Medidas de posicao e dispersao

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Parte I – Medidas de Posição (Média, Moda (Czuber) e Mediana) para dados 
agrupados em tabelas com intervalo de classe: 
 
1- Média: 
 
 
 
Exemplo: 
Vamos calcular a média para a distribuição abaixo: 
 
 
Resolução 
Em primeiro lugar, devemos calcular o ponto médio de cada classe, fato que 
implica na soma dos limites do intervalo, seguida pela divisão do resultado por 
dois. Na primeira classe, somaríamos 150 e 154, que resulta em 304 e em seguida 
dividiríamos esse valor por 2, chegando a 152.Vamos fazer isso para todas as 
classes. 
 
Em seguida é que realizamos a multiplicação desse ponto médio (x) pela frequência 
simples da classe e somamos essas multiplicações ( o que vai ser o valor do 
numerador da formula) 
 
Em seguida, substituímos os valores na fórmula: 
 
 
 
 
2- Moda (Processo de Czuber): 
Primeiramente temos que identificar qual a classe (ou as classes) de maior 
frequência simples, denominada de classe modal. 
 
Identificamos no exemplo ser a 3ª classe 158 I—162 (f=11) 
 
Aplicamos a fórmula de Czuber: 
 
Sendo : 
lo o limite inferior da classe modal, 
∆1 a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe anterior a 
classe modal, 
∆2 sendo a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe 
posterior 
h a amplitude do intervalo de classe. 
 
Assim temos: 
 l o = 158 pois a classe modal é a 3ª classe 
 ∆1=11-9=2 
 ∆2 = 11 – 8 = 3 
 h = 4 
Portanto, o valor mais frequente nesse grupo de dados, ou seja, sua moda é 159,6. 
 
 
 
3- Mediana: 𝑀𝑑 = 𝑙! + !!!!!" !"#!!" 𝑥 ℎ 
 
 
 
Posição da Mediana: Por se tratar de uma variável contínua, devemos encontrar a 
posição do elemento mediano através da divisão do tamanho da amostra por dois. 
Nesse caso, como são 40 colaboradores, teremos a posição da mediana sendo 
representada pelo 20º elemento. 
 
Valor da mediana: para localizar o 20º elemento, é necessária a construção da 
frequência acumulada. Assim, percebemos rapidamente que o 20º elemento está 
na terceira classe, portanto entre 158 e 162. 
 
A partir dessa constatação, devemos levantar os dados que comporão a fórmula. 
Portanto: 
 Pmd = 20 
 Io = 158 
 fac ant = 13 
 fmd = 11 
 h = 4 
 
 
 
Parte II – Medidas de Dispersão para dados agrupados em tabelas com intervalos 
de classe (Variância, Desvio padrão e Coeficiente de Variação) 
 
1- Variância: 
1.1 – Variância Populacional: 
 
1.2 – Variância Amostral 
 
Quando buscamos calcular a variância para dados populacionais, representamos 
esse cálculo por σ2 e fazemos a divisão do somatório das distâncias quadráticas dos 
elementos a média dividido pelo número total de dados que temos. No entanto, 
quando calculamos a variância para dados amostrais (representada por S2), a 
divisão ocorre pela quantidade de elementos, subtraído de um para que façamos a 
correção dessa condição. 
 
Exemplo: Calcular a variância amostral 
 
1- Calcular a média aritmética da distribuição. 
 
 
Média = 84/10 = 8,4 
2- Calcular o desvio de cada ponto médio (xi) até a média (diminuindo o xi pela 
média) e elevar ao quadrado: 
 
 
3- Multiplicar cada desvio quadrático pela frequência da classe e fazer o somatório 
dessa coluna: 
 
4- Aplicar a fórmula (nesse caso vamos escolher a fórmula para amostra): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Desvio Padrão 
 
É a raiz quadrada da variância: 
 
 
 
No nosso exemplo: 𝑠 = 11,37 = 3,37 
 
 
 
3- Coeficiente de Variação: 
 
Para relacionar o resultado do desvio padrão com a média obtida, chegando então a 
uma classificação quanto à dispersão dos dados, contamos com uma medida de 
dispersão relativa: o coeficiente de variação (CV). Uma vez que o resultado deve ser 
percentual, primeiro operacionalizamos o quociente entre desvio-padrão e a média, 
para em seguida multiplicá-lo por 100. A interpretação do CV é proposta da seguinte 
forma: 
 CV menor ou igual a 15% - série de baixa dispersão, homogênea, estável. 
Os dados estão bem próximos à média calculada. 
 CV entre 15 e 30% - a série apresenta média dispersão. Os dados não estão 
tão próximos à média calculada. 
 CV maior que 30% - a série apresenta alta dispersão, sendo, então, 
classificada como heterogênea. Assim, a média é pouco representativa. 
 
No nosso exemplo: 𝐶𝑉 = !,!"!,! = 0,4 = 40% (Alta)