TRABALHO DE PILARES CONCRETO II

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CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES 
CURSO DE ENGENARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE PILARES 
 
 
 
 
Marina Reckziegel 
Marciano Schwarz 
Nicole M.Busnello 
Vinícius Reckziegel 
 
 
 
 
 
 
 
Lajeado, novembro de 2016. 
Trabalho de Pilares 
 
A edificação está inserida em zona urbana de uma cidade de região 
litorânea, de tal modo que será considerada a classe de agressividade 
ambiental III. Em consequência, conforme a Tabela 7.1 e Tabela 7.2 da NBR 
6118 e apresentado em BASTOS (2014)12, o concreto deve ser no mínimo o 
C30 (fck = 30 MPa), a relação a/c ≤ 0,55, e o cobrimento de concreto de 3,5 cm 
para viga e pilar, com c = 5 mm. A norma permite uma classe de 
agressividade mais branda para ambientes internos secos, por isso, no cálculo 
dos pilares internos à edificação (pilares P5 e P8), o cobrimento será diminuído 
para 2,5 cm. Os demais pilares, que encontram-se na periferia da edificação, 
serão calculados com cobrimento de 3,5 cm. 
Outros dados adotados: aço CA-50, coeficientes de ponderação: c = γf 
= 1,4 , s = 1,15, concreto com brita 1, sem brita 2. Para a tensão de início de 
escoamento do aço será adotado o valor: fyd = fyk/s = 50/1,15 = 43,5 kN/cm2. 
Serão dimensionados os lances entre o 1e o 2pavimentos de uma edificação 
de 3 pavimentos, como indicado na Figura 1. A carga normal característica 
aplicada na base dos lances dos pilares a serem dimensionados está indicada 
na Tabela 1. 
A distância do centro da barra do canto até a face do pilar (d’) é: 
Adotando c = 5 mm e = 12,5 mm, no cálculo dos pilares d’ será 
considerado igual a: 
para c = 3,5 cm d’ = 3,5 + 0,5 + 1,25/2 = 4,6 cm (pilares P1 e P6); 
para c = 2,5 cm d’ = 2,5 + 0,5 + 1,25/2 = 3,6 cm (pilares P5 e P8) 
 
Tabela 1 – Carga Normal (kN) característica nos pilares. 
 
 
Dimensionar os pilares P8 (intermediário), P6 (extremidade) e P1 
(canto). Desenhar a armadura nos pilares. 
 
Figura 1 – Planta de fôrma do pavimento. 
- Pilar de intermediário P8: 
- Pilar de extremidade P6: 
Momentos fletores atuantes na base e no topo do pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
hx= 15 
- Pilar de Canto – P1 
 
 
 
 
 
 
 
1. PILAR INTERMEDIÁRIO (P8) 
 
Nk = 700kN 
seção = 15cm x 50cm (Ac = 750cm2) 
lex = ley = 280cm 
 
a) Esforços solicitantes 
Nd = γn. γf. Nk 
Utilizando a tabela 4, γn = 1,20 
Nd = 1,20.1,4.700 = 1176kN 
b) Índice de esbeltez 
 λx =
3,46 le
hx
 
 
λx =
3,46.280
15
= 64,6cm 
 
λy =
3,46 le
hy
 
 
λy =
3,46.280
50
= 19,4cm 
 
c) Momento fletor mínimo 
 
Mld, mín = Nd(1,5 + 0,03h) 
 
Direção x: 
Mld, mín, x = 1176 1,5 + 0,03.15 = 2293kN. cm 
elx, min =
Md
Nd
=
2293
1176
= 1,95cm 
 
 
Direção y: 
Mld, mín, y = 1176 1,5 + 0,03.50 = 3528kN. cm 
ely, min =
Md
Nd
=
3528
1176
= 3,0cm 
 
d) Esbeltez limite 
O pilar de intermediário não tem excentricidade de 1º ordem, Ma=Mb=0. 
𝜆𝑙 =
25 + 12,5.
𝑒1
ℎ
𝛼𝑏
 , com 35 ≤ λl ≤ 90 
 
𝜆𝑙, 𝑥,𝑦 =
25 + 12,5.
0
ℎ
1
 = 25 ≥ 35 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 = 𝜆𝑙, 𝑥,𝑦 = 35 
 
λx = 64,6 > 35 = são considerados os efeitos na 2° ordem na direção x. 
 
λy = 19,4 < 35 = não são considerados os efeitos na 2° ordem na direção y. 
 
e) Momento de 2º ordem 
 
e1) Método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 
Md, tot = αb. Mld, A + Nd
le²
10
1
r
 ≥ 
Mld, A
Mld, min
 , Mld, A ≥ Mld, min 
ν =
Nd
Ac. fcd
=
1176
750
3,0
1,4
= 0,73 
 
1
r
=
0,005
h(ν + 0,5)
=
0,005
15(0,73 + 0,5)
= 2,7100. 10−4 cm−1 ≤
0,005
15
= 3,33. 10−4 cm−1 OK! 
 
Direção x: 
Md, tot, x = 1,0.2293 + 1176
280²
10
. 2,7100. 10−4 = 4791. cm ≥ Mld, min, x OK! 
 
Direção y: 
Md, tot, y = Mld, min, y = 3528kN. cm 
 
 
Cálculo AS, utilizando os ábacos de Venturini (1987) ν = 0,73 
Direção x: 
μ =
Md, tot, x
hx. Ac. fcd
= 
4791
15.750.
3,0
1,4
= 0,20 
 
d′x
hx
= 
3,6
15 
= 0,24 ≅ 25 
 
Ábaco A − 5: ω = 0,70 
 
Direção y: 
μ =
Md, tot, y
hy. Ac. fcd
= 
3528
50.750.
3,0
1,4
= 0,05 
d′y
hy
= 
3,6
50
= 0,07 ≅ 0,05 
 
Ábaco A − 24: ω = 0,1 
 
A armadura final, com a maior taxa de armadura: 
As =
ω Ac fcd
fyd
= 
0,7.750
3,0
1,4
43,5
= 25,86cm² 
 
e2) Método do pilar-padrão com rigidez aproximada. 
 
19200 Md, tot² + 3840 h Nd − λ2 h Nd − 19200 αb Mld, A Md, tot − 3840 αb h Nd Mld, A = 0 
 
19200 Md, tot² + 3840.15. 1176 − 64,6². 15.1176 − 19200.1. 2293 Md, tot
− 3840.1.15.1176.2293 = 0 
19200 Md, tot² − 10179502,4Md, tot − 1,553223. 1011 = 0 
Md, tot² − 535,39Md, tot − 8089703,12 = 0 
Md, tot = 3125kN. cm 
μ =
Md, tot, x
hx. Ac. fcd
= 
3125
15.750.
3,0
1,4
= 0,13 
d′x
hx
= 
3,6
15 
= 0,24 ≅ 0,25 
 
Ábaco A − 5: ω = 0,38 
 
A armadura final, com a maior taxa de armadura: 
As =
ω Ac fcd
fyd
= 
0,38.750
3,0
1,4
43,5
= 14,03cm² 
 
f) Detalhamento da armadura 
f1) Armadura mínima longitudinal 
As, mín = 0,15 
Nd
fyd
 ≥ 0,004. Ac 
As, mín = 0,15 
1176
43,5
 ≥ 0,004.750 = 4,05cm² ≥ 3,00cm² 
As = 25,86cm² ≥ As, mín = 4,05cm² 𝟏𝟒 ∅ 𝟏𝟔,𝟎𝟎𝐦𝐦 𝐀𝐬 = 𝟐𝟖,𝟏𝟔𝐜𝐦² 
 f2) Taxa de armadura 
𝜌 = 
As
Ac
 . 100 
𝜌 = 
28,16
750
 . 100 = 3,75% < 𝜌𝑚á𝑥 = 4% 
 f3) Armadura transversal (espaçamento e diâmetro do estribo) 
∅est ≥ 
 5mm 
∅l = 16,00 mm ∅𝐞𝐬𝐭 = 𝟓𝐦𝐦 
∅l
4
 
16
4
= 4mm 
 
Smáx  
20 cm 
b𝑤 = 15 cm 
12.∅𝑙 = 12.1,6 = 19,2cm
 𝐒𝐦á𝐱 = 𝟏𝟓𝐜𝐦 
f4) Detalhamento da armadura do pilar P8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. PILAR DE EXTREMIDADE (P6) 
 
Nk = 300kN 
seção = 19cm x 19cm (Ac = 361cm2) 
lex = ley = 280cm 
Md,y= Md,x= 1586kN.cm 
el,x= 
1586
420
 el, x = 3,78cm 
 
a) Esforços solicitantes 
Nd = γn. γf. Nk 
Utilizando a tabela 4, γn = 1,00 
Nd= 1.1,4.300=420kN 
b) Índice de esbeltez 
 λx = λy =
3,46 le
h
 
λx = λy =
3,46.280
19
= 51,0cm 
 
c) Momento fletor mínimo 
 
Mld, mín = Nd(1,5 + 0,03h) 
 
Dir x e y: Mld, mín = 420 1,5 + 0,03.19 = 869,4kN. cm 
 
elx, min = eiy, min =
Md
Nd
 
 
elx, min = eiy, min =
869,4
420
= 2,07cm 
 
 
d) Esbeltez limite 
𝜆𝑙 =
25 + 12,5.
𝑒1
ℎ
𝛼𝑏
 , com 35 ≤ λl ≤ 90 
 
Os momentos de Md,y= Md,x= 1586kN.cm é maior que o momento mínimo 
Dir x e y: Mld, mín = 869,4kN. cm. 
 
𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4 
𝑀𝑏
𝑀𝑎
 = 0,6 + 0,4 
−1586
1586
 = 0,4 
 
Dir, x =
25 + 12,5.
3,78
19
0,4
= 68,7 ≥ 35 λl, x = 69 
 
Dir, y =
25+12,5.
0
19
 
1
 = 25,0 ≥ 35 λl, y = 35 
 
λx = 51,0 < 69 = não são considerados os efeitos na 2° ordem na direção x. 
 
λy = 51,0 > 35 = são considerados os efeitos na 2° ordem na direção y. 
 
e) Momento de 2º ordem 
 
e1) Método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 
Md, tot = αb. Mld, A + Nd
le²
10
1
r
 ≥ 
Mld, A
Mld, min
 , Mld, A ≥ Mld, min 
 
ν =
Nd
Ac. fcd
=
420
361
3,0
1,4
= 0,54 
1
r
=
0,005
h(ν + 0,5)
=
0,00519(0,54 + 0,5)
= 2,53304. 10−4 cm−1 ≤
0,005
19
= 2,63. 10−4 cm−1 OK! 
 
Direção x: 
Md, tot, x = 1.586kN. cm ≥ Mld, min x = 869,4kN. cm 
 
Direção y: 
Md, tot = 1,0.869,4 + 420
280²
10
. 2,63. 10−4 = 1702,6kN. cm ≥ Mld, min y = 869,4kN. cm 
 
Cálculo AS, utilizando os ábacos de Venturini (1987) ν = 0,54 
 
Direção x: 
μ =
Md, tot, x
hx. Ac. fcd
= 
1586
19.361.
3,0
1,4
= 0,11 
 Ábaco A − 9: ω = 0,09 
d′x
hx
= 
4,6
19 
= 0,24 ≅ 25 
 
 
 
 
Direção y: 
μ =
Md, tot, x
hx. Ac. fcd
= 
1702,6
19.361.
3,0
1,4
= 0,12 
 Ábaco A − 5: ω = 0,13 
d′x
hx
= 
4,6
19 
= 0,24 ≅ 25 
 
 
A armadura final, com a maior taxa de armadura: 
As =
ω Ac fcd
fyd
= 
0,13.361
3,0
1,4
43,5
= 2,31cm² 
 
 
e2) Método do pilar-padrão com rigidez aproximada. 
 
19200 Md, tot² + 3840 h Nd − λ2 h Nd − 19200 αb Mld, A Md, tot − 3840 αb h Nd Mld, A = 0 
 
19200 Md, tot² + 3840.19.420 − 51². 19.420 − 19200.1.1702,6 Md, tot − 3840.1.19.420.1702,6
= 0 
 
19200 Md, tot² − 22802700Md, tot − 52173112320 = 0 
 
M2d, tot − 1187,64Md, tot − 10161458 = 0 
 
Md, tot = 2649kN. cm 
 
μ =
Md, tot, x
hx. Ac. fcd
= 
2649
19.361.
3,0
1,4
= 0,18 
d′x
hx
= 
4,6
19 
= 0,24 ≅ 25 
 
Ábaco A − 5: ω = 0,37 
 
A armadura final, com a maior taxa de armadura: 
 
As =
ω Ac fcd
fyd
= 
0,37.361
3,0
1,4
43,5
= 6,58cm² 
 
f) Detalhamento da armadura 
f1) Armadura mínima longitudinal 
As, mín = 0,15 
Nd
fyd
 ≥ 0,004. Ac 
As, mín = 0,15 
420
43,5
 ≥ 0,004.361 = 1,45cm² ≥ 1,44cm² 
As = 2,31cm² ≥ As, mín = 1,45cm² 𝟒 ∅ 𝟏𝟎𝐦𝐦 𝐀𝐬 = 𝟑,𝟏𝟒𝐜𝐦² 
 
 f2) Taxa de armadura 
𝜌 = 
As
Ac
 . 100 
𝜌 = 
3,14
361
 . 100 = 0,87% < 𝜌𝑚á𝑥 = 4% 
 f3) Armadura transversal (espaçamento e diâmetro do estribo) 
∅est ≥ 
 5mm 
∅l = 10 mm ∅𝐞𝐬𝐭 = 𝟓𝐦𝐦 
∅l
4
 
10
4
= 2,5mm 
 
Smáx  
20 cm 
b𝑤 = 19 cm 
12.∅𝑙 = 12.1,0 = 12,0cm
 𝐒𝐦á𝐱 = 𝟏𝟐𝐜𝐦 
f4) Detalhamento da armadura do pilar P6. 
 
 
3. PILAR DE CANTO (P1) 
 
 
Nk = 130kN 
seção = 19cm x 25cm (Ac = 475cm2) 
lex = ley = 280cm 
Md, y = 1202kN. cm 
 Md, x = 2541kN. cm 
el, x = 
1202
182
 el, x = 6,60cm 
el, y = 
2541
182
 el, y = 13,96cm 
 
a) Esforços solicitantes 
Nd = γn. γf. Nk 
Utilizando a tabela 4, γn = 1,00 
Nd = 1,0.1,4.130 = 182kN 
 
b) Índice de esbeltez 
 λx =
3,46 le
hx
 
 
λx =
3,46.280
25
= 38,9 cm 
 
λy =
3,46 le
hy
 
 
λy =
3,46.280
19
= 51,0 cm 
 
 
c) Momento fletor mínimo 
 
Mld, mín = Nd(1,5 + 0,03h) 
 
 
Direção x: 
Mld, mín, x = 182 1,5 + 0,03.25 = 409,5kN. cm 
elx, min =
Md
Nd
=
409,5
182
= 2,25cm 
 
 
Direção y: 
Mld, mín, y = 182 1,5 + 0,03.19 = 376,7kN. cm 
ely, min =
Md
Nd
=
376,7
182
= 2,07cm 
 
d) Esbeltez limite 
𝜆𝑙 =
25 + 12,5.
𝑒1
ℎ
𝛼𝑏
 , com 35 ≤ λl ≤ 90 
 
O momento de Md, x = 2541kN. cm é maior que o momento mínimo 
Mld, mín, x = 409,5kN. cm 
 
𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4 
𝑀𝑏
𝑀𝑎
 = 0,4 ≤ 𝛼𝑏 ≤ 1,0 = 0,6 + 0,4 
−2541
2541
 = 0,2 ≥ 0,4 
 
Dir, x =
25 + 12,5.
13,96
25
0,4
= 80,0 ≥ 35 λl, x = 80,0 
 
O momento de Md, y = 1202kN. cm é maior que o momento mínimo Mld, mín, y =
 376,7kN. cm 
𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4 
𝑀𝑏
𝑀𝑎
= 0,4 ≤ 𝛼𝑏 ≤ 1,0 = 0,6 + 0,4 
−1202
1202
 = 0,2 ≥ 0,4 
 
Dir, y =
25 + 12,5.
6,90
19
0,4
= 73,4 ≥ 35 λl, x = 73,4 
 
λx = 38,9 < 80,0 = não são considerados os efeitos na 2° ordem na direção x. 
 
λy = 51,0 < 73,4 = não são considerados os efeitos na 2° ordem na direção y. 
 
e) Momentos fletores 
 
Md, x = 2541kN. cm ≥ Mld, min, x = 409,5kN. cm 
Md, y = 1202kN. cm ≥ Mld, min, y = 376,7kN. cm 
ν =
Nd
Ac. fcd
=
182
475
3,0
1,4
= 0,18 
 
Cálculo AS, utilizando os ábacos de Flexão Composta Oblíqua, PINHEIRO (1994) ν = 0,18 
 
Direção x: 
μx =
Md, tot, x
hx. Ac. fcd
= 
2541
25.475.
3,0
1,4
= 0,10 
 
d′x
hx
= 
4,6
25 
= 0,18 ≅ 0,20 
 
 
Direção y: 
μy =
Md, tot, y
hx. Ac. fcd
= 
1202
19.475.
3,0
1,4
= 0,06 
 
d′y
hy
= 
4,6
19 
= 0,24 ≅ 25 
 
ν = 0,18 –Abaco A − 67 − Taxa de armadura ω = 0,19 
 
 
A armadura final, com a maior taxa de armadura: 
 
As =
ω Ac fcd
fyd
= 
0,19.475
3,0
1,4
43,5
= 4,45cm² 
 
f) Detalhamento da armadura 
f1) Armadura mínima longitudinal 
As, mín = 0,15 
Nd
fyd
 ≥ 0,004. Ac 
As, mín = 0,15 
182
43,5
 ≥ 0,004.475 = 0,63cm² ≥ 1,90cm² 
As = 4,45cm² ≥ As, mín = 1,90cm² 𝟒 ∅ 𝟏𝟐,𝟓𝐦𝐦 𝐀𝐬 = 𝟒,𝟗𝟏𝐜𝐦² 
 f2) Taxa de armadura 
𝜌 = 
As
Ac
 . 100 
𝜌 = 
5,00
361
 . 100 = 1,05% < 𝜌𝑚á𝑥 = 4% 
 f3) Armadura transversal (espaçamento e diâmetro do estribo) 
∅est ≥ 
 5mm 
 ∅𝐞𝐬𝐭 = 𝟓𝐦𝐦 
∅l
4
 
12,5
4
= 3,1mm 
 
Smáx  
20 cm 
b𝑤 = 19 cm 
12.∅𝑙 = 12.1,25 = 15,0cm
 𝐒𝐦á𝐱 = 𝟏𝟓𝐜𝐦 
f4) Detalhamento da armadura do pilar P1.