Betao Estrutural 2

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Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Betão estrutural II 
 
( folhas da disciplina ) 
 
versão actualizada segundo Eurocódigo 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. António Sousa Gorgulho 
 
ISELISELISELISEL 
 Pág. 2 
 
 
ÍNDICE 
 
 
 
CAP. I – LAJES....................................................................................................4 
 I.1 – PRINCIPAIS TIPOS E CLASSIFICAÇÕES...........................................................4 
 I.2 – LAJES VIGADAS.................................................................................................11 
 I.2.1 – PRINCÍPIOS GERAIS DE DIMENSIONAMENTO E COMPORTAMENTO.................11 
 I.2.2 – REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS E SEU SIGNIFICADO EM TERMOS DE 
 ESTADO LIMITE ULTIMO DE FLEXÃO......................................................................18 
 I.2.3 – DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA ÚNICA 
 DIRECÇÃO..................................................................................................................23 
 I.2.4 – DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS 
 DIRECÇÕES................................................................................................................28 
 I.2.5 – ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS: FLEXÃO E ESFORÇO TRANSVERSO....................40 
 I.2.6 – ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO: FENDILHAÇÃO E DEFORMAÇÃO...............43 
 I.2.7 – DISPOSIÇÃO DE ARMADURAS.................................................................................53 
 I.2.7.1 – Lajes Armadas numa só direcção.........................................................................................57 
 I.2.7.2 – Lajes Armadas em duas direcções........................................................................................70 
 I.2.8 – ESCADAS....................................................................................................................88 
 I.2.8.1- Principais Tipos e respectivos Modelos de Cálculo................................................................88 
 I.2.8.2- Determinação das cargas nos lanços.....................................................................................92 
 I.2.8.3- Pormenorização de armaduras..............................................................................................93 
 I.2.9 – LAJES SUJEITAS A CARGAS CONCENTRADAS....................................................95 
 I.2.9.1- Lajes Armadas numa só direcção..........................................................................................95 
 I.2.9.2- Lajes Armadas em 2 direcções..............................................................................................98 
 I.2.10 – ABERTURAS EM LAJES..........................................................................................99 
 I.3 – LAJES FUNGIFORMES.....................................................................................104 
 I.3.1 – MÉTODOS DE ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO..................................................104 
 I.3.2 – MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTES..........................................................106 
 I.3.3 – ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO.....................................................112 
 I.3.3.1 – Mecanismo de Rotura por Punçoamento............................................................................112 
 I.3.3.2 – Verificação da Segurança...................................................................................................113 
 I.3.4 – PRÉ-DIMENSIONAMENTO. DISPOSIÇÃO DE ARMADURAS...............................136 
 I.4 – LAJES PRÉ-FABRICADAS DE VIGOTAS PRÉ-ESFORÇADAS E 
 BLOCOS DE ENCHIMENTO.............................................................................148 
 I.4.1 – CONSTITUIÇÃO. TÉCNICAS DE EXECUÇÃO. VANTAGENS E 
 DESVANTAGENS DA SUA UTILIZAÇÃO...............................................................148 
 Pág. 3 
 I.4.1.1 – Constituição........................................................................................................................148 
 I.4.1.2 – Sistema Construtivo.Técnicas de Execução.......................................................................150 
 I.4.1.3 – Vantagens e desvantagens deste tipo de lajes...................................................................151 
 I.4.2 – VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA............................................................................152 
 I.4.2.1 – Estados Limites Últimos......................................................................................................152 
 I.4.2.2 – Estados Limites de Utilização..............................................................................................152 
 I.4.3 – MODELOS DE COMPORTAMENTO ESTRUTURAL. CÁLCULO DE 
 ESFORÇOS..............................................................................................................155 
 I.4.4 – DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS.............................................................................156 
CAP. II – SAPATAS DE FUNDAÇÃO...............................................................162 
 II.1 – VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DO SOLO DE FUNDAÇÃO.......................162 
 II.1.1 – ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS................................................................................162 
 II.1.2 – ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO.....................................................................165 
 II.2 – VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DA SAPATA...............................................166 
 II.2.1 – CÁLCULO DE ARMADURAS..................................................................................167 
 II.2.1.1 – Sapatas com Cargas Centradas.........................................................................................167 
 II.2.1.2 – Sapatas com Cargas Excêntricas sem vigas de fundação................................................170 
 II.2.1.3 – Sapatas com Cargas Excêntricas interligadas por vigas de fundação...............................174 
 II.2.2 – ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO....................................................178 
CAP. III – INTRODUÇÃO AO BETÃO PRÉ-ESFORÇADO..............................179 
 III.1 – INTRODUÇÃO.................................................................................................179 
 III.2 – TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO...............................................180 
 III.3 – EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO: VIGA EM BETÃO ARMADO E BETÃO 
 ARMADO PRÉ-ESFORÇADO.........................................................................181 
 III.4 – DIMENSIONAMENTO DO PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS ISOSTÁTICAS........184 
 III.4.1 – CARGAS EQUIVALENTES AO EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO..............................188 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 4 
 
 
CAP. I – LAJES 
 
 
I.1 – PRINCIPAIS TIPOS E CLASSIFICAÇÕES 
 
 
Depois de estudados em BE1 os elementos de Betão Armado com comportamento 
linear: vigas e pilares, passamos a estudar em BE2 os elementos laminares, de 
comportamento bidimensional: lajes. 
 
Viga – comportamento linear Laje – comportamento bidimensional 
 
 
 
Os elementos de comportamento linear têm uma dimensão ( vão) muito superior às 
outras duas ( dimensões da secção ) e a sua deformada é uma linha ( função em R ). 
Os elementos, como as lajes, de comportamento bidimensional têm 2 dimensões 
( vãos ) muito superiores a uma terceira que é a espessura e a sua deformada 
quando carregados é a de uma superfície ( função em R2 ) 
Entre os elementos laminares pode falar-se em placas, lajes ou cascas. 
Designam-se por placas os elementos laminares com carregamento actuando 
segundo o seu plano médio 
 
São exemplo de elementos laminares com comportamento de placa : 
 Pág. 5 
• Paredes de betão armado sujeitas a cargas verticais 
• Pavimentos de betão sujeitos a acções horizontais 
Designam-se por lajes os elementos laminares actuados por cargas, perpendiculares 
ao seu plano médio. 
 
 
 
São exemplos de lajes: 
• Paramento vertical de um muro de suporte 
• Paredes planas de um reservatório 
• Pavimentos de um Edifício sujeitos a cargas verticais 
Finalmente designam-se por cascas todos os elementos laminares não planos. 
 
 
São exemplos deste tipo de elementos: 
• Paredes de um reservatório circular 
• Coberturas curvas 
 
Passando agora ao estudo das lajes, vamos iniciá-lo pelo conhecimento dos vários 
tipos e classificações das lajes, por forma a identificar de imediato as características 
de quaquer laje a partir da sua designação/classificação. 
Os vários tipos de classificação de uma laje vão ser apresentados por ordem 
decrescente de importância, para a sua identificação. 
 
- Quanto ao Tipo de Apoio 
• Lajes Vigadas – são lajes apoiadas em vigas 
• Lajes Fungiformes – são lajes apoiadas directamente em pilares. 
• Lajes Apoiadas em Meio Elástico – são lajes apoiadas directamente no solo 
de fundação, por exemplo. 
 
 Pág. 6 
- Quanto à sua Constituição 
 
• Lajes em Betão Armado 
 Que podem ser : 
- Maciças: de espessura constante ou variável 
- Aligeiradas ou Nervuradas desde que o seu peso próprio seja inferior ao da laje 
maciça de igual espessura. 
A redução de peso é conseguida através da introdução de blocos de cofragem 
recuperáveis ou perdidos, que originam nervuras, uni ou bidireccionais, solidarizadas 
por uma lajeta de compressão. 
Os moldes recuperáveis são plásticos, dando origem a uma superfície descontínua 
com as nervuras aparentes. 
 
 
 
Os moldes perdidos podem ser em: 
• Betão leve ( normalmente tipo LECA e tripartidos ) 
• Cerâmicos 
• Plásticos 
• Poliestireno Expandido ( difíceis de fixar para a betonagem ) 
e originam uma superfície inferior contínua. 
Pode ou não haver lajeta inferior, consoante os blocos estejam colocados acima ou 
directamente sobre a cofragem. 
 
 
 
• Lajes de vigotas pré-esforçadas 
Constituídas por vigotas pré-esforçadas, nas quais se apoiam blocos de cofragem 
 Pág. 7 
( abobadilhas ) cerâmicos ou de betão, solidarizados por uma lajeta de compressão 
em betão, a executar em obra. 
 
 
 
As dimensões apresentadas dizem respeito a um determinado tipo de laje. 
 
• Lajes Mistas Aço-Betão 
As soluções mistas, hoje em dia mais comuns são: 
- Lajes mistas com chapa de aço colaborante 
 
 
 
que constituem soluções muito leves e esbeltas ( 10 a 15 cm de espessura ) e evitam 
o recurso a cofragens de madeira, exigindo apenas um sistema de escoramento 
vertical. 
Apoiam em vigas metálicas, vigas de betão ou paredes resistentes de alvenaria. Trata-
se de uma solução muito utilizada em obras de remodelação/recuperação de edifícios 
antigos. 
- Lajes mistas com perfis I 
Constituídas por perfis metálicos, em geral de secção em I, que suportam as forças de 
tracção, ligados por conectores metálicos a uma lajeta de betão que absorve as forças 
de compressão. 
 Pág. 8 
 
- Quanto ao Modo de Flexão Dominante ( só para lajes vigadas ) 
• Lajes Armadas numa só direcção 
Neste caso os momentos flectores numa das direcções ( direcção do menor vão ) são 
muito superiores aos da outra. 
 
 
 
 lx / ly > 2 
 
• Lajes Armadas em duas direcções ou em cruz 
Os momentos flectores nas duas direcções principais de flexão são da mesma ordem 
de grandeza 
 
 
 0,5 ≤ lx / ly ≤ 2 
 
 Pág. 9 
- Quanto ao Comportamento 
• Lajes Finas - h < l / 10 ( situações correntes ) 
Na análise destas lajes podem adoptar-se as hipóteses simplificativas da Resistência 
de Materiais que são: 
- desprezar a contribuição do esforço transverso na deformabilidade da laje 
- hipótese das fibras perpendiculares ao plano médio se manterem rectas e 
perpendiculares à superfície deformada 
• Lajes Espessas – h ≥ l / 10 
Não são válidas as hipóteses simplificativas anteriores 
• Lajes Isotrópicas 
Têm um comportamento ortotrópico ( lajes nervuradas ) 
 
- Quanto ao Modo de Fabrico 
• Betonadas “in situ” 
Constituem ainda a solução maioritária, muito embora a utilização de soluções com 
componente de pré-fabricação vá avançando gradualmente ano após ano. 
• Pré-fabricação Total 
Solução pouco utilizada, pois exige a montagem dos painéis de laje inteiramente pré-
fabricados sobre as vigas de apoio, procedendo-se posteriormente à sua solidarização 
em obra. 
A elevada sismicidade de algumas zonas do nosso país contribui também para a 
pouca utilização deste sistema, já que obriga a cuidados muito especiais na 
concepção e dimensionamento das zonas de ligação laje-viga. 
• Pré-fabricação Parcial 
Nestas soluções apenas a parte inferior da laje é pré-fabricada, evitando o recurso a 
cofragens inferiores contínuas. Podem ser: 
- pré-lajes que são lajetas de espessura constante entre 5 e 7 cm, pré-esforçadas e 
que são montadas sobre os apoios 
 
 Pág. 10 
- pranchas alveoladas pré-esforçadas, montadas justapostas sobre os apoios. 
 
 
 
 
 
- etc 
 
Depois de colocadas estas lajes em posição, executa-se a parte superior da laje, 
servindo aquelas de cofragem perdida para a betonagem a realizar em obra . 
Estas soluções de pré-fabricação parcial já são mais comuns, sobretudo porque 
evitam o recurso a cofragem inferior. 
A sua utilização torna-se mais económica para grandes áreas e com várias repetições. 
 Pág. 11 
I.2 – LAJES VIGADAS 
 
 I.2.1 – PRINCÍPIOS GERAIS DE DIMENSIONAMENTO E COMPORTAMENTO 
 
Em termos de dimensionamento, a regulamentação nacional permite a utilização no 
cálculo de esforços em lajes vigadas, da: 
 
 Sem redistribuição de esforços 
• Teoria da Elasticidade 
 Com redistribuição de esforçosMétodo Estático 
• Teoria da Plasticidade 
 Método Cinemático 
 
A utilização do cálculo elástico com redistribuição de esforços e do cálculo plástico 
estão no entanto limitadas por algumas condições. 
A verificação da segurança deverá ser feita de acordo com a teoria dos estados 
limites: 
 
 
 Flexão 
• Estados Limites Últimos 
 Esforço Transverso 
 
 
 
 Abertura de Fendas 
• Estados Limites de Utilização 
 Deformação 
 
 
Normalmente as lajes vigadas que constituem os pavimentos de um Edifício só são 
dimensionadas para as cargas verticais, perpendiculares ao seu plano médio, sendo a 
resistência às acções horizontais assegurada pela estrutura reticulada de pilares e 
 Pág. 12 
vigas. Face às acções horizontais as lajes funcionam como placas com cargas 
actuando segundo o seu plano médio, o que conduz a pequenas tensões. 
Já no caso das lajes de pavimento, fungiformes, a inexistência de vigas obriga ao seu 
dimensionamento também às acções horizontais. 
 
• Condições de Apoio e Simbologia de Cálculo 
 
As condições de apoio de um painel de laje vigada são: 
- bordo encastrado quando há continuidade para um painel adjacente 
 
- bordo simplesmente apoiado quando se trata de um apoio limite sem 
continuidade 
 
- bordo livre quando não há viga de apoio 
 
Por exemplo para o conjunto de painéis da figura: 
 
 
 
 Pág. 13 
ter-se-á: 
 
 
Em termos de simbologia de cálculo, os Momento Flectores nas lajes seguem uma 
convenção diferente dos momentos nas secções de vigas ou pilares. 
Assim enquanto numa secção de viga ou pilar : 
Mxx – representa o momento flector cujo vector resultante tem a direcção de X, ou 
seja , trata-se de um momento em torno de X. 
No caso das lajes: 
Mx – representa o momento flector que produz tensões normais de flexão segundo o 
eixo X, ou seja é o momento que tem o vector resultante segundo Y ou momento em 
torno de Y. 
 
Deste modo nos painéis A, B, C e D anteriormente representados, os momentos 
flectores a determinar seriam: 
 
Como se pode perceber os momentos são representados por setas simples que 
pretendem mostrar o momento em projecção no plano. O sentido da seta não tem 
significado em termos de sinal, sabendo-se que momentos no centro do painel serão 
sempre positivos enquanto momentos sobre encastramentos serão sempre negativos. 
 Pág. 14 
Nos painéis com bordo livre haverá que distinguir entre os momentos segundo a 
direcção do bordo na zona central e os mesmos momentos junto ao bordo. Isto porque 
há um aumento significativo desses momentos junto ao bordo livre. 
Os momentos flectores e esforços transversos em lajes são sempre calculados por 
unidade de largura. 
Mx - [ KNm/m ] ; Vx - [ KN/m ] 
 
• Análise Qualitativa do Comportamento Elástico das Lajes 
 
a) Laje Apoiada numa direcção e com Bordos Livres na outra 
 
 
Neste caso a laje, quando carregada, fica sujeita a um estado de flexão cilíndrica, 
com curvatura nula segundo a direcção Y e portanto comportamento semelhante 
ao de uma viga com o mesmo vão. 
No entanto, na laje vai surgir um efeito que não se verifica nas vigas e que se 
pode explicar simplificadamente da seguinte forma: 
Considerando a laje como um conjunto de vigas ou faixas justapostas 
lateralmente, quando a laje se deforma verifica-se que a deformação transversal 
de cada faixa é impedida pela faixas adjacentes, originando tensões segundo a 
direcção perpendicular ao vão, que produzem um momento flector de 
compatibilidade dado por: 
 My = ν . Mx em que: 
 
 ν – coeficiente de Poisson do material 
e que no caso do betão armado se pode considerar igual a 0,2 em fase elástica. 
Portanto numa laje armada numa só direcção, apesar de possuir curvatura nula na 
outra direcção, haverá sempre um momento flector de compatibilidade segundo esta 
outra direcção devido ao efeito de Poisson. 
 
 Pág. 15 
b) Laje Apoiada nos Quatro Bordos, com um lado muito maior que o outro 
 ( ly / lx > 2) 
 
 
Neste caso o comportamento é muito semelhante ao anterior, ficando a laje sujeita 
a um estado de flexão cilíndrico em praticamente toda a largura, com uma 
perturbação pouco significativa nas extremidades devido à presença dos apoios. 
Podendo portanto igualmente afirmar-se que a curvatura segundo Y é 
praticamente nula. 
 
c) Laje Apoiada nos Quatro Bordos, com lados de comprimento semelhante 
 ( 0,5 ≤ ly / lx ≤ 2) 
 
 
 
O comportamento qualitativo neste caso pode ser compreendido a partir da analogia 
com uma grelha de vigas nas duas direcções, intersectando-se no centro da laje. 
 Pág. 16 
Olhando para a superfície deformada, facilmente se conclui que sendo a curvatura 
maior segundo o menor vão da laje, também o serão os momentos flectores já que 
M = EI. 1/R = EI.K 
Deste modo podemos concluir que no caso de uma laje rectangular apoiada em todo o 
contorno, os maiores momentos aparecem segundo a direcção do menor vão. 
Esta conclusão é extensiva a outras condições de fronteira desde que sejam idênticas 
nas duas direcções. 
 
• Comportamento de uma laje até à rotura 
 
 
A figura representa o diagrama de comportamento P-δ de uma laje até uma situação 
de rotura. Assim teremos: 
1 – Fase elástica ( Estado I ) em que o modelo elástico linear para o comportamento 
da laje é praticamente exacto 
A – Valor da carga para o qual se dá o início da fendilhação 
2 – Fase fendilhada ( Estado II ) em que o modelo elástico é válido para o cálculo dos 
esforços ( não exacto ) devendo ter-se em conta o efeito da fendilhação na 
deformação. 
B – Valor da carga para o qual se dá início à fase de cedência das armaduras 
( plastificação ) 
3 – Fase de plastificação em que as fendas começam a agrupar-se, formando bandas 
( charneiras plásticas ). A distribuição de esforços já é significativamente diferente da 
distribuição elástica. 
C – Valor da carga para o qual se dá início ao processo de rotura 
 Pág. 17 
4 – Fase de rotura em que se dá a deformação e formação de mecanismo por rotação 
em torno das charneiras plásticas ( linhas de rotura ) e esmagamento do betão. 
É válida nesta fase a Teoria da Plasticidade. 
Aspecto da face inferior de uma laje apoiada nos quatro bordos, na fase que precede a 
rotura: 
 
Da análise do diagramapodem reter-se os seguintes aspectos muito importantes para 
o estudo de qualquer laje: 
- Não linearidade da deformação com o valor da carga a partir do ponto de início da 
fendilhação. 
- O modelo elástico só produz esforços semelhantes aos reais em fase elástica 
- Uma laje bem dimensionada deverá funcionar nas condições usuais de serviço junto 
do ponto de início de fendilhação, acima ou abaixo e não necessariamente sempre 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 18 
 I.2.2 – REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS E SEU SIGNIFICADO EM TERMOS DE 
 ESTADO LIMITE ULTIMO DE FLEXÃO 
 
• Análise Plástica 
 
Como se verificou no fim do capítulo anterior , a distribuição de esforços numa laje 
próxima da situação de rotura, não tem nada a ver com a distribuição que se obteria 
fazendo um cálculo elástico. 
Deste modo como explicar o cálculo à rotura de armaduras com base no valor de 
esforços obtidos elasticamente? 
A resposta está no Teorema Estático da Análise Plástica. 
Segundo o artº 48 do REBAP a análise plástica em lajes será feita em termos da 
verificação da segurança expressa através da condição de que o valor de cálculo das 
acções é inferior ao valor de cálculo da resistência em termos de acções. 
No valor de cálculo das acções devem considerar-se as combinações de acções com 
os respectivos coeficientes de segurança γf e no valor de cálculo da resistência, 
expressa em termos de acções,devem considerar-se os valores de cálculo das 
propriedades dos materiais determinados com base nos coeficientes de segurança γm. 
A possibilidade de fazer cálculo plástico, nomeadamente através da aplicação do 
teorema estático, obriga segundo o REBAP: 
• a que em qualquer ponto e em qualquer direcção, a % de armadura de tracção 
da laje não exceda a que conduz a um valor de x/d igual a 0,25, sendo x a 
profundidade da linha neutra e d a altura útil da secção ( exigência de 
ductilidade ) 
• e a que a distribuição de momentos considerada não difira muito da 
distribuição de momentos elástica: 
 0,5. Mapoioel ≤ Mapoio ≤ 1,25.Mapoioel 
em que Mapoioel é o momento negativo elástico sobre determinado apoio. 
Segundo o EC2: 
A análise plástica pode ser feita sem qualquer verificação directa da capacidade de 
rotação se: 
i) a área da armadura de tracção é limitada de modo a que em qualquer secção 
 xu / d ≤ 0,25 , fck ≤50 MPa 
 xu / d ≤ 0,15 , fck >50 MPa 
ii) aço das armaduras é da classe B ou C ( aços de maior ductilidade) 
iii) 0,5 ≤ │M-apoios │/ │M vão│≤ 2,0 
 
 Pág. 19 
Então segundo o Teorema Estático da Análise Plástica: 
- A carga distribuída p associada a um campo de esforços equilibrado e em que não 
seja excedida em nenhum ponto a capacidade resistente da laje M (p) ≤ Mrd, constitui 
um valor inferior ou igual ao da carga última pu . 
em que: 
M (p) – momento da distribuição equilibrada de esforços devido à carga p 
Mrd – momento resistente da laje 
Este teorema é pois a justificação da possibilidade de utilizar os resultados da análise 
elástica para a verificação da segurança ao estado limite último, uma vez que a 
solução elástica é uma das possíveis distribuições de esforços equilibradas. 
A utilização do método estático no cálculo de lajes origina o chamado método das 
faixas ou bandas. 
 
 
Como se representa na figura podemos admitir que a carga p é suportada em bandas 
nas direcções x e y, sendo α um coeficiente de repartição da carga em cada uma das 
direcções. Teremos assim uma banda de laje segundo x que suporta uma carga de 
α.p e uma banda segundo y que suporta uma carga de ( 1- α ).p 
Para iguais condições de fronteira nas 2 direcções o valor de α para a menor direcção 
deverá ser entre 0,5 e 1 para relações de vãos entre 0,5 e 2. Para relações de vãos 
superiores a 2, α deverá ser 1 na direcção do menor vão ( flexão cilíndrica ). 
Para condições de fronteira diferentes nas 2 direcções, deve considerar-se uma % de 
carga maior na direcção com condições de fronteira mais rígidas. 
 
 α. lx 2 > ( 1- α ). ly 2 
 Pág. 20 
• Análise Elástica com redistribuição de esforços 
 
Quando se dimensiona uma laje com base na distribuição elástica de esforços dá jeito, 
por vezes, pensar numa redistribuição desses esforços. 
Pode desta forma conseguir-se uma melhor distribuição de armaduras, diminuindo a 
densidade destas em zonas fortemente armadas, normalmente em armaduras 
superiores sobre apoios e consequentemente aumentando as armaduras inferiores no 
vão. Deste modo obtém-se uma melhor pormenorização de armaduras, maior 
ductilidade da laje e sobretudo maior facilidade de execução. 
A redistribuição de esforços é uma aplicação do método estático que consiste em 
somar à distribuição de esforços elásticos ( que é equilibrada ) um campo de esforços 
auto-equilibrado, obtendo-se assim uma solução ainda equilibrada. 
Tomemos o exemplo simples de uma laje bi-encastrada armada segundo uma única 
direcção, portanto com um comportamento semelhante à de uma viga bi-encastrada, 
sujeita a uma carga uniformemente distribuída: 
 
O diagrama de momentos elástico é: 
 
Adicionando a este campo de esforços elástico, o campo de esforços auto-equilibrado: 
 
Obter-se-á: 
 Pág. 21 
 
Que continua a ser um campo de esforços equilibrado e portanto de acordo com o 
Teorema Estático, válido para a verificação ao estado limite último. 
Caso o campo de esforços auto-equilibrado que se adicionou fosse de: 
 
 
 
O resultado seria uma redistribuição total dos momentos negativos nos apoios: 
 
Como se trata também de um campo de esforços equilibrado, a verificação ao estado 
limite último permanece válida para esta distribuição. 
No entanto como os esforços em serviço são próximos dos elásticos, sendo a 
redistribuição significativa, os níveis de tensão em serviço podem tornar-se elevados 
conduzindo a fendilhação e/ou deformações inaceitáveis. Tal seria a situação neste 
caso de redistribuição total. 
Por este motivo o REBAP impõe no seu Artº 50 que a redistribuição de momentos em 
lajes seja no máximo de 25% para os momentos nos apoios. 
Convém também salientar que a utilização da redistribuição de esforços elásticos para 
o dimensionamento ao Estado Limite Último só é aplicável se as zonas mais 
esforçadas apresentarem um comportamento suficientemente dúctil de forma a 
 Pág. 22 
permitir que as capacidades resistentes das secções se adaptem aos esforços 
actuantes. 
 Segundo o EC2 
Para lajes contínuas em que a relação entre vãos adjacentes esteja entre 0,5 e 2: 
δ ≥ k1 + k2. xu / d, fck ≤50 MPa 
δ ≥ k3 + k4. xu / d, fck >50 MPa 
δ – relação entre o momento após a redistribuição e o momento flector elástico 
k1=0,44 k2 = 1,25.(0,6+0,0014/εcu2) = 1,25 
K3=0,54 K4 = 1,25.(0,6+0,0014/εcu2) 
δ ≥ 0,44 + 1,25. xu / d, fck ≤50 Mpa 
δ ≥ 0,7 para aços das classes B e CPág. 23 
 I.2.3 – DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA ÚNICA 
 DIRECÇÃO 
 
Normalmente as lajes vigadas são dimensionadas com base numa análise elástica, 
por ser uma técnica de fácil aplicação, recorrendo habitualmente a tabelas, e, por 
conduzir a um bom comportamento em serviço. 
Como se viu anteriormente, nos casos em que a análise elástica não é simples, pode 
aplicar-se o Teorema Estático da Análise Plástica. 
As lajes vigadas armadas numa só direcção têm um comportamento em tudo idêntico 
ao das vigas, pelo que o seu cálculo elástico é feito como se se tratasse de uma viga 
com a espessura da laje e 1 m de largura. 
 
• Cálculo de Painéis Isolados 
 
Neste caso utilizam-se as fórmulas de cálculo elástico para vigas de um só tramo com 
as respectivas condições de apoio. 
 
 
 Pág. 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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• Cálculo de Conjunto de Painéis Contínuos 
 
Suponhamos o conjunto de painéis representado na figura: 
 
Atendendo à relação entre vãos de cada painel, tratam-se de painéis armados na 
direcção do menor vão. 
Deste modo e tal como sucedia nos painéis isolados, o cálculo deverá ser feito como 
se se tratasse de uma viga, neste caso contínua de 5 tramos, de espessura igual à da 
laje e 1m de largura. 
 
Um aspecto importante a ter em conta no cálculo da laje contínua é a possibilidade de 
alternância de sobrecargas nos painéis. 
A importância deste aspecto tem a ver com o valor das sobrecargas e a sua relação 
com as cargas permanentes. 
Quanto maior for essa relação mais importante será a sua consideração no cálculo. 
 Pág. 26 
A não consideração deste efeito, por exemplo quando se sobrecarregam todos os 
tramos , pode originar mau funcionamento em serviço por parte do pavimento, 
podendo ocorrer fendilhação e flechas exageradas. 
A alternância de sobrecargas deve ser considerada em cada caso de acordo com a 
respectiva linha de influência. 
Assim para o caso do pavimento apresentado, ter-se-ia por exemplo, para a obtenção 
do Mmáx positivo no 1º tramo: 
Linha de influência de M a meio vão do 1º tramo 
 
 
Alternância de sobrecargas a considerar 
 
 
 
Pode assim enunciar-se a seguinte regra para a obtenção do Mmáx positivo num dado 
tramo: 
Sobrecarrega-se o tramo em questão e os outros alternadamente. 
No caso dos Mmáx negativos sobre os apoios, vamos considerar a obtenção desse 
momento sobre o 1º apoio: 
Linha de influência de M sobre o 1º apoio 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 27 
Alternância de sobrecargas a considerar 
 
 
 
Pode assim enunciar-se a seguinte regra para a obtenção do Mmáx negativo sobre um 
dado apoio: 
Sobrecarregam-se os dois tramos adjacentes ao apoio em questão e os outros 
alternadamente. 
Em termos de esforço transverso proceder-se-ia de igual forma, com base na 
respectiva linha de influência . 
Caso se pretendesse calcular o esforço transverso máximo na secção imediatamente 
à direita do 1º apoio ter-se-ia: 
Linha de influência de V na secção à direita do 1º apoio 
 
 
Alternância de sobrecargas a considerar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 28 
 I.2.4 – DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS 
 DIRECÇÕES 
 
No caso de painéis de laje com relação entre vãos compreendida entre 0,5 e 2,0, a 
laje apresenta momentos flectores significativos segundo as duas direcções, pelo que 
como já se viu anteriormente, considera-se como armada em duas direcções. 
A análise elástica de um sistema de painéis contínuos armados em 2 direcções pode 
ser feita de diferentes formas: 
a) Análise do sistema global utilizando métodos numéricos, nomeadamente o método 
dos elementos finitos. 
Este método de cálculo exige o recurso ao cálculo automático. 
Permite obter uma distribuição elástica de esforços muito parecida com a real, 
nomeadamente porque considera a deformabilidade das vigas de suporte do sistema. 
b) Análise dos painéis de laje isolados com recurso a tabelas de cálculo ( Bares, 
Hahn, Montoya, etc ), seguida de uma posterior redistribuição da diferença entre os 
momentos sobre apoios comuns, para obtenção da distribuição no conjunto dos 
painéis. Este método permite obter uma distribuição de esforços equilibrada e portanto 
válida para a verificação dos estados limites últimos, no entanto diferente da 
distribuição elástica real, já que simplificadamente não considera a deformabilidade 
das vigas de suporte. 
c) Análise do conjunto de painéis utilizando tabelas em que a continuidade dos 
momentos sobre os apoios comuns a painéis adjacentes é considerada directamente. 
Também despreza a deformabilidade das vigas de apoio. 
O método dos elementos finitos é hoje largamente utilizado através de vários 
programas de cálculo conhecidos como o SAP ou o ROBOT, pelo que na maior parte 
dos casos este constitui o método de cálculo das lajes de pavimento. 
No entanto nos casos mais simples de pavimentos com plantas de formas muito 
regulares, o método simplificado descrito na alínea b) continua a ser bastante utilizado, 
já que não exige para além das tabelas, grandes meios de cálculo. 
Será pois este o método de cálculo a seguir neste curso, utilizando para o efeito as 
Tabelas para o cálculo de lajes de R. Bares. 
Para ter em conta a alternância de sobrecargas, dado que como se referiu, o cálculo é 
feito para os painéis isolados, é utilizada uma técnica conhecida por “Método de 
Marcus”, válida para sistemas de lajes sujeitas a cargas uniformemente distribuídas e 
com vãos adjacentes semelhantes. 
 
 
 Pág. 29 
• Método de Marcus 
 
Suponhamos o seguinte sistema de painéis: 
 
Isolando os painéis, teríamos os seguintes modelos de cálculo : 
 
- Painéis A – Painéis de Canto 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 30 
- Painéis B – Painéis de Bordo 
 
 
 
- Painel C – Painel Interior 
 
 
 
Como se observa nos modelos de cálculo anteriores, os bordos sem continuidade são 
considerados como apoios simples e os bordos com continuidade como 
encastramentos. 
O facto de se considerarem os apoios em vigas de bordadura como apoios simples, 
permitindo a rotação livre, significa que se despreza a rigidez de torção dessas vigas. 
 Pág. 31 
De facto devido à fendilhação, a rigidez de torção das vigas decresce rapidamente 
para valores de cerca de 1/4 a 1/10 do valor elástico, o que torna os momentos na laje 
junto à viga muito pequenos. 
Por outro lado se se considerassem os momentos flectores na ligação à viga de 
bordadura, como algumas tabelas de cálculo de lajes o fazem ( tabelas do ACI , por 
exemplo ) haveria que,por equilíbrio, ter em conta os momentos torsores na viga 
aquando do cálculo desta. Como na prática, não se considera essa acção sobre a 
viga, pode tornar-se contra a segurança da estrutura, a utilização de tabelas que 
forneçam os valores dos momentos sobre apoios descontínuos. 
 
 
 
- Mmáx – 
 
Como se viu no caso do conjunto de painéis armados numa só direcção, os momentos 
negativos sobre apoios de continuidade são máximos se a sobrecarga actuar 
simultaneamente nos 2 painéis adjacentes a esse bordo. 
No caso actual de um conjunto de painéis armados em duas direcções a conclusão 
mantém-se válida. 
Deste modo e admitindo a hipótese inicial de os painéis terem vãos semelhantes, 
quando ambos os painéis adjacentes à viga de apoio estão igualmente 
sobrecarregados, a rotação desse apoio será muito pequena, pelo que se pode admitir 
que a condição de apoio nesse bordo é o encastramento. 
 Pág. 32 
Pode então enunciar-se como regra para a obtenção dos momentos negativos 
máximos em determinado painel que o painel deve ser calculado para a 
totalidade das cargas ( cp+sob) e com os bordos com continuidade 
considerados como encastrados. 
 
- Mmáx + 
 
Para obtenção dos momentos positivos máximos nos painéis A e C, por exemplo, a 
distribuição de sobrecargas que produz esses momentos será a seguinte: 
 
que pode ser decomposta em: 
 
 
 a) b) 
 
 Pág. 33 
Para a situação de carga a) em que todos os painéis estão igualmente carregados 
com cp+sob/2 é novamente lícito considerar que as vigas de apoio com continuidade 
praticamente não rodam, pelo que os apoios com continuidade devem ser 
considerados no cálculo dos painéis individualizados como encastramentos. 
No entanto para a situação de carga b), estando os painéis adjacentes a cada viga de 
apoio com continuidade, carregados com + sob/2 e – sob/2, então essas vigas já 
tenderão a rodar, pelo que neste caso os bordos com continuidade devem ser 
considerados no cálculo como encastramentos. 
Pode então enunciar-se que para a obtenção dos momentos flectores positivos 
máximos num determinado painel, tendo em conta a possível alternância de 
sobrecargas, tem de adicionar-se o momento positivo obtido para cp+sob/2 
actuando o painel com os bordos de continuidade considerados como 
encastramentos, com o momento positivo obtido para sob/2, actuando o mesmo 
painel, mas em que agora os bordos com continuidade devem ser considerados 
como apoios simples. 
São estas regras simples, que permitem, de uma forma simplificada, obter o efeito da 
alternância de sobrecargas sobre o cálculo dos painéis feito individualmente, que 
constituem o chamado método de Marcus para o cálculo de lajes armadas em duas 
direcções. 
 
- Equilíbrio entre Painéis Adjacentes 
 
Feito o cálculo dos momentos flectores para cada painel individualmente, há que no 
final proceder ao reequilíbrio dos momentos negativos calculados para cada um dos 
painéis adjacentes a cada apoio de continuidade. Esses momentos serão diferentes 
sempre que os painéis o sejam, pelo que, para que a viga não fique sujeita a 
momento torsor o momento terá de ser o mesmo à direita e à esquerda do apoio. 
Por exemplo, no caso do pavimento em análise, entre os painéis de canto A e os 
painéis de bordo B, sobre a viga de apoio 1, ter-se-á: 
 
 
 Pág. 34 
O valor elástico de MAB estará compreendido entre MA e MB e dependerá da rigidez à 
flexão dos painéis adjacentes. 
 
 
 Pode ser obtido a partir da redistribuição da diferença entre momentos no apoio pela 
fórmula: 
 
MAB = MB + (MA - MB ) x KB / KA + KB ( fórmula de iteracção do Método de Cross ) 
 
Ou 
 
MAB = MA x KB / KA + KB + MB x KA / KA + KB 
 Em que: 
KA – rigidez à flexão do painel A na direcção em causa 
KB – rigidez à flexão do painel B na direcção em causa 
 
Se os vãos forem semelhantes, que era uma das condições iniciais para a aplicação 
do Método de Marcus, ter-se-á: 
KA ~ KB e então: 
 
MAB = (MA + MB) / 2 
 
Que normalmente é a expressão adoptada na prática. 
Para esta simplificação na obtenção do momento negativo final sobre o apoio comum 
estar do lado da segurança e poder cobrir as situações de maiores diferenças entre 
momentos, deve sempre verificar-se se: 
 
MAB ≥ 0,8 x Mmáx (MA ; MB) 
 
 
 Pág. 35 
No caso em que: 
 
MAB < 0,8 x Mmáx (MA ; MB) considera-se MAB = 0,8 x Mmáx (MA ; MB) 
 
Quando é feito este reequilíbrio de momentos sobre o apoio, há sempre descida do 
diagrama de momentos de um dos lados. 
Por exemplo, no caso analisado, o momento positivo no painel A para a combinação 
de acções que conduziu ao MAmáx – no apoio sofre um acréscimo, porque com a 
redistribuição, o diagrama de momentos desce no painel A. 
Por outro lado o Mmáx + no painel A é determinado com base numa combinação de 
acções diferente, mais desfavorável, pelo que haverá que verificar se este momento 
positivo de dimensionamento obtido pelo método de Marcus não é ultrapassado pelo 
momento positivo anterior após a redistribuição. 
Tal depende da importância da consideração da alternância de sobrecargas que como 
se viu está ligada à relação entre a sobrecarga e a carga permanente. 
Para as relações usuais entre carga permanente e sobrecarga e se: 
MAB ≥ 0,8 x Mmáx (MA ; MB) então o momento positivo de dimensionamento obtido 
pelo método de Marcus é normalmente superior. 
Para casos de maiores sobrecargas ou sobretudo se MAB < 0,8 x Mmáx (MA ; MB) , 
então deve sempre verificar-se se o momento positivo após a redistribuição de 
esforços não ultrapassa o momento positivo de dimensionamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 36 
Hipótese 1 Hipótese 2 
 
 
 
Mmáx + = Máx ( M+ hip.1 + ∆M ; M+ hip.2 ) 
 
No caso de vãos adjacentes bastante diferentes, deve efectuar-se o reequilíbrio final 
de momentos negativos sobre os apoios, com base nas fórmulas de rigidez 
apresentadas. 
Nestes casos sucede normalmente que após a redistribuição o vão menor fica apenas 
com momentos negativos. 
 
 
 
Nesta situação coloca-se habitualmente no vão menor uma armadura superior corrida 
e uma armadura inferior que é normalmente metade da dos vãos adjacentes. 
 Pág. 37 
- Dimensionamento de painéis adjacentes a uma consola 
 
No caso de painéis armados em 2 direcções e adjacentes a uma consola o método de 
cálculo é um pouco diferente, devido à existênciada consola, já que a influência desta 
tem de ser considerada, quando se calcula o painel isoladamente. 
Suponhamos por exemplo o seguinte conjunto de painéis: 
 
Calculemos então o painel A. 
Comecemos por verificar se a consola garante, quando sujeita às cargas permanentes 
(cp) o encastramento ao painel A: 
 
1º - Cálculo de M – no bordo adjacente à consola para o painel actuado por 
1.5.(cp+sob) ( cargas majoradas) e considerando esse bordo como encastrado. 
 
 
 
 
 Pág. 38 
2º - Cálculo de M – no mesmo bordo mas agora calculado pelo lado da consola 
quando esta está sujeita apenas às cp. 
 
 
Se M-cons(cp) < My-A(cp+sob)γ, considera-se que a consola permite a rotação do 
bordo adjacente, não garantindo portanto o encastramento ao painel A e 
prosseguindo o cálculo deste, considerando esse bordo como um apoio simples. 
 
3º - Cálculo dos momentos no painel A 
 
No final e porque a consola existe de facto, deverá fazer-se a correcção de My+ 
 
My+ Final = My+ - ∆ = My+ - (M-cons(cp) /2 ) 
 
 
 
 
 Pág. 39 
Se pelo contrário M-cons(cp) ≥ My-A(cp+sob)γ, considera-se que a consola não permite 
a rotação do bordo adjacente, garantindo portanto o encastramento ao painel A e 
prosseguindo o cálculo deste, considerando esse bordo como um apoio encastrado. 
 
3º - Cálculo dos momentos no painel A 
 
No final e para corrigir a situação de cálculo para a situação real tem de fazer-se a 
correcção de My+ 
 
 
My+ Final = My+ - ∆ = My+ - (M-cons(cp)- My-A(cp+sob)γ)/2 
 
4º - Cálculo do momento negativo final sobre o bordo de ligação à consola calculado a 
partir da consola 
 
 Pág. 40 
 I.2.5 – ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS: FLEXÃO E ESFORÇO TRANSVERSO 
 
Estado Limite Último de Flexão 
 
Normalmente no cálculo de lajes maciças vigadas despreza-se a rigidez de torção. 
Caso contrário poder-se-á utilizar uma fórmula simplificada para ter em conta o efeito 
dos momentos torsores na verificação do estado limite último de flexão, que é: 
 
 MxRd ≥ MxSd + | MxySd | 
 MyRd ≥ MySd + | MxySd | 
 
Estado Limite Último de Esforço Transverso 
 
Nas situações correntes de lajes vigadas procura-se dimensionar a espessura da laje 
de forma a que esta não necessite de armaduras de esforço transverso, dada a 
dificuldade de montagem destas armaduras. 
Regulamentarmente não há exigência de armadura de esforço transverso mínima pelo 
que procura-se sempre absorver o esforço transverso à custa da resistência do betão, 
que é para lajes sem armadura de esforço transverso, de acordo com o REBAP: 
 
Vcd = 0,6. ( 1,6 – d ). ζ 1 . bw . d sendo que: 1,6 – d ≥1,0 e bw = 1m 
 
Segundo o EC2 
Essa resistência é dada por: 
 
VRd,c = [CRd,c.k.(100.ρL.fck)1/3+k1.σcp].bw.d ≥ [vmin+ k1.σcp] .bw.d 
Onde, 
CRd,c=0,18/ γc =0,18/1,5=0,12 
K=1+√(200/d) ≤ 2, com d em mm 
 ρL= AsL/ bw.d ≤ 0,02 (AsL representa a área de armadura de tracção, prolongada de 
 um comprimento não inferior a d+lb,net para além da secção considerada ) 
k1 = 0,15 
σcp=Nsd/ Ac < 0,2.fcd em MPa (Nsd representa o esforço normal devido a cargas 
aplicadas ou ao pré-esforço, devendo ser considerado positivo quando for de 
compressão e Ac representa a área da secção transversal de betão) 
vmin = 0,035.k
3/2. fck
1/2 
 
 Pág. 41 
Quanto ao cálculo do esforço transverso em lajes vigadas armadas em duas 
direcções, ele pode ser feito directamente a partir das tabelas de Bares, como se 
mostra na figura seguinte, correspondente a uma situação de laje simplesmente 
apoiada nos 4 bordos: 
 
 
 
Na prática, no entanto, é normalmente utilizado um método simplificado, baseado 
numa repartição de cargas a 45º entre bordos adjacentes com idênticas condições de 
apoio ou 60º / 30º para uma situação respectivamente de bordo encastrado versus 
bordo simplesmente apoiado. 
Nas figuras seguintes são apresentados exemplos com determinação dos diagramas 
de reacções ao longo dos bordos, e o respectivo valor de esforço transverso máximo, 
recorrendo a este método. 
 
 
 Pág. 42 
 
Através deste método simplificado de repartição das cargas pelos apoios, é pois 
possível determinar as reacções das lajes nas vigas, possibilitando um posterior 
cálculo da estrutura reticulada tridimensional constituída apenas por pilares e vigas. 
Nas lajes de pavimento de edifícios correntes , não há normalmente necessidade de 
recorrer a armaduras de esforço transverso para verificar a segurança a este estado 
limite último. 
Os problemas de esforço transverso em lajes surgem por exemplo nos apoios 
inferiores em lajes verticais de muros de suporte, com vários troços, como é o caso 
das paredes de contenção em caves enterradas . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 43 
I.2.6 – ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO: FENDILHAÇÃO E DEFORMAÇÃO 
 
Estado Limite de Fendilhação 
 
Calculada a armadura para garantir a verificação da segurança aos estados limites 
últimos, o REBAP permite a verificação do estado limite de fendilhação em lajes, de 
uma forma simplificada, a partir de uma disposição adequada de armaduras. 
Deste modo, de acordo com o REBAP, e para as solicitações correntes, o cálculo da 
abertura de fendas é dispensado se o espaçamento das armaduras principais não 
exceder os seguintes valores: 
 
Ambiente Aço A235 Aço A400 Aço A500 
Pouco Agressivo ---- 25 cm 20 cm 
Moderadamente 
Agressivo 
---- 15 cm 10 cm 
 
Muito Agressivo 
---- Cálculo de abertura 
de fendas 
obrigatório 
Cálculo de abertura 
de fendas 
obrigatório 
 
Analisando o quadro anterior conclui-se que para o aço A235 não será preciso a 
verificação deste estado limite, enquanto que as limitações para o espaçamento 
máximo de armaduras principais se agravam do aço A400 para o A500. 
No caso de ambientes muito agressivos ( ambientes marítimos, industriais muito 
poluídos, etc ) o cálculo de abertura de fendas é obrigatório desde que se utilizem os 
aços A400 ou A500. 
A justificação para estas situações está no facto da abertura de fendas estar 
directamente relacionada como se sabe com a corrosão das armaduras. 
Assim quanto maior for a agressividade do meio ambiente mais acelerado será o 
processo de corrosão pelo que maiores serão as exigências no controle da 
fendilhação. 
Relativamente à influência da classe de resistência do aço, como o processo de 
corrosão é também mais acelerado quanto maior for a tensão de serviço no aço, 
também se compreende o agravamento das exigências com o aumento daquela 
classe. 
 
 
 
 Pág. 44 
Segundo o EC2 
A verificação do estado limite de fendilhação numa laje também pode ser feita de uma 
forma indirecta através da adopção de uma armadura mínima e da imposiçãode 
limites ao diâmetro máximo dos varões e ao afastamento máximo entre os mesmos. 
Por exemplo no caso de lajes de betão armado de Edifícios, solicitadas à flexão sem 
tracção axial significativa, não são necessárias medidas específicas para controlar a 
fendilhação quando a espessura total da laje não é superior a 200 mm e se respeitem 
as indicações do EC2 sobre disposição de armaduras. 
Para lajes de espessura superior a 0,20m, tendo em atenção a limitação da 
fendilhação expressa no quadro seguinte: 
 
Ambiente Combin. de 
acções 
Betão armado Betão pré-esforç. 
Frequente --- 0,2 mm Pouco agressivo 
(X0,XC1) Quase Perman. 0,4 mm* --- 
Frequente --- 0,2 mm Mod. agressivo 
(XC2,XC3,XC4) Quase Perman. 0,3 mm descompressão 
Frequente --- descompressão Muito agressivo 
(XD1,XD2,XS1,XS2,XS3) Quase Perman. 0,3 mm descompressão 
*- apenas por razões estéticas e não de durabilidade 
diz-se que a fendilhação está controlada no caso de deformações impostas, se o 
diâmetro dos varões não for superior ao do quadro seguinte após a respectiva 
correcção, e, no caso de outras acções, se for respeitado o diâmetro máximo, depois 
de corrigido, ou, o espaçamento máximo entre varões, indicado também no quadro. 
 
Máximo diâmetro do varão 
(mm) 
Máximo espaçamento entre varões 
(mm) 
Tensão 
no aço 
[MPa] 
 
wk=0,40 mm wk=0,30 mm wk=0,20 mm wk=0,40 mm wk=0,30 mm wk=0,20 mm 
160 40 32 25 300 300 200 
200 32 25 16 300 250 150 
240 20 16 12 250 200 100 
280 16 12 8 200 150 50 
320 12 10 6 150 100 --- 
360 10 8 5 100 50 --- 
400 8 6 4 50 --- --- 
450 6 5 --- --- --- --- 
 Pág. 45 
 
A tensão no aço será a tensão na armadura no instante após a fendilhação. Poderá 
considerar-se fyk no caso de deformações impostas, que é a tensão considerada no 
cálculo da armadura mínima, embora, caso o diâmetro das armaduras não satisfaça o 
estabelecido no quadro, deverá adoptar-se o par (σs,Φ) que respeite o controlo 
indirecto dessa tabela, passando a armadura mínima a ser calculada com esse valor 
de σs .No caso de cargas aplicadas poderá estimar-se de forma simplificada a tensão 
nas armaduras considerando σs ~ fyd/1,5. 
O diâmetro máximo dos varões Φs* deve ser corrigido de acordo com: 
Flexão - Φs = Φs*.( fct,ef/2,9).kc.hcr/(2.(h-d)) 
Tracção simples - Φs = Φs*.( fct,ef/2,9). hcr/(8.(h-d)) 
Com 
Φs – diâmetro corrigido máximo dos varões 
Φs* - diâmetro máximo dos varões obtido no quadro 
hcr - altura traccionada antes da fendilhação ( =h para tracção simples e h/2 para 
flexão simples ) 
kc = 0,4 para flexão simples 
Por exemplo, para tracção simples considerando betão C30/37 (fct,ef=2,9 MPa) e 
d=0,9h obtém-se Φs = 1,25.Φs* 
Para flexão simples considerando betão C30/37 (fct,ef=2,9 MPa) e d=0,9h obtém-se 
Φs = Φs* 
 
Estado Limite de Deformação 
 
A necessidade de limitar a deformação nas lajes é importante, não só do ponto de 
vista da aparência, evitar as tradicionais “barrigas” na laje, mas também por forma a 
limitar os danos em elementos não estruturais suportados pelas lajes como: paredes 
de alvenaria, painéis pré-fabricados, vãos envidraçados, etc. 
Nas figuras seguintes apresentam-se alguns danos que se podem observar em 
paredes de alvenaria devidos a deformação excessiva dos pavimentos. 
 Pág. 46 
 
As lajes, sendo elementos estruturais particularmente esbeltos, são bastante sensíveis 
à deformação. 
O REBAP estabelece no seu artº 72 como valor limite de deformação, em lajes 
correntes de edifícios, uma flecha de 1/400 do vão para combinações frequentes de 
acções. 
Quando a laje suportar paredes de alvenaria, esse valor não deve exceder 1,5 cm por 
forma a evitar a fissuração daquelas. 
 
Segundo o EC2 o valor limite de deformação para garantir a aparência e condições de 
utilização de uma laje, deverá ser de 1/250 do vão para combinações quase 
permanentes de acções. 
Admite a execução de uma contra-flecha máxima de 1/250 do vão para compensar 
parcial ou totalmente as deformações. 
As flechas susceptíveis de danificar elementos não estruturais ( alvenarias, 
envidraçados,etc) devem ser limitadas a 1/500 do vão para as flechas que ocorram 
depois da construção, para combinações quase permanentes de acções . 
 
A estimativa das deformações em lajes pode ser realizada, por exemplo, recorrendo 
ao método dos coeficientes globais que permite avaliar aproximadamente o 
agravamento da flecha instantânea elástica ao longo do tempo, devido a factores 
como a retracção e fluência do betão e fendilhação da secção. 
Este factor andará para as situações correntes entre 3 a 5. 
Relativamente à flecha instantânea elástica, ela depende sobretudo da chamada 
esbelteza da laje ( l/h ). 
 Pág. 47 
De facto, analisando a expressão da deformação elástica: 
 
 ac = k . p. l
4/ EI em que k é uma constante que depende das condições 
 de apoio e modos de flexão da laje 
que para uma laje de espessura constante h será: 
 
 ac / l = 12. k . p. (l/h)
3/ E 
 
Verfica-se assim que o valor da flecha instantânea elástica varia com o cubo da 
esbelteza da laje, pelo que será essa a variável principal a ter em conta quando se faz 
o pré-dimensionamento de uma laje pensando na verificação do estado limite de 
deformação. 
Desta forma compreende-se o artº 102 do REBAP que propõe valores de esbelteza 
máxima para as lajes de modo a garantir a verificação deste estado limite . 
Neste artigo o REBAP também indica algumas espessuras mínimas para lajes, tendo 
em conta: 
- razões construtivas, nomeadamente salvaguardando afastamentos e recobrimentos 
mínimos de armaduras 
- garantia da capacidade resistente 
- deformabilidade 
- isolamento acústico 
e que são: 
- h ≥ 5 cm para lajes de terraços não acessíveis 
- h ≥ 7 cm para lajes sujeitas predominantemente a cargas distribuídas 
- h ≥ 10 cm para lajes sujeitas a cargas concentradas 
- h ≥ 12 cm para lajes sujeitas a cargas concentradas importantes 
- h ≥15 cm para lajes apoiadas directamente em pilares ( fungiformes ) 
Estes valores são mesmo os valores mínimos permitidos não permitindo qualquer 
dispensa do cálculo da deformação ou de qualquer outro estado limite. 
Para que a verificação do estado limite de deformação possa ser dispensada, uma vez 
garantida a segurança aos estados limites últimos, a espessura terá de ser superior 
ao seguinte valor: 
 
 h ≥ li / 30.η 
 
li – vão equivalente da laje 
li = α.l ( sendo l o menor dos vãos no caso de lajes armadas em duas direcções ) 
 Pág. 48 
E sendo α , função das condições de apoio e modo de flexão da laje: 
 
 
η por sua vez é um parâmetro cujo valor depende da classe de resistência do aço 
adoptado, sendo dado por: 
 
η Aço 
1.4 A235 
1.0 A400 
0.8 A500 
 
A justificação para estes valores, obrigando uma laje com A500 a uma espessura 
superior à mesma laje com A400 e esta de espessura superior à laje com A235, tem a 
ver com a ductilidade do aço ( capacidade de deformação do aço para além da 
cedência ) .Pág. 49 
De facto sendo o A235 mais dúctil que o A400 e este mais dúctil que o A500, uma laje 
com um aço mais dúctil terá sempre maior capacidade de deformação. 
No quadro seguinte indicam-se os valores máximos de l/h a que a expressão anterior 
conduz. 
 
 
Verifica-se para algumas situações mais desfavoráveis que estes valores são 
excessivos, não garantindo a limitação da deformação a l /400 para as combinações 
frequentes de acções. 
Entre esses casos mais desfavoráveis podem considerar-se as situações de grandes 
sobrecargas ( sob > 5 KN/m2) e existência de bordo livre em lajes armadas em duas 
direcções. 
Nestes casos para garantir o valor limite de deformação é recomendável utilizar a 
expressão: 
 
 h ≥ li / 21.η 
 
que é mais conservadora, originando menores valores para a esbelteza máxima. 
No quadro seguinte indicam-se precisamente os valores máximos das esbeltezas 
obtidos da expressão do REBAP e da anterior, para o caso mais comum do aço A400. 
Apresenta-se também o valor da espessura mínima da laje para um vão de 6 m, a que 
as duas expressões conduzem. 
 Pág. 50 
 
A necessidade de limitar a deformação em pavimentos de edifícios é particularmente 
importante no caso de existirem paredes divisórias de alvenaria ou fachadas 
envidraçadas que possam sofrer danos devidos à deformação excessiva das lajes. 
Como já anteriormente se referiu, para evitar a fendilhação nestes elementos, a 
deformação deve ainda ser limitada a um máximo de 1,5 cm. 
De acordo com o REBAP esta condição é garantida de uma forma indirecta, através 
da expressão: 
 
 h ≥ (li)2 / 180.η 
 
Também aqui, para as situações mais desfavoráveis anteriormente descritas, a 
limitação da flecha máxima a 1,5 cm só é garantida de uma forma mais eficaz se 
utilizarmos a expressão mais conservadora: 
 Pág. 51 
 h ≥ (li)2 / 125.η 
 
Verifica-se que no caso de lajes suportando paredes de alvenaria a observância 
conjunta das 2 expressões, é condicionada até um determinado vão pela expressão 
geral e a partir daí pela expressão anterior. 
É conveniente uma chamada de atenção para que as condições anteriores não sejam 
encaradas como regras de pré-dimensionamento, muito embora na prática funcionem 
normalmente como tal, mas sim como limites de esbelteza a observar para de um 
modo indirecto limitar o valor das deformações. 
Será pois, sempre possível, adoptar valores de espessuras inferiores aos indicados, 
desde que se proceda ao cálculo das deformações a longo prazo. 
 
Segundo o EC2 o Estado Limite de Deformação também pode ser verificado limitando 
a esbelteza da laje (l/h). 
Assim desde que as lajes de betão armado de Edifícios sejam dimensionadas 
satisfazendo os limites l/d (vão/altura útil) que se seguem pode admitir-se que a 
respectiva flecha não irá exceder os limites estabelecidos. 
 
l/d ≤ k.[11+1,5.√fck. ρ0/ρ + 3,2 .√fck. (ρ0/ρ -1)3/2], se ρ≤ρ0 
 
l/d ≤ k.[11+1,5.√fck. ρ0/(ρ-ρ`) + 1/12 .√fck. √( ρ`/ρ0)], se ρ>ρ0 
em que: 
k – coeficiente que tem em conta o sistema estrutural 
ρ0 – taxa de armaduras de referência (ρ0=√fck x 10-3) 
ρ – taxa de armaduras de tracção na secção de ½ vão ou no apoio no caso de uma 
consola 
ρ` - taxa de armaduras de compressão na secção de ½ vão ou no apoio no caso de 
uma consola 
Estas expressões foram obtidas, admitindo que para as acções no estado limite de 
utilização, a tensão no aço, numa secção fendilhada a ½ vão ou no apoio de uma 
consola é igual a 310 MPa para A500. 
No caso de outros aços os valores obtidos devem ser multiplicados por 
 η= 310/σs ~ 500/fyk. As,adoptado/As,nec.à rotura 
Os valores de k estão dados no quadro seguinte, bem como L/d máximos, que foram 
calculados para C30/37;A500 e considerando Mqp ~ 50%Msd 
 
 Pág. 52 
L/d max. 
Sistema Estrutural 
 
k Betão muito 
comprimido 
ρ=1,5% 
Betão pouco 
comprimido 
ρ=0,5% 
Lajes simplesmente 
apoiadas, armadas 
numa ou em 2 dir. 
 
1,0 
 
14 
 
20 
Painel lateral de 
lajes contínuas, 
armadas numa ou 
em 2 dir. 
 
1,3 
 
18 
 
26 
Painel interior de 
lajes contínuas, 
armadas numa ou 
em 2 dir. 
 
1,5 
 
20 
 
30 
Lajes fungiformes 1,2 17 24 
Consolas 0,4 6 8 
 
Para lajes armadas em 2 direcções L é o menor vão. 
Para lajes fungiformes L é o maior vão. 
Para lajes aligeiradas os valores de L/d máximos obtidos devem ser multiplicados por 
0,8. 
Os valores obtidos para a esbelteza máxima são conservativos como aliás deveriam 
ser. 
No caso de lajes vigadas que suportem paredes divisórias e com L>7 m os valores de 
L/d devem ser multiplicados pelo factor 7/Lef 
No caso de lajes fungiformes que suportem paredes divisórias e com L>8,5 m os 
valores de L/d devem ser multiplicados pelo factor 8,5/Lef 
Alguns exemplos para A500 e ρ=0,5%: 
Painel lateral de laje vigada: 
L=5,0 m → d=0,19 m → h=0,22 m 
L=7,0 m → d=0,27 m → h=0,30 m 
Laje fungiforme: 
L=6,0 m (maciça)→ d=0,25 m → h=0,28 m 
L=8,0 m (aligeirada)→ d=0,42 m → h=0,45 m 
 Pág. 53 
I.2.7 – DISPOSIÇÃO DE ARMADURAS 
 
• Aspectos Gerais 
 
a) Armaduras Mínimas ( REBAP – Artº 104 ) 
 
As percentagens mínimas de armadura em lajes são iguais às das vigas. 
 
AÇO ρmín 
A235 0,25% 
A400 0,15% 
A500 0,12% 
 
Quanto à armadura de distribuição o REBAP não impõe uma percentagem 
mínima. Para evitar fissuração não prevista, há autores que recomendam para 
essa armadura um ρmín = 0,10%. 
 
Segundo o EC2 
As armaduras mínimas em lajes também são iguais às das vigas, e são dadas por: 
Asmín=0,26.fctm/fyk.b.d ≥ 0,0013.b.d (com b=1 m) 
As armaduras máximas por sua vez são: 
Asmáx=0,04.Ac 
 
b) Espaçamento máximo da armadura 
 
 Os espaçamentos das armaduras não devem de uma maneira geral ter valores 
 excessivamente grandes. 
 Este aspecto está directamente relacionado com o comportamento da laje e com a 
 sua execução. 
 De facto em termos de comportamento pode afirmar-se que quanto menor for o 
 espaçamento das armaduras melhor será o comportamento da laje. Isto porque 
 melhor será o controlo da fendilhação e maior será a garantia de resistência 
 local mínima a uma carga concentrada. 
 Por outro lado, menores espaçamentos tornarão a execução da laje mais 
 complicada, exigindo maiores cuidados na betonagem e vibração do betão e 
 montagem de mais armaduras, tornando esta operação mais cara. 
 Ponderados estes aspectos o REBAP apresenta os seguintes valores para 
 Pág. 54 
 espaçamentos máximos: 
 
 Armaduras Principais ( REBAP-Artº 105 ) 
 . s ≤ 1.5.h 
 . s ≤ 35 cm 
 
Segundo o EC2 
 . s ≤ 3.h 
 . s ≤ 40 cm 
passando para: 
 . s ≤ 2.h 
 . s ≤ 25 cm 
em zonas com cargas concentradas ou zonas de momento máximo. 
 
 Armaduras de Distribuição ( REBAP-Artº 108 ) 
 . s ≤ 35 cm 
Segundo o EC2 
 . s ≤ 3,5.h 
 . s ≤ 45 cm 
passando para: 
 .s ≤ 3.h 
 . s ≤ 40 cm 
em zonas com cargas concentradas ou zonas de momento máximo. 
 
 Como se verificou anteriormente, também o controle da fendilhação é dispensado 
em alguns casos, desde que se respeitem determinados espaçamentos máximos na 
armadura principal. 
 
c) Interrupção das Armaduras Principais ( REBAP – Artº 106 ) 
 
No caso das lajes a resistência às cargas aplicadas é por flexão e por efeito de arco. 
A resistência ao esforço transverso é garantida em parte pelo efeito de arco. 
 Pág. 55 
 
 
Devido a este efeito de arco, na rotura, a força necessária junto ao apoio é pouco 
inferior à exigida a meio vão. 
Por este motivo, devido à necessidade de atirantar o arco, o REBAP impõe que pelo 
menos metade da armadura do vão siga até ao apoio. Este aspecto de grande 
importância nas lajes não se verifica nas vigas. 
 Segundo o EC2 a regra é idêntica. 
Relativamente às outras regras para interrupção de armaduras, elas são semelhantes 
ao que se adopta nas vigas, fazendo-se a interrupção de varões a partir de uma 
translação do diagrama de forças na armadura devidas à flexão (diagrama de 
momentos) (al = 1,5.d segundo REBAP e al = d segundo EC2 ) 
Na prática este processo é muito pouco utilizado, sobretudo nos casos correntes, em 
que se adoptam distâncias aos apoios para interrupção de armaduras superiores e 
inferiores, em função do vão ( l/3 a l/5). 
 
d) Posicionamento das Armaduras 
 
Este é um aspecto puramente prático de execução da laje, mas que pode ser 
determinante, para o comportamento daquela , se não for correctamente considerado. 
Para garantir, durante a betonagem, que as armaduras inferiores e superiores fiquem 
posicionadas correctamente são utilizados, respectivamente, espaçadores e cavaletes. 
Os espaçadores são, em geral, constituídos por pequenos paralelepípedos de 
argamassa de betão com a altura desejada ( recobrimento ) nos quais foi introduzido 
um arame que permite a fixação do varão. 
 
 Pág. 56 
Os cavaletes para posicionamento das armaduras superiores, também designados 
estribos de montagem, são varões dobrados, sobre os quais pousam as armaduras 
superiores. 
 
Estes elementos devem ser dispostos com uma densidade adequada, de modo a 
garantirem que durante a betonagem as armaduras se mantêm na posição correcta, 
ainda que sujeitas à acção do pessoal que efectua as operações. 
Nas lajes, durante a colocação e compactação do betão, acontece frequentemente, 
que devido à falta de cuidado do pessoal, ao insuficiente número de cavaletes e à não 
utilização de pranchas provisórias de madeira para deslocação do pessoal, as 
armaduras superiores podem baixar vários centímetros. Este problema é sobretudo 
grave nas consolas. 
No quadro seguinte apresentam-se os valores máximos recomendados das distâncias 
entre os espaçadores e cavaletes. Apresenta-se também o diâmetro aconselhável dos 
varões que constituem os cavaletes em função da espessura da laje. 
 
Φ da armadura principal (mm) S (m) 
≤ 12 0,50 
> 12 0,70 
 
Espessura da laje h (cm) Φ cavaletes 
(mm) 
< 15 8 
15 a 30 12 
 
 
 Pág. 57 
I.2.7.1 – Lajes Armadas numa só direcção 
 
 
Neste caso, como já se viu, os esforços que surgem na direcção do maior vão, My, 
são pequenos, comparados com os esforços segundo o menor vão, Mx, uma vez que 
a zona central está praticamente sujeita a flexão cilíndrica ( curvatura nula segundo o 
maior vão ). 
Admite-se portanto que a laje funciona apenas segundo o menor vão. As armaduras 
principais, que são as necessárias para garantir a capacidade resistente da laje são 
determinadas, considerando uma viga equivalente de largura unitária com as 
condições de apoio que se verificam nessa direcção. 
A verificação dos estados limites de utilização, em particular do de fendilhação, é 
assegurada por outras armaduras ( de distribuição, de canto e suplementar ) e pela 
sua conveniente pormenorização. 
Nos casos em que a laje é apenas apoiada em 2 bordos extremos paralelos, como 
acontece normalmente nas escadas, a capacidade resistente terá de ser obviamente 
garantida na direcção dos apoios. 
 
• Armadura de Distribuição 
 
Nas lajes armadas numa só direcção, perpendicularmente às armaduras principais, 
deve ser sempre colocada uma armadura de distribuição. Esta armadura que não 
é necessária para a verificação dos estados limites últimos, tem como funções: 
- principalmente controlar a abertura de fendas nas condições de serviço 
- posicionar as armaduras principais durante a fase de montagem das armaduras e 
de betonagem da laje, formando em conjunto com as armaduras principais uma 
malha ortogonal rígida. 
- garantir uma certa resistência da laje a possíveis cargas concentradas 
 Pág. 58 
Como já se viu na análise elástica de uma laje com um coeficiente de Poisson ν, 
sujeita à flexão cilíndrica segundo a direcção X, surgem momentos na direcção 
perpendicular, My ( maior vão ) dados por: 
 My = ν . Mx 
O efeito de Poisson numa laje de betão armado depende, como já anteriormente 
referido, do nível de fendilhação instalado, o que torna difícil a sua correcta 
quantificação. 
Para o betão não fendilhado ν ~ 0,20, o que origina um momento, na direcção 
transversal, igual a 20% do momento principal. 
Mesmo considerando ν = 0 ( situação que se verifica próximo da rotura, devido à 
fendilhação ) surgem momentos My junto aos apoios paralelos ao menor vão, com 
um valor também próximo de 0,2.Mx. 
É de referir que os momentos que surgem segundo o maior vão, são sempre de 
compatibilidade, pelo que a sua correcta avaliação não é essencial para assegurar 
a capacidade resistente. 
Para ter em conta estes efeitos, o REBAP (Artº 108) preconiza uma armadura de 
distribuição igual a 20% da armadura principal de cálculo. Este valor tem-se 
mostrado suficiente na generalidade dos casos. 
Segundo o EC2 a armadura de distribuição é idêntica. 
Portanto, em conclusão, pode referir-se que numa laje, sempre que exista uma 
armadura resistente numa direcção, deve ser colocada na direcção perpendicular, 
pelo menos a armadura de distribuição. 
 
• Disposições Tipo de Armaduras 
 
As armaduras principais devem ficar sempre colocadas de modo a funcionarem 
com o maior braço, pelo que as armaduras de distribuição são sempre colocadas 
interiormente às principais. 
 Pág. 59 
 
A disposição de armaduras a adoptar é determinada, tendo sobretudo em conta a 
distribuição de esforços em que se baseia o dimensionamento da laje. 
As dispensas de armaduras são efectuadas de acordo com as regras indicadas no 
REBAP, ou seja, de modo semelhante ao das vigas, procedendo à translação do 
diagrama de momentos flectores e prolongando os varões a interromper, do 
comprimento de amarração, a partir da secção onde esta deixa de ser necessária 
para a verificação do estado limite último de flexão. 
No entanto na prática, como foi dito, para lajes com condições de apoio correntes 
e sujeitas a cargas distribuídas uniformes é possível indicar disposições de 
armaduras tipo,