
	80% de quanto dá 28?
	1º modo de resolução
	2º modo de resolução
	3º modo de resolução
	
	
	
	A quantia de R$ 36,00 corresponde a quanto por cento de R$ 120,00?
	1º modo de resolução
	2º modo de resolução
	3º modo de resolução
	
	
	
Fator de atualização
O fator de atualização f é a razão entre dois valores de uma grandeza em tempos diferentes (passado, presente ou futuro). Sabe-se que na divisão entre dois valores quaisquer, somente existe três resultados. Ou resulta 1, ou maior que 1 ou menor que 1.Quando o resultado da divisão é 1 significa que os dois valores são iguais, ou seja, um valor é 100% do outro. Por isso diz-se que f = 1 é o fator neutro. 
Se o resultado de uma divisão for um número maior que 1, como por exemplo 1,03, pode-se dizer que A é 3% maior que B ou A é 103% de B (portanto 3% maior).
Se o resultado de uma divisão for um número menor que 1, como por exemplo 0,80, pode-se dizer que A é 20% menor que B ou A é 80% de B (portanto 20% menor). 
Veja como obter a taxa percentual ( i ) a partir do valor do fator de atualização:
f > 1 f = (1 + i); portanto a taxa é i = f – 1, em números decimais (taxa unitária).
 f < 1 f = (1 – i); portanto a taxa é i = f +1, em números decimais (taxa unitária).
Aumentos e descontos
			Na comparação de dois valores diferentes de uma mesma grandeza, f > 1 significa aumento (ou acréscimo de valor) e f < 1 significa desconto (ou perda de valor), pois o valor da grandeza variou no tempo e o valor mais antigo é a base de comparação. O fator f = 1 significa que não houve variação. O valor de f pode ser calculado da seguinte maneira: 
Para compor vários aumentos e/ou descontos basta multiplicar os vários fatores individuais e assim obter o fator acumulado, que nada mais é que o fator de atualização entre o primeiro e o último valor considerado, independentemente dos valores intermediários.
 facumulado=f1 . f2 . f3 . f4 . ... 
Aplicação da Teoria
	AP1
	Uma certa mercadoria que custava R$ 125 000,00 teve um aumento, passando a custar R$ 135 000,00. Calcular a majoração em porcentagem.
	AP2
	Certo produto sofre um aumento de 8%, em seguida um desconto de 4% sobre o valor imediatamente anterior. Para um preço inicial de R$ 40,00, qual é o valor final, aproximadamente do produto?
	AP3
	Laura gastou R$ 900,00 na compra de uma bicicleta, de um aparelho de som e de uma estante. A bicicleta custou R$ 60,00 a menos do que a estante e o preço do aparelho de som corresponde a 80% do preço da bicicleta. Quanto custa cada uma das mercadorias? 
ATIVIDADES
Calcule:
a) 15% de 160 b) 7% de 50 c) 6,5% de 1200 kg d) 0,4% de 550 
 
 
Escreva as taxas percentuais seguintes na forma decimal (forma de taxa unitária).
70% b) 86% c) 21,2% d) 0,98% e) 18,6% f) 0,076%
O valor 62,5 representa quantos por cento de 250?
90% de “A” vale 333. Qual o valor de “A”?
Determine 10% de 20% de 30% de 18 000.
Um salário de R$ 872,00 teve um aumento de 15,6%. Qual o novo valor desse salário?
Um corretor recebe R$ 4 600,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. Qual o valor de venda das propriedades?
Um empréstimo de R$ 2 000,00 foi feito para ser pago em 30 dias, com juros de 3% sobre o valor do empréstimo e correção de 80% do IGP sobre o valor emprestado acrescido de juros. Se o IGP do período foi de 5%, qual a quantia que liquidará o empréstimo?
O valor 111 corresponde a 3% de qual número?
Marta gastou 5% do salário no salão, 15% no mercado, 25% no shopping, 35% com investimentos e ainda sobrou R$ 220,00. Quanto gastou no mercado?
Certa mercadoria que custava a importância de R$1 250,00 passou a custar R$1 500,00 Qual foi o aumento percentual?
Um cidadão reserva 30% do seu salário para o pagamento da prestação da casa própria na Caixa Econômica Federal e 50% do que resta para a alimentação. Tirando a CEF e a alimentação, coloca 20% do que sobra na poupança e os R$ 580,00 restantes serão utilizados em outras despesas. Qual é o salário desse cidadão?
A população de uma cidade cresce à taxa de 10% ao ano. No final de 2004, sua população era de 300 000 habitantes. No final de quantos anos a população atingirá os 483153 habitantes? Qual será o ano?
Uma fábrica produz dois produtos: A e B. O quadro abaixo mostra, em toneladas, o total das vendas efetuadas no último trimestre.
	Mês
	 Produto A
	Produto B
	Outubro
	8
	9
	Novembro
	10
	13,5
	Dezembro
	9,3
	10,125
Com base na tabela, determine:
O aumento percentual das vendas de A de Outubro para Novembro;
A redução percentual das vendas de B de Novembro para Dezembro;
A redução percentual das vendas de A de Novembro para Dezembro;
A arrecadação total no trimestre relativa ao produto A, considerando que o produto foi vendido, em Outubro, a R$ 120,00 a tonelada e sofreu um reajuste de 10% a partir de Novembro.
Um produto custava R$ 85,00 em janeiro. Teve um aumento de 12% em março e uma queda de 8% em junho e, por último, um aumento de 20% em novembro. Quanto este produto estará custando em dezembro? Em relação ao valor original, estará mais caro ou mais barato? Quantos por cento mais caro (ou mais barato)?
JUROS SIMPLES
Juros
Receber uma quantia hoje ou no futuro não é evidentemente a mesma coisa. Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária disponível amanhã. O juro é a compensação financeira auferida por um capitalista que durante certo tempo empresta seu capital a terceiros ou ainda o aluguel pago por uma pessoa que, durante certo tempo, usa o capital de outra.
Desta forma, são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia.
		JURO é, portanto, a remuneração pelo capital emprestado ou aplicado.
As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
o risco envolvido na operação (empréstimo) aplicação, representado genericamente pela incerteza com relação ao futuro;
a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação. A inflação é um fenômeno que corrói o capital, determinando um volume cada vez menor de compra com o mesmo montante;
o capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou ganho)ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. Este ganho é estabelecido basicamente em função das diversas outras oportunidades de investimentos e definido por custo de oportunidade.
Fatores necessários para calcular o valor dos juros
Os fatores são os seguintes:
Capital, principal ou valor presente (C ou PV):
Quantia de dinheiro envolvida numa operação financeira, que será emprestada ou aplicada em determinada data.
Taxa de juros (i):
É a unidade de medida de juros, ou seja, o custo ou remuneração percentual paga pelo uso do dinheiro durante determinado tempo (mês, semestre, ano, etc.) e pode ser representada equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária.
Para transformar a forma percentual em unitária basta dividir-se a taxa expressa na forma percentual por 100. De modo análogo, para transformar a taxa de juros da forma unitária para a forma percentual, basta que se multiplique a taxa de juros unitária por 100.
	Forma Percentual
	Transformação
	Forma Unitária
	12% a.a.
	12/100
	0,12 a.a.
	0,6 % a.m.
	0,6/100
	0,06 a.m.
	2,31% a.t.
	2,31/ 100
	0,0231 a.t.
Tempo, prazo ou período (n):
Prazo em determinada unidade de tempo (dias, meses, anos etc.), em que o capital foi empregado a determinada taxa de juros.
Regime de capitalização:
Refere-se ao processo de formação dos juros, que poderá ser simples ou composto. A principal característica que diferencia juros simples e juros compostos é que no primeiro caso os juros são uma função linear do tempo sendo que o valor acrescido ao valor inicial a cada período é sempre constante e no segundo uma função exponencial, no qual o valor acrescido ao valor inicial a cada período varia.
	
C
tempoJuros simples
	
C
tempoJuros Compostos
Aplicações práticas dos juros simples
Os juros simples, principalmente diante de suas restrições técnicas, têm aplicações práticas bastante limitadas. Poucas operações financeiras e comerciais adotam este critério, restringindo-se, principalmente àquelas praticadas por bancos comerciais e no mercado financeiro de curtíssimo prazo.
Os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores monetários da operação (encargos a pagar, para empréstimos, e rendimentos financeiros, para aplicações), e não para a apuração do efetivo resultado percentual.
Fórmulas de juros simples
O valor dos juros é calculado a partir de:
 J = C . i . n
J = valor dos juros expresso em unidades monetárias
C = capital. É o valor (em $) representativo do determinado momento
i = taxa de juros
n = prazo (ou número de períodos)
O montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é: M = C + J
em que J = C . i . n. Substituindo esta expressão básica na fórmula do montante acima, e colocando-se C em evidência, temos:
M = C (1 + i . n)
Juro exato e juro comercial
É comum nas operações de curto prazo, predominar as aplicações de juros simples com o prazo definido em número de dias. Nestes casos, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras:
pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira denomina-se juro exato;
pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do juro denominada juro comercial ou ordinário.
Aplicação da teoria
	AP1
	Calcular o juro simples, referente a um capital de R$ 1000,00 aplicado conforme hipóteses a seguir:
a) 4% a.m. por 90 dias;
b) 27,2% a.a. por 3 anos, 5 meses e 12 dias. 
	AP2
	Um empréstimo de R$ 3 480,00 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de R$ 3 949,80. Calcular a taxa de juros simples em bases anuais desta operação?
 
	AP3
	Em quanto tempo um montante produzido por um capital de R$ 1 900,00 aplicado a 25% a.a. se iguala ao montante de um capital de R$ 2 400,00 aplicado a 15% a.a?
ATIVIDADES
Uma pessoa aplica R$ 120.000,00 à taxa simples de 7,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. 
Calcule o montante de um capital de R$ 321.000,00 quando aplicado à taxa linear de 4% ao mês pelo prazo de um ano. 
O capital que, investido hoje a juros simples de 7% ao ano, se elevará a R$ 2.210,00 no fim de 18 meses, é de:
 R$ 2.660,00
 R$ 2.500,00
 R$ 2.400,00
 R$ 2.100,00
 R$ 2.000,00
Os juros simples que um capital de R$ 18.500,00 rende em um ano e meio aplicado à taxa de 10% ao ano, são de:
	(A) R$ 2.025,00
	(B) R$ 2.130,00
	(C)R$ 2.360,00
	(D)R$ 2.600,00
	(E) R$ 2.775,00
Um capital de R$ 16.000,00 que foi aplicado a 25% ao ano rendeu R$ 800,00 de juros simples. Durante quanto tempo esteve empregado?
 2 meses e 5 dias
 2 meses e 10 dias
 2 meses e 12 dias
 2 meses e 18 dias
 3 meses
Um investidor aplicou R$ 150.000,00 a uma taxa de 2% ao mês. Esse capital atingiu um montante de R$ 165.000,00:
6 meses após sua aplicação 
(B) 5 meses após sua aplicação
(C) 4 meses após sua aplicação 
(D) 3 meses após sua aplicação
(E) 2 meses após sua aplicação
Calcule o valor dos juros simples referentes a um capital de R$ 1220,00, aplicado à taxa de 8% ao ano, no período de 10 de janeiro a 9 de maio do mesmo ano. 
O capital de R$ 1.200.000,00 está para seus juros assim como 4 está para 3. Determine a taxa de juros, considerando que o capital esteve empregado durante um ano e 3 meses.
Quanto é preciso aplicar a 12% ao mês para se obter os mesmos juros simples que os produzidos por R$ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?
O capital de R$ 400.000,00 foi aplicado a juros simples no dia 15 de março de 2008, a uma taxa de 4% ao mês e rendeu R$ 132266,67. Qual foi a data de resgate?
Qual o capital que produz R$ 18 000,00 de juros simples, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de:
60 dias;
80 dias;
3 meses e 20 dias;
2 anos, 4 meses e 14 dias.
Qual é o prazo de aplicação para que um capital qualquer aplicada à taxa simples de 18% a.m. quadruplique o seu valor?
(A) 2 anos e 7 meses
(B) 1 ano, 7 meses e 25 dias
(C) 1 ano e seis meses
(D) 1ano, 4 meses e 20 dias
(E) 1 ano e 10 meses
DESCONTO SIMPLES
Conceitos iniciais
Chama-se título de crédito o documento comprobatório de uma dívida. Exemplos de títulos de crédito são: a nota promissória, a duplicata, as letras de câmbio, o cheque, a ação, os certificados de depósitos, as cadernetas de poupança, entre outros.
Alguns títulos de crédito podem sofrer a operação de desconto, que consiste em o portador resgatar o título antes do vencimento, recebendo por ele um valor menor do que aquele que receberia se aguardasse a data de seu vencimento.
Os títulos de crédito que podem ser descontados são: a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio.
Esses títulos têm sempre um valor declarado, chamado valor nominal (N), valor de face ou valor de resgate, que corresponde ao valor que pode ser recebido pelo título na data de vencimento, que também vem ali declarada.
A nota promissória é um documento muito comum entre pessoas físicas, podendo também ser emitida por pessoa jurídica ou em favor de uma instituição. O devedor, assinando uma nota promissória, se declara devedor e se compromete a pagar ao seu credor uma quantia determinada numa data estabelecida. Constam obrigatoriamente da nota promissória, além da quantia a ser paga (valor nominal) e da data em que essa quantia será paga (data do vencimento), o nome e a assinatura do devedor ou emitente e o nome do credor ou portador. 
A duplicata é emitida por uma firma (pessoa jurídica) contra seu cliente (pessoa física ou jurídica) para quem vendeu mercadorias ou prestou serviços a prazo. A emissão da duplicata decorre da emissãode uma nota fiscal. O cliente assina a duplicata dando o seu aceite, isto é, declarando-se devedor daquela quantia e obrigando-se a pagá-la na data estabelecida. Devem constar da duplicata, além do valor nominal e da data de vencimento, os nomes do credor ou emitente e do devedor ou sacado, o aceite deste último e o número da nota fiscal correspondente às mercadorias vendidas ou aos serviços prestados.
A letra de câmbio é emitida por uma empresa, com aceite de uma sociedade de crédito, financiamento e investimento. É colocada no mercado com a finalidade de captar recursos para serem aplicados no próprio mercado em forma de financiamentos, pelos quais são cobradas taxas de juros maiores do que aquelas pagas aos portadores das letras de câmbio.
Constam da letra de câmbio, além do valor nominal e da data de vencimento, o nome do órgão emitente e o nome do titular ou credor.
Quando o portador de um título de crédito precisa do dinheiro, pode resgatá-lo antes do seu vencimento, mediante o endosso, numa corretora de valores ou banco que procede à operação de desconto. Mas, aos resgatar o título antes do vencimento, o portador não recebe o valor total ali declarado. Esse valor, que é o valor final ou valor nominal N do título, sofre um desconto D que será tanto maior quanto maior for a antecipação do pagamento em relação à data de vencimento.
O valor recebido pelo portador se diz valor atual do título e representa a diferença entre o valor nominal e o desconto feito Indicando por A o valor atual, tem-se:
A = N - D
Onde:
D = qualquer desconto
N= valor nominal (capital aplicado mais todo juro)
A = valor atual
O desconto corresponde, assim, aos juros cobrados pelo banco pela antecipação do pagamento.
O desconto é a diferença entre o valor futuro de um título (duplicata, nota promissória, letra de câmbio, cheque pré-datado etc.) e seu respectivo valor atual. O valor do desconto será obtido pela aplicação de uma taxa de desconto sobre o valor nominal do título (valor no dia do seu vencimento).
Existem duas sistemáticas para se calcular o desconto de um título usando capitalização simples: a do desconto comercial e a do desconto racional. 
 (por dentro)
DESCONTO 
 (por fora) 
1.1 Desconto comercial ou “por fora”
 O desconto comercial, também chamado desconto bancário ou desconto por fora, é aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do título. Supondo que faltam n períodos de tempo para o vencimento do título, de valor nominal N, e que a instituição financeira que vai descontá-lo se utiliza da taxa de juros i de desconto comercial para esse período, tem-se para o valor do desconto comercial (Dc) a seguinte expressão:
Dc = N i n
Uma vez descontado comercialmente, pode-se determinar o valor atual Ac do título pela diferença:
 Ac = N - Dc Ac = N – N i n Ac = N (1 – in) 
É o desconto comercial que se utiliza nas instituições comerciais e bancárias, como o próprio nome indica. No entanto, só é costume descontar títulos quando o prazo que antecede o seu vencimento é curto, pois, sendo o desconto comercial calculado sobre o valor nominal do título, se o prazo for longo, o portador poderá receber um valor menor do que o investido no título. Em casos de prazos muito longos ou taxas muito altas, o desconto comercial pode ultrapassar até mesmo o valor nominal do título.
	AP1
	Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 33 000,00, 3 meses antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 40% a.a. qual o valor do desconto por fora e qual o valor a paga?
	AP2
	
Determinar a taxa mensal de desconto comercial de um título negociado 60 dias antes do seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 26 000,00 e o valor atual na data do desconto de R$ 24 436, 10
1.2 Desconto racional ou “por dentro”
 O desconto racional, também chamado desconto real, desconto verdadeiro ou desconto por dentro, é o desconto calculado sobre o valor atual do título. 
Supondo que faltam n períodos de tempo para o vencimento do título de valor nominal N, e que a instituição financeira que vai descontá-lo utiliza-se da taxa i de desconto racional e que seu valor atual Ar na data do desconto, tem-se para o valor do desconto racional (Dr)a seguinte expressão:
 Dr = A i n (1)
Na prática, não é possível calcular o desconto racional com essa fórmula, uma vez que o valor atual A só é conhecido após o cálculo do desconto.
Substituindo A em (1) pelo valor A = N – D, tem-se:
Dr = (N – Dr) in
donde:
Dr + Drin = Nin
ou:
Dr(1 + in) = Nin
ou ainda:
 
N: valor nominal (ou montante)
Dr: valor do desconto
i: taxa de desconto
n: número de períodos antes do vencimento
Uma vez descontado racionalmente, pode-se determinar o valor atual Ar do título pela diferença:
Ar = N - d
ou:
Ou ainda:
 
A operação de desconto racional pode ser considerada como a operação inversa da capitalização.
Isso significa que, se uma pessoa investir certo capital em um título que vai proporcionar juros à taxa i, durante certo número de períodos n, e se esse título for descontado racionalmente n períodos antes do vencimento à mesma taxa i, seu portador vai receber, como valor atual, exatamente o mesmo capital aplicado. Por isso são comuns as expressões descontar com taxa de desconto e descontar com taxa de juros para exprimir as operações de desconto comercial e desconto racional, respectivamente.
	AP1
	O valor atual de um título é de R$ 159 529,30 sendo o valor de seu desconto racional, apurado a uma taxa de juros de 5,5% ao mês, igual a R$ 20 470,70. Com base nestas informações, determinar o número de dias que falta para o vencimento do título.
	AP2
	O desconto de uma duplicata de valor nominal de R$ 77 000,00 e com prazo de vencimento de 141 dias, produz um valor atual de R$ 65 000,00. Determinar a taxa de desconto “por dentro” desta operação
	
	DESCONTOS SIMPLES
	
	 (Racional) (Comercial)
	
	DESCONTO POR DENTRO
	DESCONTO POR FORA
	
Valor atual
	
	
Ac = N . (1 – in)
	
Desconto
	
Dr = N – A ou 
 
	
Dc = N – A ou 
 Dc = N i n
ATIVIDADES
Um cheque pré-datado de R$ 129,00, com vencimento para 30 dias, foi descontado num banco, gerando para o comerciante um valor atual de R$ 102,91. Qual a taxa de desconto racional cobrada?
Um título de crédito no valor nominal de R$ 85.000,00 foi descontado 30 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto simples de 6% ao mês. Pergunta-se:
Qual o valor do desconto?
Qual o valor líquido do título?
 
O valor atual de um título pelo desconto bancário à taxa total de 5% ao mês, 48 dias antes de seu vencimento, é de R$ 102.000,00. Qual seria o valor atual desse título pelo desconto racional?
Resgatei, em 16 de abril, uma nota promissória com vencimento marcado para 10 de junho do mesmo ano. Obtive um desconto de R$ 5.400,00, calculado com uma taxa mensal de 6%. Qual era o valor nominal da promissória?
Calcule a taxa anual aplicada sobre uma duplicata de R$ 3.000,00 de modo que haja um desconto por fora de R$ 600,00, num período de 6 meses.
Um título que deveria vencer em 15 de agosto foi descontado por fora em 13 de junho precedente, a uma taxa de 6% ao mês. Se o valor nominal do título era de R$ 19.800,00,qual ficou sendo o seu valor atual?
Determine o valor nominal de uma letra de câmbio que, descontada por fora, 3 meses e 10 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de 10% ao mês, produziu um desconto de R$700,00.
Determine a diferença entre os descontos por fora e por dentro de uma nota promissória de R$ 5.000,00, quando descontada 1 mês e 10 dias antes de seu vencimento, a uma taxa mensal de 7%.
Considere um título de valor nominal igual a R$ 1.000,00, cujo vencimento ocorrerá daqui a 12 meses.
Se a taxa de juros simples, no mercado é de 150% a.a., julgue os itens seguintes, no contexto de juros simples.
( ) A taxa mensal de juros simples equivalente à taxa anual dada é 12,5% a.m.
( ) Daqui a 6 meses, o título valerá mais de R$ 600,00.
( ) Dois meses antes do vencimento, o título valerá menos de R$ 800,00.
( ) O valor atual do título é maior que R$ 500,00
Um indivíduo desconta uma promissória de valor de face igual a R$ 900,00, com vencimento daqui a 60 dias, em um banco cuja taxa de desconto simples é de 10% ao mês. Com base nessas informações, julgue os itens abaixo.
( ) O valor recebido pelo indivíduo é maior que R$ 730,00.
( ) O valor descontado é maior que 20% do valor recebido.
( ) Se o valor recebido pelo indivíduo ao descontar a promissória fosse igual à metade de seu valor de face, mantida a taxa de desconto simples de 10% ao mês, isso significaria que o vencimento da promissória seria daqui a 5 meses.
Calcule o desconto por dentro de uma letra com vencimento para daqui a 8 anos, no valor nominal de R$11.500,00, se descontada hoje a uma taxa anual de 20%. O valor encontrado é razoável? Repita o cálculo, verificando o desconto por fora.
Uma nota promissória de R$ 2.000,00 com vencimento em 23/08/06 gerou um valor atual de R$ 1.872,50, à taxa de 45% ao ano. Em que data foi descontada?
Certo comerciante realizou uma operação de desconto de títulos num total de R$ 6.000,00, num banco que pratica taxa de 54% ao ano, obtendo um valor atual de R$ 4.902,00. Sabendo que todos os títulos têm o mesmo vencimento em 24/08/2006, determinar a data em que a operação foi realizada.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EM JUROS SIMPLES
 Introdução
 
Como já foi visto no caso das operações de desconto, que não várias vezes, o investidor necessita antecipar o vencimento do título, concedendo, por isso, um desconto. Por outro lado o tomador do empréstimo nem sempre consegue honrar o compromisso na data aprazada, necessitando nessas circunstâncias, prorrogar o prazo de títulos nas operações financeiras. Diante destas situações pode ocorrer a substituição de um título por outro, ou por vários, ou substituírem-se vários títulos por um único. 
Nessas circunstâncias, está-se diante de problemas que dizem respeito à equivalência de valores diferentes referido a datas diferentes que, no entanto, devem ter o mesmo valor em dado momento, chamado de data focal.
 Data focal
Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. A data focal é chamada data de avaliação ou data de referência.
Pelo fato de não haver, em juros simples, o cálculo de juros sobre juros, característica de juros compostos, deve-se considerar como data focal sempre a data do momento zero, salvo se, no problema, for solicitada ou indicada, expressamente, data diferente.
Capitais equivalentes
Dois ou mais títulos de créditos ou duas ou mais formas de pagamentos somente serão equivalentes numa determinada época quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. 
Para se calcular a equivalência de capitais devem ser igualados capitais diferentes, referentes a datas diferentes, em uma mesma data focal. E isso se faz utilizando-se a equação de valor, que é formada igualando-se em uma data focal as somas dos valores atuais e/ou montantes dos compromissos que foram a alternativa de análise. 
São dois critérios utilizados para fazer equivalência de capitais no regime simples: os critérios do desconto comercial ou do desconto racional. Ambos os critérios guardam o mesmo raciocínio de cálculo, diferenciando entre si apenas as fórmulas.
As fórmulas utilizadas são as dos valores atuais ou dos valores futuros:
Desconto comercial: A = N. (1 – in) N = 
Desconto racional: A = N = A. (1 + in) 
	É bom saber:
	
Quando a data focal não for citada, considerar como sendo “hoje” (data zero);
Quando o critério do desconto não for citado, considerar como sendo por fora (comercial);
È interessante que faça o gráfico do Fluxo de caixa para facilitar a visão do problema.
 
	AP1
	
Um título de R$ 7 000,00 com vencimento para 120 dias deve ser substituído por outro título, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é de 10%, qual será o valor do novo título?
(A) R$ 3 000,00
(B) R$ 4 000,00
(C) R$ 5 000,00
(D) R$ 6 000,00
(E) R$ 7 000,00
	AP2
	
Uma empresa deve um título de valor R$ 1 300,00 na data 3 e deseja trocá-lo por um outro que vencerá na data 5, usando uma taxa simples de 10% ao período. Qual é o Valor do novo título? Utilize a data focal 5 para a equivalência.
(A) R$ 1 460,00
(B) R$ 1 500,00
(C) R$ 1 560,00
(D) R$ 1 600,00
(E) R$ 1 760,00
	AP3
	
Marcelo vai receber os R$ 10 000,00 da venda de seu carro em duas parcelas de R$ 5 000,00, sendo a primeira dentro de 30 dais e a segunda dentro de 60 dias. Considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês, o valor atual, em reais, que José deveria receber hoje, com a certeza de estar recebendo o mesmo valor que ira receber no parcelamento é:
(A) R$ 9 709,65
(B) R$ 9 719,65
(C) R$ 9 729,65
(D) R$ 9 739,65
(E) R$ 9 749,65
ATIVIDADES
 
Questão 04
 Uma máquina calculadora está sendo vendida a prazo nas seguintes condições: R$ 120,00 de entrada; R$150,00 em 30 dias e R$ 150,00 em 60 dias. Se a taxa linear de juros é de 3% ao mês, pede-se calcular até que preço é interessante comprar a máquina à vista.
Questão 05
Uma pessoa tem uma dívida composta dos seguintes pagamentos: R$ 22 000,00 de hoje a 2 meses; R$ 55 000,00 de hoje a 5 meses e R$ 90 000,00 de hoje a 7 meses. Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao final do 6.º mês e o segundo no 8.º mês. Sendo de 4,5% ao mês de juros simples. Calcular o valor destes pagamentos admitindo-se as seguintes datas de comparação:
a) hoje;
b) no vencimento do primeiro pagamento proposto;
c) no vencimento do segundo pagamento proposto.
Questão 06
Um indivíduo deverá liquidar duas dívidas, expressas por dois títulos, um de R$ 37 000, 00 e outro de R$ 49 800,00, vencíveis, respectivamente, em 8 e 11 meses, a partir de hoje. A taxa de juros simples é de 6% ao mês. Utilizando-se o critério do valor atual racional, para que uma nota promissória de R$ 59 950,00 seja equivalente, hoje, aos dois títulos especificados, o prazo de vencimento da promissória dever ser de:
(A) 15 dias
(B) 45 dias
(C) 110 dias
(D) 34 dias
(E) 148 dias