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Fenómenos de Transporte I Fluidos e suas Propriedades Fluidos Estados da matéria Fluido: Substancia que não tem forma própria, adota a formato do recipiente. Não resiste a tensão de cisalhamento Fluidos: Definição Formal Experiência de duas placas Solido. Se a força não supera limite elástico solido...solido volta Fluido. Não resiste tensão de cisalhamento. Adquire a mesma velocidade do superfície em contato Fluidos: Líquidos e gases Os líquidos formam uma superfície livre em repouso superfície estacionária não determinada pelo recipiente que contém o líquido Os gases se expandem livremente quando não confinados (ou contidos) por um recipiente, não formam uma superfície livre. A superfície livre característica dos líquidos é uma propriedade da presença de tensão interna e atração/repulsão entre as moléculas do fluido, bem como da relação entre as tensões internas do líquido com o fluido ou sólido que o limita. Fluidos: Líquidos e gases Líquidos não se deixam comprimir, são incompressíveis (a sua densidade é constante e não varia ou varia muito pouco) Gases se comprimem facilmente Em alguns casos não é tão obvia a fronteira entre fluido e solido, especialmente no caso de líquidos de altíssima viscosidade vidro liquido extremadamente denso e viscoso Fluidos Outra classificação importante dos fluidos: Aqueles nos que a sua viscosidade pode-se considerar constante Fluidos Newtonianos Ar Gasolina E Aqueles nos que a sua viscosidade muda com a temperatura ou com a força de cisalhamento aplicada Fluidos não Newtonianos Tintas Sangue Masinha Fluidos, nosso interesse no curso Mecânica dos fluidos : Ciência que tem por objetivo o estudo do comportamento físico dos fluidos e das leis que regem este comportamento Ação dos fluidos em superfícies submersas. Equilíbrio de corpos flutuantes. Movimento do petróleo em o seu transporte. Ação do vento em construções civis. Fluxo do ar nas asas de aeronaves. Sistemas de Unidades Unidades derivadas Prefixos no SI Conversão de Unidades Conversão de Unidades Aula 2: Propriedades dos Fluidos Propriedades dos Fluidos Propriedades fundamentais para a análise de um fluido Propriedades específicas para cada tipo de substância Dentre essas propriedades podem-se citar: A massa específica O peso específico O peso específico relativo Massa Específica Representa a relação entre a massa de uma determinada substância e o volume ocupado por ela. A massa específica pode ser quantificada através da aplicação da equação a seguir. ρ é a massa específica, m representa a massa da substância e V o volume por ela ocupado. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é quantificada em kg e o volume em m³, assim, a unidade de massa específica é kg/m³. Peso Específico É a relação entre o peso de um fluido e volume ocupado, seu valor pode ser obtido pela aplicação da equação a seguir Como o peso é definido pelo princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de Newton) por , a equação pode ser reescrita do seguintemodo: A partir da análise das equações é possível verificar que existe uma relação entre a massa específica de um fluido e o seu peso específico, e assim, pode-se escrever que: onde, γ é o peso específico do fluido, W é o peso do fluido e g representa a aceleração da gravidade, em unidades do (SI), o peso é dado em N, a aceleração da gravidade em m/s² e o peso específico em N/m³. Peso Específico Relativo Representa a relação entre o peso específico do fluido em estudo e o peso específico da água. Em condições de atmosfera padrão o peso específico da água é 10000N/m³, e como o peso específico relativo é a relação entre dois pesos específicos, o mesmo é um número adimensional, ou seja não contempla unidades. Propriedades dos Fluidos Aula 3 : fluidos, conclusão de propriedades Viscosidade e aplicações das propriedades dos fluidos Tensão de Cisalhamento Tensão de Cisalhamento : O modulo da Componente Tangencial da Força aplicada e a área sobre a qual se aplica : Força Tangencial por unidade de Área 𝜏 = 𝐹𝑇 𝐴 Tensão de Cisalhamento Fluido: Substancia que se deforma com velocidade constante devido à tensão de Cisalhamento Inicialmente as placas e o fluido em repouso Tensão de Cisalhamento Aplica-se uma força Ft na direção tangencial à superfície da placa. A placa se acelera passa de Vo a V1 Tensão de Cisalhamento Segue aplicando-se a força até atingir uma velocidade da placa constante: Força de cisalhamento Ft Segunda lei de Newton: deve existir força que equilibre : Tensão de Cisalhamento Tensão de Cisalhamento Segundo o princípio de aderência :Junto à placa superior as partículas do fluido tem velocidade V1 e Junto à placa inferior a velocidade do fluido é nula. Tensão de Cisalhamento Entre as partículas de cima e de baixo existe atrito que forma tensões de cisalhamento contrarias ao movimento (tangenciais) Estas tensões agem em todas as camadas Viscosidade Newton – a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade (variação da velocidade com a altura) 𝜏 ∝ 𝑑𝑣 𝑑𝑦 , 𝜏 = 𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑦 : Viscosidade dinâmica ou absoluta Viscosidade Absoluta ou Dinâmica E própria de cada fluido Depende de caraterísticas como a temperatura e a pressão Não é observável num fluido estático Permite equilibrar as forças tangenciais nos fluidos É a constante de proporcionalidade da lei de Newton para os fluidos É a propriedade que indica maior o menor dificuldade de um fluido a escoar 𝜇 = 𝑁𝑠 𝑚2 = 𝑃𝑎 ∙ 𝑠 Viscosidade Absoluta ou Dinâmica ∆ 𝐴𝐵𝐶 ≈ ∆𝑀𝑁𝑃 𝑀𝑃 𝑀𝑁 = 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝑑𝑣 𝑑𝑦 = 𝑣0 𝜀 = 𝑐𝑡𝑒 𝜏 = 𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑦 → 𝜏 = 𝜇 𝑣0 𝜀 Viscosidade Cinemática Por comodidade existe uma relação entre a Viscosidade e a massa especifica de um fluido 𝜈 = 𝜇 𝜌 = 𝑚2 𝑠 Exemplos: 1. A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 𝑚2 𝑠 , e o seu peso especifico é 0,9. Determinar a Viscosidade Dinâmica em unidades do S.I. (aceleração da gravidade = 9,8 𝑚 𝑠2) R/ 25,71 𝑁𝑠 𝑚2 Viscosidade 2. São dadas duas placas paralelas de 2 𝑚𝑚 . A placa superior move-se com velocidade de 4 𝑚 𝑠, enquanto que a inferior está fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo ( 𝜐 = 0,1𝑐𝑚2/𝑠, 𝜌 = 9 𝐾𝑔 𝑚3). a) Qual a tensão de cisalhamento no óleo ? b) Qual a força necessária para rebocar a placa superior de área 𝐴 = 0,5 𝑚2? R/ 𝜏 = 0,18 𝐾𝑔 𝑠2𝑚, F = 0,09 𝐾𝑔𝑚 𝑠2 Viscosidade 3. Uma placa quadrada de 1𝑚 de lado e 20 𝑁 de peso desliza sobre um plano inclinado de 30𝑜, sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é 2 𝑚 𝑠 constante. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2𝑚𝑚 ? R/ μ = 0,001 𝑁𝑠 𝑚2 Conceitos Fluido Ideal : Aquele cuja viscosidade é nula, então conclui-se que escoa sem perda de energia por atrito. Nenhum fluido tem esta propriedade, mas, algumas vezes será necessário admitir essa hipótese. Fluido ou escoamento Incompresivel : seu volume não varia com a pressão, por tanto sua massa especifica não varia com a pressão. Não existem na pratica mas os líquidos têm comportamento muito próximo ou gases a baixas variações de pressão podem ser considerados incompressíveis. Se a variação de massa for desprezível pode-se considerar estahipótese. Equação de Estado dos Gases Se um fluido não pode-se considerar incompressível + efeitos térmicos A massa especifica se relaciona à pressão e temperatura De forma geral para os gases essa relação tem a forma 𝑓 𝜌, 𝑝, 𝑇 = 0 Que são do tipo denominado equações de estado O gás envolvido será considerado gás perfeito, que cumpre as condições : 𝑝 𝜌 = 𝑅𝑇 𝑜𝑢 𝜌 = 𝑝 𝑅𝑇 Equação de Estado dos Gases 𝑝 𝜌 = 𝑅𝑇 𝑜𝑢 𝜌 = 𝑝 𝑅𝑇 𝑝 = pressão absoluta 𝑅= constante do gás ideal, depende do gás 𝑇 = temperatura absoluta (Kelvin) Exemplo: para o ar 𝑅 = 287 𝑚 2 𝑠2𝐾 Equação de Estado dos Gases Numa mudança do estado de um gás 𝑝1 𝑝2 𝜌1 𝜌2 = 𝑇1 𝑇2 Processo Isotérmico: temperatura constante Processo Isobárico: pressão constante Processo Isométrico: volume constante Processo adiabático : sem troca de calor Aula 4: Estática dos Fluidos Pressão Estática dos Fluidos: ramo da mecânica dos fluidos que estuda os fluidos em condição de equilíbrio estático, uma das caraterísticas importantes de estudo é a sua pressão em equilíbrio estático. Pressão: lembrando a decomposição de forças sobre uma superfície de um fluido em repouso: 𝐹𝑡Tangencial : tenção de cisalhamento 𝐹𝑛 Normal : Da origem às pressões Estática dos Fluidos Pressão A pressão é a relação entre a força aplicada em direção normal 𝐹𝑛 à superfície e a área da superfície sendo atingida pela força. Num espaço infinitesimal de área 𝑑𝐴 a pressão sobre um ponto pode-se definir como: 𝑝 = 𝑑𝐹𝑛 𝑑𝐴 Se a pressão fosse uniforme sobre toda a área A ou se o interesse está com a pressão média, então a pressão se define : 𝑝 = 𝐹𝑛 𝐴 Unidades : 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜2 ≡ 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 (𝑝𝑎) Pressão outras unidades comuns são : atm, mmHg, bar, psi, etc. A mais comum é a atmosfera que representa a pressão necessária para elevar 760 mm de Hg Pressão atmosférica O ar atmosférico exerce pressão sobre todos os corpos na superfície a terra, a medida desta pressão foi feita por Evangelista Torricelli (1643) Para isso encheu um tubo longo com mercúrio com um dos extremos fechado, colocou uma tampa no extremo aberto e invertendo o tubo o submergiu numa bacia de mercúrio: Ao retirar o tampo observou o descenso do mercúrio sempre até a mesma altura (760 mm), definindo assim a pressão atmosférica padrão Escalas de Pressão Se a pressão é medida em relação ao vácuo ou zero absoluto (todas as medições em esta escala são positivos ) Pressão Absoluta Se medida adotando a atmosfera como referência: (quase todos os aparelhos de medição de pressão registram zero quando abertos à atmosfera) a pressão efetiva pode ser maio ou menor que zero Pressão efetiva Si a pressão é menor que a atmosférica, costuma ser chamada de vácuo mas é melhor chamar de depressão Escalas de Pressão Verifica-se que 𝑃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃𝑒𝑓 Exercícios 1. Uma placa circular com diâmetro de 0,5m possui um peso de 200 N, determine a pressão exercida por essa placa em Pa, quando ela estiver apoiada sobre o solo. 2. Determine o peso em N de uma placa retangular com área de 2m2 de forma a produzir uma pressão de 5000 Pa. Exercícios propostos 1. Uma caixa retangular d’agua com medidas: 1,2 m x 0,5m e 1m de altura, tem um peso de 1000 N, que pressão exerce sobre o solo: a) Quando estiver vazia b) Quando estiver cheia de agua 𝛾𝐻2𝑜 = 10000 𝑁 𝑚3 2. Uma placa circular com diâmetro igual a 1m possui um peso de 500 N, determine em Pa a pressão exercida por essa placa quando estiver apoiada no solo. Teorema de Stevin É também conhecido como teorema fundamental da Hidrostática: chave para a determinação da pressão em qualquer posição de uma coluna de fluido. O teorema diz que: A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao produto do peso especifico do fluido pela diferença de cota entre esses dois pontos ∆𝑝 = 𝛾 ∙ ∆ℎ Importante notar: Só importa a diferença de cotas, não a distância entre os pontos A pressão nos pontos num mesmo plano horizontal é igual O formato do recipiente não é importante para o calculo Se a pressão da superfície livre de um fluido contido for nula p=0, então a pressão em qualquer ponto de profundidade h será: 𝑝 = 𝛾ℎ Nos gases como o peso especifico é pequeno, se a diferencia de cotas não for muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre pontos Exercícios 1. Um reservatório aberto em sua superfície possui 8m de profundidade e contém agua, determine a pressão hidrostática no fundo do mesmo. 2. Achar a pressão no fundo dos seguintes recipientes enchidos de agua? Aula 5: Principio de Pascal Princípio de Pascal Pressão em torno de um ponto de um fluido em repouso: a pressão num ponto em repouso de um fluido é a mesma em todas as direções. Se um fluido está em repouso, todos os seus pontos também deverão estar. Lei de Pascal a pressão aplicada a um fluido incompressível em repouso transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido p1=1N/cm2 p2=2N/cm2 p3=3N/cm2 p4=4N/cm2 Princípio de Pascal Ao aplicar força de 100 N sobre o êmbolo temos um incremento de pressão : 𝑝 = 𝐹 𝐴 = 100𝑁 5 𝑐𝑚2 = 20𝑁/𝑐𝑚2 Este incremento se produz em todos os pontos do fluido, obtendo: p1=21N/cm2 p2=22N/cm2 p3=23N/cm2 p4=24N/cm2 Exemplos (Brunetti) Exemplos Exemplo Na figura apresentada, os êmbolos A e B possuem áreas de 80 𝑐𝑚2 𝑒 20 𝑐𝑚2 respetivamente, despreze os pesos dos êmbolos e considere o sistema em equilíbrio estático. Sabendo-se que a massa do corpo colocado em A é igual a 100 kg, determine a massa do corpo colocado em B Exercícios Qual a pressão no fundo de um reservatório que contem agua, com 3m de profundidade ? Faça o mesmo cálculo para um reservatório que contem gasolina (peso especifico : 0,72 N/m^3) Exercícios As áreas dos pistões do dispositivo hidráulico da figura mantem relação de 50:2. Verifica-se que um peso P colocado sobre o pistão maior é equilibrado por uma força de 30 N no pistão menor sem que o nível nas duas colunas se altere. Aplicando o princípio de Pascal determine o valor do peso P Exercícios A prensa hidráulica da figura está em equilíbrio. Sabendo-se que os êmbolos possuem uma relação de áreas de 5:2 determine a intensidade da Força F Exercícios Aplicações Prensa Hidráulica Aplicações Cilindro Cilindro de Ação simples Aplicações Cilindro Cilindro de dupla ação ou regenerativo Aula 6: Manômetros e Manometria Manômetro Instrumento utilizado na mecânica dos fluidos para efetuar a medição de pressão. Existem diferentes tipos de manômetros e medidores de pressão BARÔMETRO MANÔMETRO METÁLICO COLUNA PIEZOMÉTRICA OU PIEZÔMETRO MANÔMETRO COM TUBO EM U MANÔMETROS DIFERENCIAIS BARÔMETRO Utiliza-se para a medição da pressão atmosférica Pressão atmosférica padrão: 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 760 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 101303 𝑁/𝑚 2 Manômetro metálico ou de Bourdon O tubo metálico internamente é submetido a uma pressão (a pressão da tomada) e o arco metálico se deforma dependendo dessa pressão. O medidor indica a pressão. Manômetro metálico ou de Bourdon Quando externamente está submetido a uma pressão diferente da atmosférica : A pressão medida será : Manômetro metálico ou de Bourdon Exemplo: A pressãomedida será : Coluna Piezométrica ou piezômetro Tubo de Vidro que ligado ao reservatório permite medir diretamente a carga de pressão Tem três limitações importantes : Manômetro com tubo em U Resolve o problema de pressões negativas Incluindo fluido manométrico se resolve o problema de medição de gases Manômetros diferenciais Manômetros em U ligados a dois reservatórios simultaneamente Equação Manométrica Expressão que permite, a partir da inclusão de um manômetro, determinar a pressão em um sistema ou a pressão diferencial em vários sistemas Equação Manométrica Determinar a pressão em PM e a força no topo Aula 7: Flutuação e Empuxo FLUTUAÇÃO E EMPUXO Empuxo: Para entender este conceito imagine o que acontece quando um corpo mergulha em um liquido: o peso aparente do corpo é menor (chegando até ser anulado completamente em algumas circunstancias quando flutua) A causa deste fenômeno é a existência de uma força vertical, de baixo para cima exercida no corpo pelo liquido : Empuxo O empuxo se deve à diferencia das pressões exercidas pelo fluido nas superfícies superior e inferior do corpo. Sendo as forças inferiores maiores dando como resultante uma força vertical de baixo para cima que é o empuxo FLUTUAÇÃO E EMPUXO A magnitude de esta força de empuxo está relacionada com o princípio de Arquimedes “ Num corpo total ou parcialmente imerso num fluido, age uma força vertical de baixo para cima, chamada empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do volume de fluido deslocado” 𝐸 = 𝛾 𝑉 Exemplos FLUTUAÇÃO E EMPUXO Considerações com relação ao empuxo: Se a massa especifica de uma fluido for menor que a massa especifica de um corpo: o corpo afundara no liquido Se as densidades (massa especifica) são iguais o corpo ficará em equilíbrio quando estiver totalmente mergulhado no liquido Se a densidade do fluido e maior que a do corpo, o corpo permanecerá boiando na superfície do liquido FLUTUAÇÃO E EMPUXO Exercício: Um objeto com massa de 10 kg e volume de 0,002𝑚3 está totalmente imerso dentro de um reservatório de água, determine R: 100 N, 20 N, 80 N FLUTUAÇÃO E EMPUXO Aula 8:Cinemática dos Fluidos Introdução Cinemática dos Fluidos Ramo da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento de um fluido em uma condição de movimento. Estados : Regimes ou Movimentos Variado e Permanente: Os fluidos podem-se encontrar em diferentes estados dependendo de se mudam ou não as propriedades de cada ponto do sistema no transcorrer do tempo Cinemática dos Fluidos Regime Permanente: Ou movimento Permanente, é quando fixado um ponto no sistema de referência, neste ponto, com o decorrer do tempo não mudam suas propriedades : Pressão, massa especifica, velocidade, etc. (as propriedades entre os pontos podem variar) Cinemática dos Fluidos: Regime Permanente Exemplo: No ponto 1 entra a mesma quantidade de fluido que sai no ponto 2 Cinemática dos Fluidos Regime Variado : Ou movimento Variado, é quando as propriedades de um mesmo ponto num sistema podem variar com o decorrer do tempo Cinemática dos Fluidos: Regime Variado Exemplo: no tanque não se tem fornecimento no ponto 1, só saída de fluido no ponto 2 Cinemática dos Fluidos Reservatório de Grandes Dimensões: Reservatório no qual se admite fluido ou se extra fluido, mas devido a suas grandes dimensões o nível não varia sensivelmente com o tempo, assim pode-se considerar como regime permanente. Escoamentos : Laminar e Turbulento Experimento de Reynolds: (1883) Escoamento Laminar Escoamento Turbulento Escoamentos : Laminar e Turbulento O experimento permitiu descobrir que existem dois tipos de escoamento separados por um escoamento de transição . 1. Quando o filete é observável, reto e continuo : as partículas viajam sem agitação transversal mantendo laminas em lâminas concêntricas sem troca de partículas : Escoamento Laminar 2. Quando o filete se dilui no fluido as partículas apresentam velocidades transversais importantes ou movimento aleatório : Escoamento Turbulento. Reynolds verificou a relação deste comportamento : Escoamento Laminar Quando as partículas de um fluido movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, apresentando camadas ou lâminas, cada uma de elas preservando suas caraterísticas. No escoamento laminar a viscosidade age no fluido no sentido de amortecer a tendência de surgimento da turbulência, este tipo de escoamento ocorre geralmente a baixas velocidade e em fluidos com alta viscosidade. Escoamento Turbulento Quando as partículas de um fluido descrevem trajetórias irregulares com movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões de massa. Este tipo de escoamento é comum na água, cuja viscosidade é relativamente baixa. Número de Reynolds Também conhecido Re é um número adimensional que permite determinar o regime de escoamento de um fluido determinado dentro de um tubo ou em uma superfície. Seu cálculo resulta da relação entre forças de inercia e as forças de viscosidade do fluido Este número permite avaliar a estabilidade do fluxo (laminar ou turbulento). Um exemplo comum de sua utilização é nos tuneis aerodinâmicos que medem forças nas asas das aeronaves. Aplicação do Número de Reynolds Re Perfis aerodinâmicos: O Re expressa-se em função da corda media aerodinâmica do perfil da seguinte forma Neste caso particular o número de Reynolds permite calcular corretamente o perfil aerodinâmico para a geração de sustentação e arrasto numa aeronave. Os valores de Re estão na ordem de 1 × 107, sendo que abaixo desse valor geralmente o fluxo é laminar Exercícios Calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é laminar ou turbulento, sabendo-se que em uma tubulação com diâmetro de 4cm escoa agua com uma velocidade de 0,05 m/s. Viscosidade dinâmica da água 𝜇 = 1,0030 × 10−3𝑁𝑠/𝑚2 Rta: 𝑅𝑒 = 1994, laminar Determine o número de Reynolds para uma aeronave em escala reduzida sabendo-se que a velocidade de deslocamento é 𝑣 = 16𝑚/𝑠 para um vôo realizado em condições atmosféricas padrão (𝜌𝑎𝑟 = 1,225 𝑘𝑔/𝑚 3). Considere 𝑐 = 0,35 e 𝜇 = 1,7894 × 10−5 𝑘𝑔 𝑚𝑠 . Rta: 𝑅𝑒 = 3,833 × 105 Aula 9: Vazão e Equação de continuidade em regime permanente Trajetória e linha de corrente Trajetória: lugar ocupado por uma partícula em instantes sucessivos. Linha de corrente: Linha tangente aos vetores de velocidade das partículas em um instante (não depende do tempo: é instantânea). No regime permanente as linhas de corrente e a trajetória coincidem Trajetória e linha de corrente Tubo de Corrente: superfície de forma tubular que formam as linhas de corrente que se apoiam em qualquer linha geométrica fechada. Propriedades dos tubos de corrente: 1. São fixos quando o regime é permanente 2. São impermeáveis à passagem de massa, não passam partícula através do tubo de corrente. Trajetória e linha de corrente Propriedade Fundamental : Em regime permanente as partículas que entram de um lado do tubo de corrente deverão sair do outro, não havendo adição nem subtração de partículas através do tubo Escoamento Unidimensional Unidimensional: quando uma coordenada é suficiente para definir as propriedades do fluido: Neste casso temos um escoamento uniforme em todas as seções 𝑣 = 𝑓(𝑥) Escoamento em mais de uma dimensão Na medida que aumentam as coordenadas aumenta a complexidade das equaçõespara as propriedades. É conveniente descrever o escoamento em uma dimensão Escoamento Bidimensional Escoamento Tridimensional Vazão Volumétrica Vazão: relação entre o volume e o tempo. Suponha que com a torneira aberta o recipiente é empurrado debaixo de ela. No mesmo instante se aciona o cronómetro. Se em 10 s o volume de fluido é 20 L. Vazão da torneira: 𝑄 = 20𝐿 10𝑠 Vazão Volumétrica ou vazão em volume Vazão em volume (Q) : Volume de fluido que atravessa uma certa seção de escoamento por unidade de tempo: 𝑄 = 𝑉 𝑡 ; 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑚3 𝑠 , 𝐿 𝑠 : 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜3 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 Relação entre Vazão e velocidade Suponha um fluido escoando pela secção da figura: O volume de fluido que se desloca através da seção de área A, no tempo t, é: 𝑉 = 𝑠𝐴 𝑄 = 𝑉 𝑡 = 𝑠𝐴 𝑡 Mas, 𝑣 = 𝑠 𝑡 , então: 𝑄 = 𝑣𝐴 Vazão em massa e vazão em Peso Analogamente à vazão em volume, define-se a vazão em massa e a vazão em peso. Vazão em massa: quantidade de massa que escoa em um fluido em um intervalo de tempo. Unidades, usualmente: kg/s Vazão em massa e vazão em Peso Vazão em Peso: Peso do fluido que se escoa em um intervalo de tempo. Como 𝑊 =𝑚𝑔, e 𝑚𝑔 = 𝛾𝑉 Unidades, usualmente: N/s Exemplos Rta: 16,8’ Exemplos Rta: D= 25,4mm Equação de continuidade para Regime Permanente Seja o escoamento de um fluido por um tubo de corrente como na figura Num tubo de corrente não pode haver fluxo lateral de massa, então se Qm1 é a vazão em massa de entrada e Qm2 a vazão em massa da saída 𝑄𝑚1 = 𝑄𝑚2 Equação de continuidade para Regime Permanente Se o fluido for incompressível: Logo, a vazão em volume de um fluido incompressível é a mesma em qualquer seção do escoamento Equação de continuidade de um fluido incompressível Exemplo Rta. 𝑣 = 20𝑚/𝑠 Exemplo Rta: 𝑣𝐺 = 8𝑚/𝑠 Exemplo Múltiplas entradas e saídas Um tubo despeja agua em um reservatório como uma vazão de 20𝐿/𝑠 e outro tubo despeja um liquido de 𝜌𝑓 = 800𝑘𝑔/𝑚 3 com uma vazão de 10𝐿/𝑠. A mistura formada é descarregada por um tubo de área igual a 30𝑐𝑚2 . Determinar a massa especifica da mistura no tubo de descarga e calcule também a velocidade de saída Exemplo Múltiplas entradas e saídas Velocidade de Saída 𝑄𝑣 = 𝑣 ∙ 𝐴 𝑣 = 𝑄𝑣 𝐴 → 𝑣3 = 𝑄𝑣3 𝐴3 𝑣3 = 0,03𝑚3/𝑠 0,003𝑚2 𝑣3 = 10𝑚/𝑠 Exercícios 1. Água é descarregada de um tanque cúbico com 3𝑚 de lado por um tubo de 3 𝑐𝑚 de diâmetro. A vazão no tubo é de 7𝐿/𝑠. Determine a velocidade de descida da superfície livre de agua do tanque e calcule quanto tempo o nível de agua levara para descer 15 𝑐𝑚. Calcule também a velocidade de descida de agua na tubulação. 2. Um determinado líquido escoa por uma tubulação com uma vazão de 5𝐿/𝑠. Calcule a vazão em massa e em peso sabendo-se que a massa especifica do liquido 𝜌 = 1350 𝑘𝑔/𝑚3 e 𝑔 = 10𝑚/𝑠2 Exercícios 3. Os reservatórios (1) e (2) da figura são cúbicos. São enchidos pelos tubos em 100𝑠 𝑒 500 𝑠 respetivamente. Determinar a velocidade da água na seção A indicada, sabendo-se que o diâmetro de essa seção é de 1𝑚. Rta: 4.13 m/s 5m 10 m Água D=1m (A) VAQ 1 2 Exercícios 4. Água escoa na tubulação mostrada com velocidade de 2𝑚/𝑠 na seção (1). Sabendo-se que a área da seção (2) é o dobro da área da seção (1), determine a velocidade de escoamento da seção (2). Exercícios 5. O motor a jato de um avião queima 1𝑘𝑔/𝑠 de combustível quando a aeronave voa a 200𝑚/𝑠 de velocidade. Sabendo-se que a massa especifica do ar é 𝜌𝑎𝑟 = 1,2𝑘𝑔/𝑚 3e a massa especifica dos gases de saída é 𝜌𝑔 = 0,5 𝑘𝑔/𝑚 3 as áreas das seções transversais da turbina são 𝐴1 = 0,3𝑚 2 e 𝐴2 = 0,2𝑚 2 , determine a velocidade dos gases na seção de saída. Exercícios 6. Para a tubulação mostrada, calcular (assumir que o fluido é o mesmo): a) A vazão e a velocidade no ponto (3) b) A velocidade no ponto (4) Dados: 𝑣1 = 1 𝑚 𝑠 ; 𝑣2 = 2 𝑚 𝑠 ; 𝑑1 = 0,2𝑚; 𝑑2= 0,1𝑚; 𝑑3 = 0,25𝑚 𝑒 𝑑4 = 0,15𝑚 Velocidade Média numa seção do escoamento As equações de continuidade da vazão em volume só são validas se a velocidade da toda a seção de escoamento fosse igual Mas na maioria dos casos a velocidade não é unidimensional, mas é possível obter uma expressão de vazão similar nestes casos definindo a velocidade média da seção de escoamento Velocidade Média numa seção do escoamento Aplicando a equação de vazão só numa seção de área 𝑑𝐴, cuja velocidade é 𝑣 temos : A Vazão em toda a área será Se se define a velocidade média como uma velocidade uniforme que substituída pela velocidade real produza a mesma vazão na seção: Desta expressão surge a equação para o cálculo da velocidade média em cada seção Velocidade Média numa seção do escoamento Velocidade média Geralmente precisa-se de uma expressão para a velocidade e outra para à área, se não for indicado o diagrama de velocidades então assume-se a velocidade constante na seção. Velocidade Média numa seção do escoamento Exemplo : Determinar a velocidade média do seguinte diagrama de velocidades (escoamento bidimensional). Na informação gráfica observa-se que a velocidade traça uma linha reta, em função da altura assim, a equação da linha é: 𝑣 = 𝐶1 𝑦 + 𝐶2 As condições de contorno são as seguintes: Para 𝑦 = 0 → 𝑣 = 0 e para 𝑦 = ℎ → 𝑣 = 𝑣0 logo 𝐶2 = 0 e 𝐶1 = 𝑣0/ℎ Exemplo 1. A água escoa por um conduto que possui dois ramais em derivação (figura). O diâmetro do conduto principal é 15𝑐𝑚 e os das derivações são 2,5𝑐𝑚 𝑒 5𝑐𝑚, respectivamente. O perfil das velocidades no conduto principal é dado por: 𝑣 = 𝑣𝑚𝑎𝑥1 1 − 𝑟 𝑅1 2 e nas deri𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 ∶ 𝑣 = 𝑣𝑚𝑎𝑥2,3 1 − 𝑟 𝑅2,3 1/7 se 𝑣𝑚𝑎𝑥1 = 0,02𝑚/𝑠 e 𝑣𝑚𝑎𝑥2 = 0,13 𝑚/𝑠 , determine a velocidade média no tubo de 5𝑐𝑚 de diâmetro (𝑅𝑖 = 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑛𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 )
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