Apostila Resistência PRONATEC TEC

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Ministério da Educação - MEC 
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica (SETEC) 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Técnico em Fabricação Mecânica 
Disciplina de Resistência dos Materiais 
LORENA BRAGA MOURA 
 
2 
 
CRÉDITOS 
 
Presidente 
Dilma Vana Rousseff 
 
Ministro da Educação 
Aloizio Mercadante Oliva 
 
Secretaria de Educação Profissional e 
Tecnológica 
Marco Antonio de Oliveira 
 
Reitor do IFCE 
Cláudio Ricardo Gomes de Lima 
 
Pró-Reitor de Extensão 
Fco Gutenberg Albuquerque Filho 
 
Pró-Reitor de Ensino 
Gilmar Lopes Ribeiro 
 
Pró-Reitor de Administração 
Virgilio Augusto Sales Araripe 
 
Coordenador Geral 
Jose Wally Mendonça Menezes 
 
Coordenador Adjunto 
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Elaboração do conteúdo 
Lorena Braga Moura 
 
Equipe Técnica 
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Coordenador Adjunto Campus 
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Supervisor(es) Curso(s) 
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Orientador(es) Curso(s) 
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Equipe 1 
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3 
 
O QUE É O PRONATEC? 
 
 Criado no dia 26 de Outubro de 2011 com a sanção da Lei nº 12.513/2011 pela 
Presidenta Dilma Rousseff, o Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego 
(Pronatec) tem como objetivo principal expandir, interiorizar e democratizar a oferta de 
cursos de Educação Profissional e Tecnológica (EPT) para a população brasileira. Para tanto, 
prevê uma série de subprogramas, projetos e ações de assistência técnica e financeira que 
juntos oferecerão oito milhões de vagas a brasileiros de diferentes perfis nos próximos 
quatro anos. Os destaques do Pronatec são: 
• Criação da Bolsa-Formação; 
• Criação do FIES Técnico; 
• Consolidação da Rede e-Tec Brasil; 
• Fomento às redes estaduais de EPT por intermédio do Brasil Profissionalizado; 
• Expansão da Rede Federal de Educação Profissional Tecnológica (EPT). 
 
 A principal novidade do Pronatec é a criação da Bolsa-Formação, que permitirá a 
oferta de vagas em cursos técnicos e de Formação Inicial e Continuada (FIC), também 
conhecidos como cursos de qualificação. Oferecidos gratuitamente a trabalhadores, 
estudantes e pessoas em vulnerabilidade social, esses cursos presenciais serão realizados 
pela Rede Federal de Educação Profissional, Científica e Tecnológica, por escolas estaduais 
de EPT e por unidades de serviços nacionais de aprendizagem como o SENAC e o SENAI. 
 
Objetivos 
 
• Expandir, interiorizar e democratizar a oferta de cursos de Educação 
Profissional Técnica de nível médio e de cursos e programas de formação inicial e 
continuada de trabalhadores; 
• Fomentar e apoiar a expansão da rede física de atendimento da Educação 
Profissional e Tecnológica; 
• Contribuir para a melhoria da qualidade do Ensino Médio Público, por meio da 
Educação Profissional; 
• Ampliar as oportunidades educacionais dos trabalhadores por meio do 
incremento da formação profissional. 
 
Ações 
 
• Ampliação de vagas e expansão da Rede Federal de Educação Profissional e 
Tecnológica; 
• Fomento à ampliação de vagas e à expansão das redes estaduais de Educação 
Profissional; 
• Incentivo à ampliação de vagas e à expansão da rede física de atendimento dos 
Serviços Nacionais de Aprendizagem; 
• Oferta de Bolsa-Formação, nas modalidades: 
• Bolsa-Formação Estudante; 
• Bolsa-Formação Trabalhador. 
• Atendimento a beneficiários do Seguro-Desemprego; 
 
4 
 
SUMÀRIO 
Apresentação da disciplina .............................................................................................................. 5 
Aula 1 – Revisão dos Fundamentos de trigonometria ..................................................................... 6 
Tópico 1 – Revisão de Trigonometria ......................................................................................... 7 
Aula 2 – Introdução à Mecânica .................................................................................................... 14 
Tópico 1 – Conceitos Básicos de Mecânica .............................................................................. 15 
 Tópico 2 – Fundamentos de Estática ....................................................................................... 19 
Aula 3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais .................................................................... 31 
Tópico 1 – Principais conceitos da Resistência dos Materiais ................................................... 32 
Aula 4 – Tensão e Deformação ..................................................................................................... 37 
Tópico 1 – Tensão e Deformação ............................................................................................. 38 
Aula 5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos ......................................................................... 46 
Tópico 1 – Propriedades mecânicas e Diagrama tensão-deformação ....................................... 47 
Aula 6 – Carga Axial ...................................................................................................................... 55 
Tópico 1 – Membros carregados axialmente ............................................................................ 56 
Aula 7 – Vasos de pressão de paredes finas .................................................................................. 63 
Tópico 1 – Vasos Cilíndricos e esféricos .................................................................................... 64 
Referências Bibliográficas ............................................................................................................. 67 
5 
 
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 
 
 O objetivo principal de uma disciplina de resistência dos materiais é o 
desenvolvimento das relações entre as cargas aplicadas a um corpo deformável (não-
rígido) e as forças internas e deformações nele originadas. 
O desenvolvimento de qualquer projeto de máquina ou estrutura na engenharia baseia-
se nos fundamentos de resistência dos materiais. Sendo necessário primeiro usar os 
princípios básicos da estática para determinar as forças que atuam tanto sobre como no 
interior dos corpos. A dimensão dos elementos, sua deformação e sua estabilidade 
dependem também do tipo de material do qual são feitos. Dessa forma, a compreensão do 
comportamento do material quando submetido às solicitações externas é de vital 
importância para o desenvolvimento das equações de resistência dos materiais e 
consequentemente para a realização de projetos mecânicos. 
Esta apostila aborda os conceitos básicos de resistência dos materiais, com o propósito 
de tornar o assunto mais acessível aos alunos que estão sendo iniciados em seus estudos 
de mecânica dos corpos deformáveis. Revisaremos os conceitos fundamentais da 
trigonometria, alguns princípios importantes da estática e mostraremos como eles são 
utilizados para determinar os esforços internos resultantes em um corpo. Serão 
introduzidos ainda os conceitos de tensão normal, tensão de cisalhamento, tensão 
admissível, fator de segurança, deformação, além de uma revisão das propriedades 
mecânicas dos materiais. 
O estudo da mecânica dos materiais é muito mais amplo e complexo do que o 
apresentado neste material, deixando clara a necessidade de mais pesquisas e estudos 
para a total compreensão e domínio do assunto. Para isso é sugerida uma bibliografia 
básica para que o aluno aprofunde seu conhecimento de resistência dos materiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
AULA 1 – Revisão dos Fundamentos de trigonometria 
 
Nessa primeira aula serão apresentadas algumas definições importantes para 
orientar o estudoem questão, abordando uma rápida revisão das relações e 
fundamentos básicos de trigonometria para o entendimento geral de conceitos 
posteriores relacionados à estática e à resistência dos materiais. 
Ao final dessa aula você deverá ser capaz de calcular as relações métricas do 
triângulo retângulo, as dimensões de um triângulo retângulo através do teorema de 
Pitágoras e os ângulos através das funções trigonométricas especiais. 
 
Objetivos 
 
• Revisão das relações métricas de um triângulo retângulo 
• Revisão do teorema de Pitágoras 
• Revisão das funções trigonométricas 
 
 
 
7 
 
TÓPICO 1 – Revisão de Trigonometria 
 
Objetivos do tópico: 
 
• Definir as relações métricas do triângulo retângulo e o teorema de pitágoras 
• Apresentar as funções trigonométricas especiais e 
• Apresentar a relação fundamental da trigonometria 
 
 
1.1 Triângulo Retângulo 
Triângulos retângulos são figuras geométricas planas com três lados e três ângulos que 
possuem um ângulo reto, ou seja, medindo 90°. 
 
a) Elementos 
Considerando-se um triângulo ABC, retângulo em A, podem-se caracterizar os seguintes 
elementos: 
 
Lado AB = c: cateto 
Lado AC = b: cateto 
Lado BC = a: hipotenusa 
Lado AD = h: altura relativa à hipotenusa 
Lado BD = m: projeção de c sobre a 
Lado DC = n: projeção de b sobre a 
 Figura 1.1 
b) Relações métricas 
 
Conduz-se a altura AD relativa à hipotenusa do triângulo ABC, obtem-se dois triângulos 
retângulos ABD e ACD semelhantes ao triângulo ABC. Devido à congruência dos ângulos 
indicados: 
B ≡ 1 (complementos de C) 
C ≡ 2 (complementos de B) Figura 1.2 
 
Com base na semelhança dos triângulos ΔABC, ΔABD e ΔACD, determinam-se as 
seguintes relações: 
 
m n 
h c 
b 
D 
8 
 
 
 Figura 1.3. 
 
(1) b² = a . n (3) h² = m . n (5) b . h = c . n 
(2) c² = a . m (4) b . c = a . h (6) c . h = b . m 
 
1.2. Teorema de Pitágoras 
 
O teorema de Pitágoras pode ser provado considerando-se as relações (1) e (2) 
definidas anteriormente, e somando-se membro a membro, como segue: 
 
(1) b² = a . n b² + c² = am + an b² + c² = a(m + n) b² + c² = a² 
(2) c² = a . m 
 
 
Demonstrou-se que: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos 
 
a² = b² + c² 
 
 
 
1.3. Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo (30°, 45° e 90°) 
 
Sendo θ a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo ΔABC 
mostrado, tem-se: 
 
 
 
 
 
 Figura 1.4. 
 
 
Seno de θ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cosseno de θ = 
 
 
 
 
 
 
 
θ 
a 
A B 
C 
b 
c 
9 
 
tangente de θ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Razões trigonométricas especiais 
 
Tabela 1.1. razões trigonométricas especiais 
 
 
b) Relação fundamental da trigonometria 
 
Relacionando o teorema de Pitágoras com as funções trigonométricas do seno e do 
cosseno, obtemos a seguinte relação: 
 
 
 
 
 → b = a senθ a² = b² + c² → a² = (a senθ)² + (a cosθ)² 
 
 
 
 
 → c = a cosθ a² = a² sen²θ + a² cos²θ → a² = a² (sen²θ + cos²θ) 
 
 
 sen²θ + cos²θ = 1 
 
1.4. Alfabeto grego 
Nas formulações matemáticas de resistência dos materiais usualmente utilizam-se 
letras do alfabeto grego, portanto, é necessário conhece-las. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
Tabela 1.2. Alfabeto grego 
 
 
1.5. Exercícios 
01. Determine o valor de x nos casos: 
a) b) c) 
 
 
11 
 
02. Determine x nos casos abaixo: 
a) b) c) 
 
03. Utilizando as relações métricas determine o valor de x: 
a) b) c) 
 
 04. Determine x e y nos triângulos abaixo: 
a) b) 
 
05. Determine o valor de x nas figuras planas mostradas: 
a) quadrado b) trapézio isóceles c) losango 
 
e) paralelogramo 
12 
 
 
06. Determine a altura de um triângulo eqüilátero de perímetro igual a 24m. 
07. A altura relativa à base de um triângulo isósceles excede a base em 2m. Determine a 
base, se o perímetro é de 36m. 
08. Determine o senα nos casos seguintes: 
a) b) c) 
 
09. Determine o cosα nos casos: 
a) b) c) 
 
10. Determine a tgα nos casos: 
a) b) c) 
 
 
 
 
13 
 
11. Determine o valor de x : 
a) b) c) 
 
 
d) 
 
 
12. Determinar x e y nas figuras abaixo: 
a) Retângulo b) Paralelogramo c) trapézio retângulo 
 
 
13. Determine a diagonal de um retângulo de perímetro 20m e base 6m. 
 
14. O perímetro de um triângulo isósceles é de 18m e a altura relativa à base mede 3m. 
Determine a base. 
 
15. Determine a menor altura de um triângulo cujos lados medem 4m, 5m e 6m. 
 
 
14 
 
AULA 2 – Introdução à Mecânica 
 
O físco e matemático inglês, Isaac Newton, em 1686, foi o primeiro a apresentar 
uma teoria que explicava satisfatoriamente os movimentos, em um trabalho sobre os 
princípios da mecânica. O sucesso da Mecânica Newtoniana foi imediato e duradouro, 
ela reinou por mais de 200 anos. Houve, na verdade, a necessidade de alguns 
aperfeiçoamentos feitos mais tarde por outros físicos, mas a base da mecânica de 
Newton permaneceu inalterada até o começo do século XX, com o surgimento da 
Mecânica Relativística e da Mecânica Quântica para explicar certos fatos que a 
mecânica Newtoniana não consegue. A mecânica relativística é necessária quando os 
corpos se movem com velocidades muito altas (v > 3000Km/s), enquanto que a 
mecânica quântica é necessária para o estudo dos fenômenos atômicos e nucleares. 
Nessa aula abordaremos a definição de alguns conceitos básicos da mecânica 
necessários para o entendimento dos princípios da resistência dos materiais. Além da 
classificação da mecânica clássica e das unidades de medida utilizadaspelo sistema 
internacional de Unidades (SI). Serão abordados também os fundamentos de estática, 
com o estudo das forças, momentos, equações de equilíbrio, apoios e suas reações. 
 
 
Objetivos 
 
• Definir conceitos fundamentais de Mecânica 
• Apresentar a classificação da mecânica 
• Apresentar o Sistema Internacional de Unidades 
• Determinar os princípios da estática. 
• Estudar as forças e momentos 
• Estudar as equações de equilíbrio , os apoios e suas reações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
TÓPICO 1 – Conceitos Básicos de Mecânica 
 
Objetivos do tópico: 
 
• Apresentar a definição e a divisão da mecânica clássica 
• Apresentar o sistema internacional de unidades 
 
 
2.1. Introdução 
A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos 
movimentos. Descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob 
a ação de forças. 
A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo, assim, 
os fundamentos para as aplicações da Engenharia e para fenômenos encontrados no 
dia a dia. 
A Mecânica é subdividida em três grandes ramos: Mecânica dos Corpos Rígidos, 
Mecânica dos Corpos Deformável e Mecânica dos Fluídos, como indicado na figura 2.1 
abaixo: 
Figura 2.1 Divisões da mecânica clássica. 
 
Mecânica dos corpos rígidos: é subdividida em: Estática, Cinemática e Dinâmica. 
A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em equilíbrio, 
independentemente do movimento por elas produzido. Na Estática, os corpos 
analisados são considerados rígidos, conseqüentemente, os resultados obtidos 
independem das propriedades do material. 
A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem: 
- movimento uniforme – móvel percorrendo espaços iguais em tempos iguais para 
quaisquer trechos de trajetória; 
Mecânica 
Mecânica dos 
Corpos Rígidos 
Estática 
Dinâmica 
Cinemática 
Mecânica dos 
Corpos 
Deformáveis 
Resistência dos 
Materiais 
Mecânica dos 
Fluidos 
Fluidos 
incompressíveis 
(fluidos) 
Fluidos 
compressíveis 
(gases) 
16 
 
- movimento uniformemente variado – a velocidade do móvel varia de valores iguais 
em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o movimento será 
uniformemente acelerado; se houver decréscimo, o movimento será uniformemente 
retardado; 
- movimentos de rotação. 
A Dinâmica estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz (força). 
 
Mecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinas nunca são 
absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas a que estão submetidas. 
Estas deformações são geralmente pequenas e não alteram apreciavelmente as 
condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada. 
No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura 
do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada pela Resistência dos 
Materiais, também conhecida como Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos. 
O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da resistência 
mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais. 
 
Mecânica dos fluídos: A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudo dos fluidos 
incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Uma importante subdivisão 
do estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica. 
 
2.2. Conceitos fundamentais 
Os conceitos fundamentais da mecânica clássica baseiam-se na mecânica 
newtoniana, ou seja, nas leis de Newton. Isaac Newton (1642-1727) foi um físico e 
matemático inglês quem primeiro apresentou uma teoria que realmente explicava as 
causas do movimento. 
Algumas definições tornam-se necessária para o melhor entendimento da 
mecânica: 
 
 Ponto Material – é um corpo cujas dimensões podem ser desprezadas. É 
considerado um ponto geométrico em que se concentra toda a massa do corpo; 
 Corpo Extenso – quando as dimensões do corpo influenciarem no estudo; 
 Referencial – é um corpo em relação ao qual se analisa o estado de 
movimento de um móvel; 
 Espaço – o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto 
material, o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo 
ponto de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Estes comprimentos 
são conhecidos como as coordenadas do ponto; 
 Tempo – para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no 
espaço. O tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser dado; 
 Massa – é uma medida da quantidade de matéria contida no corpo; 
 Força – a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que 
tende a produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto 
de aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um 
vetor; 
 
17 
 
As três Leis ou princípios da mecânica são: o princípio da inércia (primeira lei de 
Newton), o princípio fundamental da dinâmica (segunda lei de Newton) e o princípio da 
ação e reação (terceira lei de Newton). Estabelecem que: 
 Primeira lei de Newton – qualquer corpo em repouso ou em movimento 
retilíneo e uniforme tende a permanecer nesses estados, a menos que seja obrigado a 
alterá-los por aplicação de forças externas; 
 Segunda lei de Newton – A força resultante externa, agindo sobre um corpo, 
produz uma aceleração, na mesma direção e no mesmo sentido da força, inversamente 
proporcional à massa do corpo. F = m.a 
 Terceira lei de Newton – quando um corpo exerce uma força sobre um 
segundo corpo, o segundo corpo reage sobre o primeiro com uma força de mesma 
direção, de mesma intensidade e de sentido contrário. 
 
2.3. Sistema Internacional de Unidades 
O sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas ou 
fundamentais e unidades derivadas. 
As grandezas fundamentais adotadas na mecânica são: comprimento, massa e 
tempo. As grandezas derivadas podem ser relacionadas com as unidades básicas, que 
são entre outras, força, pressão, trabalho, etc. 
As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as 
três unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as 
medições. 
 
Tabela 2.1. Unidades Básicas 
 Unidade 
fundamental 
Sím
bolo 
Comprimento Metro M 
Massa Quilograma Kg 
Tempo Segundo s 
 
 
Algumas unidades derivadas são importantes para o presente estudo: 
 
Tabela 2.2. Unidades derivadas 
 Unidade derivada Símbolo 
Área Metro quadrado m² 
Força Newton N 
Momento Newton vezes metro N.m 
Tensão Pascal Pa 
 
 
A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a 
aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F = m.a (segunda Lei de 
Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2. 
As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados 
dinamômetros. 
18 
 
O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da equação 
P = m.g (terceira Lei de Newton) segue-se que o peso de um corpo de massa 1 kg é = (1 
kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a aceleração da gravidade. 
A tensão ou pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão 
exercida por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície 
plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular à direção da força Pa = N /m² . 
Pascal é também unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões 
tangenciais (cisalhamento). 
Múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais e derivadas são utilizados na 
forma de potências inteiras de dez. esses múltiplos e submúltiplos são designados por 
prefixos. Observe a tabela: 
 
Tabela 2.3. Múltiplos e submúltiplos 
Pre
fixo 
Sím
bolo 
Fator pelo qual aunidade é 
multiplicada 
Exa- E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 
Peta- P 1015 = 1 000 000 000 000 000 
Tera- T 1012 = 1 000 000 000 000 
Giga- G 109 = 1 000 000 000 
Mega- M 106 = 1 000 000 
Quilo- K 103 = 1 000 
Hecto- h 102 = 100 
Deca- da 101 = 10 
Deci- d 10-1 = 0,1 
Centi- c 10-2 = 0,01 
Mili- m 10-3 = 0,001 
Micro- μ 10-6 = 0,000 001 
Nano- n 10-9 = 0,000 000 001 
Pico- p 10-12 = 0,000 000 000 001 
Femto- f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 
Atto- a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 
 
19 
 
TÓPICO 2 – Fundamentos de Estática 
 
Objetivos do tópico: 
 
• Forças no plano , força resultante e momento de uma força 
• Equilíbrio de um ponto material e de um corpo extenso rígido 
• Apoios, reações e tipos de estruturas 
 
A estática é um assunto de grande utilidade na engenharia e mesmo no seu dia a 
dia, como por exemplo, ao abrir uma porta, ao usar um alicate ou ao trocar um pneu de 
carro, você mesmo sem saber está utilizando os conceitos e aplicações da estática. 
 
3.1. Forças no plano 
A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu 
ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. 
A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de 
Unidades (SI). 
A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo 
da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, 
como indicado na figura 3.1. 
 
 
Figura 3.1. Definição de força 
 
O sentido da força é indicado por uma seta (vetor). 
Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto 
de um corpo (figura 3.2). 
 
 
 
 Figura 3.2. Grupo de forças 
 
Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos 
diversos de um mesmo corpo (figura 3.3). 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.3 sistema de forças 
α 
β 
θ 
F1 
F2 
F4 
F3 
F5 
P 
20 
 
3.2. Força Resultante 
A força resultante (R) de um grupo de forças é a força que determina o mesmo 
efeito que o grupo de forças (figura 3.4 e 3.5). 
 
 
 
Formas de determinar a resultante das forças: 
 
 Regra do paralelogramo: vale para duas forças de cada vez. 
 
 
 
 
 
 
 = + = + 
 = + + 
Figura 3.4. Regra do paralelogramo 
 
 Método das Projeções: escolhem-se dois eixos ortogonais x e y no plano das 
forças aplicadas ao ponto P e que formam com as direções das forças ângulos 
conhecidos. 
Cada uma das forças é projetada sobre os eixos x e y, encontrando-se as respectivas 
projeções ortogonais: 
 
Figura 3.5. Método das projeções 
 
Aplicando as relações trigonométricas para os ângulos α , β e θ, temos: 
 
 F1x = - F1senβ F2x = F2cosα F3x = F3senθ 
 F1y = F1cosβ F2y = F2senα F3y = - F3cosθ 
 
 
 
P 
P 
21 
 
Efetua-se então a soma algébrica das projeções para cada eixo, obtendo-se as 
resultantes (Rx e Ry) em cada um desses eixos x e y, respectivamente: 
 y 
Rx = F1x + F2x + F3x = - F1senβ + F2cosα + F3senθ 
Ry = F1y + F2y + F3y = F1cosβ + F2senα - F3cosθ 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo Ry R 
com hipotenusa R, catetos Rx e Ry, temos: 
 x 
 R² = R²x + R²y Rx 
 
 
 
 Figura 3.6. Representação da resultante 
 
3.3. Equilíbrio de um ponto material 
Considere um ponto material P sujeito a um sistema de forças F1, F2, F3, ..., Fn 
 
 Figura 3.7. ponto material sujeito a n forças 
 
O ponto material P está em equilíbrio quando é nula a resultante das forças que 
atuam sobre ele, isto é: 
 
 Σ F = 0 ou R = F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = 0 
 
Utilizando o método das projeções ainda pode-se dizer que é nula a soma algébrica 
das forças atuando nos dois eixos ortogonais x e y: 
 
 Σ Fx = 0 ou Rx = F1x + F2x + F3x + ...+ Fnx = 0 
 Σ Fy = 0 ou Ry = F1y + F2y + F3y + ...+ Fny = 0 
 
A condição de equilíbrio de um ponto material é uma garantia de que o ponto 
material não sofrerá translação. 
 
3.4. Momento de uma força 
Quando um corpo rígido (extenso) está sujeito a um sistema de forças, ele pode 
adquirir movimento de translação ou de rotação. 
Para um corpo rígido de peso desprezível, sujeito às forças F1 e F2 de mesma 
direção, mesma intensidade, mas sentidos diferentes, como na figura 3.8. 
 
 F1 
 F2 
 Figura 3.8. Momento de uma força 
22 
 
É claro que a resultante das forças é nula, isto é, R = F1 + F2 = 0 , garantindo que o 
corpo não sofre translação. Contudo, o corpo na situação acima pode sofrer rotação em 
torno de um eixo perpendicular ao plano da figura (saindo do papel). 
Por esse motivo as condições de equilíbrio de um corpo extenso rígido devem levar 
em conta também a rotação. 
Defini-se, portanto, uma grandeza vetorial denominada momento de uma força em 
relação a um ponto, como uma medida da tendência da força provocar uma rotação 
em torno daquele ponto. 
A intensidade do momento de uma força F, aplicada em um ponto P, em relação a 
um ponto O, é calculada por: 
Figura 3.9. Equação do momento 
 
 
Onde: 
F – intensidade da força, em Newton (N) 
d – distância do ponto O até a linha de ação da força, em metro (m) 
Mo – intensidade do momento da força, em Newton . metro (N.m) 
O – é o pólo ou centro do momento. 
 
O momento Mo é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto O. O sentido 
de Mo é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetorF. 
Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo no sentido 
anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário. 
 
Figura 3.10. Convenção de sinais para momento 
 
No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m). 
Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m). 
 
Momento de um binário 
Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e 
sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes das duas forças em 
qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação 
a um dado ponto não é zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no 
qual atuam, tendem a fazê-lo girar. 
23 
 
 
Figura 3.11. Momento de um binário 
 
3.5. Equilíbrio de Corpos Rígidos 
Para garantir o equilíbrio de um corpo extenso rígido devemos impor duas 
condições: uma para evitar a translação do corpo e outra para evitar sua rotação. 
Então as condições para que um corpo extenso sujeito a um sistema de forças 
esteja em equilíbrio, são: 
 
1ª) A resultante do sistema de forças deve ser nula, ou seja, que o somatório das 
forças na direção x e na direção y seja igual a zero. 
 R = F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = 0 ( Σ F = 0 ) Equilíbrio da translação 
 ou 
 Rx = F1x + F2x + F3x + ...+ Fnx = 0 ( Σ Fx = 0 ) 
 Ry = F1y + F2y + F3y + ...+ Fny = 0 ( Σ Fy = 0 ) 
 
2ª) A soma algébrica dos momentos das forças do sistema deve ser nula em relação 
a qualquer ponto: 
 M1 + M2 + M3 + ...+ Mn = 0 ( Σ M = 0 ) Equilíbrio da rotação 
 
 
3.6. Apoios e suas reações 
Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não basta conhecer somente as 
forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este 
corpo rígido está apoiado. 
Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e 
recebem a seguinte classificação: 
 
a) Apoio móvel: 
 Figura 3.12. 
 
 Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio; 
 Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
Permite rotação. 
 
 
24 
 
b) Apoio Fixo: 
 Figura 3.13. 
 
 Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
 Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
 Permite rotação. 
 
c) Engastamento: 
Figura 3.14. 
 
 Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
 Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
 Impede rotação. 
 
Outros exemplos de apoios e suas reações podem ser observados na tabela 3.1. 
abaixo: 
 
 Tabela 3.1.: Tipos de acoplamentos (apoios) e suas reações 
 
 
 
 
 
 
25 
 
3.7. Tipos de Estruturas 
As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou 
vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada. 
Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais: 
 
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 e Σ Mo = 0 
 
As estruturas são classificadas como: Hipostática, Isostática e Hiperestática. A 
definição de cada uma delas é dada a seguir. 
 
a) Estruturas Hipostáticas 
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos (2) é inferior ao número 
de equações (3) fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
Figura 3.15. 
 
A figura 3.14. ilustra um tipo de estrutura hipostática. As incógnitas são duas: RA e 
RB. Esta estrutura não possui restrição a movimentos horizontais. 
 
b) Estruturas Isostáticas 
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é igual ao número de 
equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
No exemplo da estrutura da figura 3.15., as incógnitas são três: RA, RB e HA. Esta 
estrutura está fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente pelas equações 
fundamentais da Estática. 
 
Figura 3.16. 
 
c) Estruturas Hiperestáticas 
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é superior ao número de 
equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
26 
 
Um tipo de estrutura hiperestática está ilustrado na figura 3.16. As incógnitas são 
quatro: RA, RB, HA e MA. 
 
 
Figura 3.17. 
 
As equações fundamentais da Estática não são suficientes para resolver as equações 
de equilíbrio. São necessárias outras condições relativas ao comportamento da 
estrutura, como por exemplo, a sua deformabilidade para determinar todas as 
incógnitas. Em casos como esse se torna necessário o conhecimento da mecânica dos 
corpos deformáveis, ou seja, de resistência dos materiais. 
 
 
3.8. Exercícios 
 
16. Determinar a Resultante das duas forças P e Q que agem sobre o parafuso A. 
sen20°=0,34; cos20°=0,93; sen45°=0,71; cos45°=0,71. 
 
 
17. Determinar a resultante do sistema de forças indicado. sen50°=0,77; cos50°=0,64; 
sen30°=0,5; cos30°=0,86. 
 
 
 
 
27 
 
18. Determinar o valor da força F para que o ponto material esteja em equilíbrio. 
sen60°=0,87, cos60°=0,5 
 
 a) b) 
 
 
 c) d) 
 
 
 
 e) f) sen65°=0,91; cos65°=0,99 
 
 
19. Um ponto material sujeito a duas forças. Determine a força resultante e o ângulo 
que ela faz com a horizontal. 
 
a) F1 = 30N b) F1 = 0,6N 
 
 
 
 F2 = 40N F2 = 0,8N 
 
28 
 
20. determine a resultante de um sistema de forças de um ponto material. 
 
a) b) 10N 
 2N 
 
 5N 10N 
 
 
 
 10N 
 
 4N 
 
 
 
21. Um ponto material P está em equilíbrio. Sendo F1 = 3N, senα = 0,6 e cosα = 0,8. 
Determine as forças F2 e F3. 
 
 F3 
 F2 
 
 F1 
 
22. As forças indicadas agem sobre um ponto material que se encontra em equilíbrio. 
Sabendo que F1 = 10N, sen30° = 0,5 e cos30° = 0,87. Determine F2 e F3. 
 F2 
 
 F3 
 
 F1 
 
23. Determine as tensões nos cabos, o sistema está em equilíbrio e g = 10 m/s2 
a) b) 
 
 
24. Nas figuras abaixo determine os momentos das forças dadas em relação ao ponto 
A. 
 
 
30° 
60°45° 
45° 
30° 
α 
29 
 
 a) F = 2,5 N e L = 1,5 m b) 
 
 
c) 
 
 
25. Uma barra homogênea de peso P = 20N está apoiada nos extremos A e B distância 
1,0m. A 0,20m da extremidade B é colocado um corpo C de peso Pc = 20N. Determine a 
intensidade dos apoios A e B sobre a barra. 
 
 
26. Uma barra homogênea AB de peso P igual a 10N e comprimento L de 0,5m está 
apoiada em um ponto O a 0,1m de A. De A pende um corpo de peso Q1 = 50N. A que 
distância X de B deve ser colocado um corpo de peso Q2 = 10N para que a barra fique 
em equilíbrio na horizontal. 
 
30 
 
27. Uma barra homogênea de peso 100N é articulada em A e mantida em equilíbrio por 
meio de fio BC. Em B é suspenso um peso de 200N. Determine a intensidade da força 
que traciona o fio BC e a reação da articulação A (Componente vertical e horizontal). 
 
 
 28. Determine as reações nos apoios A e B da viga. 
 
 
 
29. Calcule as reações no apoio A na barra submetida a uma carga distribuída de 2kN/m 
e carga concentrada de 5kN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 AULA 3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais 
 
Nessa aula aplicaremos alguns conceitos da estática e mostraremos como eles são 
usados para determinar os esforços internos resultantes em um corpo. Definiremos 
resistência dos materiais e sua aplicabilidade na área de projetos de estruturas e 
máquinas. As forças aplicadas aos corpos serão também classificadas. 
 
Objetivos 
 
• Apresentar definição e história da resistência dos materiais 
• Classificar as forças 
• Determinar o método das seções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
TÓPICO 1 – Principais conceitos da Resistência dos Materiais 
 
Objetivos do tópico: 
 
• Definir alguns Conceitos fundamentais 
• Apresentar a classificação das forças 
• Apresentar o método das seções 
 
4.1. Introdução 
Resistência dos Materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre as 
cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas 
que atuam dentro do corpo. Esse conhecimento é empregado para realizar a análise e o 
projeto de qualquer estrutura ou máquina sujeita a diferentes carregamentos. 
Importante para o projeto seguro de aviões, navios, espaçonaves, prédios, pontes, 
máquinas etc. Aplica-se, por exemplo, no dimensionamento correto dos parafusos 
usados no acoplamento de uma estrutura metálica que estão submetidos à tensão. 
Os primeiros estudos relacionados à resistência dos materiais surgiram na Antiga 
Grécia com os fundamentos da estática dos corpos rígidos, mas nada relativo às 
deformações. A origem da resistência dos materiais baseava-se na Teoria e na 
Experiência, com as pesquisas realizadas por: 
- Leonardo da Vinci (1452-1519): apresentou interesse pela estática dos 
corpos deformáveis e pelas propriedades mecânicas dos materiais de engenharia; 
- Galileo Galilei (1564-1642): realizou experiências para estudar os efeitos das 
cargas em hastes e vigas e estabeleceu descrições experimentais precisas das 
propriedades mecânicas dos materiais. 
- Robert Hooke (1635-1703): seus estudos levaram a definição da Lei de 
Hooke em que as tensões são proporcionais às deformações. 
- Leonard Euler (1707-1783): Desenvolveu a teoria matemática de colunas e 
calculou a carga crítica de uma coluna em 1744. 
- Outros estudos notáveis foram realizados por: Bernouilli, Navier, 
Coulomb,Thomas Young, Poisson entre outros. 
- Problemas complexos com a utilização de Matémática avançada e 
computador, amplia o campo de estudo de resistência dos materiais para disciplinas de 
mecânica avançada como as teorias da elasticiadade e da plasticidade. 
 
Suposições introduzidas na resistência dos materiais (hipóteses básicas) 
a) Material homogêneo: possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas 
em todo o seu volume, afim de que o material sofra deformação uniforme; 
 
b) Material isotrópico: possui essas mesmas propriedades em todas as 
direções. Ex. Aço. 
 
material anisotrópico: possui propriedades diferentes em diferentes direções 
 
 
 
33 
 
 
4.2. Classificação das forças externas e carregamentos Internos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1. Classificação das forças 
 
Força externa: pode ser força de superfície ou força de corpo 
a) Forças de superfície: causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície 
de outro (força distribuída na área de contato entre os corpos). 
- Força concentrada: quando a área de contato for pequena em relação à área 
total da superfície. 
- Carga linear distribuída: se a carga na superfície for aplicada ao longo de uma 
área estreita. 
c) Força de corpo: quando um corpo exerce uma força sobre outro sem 
contato físico direto. Exemplo: Peso efeito da gravidade. 
 
Diagrama de corpo livre: é desenhado para especificar os efeitos de todas as forças 
e conjugados aplicados no corpo e que serão considerados nas equações de equilíbrio. 
 
Carga interna resultante: Determinação da força resultante e do momento em que 
atuam no interior do corpo, necessários para manter o corpo unido quando submetido 
a cargas externas. 
 
Tipos de cargas internas resultantes: 
N (Força Normal) – força que atua perpendicular à área (quando forças externas 
tendem a empurrar ou puxar); 
V (Força Cisalhante) – força que se localiza no plano da área, ou seja, tangente à 
seção transversal considerada; 
T (Momento de Torção ou Torque) – Efeito criado quando as cargas tendem a torcer 
uma parte do corpo em relação à outra; 
M (Momento Fletor) – Provocado pelas cargas que tendem a fletir o corpo em 
relação ao eixo localizado no plano da área. 
 
 
34 
 
4.3. Método das seções: Utilizado para determinar as cargas internas que atuam 
em uma região específica no interior do corpo. 
1. Faz-se uma seção (seção transversal) ou “corte” através da região em que as 
cargas internas devem ser determinadas. 
2. As duas partes do corpo são separadas, e o diagrama de corpo livre de uma das 
partes é desenhado. 
3. Utiliza-se as equações de equilíbrio para relacionar as forças externas sobre o 
corpo à força resultante e ao momento em qualquer ponto específico O da área 
secionada. 
4. O ponto O é comumente escolhido como centróide da área secionada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2. 
 
Três Dimensões (plano x-y-z): 
Força Normal, N. 
Força de cisalhamento,V. 
Momento de torção ou torque, T. 
Momento fletor, M. 
 
Em um sistema de coordenadas x, y, z, cada uma das cargas apresentadas é 
determinada diretamente pelas seis equações de equilíbrio aplicadas a qualquer 
segmento do corpo. 
 
Cargas Coplanares (plano x-y) 
Força Normal, N. 
Força de cisalhamento,V. 
Momento fletor, M. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3. 
 
 
35 
 
4.4. Exercícios 
 
30. A barra “AB” é uniforme e tem peso igual a 1 kN. Ela está apoiada nas duas 
estremidades e suporta os pesos ilustrados na figura ao lado. Nessas condições e, 
considerando que o sistema está em equilíbrio, calcule as reações nos apoios “A” e “B”. 
 
 
 
 
 
 
31. A barra representada ao lado é uniforme e tem peso igual a 0,5 kN. Ela está apoiada 
nos pontos “A” e “B” e suporta as forças representadas na figura ao lado. Nessas 
condições e, considerando que o sistema está em equilíbrio, calcule as reações nos 
apoios “A” e “B”. 
 
 
 
 
 
 
32. A barra rígida representada na figura ao lado está presa em uma de suas 
extremidades e na outra recebe a ação de uma força de 100 N, conforme indicado. 
Nestas condições determine as reações vertical e horizontal e a intensidade do 
momento no apoio. 
 
 
 
 
 
33. Um bloco compacto pesando20 kN está suspenso, conforme ilustrado ao lado. 
Considerando desprezível o peso da barra “AB”, determine a intensidade das forças que 
atuam no cabo “BC” e na barra “AB”. 
 
 
 
 
 
 
1,5 kN 
0,5 kN 
2 m 5 m 3 m 
A B 
1,5 kN 0,5 kN 
2 m 5 m 3 m 
A 
B 
100 N 
 10 m 
45 
36 
 
2 m 8 m 
2 kN 
3 m 7 m 
A 
34. Na estrutura representada ao lado a esfera pesa 300 N. Qual deverá ser o peso da 
barra para que o sistema fique em equilíbrio? 
 
 
 
 
 
 
 
35. Na estrutura representada ao lado, o peso da barra é de 1 kN, sendo que o bloco 
pesa 2 kN e, o sistema está em equilibrio. Calcule as reações nos apoios “A” e “B” . 
 
 
 
 
 
 
 
36. Aplicando o método das seções determine as cargas internas no ponto “C” das 
estruturas abaixo. 
 
a) b) 
 
 
 
c) d) 
 
 
e) f) 
 
37 
 
 AULA 4 – Tensão e Deformação 
 
Nesta aula abordaremos os conceitos de tensão, sua classificação e como 
determina-la. Também apresentaremos os conceitos e classificação de deformação de 
um corpo. 
Em um projeto de elementos estruturais ou mecânicos deve-se restringir a tensão 
do material a um nível segura, é preciso analisar quais cargas adicionais podem ser 
suportadas e baseando-se nesses cálculos determina-se uma tensão segura ou 
admissível para garantir a segurança do projeto. Nessa aula também definiremos o 
conceito de fator de segurança. 
 
Objetivos 
 
• Apresentar a classificação e definição dos vários tipos de defeitos cristalinos 
• Calcular o número de lacunas em equilíbrio em um material 
• Definir defeitos de contorno de grão e de macla. 
• Definir fator de segurança 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
TÓPICO 1 – Tensão e Deformação 
 
Objetivos do tópico: 
 
• Definição de tensão 
• Classificação de tensão 
• Definição e classificação de deformação 
• Definição de fator de segurança 
 
 
5.1. Introdução 
Uma TENSÃO descreve a intensidade da força interna sobre um plano específico 
(área) que passa por determinado ponto. Considerando que exista uma força finita de 
intensidade “F” atuando sobre uma seção da área “A” , a relação F/A é chamada de 
tensão. 
Devem-se supor duas hipóteses em relação às propriedades do material: 
a) contínuo – distribuição uniforme da matéria, sem vazios 
b) coeso – todas as suas partes estão bem unidas, sem trincas ou falhas. 
 
Dependendo da direção do carregamento interno com relação à seção transversal 
considerada pode-se classificar a tensão em dois tipos: Tensão Normal (σ) e Tensão de 
Cisalhamento (τ). 
Cada uma dessas tensões será discutida nos tópicos seguintes através de suas 
definições, fórmulas, classificações e deformações associadas. 
 
5.2. Tensão normal média ( - sigma). 
Define-se como a intensidade da força “P”, ou força por unidade de área, que atua 
no sentido perpendicular a “A”, Classifica-se em dois tipos dependendo da 
característica do carregamento externo aplicado: 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 - Tensão normal média em qualquer ponto da área da seção 
 Transversal (Pa); 
P – Resultante da força normal interna, aplicada no centróide 
 da área da seção transversal. P é determinada pelo método 
 das seções e pelas equações de equilíbrio (N); 
A - Área da seção transversal da barra (m2). 
 
 Figura 5.1. 
 
a) tensão de tração - seção transversal submetida a um carregamento de tração. 
Considerada positiva; 
b) tensão de compressão – seção transversal submetida a um carregamento de 
compressão. Considerada negativa. 
39 
 
No SI (Sistema Internacional de Medidas) a unidade de medida de tensão é: 
 ou 
 
5.3. Tensão cisalhante média (τ – tau) 
A tensão de cisalhamento atua tangencialmente à área seccionada. Supondo que as 
cargas estão distribuídas uniformemente, define-se cisalhamento médio como: 
 
 
 
 
 
 
τ – tensão de cisalhamento média na seção; 
V – resultante interna da força de cisalhamento; 
A – área da seção. 
 
 
Figura 5.2. Exemplo de uma viga submetida a força cisalhante 
 
Classifica-se o cisalhamento em dois tipos de acordo com a seção transversal que 
está submetida ao cisalhamento, são eles: 
 
a) Simples ou direto: é provocado pela ação direta da carga aplicada F com apenas 
uma superfície de cisalhamento. Ocorrem frequentemente em vários tipos de 
acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, material de solda etc. Nesse caso: 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
Figura 5.3. Chapas de aço fixadas por pino e placas de madeira coladas 
 
b) Duplo: quando existem duas superfícies de cisalhamento. Ocorre em 
acoplamentos geralmente chamados de juntas de dupla sobreposição. Nesse caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.4. Juntas de aço e madeira sobre a ação de cisalhamento duplo 
 
 
5.4. Tensão admissível e fator de segurança 
Dentro das aplicações da engenharia, a determinação de tensões não é o objetivo 
final, mas um passo necessário no desenvolvimento de dois dos mais importantes 
estudos. 
1. A análise de estruturas e máquinas: para prever o comportamento sob condições 
de carga específicas. 
2. O projeto de estruturas e máquinas: que devem ser projetadas de forma 
econômica e segura. 
 
É necessário escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada a um 
valor menor do que a carga que o elemento possa suportar integralmente. Por várias 
razões: 
- a carga de projeto pode ser diferente do carregamento aplicado; 
- erros de fabricação ou montagem em componentes; 
- vibrações desconhecidas; 
- corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste durante o uso; 
- variações nas propriedades mecânicas. 
41 
 
Quando se aplica a carga admissível, apenas uma parte da capacidade de resistência 
do material está sendo utilizada; outra parte é reservada para assegurar ao material 
condições de utilização segura. 
Para especificar a carga para o projeto ou a análise de um elemento usa-se um 
número denominado Coeficiente ou Fator de Segurança (F.S.) que é a relação entre o 
carregamento último (carga de ruptura) e o carregamento admissível. 
 
 
 
 
 
 
Quando existe uma correspondência linear entre carga aplicada e tensão provocada 
pela carga, tem-se: 
 
 Tensão Normal: 
 
 
 
 
 Tensão Cisalhante: 
 
 
 
 
A escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar à estrutura a 
possibilidade de ruptura e a escolha de um coeficiente de segurança alto pode levar a 
um projeto não econômico. Deve-se, portanto, fazer uma escolha apropriada para F.S. 
 
Consideração de alguns fatores que influenciam na escolha do coeficiente de 
segurança: 
- Modificações que ocorrem nas propriedades dos materiais 
- O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida da estrutura ou 
máquina 
- O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar futuramente. 
- O modo de ruptura quepode ocorrer 
- Métodos aproximados e análise 
- Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de manutenção ou por 
causas naturais imprevisíveis 
- A importância de certo membro para a integridade de toda a estrutura. 
 
5.5. Deformação 
São mudanças na forma e no tamanho de um corpo ocasionadas pela aplicação de 
uma força. Podem ser perfeitamente visíveis (borracha) ou imperceptíveis (aço) sem o 
uso de equipamento para fazer medições precisas. Também pode ser ocasionada por 
variação da temperatura. 
Para o nosso estudo admitiremos que as barras são prismática, as cargas atuam no 
centróide das seções transversais e que o material da barra é homogêneo. 
A deformação pode ser classificada em deformação normal e deformação de 
cisalhamento dependendo do tipo de tensão aplicada ao material. 
 
 
 
42 
 
5.5.1. Deformação Normal (ε ) 
Ocorre quando uma barra reta muda de comprimento com a aplicação de uma 
carga axial tornando-se mais comprida (em tração) e mais curta (em compressão). 
Provocando mudança de volume do elemento retangular. Definida como o 
alongamento ou contração de um pequeno segmento de reta por unidade de 
comprimento, associada a tensão normal 
O alongamento (δ) ou variação do comprimento (ΔL) é o resultado do estiramento 
ou contração através do volume da barra. Deformação normal é dada pela equação 
(medida adimensional, m/m ; mm/mm) : 
 
 
 
 
 
 
 
 onde: ΔL = L - Lo 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5.5. 
 
Onde: ε – deformação 
 δ – alongamento ou contração (variação no comprimento) 
 Lo – Comprimento inicial da barra 
 L - Comprimento final da barra 
 
5.5.2. Deformação Cisalhante (γ) 
A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta originalmente 
perpendiculares entre si. O ângulo é designado por γ (gama) e medido em radianos 
(rad). A deformação cisalhante provoca mudança no formato do elemento retangular. 
 
(a) Sem deformação (b) com deformação cisalhante 
Figura 5.6. Deformação por cisalhamento. 
 
Para Materiais da engenharia que apresentam relação linear entre tensão e 
deformação na região de elasticidade, isto é, um aumento na tensão provoca um 
aumento proporcional na deformação. Esse fato é conhecido como lei de Hooke. 
Matematicamente, é expressa por: 
 (Para tensão normal) 
 
P 
Lo 
L 
δ 
43 
 
 (Para tensão cisalhante) 
 
Onde: E – Módulo de elasticidade ou módulo de Young. 
 G – Módulo de Elasticidade para ao cisalhamento ou módulo de rigidez 
 
5.6. Exercícios 
 
37. Determine a força máxima que pode ser aplicada a um cabo de latão, com 5 mm de 
diâmetro, se a resistência do material, à tração, é de 20 MPa. 
 
38. Dimensionar a seção reta de uma barra de latão, de 10 cm de comprimento, se a 
resistência do material, à tração, é de 250MPa, sendo a força máxima de ruptura igual a 
100 kN. A seção da barra é quadrada. 
 
39. Determine o alongamento total de uma barra de aço, com 80 cm de comprimento, 
sendo a tensão de tração for igual a 105 MPa, sendo o Módulo de Elasticidade do 
material igual a 210 Gpa. 
 
40. Uma barra de aço, com 100 mm de comprimento foi submetida a uma tensão de 
tração de 40 MPa, apresentando uma variação de comprimento de 0,002 cm. Qual é o 
valor do Módulo de Elasticidade do material dessa barra? 
 
41. Uma barra de aço ABNT 1020, com 150 mm de comprimento, possui Módulo de 
Elasticidade igual a 210 GPa. Determine qual deve ser o diâmetro dessa barra, para que 
ela possa resistir a uma carga de tração de 70 kN, apresentando um alongamento de 
0,0025 cm 
 
42. Determine o diâmetro que deve ter um cabo de aço ABNT 1030, cujo limite de 
escoamento é igual a 180 MPa, para que o mesmo possa resistir, com segurança, a uma 
força de tração de 50 kN, adotando-se um coeficiente de segurança igual a 2 
 
43. Um eixo cilindro, oco, de cobre, com diâmetro externo de 80 mm e diâmetro 
interno de 60 mm, foi carregado com uma força axial de compressão, de 50 kN. Calcule 
a tensão normal induzida no eixo, bem como a variação de comprimento do mesmo. O 
eixo tinha 60 cm de comprimento e o Módulo de Elasticidade do material é igual a 120 
GPa. 
 
44.Uma barra cilindrica, oca, de ferro fundido, com diâmetro externo de 4 cm e o 
interno de 2 cm e, com 100 mm de comprimento, está submetida a uma determinada 
força de tração. Sabe-se que esta força produziu, no material, uma tensão de 210 MPa 
e que o comprimento da barra aumentou para 100,20 mm, pergunta-se: 
a) Qual a intensidade da força aplicada? 
b) Qual o Módulo de Elasticidade do material? 
c) Qual a deformação linear no material? 
 
 
44 
 
45. Determine a tensão normal que atua na seção de engastamento da barra de aço, 
representada na figura ao lado, cujo diâmetro é de 200 mm, 
tem 15 metros de comprimento e está submetida a uma 
força axial, de tração, de 300 kN. Calcule também a variação 
de comprimento da barra, sabendo que o peso específico do 
material da mesma é 78 kN/m3 e o Módulo de elasticidade 
igual a 210 Gpa. 
 
 
 
 
 
 
 
46. Determine a tensão normal na haste de seção circular com área de Ahaste = 0,002 m
2 
e a tensão de cisalhamento no bloco com área Abloco = 0,1 m
2 , provocadas pela carga de 
50kN. 
 
 
 
 
 
47. A barra de aço da figura foi submetida a uma tensão normal σ = 130MPa, possui 
módulo de elasticidade Eaço = 200GPa. Determine a deformação (Є) e a carga (P). 
Sabendo que a área A = 0,02m2. 
 
 
P 
 
 
48. Calcule o diâmetro mínimo para que o pino suporte uma tensão de cisalhamento 
admissível τadm = 15Mpa. O pino está sujeito a cisalhamento duplo. 
 
 
 
 
 
50 kN 
P 
P = 30 kN 
1
5
 m
 
300 kN 
45 
 
49. Calcule o valor da tensão e a deformação no cisalhamento para um pino de aço com 
diâmetro igual a 10mm carregado como mostra as figuras. Considere o módulo de 
rigidez (G) do aço de 75GPa. 
a) b) 
 
 
50. Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço, como se indica na figura, Se o 
diâmetro do rebite é 19 mm e a carga P = 30 kN, qual a tensão de cisalhamento no 
rebite? 
 
 
51. A barra mostrada é suportada por uma haste de aço AC que tem diâmetro de 20 
mm e bloco de alumínio que tem área de 1800 mm². Os pinos de 18 mm de diâmetro 
em A e C estão submetidos a cisalhamento simples. Para P = 168kN na estrutura, 
considerando a tensão de ruptura do aço e do alumínio (σaço)rup = 680MPa e (σal)rup = 
70MPa , respectivamente, e a tensão de cisalhamento de ruptura de cada pino (τpino)rup 
= 900MPa. Aplicas fator de segurança F.S = 2. Determine: 
 a) as tensões admissível para a haste, o bloco e os pinos. 
b) Calcule as cargas suportadas pela haste, bloco e pinos, verifique se a estrutura falha 
ou não devido a aplicação de P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
F = 12kN 
46 
 
AULA 5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos 
 
 
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a carga sem 
deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao próprio materiale 
deve ser determinada através de ensaios mecânicos. 
Nessa aula será mostrado como a tensão pode ser relacionada à deformação por 
meio experimental determinando o diagrama tensão-deformação par aum material 
específico. Será discutido o comportamento descrito pelo diagrama para materiais de 
construção mecânica, mostrando a determinação das propriedades mecânicas através 
desse diagrama. 
 
 
Objetivos 
 
• Apresentar o diagrama tensão-deformação 
• Apresentar algumas propriedades mecânicas 
• Apresentar relação entre a deformação lateral e longitudinal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
TÓPICO 1 – Propriedades mecânicas e Diagrama tensão-deformação 
 
Objetivos do tópico: 
 
• Diagrama tensão-deformação 
• Materiais dúcteis e frágeis 
• Lei de Hooke e Coeficiente de Poisson 
 
 
6.1. Introdução 
Quando em serviço, os componentes mecânicos de máquinas e estruturas estão 
submetidos à ação de esforços ou cargas. 
O projeto adequado desses componentes exige o conhecimento do comportamento 
mecânico ou das propriedades mecânicas dos materiais de que são fabricados. 
A tensão pode se relacionada à deformação por meio de um diagrama tensão-
deformação para um material específico. Algumas propriedades mecânicas 
importantes, como a resistência mecânica à tração ou à compressão, a ductilidade, a 
dureza, entre outras, podem ser determinadas através de ensaios ou experimentos de 
laboratório, cuidadosamente elaborados. 
 
6.2. Diagrama tensão-deformação 
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a carga sem 
deformação excessiva ou ruptura. 
Um dos testes mais importantes a realizar nesse sentido é o teste de tração ou 
compressão, utilizado principalmente para determinar a relação entre a tensão normal 
média e a deformação normal média em muitos materiais da engenharia, tais como, 
metais, cerâmicas, polímeros e materiais compostos. 
Com os dados do teste pode-se construir um gráfico para os diversos valores de 
tensão e deformação. A curva resultante é denominada diagrama tensão-deformação. 
Pode ser convencional ou real. 
No diagrama tensão-deformação convencional, os dados registrados da tensão (σ) 
são obtidos dividindo-se a carga aplicada (P) pela área transversal inicial (Ao) do corpo-
de-prova. 
A deformação nominal ou de engenharia é medida diretamente pela leitura do 
extensômetro ou dividindo-se a variação do comprimento (δ ou ΔL) pelo comprimento 
inicial do corpo de prova (Lo). 
Enquanto que o diagrama tensão-deformação real para calcular a tensão e a 
deformação usa-se a área real da seção transversal e o comprimento do corpo-de-
prova no instante em que a carga é medida. Os valores da tensão e da deformação 
obtidos com essas medidas são chamados tensão real e deformação real. 
As diferenças entre os diagramas começam a aparecer na faixa de endurecimento 
por deformação, em que a intensidade da deformação torna-se mais significativa. 
Apesar das diferenças entre os diagramas, a maioria dos projetos de engenharia é 
feita na faixa de elasticidade onde a distorção do material geralmente não é severa, a 
deformação permanece pequena e o erro do uso dos valores do diagrama convencional 
48 
 
será muito pequeno (cerca de 0,1%) quando comparado aos valores reais. Essa é uma 
das principais razões para usar os diagramas tensão-deformação convencionais. 
 
 
 
6.2.1. Diagrama Tensão-Deformação Convencional (ou de engenharia) 
 
 
 
Figura 6.1. 
 
Na figura 6.1 apresenta-se um diagrama tensão-deformação para um aço estrutural 
(aço mole ou aço de baixo teor de carbono) amplamente utilizado em prédios, pontes, 
guindastes, navios, torres, veículos entre outras aplicações. As deformações são 
apresentadas no eixo horizontal e as tensões no eixo vertical. 
As características da curva serão discutidas identificando-se quatro regiões do 
comportamento do material dependendo da deformação nele provocada e 
considerando o diagrama tensão-deformação convencional do ponto O ao ponto F. 
Comportamento Elástico – ocorre quando as deformações estão na região elástica. 
O diagrama começa com uma linha reta de origem em O ao ponto A, de modo que a 
tensão e a deformação são proporcionais. O ponto A é chamado de limite de 
proporcionalidade e a inclinação da reta é chamada de módulo de elasticidade. Se a 
tensão excede ligeiramente o limite de proporcionalidade o material ainda pode 
49 
 
responder elasticamente até o limite de elasticidade ponto B. Para o aço o limite de 
elasticidade é muito próximo do limite de proporcionalidade. 
Escoamento – com um aumento da tensão além do limite de elasticidade, a curva 
fica horizontal (trecho C- D), pois um alongamento do corpo ocorre sem um aumento 
notável da força de tração. Esse fenômeno é conhecido como escoamento e a tensão 
que provoca escoamento é chamada tensão limite de escoamento ou ponto de 
escoamento (σE). Na região entre C e D o material fica perfeitamente plástico, ou seja, 
ele se deforma sem um aumento da carga aplicada e faz com que ele se deforma 
permanentemente. 
Endurecimento por deformação – após o escoamento o aço começa a recuperação, 
passando por mudanças em sua estrutura cristalina, resultando em um aumento da 
resistência do material para mais deformação. O alongamento do corpo de prova na 
região D-E exige um aumento na carga de tração o que resulta em uma curva que 
cresce continuamente, mas que se torna mais plana até que alcança a tensão máxima 
denominada limite de resistência (σLRT ou σr) ou tensão normal última. 
Estricção – Ao atingir o limite de resistência, a área da seção transversal começa a 
diminuir em uma região localizada do corpo de prova. Forma-se gradualmente uma 
estricção ou contração (empescoçamento) nessa região à medida que o corpo se 
alonga. Como a área da seção transversal está decrescendo continuamente, a área 
menor pode suportar apenas carga decrescentes, portanto o diagrama curva-se para 
baixo até que o corpo de prova quebre com a tensão de ruptura (σrup). 
 
6.2.2. Diagrama tensão-deformação real (ou verdadeiro) 
 
Quando esse diagrama é construído, adquire o formato mostrado pela curva do 
ponto O até o ponto G, na figura 6.1. Observe que os diagramas convencional e real são 
praticamente coincidentes quando a deformação é pequena, até o ponto D. As 
diferenças começam a aparecer na faixa de endurecimento por deformação, em que a 
intensidade da deformação torna-se mais significativa. 
Pelo diagrama tensão-deformação real, a área real na região de estricção é sempre 
decrescente até a ruptura, e desse modo, o material suporta realmente tensão 
crescente. 
Apesar de os diagramas tensão-deformação real e convencional serem diferentes, a 
maioria dos projetos de engenharia é feita na faixa de elasticidade, onde para a maioria 
dos metais a deformação até o limite de elasticidade permanecerá pequena e o erro do 
uso dos valores de engenharia será pequeno. Essa é uma das razões principais para 
usar os diagramas tensão-deformação convencionais. 
 
6.3. Materiais Dúcteis e Frágeis 
 
Os materiais dúcteis são caracterizados por sua capacidade de escoar na 
temperatura ambiente. Á medida que o corpo de prova é submetido a uma carga 
crescente, seu comprimento inicialmente aumenta linearmente com a carga e a uma 
taxa muito baixa. Após alcançar um valor crítico de tensão (σE), o corpo de prova sofre 
uma grande deformação com aumento relativamente pequeno da carga aplicada. São 
materiais dúcteis o aço estrutural e muitas ligas de outros metais. 
50 
 
Os materiais frágeis, que incluem ferro fundido, vidro e pedra, são caracterizados 
pelo fato de que a ruptura ocorre sem nenhuma mudança prévia notável na taxa de 
alongamento. Para materiais frágeis não há diferença entre o limitede resistência e a 
resistência à ruptura. E a deformação no instante da ruptura é muito menor para 
materiais frágeis do que para materiais dúcteis. 
Uma medida padrão da ductilidade de um material é sua deformação percentual, 
definida como: 
 
Deformação percentual = L – Lo x 100 
 Lo 
 
Onde Lo e L são respectivamente, o comprimento inicial do corpo de prova e o seu 
comprimento final na ruptura. 
Uma outra medida da ductilidade é a redução percentual da área, definida como: 
 
Redução percentual da área = Ao – A x 100 
 Ao 
 
Onde Ao e A são respectivamente a área da seção transversal inicial do corpo de 
prova e sua área de seção transversal mínima na ruptura. 
 
 
6.4. Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade 
A relação diretamente proporcional entre a tensão e a deformação específica é 
conhecida como lei de Hooke, em homenagem ao matemático inglês Robert Hooke. 
Definida como: 
 
  = ε E (Para tensão normal) 
 
 τ = γ G (Para tensão cisalhante) 
 
 
O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade do material envolvido, ou 
também módulo de Young, em homenagem ao cientista inglês Thomas Young. O 
coeficiente G é chamado de módulo de elasticidade para o cisalhamento ou módulo de 
rididez. Como a deformação específica é adimensional, o módulo de elasticidade é 
expresso nas mesmas unidades da tensão, ou seja, em pascal (Pa). 
Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a armazenar 
energia internamente em todo o seu volume essa energia é denominada energia de 
deformação (ΔU). A formula da energia de deformação por unidade de volume de 
material denominada densidade de energia de deformação, pode ser expressa por: 
 
 u = ΔU = σε 
 ΔV 2 
 
Se o comportamento do material for linear elástico, então se aplica a lei de Hooke e 
a densidade de energia pode ser expressa em termos da tensão uniaxial: 
51 
 
 
 u = σ2 
 2E 
 
A resiliência de um material é sua capacidade de absorver energia sem sofrer 
qualquer dano permanente, ou seja, dentro da região elástica. Quando a tensão atinge 
o limite de proporcionalidade, a densidade de energia de deformação é denominada 
módulo de resiliência (ur), que equivale à área triangular na regiação elástica do 
diagrama σ x ε (figura 6.2-a). 
 
ur = 1 σlp εlp = 1 σlp 
2 
 2 2 E 
 
 a) b) 
 Figura 6.2. Representação gráfica do módulo de resiliência e de tenacidade 
 
A tenacidade é a capacidade de um material em absorver energia até a ruptura. A 
densidade de energia do material um pouco antes da ruptura é denominada módulo de 
tenacidade, representada pela área inteira sob o diagrama tensão-deformação (figura 
6.2-b). 
Ligas de metais também mudam sua resiliência e tenacidade. Os diagramas tensão-
deformação da figura 6.3, por exemplo, mostram como os graus de resiliência e 
tenacidade podem mudar, conforme muda a porcentagem de carbono no aço. 
 
 
Figura 6.3. Variação da resiliência e da tenacidade com relação ao percentual de 
carbono no aço. 
 
 
52 
 
6.5. Coeficiente de Poisson 
 
 
Figura 6.4. Deformação lateral e longitudinal de material carregado por tração. 
 
Quando submetido a uma força de tração axial, um corpo deformável não apenas se 
alonga, mas também se contrai lateralmente. Da mesma forma na compressão, que 
provoca contração na direção da força e expansão lateral. A razão entre as 
deformações na direção lateral e longitudinal é uma constante, denominada 
coeficiente de Poisson (ν), 
 
 
 
 
 
 
O coeficiente de Poisson é adimensional e seu valor está compreendido em 0 ≤ ν ≤ 0,5. 
 
 
6.6. Exercícios 
52. O teste de tração para uma liga de aço resulta no diagrama tensão-deformação da 
figura 6.5. Calcular o módulo de elasticidade e a resistência ao escoamento com base 
em uma deformação residual de 0,2%. Identificar no gráfico o limite de resistência e a 
tensão de ruptura. 
 
Figura 6.5. 
53 
 
53. O diagrama tensão deformação de uma liga de alumínio usada para fabricar peças 
de aeronaves é mostrado na figura 6.6. Supondo que um corpo-de-prova desse 
material seja tracionado com 600MPa, determine a deformação permanente que ficará 
no corpo-de-prova quando a carga for removida. Calcular também o módulo de 
resiliência tanto antes como depois da aplicação da carga. 
 
 Figura 6.6. 
 
54. A haste de alumínio mostrada na figura 6.7-a tem seção transversal circular e está 
submetida a uma carga axial de 10kN. Se uma parte do diagrama tensão-deformação 
do material é mostrada na figura 6.7-b, determinar o alongamento aproximado da 
haste quando a carga é aplicada. Se a carga for removida, qual será o alongamento 
permanente da haste? Suponha que Eal = 70GPa. 
 
Figura 6.7-a 
Figura 6.7-b 
 
 
55. uma barra feita de aço (Eaço = 200GPa) tem as dimensões mostradas na figura 6.8. 
supondo que uma força axial de P = 80kN seja aplicada a ela, determinar as mudanças 
em seu comprimento e nas dimensões de sua seção transversal depois de aplicada a 
carga. O material comporta-se elasticamente. 
54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
AULA 6 – Carga Axial 
 
Nas aulas anteriores desenvolvemos o método para encontrar a tensão normal em 
elementos carregados axialmente. Nessa aula discutiremos como determinar a 
deformação desses elementos, desenvolvendo um método para encontrar as reações 
dos apoios quando elas não poderem ser determinadas com a utilização das equações 
de equilíbrio. Analisaremos os efeitos da tensão térmica e a variação no comprimento 
provocada pela temperatura. 
 
 
Objetivos 
 
• Apresentar a deformação elástica de um elemento com carga axial 
• Apresentar determinação das reações problemas estaticamente 
indeterminados 
• Apresentar os efeitos da tensão térmica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
TÓPICO 1 – Membros carregados axialmente 
 
Objetivos do tópico: 
 
• Determinar o deslocamento provocado por cargas axiais 
• Analisar membros estaticamente indeterminados 
• Calcular deslocamento provocado por uma tensão térmica 
 
 
7.1 Carregamento axial com comportamento elástico. 
 
Componentes estruturais submetidos apenas à tensão ou compressão são 
chamados de membros carregados axialmente. Barras sólidas com eixos longitudinais 
retos são o tipo mais comum, embora cabos e molas espirais também suportem cargas 
axiais. Exemplos de barras carregadas axialmente são membros de suporte, hastes de 
conexão em motores, aros em rodas de bicicleta, colunas em prédios entre outras 
aplicações. 
As barras carregadas axialmente sofrem alongamento sob carga de tração e 
encurtamento sob cargas de compressão. Para analisar esse comportamento, vamos 
considerar uma barra (Fig.7.1) submetida a uma carga de tração P. A tensão normal 
uniforme nas seções transversais é dada pela equação σ = P/A, em que A é a área da 
seção transversal. Se a barra é feita de ma
material é elástico linear, logo ele segue a lei de Hooke σ = ε.E, em que E é o módulo de 
elasticidade.