[Aula] Medidas de Posição e Dispersão

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Universidade Federal de Uberlândia 
Faculdade de Engenharia Química 
Prof.ª: Camila Silveira Lamanes dos Santos. 
Uberlândia-MG 
31 de março de 2016 
07 de abril de 2016 
Medidas de Posição e 
Medidas de Dispersão 
Medidas de Posição 
• Medidas de posição são também chamadas de medidas de tendência 
central; 
• Forma mais sintética de apresentar os resultados contidos nos dados 
observados; 
• Representam um valor central, em torno do qual os dados se 
concentram; 
• Objetivo: Encontrar um único valor, em um conjunto de 
valores observados, que seja representante desse conjunto; 
• Média, mediana e moda → medidas de posição mais comuns . 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
2 
Média Aritmética 
• A média aritmética é uma medida de posição que procura sintetizar um 
conjunto de observações; 
• É muito utilizada por: 
o Apresentar facilidade de cálculo e de interpretação; 
o adaptar-se bem à tratamentos algébricos; 
o ser um estimador que produz estimativas sem tendência, 
consistente, suficiente e geralmente, com boa precisão. 
• Em distribuições assimétricas, não é considerada a melhor medida de 
posição. 
• Simbologia: 
 
𝜇 = 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
𝑥 = 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
G
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3 
Média Aritmética 
• Dados não agrupados (sem tabelas de distribuição de frequências) 
 
𝑥 =
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
 
• Dados agrupados (em tabelas de distribuição de frequências): 
 
𝑥 =
 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
, onde 𝑥𝑖 é 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑖 
 
o Obs: Se não existir intervalo na classe, 𝒙𝒊 é o valor da classe. 
o Hipótese Tabular Básica (H.T.B): os dados contidos em uma 
determinada classe são representados pelo ponto médio da 
classe. 
 
G
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4 
Exemplos 
1. O número de peças defeituosas observado em amostras retiradas 
diariamente da linha de produção de uma indústria, durante uma 
semana, foi: 
 
10 14 13 15 16 18 12 
 
Calcular o número médio de peças defeituosas por dia desta semana 
avaliada. 
G
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5 
Exemplos 
Solução 
 
i. Dados não estão agrupados em tabelas de distribuição de 
frequências; 
ii. n=7; 
 
𝑥 =
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
=
10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12
7
=
98
7
= 14 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 
 
Conclusão: Espera-se que o número médio de peças defeituosas dessa 
indústria seja de 14 peças por dia, podendo variar para mais ou para 
menos. 
 
G
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6 
Exemplos 
2. Considere os números de gols por partida em um determinado 
campeonato de futebol, agrupados e apresentados na sequência. 
Calcule o número médio de gols por partida. 
 
G
EQ
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1
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7 
Nº de gols por partida fi 
0 7 
1 12 
2 16 
3 12 
4 9 
5 4 
Total 60 
Tabela 1: Distribuição de frequências do nº de gols por partida. 
Exemplos 
Solução 
 
i. Os dados estão organizados em uma distribuição de frequências; 
ii. n=60 
 
𝑥 =
 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
=
0𝑥7 + 1𝑥12 + 2𝑥16 + 3𝑥12 + 4𝑥9 + 5𝑥4
60
=
136
60
= 2,30 𝑔𝑜𝑙𝑠 
 
Conclusão: Pode-se dizer que o número médio de gols é de 
aproximadamente 2 por partida, podendo existir jogos com mais de 2 
gols e outros com menos de 2 gols. 
G
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p
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g.
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8 
Exemplos 
3. Para a distribuição de frequências que representa a força de 
ruptura em libras por polegada quadrada (psi) das garrafas 
descartáveis de um litro de refrigerante, calcular a média. 
 
G
EQ
 0
1
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a 
9 
Classes fi 
 86 |-----147 1 
147|-----208 6 
208|-----269 13 
269|-----330 8 
330|-----390 2 
Total 30 
Tabela 2: Distribuição de frequências da força de ruptura das garrafas descartáveis. 
Exemplos 
Solução 
 
i. Os dados estão organizados em uma distribuição de frequências 
com intervalos de classe → Calcular o ponto médio de cada 
classe; 
ii. n=30; 
 
 
G
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 0
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lic
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a 
10 
Classes fi 𝒙𝒊 
 86 |-----147 1 116,5 
147|-----208 6 177,5 
208|-----269 13 238,5 
269|-----330 8 299,5 
330|-----391 2 360,5 
Total 30 
Exemplos 
𝑥 =
 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
=
1𝑥116,5 + 6𝑥177,5 + 13𝑥238,5 + 8𝑥299,5 + 2𝑥360,5
30
=
7399
30
= 246,63 𝑝𝑠𝑖 
 
 
Conclusão: Espera-se que a força média de ruptura das garrafas 
descartáveis seja em torno de 246,63 psi, podendo variar um pouco 
para mais ou para menos. 
G
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11 
Propriedades da média aritmética 
1) A soma dos desvios (SD) de um conjunto de dados em 
relação à sua média é nula. 
𝑆𝐷 = 𝑥𝑖 − 𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑛. 𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑛.
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
= 0
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
 
2) A soma dos quadrados dos desvios de um conjunto de 
dados em relação a uma constante z é mínima se e somente 
se 𝑧 = 𝑥 . 
𝑆𝐷 = (𝑥𝑖 − 𝑧)
𝑛
𝑖=1
² 
 
G
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12 
𝒅(𝑺𝑫)
𝒅𝒛
= 𝟎→ Condição de mínimo 
 
−2. 𝑥𝑖 + 2. 𝑧 = 0 ÷ 2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
 
 𝑧 = 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
 
𝑛. 𝑧 = 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
𝑧 =
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
= 𝑥 
G
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13 
Propriedades da média aritmética 
3) Somando ou subtraindo uma constante z a cada valor 
observado, a média do novo conjunto de dados ficará 
somada ou subtraída da constante z, em relação à média 
inicial. 
Exemplo: 
 1 3 5 7 9 → 𝑥 = 5; 
Somar 2 (z=2): 
3 5 7 9 11 → 𝑦 = 7 → 𝑦 = 𝑥 + 𝑧 
G
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lic
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a 
14 
Propriedades da média aritmética 
Propriedades da média aritmética 
4) Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor observado por 
uma constante z, a nova média ficará multiplicada ou 
dividida por z. 
Exemplo: 
 
 
G
EQ
 0
1
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A
p
lic
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a 
15 
1 3 5 7 9 → 𝑥 = 5; 
Multiplicar por 3 (z=3): 
3 9 15 21 27 → 𝑦 = 15 → 𝑦 = 𝑥 . 𝑧 
Mediana (Md) 
• Realização (valor) que ocupa a posição central de um conjunto de 
dados ordenados (rol), ou seja, abaixo da mediana deverão estar 
50% dos elementos analisados e acima da mediana deverão estar 
50% dos dados analisados. 
Dados não agrupados: 
o Número de dados ímpar: mediana igual ao valor central. 
𝑀𝑑 = 𝑥
(
𝑛+1
2 )
 
o Número de dados par: a mediana será dada pela média 
aritmética entre os dois valores centrais. 
𝑀𝑑 =
𝑥 𝑛
2
+ 𝑥
(
𝑛+2
2 )2
 
Importante!!!! As fórmulas acima podem ser utilizadas para variáveis 
discretas em distribuições de frequências sem intervalo (caso 2). 
G
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16 
Exemplos 
4. Os preços em reais para cada amostra de aparelho de ar 
condicionado são: 
1500 1840 1470 1480 1420 1440 1440 
Calcular a mediana. 
 
Solução: 
i. Ordenar os dados: 1420 1440 1440 1470 1480 1500 1840 
ii. n=7 → mediana dada pelo valor central 
 
Logo, 
𝑀𝑑 = 𝑥 𝑛+1
2
= 𝑥
(
8
2)
= 𝑥4 = 1470 
Conclusão: Pode-se afirmar que 50% dos aparelhos de ar condicionado 
têm preços abaixo de 1470 reais e os outros 50% tem preços acima 
desse valor. 
G
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17 
Exemplos 
5. O peso de mancais produzidos por um processo de fundição está 
sendo estudado. Uma amostra de seis mancais foi medida, resultando 
nos seguintes pesos em libras: 
1,18 1,21 1,19 1,17 1,20 1,21 
Obtenha a mediana. 
Solução: 
 
i. Ordenar os dados em rol: 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,21 
ii. n=6 → amostra com tamanho par 
 
Logo, 
𝑀𝑑 =
𝑥 𝑛
2
+ 𝑥
(
𝑛+2
2 )
2
=
𝑥3 + 𝑥4
2
=
1,19 + 1,20
2
= 1,195 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 
Conclusão: Tem-se que 50% dos mancais têm pesos abaixo de 1,195 libras 
e 50% deles têm peso acima desse valor. 
 
 
G
EQ
 0
1
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p
lic
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En
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18 
Mediana (Md) 
Dados agrupados (tabelas de distribuições de frequências com 
intervalos de classes): 
 
𝑀𝑑 = 𝐿𝐼 +
0,5. 𝑛 − 𝐹𝑖
𝑓𝑀𝑑
. 𝐶 
Onde: 
LI=limite inferior da classe mediana; 
Fi= frequência acumulada das classes anteriores a classe mediana; 
fMd= frequência da classe mediana 
C= amplitude da classe mediana 
n= número de observações (tamanho da amostra) 
Classe mediana: classe onde se encontra o indivíduo mediano. 
G
EQ
 0
1
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p
lic
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à 
En
g.
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u
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a 
19 
Opção alternativa  usar o ponto 
médio da classe mediana 
(Hipótese Tabular Básica) 
Exemplos 
6. Considere os números de gols por partida em um determinado 
campeonato de futebol, agrupados e apresentados na sequência. 
Calcule a mediana desses valores. 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
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a 
A
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lic
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à 
En
g.
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ím
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a 
20 
Nº de gols por partida fi 
0 7 
1 12 
2 16 
3 12 
4 9 
5 4 
Total 60 
Tabela 1: Distribuição de frequências do nº de gols por partida. 
Exemplos 
Solução: 
 
i. n=60 → tamanho da amostra par 
 
𝑀𝑑 =
𝑥 𝑛
2
+ 𝑥
(
𝑛+2
2 )
2
=
𝑥30 + 𝑥31
2
=
2 + 2
2
= 2 𝑔𝑜𝑙𝑠 
 
Conclusão: Pode-se afirmar que em 50% das partidas realizadas 
tiveram menos que 2 gols e as outras 50% mais que 2 gols. 
G
EQ
 0
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A
p
lic
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a 
à 
En
g.
 Q
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a 
21 
Exemplos 
7. Suponha que a renda familiar em salários mínimos de uma 
amostra com 72 trabalhadores pudesse ser representada segundo 
a tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular a mediana. 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
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a 
A
p
lic
ad
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En
g.
 Q
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a 
22 
Classe fi 
 1 |-----2 13 
 2 |-----4 22 
 4 |-----6 18 
 6 |-----8 7 
 8 |-----10 8 
10|-----12 4 
Total 72 
Tabela 3: Distribuição de frequências da renda familiar em salários mínimos. 
Exemplos 
Solução 
i. n=72 (número de dados par) 
ii. Para encontrar a classe mediana: deve-se identificar em quais 
posições estão os dois elementos centrais: 
 
𝑥
(
𝑛
2)
= 𝑥36 
𝑥
(
𝑛+2
2 )
= 𝑥37 
 
De acordo a distribuição de frequências, os números que ocupam 
essas posições estão na 3ª classe. Logo, a classe mediana será 4|-----6. 
Portanto: 
𝑀𝑑 = 4 +
0,5.72 − 35
18
2 = 4,11 salários mínimos 
G
EQ
 0
1
9
- 
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A
p
lic
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En
g.
 Q
u
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23 
Moda (Mo) 
• É o valor que ocorre com maior frequência entre os valores observados; 
• Em um conjunto de dados pode existir mais de uma moda ou nenhum valor 
modal. 
 Dados não agrupados: é o valor que aparece repetido mais vezes (D.F 
caso 2-variáveis discretas sem intervalos de classe). 
 Dados agrupados (tabelas de distribuição de frequências): 
 
𝑀𝑜 = 𝐿𝐼 +
Δ1
Δ1 + Δ2
. 𝐶 
Onde: 
 
LI= limite inferior da classe modal 
∆1= diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe imediatamente 
inferior 
∆2=diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe posterior; 
C=amplitude da classe modal 
Classe modal é a classe de maior frequência 
G
EQ
 0
1
9
- 
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A
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En
g.
 Q
u
ím
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a 
24 
Opção alternativa  
usar o ponto médio da 
classe modal (Hipótese 
Tabular Básica) 
Exemplos 
8. Determine a moda para os seguintes conjuntos de dados: 
 
a. 150, 155, 157, 160, 160, 163, 165, 165, 170 
Resposta: Mo= 160 e Mo= 165 (repetiu duas vezes cada) 
 
b. 10, 12, 14, 15, 16, 19, 21 
Resposta: Não existe moda (nenhum número se repetiu). 
 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
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a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
25 
Exemplos 
9. Considere os dados amostrais do número de circuitos defeituosos em um 
sistema composto por 4 circuitos. Uma amostra de 19 sistemas foi 
coletada, obtendo os seguintes dados: 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar a moda, ou seja, o número modal de circuitos defeituosos por 
sistema. 
Resposta: Mo=1 circuito defeituoso por sistema (maior frequência absoluta) 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
26 
Nº de circuitos defeituosos fi 
1 10 
2 7 
3 1 
4 1 
Total 19 
Tabela 4: Distribuição de frequências do nº de circuitos defeituosos. 
Exemplos 
10. O quadro a seguir representa a distribuição de frequências 
do peso (kg) de pessoas de uma certa faixa etária. Calcule a 
moda e interprete-a. 
 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
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ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
27 
Peso fi 
40 |-----45 3 
45 |-----50 8 
50 |-----55 16 
55 |-----60 12 
60 |-----65 7 
65 |-----70 3 
70 |-----75 1 
Total 50 
Tabela 5: Distribuição de frequências do peso de pessoas de certa faixa etária. 
Exemplos 
Solução 
• 1º modo 
i. Classe modal: 50 |-----55 (maior frequência absoluta=16) 
 
𝑀𝑜 = 𝐿𝐼 +
Δ1
Δ1 + Δ2
. 𝐶
= 50 +
(16 − 8)
16 − 8 + (16 − 12)
. 5 = 53,33 𝐾𝑔 
 
Conclusão: Espera-se que o peso que tenha maior ocorrência 
seja aproximadamente 53,33 Kg. 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
28 
Exemplos 
• 2º modo:H.T.B 
𝑀𝑜 =
50 + 55
2
= 52,5 𝐾𝑔 
 
• 3º modo: método gráfico (quadro) 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
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tí
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ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
29 
Relação entre 𝑥 , Md e Mo 
A. Se 𝑥 = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜:𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 
B. Se 𝑥 > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜:𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 à 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
C. Se 𝑥 < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜:𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 à 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
30 
Outras medidas de posição 
• Média geométrica (G): utilizada para representar variáveis 
com distribuições assimétricas, pois nesses casos, a média 
aritmética, por ser muito inflacionada pelos valores extremos, 
não representa bem a variável. 
𝐺 = (𝑥1. 𝑥2. … . 𝑥𝑛 
𝑛
 ou 
 𝐿𝑜𝑔 𝐺 =
1
𝑛
. (𝑙𝑜𝑔𝑥1 + 𝑙𝑜𝑔𝑥2 +⋯+ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑛) 
 
• Média harmônica (H): utilizada para variáveis que apresentam 
periodicidade, ou seja, uma variação harmônica como, por 
exemplo, ondas de rádio, variação de preços, entre outros. 
𝐻 =
𝑛
 1 𝑥𝑖 
𝑛
𝑖=1
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
31 
• Média Ponderada 𝒙 𝒑 : essa média associa as observações x1, x2, ..., 
xn determinadas ponderações ou pesos que dependem da 
importância atribuída a cada uma das observações. 
𝑥 𝑝 =
 𝑤𝑖 . 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 𝑤𝑖
𝑛
𝑖=1
, 
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑤𝑖 é 𝑜 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çã𝑜 𝑖 
Exemplo 11: Uma indústria realizou ao longo dos últimos três meses 
cinco compras de determinada matéria-prima: 
 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
32 
Outras medidas de posição 
Compra Custo por quilo (R$) Quantidade em quilos 
1 3 1200 
2 3,40 500 
3 2,80 2750 
4 2,90 1000 
5 3,25 800 
Deseja-se obter informações sobre o custo médio por quilo de 
matéria-prima. Qual é esse custo médio? 
 
Solução: 
 
𝑥 𝑝 =
 𝑤𝑖 . 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 𝑤𝑖
𝑛
𝑖=1
=
3.1200 + 3,40.500 + 2,80.2750 + 2,90.1000 + 3,25.800
1200 + 500 + 2750 + 1000 + 800
= 2,96
𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑠
 
 
G
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1
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A
p
lic
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En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
33 
Outras medidas de posição 
Outras medidas de posição 
• Separatrizes (Quartis): Se um conjunto de dados é organizado 
em rol, o valor central ou a média entre os valores centrais é 
definido como mediana. Por extensão, desse conceito de 
mediana, pode-se pensar nos valores que dividem o conjunto 
em quatro partes iguais, e teremos os quartis (Q1, Q2, Q3). O 
quartil Q2 coincide com a mediana. Pode-se ainda ter os decis 
que dividem s dados ordenados em 10 (D1, D2, ..., D9) conjunto 
iguais, ou os percentis que os dividem em 100 partes iguais 
(P1, P2, ..., P99). Desse modo, segue que: 
 
Q2=D5=P50=Md 
P75=Q3 
P25=Q1 
G
EQ
 0
1
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- 
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A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
34 
Outras medidas de posição 
• Cálculo do p-ésimo percentil: 
o Organize os dados em rol e calcule o índice (i): 𝑖 =
𝑝
100
𝑛, em que p é o percentil procurado e n o número de 
observações; 
o Se i não for um número inteiro, arredonde-o para cima. Esse 
número denomina a posição do p-ésimo percentil; 
o Se i for um número inteiro, o p-ésimo percentil será a média 
dos valores na posição i e i+1. 
G
EQ
 0
1
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- 
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p
lic
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En
g.
 Q
u
ím
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a 
35 
Outras medidas de posição 
12. As nota finais de nove alunos em uma determinada 
disciplina são iguais a 89, 88, 94, 65, 42, 73, 66, 66 e 35. 
Calcular e interpretar os quartis. 
Solução: 
 
i. Organizar os dados em rol: 35 42 65 66 66 73 88 89 94 
ii. Sabe-se que: 
P25=Q1 
Q2=P50=Md 
P75=Q3 
 
Logo: 
G
EQ
 0
1
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A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
36 
Outras medidas de posição 
• 𝑖 =
𝑝
100
𝑛 =
25
100
. 9 = 2,25 ≈ 3 
• 𝑖 =
𝑝
100
𝑛 =
50
100
. 9 = 4,5 ≈ 5 
• 𝑖 =
𝑝
100
𝑛 =
75
100
. 9 = 6,75 ≈ 7 
Portanto, 
P25=Q1=65 
Q2=P50=Md=66 
P75=Q3=88 
 
Pode-se afirma que 25% dos alunos tiraram nota abaixo de 65, 
50% nota abaixo de 66 e 75% nota abaixo de 88. 
 
 
G
EQ
 0
1
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p
lic
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à 
En
g.
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ím
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a 
37 
Qual medida de posição devo usar para 
expressar uma variável? 
Ferramentas diferentes para situações 
diferentes!!! 
G
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A
p
lic
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à 
En
g.
 Q
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ím
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a 
38 
Atrasado 
Bêbado 
Batom 
Medidas de dispersão 
• As medidas de posição não apresentam informações sobre o 
comportamento da variável, ou seja, qual sua variabilidade; 
• Necessário associar à medida de posição uma medida de 
dispersão (variabilidade); 
• Medidas de dispersão: indicam o quanto os dados se 
encontram dispersos em torno da região central, ou seja, da 
média. Quanto maior a variação dos dados menor a 
representatividade da média. Assim, dizemos que as 
medidas de dispersão servem para qualificar a média. 
Quanto menor a dispersão, mais confiável é a média. 
• Principais medidas de posição: amplitude total da amostra, 
variância, desvio padrão, coeficiente de variação e erro 
padrão da amostra. 
 
G
EQ
 0
1
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p
lic
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g.
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ím
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a 
39 
Medidas de dispersão 
• Exemplo: Três grupos de alunos submeteram-se a um teste, 
obtendo as seguintes notas: 
 
Grupo A: {1, 8, 10, 10, 11, 12, 18} 𝑥𝐴 = 10;𝑀𝑑 = 10; 𝑀𝑜𝐴 = 10 
Grupo B: {1, 2, 10, 10, 10, 13, 24} 𝑥𝐵 = 10;𝑀𝑑 = 10; 𝑀𝑜𝐵 = 10 
Grupo C: {10, 10, 10, 10, 10, 10, 10} 𝑥𝐶 = 10;𝑀𝑑 = 10; 𝑀𝑜𝐶 = 10 
 
• Apesar da média, mediana e moda serem iguais nos três 
grupos, eles apresentam comportamentos diferentes; 
• A variabilidade que é distinta nos três grupos não pode ser 
identificada apenas com medidas de posição, seria necessário 
uma medida de dispersão. 
 
G
EQ
 0
1
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A
p
lic
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En
g.
 Q
u
ím
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a 
40 
Medidas de dispersão 
• Características desejáveis em uma medida de dispersão: 
 
Considera todas as observações no cálculo; 
É facilmente calculável e compreensível; 
Deve estar exposta o menos possíveis a flutuações da 
amostra. 
G
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 0
1
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lic
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g.
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a 
41 
Amplitude total da amostra (A) 
• Ideia geral da dispersão dos dados; 
• Corresponde a diferença entre a maior (máximo) e a menor 
observação (mínimo) de um conjunto de dados. 
 
Dados não agrupados 
𝐴 = 𝑥(𝑛) − 𝑥(1) 
Dados agrupados (distribuições de frequências com intervalos 
de classes) 
𝐴 = 𝑥 𝑘 − 𝑥 1 = 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 
 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑒 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 
 
Problemas!! 
o Não considera todas as observações no cálculo; 
o Não se tem ideia do comportamento dos dados entre os extremos; 
o Apresenta muita variação de uma amostra para outra, mesmo que 
ambas sejam extraídas da mesma população. 
G
EQ
 0
1
9
- 
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st
ic
a 
A
p
lic
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a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
42 
Exemplo 
13. Utilizando o exemplo da distribuição de frequências do peso (Kg) 
de pessoas de uma mesma faixa etária, calcule a amplitude total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
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tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
43 
Tabela 5: Distribuição de frequências do peso de pessoas de certa faixa etária. 
𝐴 = 𝑥 𝑘 − 𝑥 1 =
70+75
2
−
40+45
2
= 30 Kg 
Variância(s²) e desvio padrão (s) 
• Dados não agrupados: 
𝑠² =
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜𝑠 (𝑆𝑄𝐷)
𝑛 − 1
 
 
 
 
 
 
• Dados agrupados (tabelas com distribuições de frequências) 
𝑠² =
 𝑥𝑖 ²𝑓𝑖 −
 𝑥𝑖 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1 ²
𝑛
𝑘
𝑖=1
𝑛 − 1
 
G
EQ
 0
1
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a 
A
p
lic
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à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
44 
11
)(
²
2
1
1
2
1
2













 

n
n
x
x
n
xx
s
n
i
in
i
i
n
i
i
Obs: Se não existir intervalo na classe, 𝒙𝒊 é o valor da classe. 
Variância (s²) e desvio padrão (s) 
• O desvio padrão (s) é definido como sendo a raiz quadrada 
positiva da variância, ou seja: 
 
𝑠 = 𝑠² 
 
• O desvio padrão possui a mesma unidade dos dados; 
 
• A variância tem a unidade dos dados elevadas ao quadrado 
(sem significado físico). 
G
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 0
1
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- 
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st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
45 
Exemplos 
14. Os dados a seguir referem-se a produção média, em toneladas, de um 
certo produto de uma indústria: 
 
 
 
 
Calcular a produção média da indústria, sua variância e desvio padrão. 
 
Solução: 
 
i. Cálculo da média para dados não agrupados: 
 
𝑥 =
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
=
(50 + 280 + 560 + 170 +⋯+ 870 + 360)
20
= 430,5 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
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st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
46 
50 280 560 170 180 500 250 200 1050 240 
180 1000 1100 120 420 510 480 90 870 360 
Exemplos 
ii. Cálculo da variância para dados não agrupados: 
 
𝑠² =
 𝑥𝑖²
𝑛
𝑖=1 −
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ²
𝑛
𝑛 − 1
=
502 + 2802 + 5602 +⋯+ 8702 + 3602 −
(50 + 280 + 560 +⋯+ 870 + 360)²
20
19
= 109478,60 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠² 
 
iii. Cálculo do desvio padrão: 
 
𝑠 = 𝑠² = 330,88 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 
 
Interpretação: Espera-se que a produção média da indústria seja de 
430,5 toneladas com uma dispersão em torno desse valor de 330,88 
toneladas. 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
47 
Exemplos 
15. Uma inspeção feita em uma amostra de 30 embalagens, cada uma 
contendo uma dúzia da ovos, ao serem transportados de uma granja até o 
local destinado, apresentou os seguintes números de ovos danificados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar o desvio padrão e fazer uma interpretação. 
 
 
 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
48 
Número de ovos quebrados fi 
0 13 
1 9 
2 3 
3 3 
4 1 
5 1 
Total 30 
Exemplos 
𝑠² =
 𝑥𝑖 ²𝑓𝑖 −
 𝑥𝑖 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1 ²
𝑛
𝑘
𝑖=1
𝑛 − 1
=
02. 13 + 12. 9 + 22. 3 + 32. 3 + 42. 1 + 52. 1 −
(0.13 + 1.9 + ⋯+ 5.1)²
30
29
 
= 1,8174 (ovos danificados)² 
 
𝑠 = 𝑠² ≅ 1,35 𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 
 
𝑥 =
 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
=
(0.13 + 1.9 + 2.3 + 3.3 + 4.1 + 5.1)
30
= 1,1 𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 
 
 
Interpretação: Espera-se que a média de ovos danificados durante o 
transporte seja de 1,1, com uma dispersão em torno desse valor de 
aproximadamente 1,35 ovos danificados. 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
49 
Exemplos 
16. Um estudo foi realizado para investigar a quantidade (em milhões) de 
passageiros transportados em diferentes semanas do ano (n=40) por uma 
grande empresa de transporte urbano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se determinar a média e o desvio padrão desse conjunto de dados. 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
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tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
50 
Quantidade de passageiros 
(em milhões) 
fi 
1,5|-----4,5 5 
4,5|-----7,5 10 
7,5|-----10,5 12 
10,5|-----13,5 6 
13,5|-----16,5 7 
Total 40 
Exemplos 
i. Cálculo da média dos dados agrupados em classes com intervalos: 
 
𝑥 =
 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
 
Precisa-se calcular o ponto médio de cada classe: 
 
 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
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st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
51 
Quantidade de 
passageiros (em milhões) 
fi 𝒙𝒊 
1,5|-----4,5 5 3 
4,5|-----7,5 10 6 
7,5|-----10,5 12 9 
10,5|-----13,5 6 12 
13,5|-----16,5 7 15 
Total 40 
Exemplos 
Logo, 
 
𝑥 =
 𝑥𝑖.𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
=
(3.5+6.10+9.12+12.6+15.7)
40
= 9 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 
 
ii. Calcular a variância e o desvio padrão para dados agrupados: 
 
𝑠² =
 𝑥𝑖 ²𝑓𝑖 −
 𝑥𝑖 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1 ²
𝑛
𝑘
𝑖=1
𝑛 − 1
=
32. 5 + 62. 10 + 92. 12 + 122. 6 + 152. 7 −
3.5 + 6.10 + 9.12 + 12.6 + 15.7 ²
40
39
= 14,7692 (𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠)² 
 
𝑠 = 𝑠² = 3,84 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 
G
EQ
 0
1
9
- 
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ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
52 
Interpretação: Pode-se dizer a o número média 
de passageiros que utilizam o transporte urbano 
é 9 milhões, com uma dispersão em torno desse 
valor de 3,84 milhões de passageiros. 
Observações-(s² e s) 
• O desvio padrão é um valor mínimo de erro, pois os desvios são 
calculados em relação à média aritmética; 
• São estatísticas que utilizam todas as observações no cálculo e 
também sofrem pouca influência de mudanças amostrais. 
 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
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ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
53 
Propriedades-(s² e s) 
• Somando-se ou subtraindo-se uma constante k a cada observação, a 
variância e o desvio padrão não se alteram; 
• Multiplicando-se ou dividindo-se cada observação por uma 
constante k, a nova variância ficará multiplicada ou dividida por k², e 
o novo desvio por k; 
• A variância de uma constante é igual a zero; 
• A variância e o desvio padrão são sempre positivos e são usados 
todos os valores observados em seu cálculo. 
 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
54 
Exemplo: Suponha que o salário médio de uma empresa X é de R$ 
1500,00 com desvio padrão de R$ 250,00. Será dado um aumento de 
R$150,00 para cada funcionário. Qual o novo salário médio e o novo 
desvio padrão? 
o Nova média → Somando ou subtraindo uma constante z a cada valor 
observado, a média do novo conjunto de dados ficará somada ou 
subtraída da constante z, em relação à média inicial. Logo, o novo 
salário médio da empresa X será R$1500,00+ R$150,00= R$1650,00. 
o Novo desvio padrão → Somando-se ou subtraindo-se uma constante k a 
cada observação, a variância e o desvio padrão não se alteram. Logo, o 
desvio padrão dos salários continua sendo R$250,00. 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
55 
Propriedades-(s² e s) 
Coeficiente de Variação (CV) 
• Conjuntos de dados com diferentes unidades de medida, ou 
mesmo para uma única unidade: se os conjuntos de dados 
possuem médias diferentes, suas variabilidades não podem 
ser comparadas pela variância ou desvio padrão. Uma medida 
de variabilidade que não depende desses fatores é o 
coeficiente de variação, que não possui unidade de medida e 
pode ser calculado pela fórmula: 
 
𝐶𝑉 =
𝑠
𝑥 
. 100 
 GE
Q0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
56 
Exemplo 
17. Uma pesquisa sobre temperatura (°C) e pressão (atm) em 
uma caldeira industrial mostrou os seguintes resultados: 
 
 
 
 
a. Calcular a média e o desvio padrão de cada variável. 
b. Qual atributo apresenta maior variabilidade? 
 
 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
57 
T(°C) 400 450 350 500 600 550 
P(atm) 40 52 37 67 70 72 
Exemplo 
a. 
i. Cálculo da média (dados não agrupados) 
 
𝑥𝑇 =
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
=
(400 + 450 + 350 + 500 + 600 + 550)
6
= 475 °𝐶 
 
𝑥𝑃 =
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
=
(40 + 52 + 37 + 67 + 70 + 72)
6
= 56,33 𝑎𝑡𝑚 GE
Q
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
58 
Exemplo 
ii. Calcular o desvio padrão para dados não agrupados → 
preciso calcular a variância 
 
𝑠𝑇² =
 𝑥𝑖²
𝑛
𝑖=1 −
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ²
𝑛
𝑛 − 1
=
4002 + 4502 +⋯+ 5502 −
(400 + 450 +⋯+ 550)²
6
5
= 8750 °𝐶² 
 
𝑠 = 8750 = 93,54 °𝐶 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
59 
Exemplo 
ii. Calcular o desvio padrão para dados não agrupados → 
preciso calcular a variância 
 
𝑠𝑃² =
 𝑥𝑖²
𝑛
𝑖=1 −
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ²
𝑛
𝑛 − 1
=
402 + 522 +⋯+ 72 −
(40 + 52 +⋯+ 72)²
6
5
= 246,07 𝑎𝑡𝑚² 
 
𝑠 = 246,07 = 15,53 𝑎𝑡𝑚 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
60 
Exemplo 
b. 
 
𝐶𝑉𝑇 =
𝑠
𝑥 
. 100 =
93,54
475
. 100 = 19,70 % 
𝐶𝑉𝑃 =
𝑠
𝑥 
. 100 =
15,53
56,33
. 100 = 27,60% 
 
Logo, como o coeficiente de variação da pressão é maior que o 
temperatura, pode-se dizer que a pressão apresenta maior 
variabilidade. 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
61 
Erro Padrão da Média (𝑠𝑥 ) 
• Também chamado de erro padrão da amostra; 
• Mede a precisão com qual a média amostral foi calculada; 
• Quanto menor for seu valor, mais provável será a chance de 
obter a média da amostra nas proximidades da média da 
população; 
 
𝑠𝑥 =
𝑠
𝑛
 
 
Se n→∞, 𝑠𝑥 → 0 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
62 
Exemplo 
18. Em um estudo sobre a acidez de algumas soluções, o pH de 
um certo produto foi medido, obtendo os seguintes 
resultados: 
 
 
 
 
 
 
a. Calcular o erro padrão da média usando as duas primeiras 
linhas de dados; 
b. Calcular o erro padrão da média usando todos os dados. 
 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
63 
5,1 5,3 5,2 5,5 4,9 
6,2 6,0 5,8 5,3 5,0 
5,1 5,4 5,1 6,1 5,6 
5,4 5,8 5,7 5,5 5,1 
Exemplos 
Solução: 
 
a. 𝑠𝑥 =
𝑠
𝑛
 
 
Preciso calcular o desvio padrão da amostra (dados não agrupados): 
 
𝑠² =
 𝑥𝑖²
𝑛
𝑖=1 −
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ²
𝑛
𝑛 − 1
=
5,12 + 5,32 +⋯+ 5,02 −
(5,1 + 5,3 + ⋯+ 5,0)²
10
9
= 0,1912 
 
𝑠 = 0,1912 = 0,4373 
 
𝑠𝑥 =
𝑠
𝑛
=
0,4373
10
= 0,1383 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
64 
Exemplos 
Solução: 
 
b. 𝑠𝑥 =
𝑠
𝑛
 
 
Preciso calcular o desvio padrão da amostra (dados não agrupados): 
 
𝑠² =
 𝑥𝑖²
𝑛
𝑖=1 −
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ²
𝑛
𝑛 − 1
=
5,12 + 5,32 +⋯+ 5,12 −
(5,1 + 5,3 + ⋯+ 5,1)²
20
19
= 0,1437 
 
𝑠 = 0,1437 = 0,3790 
 
𝑠𝑥 =
𝑠
𝑛
=
0,3790
20
= 0,085 
 
G
EQ
 0
1
9
- 
Es
ta
tí
st
ic
a 
A
p
lic
ad
a 
à 
En
g.
 Q
u
ím
ic
a 
65