Resumo 2 - Translações, reflexões, alongamentos e compressões das funções

Prévia do material em texto

20 
 
RESUMO 2 
TEMA: Funções novas a partir de antigas. 
1)Introdução. 
 Assim como os números, as funções também podem ser operadas 
aritmeticamente ( adicionadas, subtraídas, multiplicadas, divididas) produzindo 
novas funções. Também podemos operar com funções realizando 
composições, translações, reflexões , compressões ou dilatações. Neste 
estudo focaremos estas últimas transformações citadas. 
 
1.1) Composição de funções. 
 
1.1.1)Definição. 
 
Sejam f : B  C e g : A  B, funções reais. Definimos a função composta de f 
com g da seguinte forma: 
 
CAgf :
 é tal que 
  Axxgfxgf  ,))(()(
. 
 
 A B C 
 
 
 g f 
 
 
 
 
 
gf 
 
Por definição, o domínio de 
gf 
 consiste em todo x de A para o qual g(x) 
está em B. 
Exemplos: 
1) Sejam f : 

, 
4)( xxf 
 e g : 

, 
1)( 2  xxg
. Determine 
gf 
. 
2) Sejam f(x) = 2x + 1 e 
3)( 2  xxg
. Determine 
fgegf 
. 
 
3) Sejam f(x)=3x - 3 e g(x)= 2x+5. Determine 
fgegf 
. 
 
4) Dada a função 
 102 3))((  xxgf
, determine as funções f e g. 
 
5) Dada a função 
 2sen))(( xxgf 
, determine as funções f e g. 
Respostas dos exemplos: 1)(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 1)4 
 2)(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 − 5 𝑒 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 4𝑥2 + 4𝑥 − 2 
 
g
g(x) 
 
 
 
f(g(x)) 
 
x 
21 
 
3) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 6𝑥 + 12 𝑒 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 6𝑥 − 1 
4)𝑓(𝑥) = 𝑥10 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3 5)𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
1.1.2)Exercícios 
Dadas as funções 
gf 
, determine f e g em cada caso: 
A)
3))(( 2  xxgf 
; B)
 
xx
xgf
3
1
)(
2 

; C)
  )3sen()( 2xxgf 
 
D)
  72 )3(2)(  xxgf 
 E)
  )4ln()( xxgf 
 F) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) =
4 3)3( x
 
G)(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥5) H) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 8 + √𝑥 
 
Respostas: A)𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3 B) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 
C)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 D)𝑓(𝑥) = 2𝑥7 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3 
E)𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = 4𝑥 F)𝑓(𝑥) = √𝑥
4 𝑒 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 3)3 
G)𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥5 H)𝑓(𝑥) = 8 + 𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = √𝑥 
 
 
2)Funções novas a partir de antigas. 
 
2.1)Translações. 
 
A tabela abaixo ilustra o efeito geométrico sobre o gráfico de y = f(x) 
quando somamos a f ou a sua variável independente x uma constante positiva 
c, ou ainda quando subtraímos de f ou de sua variável x essa constante 
positiva c. 
 
 
 
Exemplo 1: Esboce o gráfico de a)𝑦 = √𝑥 − 3 b) 𝑦 = √𝑥 + 3 . 
 
Exemplo 2: Esboce o gráfico de 𝑦 = |𝑥 − 3| + 2 . 
22 
 
 
Exemplo 3: Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5. 
 
 
 
Resposta dos exemplos 1, 2 e 3. 
 
 
 
 
 
 
2.2)Reflexões. 
 
 O gráfico de y = f(-x) é a reflexão do gráfico de y = f(x) em relação ao 
eixo y, enquanto que o gráfico de y = -f(x) é a reflexão do gráfico de y = f(x) em 
relação ao eixo x. Observe a tabela abaixo. 
23 
 
 
 
Exemplo1: Esboce o gráfico de 𝑦 = √2 − 𝑥
3
. 
Exemplo 2: Esboce o gráfico de 𝑦 = 4 − |𝑥 − 2|. 
Respostas dos exemplos 1 e 2. 
 
 
 
 
 
2.3)Alongamentos e Compressões. 
 
Ao multiplicar-se y = f(x) por uma constante positiva c f tem o seu gráfico 
alongado na direção de y por um fator de c se c > 1 ou tem o seu gráfico 
comprimido na direção de y se 0< c < 1 . 
Ao multiplicar-se a variável independente x em y = f(x) por uma 
constante positiva c, a função f tem o seu gráfico comprimido na direção de x 
por um fator c se c > 1 ou tem seu gráfico alongado na direção de x por um 
fator c se 0 < c < 1. Esses resultados estão resumidos na tabela abaixo. 
 
24 
 
 
 3) Exercícios. 
 
1) Represente graficamente a função 𝑓(𝑥) = 1 + (𝑥 − 2)2. 
 
2)Seja 𝑓(𝑥) = {
|𝑥 + 1| 𝑠𝑒 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 0
|𝑥 − 1| 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 2
 . 
a)Represente graficamente a função f e diga qual a letra do alfabeto que mais 
se parece com o seu gráfico. 
b)f é uma função par? 
 
3)O gráfico da função f está representado abaixo. Esboce os gráficos das 
funções indicadas. 
 
 
 
a)y = f(x) – 1 b) y = f(x – 1) c) y = 
1
2
𝑓(𝑥) d) y = 𝑓(−
1
2
𝑥) 
 
 
25 
 
 
 
 
4)O gráfico da função f está representado abaixo. Esboce os gráficos das 
funções indicadas. 
 
a)f( x + 1) b)𝑓(2𝑥) c) y = |𝑓(𝑥)| d)y = 1 – |𝑓(𝑥)| 
 
 
 
26 
 
 
5)Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo uitilizando translação, 
reflexão, alongamento e compressão do gráfico de 𝑦 = 𝑥2. Use um recurso 
gráfico para verificar se seu gráfico está correto. 
 
a)𝑦 = (𝑥 − 1)3 + 2 b)𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 
 
6) Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo utilizando translação, 
reflexão, alongamento e compressão do gráfico de 𝑦 = √𝑥. Use um recurso 
gráfico para verificar se seu gráfico está correto. 
 
a) 𝑦 = 3 − √𝑥 + 1 b)𝑦 =
1
2
√𝑥 + 1 
7) Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo utilizando translação, 
reflexão, alongamento e compressão do gráfico de 𝑦 = |𝑥|. Use um recurso 
gráfico para verificar se seu gráfico está correto. 
 
a)𝑦 = |𝑥 + 2| − 2 b) 𝑦 = 1 − |𝑥 − 3| 
 
 
8)Sejam 𝑓(𝑥) = √𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 1. Determine: 
 
a)f(g(2)) b)g(f(4)) c)f(f(16)) d)g(g(0)) 
 
9)Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 . Encontre: 
 
a)𝑓(𝑡2) b)𝑓(𝑡 + 2) c)𝑓(𝑥 + ℎ) 
 
10)Encontre as funções 𝑓 ∘ 𝑔, 𝑔 ∘ 𝑓, 𝑓 ∘ 𝑓 e determine também os seus 
domínios sendo 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥. 
 
11)Use a tabela para determinar o valor de cada expressão: 
 
a)f(g(1)) b)g(f(1)) c)f(f(1)) d)g(g(1)) d)(𝑔 ∘ 𝑓)(3) e)(𝑓 ∘ 𝑔)(6) 
 
27 
 
 
 
 
12)Use os gráficos dados de f e g para determinar o valor de cada uma das 
expressões ou explique porque elas não estão definidas. 
a)f(g(2)) b)g(f(0)) c) (𝑓 ∘ 𝑔)(0) d) (𝑔 ∘ 𝑓)(6) e)(𝑔 ∘ 𝑔)(−2) 
 
 
 
Respostas dos exercícios propostos. 
 
 
1) 2) Sim a função é par. A letra W. 
 
 
3)Respostas dos itens a, b, c, d. 
 
 
4)Respostas dos itens a, b, c, d. 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
5-a) b) 
 
 
6)a) b) 
 
 
7)a) b) 
 
 
8)a)3 b)9 c)2 d)2 
9)a)𝑡4 + 1 b)𝑡2 + 4𝑡 + 5 c)𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 1 
10)(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) =
1
𝑥3+2𝑥
 , {𝑥|𝑥 ≠ 0} (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) =
1
𝑥3
+
2
𝑥
; {𝑥|𝑥 ≠ 0} 
(𝑓 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥; {𝑥|𝑥 ≠ 0} (𝑔 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥9 + 6𝑥7 + 12𝑥5 + 10𝑥3 + 4𝑥; (−∞, +∞) 
 
11)a)5 b)2 c)4 d)3 e)1 f)4 
12)a)4 b)3 c)0 d)Não existe;f(6)=6 não é o domínio de g. e)4 f)-2 
 
 
 
 
29 
 
Grade para construção de gráficos.