Cálculo 1 (UnB) - Listas de Exercícios de Aplicação - 1º/2010 (Prof. Mauro Patrão)

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1
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 2
1) Vamos calcular a soma dos termos da progressa˜o geome´trica infinita com raza˜o 1/2. A
soma dos n primeiros termos e´ dada por
sn = 1 +
1
2
+
1
4
+ · · ·+
1
2n
.
a) Observe que, por um lado, temos
sn+1 = sn +
1
2n+1
e que, por outro, temos
sn+1 = 1 +
1
2
sn.
Igualando os lados direitos e resolvendo para sn, obtenha que
sn = 2−
1
2n
.
b) Mostre por induc¸a˜o que n < 2n e conclua que
0 <
1
2n
<
1
n
, para todo n ∈ N.
O que podemos concluir utilizando o Teorema do Sandu´ıche?
c) Utilizando os ı´tens anteriores e as propriedade do limite de sequ¨eˆncias, determine o
limite da sequ¨eˆncia sn. Por definic¸a˜o, este limite e´ a soma dos termos da progressa˜o
geome´trica infinita com raza˜o 1/2.
2) Considere as func¸o˜es cosseno e seno hiperbo´licos dadas por
cosh(t) =
et + e−t
2
e senh(t) =
et − e−t
2
.
Lembre que ex+y = exey.
a) Mostre que
cosh2(t)− senh2(t) = 1.
Fazendo x = cosh(t) e y = senh(t), isso mostra que o ponto (x, y) esta´ sobre a hipe´rbole
unita´ria dada por
x2 − y2 = 1.
b) Verifique a fo´rmula do cosseno hiperbo´lico da soma
cosh(s + t) = cosh(s)cosh(t) + senh(s)senh(t).
c) Verifique tambe´m a fo´rmula do seno hiperbo´lico da soma
senh(s + t) = senh(s)cosh(t) + senh(t)cosh(s).
pa´gina 1 de 1
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 2
– Gabarito –
1) Vamos calcular a soma dos termos da progressa˜o geome´trica infinita com raza˜o 1/2. A
soma dos n primeiros termos e´ dada por
sn = 1 +
1
2
+
1
4
+ · · ·+
1
2n
.
a) Observe que, por um lado, temos
sn+1 = sn +
1
2n+1
e que, por outro, temos
sn+1 = 1 +
1
2
sn.
Igualando os lados direitos e resolvendo para sn, obtenha que
sn = 2−
1
2n
.
Soluc¸a˜o: Igualando os lados direitos, temos que
sn +
1
2n+1
= 1 +
1
2
sn.
Resolvendo para sn obtemos que
1
2
sn = 1−
1
2n+1
.
Multiplicando os dois lados por 2 obtemos o resultado desejado.
b) Mostre por induc¸a˜o que n < 2n e conclua que
0 <
1
2n
<
1
n
, para todo n ∈ N.
O que podemos concluir utilizando o Teorema do Sandu´ıche?
Soluc¸a˜o: Para n = 1, temos que a fo´rmula n < 2n e´ verdadeira, pois 1 < 21. Resta
mostrar que se a fo´rmula e´ verdadeira para n = k, enta˜o ela tambe´m sera´ verdadeira
para n = k +1. Se a fo´rmula e´ verdadeira para n = k, temos que k < 2k e, somando 1
em ambos os lados, obtemos que k + 1 < 2k + 1. Por outro lado, temos que
2k + 1 < 2k + 2k = 2k+1.
Juntando as duas u´ltimas desigualdades, obtemos que k + 1 < 2k+1.
A desigualdade 0 <
1
2n
<
1
n
, segue de n < 2n, pois se o denominador e´ maior, a frac¸a˜o
e´ menor.
Como sabemos que
1
n
→ 0 e tambe´m que 0 → 0, aplicando o Teorema do Sandu´ıche
em
0 <
1
2n
<
1
n
segue imediatamente que
1
2n
→ 0.
c) Utilizando os ı´tens anteriores e as propriedade do limite de sequ¨eˆncias, determine o
limite da sequ¨eˆncia sn. Por definic¸a˜o, este limite e´ a soma dos termos da progressa˜o
geome´trica infinita com raza˜o 1/2.
Soluc¸a˜o: Pela regra da soma, segue que
sn = 2−
1
2n
→ 2.
2) Considere as func¸o˜es cosseno e seno hiperbo´licos dadas por
cosh(t) =
et + e−t
2
e senh(t) =
et − e−t
2
.
Lembre que ex+y = exey.
a) Mostre que
cosh2(t)− senh2(t) = 1.
Fazendo x = cosh(t) e y = senh(t), isso mostra que o ponto (x, y) esta´ sobre a hipe´rbole
unita´ria dada por
x2 − y2 = 1.
Soluc¸a˜o: Uma vez que exe−x = e0 = 1, segue que
cosh2(t) =
(
et + e−t
2
)2
=
(et)2 + 2 + (e−t)2
4
=
(et)2 + (e−t)2
4
+
1
2
e
senh2(t) =
(
et − e−t
2
)2
=
(et)2 − 2 + (e−t)2
4
=
(et)2 + (e−t)2
4
−
1
2
.
Isso que mostra que
cosh2(t)− senh2(t) = 1.
b) Verifique a fo´rmula do cosseno hiperbo´lico da soma
cosh(s + t) = cosh(s)cosh(t) + senh(s)senh(t).
Soluc¸a˜o: Usando que ex+y = exey, temos que
cosh(s)cosh(t) =
(
es + e−s
2
) (
et + e−t
2
)
=
es+t + es−t + e−s+t + e−s−t
4
e que
senh(s)senh(t) =
(
es − e−s
2
) (
et − e−t
2
)
=
es+t − es−t − e−s+t + e−s−t
4
.
Isso mostra que
cosh(s)cosh(t) + senh(s)senh(t) =
2es+t + 2e−s−t
4
=
es+t + e−(s+t)
2
= cosh(s + t).
c) Verifique tambe´m a fo´rmula do seno hiperbo´lico da soma
senh(s + t) = senh(s)cosh(t) + senh(t)cosh(s).
Soluc¸a˜o: Usando que ex+y = exey, temos que
senh(s)cosh(t) =
(
es − e−s
2
) (
et + e−t
2
)
=
es+t + es−t − e−s+t − e−s−t
4
logo, trocando s por t, temos que
senh(t)cosh(s) =
et+s + et−s − e−t+s − e−t−s
4
=
es+t + e−s+t − es−t − e−s−t
4
.
Isso mostra que
senh(s)cosh(t) + senh(t)cosh(s) =
2es+t − 2e−s−t
4
=
es+t − e−(s+t)
2
= senh(s + t).
1
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 3
1) Um dos elevadores mais ra´pidos do mundo, localizado no Taipei Financial Center, subia
com velocidade constante de 10 m/s, quando subtamente, apo´s 5 segundos de sua partida,
suas cordas de sustentac¸a˜o se partem. Felizmente, neste momento, na˜o ha´ ningue´m em seu
interior. A func¸a˜o que descreve a altura do elevador em relac¸a˜o ao solo e´ dada enta˜o pela
seguinte expressa˜o
s(t) =
{
10t + 100, se 0 < t 6 5
150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2, se 5 < t < tA
onde tA e´ o tempo de aterrizagem, a altura e´ dada em metros e o tempo e´ dado em segundos.
Em cada item, escolha uma das opc¸o˜es e justifique suas respostas.
i) O limite lateral direito de s em t = 5 e´ igual a:
(a) 100 (b) 120 (c) 150 (d) 180.
ii) A func¸a˜o s e´ cont´ınua em t = 5?
(a)Falso (b)V erdadeiro.
iii) O limite lateral direito
lim
t↓5
s(t)− s(5)
t− 5
e´ igual a:
(a) 10 (b) 20 (c) 5 (d) 8.
2) Suponha que um fio retil´ıneo, de sec¸a˜o transversal circular de raio r0, seja percorrido por
uma corrente estaciona´ria. A corrente gera um campo magne´tico cuja intensidade I, em um
ponto do espac¸o, depende da distaˆncia r do ponto ao eixo do fio. Assim, I = I(r), e pode-se
mostrar que, em um sistema de unidades apropriado, a func¸a˜o I(r) e´ dada por
I(r) =


r
r2
0
, se 0 6 r < r0
1
r
, se r > r0
or r
Em cada item, escolha uma das opc¸o˜es e justifique suas respostas.
i) O limite lateral direito de I em r = r0 e´ igual a:
(a) r0 (b) 1/r0 (c) r
2
0
(d) 1/r2
0
.
ii) A func¸a˜o I e´ cont´ınua em r = r0?
(a)Falso (b)V erdadeiro.
pa´gina 1 de 2
2
iii) O limite lateral direito
lim
r↓r0
I(r)− I(r0)
r − r0
.
e´ igual a:
(a) 1/r2
0
(b) 1/r0 (c) − 1/r
2
0
(d) − 1/r0.
3) O objetivo desse exerc´ıcio e´ relacionar os quadrados do seno o do cosseno de um aˆngulo
com o seno o do cosseno do aˆngulo duplicado.
Usando a fo´rmula da soma dos arcos,
i) temos que sen(2t) e´ dado por
(a) cos2(t)− sen2(t) (b) 2 sen(t) cos(t) (c) sen2(t)− cos2(t) (d) −2 sen(t) cos(t)
ii) temos que cos(2t) e´ dado por
(a) cos2(t)− sen2(t) (b) 2 sen(t) cos(t) (c) sen2(t)− cos2(t) (d) −2 sen(t) cos(t)
Usando a fo´rmula do item anterior e que
cos2(t) + sen2(t) = 1,
iii) temos que cos(t)2 e´ dado por
(a)
1 + cos(2t)
2
(b) 1 + cos(2t) (c)
1− cos(2t)
2
(d) 1− cos(2t)
iii) temos que sen(t)2 e´ dado por
(a)
1 + cos(2t)
2
(b) 1 + cos(2t) (c)
1− cos(2t)
2
(d) 1− cos(2t)
pa´gina 2 de 2
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 3
– Gabarito –
1) Um dos elevadores mais ra´pidos do mundo, localizado no Taipei Financial Center, subia
com velocidade constante de 10 m/s, quando subtamente, apo´s 5 segundos de sua partida,
suas cordasde sustentac¸a˜o se partem. Felizmente, neste momento, na˜o ha´ ningue´m em seu
interior. A func¸a˜o que descreve a altura do elevador em relac¸a˜o ao solo e´ dada enta˜o pela
seguinte expressa˜o
s(t) =
{
10t + 100, se 0 < t 6 5
150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2, se 5 < t < tA
onde tA e´ o tempo de aterrizagem, a altura e´ dada em metros e o tempo e´ dado em segundos.
Em cada item, escolha uma das opc¸o˜es e justifique suas respostas.
i) O limite lateral direito de s em t = 5 e´ igual a:
(a) 100 (b) 120 (c) 150 (d) 180.
Justificativa: Temos que
lim
t↓5
s(t) = lim
t↓5
150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2 = 150.
ii) A func¸a˜o s e´ cont´ınua em t = 5?
(a)Falso (b) Verdadeiro.
Justificativa: Temos que
lim
t↑5
s(t) = lim
t↑5
10t + 100 = 150
e, utilizando o item anterior, segue que
lim
t↑5
s(t) = s(5) = lim
t↓5
s(t),
o que mostra que a func¸a˜o s e´ cont´ınua em t = 5.
iii) O limite lateral direito
lim
t↓5
s(t)− s(5)
t− 5
e´ igual a:
(a) 10 (b) 20 (c) 5 (d) 8.
Justificativa: Para valores de t > 5, temos que s(t) = 150 + 10(t − 5) − 5(t − 5)2.
Como s(5) = 150, segue que
lim
t↓5
s(t)− s(5)
t− 5
= lim
t↓5
(150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2)− 150
t− 5
= lim
t↓5
10(t− 5)− 5(t− 5)2
t− 5
= lim
t↓5
10− 5(t− 5) = 10.
2) Suponha que um fio retil´ıneo, de sec¸a˜o transversal circular de raio r0, seja percorrido por
uma corrente estaciona´ria. A corrente gera um campo magne´tico cuja intensidade I, em um
ponto do espac¸o, depende da distaˆncia r do ponto ao eixo do fio. Assim, I = I(r), e pode-se
mostrar que, em um sistema de unidades apropriado, a func¸a˜o I(r) e´ dada por
I(r) =


r
r2
0
, se 0 6 r < r0
1
r
, se r > r0
or r
Em cada item, escolha uma das opc¸o˜es e justifique suas respostas.
i) O limite lateral direito de I em r = r0 e´ igual a:
(a) r0 (b)1/r0 (c) r
2
0
(d) 1/r2
0
.
Justificativa: Para valores de r > r0, temos que I(r) =
1
r
, de modo que
lim
r↓r0
I(r) = lim
r↓r0
1
r
=
1
r0
.
ii) A func¸a˜o I e´ cont´ınua em r = r0?
(a)Falso (b) Verdadeiro.
Justificativa: Para valores de r < r0, temos que I(r) =
r
r2
0
, de modo que
lim
r↑r0
I(r) = lim
r↑r0
r
r2
0
=
r0
r2
0
=
1
r0
.
Como I(r0) =
1
r0
, segue do item anterior que
lim
r↓r0
I(r) = I(r0) = lim
r↑r0
I(r),
o que mostra que a func¸a˜o I e´ cont´ınua em r = r0.
iii) O limite lateral direito
lim
r↓r0
I(r)− I(r0)
r − r0
.
e´ igual a:
(a) 1/r2
0
(b) 1/r0 (c)− 1/r
2
0
(d) − 1/r0.
Justificativa: Para valores de r > r0, temos que I(r) =
1
r
. Como I(r0) =
1
r0
, segue
que
lim
r↓r0
I(r)− I(r0)
r − r0
= lim
r↓r0
1
r
−
1
r0
r − r0
= lim
r↓r0
r0 − r
r r0
r − r0
= lim
r↓r0
−1
r r0
= −
1
r2
0
.
3) O objetivo desse exerc´ıcio e´ relacionar os quadrados do seno o do cosseno de um aˆngulo
com o seno o do cosseno do aˆngulo duplicado.
Usando a fo´rmula da soma dos arcos,
i) temos que sen(2t) e´ dado por
(a) cos2(t)− sen2(t) (b) 2 sen(t) cos(t) (c) sen2(t)− cos2(t) (d) −2 sen(t) cos(t)
Justificativa: Pela regra do seno da soma, segue que
sen(2t) = sen(t + t) = sen(t) cos(t) + sen(t) cos(t) = 2 sen(t) cos(t).
ii) temos que cos(2t) e´ dado por
(a) cos2(t)− sen2(t) (b) 2 sen(t) cos(t) (c) sen2(t)− cos2(t) (d) −2 sen(t) cos(t)
Justificativa: Pela regra do cosseno da soma, segue que
cos(2t) = cos(t + t) = cos(t) cos(t)− sen(t) sen(t) = cos2(t)− sen2(t).
Usando a fo´rmula do item anterior e que
cos2(t) + sen2(t) = 1,
iii) temos que cos(t)2 e´ dado por
(a)
1 + cos(2t)
2
(b) 1 + cos(2t) (c)
1− cos(2t)
2
(d) 1− cos(2t)
Justificativa: Somando a` igualdade
cos2(t) + sen2(t) = 1
a igualdade obtida no item anterior
cos2(t)− sen2(t) = cos(2t),
obtemos que
2 cos2(t) = 1 + cos(2t).
O resultado enta˜o segue, bastando dividir essa igualdade por dois.
iii) temos que sen(t)2 e´ dado por
(a)
1 + cos(2t)
2
(b) 1 + cos(2t) (c)
1− cos(2t)
2
(d) 1− cos(2t)
Justificativa: Subtraindo da igualdade
cos2(t) + sen2(t) = 1
a igualdade
cos2(t)− sen2(t) = cos(2t),
obtemos que
2 sen2(t) = 1− cos(2t).
O resultado enta˜o segue, bastando dividir essa igualdade por dois.
1
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 4
1) Considere a func¸a˜o f : (0,∞) → R dada por f(x) = 1/x3. A figura abaixo ilustra o
gra´fico da func¸a˜o, a sua reta tangente em a, o ponto Pa = (a, f(a)) e tambe´m os pontos Qa
e Ra, onde a reta intercepta os eixos coordenados. E´ importante observar que a figura na˜o
esta´ em escala. Julgue os ı´tens abaixo e justifique sua resposta.
i) A reta tangente em a tem equac¸a˜o y =
−3x
a4
+
4
a3
.
(a)Falso (b)V erdadeiro.
ii) Temos que Ra =
(
3a
2
, 0
)
.
(a)Falso (b)V erdadeiro.
Pa
Qa
O Ra
iii) A a´rea do triaˆngulo OPaRa e´ igual a
3
4a2
.
(a)Falso (b)V erdadeiro.
iv) Para todo a > 0, a a´rea do triaˆngulo OPaQa e´ o triplo da a´rea do triaˆngulo O Pa Ra.
(a)Falso (b)V erdadeiro.
2) Suponha que um fio retil´ıneo, de sec¸a˜o transversal circular de raio r0, seja percorrido por
uma corrente estaciona´ria. A corrente gera um campo magne´tico cuja intensidade I, em um
ponto do espac¸o, depende da distaˆncia r do ponto ao eixo do fio. Assim, I = I(r), e pode-se
mostrar que, em um sistema de unidades apropriado, a func¸a˜o I(r) e´ dada por
I(r) =


r
r2
0
, se 0 6 r < r0
1
r
, se r > r0
or r
Em cada item, escolha uma das opc¸o˜es e justifique suas respostas.
i) A derivada lateral direita de I em r = r0 e´ igual a:
(a) 1/r2
0
(b) 1/r0 (c) − 1/r
2
0
(d) − 1/r0.
ii) A func¸a˜o I e´ deriva´vel em r = r0. (a) Falso (b) Verdadeiro.
iii) A func¸a˜o derivada e´ dada por
I ′(r) =
{
1/r2
0
, se 0 6 r < r0
−1/r2, se r > r0
?
(a)Falso (b)V erdadeiro.
pa´gina 1 de 2
2
3) Um dos elevadores mais ra´pidos do mundo, localizado no Taipei Financial Center, subia
com velocidade constante de 10 m/s, quando subtamente, apo´s 5 segundos de sua partida,
suas cordas de sustentac¸a˜o se partem. Felizmente, neste momento, na˜o ha´ ningue´m em seu
interior. A func¸a˜o que descreve a altura do elevador em relac¸a˜o ao solo e´ dada enta˜o pela
seguinte expressa˜o
s(t) =
{
10t+ 100, se 0 < t 6 5
150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2, se 5 < t < tA
onde tA e´ o tempo de aterrizagem, a altura e´ dada em metros e o tempo e´ dado em segundos.
Em cada item, escolha uma das opc¸o˜es e justifique suas respostas.
i) A derivada lateral direita de s em t = 5 e´ igual a: (a) 10 (b) 20 (c) 5 (d) 8.
ii) A func¸a˜o s e´ deriva´vel em t = 5. (a)Falso (b)V erdadeiro.
iii) A func¸a˜o velocidade e´ dada por:
(a) v(t) =
{
10, se 0 < t 6 5
10− 10(t− 5), se 5 < t < tA
(b) v(t) =
{
5, se 0 < t 6 5
5− 5(t− 5), se 5 < t < tA
(c) v(t) =
{
10, se 0 < t < 5
5− 5(t− 5), se 5 < t < tA
(d) v(t) =
{
5, se 0 < t < 5
10− 10(t− 5), se 5 < t < tA
iv) A func¸a˜o acelerac¸a˜o e´ dada por:
(a) a(t) =
{
0, se 0 < t 6 5
−10, se 5 < t < tA
(b) a(t) =
{
0, se 0 < t 6 5
−5, se 5 < t < tA
(c) a(t) =
{
0, se 0 < t < 5
−5, se 5 < t < tA
(d) a(t) =
{
0, se 0 < t < 5
−10, se 5 < t < tA
pa´gina 2 de 2
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 4
– Gabarito –
1) Considere a func¸a˜o f : (0,∞)→ R dada por f(x) = 1/x3 e denote por ta, a reta tangente
ao gra´fico de f(x) no ponto Pa = (a, f(a)). A figura abaixo ilustra o esboc¸o do gra´fico da
func¸a˜o, da reta ta e dos pontos Qa e Ra em que a reta intercepta os eixos coordenados. E´
importante observar que a figura na˜o esta´ em escala. Julgue os ı´tens abaixoe justifique
sua resposta.
i) A reta ta tem equac¸a˜o y =
−3x
a4
+
4
a3
.
(a)Falso (b) Verdadeiro.
Justificativa: Como a reta ta passa por
(a, f(a)) e tem inclinac¸a˜o f ′(a), segue que ela
tem equac¸a˜o y − f(a) = f ′(a) (x − a). Como
f(a) = 1/a3 e tambe´m f ′(a) = −3/a4, segue
que
y =
1
a3
+
−3
a4
(x− a) =
−3x
a4
+
4
a3
.
Pa
Qa
O Ra
ii) Tem-se que Ra =
(
3a
2
, 0
)
.
(a) Falso (b)V erdadeiro.
Justificativa: Este e´ o ponto em que a reta ta intercepta o eixo Ox, isto e´, em
que y = 0. Substituindo esse valor na equac¸a˜o de ta, obte´m-se x = 4a/3. Assim,
Ra =
(
4a
3
, 0
)
.
iii) A a´rea do triaˆngulo OPaRa e´ igual a
3
4a2
.
(a) Falso (b)V erdadeiro.
Justificativa: O triaˆngulo pode ser visto como aquele que tem base b = 4a/3 e altura
h = f(a) = 1/a3. Assim, a a´rea e´ igual a
1
2
b h =
1
2
4a
3
1
a3
=
2
3a2
.
iv) Para todo a > 0, a a´rea do triaˆngulo OPaQa e´ o triplo da a´rea do triaˆngulo O Pa Ra.
(a)Falso (b) Verdadeiro.
Justificativa: Primeiro observe que, fazendo x = 0 na equac¸a˜o de ta, obte´m-se que
essa reta intercepta o eixo Oy no ponto Qa =
(
0,
4
a3
)
. Assim, o triaˆngulo pode ser
visto como aquele que tem base b =
4
a3
e altura do triaˆngulo h = a. Portanto a sua
a´rea e´ igual a
1
2
b h =
1
2
4
a3
a =
2
a2
.
que e´ o triplo da a´rea do triaˆngulo do item anterior.
2) Suponha que um fio retil´ıneo, de sec¸a˜o transversal circular de raio r0, seja percorrido por
uma corrente estaciona´ria. A corrente gera um campo magne´tico cuja intensidade I, em um
ponto do espac¸o, depende da distaˆncia r do ponto ao eixo do fio. Assim, I = I(r), e pode-se
mostrar que, em um sistema de unidades apropriado, a func¸a˜o I(r) e´ dada por
I(r) =


r
r2
0
, se 0 6 r < r0
1
r
, se r > r0
or r
Em cada item, escolha uma das opc¸o˜es e justifique suas respostas.
i) A derivada lateral direita de I em r = r0 e´ igual a:
(a) 1/r2
0
(b) 1/r0 (c) − 1/r
2
0
(d)− 1/r0.
Justificativa: Tem-se I(r0) =
1
r0
e, para r > r0, I(r) =
1
r
. Logo tem-se que
I ′(↓ r0) = lim
r↓r0
I(r)− I(r0)
r − r0
= lim
r↓r0
1
r
−
1
r0
r − r0
= lim
r↓r0
r0 − r
r r0
r − r0
= lim
r↓r0
−1
r r0
= −
1
r2
0
.
ii) A func¸a˜o s e´ deriva´vel em r = r0. (a) Falso (b) Verdadeiro.
Justificativa: Para valores de r < r0, tem-se I(r) =
r
r2
0
, e portanto
I ′(↑ r0) = lim
r↑r0
I(r)− I(r0)
r − r0
= lim
r↑r0
r
r2
0
−
1
r0
r − r0
= lim
r↑r0
r − r0
r2
0
r − r0
= lim
r↑r0
1
r2
0
=
1
r2
0
.
Usando o item anterior, tem-se que as derivadas laterais de I(r) no ponto r0 sa˜o
distintas, e portanto a func¸a˜o na˜o e´ deriva´vel nesse ponto.
iii) A func¸a˜o velocidade e´ dada por
I ′(r) =
{
1/r2
0
, se 0 6 r < r0
−1/r2, se r > r0
?
(a) Falso (b)V erdadeiro.
Justificativa: Temos que
I ′(r) =


(
r
r2
0
)′
=
1
r2
0
, se 0 6 r < r0(
1
r
)′
= −
1
r2
, se r > r0
Como a func¸a˜o I na˜o e´ deriva´vel em r0, o domı´nio de I
′ e´ dado por [0, r0) ∪ (r0,∞).
3) Um dos elevadores mais ra´pidos do mundo, localizado no Taipei Financial Center, subia
com velocidade constante de 10 m/s, quando subtamente, apo´s 5 segundos de sua partida,
suas cordas de sustentac¸a˜o se partem. Felizmente, neste momento, na˜o ha´ ningue´m em seu
interior. A func¸a˜o que descreve a altura do elevador em relac¸a˜o ao solo e´ dada enta˜o pela
seguinte expressa˜o
s(t) =
{
10t + 100, se 0 < t 6 5
150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2, se 5 < t < tA
onde tA e´ o tempo de aterrizagem, a altura e´ dada em metros e o tempo e´ dado em segundos.
Em cada item, escolha uma das opc¸o˜es e justifique suas respostas.
i) A derivada lateral direita de s em t = 5 e´ igual a: (a) 10 (b) 20 (c) 5 (d) 8.
Justificativa: Temos que
s′(5 ↓) = lim
t↓5
s(t)− s(5)
t− 5
= lim
t↓5
(150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2)− 150
t− 5
= lim
t↓5
10(t− 5)− 5(t− 5)2
t− 5
= lim
t↓5
10− 5(t− 5) = 10.
ii) A func¸a˜o s e´ deriva´vel em t = 5. (a)Falso (b) Verdadeiro.
Justificativa: A derivada lateral esquerda e´ dada por
s′(5 ↑) = lim
t↑5
s(t)− s(5)
t− 5
= lim
t↑5
(10t + 100)− 150
t− 5
= lim
t↑5
10(t− 5)
t− 5
= lim
t↑5
10 = 10.
Pelo item anterior, segue que s′(5 ↑) = s′(5 ↓) e enta˜o s e´ de fato deriva´vel em t = 5.
iii) A func¸a˜o velocidade e´ dada por:
(a) (b) (c) (d)
Justificativa: Utilizando as regras da soma e do produto e que constante sai da
derivada, obtemos que
(150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2)′ = 10(t− 5)′ − 5((t− 5)(t− 5))′
= 10− 5((t− 5)′(t− 5) + (t− 5)(t− 5)′)
= 10− 10(t− 5).
Pela definic¸a˜o de velocidade intantaˆnea, segue que v(t) = s′(t). Temos enta˜o que
v(t) =


(10t+ 100)′ = 10, se 0 < t < 5
10, se t = 5
(150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2)′ = 10− 10(t− 5), se 5 < t < tA
1
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Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 5
1) A figura abaixo ilustra um recipiente formado por dois cilindros circulares retos justapos-
tos de altura h e raios r1 > r2. Suponha que, a partir do instante t = 0, o recipiente comece
a ser abastecido a uma vaza˜o constante de modo que o n´ıvel da a´gua s(t) no recipiente e´
dada por
s(t) =


2t, para 0 6 t 6 5
8t− 30, para 5 < t 6 6.
a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o s(t).
b) Determine, caso existam, os instantes
t ∈ (0, 6) nos quais s(t) na˜o e´ deriva´vel.
r1
r2
h
h
c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o v(t), em que v(t) = s′(t) e´ a velocidade com que aumenta
o n´ıvel da a´gua no recipiente.
d) Decida se existe algum instante τ no intervalo (0, 6) no qual v(τ) = 4.
2) Considere a situac¸a˜o em que um gato, inicialmente no ponto G = (1, 0), descobre um
rato situado na origem O = (0, 0) e parte em sua perseguic¸a˜o. No mesmo instante, o rato
percebe o gato e foge seguindo a direc¸a˜o positiva do eixo Oy, com velocidade igual a` metade
da do gato. A trajeto´ria percorrida pelo gato para alcanc¸ar o rato e´ conhecida como curva
de perseguic¸a˜o. Essa curva tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas
posic¸o˜es Q e P , ilustradas na figura abaixo, enta˜o a reta determinada pelos pontos P e Q
e´ tangente a` curva no ponto P . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de
perseguic¸a˜o e´ o gra´fico da func¸a˜o f : [0, 1]→ R dada por f(x) = √x (x
3
− 1) + 2
3
.
a) Se g(x) =
√
x, utilize o fato de que x − a =
(
√
x−√a)(√x+√a) para calcular a derivada g′(a)
atrave´s da definic¸a˜o e determine (
√
x)′ = g′(x).
b) Use o item anterior e as regras de derivac¸a˜o para
calcular a derivada f ′(x). O G
P
Q
c) Determine a posic¸a˜o Q = (0, y0) em que se encontra o rato no instante em que o gato
estiver na posic¸a˜o P = (1/4, f(1/4)).
pa´gina 1 de 2
2
3) Nesse exerc´ıcio vamos calcular as derivadas das func¸o˜es exponencial com o paraˆmetro
multiplicado por dois e menos dois. Usando que
e2x = exex, e−2x = e−xe−x
e a regra da derivada do produto,
i) temos que (e2x)′ e´ dada por
(a) e2x (b) 2e2x (c) −e2x (d) −2e2x
ii) temos que (e−2x)′ e´ dada por
(a) e−2x (b) 2e−2x (c) −e−2x (d) −2e−2x
iii) A func¸a˜o
v(t) = v0e
−2t,
onde v(0) = v0, satifaz a equac¸a˜o
(a) v′(t) = 2v(t) (b) v′(t) = −2v(t) (c) v′(t) = 4v(t) (d) v′(t) = −4v(t)
que e´ a Segunda Lei de Newton para o trem-bala freiando pela resisteˆncia do ar, quando
o coeficiente de atrito e´ o dobro da massa.
4) Nesse exerc´ıcio vamos calcular as derivadas das func¸o˜es cosseno e seno e com o aˆngulo
duplicado. Usando que
cos(2t) = cos2(t)− sen2(t), sen(2t) = 2 sen(t) cos(t)
e as regras da derivada dasoma e do produto,
i) temos que (sen(2t))′ e´ dada por
(a) cos(2t) (b) 2 cos(2t) (c) − sen(2t) (d) −2 sen(2t)
ii) temos que (cos(2t))′ e´ dada por
(a) cos(2t) (b) 2 cos(2t) (c) − sen(2t) (d) −2 sen(2t)
Considere a func¸a˜o
s(t) = A cos(2t) +B sen(2t)
onde A e B sa˜o constantes.
iii) Temos que s(0) = A e s′(0) = 2B.
(a) Verdadeiro (b) Falso
iv) Temos que s(t) satifaz a equac¸a˜o
(a) s′′(t) = 2s(t) (b) s′′(t) = −2s(t) (c) s′′(t) = 4s(t) (d) s′′(t) = −4s(t)
que e´ a Segunda Lei de Newton para o sistema massa-mola, quando a constante de
Hooke e´ o qua´druplo da massa.
pa´gina 2 de 2
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Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 5
– Gabarito –
1) A figura abaixo ilustra um recipiente formado por dois cilindros circulares retos justapos-
tos de altura h e raios r1 > r2. Suponha que, a partir do instante t = 0, o recipiente comece
a ser abastecido a uma vaza˜o constante de modo que o n´ıvel da a´gua s(t) no recipiente e´
dada por
r1
r2
h
h
s(t) =
{
2t, para 0 6 t 6 5
8t− 30, para 5 < t 6 6.
5 6
10
18
a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o s(t).
Soluc¸a˜o: para 0 6 t 6 5, o gra´fico e´ um segmento
de reta de inclinac¸a˜o 2; para 5 < t 6 6, o gra´fico e´
um segmento de reta de inclinac¸a˜o 8. Usando essas
informac¸o˜es, o gra´fico e´ como ilustrado ao lado.
b) Determine, caso existam, os instantes t ∈ (0, 6) nos quais s(t) na˜o e´ deriva´vel.
Soluc¸a˜o: a partir do gra´fico acima, percebe-se que s(t) na˜o deve ser deriva´vel em
t=5. E, de fato, calculando-se as derivadas laterais nesse ponto, obte´m-se
lim
t↑5
s(t)− s(5)
t− 5 = limt↑5
2t− 10
t− 5 = limt↑5
2(t− 5)
t− 5 = 2
e
lim
t↓5
s(t)− s(5)
t− 5 = limt↓5
(8t− 30)− 10
t− 5 = limt↓5
8t− 40
t− 5 = limt↓5
8(t− 5)
t− 5 = 8.
Como essas duas derivadas laterais sa˜o distintas, segue-se que a func¸a˜o s(t) na˜o e´
deriva´vel em t = 5.
c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o v(t), em que v(t) = s′(t) e´ a velocidade com que aumenta
o n´ıvel da a´gua no recipiente.
5 6
2
8
Soluc¸a˜o: dos itens anteriores, temos que que v(t) = 2
para 0 < t < 5, v(t) = 8 para 5 < t < 6 e v(t) na˜o esta´
definida para t = 5. Logo, o gra´fico dessa func¸a˜o e´ como
ilustrado ao lado
d) Decida se existe algum instante τ no intervalo (0, 6) no qual v(τ) = 4.
Soluc¸a˜o: Pelo gra´fico, na˜o existe τ ∈ (0, 6) com v(τ) = 4.
2) Considere a situac¸a˜o em que um gato, inicialmente no ponto G = (1, 0), descobre um
rato situado na origem O = (0, 0) e parte em sua perseguic¸a˜o. No mesmo instante, o rato
percebe o gato e foge seguindo a direc¸a˜o positiva do eixo Oy, com velocidade igual a` metade
da do gato. A trajeto´ria percorrida pelo gato para alcanc¸ar o rato e´ conhecida como curva
de perseguic¸a˜o. Essa curva tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas
posic¸o˜es Q e P , ilustradas na figura abaixo, enta˜o a reta determinada pelos pontos P e Q
e´ tangente a` curva no ponto P . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de
perseguic¸a˜o e´ o gra´fico da func¸a˜o f : [0, 1]→ R dada por f(x) = √x (x
3
− 1) + 2
3
.
a) Se g(x) =
√
x, utilize o fato de que x − a =
(
√
x−√a)(√x+√a) para calcular a derivada g′(a)
atrave´s da definic¸a˜o e determine (
√
x)′ = g′(x).
O G
P
Q
Soluc¸a˜o: Por definic¸a˜o, temos que
g′(a) = lim
x→a
√
x−√a
x− a
= lim
x→a
√
x−√a
(
√
x−√a)(√x+√a)
= lim
x→a
1√
x+
√
a
=
1
2
√
a
,
onde no´s supusemos que g(x) =
√
x e´ cont´ınua na reta. Segue enta˜o que
(
√
x)′ = g′(x) =
1
2
√
x
.
b) Use o item anterior e as regras de derivac¸a˜o para calcular a derivada f ′(x).
Soluc¸a˜o: Temos que
f ′(x) =
(√
x (
x
3
− 1) + 2
3
)′
=
(√
x
)′
(
x
3
− 1) +
(
(
x
3
− 1)
)′ √
x
=
1
2
√
x
(
x
3
− 1) + 1
3
√
x
c) Determine a posic¸a˜o Q = (0, y0) em que se encontra o rato no instante em que o gato
estiver na posic¸a˜o P = (1/4, f(1/4)).
Soluc¸a˜o: observe que f(1/4) = 5/24 e f ′(1/4) = −3/4, e portanto a equac¸a˜o da reta
tangente ao gra´fico de f(x) no ponto P = (1/4, f(1/4)) e´ y− 5/24 = (−3/4)(x− 1/4).
De acordo com a propriedade da curva de perseguic¸a˜o, a posic¸a˜o Q = (0, y0) em que
se encontra o rato e´ aquela em que a reta tangente cruza o eixo Oy. Assim, y0 e´ tal
que y0 − 5/24 = (−3/4)(−1/4), isto e´, y0 = 5/24 + 3/16.
3) Nesse exerc´ıcio vamos calcular as derivadas das func¸o˜es exponencial com o paraˆmetro
multiplicado por dois e menos dois. Usando que
e2x = exex, e−2x = e−xe−x
e a regra da derivada do produto,
i) temos que (e2x)′ e´ dada por
(a) e2x (b) 2e2x (c) −e2x (d) −2e2x
Soluc¸a˜o: Temos que
(e2x)′ = (exex)′ = (ex)′ex + ex(ex)′ = 2exex = 2e2x.
ii) temos que (e−2x)′ e´ dada por
(a) e−2x (b) 2e−2x (c) −e−2x (d) −2e−2x
Soluc¸a˜o: No exerc´ıcio (3) mostramos que (e−x)′ = −e−x, temos enta˜o que
(e−2x)′ = (e−xe−x)′ = (e−x)′e−x + e−x(e−x)′ = −2e−xe−x = −2e−2x.
iii) A func¸a˜o
v(t) = v0e
−2t,
onde v(0) = v0, satifaz a equac¸a˜o
(a) v′(t) = 2v(t) (b) v′(t) = −2v(t) (c) v′(t) = 4v(t) (d) v′(t) = −4v(t)
que e´ a Segunda Lei de Newton para o trem-bala freiando pela resisteˆncia do ar, quando
o coeficiente de atrito e´ o dobro da massa.
Soluc¸a˜o: Pelo item anterior, temos que
v′(t) = (v0e
−2t)′ = v0(e
−2t)′ = v0(−2e−2t) = −2(v0e−2t) = −2v(t).
4) Nesse exerc´ıcio vamos calcular as derivadas das func¸o˜es cosseno e seno e com o aˆngulo
duplicado. Usando que
cos(2t) = cos2(t)− sen2(t), sen(2t) = 2 sen(t) cos(t)
e as regras da derivada da soma e do produto,
i) temos que (sen(2t))′ e´ dada por
(a) cos(2t) (b) 2 cos(2t) (c) − sen(2t) (d) −2 sen(2t)
Soluc¸a˜o: Pela regra da derivada do produto, segue que
(sen(2t))′ = 2(sen(t) cos(t))′ = 2(sen′(t) cos(t) + sen(t) cos′(t)).
Usando que sen′ = cos e que cos′ = − sen, obtemos que
(sen(2t))′ = 2(cos2(t)− sen2(t)) = 2 cos(2t).
ii) temos que (cos(2t))′ e´ dada por
(a) cos(2t) (b) 2 cos(2t) (c) − sen(2t) (d) −2 sen(2t)
Soluc¸a˜o: Pela regra da derivada da soma, segue que
(cos(2t))′ = (cos2(t)− sen2(t))′ = (cos(t) cos(t))′ − (sen(t) sen(t))′.
Pela regra da derivada do produto, segue que
(cos(2t))′ = (cos′(t) cos(t) + cos(t) cos′(t))− (sen′(t) sen(t) + sen(t) sen′(t)).
Usando que sen′ = cos e que cos′ = − sen, obtemos que
(cos(2t))′ = (−2 sen(t) cos(t))− (2 sen(t) cos(t)) = −4 sen(t) cos(t) = −2 sen(2t).
Considere a func¸a˜o
s(t) = A cos(2t) +B sen(2t)
onde A e B sa˜o constantes.
iii) Temos que s(0) = A e s′(0) = 2B.
(a) Verdadeiro (b) Falso
Soluc¸a˜o: Usando que sen(0) = 0 e que cos(0) = 1, segue que
s(0) = A cos(0) +B sen(0) = A.
Pela regra da soma e pelos ı´tens anteriores, obtemos que
s′(t) = A(−2 sen(2t)) +B(2 cos(2t)),
mostrando que s′(0) = 2B.
iv) Temos que s(t) satifaz a equac¸a˜o
(a) s′′(t) = 2s(t) (b) s′′(t) = −2s(t) (c) s′′(t) = 4s(t) (d) s′′(t) = −4s(t)
que e´ a Segunda Lei de Newton para o sistema massa-mola, quando a constante de
Hooke e´ o qua´druplo da massa.
Soluc¸a˜o: Utilizando os ı´tens anteriores, obtemos que
s′′(t) = (s′(t))′ = (A(−2 sen(2t)) +B(2 cos(2t)))′ = −2A(2 cos(2t)) + 2B(−2 sen(2t)),
mostrando que s′′(t) = −4(A cos(2t) +B sen(2t)) = −4s(t).
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo I
Lista de Exerc´ıcios – Semana 7
1) Um motor e´ composto de um pista˜o, um virabrequim e uma biela. Considere um motor
cujo virabrequim tem raio r = 1 e a biela comprimento l = 2. Se o virabrequim esta´ em ro-
tac¸a˜o constante α = 3t, enta˜o a func¸a˜o posic¸a˜o vertical do pista˜o e´
dada por
s(t) = z(3t) = cos(3t) +
√
4− sen2(3t).
a) Obtenha a func¸a˜o velocidade vertical do pista˜o v(t).
b) Obtenha a func¸a˜o acelerac¸a˜o vertical do pista˜o a(t).
2) Considere um reservato´rio, na forma de um hemisfe´rio de raioR = 10 m, com a´gua ate´
uma altura h, conforme ilustra a figura abaixo. Nesse caso, o volume de a´gua e´ dado por
V (h) = (pi/3)(3Rh2 − h3). Suponha que o reservato´rio esteja sendo abastecido com uma
vaza˜o de 16 pi m3/min. Portanto a altura h e o raio r da superf´ıcie da a´gua sa˜o func¸o˜es do
tempo. Observe que a forma esfe´rica do reservato´rio estabelece uma relac¸a˜o entre as func¸o˜es
h = h(t) e r = r(t).
r
R
h
a) Usando a regra da cadeia aplicada a V (h(t)), determine o valor
de h′(τ) no instante τ em que h(τ) = 4.
b) Obtenha a relac¸a˜o entre as func¸o˜es h(t) e r(t) menciona acima.
c) Usado os itens anteriores, determine o valor de r′(τ) no instante
τ em que h(τ) = 4.
3) Suponha que um barco seja puxado para o cais por uma corda presa a` sua proa, situada
6 m abaixo do apoio da corda no cais,conforme a figura abaixo. Suponha ainda que a corda
seja puxada com uma velocidade de 2 m/s. Nesse caso, o comprimento c(t) da corda entre
a proa e o apoio, a distaˆncia d(t) do barco ao cais e o aˆngulo θ(t) entre a corda e a vertical
sa˜o func¸o˜es do tempo t. Denote por τ o instante em que c(τ) = 10 m.
c(t)
d(t)
θ(t)
6
a) Calcule o valor de d(τ).
b) Calcule a derivada d′(τ).
c) Calcule o valor de tg(θ(τ)).
d) Usando os itens anteriores e a regra da cadeia, cal-
cule o valor de θ′(τ).
Lista da Semana 7 - 1/2
4) Para filmar o lanc¸amento de um foguete, uma caˆmera e´ colocada a uma distaˆncia
d = 300 m da plataforma de lanc¸amento, conforme ilustra a figura abaixo. Indique por h(t)
a altura (em metros) do foguete e por θ(t) o aˆngulo (em radianos) que a caˆmera faz coma
horizontal t segundos apo´s o lanc¸amento. No que segue, use a aproximac¸a˜o tg(pi/6) = 0, 58.
θ(t)
h(t)
d
a) Obtenha uma expressa˜o de θ(t) em termos de d, de h(t) e
das func¸o˜es trigonome´tricas inversas.
b) Calcule o valor de θ(τ) no instante τ em que h(τ) = 174m.
c) Obtenha uma expressa˜o para a a velocidade angular θ′(t)
do movimento da caˆmera em termos de d, de h(t) e da
velocidade h′(t) do foguete.
d) Determine o valor do quociente θ′(τ)/h′(τ) no instante τ em
que h(τ) = 174 m.
Lista da Semana 7 - 2/2
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo I
Lista de Exerc´ıcios – Semana 7
– Gabarito –
1) Um motor e´ composto de um pista˜o, um virabrequim e uma biela. Considere um motor
cujo virabrequim tem raio r = 1 e a biela comprimento l = 2. Se o virabrequim esta´ em
rotac¸a˜o constante α = 3t, enta˜o a func¸a˜o posic¸a˜o vertical do pista˜o e´ dada por
s(t) = z(3t) = cos(3t) +
√
4− sen2(3t).
a) Obtenha a func¸a˜o velocidade vertical do pista˜o v(t).
Soluc¸a˜o: Temos que
v(t) = s′(t) = −3 sen(3t) +
(√
4− sen2(3t)
)
′
,
onde, pela regra da cadeia(√
4− sen2(3t)
)
′
=
(√
y
)
′
y=4−sen2(3t)
(4− sen2(3t))′
= 1
2
(4− sen2(3t))−
1
2 (4− sen2(3t))′ ,
onde, novamente pela regra da cadeia
(4− sen2(3t))′ = − (sen2(3t))′
= − (y2)′y=sen(3t) (sen(3t))
′
= −(2 sen(3t))(3 cos(3t))
= −3(2 sen(3t) cos(3t))
= −3 sen(6t),
onde usamos a fo´rmula de soma de arcos do seno. Segue que(√
4− sen2(3t)
)
′
= −3
2
(
4− sen2(3t)
)
−
1
2 sen(6t),
logo que
v(t) = −3 sen(3t)− 3
2
sen(6t)√
4− sen2(3t)
.
b) Obtenha a func¸a˜o acelerac¸a˜o vertical do pista˜o a(t).
Soluc¸a˜o: Temos que
a(t) = v′(t) = −9 cos(3t)− 3
2
(
sen(6t)√
4− sen2(3t)
)
′
onde, pela regra do quociente(
sen(6t)√
4− sen2(3t)
)
′
=
6 cos(6t)
√
4− sen2(3t) + 3
2
(4− sen2(3t))−
1
2 sen2(6t)
4− sen2(3t)
= 6 cos(6t)
(
4− sen2(3t)
)
−
1
2 +
3
2
sen2(6t)
(
4− sen2(3t)
)
−
3
2 .
Gabarito da Semana 7 - 1/3
Segue que
a(t) = −9 cos(3t)− 3
2
(
6 cos(6t)
(
4− sen2(3t)
)
−
1
2 +
3
2
sen2(6t)
(
4− sen2(3t)
)
−
3
2
)
= −9 cos(3t)− 9 cos(6t)√
4− sen2(3t)
− 9
4
sen2(6t)(√
4− sen2(3t)
)3
2) Considere um reservato´rio, na forma de um hemisfe´rio de raio R m, com a´gua ate´ uma
altura h, conforme ilustra a figura abaixo. Nesse caso, o volume de a´gua e´ dado por
V (h) = (pi/3)(3Rh2 − h3). Suponha que o reservato´rio esteja sendo abastecido com uma
vaza˜o de 16 pi m3/min. Portanto a altura h e o raio r da superf´ıcie da a´gua sa˜o func¸o˜es do
tempo. Observe que a forma esfe´rica do reservato´rio estabelece uma relac¸a˜o entre as func¸o˜es
h = h(t) e r = r(t).
r
R
h
a) Usando a regra da cadeia aplicada a V (h(t)), determine o valor de
h′(τ) no instante τ em que h(τ) = 4.
Resposta: h′(τ) =
16
8R− 16
Soluc¸a˜o: Como o reservato´rio esta´ sendo abastecido com uma
vaza˜o de 16 pi m3/min, segue que
(V (h(t)))′ = 16 pi,
para todo t. Temos que V ′(h) = pi(2Rh−h2). Pela regra da cadeia
obtemos enta˜o que
16 pi = (V (h(t)))′ = (V (h))′h=h(t)(h(t))
′ = pi(2Rh(t)− h2(t))h′(t).
Isolando h′(t) obtemos que
h′(t) = 16/(2Rh(t)− h2(t)).
Calculando isso no instante τ , no qual h(τ) = 4, obtemos o resultado.
b) Obtenha a relac¸a˜o entre as func¸o˜es h(t) e r(t) menciona acima.
Resposta: r2(t) + (R− h(t))2 = R2
Soluc¸a˜o: da figura e´ claro que r(t) e R−h(t) sa˜o os catetos de um triaˆngulo retaˆngulo
de hipotenusa R, e basta usar Pita´goras.
c) Usado os itens anteriores, determine o valor de r′(τ) no instante τ em que h(τ) = 4.
Resposta: r
′(τ) =
R− 4√
8R− 16
16
8R− 16 = 16
R− 4
(8R− 16)
3
2
Soluc¸a˜o: Isolando r(t) da igualdade do item (b), obtemos que r(t) =
√
2Rh(t)− h2(t).
Em particular, no instante τ em que h(τ) = 4, temos que r(τ) =
√
8R− 16. Agora
derivando a igualdade do item (b) pela regra da cadeia, segue que
(r2)′r=r(t)(r(t))
′ + ((R− h)2)′h=h(t)(h(t))′ = 2r(t)r′(t)− 2(R− h(t))h′(t) = 0.
Gabarito da Semana 7 - 2/3
Isolando r′(t), obtemos que
(∗) r′(t) = R− h(t)
r(t)
h′(t).
Calculando isso no instante τ , no qual h(τ) = 4, r(τ) foi obtido acima e h′(τ) foi obtido
no item (a), obtemos o resultado.
d) Determine, caso exista, a altura h na qual se tenha h′(t) = r′(t).
Resposta: h = R
(
1−
√
2
2
)
Soluc¸a˜o: Da equac¸a˜o (∗) acima segue que h′(t) = r′(t) se, e so´ se, r(t) = R − h(t).
Da igualdade do item (b) segue enta˜o que 2(R − h(t))2 = R2. Isolando h(t) nessa
igualdade, obtemos a resposta.
Gabarito da Semana 7 - 3/3
3) Suponha que um barco seja puxado para o cais por uma corda presa a` sua proa, situada
6 m abaixo do apoio da corda no cais, conforme a figura abaixo. Suponha ainda que a corda
seja puxada com uma velocidade de 2 m/s. Nesse caso, o comprimento c(t) da corda entre
a proa e o apoio, a distaˆncia d(t) do barco ao cais e o aˆngulo θ(t) entre a corda e a vertical
sa˜o func¸o˜es do tempo t. Denote por τ o instante em que c(τ) = 10 m.
6
d(t)
c(t)
θ(t)
a) Calcule o valor de d(τ).
Resposta: d(τ) =
√
102 − 62 = 8 m
Soluc¸a˜o: basta utilizar o Teorema de
Pita´goras no triaˆngulo retaˆngulo de lados
d(τ), c(τ) e 6 m.
b) Calcule a derivada d′(τ).
Resposta: d′(τ) =
−20
8
m/s
Soluc¸a˜o: novamente por Pita´goras, segue-se que as medidas c(t), d(t) e 6 esta˜o rela-
cionadas por
c2(t) = d2(t) + 62.
Derivando essa igualdade pela regra da cadeia, segue que
2c(t) c′(t) = (c2)′c=c(t)(c(t))
′ = (d2)′d=d(t)(d(t))
′ = 2d(t) d′(t).
Isolando d′(t), obte´m-se d′(t) = c(t) c′(t)/d(t). Observe agora que c′(t) = −2, uma
vezque a corda esta´ sendo puxada com uma velocidade de 2 m/s. Apo´s esta observac¸a˜o,
basta substituir t = τ na expressa˜o de d′(t), usar o resultado obtido no item a) e os
valores de c(τ) = 10 e c′(τ) = −2.
c) Calcule o valor de tg(θ(τ)).
Resposta: tg(θ(τ)) =
8
6
Soluc¸a˜o: a tangente de θ(τ) e´ igual a` medida d(τ) = 8 do cateto oposto dividida pela
medida 6 do cateto adjacente.
d) Usando os itens anteriores e a regra da cadeia, calcule a taxa de variac¸a˜o de θ(t) no
instante τ .
Resposta:θ′(τ) =
−12
80
rad/s
Soluc¸a˜o: em um instante gene´rico t, tem-se tg(θ(t)) = d(t)/6. Derivando esta igual-
dade em relac¸a˜o a t, obte´m-se que
( 1 + tg2(θ(t)) ) θ′(t) = d′(t)/6.
Basta agora isolar θ′(t), susbtituir t = τ e usar os valores ja´ calculados de tg(θ(τ)) = 8/6
e d′(τ) = −20/8.
Gabarito da Semana 7 - 4/3
4) Para filmar o lanc¸amento de um foguete, uma caˆmera e´ colocada a uma distaˆncia
d = 300 m da plataforma de lanc¸amento, conforme ilustra a figura abaixo. Indique por h(t)
a altura (em metros) do foguete e por θ(t) o aˆngulo (em radianos) que a caˆmera faz com a
horizontal t segundos apo´s o lanc¸amento. No que segue, use as aproximac¸o˜es tg(pi/6) = 0, 58
e tg(pi/3) = 1, 73.
θ(t)
h(t)
d
a) Obtenha uma expressa˜o de θ(t) em termos de d, de h(t) e
das func¸o˜es trigonome´tricas inversas.
Resposta: θ(t) = arc tg
(
h(t)
d
)
Soluc¸a˜o: de acordo com a figura, tem-se que tg(θ(t)) =
h(t)/d, e basta agora aplicar a func¸a˜o arc tg em ambos os
lados dessa igualdade.
b) Calcule o valor de θ(τ) no instante τ em que h(τ) = 174 m.
Resposta: θ(t) = pi/6
Soluc¸a˜o: no instante t em que h(t) = 174, tem-se θ(t) = arc tg(174/300). Obte´m-se
θ(t) = arc tg(0, 58) = pi/6.
c) Obtenha uma expressa˜o para a a velocidade angular θ′(t) do movimento da caˆmera em
termos de d, de h(t) e da velocidade h′(t) do foguete.
Resposta: θ′(t) =
d2
d2 + h(t)2
h′(t)
d
Soluc¸a˜o: usando a igualdade do item (a), a regra da cadeia e que atg′(x) =
1
1 + x2
,
obte´m-se que
θ′(t) = (atg(x))′x=h(t)/d
(
h(t)
d
)
′
=
d2
d2 + h(t)2
h′(t)
d
d) Determine o valor do quociente θ′(τ)/h′(τ) no instante τ em que h(τ) = 174 m.
Resposta: θ
′(t)
h′(t)
=
3
4× 300
Soluc¸a˜o: observe que
d/
√
d2 + h(t)2 = cos(θ(t)).
Logo, da expressa˜o de θ′(t) obtida no item anterior, segue-se que
θ′(t)/h′(t) = cos2(θ(t))/d.
Como o aˆngulo θ(τ) ja´ foi calculado no item b), obte´m-se que
θ′(τ)/h′(τ) = cos2(pi/6)/300.
Gabarito da Semana 7 - 5/3
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 8
1) Suponha que uma bola B de massa m seja lanc¸ada verticalmente de uma posic¸a˜o inicial
s0 e com velocidade inicial v0. A forc¸a resultante e´ enta˜o F = P + R, onde P = −mg e´
a forc¸a peso e R = −bv e´ a forc¸a de resiteˆncia do ar, onde a constante b e´ o coeficiente de
resisteˆncia do ar. Dividindo por m, a Segunda Lei de Newton F = ma equivale a
a(t) = −g − cv(t) (∗)
onde c = b/m e´ o coeficiente de resisteˆncia do ar por unidade de massa.
Nos itens a seguir, considere a func¸a˜o posic¸a˜o
s(t) = s0 −
g
c
t+
(g
c
+ v0
)(1− e−ct
c
)
.
a) Obtenha as expresso˜es alge´bricas da velocidade v(t) e da acelerac¸a˜o a(t) de s(t).
b) Mostre que v(t) e a(t) obtidas no item anterior satisfazem a equac¸a˜o (∗).
c) Suponha que s0 = 0, que v0 = g = 10 e que b =
1
2
. Sabendo que a altura ma´xima e´
atingida quando a velocidade se anula, determine o instante quando isto ocorre e calcule
a altura ma´xima atingida pela bola B. Utilize a aproximac¸a˜o dada por log
(
3
2
)
≃ 0, 41.
d) Suponha novamente que s0 = 0, que v0 = g = 10, mas que agora b = 0. Determine
novamente a altura ma´xima atingida pela bola B, lembrando-se que, neste caso, s(t) =
s0 + v0t−
g
2
t2 e que v(t) = v0− gt. Calcule a diferenc¸a entre o valor obtido neste item
e o valor obtido no item anterior.
2) Suponha que uma viga retangular, de largura x e altura y, deva ser cortada de um
cil´ındro de sec¸a˜o circular de raio a, como ilustra a figura abaixo. A resisteˆncia R dessa
viga e´ diretamente proporcional ao produto de sua largura x pelo quadrado de sua altura y.
Indique por K a constante de proporcionalidade e observe que a altura y = y(x) pode ser
obtida a partir da largura x, e portanto a resisteˆncia R = R(x) pode ser expressa apenas em
func¸a˜o da largura da viga x, onde x varia de 0 ate´ diaˆmetro 2a do cilindro circular.
x
y
a) Determine a expressa˜o de y = y(x) em termos de x.
b) Obtenha a expressa˜o da resisteˆncia R = R(x) como
func¸a˜o de x.
c) Determine os pontos cr´ıticos de R(x) no domı´nio [0, 2a].
d) Determine o valor ma´ximo da resisteˆncia que pode ser
obtido entre as vigas cortadas do cilindro.
Lista da Semana 8 - 1/3
3) Suponha que, na produc¸a˜o de uma lata de refrigerante, o custo do material da lateral
e do fundo e´ de uma unidade moneta´ria por cent´ımetro quadrado, mas para o material da
tampa esse custo e´ de 98/27 unidades moneta´rias por cent´ımetro quadrado. Suponha ainda
que a lata seja cil´ındrica de raio r cm e altura h cm, conforme ilustra a figura abaixo, e que
o volume seja constante e igual a 53 pi cm3. A ma´quina que fabrica as latas e´ capaz de fazer
latas com raio da base r entre 1 e 6 cm.
r
h
a) Obtenha a expressa˜o da altura h em func¸a˜o do raio r e
do volume da lata.
b) Calcule a a´rea lateral L(r) da lata em func¸a˜o do raio r.
c) Determine o custo de produc¸a˜o C(r) de uma lata de
raio r.
d) Calcule o valor r0 que minimiza o custo de produc¸a˜o,
justificando a sua resposta.
4) Denote por v(t) a velocidade de um corpo de massa m = 0, 1 kg que foi lanc¸ado verti-
calmente com velocidade inicial v(0) = 63 m/s e sujeito a uma forc¸a de resisteˆncia do ar
FR = −v(t). Nesse caso, usando a aproximac¸a˜o g = 10 m/s2 da acelerac¸a˜o da gravidade,
pode-se mostrar que v(t) e´ soluc¸a˜o do problema de valor inicial
(∗)


v′(t)
1 + v(t)
= −10
v(0) = 63
Como ilustra os itens a seguir, o problema (∗) pode ser melhor entendido a partir do fato de
que, se a derivada de uma func¸a˜o for identicamente nula em um intervalo, enta˜o a func¸a˜o e´
necessariamente constante.
a) Calcule as derivadas das func¸o˜es log(1 + v(t)) e −10 t.
b) Pelo item anterior e a equac¸a˜o (∗), qual a relac¸a˜o entre as func¸o˜es log(1+v(t)) e −10 t?
c) Use o item anterior e a condic¸a˜o inicial v(0) = 63 para obter a expressa˜o de v(t).
d) Determine o instante em que o corpo alcanc¸a a altura ma´xima usando a aproximac¸a˜o
log(2) = 0, 69.
5) Para um sistema massa-mola na auseˆncia de atrito, temos que a energia mecaˆnica
m
v(t)2
2
+ k
s(t)2
2
= E
se conserva, onde s(t) e v(t) sa˜o, respectivamente, a posic¸a˜o e a velocidade instantaˆneas, m
e´ a massa do bloco e k e´ a constante de Hooke. Supondo que m = 1, k = 4 e que E = 2,
temos que s(t) e´ soluc¸a˜o da seguinte equac¸a˜o
Lista da Semana 8 - 2/3
(∗)
s′(t)√
1− s(t)2
= 2
Como ilustra os itens a seguir, a equac¸a˜o (∗) pode ser melhor entendida a partir do fato de
que, se a derivada de uma func¸a˜o for identicamente nula em um intervalo, enta˜o a func¸a˜o e´
necessariamente constante.
a) Calcule as derivadas das func¸o˜es asen(s(t)) e 2t.
b) Pelo item anterior e a equac¸a˜o (∗), qual a relac¸a˜o entre as func¸o˜es asen(s(t)) e 2t?
c) Use o item anterior e a condic¸a˜o inicial s(0) = 1 para obter a expressa˜o de s(t).
d) Determine a velocidade no instante t = 0.
Lista da Semana 8 - 3/3
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 8
– Gabarito –
1) Suponha que uma bola B de massa m seja lanc¸ada verticalmente de uma posic¸a˜o inicial
s0 e com velocidade inicial v0. A forc¸a resultante e´ enta˜o F = P + R, onde P = −mg e´
a forc¸a peso e R = −bv e´ a forc¸a de resiteˆncia do ar, onde a constante b e´ o coeficiente de
resisteˆncia do ar. Dividindo por m, a Segunda Lei de Newton F = ma equivale a
a(t) = −g − cv(t) (∗)
onde c = b/m e´ o coeficiente de resisteˆncia do ar por unidade de massa.
Nos itens a seguir, considere a func¸a˜o posic¸a˜o
s(t) = s0 −
g
c
t+
(g
c
+ v0
)(1− e−ct
c
)
.
a) Obtenha as expresso˜es alge´bricas v(t) e a(t), respectivamente,das func¸o˜es velocidade
e acelerac¸a˜o instantaˆneas.
Soluc¸a˜o: Temos que
v(t) = s′(t) =
(
s0 −
g
c
t+
(g
c
+ v0
)(1− e−ct
c
))′
= −g
c
+
(g
c
+ v0
) (1− e−ct)′
c
= −g
c
+
(g
c
+ v0
) −(−ce−ct)
c
= −g
c
+
(g
c
+ v0
)
e−ct
e tambe´m que
a(t) = v′(t) =
(
−g
c
+
(g
c
+ v0
)
e−ct
)′
=
(g
c
+ v0
) (
e−ct
)′
=
(g
c
+ v0
) (
−ce−ct
)
= −c
(g
c
+ v0
)
e−ct.
b) Mostre que v(t) e a(t) obtidas no ı´tem anterior satisfazem a equac¸a˜o (∗).
Soluc¸a˜o: Temos que
−g − cv(t) = −g − c
(
−g
c
+
(g
c
+ v0
)
e−ct
)
= −g + g − c
(g
c
+ v0
)
e−ct
= −c
(g
c
+ v0
)
e−ct
= a(t)
c) Suponha que s0 = 0, que v0 = g = 10 e que c =
1
2
. Sabendo que a altura ma´xima e´
atingida quando a velocidade se anula, determine o instante quando isto ocorre e calcule
a altura ma´xima atingida pela bola B. Utilize a aproximac¸a˜o dada por log
(
3
2
)
≃ 0, 41.
Soluc¸a˜o: Se tM e´ o instante onde a bola atinge a altura ma´xima, sabemos que v(tM) =
0. Temos enta˜o que
0 = −g
c
+
(g
c
+ v0
)
e−ctM
= −20 + (20 + 10) e− 12 tM
Logo
e−
1
2
tM =
2
3
e aplicando o logar´ıtmo em ambos os lados, temos que
−1
2
tM = log
(
2
3
)
= − log
(
3
2
)
.
Portanto
tM = 2 log
(
3
2
)
≃ 0, 82.
A altura ma´xima e´ dada por
s(tM) = s0 −
g
c
t+
(g
c
+ v0
)(1− e−ct
c
)
= 0− 20tM + (20 + 10)
(
1− e− 12 tM
1
2
)
= −20(0, 82) + 30
(
1− 2
3
1
2
)
= 3, 6.
d) Suponha novamente que s0 = 0, que v0 = g = 10, mas que agora c = 0. Determine
novamente a altura ma´xima atingida pela bola B, lembrando-se que, neste caso, s(t) =
s0 + v0t−
g
2
t2 e que v(t) = v0− gt. Calcule a diferenc¸a entre o valor obtido neste ı´tem
e o valor obtido no ı´tem anterior.
Soluc¸a˜o: Se tM e´ o instante onde a bola atinge a altura ma´xima, sabemos que v(tM) =
0. Temos enta˜o que
0 = v0 − gtM
= 10− 10tM
Logo tM = 1 e a altura ma´xima e´ dada por
s(tM) = s0 + v0tM −
g
2
t2
M
= 0 + 10(1)− 5(1)2
= 5.
A diferenc¸a entre os dois valores e´ portanto igual a 1, 4.
2) Suponha que uma viga retangular, de largura x e altura y, deva ser cortada de um
cil´ındro de sec¸a˜o circular de raio a, como ilustra a figura abaixo. A resisteˆncia R dessa
viga e´ diretamente proporcional ao produto de sua largura x pelo quadrado de sua altura y.
Indique por K a constante de proporcionalidade e observe que a altura y = y(x) pode ser
obtida a partir da largura x, e portanto a resisteˆncia R = R(x) pode ser expressa apenas em
func¸a˜o de x.
x
y
a) Determine a expressa˜o de y = y(x) em termos de x.
Soluc¸a˜o: Como o centro do c´ırculo de raio a coincide
com o centro do retaˆngulo inscrito de lados x e y, a
diagonal deste retaˆngulo tem comprimento igual a 2a.
Pelo teorema de Pita´goras, segue que (2a)2 = x2 + y2,
e portanto y = y(x) =
√
4a2 − x2.
b) Obtenha a expressa˜o da resisteˆncia R = R(x) como func¸a˜o de x.
Soluc¸a˜o: A resisteˆncia e´ dada por R = Kxy2, isto e´,
R = R(x) = Kx(4a2 − x2) = K(4a2x− x3).
c) Determine os pontos cr´ıticos de R(x) no domı´nio (0, 2a).
Soluc¸a˜o: Os pontos cr´ıticos sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o R′(x) = K(4a2 − 3x2) = 0.
No domı´nio (0, 2a), a u´nica soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´
x =
2a√
3
d) Classifique os pontos cr´ıticos de R(x) como de mı´nimo local, ma´ximo local ou de sela.
Soluc¸a˜o: Como R′′(x) = −6Kx < 0 no domı´nio (0, 2a), logo x = 2a√
3
e´ ponto de
ma´ximo local e R na˜o possui ponto de sela.
e) Determine o valor ma´ximo da resisteˆncia que pode ser obtido entre as vigas cortadas
do cilindro.
Soluc¸a˜o: Aplicamos o me´todo da otimizac¸a˜o para a func¸a˜o R(x), onde x ∈ [0, 2a]. O
valor de R na fronteira de dom(R) e´ dado por
R(0) = R(2a) = 0.
Nos itens anteriores vimos que R possui apenas o ponto cr´ıtico x = 2a√
3
. O valor de R
nesse ponto e´ dado por
R
(
2a√
3
)
= K
(
4a2
(
2a√
3
)
−
(
2a√
3
)3)
= K
16a3
3
√
3
= K
16a3
√
3
9
> 0.
Comparando os valores de R na fronteira e nos pontos cr´ıticos, conclu´ımos que o valor
acima e´ o valor ma´ximo de R.
3) Suponha que, na produc¸a˜o de uma lata de refrigerante, o custo do material da lateral
e do fundo e´ de uma unidade moneta´ria por cent´ımetro quadrado, mas para o material da
tampa esse custo e´ de 98/27 unidades moneta´rias por cent´ımetro quadrado. Suponha ainda
que a lata seja cil´ındrica de raio r cm e altura h cm, conforme ilustra a figura abaixo, e que
o volume seja constante e igual a 53 pi cm3. A ma´quina que fabrica as latas e´ capaz de fazer
latas com raio da base r entre 1 e 6 cm.
r
h
a) Obtenha a expressa˜o da altura h em func¸a˜o do raio r e
do volume da lata.
Soluc¸a˜o: o volume V da lata e´ dado pela a´rea da base
pi r2 vezes a altura h, isto e´, V = pi r2 h. Usando que
V = 53 pi cm3 e isolando h na igualdade anterior, obte´m-
se h = h(r) = 53/r2 cm.
b) Calcule a a´rea lateral L(r) da lata em func¸a˜o do raio r.
Soluc¸a˜o: substituindo h = h(r) na expressa˜o da a´rea
lateral L = 2 pi r h, obte´m-se L(r) = 2 pi 53/r.
c) Determine a func¸a˜o C(r) que, a cada r, associa o custo de produc¸a˜o de uma lata de
raio r.
Soluc¸a˜o: a soma das a´reas lateral e do fundo e´ igual a L(r) + pi r2, enquanto que a
a´rea da tampa e´ pi r2. Considerando o custo destes materiais e a expressa˜o de L(r),
segue-se que C(r) e´ dada por
C(r) = 2 pi
53
r
+ pi r2 +
98
27
pi r2 = pi
(
2
53
r
+
(
98
27
+ 1
)
r2
)
= 125pi
(
2
r
+
r2
27
)
.
d) Calcule o valor r0 que minimiza o custo de produc¸a˜o, justificando a sua resposta.
Soluc¸a˜o: Aplicamos o me´todo da otimizac¸a˜o para a func¸a˜o C(r), onde r ∈ [1, 6].
Temos que
C ′(r) = 125pi
(
− 2
r2
+
2r
27
)
= 250pi
(
− 1
r2
+
r
27
)
Os pontos cr´ıticos de C sa˜o obtidos resolvendo para r
− 1
r2
+
r
27
= 0 ⇐⇒ r
27
=
1
r2
⇐⇒ r3 = 27.
Como r > 0, segue que r = 3 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de C. O valor de C nesse ponto
e´ dado por
C(3) = 125pi
(
2
3
+
1
3
)
= 125pi.
Os valores de C nos pontos de fronteira de [1, 6] sa˜o
C(1) = 125pi
(
2 +
1
27
)
> 125pi,
C(6) = 125pi
(
1
3
+
36
27
)
> 125pi.
Comparando os valores de C na fronteira e nos pontos cr´ıticos, conclu´ımos que o valor
acima e´ o valor mı´nimo de C. Segue que r = 3 e´ o ponto de mı´nimo de C em [1, 6],
logo o raio r0 = 3cm minimiza o custo de produc¸a˜o.
4) Denote por v(t) a velocidade de um corpo de massa m = 0, 1 kg que foi lanc¸ado verti-
calmente com velocidade inicial v(0) = 63 m/s e sujeito a uma forc¸a de resisteˆncia do ar
FR = −v(t). Nesse caso, usando a aproximac¸a˜o g = 10 m/s2 da acelerac¸a˜o da gravidade,
pode-se mostrar que v(t) e´ soluc¸a˜o do problema de valor inicial
(∗)


v′(t)
1 + v(t)
= −10
v(0) = 63
Como ilustra os itens a seguir, o problema (∗) pode ser melhor entendido a partir do fato de
que, se a derivada de uma func¸a˜o for identicamente nula em um intervalo, enta˜o a func¸a˜o e´
necessariamente constante.
a) Calcule as derivadas das func¸o˜es ln(1 + v(t)) e −10 t.
Soluc¸a˜o: usando a regra da cadeia e a derivada
d
dx
ln(x) =
1
x
, segue-se que
d
dt
(−10 t) = −10 e d
dt
ln(1 + v(t)) =
1
1 + v(t)
v′(t)
b) Use o ı´tem anterior e as informac¸o˜es dadas para obter uma relac¸a˜o entre as func¸o˜es
ln(1 + v(t)) e −10 t.
Soluc¸a˜o: do ı´tem anterior e do problema (∗), segue-se que a derivada da diferenc¸a
ln(1 + v(t)) − (−10 t) e´ identicamente nula no intervalo (0,∞), e portanto a func¸a˜o
ln(1 + v(t))− (−10 t) e´ constante. Assim, as func¸o˜es ln(1 + v(t)) e −10 t esta˜o rela-
cionadas pela igualdade ln(1 + v(t)) =−10 t+K, onde K e´ uma constante.
c) Use o ı´tem anterior e a condic¸a˜o inicial v(0) = 63 para obter a expressa˜o de v(t).
Soluc¸a˜o: isolando v(t) da igualdade ln(1+v(t)) = −10 t+K por meio da exponencial,
segue-se que
v(t) = −1 + e−10 t+K = −1 + e−10 t eK .
Da condic¸a˜o inicial v(0) = 63, obte´m-se que eK = 64, e portanto a expressa˜o da
velocidade e´ v(t) = −1 + 64 e−10 t.
d) Determine o instante em que o corpo alcanc¸a a altura ma´xima usando a aproximac¸a˜o
ln(2) = 0, 69.
Soluc¸a˜o: a altura ma´xima e´ alcanc¸ada no instante em que v(t) = 0. Da expressa˜o de
v(t), o instante e´ aquele para o qual e−10 t = 1/64. Aplicando o logar´ıtmo em ambos
os lados desta igualdade, o valor de t e´ dado por
t =
− ln(1/64)
10
=
6 ln(2)
10
≈ 0, 414
5) Para um sistema massa-mola na auseˆncia de atrito, temos que a energia mecaˆnica
m
v(t)2
2
+ k
s(t)2
2
= E
se conserva, onde s(t) e v(t) sa˜o, respectivamente, a posic¸a˜o e a velocidade instantaˆneas, m
e´ a massa do bloco e k e´ a constante de Hooke. Supondo que m = 1, k = 4 e que E = 2,
temos que s(t) e´ soluc¸a˜o da seguinte equac¸a˜o
(∗) s
′(t)√
1− s(t)2
= 2
Como ilustra os ı´tens a seguir, a equac¸a˜o (∗) pode ser melhor entendida a partir do fato de
que, se a derivada de uma func¸a˜o for identicamente nula em um intervalo, enta˜o a func¸a˜o e´
necessariamente constante.
a) Calcule as derivadas das func¸o˜es asen(s(t)) e 2t.
Soluc¸a˜o: temos que (2t)′ = 2 e, usando a regra da cadeia e que asen′(x) = 1/
√
1− x2,
obte´m-se que
(asen(s(t)))′ = (asen(x))′
x=s(t)(s(t))
′ =
s′(t)√
1− s(t)2
.
b) Pelo ı´tem anterior e a equac¸a˜o (∗), qual a relac¸a˜o entre as func¸o˜es asen(s(t)) e 2t?
Soluc¸a˜o: pelos ca´lculos do ı´tem a) e como s(t) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o (∗), tem-se que
(asen(s(t)))′ = 2 = (2t)′, para todo tempo t. Portanto as func¸o˜es asen(s(t)) e 2t
diferem por uma constante, ou seja, tem-se que asen(s(t)) = 2t+ c, onde c ∈ R.
c) Use o ı´tem anterior e a condic¸a˜o inicial s(0) = 1 para obter a expressa˜o de s(t).
Soluc¸a˜o: usando as informac¸o˜es do ı´tem b), tem-se que c = asen(s(t)) − 2t. Como
s(0) = 1, obte´m-se que c = asen(1) = pi/2. Portanto asen(s(t)) = 2t + pi/2, o que
mostra que s(t) = sen(2t+ pi/2) = cos(2t).
d) Determine a velocidade no instante t = 0.
Soluc¸a˜o: como s(t) = cos(2t), segue que v(t) = (cos(2t))′ = −2 sen(2t). Logo v(0) =
−2 sen(0) = 0.
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 9
1) O mecanismo de suspensa˜o dos automo´veis consiste num sitema composto de uma mola
e de um amortecedor. Denotando por s(t) a posic¸a˜o vertical de um ve´ıculo de massa m
em relac¸a˜o a posic¸a˜o de equil´ıbrio, temos que a forc¸a da mola e´ dada, pela lei de Hooke,
por F = −ks(t) e a forc¸a do amortecedor e´ dada por R = −bv(t), onde v(t) e´ a velocidade
instantaˆnea e a constante b e´ denominada viscosidade do amortecedor. Denotando por a(t)
a acelerac¸a˜o instantaˆnea, pela segunda lei de Newton,
(∗) ma(t) = −ks(t)− bv(t)
para todo tempo t > 0. Suponha que m = 1, b = 4 e k = 4 e considere
s(t) = −3te−2t.
(a) Calcule v(t) e a(t) e verifique que estas expresso˜es juntamente com a expressa˜o de s(t)
realmente satisfazem a equac¸a˜o (∗).
(b) Calcule os pontos cr´ıticos de s(t) e determine os extremos locais e os intervalos de
crescimento e decrescimento de s(t).
(c) Calcule os pontos degenerados de s(t) e determine os pontos de inflexa˜o e os intervalos
de concavidade para cima e para baixo de s(t).
(d) Refac¸a os itens anteriores, supondo agora que m = 1, b = 3 e k = 2 e que s(t) = e−t−e−2t.
2) No estudo dos fogos de artif´ıcio, suponha que v(t) seja a velocidade de uma bomba
lanc¸ada verticalmente com velocidade inicial v(0) = 50 m/s. Suponha ainda que a bomba
tenha massa m = 0, 1 kg, que a acelerac¸a˜o da gravidade seja g = 10 m/s2 e que a forc¸a de
resisteˆncia do ar F seja modelada por F = −0, 01 v(t). Nessas condic¸o˜es, a Segunda Lei de
Newton e´ equivalente a
(∗) a(t) = −10− 0, 1v(t).
para todo tempo t > 0. Considere
v(t) = −100 + 150e−0,1t.
(a) Calcule a(t) e verifique que esta expressa˜o juntamente com a expressa˜o de v(t) realmente
satisfazem a equac¸a˜o (∗) e a condic¸a˜o inicial v(0) = 50.
(b) Calcule os pontos cr´ıticos de v(t) e determine os extremos locais e os intervalos de
crescimento e decrescimento de v(t).
(c) Calcule os pontos degenerados de v(t) e determine os pontos de inflexa˜o e os intervalos
de concavidade para cima e para baixo de v(t).
Lista da Semana 9 - 1/2
3) Um modelo para o estudo da velocidade v(t) de um pa´ra-quedista e´ supor que a forc¸a
de resisteˆncia do ar seja igual a b v(t)2, isto e´, proporcional ao quadrado da velocidade. A
Segunda Lei de Newton fica
mv′(t) = −mg + bv(t)2.
Suponha que a acelerac¸a˜o da gravidade e´ g = 10 m/s2, a massa conjunta do pa´ra-quedas e
do pa´ra-quedista e´ m = 70 kg e que b = 700 kg/s. Da Segunda Lei de Newton segue que
(∗) v′(t) = −10 + 10v(t)2,
para todo tempo t > 0. Suponha que v(0) = −9 m/s e considere
v(t) =
8e−20t + 10
8e−20t − 10
.
(a) Calcule a(t) e verifique que esta expressa˜o juntamente com a expressa˜o de v(t) realmente
satisfazem a equac¸a˜o (∗) e a condic¸a˜o inicial v(0) = −9.
(b) Calcule os pontos cr´ıticos de v(t) e determine os extremos locais e os intervalos de
crescimento e decrescimento de v(t).
(c) Calcule os pontos degenerados de v(t) e determine os pontos de inflexa˜o e os intervalos
de concavidade para cima e para baixo de v(t).
Lista da Semana 9 - 2/2
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 9
– Gabarito –
1) O mecanismo de suspensa˜o dos automo´veis consiste num sitema composto de uma mola
e de um amortecedor. Denotando por s(t) a posic¸a˜o vertical de um ve´ıculo de massa m
em relac¸a˜o a posic¸a˜o de equil´ıbrio, temos que a forc¸a da mola e´ dada, pela lei de Hooke,
por F = −ks(t) e a forc¸a do amortecedor e´ dada por R = −bv(t), onde v(t) e´ a velocidade
instantaˆnea e a constante b e´ denominada viscosidade do amortecedor. Denotando por a(t)
a acelerac¸a˜o instantaˆnea, pela segunda lei de Newton,
(∗) ma(t) = −ks(t)− bv(t)
para todo tempo t > 0. Suponha que m = 1, b = 4 e k = 4 e considere
s(t) = −3te−2t.
i) Calcule v(t) e a(t) e verifique que estas expresso˜es juntamente com a expressa˜o de s(t)
realmente satisfazem a equac¸a˜o (∗).
Soluc¸a˜o: Temos que
v(t) = −3(te−2t)′ = −3((t)′e−2t + (e−2t)′t) = −3(e−2t − 2te−2t) = −3(1− 2t)e−2t
e tambe´m que
a(t) = −3((1− 2t)e−2t)′ = −3((1− 2t)′e−2t + (e−2t)′(1− 2t)) = 12(1− t)e−2t.
Segue enta˜o que
−4s(t)− 4v(t) = −4(−3te−2t +−3(1− 2t)e−2t) = 12(1− t)e−2t = a(t),
verificando a equac¸a˜o (∗).
ii) Calcule os pontos cr´ıticos de s(t) e determine os extremos locais e os intervalos de
crescimento e decrescimento de s(t).
Soluc¸a˜o: Temos que s′(t) = v(t) = 0 se e so´ se t = 1/2, que e´ o u´nico ponto cr´ıtico.
Ale´m disso, como e−2t > 0, segue que o sinal s′(t) e´ igual ao sinal de −3(1− 2t). Logo
temos que s′(t) > 0, se t > 1
2
e tambe´m s′(t) < 0, se 0 6 t < 1
2
. Portanto a func¸a˜o
s cresce em (1
2
,∞) e decresce em [0, 1
2
). Temos enta˜o que t = 1/2 e´ ponto de mı´nimo
global de s.
iii) Calcule os pontos degenerados de s(t) e determine os pontos de inflexa˜o e os intervalos
de concavidade para cima e para baixo de s(t).
Soluc¸a˜o: Como e−2t > 0, segue que o sinal s′′(t) = a(t) e´ igual ao sinal de 12(1− t).
Logo s′′(t) > 0, se 0 6 t < 1 e tambe´m s′′(t) < 0, se t > 1. Portanto a func¸a˜o s
tem concavidade para cima em [0, 1) e tem concavidade para baixo em (1,∞). Temos
enta˜o que t = 1 e´ um ponto de inflexa˜o de s.
iv) Refac¸a os itens anteriores, supondo agora que m = 1, b = 3 e k = 2 e que s(t) =
e−t − e−2t.i) Calcule v(t) e a(t) e verifique que estas expresso˜es juntamente com a expressa˜o de s(t)
realmente satisfazem a equac¸a˜o (∗).
Soluc¸a˜o: Temos que
v(t) = (e−t − e−2t)′ = −e−t + 2e−2t
e tambe´m que
a(t) = (−e−t + 2e−2t)′ = e−t − 4e−2t.
Segue enta˜o que
−2s(t)− 3v(t) = −2(e−t − e−2t)− 3(−e−t + 2e−2t) = e−t − 4e−2t = a(t),
verificando a equac¸a˜o (∗).
ii) Calcule os pontos cr´ıticos de s(t) e determine os extremos locais e os intervalos de
crescimento e decrescimento de s(t).
Soluc¸a˜o: Temos que
s′(t) = v(t) = −e−t + 2e−2t = e−t(2e−t − 1).
Logo s′(t) = 0 se e so´ se e−t = 1/2. Isso ocorre se e so´ se −t = log(1/2), o que e´ o
mesmo que t = log(2), que e´ o u´nico ponto cr´ıtico. Ale´m disso, como e−t > 0, segue
que o sinal s′(t) e´ igual ao sinal de 2e−t−1. Logo temos que s′(t) > 0, se 0 6 t < log(2)
e tambe´m s′(t) < 0, se t > log(2). Portanto a func¸a˜o s cresce em [0, log(2)) e decresce
em (log(2),∞). Temos enta˜o que t = log(2) e´ ponto de ma´ximo global de s.
iii) Calcule os pontos degenerados de s(t) e determine os pontos de inflexa˜o e os intervalos
de concavidade para cima e para baixo de s(t).
Soluc¸a˜o: Temos que
s′′(t) = a(t) = e−t − 4e−2t = e−t(1− 4e−t).
Como e−t > 0, segue que o sinal s′′(t) e´ igual ao sinal de 1 − 4e−t. Logo s′′(t) < 0,
se e so´ se e−t > 1/4, o que ocorre se e so´ se −t > log(1/4), o que e´ o mesmo que
0 6 t < log(4). Por outro lado, s′′(t) > 0, se e so´ se e−t < 1/4, o que ocorre se e so´ se
−t < log(1/4), o que e´ o mesmo que t > log(4). Portanto a func¸a˜o s tem concavidade
para baixo em [0, log(4)) e tem concavidade para cima em (log(4),∞). Temos enta˜o
que t = log(4) e´ um ponto de inflexa˜o de s.
2) No estudo dos fogos de artif´ıcio, suponha que v(t) seja a velocidade de uma bomba
lanc¸ada verticalmente com velocidade inicial v(0) = 50 m/s. Suponha ainda que a bomba
tenha massa m = 0, 1 kg, que a acelerac¸a˜o da gravidade seja g = 10 m/s2 e que a forc¸a de
resisteˆncia do ar F seja modelada por F = −0, 01 v(t). Nessas condic¸o˜es, a Segunda Lei de
Newton e´ equivalente a
(∗) a(t) = −10− 0, 1v(t).
para todo tempo t > 0. Considere
v(t) = −100 + 150e−0,1t.
(a) Calcule a(t) e verifique que esta expressa˜o juntamente com a expressa˜o de v(t) realmente
satisfazem a equac¸a˜o (∗) e a condic¸a˜o inicial v(0) = 50.
Soluc¸a˜o: Temos que
a(t) = (−100 + 150e−0,1t)′ = −15e−0,1t.
Segue enta˜o que
−10− 0, 1v(t) = −10− 0, 1(−100 + 150e−0,1t) = −15e−0,1t = a(t),
verificando a equac¸a˜o (∗).
(b) Calcule os pontos cr´ıticos de v(t) e determine os extremos locais e os intervalos de
crescimento e decrescimento de v(t).
Soluc¸a˜o: Temos que
v′(t) = a(t) = −15e−0,1t.
Logo v′(t) e´ sempre menor do que zero, mostrando que v(t) decresce para todo t > 0 e
que na˜o existem pontos cr´ıticos, nem pontos de extremo local.
(c) Calcule os pontos degenerados de v(t) e determine os pontos de inflexa˜o e os intervalos
de concavidade para cima e para baixo de v(t).
Soluc¸a˜o: Temos que
v′′(t) = a′(t) = 1, 5e−0,1t.
Logo v′′(t) e´ sempre maior do que zero, mostrando que v(t) tem concavidade para cima
para todo t > 0 e que na˜o existem pontos degenerado, nem de inflexa˜o.
3) Um modelo para o estudo da velocidade v(t) de um pa´ra-quedista e´ supor que a forc¸a
de resisteˆncia do ar seja igual a b v(t)2, isto e´, proporcional ao quadrado da velocidade. A
Segunda Lei de Newton fica
mv′(t) = −mg + bv(t)2.
Suponha que a acelerac¸a˜o da gravidade e´ g = 10 m/s2, a massa conjunta do pa´ra-quedas e
do pa´ra-quedista e´ m = 70 kg e que b = 700 kg/s. Da Segunda Lei de Newton segue que
(∗) v′(t) = −10 + 10v(t)2,
para todo tempo t > 0. Suponha que v(0) = −9 m/s e considere
v(t) =
8e−20t + 10
8e−20t − 10
.
(a) Calcule a(t) e verifique que esta expressa˜o juntamente com a expressa˜o de v(t) realmente
satisfazem a equac¸a˜o (∗) e a condic¸a˜o inicial v(0) = −9.
Soluc¸a˜o: Temos que
a(t) =
(
8e−20t + 10
8e−20t − 10
)
′
=
(8e−20t + 10)′(8e−20t − 10)− (8e−20t − 10)′(8e−20t + 10)
(8e−20t − 10)2
=
−160e−20t(8e−20t − 10) + 160e−20t(8e−20t + 10)
(8e−20t − 10)2
=
3200e−20t
(8e−20t − 10)2
.
Segue enta˜o que
−700 + 700v(t)2 = 700(v(t)2 − 1)
= 700
(
(8e−20t + 10)2
(8e−20t − 10)2
− 1
)
= 700
(8e−20t + 10)2 − (8e−20t − 10)2
(8e−20t − 10)2
= 700
(20)(16e−20t)2
(8e−20t − 10)2
= 700
320e−20t
(8e−20t − 10)2
= 70a(t),
verificando a equac¸a˜o (∗).
(b) Calcule os pontos cr´ıticos de v(t) e determine os extremos locais e os intervalos de
crescimento e decrescimento de v(t).
Soluc¸a˜o: Temos que
v′(t) = a(t) =
3200e−20t
(8e−20t − 10)2
.
Logo v′(t) e´ sempre maior do que zero, mostrando que v(t) cresce para todo t > 0 e que
na˜o existem pontos cr´ıticos, nem pontos de extremo local.
(c) Calcule os pontos degenerados de v(t) e determine os pontos de inflexa˜o e os intervalos
de concavidade para cima e para baixo de v(t).
Soluc¸a˜o: Temos que
a′(t) =
(
3200e−20t
(8e−20t − 10)2
)
′
=
(
3200e−20t(8e−20t − 10)−2
)
′
=
(
3200e−20t
)
′
(8e−20t − 10)−2 + 3200e−20t
(
(8e−20t − 10)−2
)
′
= −64000e−20t(8e−20t − 10)−2 + 3200e−20t
(
−2(8e−20t − 10)−3(−160e−20t)
)
= 3200e−20t(8e−20t − 10)−2(−20 + 320e−20t(8e−20t − 10)−1)
= 3200e−20t(8e−20t − 10)−2
(
−20 +
320e−20t
8e−20t − 10
)
= 3200e−20t(8e−20t − 10)−2
(
−20(8e−20t − 10) + 320e−20t
8e−20t − 10
)
= 3200e−20t(8e−20t − 10)−2
(
200− 160e−20t
8e−20t − 10
)
Como 3200e−20t(8e−20t − 10)−2 > 0, o sinal de v′′(t) = a′(t) e´ dado pelo sinal de
200− 160e−20t
8e−20t − 10
Para t > 0, temos que
200− 160e−20t > 0 e 8e−20t − 10 < 0,
mostrando que v′′(t) e´ sempre menor do que zero. Portanto v(t) tem concavidade para
baixo para todo t > 0 e na˜o existem pontos degenerados, nem de inflexa˜o.
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10
1) Esboc¸e o gra´fico das func¸o˜es da Lista da Semana 9 dadas por
i) s(t) = −te−2t
ii) s(t) = e−t − e−2t
iii) v(t) = −100 + 150e−0,1t
iv) v(t) =
8e−20t + 10
8e−20t − 10
indicando, em cada um,
(a) os intervalos de crescimento para cima para baixo e os pontos de extremo local,
(b) os intervalos de concavidade para cima para baixo e os pontos de inflexa˜o,
(c) as ass´ıntotas, quando existirem.
2) A figura abaixo ilustra o gra´fico da func¸a˜o g(x) = 1− x2 com 0 6 x 6 1. Ilustra ainda a
reta tangente La ao gra´fico de g(x) em um ponto (a, g(a)) e os pontos Pa e Qa de intersec¸a˜o
desta reta com os eixos Ox e Oy, respectivamente.
a) Calcule a equac¸a˜o da reta La e, em seguida, obtenha as
coordenadas dos pontos Pa e Qa ilustrados na figura.
b) Usando o item anterior, defina como A(a) a func¸a˜o
que, a cada a ∈ (0, 1), fornece a a´rea do triaˆngulo
PaOQa.
c) Determine os intervalos de crescimento e de decresci-
mento da func¸a˜o A(a).
d) Calcule os limites lim
a→0+
A(a) e lim
a→1−
A(a) e esboce o
gra´fico de A(a).
a 1O Pa
Qa
g(a)
Lista da Semana 10 - 1/2
3) Com relac¸a˜o a` func¸a˜o
f(x) =
1
x2 + 1
,
responda os seguintes ı´tens, justificando sua resposta:
i) Os pontos cr´ıticos: (a) na˜o existem (b) −
√
3
3
e
√
3
3
(c) 0 (d) − 1.
ii) Crescimento em: (a) nenhum lugar (b) (−∞, 0) (c) (−
√
3
3
,
√
3
3
) (d) (
√
3
3
,∞).
iii) Os pontos degenerados: (a) na˜o existem (b) −
√
3
3
e
√
3
3
(c) 0 (d) − 1.
iv) Concavidade para baixo em: (a)R (b) (−∞, 0) (c) (−
√
3
3
,
√
3
3
) (d) (
√
3
3
,∞).
v) Ass´ıntotas horizontais: (a) na˜o existem (b) y = 0 (c) y = −1 e y = 1 (d) y = 1.
vi) Ass´ıntotas verticais: (a) na˜o existem (b) x = 0 (c) x = −1 e x = 1 (d) x = 1.
vii) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
4) Com relac¸a˜o a` func¸a˜o
f(x) =
x√
x2 − 1 ,
respondaos seguintes ı´tens, justificando sua resposta:
i) Os pontos cr´ıticos: (a) na˜o existem (b) 1 (c) 0 (d) − 1.
ii) Crescimento em: (a) nenhum lugar (b) (1,∞) (c) (−1, 1) (d) (−∞,−1).
iii) Os pontos degenerados: (a) na˜o existem (b) 1 (c) 0 (d) − 1.
iv) Concavidade para baixo em: (a) nenhum lugar (b) (1,∞) (c) (−1, 1) (d) (−∞,−1).
v) Ass´ıntotas horizontais: (a) na˜o existem (b) y = 0 (c) y = −1 e y = 1 (d) y = 1.
vi) Ass´ıntotas verticais: (a) na˜o existem (b) x = 0 (c) x = −1 e x = 1 (d) x = 1.
vii) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
Lista da Semana 10 - 2/2
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10
– Gabarito –
1) Gabarito separado (consultar Moodle).
2) A figura abaixo ilustra o gra´fico da func¸a˜o g(x) = 1− x2 com 0 6 x 6 1. Ilustra ainda a
reta tangente L
a
ao gra´fico de g(x) em um ponto (a, g(a)) e os pontos P
a
e Q
a
de intersec¸a˜o
desta reta com os eixos Ox e Oy, respectivamente.
O 1
g(a)
Q
 a P
 a
 a
a) Calcule a equac¸a˜o da reta L
a
e, em seguida,
obtenha as coordenadas dos pontos P
a
e Q
a
ilustra-
dos na figura.
Soluc¸a˜o: a reta L
a
passa por (a, g(a)) e tem coefi-
ciente angular g′(a), logo a sua equac¸a˜o e´ y−g(a) =
g′(a) (x− a). Substituindo os valores g(a) = 1− a2
e g′(a) = −2 a na equac¸a˜o, obte´m-se
y − (1− a2) = −2 a (x− a).
Para as coordenadas do ponto P
a
, basta substituir y = 0 na equac¸a˜o de L
a
para obter o
correspondente valor de x =
a2 + 1
2 a
. Assim P
a
= (
a2 + 1
2 a
, 0). Analogamente, obte´m-se
que Q
a
= (0, a2 + 1).
b) Usando o item anterior, defina como A(a) a func¸a˜o que, a cada a ∈ (0, 1), fornece a
a´rea do triaˆngulo P
a
O Q
a
.
Soluc¸a˜o: o triaˆngulo P
a
O Q
a
e´ retaˆngulo, de base
a2 + 1
2 a
e de altura a2 + 1. Logo, a
sua a´rea e´ dada por
A(a) =
1
2
× a
2 + 1
2 a
× (a2 + 1) = (a
2 + 1)2
4 a
.
c) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da func¸a˜o A(a).
Soluc¸a˜o: calculando e simplificando a derivada da func¸a˜o A(a), obte´m-se
A′(a) =
a2 + 1
4 a2
(3 a2 − 1).
Segue-se que a0 =
√
3/3 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de A(a). Ale´m disso, A′(a) e´ negativa
no intervalo (0, a0) e positiva no intervalo (a0, 1). Assim, A(a) e´ decrescente no primeiro
e crescente no segundo intervalo.
Gabarito da Semana 10 - 1/5
0
1
a 1
d) Calcule os limites lim
a→0+
A(a) e lim
a→1−
A(a) e
esboce o gra´fico de A(a).
Soluc¸a˜o: os limites e o gra´fico sa˜o como
indicados a seguir.
lim
a→0+
A(a) = lim
a→0+
(a2 + 1)2
4 a
=∞
e
lim
a→1−
A(a) = lim
a→1−
(a2 + 1)2
4 a
= 1.
Gabarito da Semana 10 - 2/5
3) Com relac¸a˜o a` func¸a˜o
f(x) =
1
x2 + 1
,
responda os seguintes ı´tens, justificando sua resposta:
Soluc¸a˜o: Primeiro observamos que o domı´nio de f sa˜o todos os pontos x ∈ RRR.
i) Os pontos cr´ıticos: (a) na˜o existem (b) −
√
3
3
e
√
3
3
(c) 0 (d) − 1.
ii) Crescimento em: (a) nenhum lugar (b) (−∞, 0) (c) (−
√
3
3
,
√
3
3
) (d) (
√
3
3
,∞).
Soluc¸a˜o: Temos pela regra da cadeia que
f ′(x) =
(
(x2 + 1)−1
)′
= (x2 + 1)−2(−2x).
Como (x2 + 1)−2 > 0 para todo x, devemos analisar o sinal de −2x. Como −2x = 0
apenas quando x = 0, segue que esse e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f . Como −2x > 0
apenas quando x < 0, segue que f tem crescimento apenas em (−∞, 0).
iii) Os pontos degenerados: (a) na˜o existem (b) −
√
3
3
e
√
3
3
(c) 0 (d) − 1.
iv) Concavidade para baixo em: (a)R (b) (−∞, 0) (c) (−
√
3
3
,
√
3
3
) (d) (
√
3
3
,∞).
Soluc¸a˜o: Temos pela regra da cadeia e do produto que
f ′′(x) = ((x2 + 1)−2(−2x))′
= (−2(x2 + 1)−32x)(−2x) + (x2 + 1)−2(−2)
= 8x2(x2 + 1)−3 − 2(x2 + 1)−2
= (x2 + 1)−3(8x2 − 2(x2 + 1))
= (x2 + 1)−3(6x2 − 2)
Como (x2+1)−3 > 0 para todo x, devemos analisar o sinal de 6x2−2. Como 6x2−2 = 0
apenas quando x = ±
√
1/3 = ±
√
3/3, segue que esses sa˜o os pontos cr´ıticos de f .
Como 6x2 − 2 < 0 apenas quando x ∈ (−
√
3/3,
√
3/3), segue que f tem concavidade
para baixo apenas nesse intervalo.
v) Ass´ıntotas horizontais: (a) na˜o existem (b) y = 0 (c) y = −1 e y = 1 (d) y = 1.
vi) Ass´ıntotas verticais: (a) na˜o existem (b) x = 0 (c) x = −1 e x = 1 (d) x = 1.
Soluc¸a˜o: Como f e´ cont´ınua e seu domı´nio e´ todoRRR, segue que f na˜o possui ass´ıntotas
verticais. Como
lim
x→+∞
f(x) = 0 e lim
x→−∞
f(x) = 0,
segue que f possui apenas uma ass´ıntota horizontal dada por y = 0.
vii) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
Gabarito da Semana 10 - 3/5
Figura 1. Esboc¸o do gra´fico da questa˜o 3.
4) Com relac¸a˜o a` func¸a˜o
f(x) =
x√
x2 − 1 ,
responda os seguintes ı´tens, justificando sua resposta:
Soluc¸a˜o: Primeiro observamos que o domı´nio de f sa˜o os pontos x onde x2 − 1 > 0,
que ocorre se e so´ se x < −1 ou x > 1. Assim, dom(f) = (−∞,−1) ∪ (1,∞)
i) Os pontos cr´ıticos: (a) na˜o existem (b) 1 (c) 0 (d) − 1.
ii) Crescimento em: (a) nenhum lugar (b) (1,∞) (c) (−1, 1) (d) (−∞,−1).
Soluc¸a˜o: Temos pela regra da cadeia e do produto que
f ′(x) =
(
x(x2 − 1)− 12
)′
= (x2 − 1)− 12 + x(−1
2
(x2 − 1)− 322x)
= (x2 − 1)− 12 − x2(x2 − 1)− 32
= (x2 − 1)− 32 ((x1 − 1)− x2)
= −(x2 − 1)− 32
Como −(x2 − 1)− 32 < 0 para todo x no domı´nio de f , temos que f na˜o possui pontos
cr´ıticos e que f e´ decrescente.
iii) Os pontos degenerados: (a) na˜o existem (b) 1 (c) 0 (d) − 1.
iv) Concavidade para baixo em: (a) nenhum lugar (b) (1,∞) (c) (−1, 1) (d) (−∞,−1).
Soluc¸a˜o: Temos pela regra da cadeia que
f ′′(x) =
(
−(x2 − 1)− 32
)′
= 3
2
(x2 − 1)− 522x
= (x2 − 1)− 523x
Como (x2 − 1)− 52 > 0 para todo x no domı´nio de f , devemos analisar o sinal de 3x.
Como 3x = 0 apenas quando x = 0 e como esse ponto na˜o esta´ no domı´nio de f , segue
que f na˜o possui pontos cr´ıticos. Como 3x < 0 apenas quando x < 0, segue que f tem
concavidade para baixo apenas no intervalo (−∞,−1).
Gabarito da Semana 10 - 4/5
v) Ass´ıntotas horizontais: (a) na˜o existem (b) y = 0 (c) y = −1 e y = 1 (d) y = 1.
vi) Ass´ıntotas verticais: (a) na˜o existem (b) x = 0 (c)x = −1 e x = 1 (d) x = 1.
Soluc¸a˜o: Como f e´ cont´ınua e dom(f) = (−∞,−1) ∪ (1,∞), segue que f so´ pode
ter ass´ıntotas verticais em x = ±1. Temos que
lim
x→1+
x√
x2 − 1 =∞,
uma vez que em x = 1,
√
x2 − 1 = 0 e quando x → 1+, x > 0 e
√
x2 − 1 > 0. Temos
que
lim
x→−1−
x√
x2 − 1 = −∞,
uma vez que em x = −1,
√
x2 − 1 = 0 e quando x → −1−, x < 0 e
√
x2 − 1 > 0.
Segue que f possui ass´ıntota vertical em x = 1 e x = −1.
Para calcular o limite lim
x→∞ x/
√
x2 − 1, observamos que para x > 0 temos que x =√
x2, logo
x√
x2 − 1 =
1
√
x
2−1√
x
2
=
1√
x
2−1
x
2
=
1√
1− 1
x
2
→ 1,
quando x→∞. Segue que
lim
x→∞
x√
x2 − 1 = 1
Segue que f possui ass´ıntota horizontal y = 1 a` direita.
Para calcular lim
x→−∞ x/
√
x2 − 1, fazemos um racioc´ınio ana´logo, observando que para
x < 0 temos que x = −
√
x2. Assim obtemos que
lim
x→−∞
x√
x2 − 1 = −1
Segue que f possui ass´ıntota horizontal y = −1 a` esquerda.
vii) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
Gabarito da Semana 10 - 5/5
Figura 2. Esboc¸o do gra´fico da questa˜o 4.
Gabarito da Semana 10 - 6/5
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 12
1) Considere uma reta orientada da esquerda para a direita, com origem no ponto O.
Suponha que, no instante t, a posic¸a˜o em relac¸a˜o a` origem de uma part´ıcula que se desloca
ao longo dessa reta seja dada por s(t) =
∫
t
0
v, em que v : [0, 9] → R e´ a func¸a˜o velocidade,
cujo gra´fico esta´ ilustrado abaixo.