Atuaria e Precificacao 2010

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INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E
PRECIFICAÇÃO DO SEGURO
Rio de Janeiro
2010
4a edição
É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou de partes dele,
sob quaisquer formas ou meios, sem permissão expressa da Escola.
REALIZAÇÃO
Escola Nacional de Seguros – FUNENSEG
SUPERVISÃO E COORDENAÇÃO METODOLÓGICA
Diretoria de Ensino e Produtos
ASSESSORIA TÉCNICA
Vânia Brasil Simões – 2010/2009
CAPA
Gerência de Mercado
DIAGRAMAÇÃO
Info Action Editoração Eletrônica
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da FUNENSEG.
E73i Escola Nacional de Seguros. Diretoria de Ensino e Produtos.
Introdução à atuária e precificação do seguro/Supervisão e coordenação metodológica da
Diretoria de Ensino e Produtos; assessoria técnica de Vânia Brasil Simões. – 4. ed. – Rio de Janeiro:
FUNENSEG, 2010.
64 p.; 28 cm
1. Seguro – Estatística. 2. Tarifação (Seguro). I. Simões, Vânia Brasil. II. Título.
09-0862 CDU 368:319.2(072)
aseada nos princípios que a regem desde sua criação, em 1971, a Escola Nacional de
Seguros promove diversas iniciativas no âmbito educacional, que contribuem para um mercado
de seguros, previdência complementar, capitalização e resseguro cada vez mais qualificado.
Essa é a filosofia presente em nossas ações, que compreendem a elaboração de cursos, exames,
pesquisas, publicações e eventos, e que confirmam nossa condição de principal provedora de serviços
voltados à educação continuada dos profissionais dessa indústria.
Em um mercado globalizado, mudanças de paradigmas são constantes e, para seguir esse movimento,
o investimento em treinamento e atualização é apontado por especialistas como essencial.
A Escola Nacional de Seguros, que nasceu de uma proposta do próprio mercado, está à sua disposição
para compartilhar todo nosso conhecimento e experiência, bens intangíveis e inestimáveis, que o
acompanharão em sua jornada.
Todo o acervo de conhecimentos e maturidade na formação de profissionais e gestores de alto nível se
reflete na qualidade do material didático elaborado pela equipe da Escola. Formada por especialistas
em seguros com sólida trajetória acadêmica, o saber disponível em nosso material didático é um
grande aliado para o voo profissional de cada um de nós.
B
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO4
Su
m
ár
io
SUMÁRIO 5
1 INTRODUÇÃO À ATUÁRIA, 7
Noções Elementares de Probabilidade, 8
Espaço Amostral, 8
Evento, 8
Probabilidade, 9
Esperança Matemática, 10
Métodos de Tarifação, 13
Tábuas de Mortalidade, 14
Probabilidade para Períodos Superiores a um Ano, 18
Regimes Financeiros, 19
Regime Financeiro de Repartição Simples, 20
Regime Financeiro de Repartição de Capitais de Cobertura, 20
Regime Financeiro de Capitalização, 21
Fixando Conceitos, 25
2 PRECIFICAÇÃO DO SEGURO, 31
Fatores que Influenciam no Cálculo do Preço dos Seguros de Pessoas e de Previdência
Complementar, 31
Seguros de Pessoas – Cobertura por Morte Qualquer Causa, 31
Previdência Complementar – Renda Mensal Vitalícia Imediata (Anuidade Imediata Vitalícia), 33
Fixando Conceitos, 35
TESTANDO CONHECIMENTOS, 37
ANEXOS, 43
Anexo 1 – Tábua de Mortalidade AT-2000 Male, 45
Anexo 2 – Tábua de Mortalidade CSO-58, 49
GABARITO, 53
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA, 63
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO6
In
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 A
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ia
UNIDADE 1 7
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA
“A ciência atuarial nasceu há aproximadamente 150 anos na Inglaterra com o objetivo de estudar a
mortalidade da população. Tais estudos, que tradicionalmente eram destinados para entidades voltadas
para aposentadoria e pensões, estenderam-se para a área de seguros no século XX. Continuando sua
expansão, nas últimas décadas, a concepção de que uma empresa de seguros ou de pensões faz parte do
mercado financeiro fez crescer a necessidade de um maior treinamento na área administrativa e financeira,
especialmente no que tange riscos financeiros e econômicos. Daí a necessidade de um profissional específico
para estas atribuições: o atuário.” (Texto retirado do site do IBA – Instituto Brasileiro de Atuária).
Podemos dizer que:
• atuária é a ciência que estuda o risco e seus impactos financeiros, utilizando conhecimentos de
matemática financeira, probabilidade e estatística; e
• atuário é o profissional que:
– mensura e administra os impactos financeiros de riscos futuros; e
– desenvolve e valida modelos financeiros para guiar tomada de decisões.
Exemplos de projetos atuariais:
• seguradoras de Vida:
– desenho e definição do preço do seguro;
• seguradora de Bens e Responsabilidade:
– estimar o valor da “reserva” para arcar com eventos que ainda não foram avisados;
• entidades de Previdência Aberta:
– planos de aposentadoria: definir o custo do pagamento dos benefícios de renda vitalícia
(aposentadoria); e
• instituições financeiras:
– estudos de diversificação do portfólio de investimentos.
1
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO8
Noções Elementares de Probabilidade
Os conceitos de incerteza e chance ou probabilidade são tão antigos quanto as civilizações e encontram
aplicações em diversas áreas como a medicina, loterias e jogos, previsão do clima, finanças etc.
Nesta unidade, vamos usar vários conceitos importantes da Teoria dos Conjuntos (conjunto, elemento,
subconjunto, conjunto vazio) para compreender o significado de espaço amostral e evento, além da
definição de probabilidade.
Espaço Amostral
Denomina-se espaço amostral, ou espaço das possibilidades, o conjunto de todos os resultados possíveis
de um experimento. Representaremos o espaço amostral por S.
Exemplos de experimentos:
a) lançamento de uma moeda honesta;
b) lançamento de um dado; e
c) lançamento de duas moedas.
Nos exemplos acima, os espaços amostrais são:
a) S = {cara, coroa}
b) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) S = {(cara, coroa), (cara, cara), (coroa, cara), (coroa, coroa)}
Evento
Evento é um subconjunto de um espaço amostral, definindo um resultado bem determinado. O evento
pode ser um único ponto amostral ou uma reunião deles.
Exemplo: lançam-se dois dados. Enumerar os seguintes eventos:
A: saída de faces iguais;
B: saída de faces cuja soma seja igual a 10;
C: saída de faces cuja soma seja menor que 2;
D: saída de faces cuja soma seja menor que 15;
E: saída de faces das quais uma é o dobro da outra.
UNIDADE 1 9
O espaço amostral no nosso exemplo é:
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3,4),
(3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2),
(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Logo, os eventos pedidos são:
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)};
B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)};
C = Ø (evento impossível);
D = S (evento certo);
E = {(1, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 6), (4, 2), (6, 3)}.
Probabilidade
Probabilidade é um número associado à ocorrência de um evento, destinado a medir sua possibilidade
de ocorrência, compreendido no intervalo [0,1]. Dessa forma, não existe probabilidade negativa ou
maior que 1.
Fórmula matemática para cálculo da probabilidade:
P = número de casos favoráveis
número de casos possíveis
No caso dos eventos descritos no exemplo anterior, as probabilidades seriam iguais a:
P(A) = 6 = 1
36 6
P(B) = 3 = 1
36 12
P(C) = 0 = 0
36
P(D) = 36 = 1
36
P(E) = 6 = 1
36 6
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO10
Podemos concluir que se a probabilidade associada à ocorrência de um evento for igual a zero, o evento
é impossível; enquanto se o resultado for igual a um, dizemos que o evento é certo. Se o resultado
estiver compreendido entre zero e um, dizemos que se trata de um evento possível.
Curiosidade
Qual é a chance (probabilidade) de uma pessoaganhar na Megasena jogando
apenas 1 cartela preenchida com 6 números?
As chances de acerto dos 6 números são calculadas através de uma combinação
simples de 60 elementos tomados 6 a 6, C60,6.
O número de casos possíveis (combinações simples*) são calculados de acordo com
a seguinte expressão matemática:
C60 ,6 = 60! / (6! * 54!) =
= 60 * 59 * 58 * 57 * 56 * 55 / 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1 = 50.063.860
Isto é, existem 50.063.860 modos diferentes de se escolher os seis números de 1 a 60.
Assim, temos que jogando com 6 dezenas, a chance de ganhar na Megasena é de 1
em 50.063.860, ou seja, probabilidade é de 
860.063.50
1
 ou 0,00000199744%.
Fonte: site http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/probabilidades.asp
Esperança Matemática
A Esperança Matemática (E) representa o preço matemático, que, em seguro, chamamos de prêmio de
risco ou prêmio estatístico.
A Esperança Matemática é um componente importante na obtenção do valor da prestação que o segurado
paga ao segurador, para que este assuma a responsabilidade pelo risco de perdas.
Seu valor é dado pela multiplicação do ganho esperado pela probabilidade de ganho e pelo fator de
desconto financeiro (vn).
E = Q × p × vn
* Lembrando que combinações simples são agrupamentos de elementos distintos que se diferem entre si pela natureza dos
elementos. Nos cálculos envolvendo combinações utilizamos o fatorial de um número natural que consiste na multiplicação desse
número por todos os seus antecessores até o número um, por exemplo: 4! = 4*3*2*1 = 24.
UNIDADE 1 11
Onde:
E = esperança matemática;
Q = ganho esperado;
p = probabilidade;
vn = fator de desconto financeiro.
Relembrando os conceitos de matemática financeira:
v = 1/(1 + i), onde i representa a taxa de juros.
Atenção
Ferreira (2002) afirma que no processo de precificação do custo de um seguro existem
3 tipos de prêmios:
1. prêmio de risco ou prêmio estatístico, que tem por objetivo cobrir o risco médio;
2. prêmio puro, que é igual ao prêmio de risco mais um carregamento de segurança
estatístico (θ), ou seja:
Prêmio Puro = Prêmio de Risco × (1 + θθθθθ)
O carregamento de segurança serve como uma margem de segurança para cobrir as
flutuações estatísticas do risco, de modo que exista uma probabilidade muito pequena
de os sinistros superarem o prêmio puro; e
3. prêmio comercial, que corresponde ao prêmio puro acrescido do carregamento
para as despesas da seguradora (α) relativas à comissão de corretagem e às
despesas administrativas, incluindo uma margem para lucro.
Prêmio Comercial = Prêmio Puro / (1 – ααααα)
ou
Prêmio Comercial = {Prêmio de Risco × (1 + θθθθθ)} / (1 – ααααα)
Ainda segundo Ferreira (2002), alguns autores introduzem um quarto tipo de prêmio,
chamado de prêmio bruto, o qual é igual ao prêmio comercial acrescido das despesas
com impostos, que incidem diretamente sobre o prêmio comercial, e das despesas
com custo de apólice.
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO12
Aplicação Prática
1. Sabendo que a probabilidade de perda de um determinado bem é 1/5 e que o valor
do bem é de R$ 2.000,00, qual será a esperança matemática se desprezarmos o
fator de desconto?
Solução:
E = Q × p × vn
E = ?
Q = R$ 2.000,00
p = 1/5
vn = 1
E = 2.000 × (1/5) × 1 = 400
Nesse caso, o valor da esperança matemática será de R$ 400,00.
2. Sabendo-se que uma pessoa está organizando uma rifa de um televisor 29’ no
valor de R$ 1.000,00, e que serão vendidos 100 bilhetes, qual será a esperança
matemática se desprezarmos o fator de desconto?
Solução:
E = Q × p × vn
E = ?
Q = 1.000,00
p = 1/100
vn = 1
E = 1.000 × (1/100) × 1 = 10,00
Nesse caso, a esperança matemática será de R$ 10,00.
Obs.: quando desprezamos o fator de desconto, n = 0 e vn = v0 = 1
3. A probabilidade de perda de um automóvel é de 0,08. Sabendo-se que esse
automóvel vale R$ 40.000,00, calcule o prêmio de risco, sem utilizar o fator
de desconto.
Solução:
Prêmio de risco é o mesmo que Esperança Matemática (E). Assim:
E = p × Q × vn
Onde:
p = 0,08
Q = R$ 40.000
vn = 1
E = 0,08 × 40.000 × 1 = R$ 3.200.00
Então, o prêmio de risco é de R$ 3.200,00.
UNIDADE 1 13
4. Sabendo-se que o prêmio puro é igual a R$ 300,00, a comissão de corretagem
sobre o prêmio comercial é de 25%, e o carregamento para as despesas
administrativas e lucro é de 20%, calcule o prêmio comercial.
Solução:
Prêmio Comercial = Prêmio Puro / (1 – α)
Onde:
Prêmio Puro = R$ 300,00
α = comissão de corretagem + despesas administrativas + margem de lucro =
25% + 20% = 45%
Prêmio Comercial = Prêmio Puro / (1 – α)
Prêmio Comercial = 300 / (1 – 0,45)
Prêmio Comercial = R$ 545,45
5. Sabendo-se que o prêmio de risco é igual a R$ 250,00 e o carregamento de
segurança estatístico (θ) é de 5%, calcule o prêmio puro.
Solução:
Prêmio Puro = Prêmio de Risco × (1 + θ)
Onde:
Prêmio de Risco = R$ 250,00
θ = 5%
Prêmio Puro = Prêmio de Risco × (1 + θ)
Prêmio Puro = 250 × (1 + 0,05)
Prêmio Puro = R$ 262,50
Métodos de Tarifação
O cálculo do prêmio do seguro é uma das atividades mais importantes de uma seguradora. O princípio
básico desse cálculo vem do conceito do prêmio ser capaz de cobrir as despesas oriundas dos sinistros
a pagar. Diversos são os conceitos e metodologias envolvidos no cálculo do prêmio.
Ferreira (2002) cita 4 métodos de tarifação:
• julgamento ou subjetivo – esse método de tarifação é utilizado quando não se tem informação
suficiente no processo de tarifação. É um processo subjetivo, em que a tarifa é definida pelo underwriter
através da comparação com riscos similares. A Teoria da Credibilidade pode ser classificada dentro
desse contexto, pois, por vezes, conjuga a experiência própria da seguradora com a experiência de
outras seguradoras;
• sinistralidade – a tarifa é atualizada em função da análise da sinistralidade da carteira em estudo.
Lembramos que sinistralidade corresponde à razão sinistro/prêmio;
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO14
• prêmio puro – esse método começa com a estimação do prêmio de risco, passando por um processo de
regularização estatística (modelagem), e, por fim, adicionando-se um carregamento de segurança; e
• tábua de mortalidade – é o método utilizado nos Seguros de Pessoas e de Anuidades. Trata-se de um
método determinístico, pois aplica fórmulas determinísticas e probabilidades de morte definidas a partir
de estudos prévios realizados pelo atuário, quando eles produzem as chamadas tábuas de mortalidades.
As tábuas de mortalidades são construídas a partir de informações brutas de mortalidade, passando por
um processo de regularização estatística, um processo de ajustamento analítico e, finalmente, é aplicado
um carregamento de segurança – positivo, quando a tábua é utilizada para coberturas de risco, ou negativo,
quando a tábua é utilizada para cálculo de anuidades.
Tábuas de Mortalidade
Tábuas de mortalidade são instrumentos destinados a medir as probabilidades de sobrevivência e de
morte. São construídas a partir de um instrumental técnico e científico e refletem as mudanças que a
sociedade vem sofrendo, com o aumento da expectativa de vida, melhorias sanitárias e o avanço da
medicina. Apresentam o número de pessoas vivas e de pessoas mortas, em ordem crescente de idade,
desde a origem até a extinção do grupo.
Existem várias tábuas de mortalidade para medir a sobrevida, ou seja, quanto uma pessoa de determinada
idade provavelmente ainda vai viver.
As tábuas têm denominações usando abreviatura, como AT (Annuity Table), mais o ano em que sua
constituição foi finalizada e qualquer outra diferenciação, por exemplo, o sexo do segurado ou se ele é ou
não fumante.
No Brasil, as mais utilizadas são as tábuas AT-83 Male (para mortalidade masculina) ou AT-83 Female
(para mortalidade feminina) e AT-2000 Male ou AT-2000 Female, mas ainda há planos de seguros que
utilizam astábuas CSO-58 (Commissioners Standard Ordinary Table) e SGB-71 (Seguro de Grupos
Brasileiros – Tábua deduzida da tábua básica da Experiência Brasileira EB 7-69).
A construção de uma tábua de mortalidade depende do conhecimento da taxa de mortalidade (q
x
) para
cada idade do grupo em estudo.
As tábuas de mortalidade se compõem, basicamente, de duas colunas, idade e probabilidade de morte,
mas podem, também, apresentar mais três elementos: número de mortos, número de sobreviventes e
probabilidade de sobrevivência. Vejamos a seguir, os símbolos universais utilizados nas tábuas para
representar tais elementos:
Onde:
x = idade;
l
x
= número de pessoas vivas ou pessoas sobreviventes com idade x;
d
x
= número de pessoas mortas com idade x, ou seja, número de pessoas que alcançaram a idade x mas
morreram antes de atingir a idade x + 1;
q
x
= probabilidade de uma pessoa com idade x morrer, obrigatoriamente, antes de atingir a idade x + 1; e
p
x
= probabilidade de uma pessoa com idade x sobreviver à idade x + 1, ou seja, é a probabilidade de uma
pessoa de idade x sobreviver, pelo menos, mais um ano (chegar vivo, obrigatoriamente, à idade x + 1).
UNIDADE 1 15
Denomina-se raiz da tábua o número inicial de pessoas de um determinado grupo a ser observado.
Por exemplo, l0 na tábua CSO-58 é 1.000.000 (ver tabela a seguir).
A seguir, um exemplo, para melhor entendimento da montagem de uma tábua:
Tábua de Mortalidade CSO-58
x q
x
p
x
l
x
d
x
0 0,007080 0,992920 1.000.000,00 7.080,00
1 0,001760 0,998240 992.920,00 1.747,54
2 0,001520 0,998480 991.172,46 1.506,58
3 0,001460 0,998540 989.665,88 1.444,91
... ... ... ... ...
40 0,003530 0,996470 924.135,63 3.262,20
41 0,003840 0,996160 920.873,43 3.536,15
42 0,004170 0,995830 917.337,27 3.825,30
43 0,004530 0,995470 913.511,98 4.138,21
44 0,004920 0,995080 909.373,77 4.474,12
45 0,005350 0,994650 904.899,65 4.841,21
46 0,005830 0,994170 900.058,44 5.247,34
47 0,006360 0,993640 894.811,10 5.691,00
48 0,006950 0,993050 889.120,10 6.179,38
49 0,007600 0,992400 882.940,71 6.710,35
50 0,008320 0,991680 876.230,36 7.290,24
51 0,009110 0,990890 868.940,13 7.916,04
52 0,009960 0,990040 861.024,08 8.575,80
53 0,010890 0,989110 852.448,28 9.283,16
54 0,011900 0,988100 843.165,12 10.033,66
55 0,013000 0,987000 833.131,46 10.830,71
56 0,014210 0,985790 822.300,75 11.684,89
57 0,015540 0,984460 810.615,85 12.596,97
58 0,017000 0,983000 798.018,88 13.566,32
59 0,018590 0,981410 784.452,56 14.582,97
60 0,020340 0,979660 769.869,59 15.659,15
... ... ... ... ...
90 0,228140 0,771860 46.817,42 10.680,93
91 0,245770 0,754230 36.136,49 8.881,27
92 0,265930 0,734070 27.255,23 7.247,98
93 0,289300 0,710700 20.007,24 5.788,10
94 0,316660 0,683340 14.219,15 4.502,64
95 0,351240 0,648760 9.716,51 3.412,83
96 0,400560 0,599440 6.303,69 2.525,00
97 0,488420 0,511580 3.778,68 1.845,58
98 0,668150 0,331850 1.933,10 1.291,60
99 1,000000 0,000000 641,50 641,50
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO16
Dependendo da tábua de mortalidade utilizada, a última idade poderá variar. No caso da tábua de mortalidade
CSO 58, utilizada no exemplo anterior, a última idade é 99 anos. A título ilustrativo, se a tábua de
mortalidade fosse a AT-49, essa idade seria 109 anos; se a tábua de mortalidade fosse a AT-2000, essa idade
seria 115 anos (ver p. 45 a 47); e se a tábua de mortalidade fosse a SGB-71, a última idade seria 100 anos.
Consultando a tábua de mortalidade CSO 58 Male, e interpretando o símbolo q
x
, podemos dizer que a
probabilidade de morte de uma pessoa de 40 anos, ou seja, a probabilidade de uma pessoa de 40 anos
morrer, obrigatoriamente, antes de atingir a idade de 41 anos é igual a 0,003530.
Podemos também calcular essa probabilidade (q40) utilizando as noções básicas de probabilidade e os
dados apresentados na tábua.
Demonstração
O aluno deve ter em mente que q
x
 é um número que representa uma probabilidade.
Logo, todas as noções apresentadas no início da apostila são válidas.
Assim, aplicando a fórmula de probabilidade vista anteriormente:
p = número de casos favoráveis
número de casos possíveis
q
x
 =
no de óbitos de pessoas com x anos de idade
no de pessoas vivas com idade igual a x anos
q
x
 =
d
x
l
x
q40 =
d40 
 = 
3.262,20
 =
l40 924.135,63
q40 = 0,00353 = 0,4%
Exemplo
Vamos entender o conceito e as fórmulas dos demais símbolos extraídos de uma
tábua de mortalidade.
d
x
 = número de pessoas mortas com idade x.
d
x 
é calculado pela diferença entre os sobreviventes de duas faixas de idade
consecutivas, o que pode ser representado pela seguinte fórmula:
d
x
 = l
x
 – l 
x + 1
UNIDADE 1 17
Assim, usando o exemplo anterior, considerando a idade de 40 anos (x = 40), podemos
calcular d40, se conhecermos l40 e l41 (consultar tábua CSO-58).
d40 = l40 – l41 = 924.135,63 – 920.873,43 = 3.262,20
Se por outro lado conhecêssemos o número de sobreviventes com idade 45 (l45) da
CSO-58 e o número de mortos com a idade 45 (d45), poderíamos encontrar o número
de sobreviventes com idade 46 (l46).
l
x+1 = lx – dx
l46 = l45 – d45 = 904.899,65 – 4.841,21= 900.058,44
Também pela noção de cálculo da probabilidade, podemos calcular p
x
, ou seja, a
probabilidade de uma pessoa de idade x sobreviver à idade x + 1.
p
x
 =
no de casos favoráveis
no de casos possíveis
O número de vivos com idade x é representado por l
x
, que retrata o número de casos
possíveis. De forma análoga, as pessoas que sobreviveram à idade x + 1 são
representadas por l
x+1, refletindo os casos favoráveis. Transportando para a fórmula
acima, temos que:
p
x
 = 
l
x + 1
 
l
x
Usando o exemplo anterior, temos que:
p40 = 
l41
 = 
920.873,43
 = 0,996470
 
 l40 924.135,63
Outra forma de calcular o p40 seria:
p
x
 = 1 – q
x
ou p
x 
+ q
x 
 = 1
p40 = 1 – q40
p40 = 1 – 0,003530
p40 = 0,996470 = 99,6%
Isso significa dizer que esses eventos (sobreviver ou morrer em 1 ano) são
complementares, ou seja, uma pessoa ou sobrevive ou morre antes de atingir a idade
seguinte. Neste caso, usando a Tábua CSO-58, uma pessoa de 40 anos tem 99,6%
de chance de sobreviver aos 41 anos ou 0,4% de morrer antes de fazer 41 anos.
A soma das probabilidades de 99,6% e 0,4% é igual a 100% ou 1.
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO18
Probabilidade para Períodos Superiores a um Ano
Os conceitos anteriores são úteis quando se deseja medir a probabilidade de morte ou de sobrevivência
para períodos iguais a 1 ano. Isso se aplica, por exemplo, nos casos de produtos de morte em que a
cobertura do seguro é de apenas 1 ano. Entretanto, em muitos casos, é comum existir produtos em que o
segurado está coberto pelo risco de morte por um período superior a 1 ano (imagine um Seguros de
Pessoas, com cobertura de morte, que cubra o risco de morte da pessoa por 20 anos). Logo, percebe-se
que o atuário precisará calcular probabilidades para períodos superiores a 1 ano. De forma bastante
análoga aos conceitos apresentados anteriormente, temos que:
n
p
x
 = probabilidade de uma pessoa de idade x sobreviver à idade x + n.
n
p
x
 = 
l
x + n
 
l
x
Note que n representa o número de anos que a pessoa de idade x irá sobreviver obrigatoriamente.
É importante saber que a pessoa poderá viver mais do que n anos, mas estamos interessados em medir a
probabilidade de essa pessoa viver, pelo menos, mais n anos.
Aplicação prática
Calcular a probabilidade de uma pessoa de 40 anos sobreviver à idade de 55 anos.
x = 40
n = 55 – 40 = 15
n
p
x
 =
l
x + n
l
x
15p40 =
l55
l40
15p40 =
833.131,46 
= 0,901525 = 90,15%
924.135,63
/nqx = probabilidade de uma pessoa de idade x morrer, obrigatoriamente, antesde atingir a idade x + n.
/n qx = 
l
x
 – l
x + n
 
l
x
UNIDADE 1 19
Aplicação prática
Qual a probabilidade de uma pessoa de 40 anos de idade morrer, obrigatoriamente,
antes de atingir a idade de 55 anos?
x = 40
n = 55 – 40 = 15
/nqx = ( lx – lx + n)
 l
x
/15q40 = ( l40 – l55)
 l40
/15q40 =
924.135,63 – 833.131,46
 924.135,63
/15q40 = 0,098475
Uma outra forma de calcular /15q40 é usando o conceito que vimos, anteriormente, sobre
eventos complementares, pois uma pessoa com uma determinada idade ou sobrevive
ou morre dentro de um período de n anos. Isto é: /15q40 + 15p40 = 1.
Assim: /15q40 = 1 – 15p40 = 1 – 0,901525 = 0,09847 ou 9,85%.
Ou seja, uma pessoa de 40 anos tem 90,15% de probabilidade de morrer antes de
atingir 55 anos ou 9,85% de probabilidade de sobreviver aos 55 anos. A soma dessas
probabilidades de 90,15% e 9,85% é 100% ou 1.
Regimes Financeiros
Os regimes financeiros são modelos que possibilitam estabelecer o equilíbrio entre as receitas (prêmios)
e despesas (sinistros pagos) de um plano de seguro ao longo de um determinado período de cobertura.
Em outras palavras, pode-se dizer que regime financeiro é a maneira pela qual o seguro será financiado.
Atenção
Para a cobertura por sobrevivência, o período de cobertura nada mais é do que o
prazo correspondente aos períodos de diferimento e/ou de pagamento do capital
segurado sob a forma de renda, enquanto que para as coberturas de risco, o período
de cobertura é aquele durante o qual o segurado ou os beneficiários, quando for
o caso, farão jus aos capitais segurados contratados.
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO20
Dependendo do regime financeiro adotado, o valor do prêmio cobrado pela seguradora poderá financiar
os sinistros ocorridos durante o período de competência do prêmio pago ou ser suficiente para cobrir um
período maior. Enquanto no primeiro caso não há acúmulo de recursos, no segundo caso a seguradora
deve provisionar uma parcela do prêmio pago para ser utilizada no futuro.
Existem três regimes financeiros: Repartição Simples, Repartição de Capitais de Cobertura
e Capitalização.
Regime Financeiro de Repartição Simples
Estrutura técnica em que os prêmios pagos por todos os segurados do plano, em um determinado período,
destinam-se ao custeio das despesas de administração e das indenizações a serem pagas no próprio
período. Em outras palavras, os valores arrecadados ao longo dos períodos são destinados aos pagamentos
de indenizações referentes a eventos que ocorram no âmbito do grupo segurado e não à acumulação
individual de cada segurado.
Esse regime financeiro é utilizado para estruturar as coberturas de risco sempre que seus capitais
segurados forem pagos à vista, como, por exemplo:
• Planos de Previdência – pecúlio por morte ou pecúlio por invalidez; e
• Seguros de Pessoas – cobertura de morte qualquer causa ou de morte acidental no Seguro de Vida
em grupo.
Regime Financeiro de Repartição de Capitais de Cobertura
Estrutura técnica em que os prêmios pagos por todos os segurados do plano, em um determinado período,
deverão ser suficientes para constituir as Provisões Matemáticas de Benefícios Concedidos decorrentes
dos eventos ocorridos nesse período.
Esse regime financeiro é utilizado para estruturar as coberturas de risco sempre que seus capitais
segurados forem pagos sob a forma de renda, como, por exemplo:
• Planos de Previdência – renda mensal vitalícia por invalidez ou pensão por morte; e
• Seguros de Pessoas – cobertura de invalidez permanente total por doença (IPD), quando paga em
até 24 parcelas no Seguro de Vida em grupo.
UNIDADE 1 21
Regime Financeiro de Capitalização
Estrutura técnica que prevê acumulação de recursos em um primeiro momento, para fazer face aos
compromissos futuros com o pagamento de sinistros.
Esse regime financeiro pode ser utilizado para estruturar qualquer cobertura (de risco ou de
sobrevivência) e sob qualquer forma de pagamento (único ou sob a forma de renda), sendo que a
cobertura por sobrevivência é obrigatoriamente estruturada no regime financeiro de capitalização.
São exemplos de planos:
• Planos de Previdência – pecúlio por morte ou pecúlio por invalidez ou aposentadoria (renda mensal
vitalícia por sobrevivência); e
• Seguros de Pessoas – Dotal Puro, Dotal Misto, Seguro a Termo ou Seguro de Vida Inteira (cobertura
de morte).
A tabela a seguir apresenta um resumo dos tipos de planos e dos regimes financeiros adotados:
Pecúlio por Morte ou por Invalidez é o pagamento à vista que o beneficiário
ou o próprio segurado recebe em função da morte ou da invalidez do segurado.
Pode-se notar que a diferença básica entre os regimes de repartição simples e repartição de capitais de
cobertura está na forma de pagamento do capital segurado.
Ambos são utilizados para estruturar planos com coberturas de risco (morte ou invalidez, por exemplo),
mas quando o capital segurado é pago à vista, utiliza-se o regime financeiro de repartição simples, e
quando o capital segurado é pago sob a forma de renda, utiliza-se o regime financeiro de repartição de
capitais de cobertura.
A diferença é que no regime de repartição de capitais de cobertura é necessário que a seguradora separe
recursos numa provisão técnica, denominada Provisão Matemática de Benefícios Concedidos para o equilíbrio
da operação. Essa provisão é necessária para que a seguradora possa cumprir com a obrigação de pagar o
benefício em parcelas durante o período determinado no plano (vitalício, temporário etc).
É importante registrar que as nomenclaturas utilizadas foram as de seguro (prêmios, sinistros e
capital segurado), devendo ser observado que para Previdência Complementar os conceitos
apresentados sobre os regimes financeiros também são válidos, devendo-se trocar as nomenclaturas
para contribuição e benefícios.
Regime Financeiro
Repartição Repartição
Simples de Capitais de
Cobertura Capitalização
Pecúlio por Morte ou por Invalidez X X
Renda paga em função da Morte ou da Invalidez X X
Benefício por Sobrevivência pago à vista ou sob a forma de renda X
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO22
Da tabela anterior, pode-se observar, por exemplo, que um plano de seguro que pague uma indenização à
vista, em função da morte do segurado, pode ser estruturado no regime financeiro de repartição simples
ou de capitalização. A seguir, a diferença entre essas duas estruturas.
Imaginemos, por exemplo, uma pessoa com 20 anos de idade que deseje contratar esse tipo de plano.
Suponhamos, ainda, que o objetivo dessa pessoa é ficar coberta pelo risco de morte vitaliciamente, com
um capital segurado de R$ 100.000,00.
Apresentaremos, a seguir, a evolução anual do prêmio nos dois regimes financeiros, desde a idade de 20
anos até a idade de 65 anos, com base na tábua de mortalidade SGB-71. Enfatizamos que a cobertura não
se encerra, obrigatoriamente, aos 65 anos, mas, para fins didáticos, limitaremos-nos a apresentar a evolução
dos prêmios até essa idade, bem como a calcular os prêmios de forma anual (pagos uma vez por ano),
apesar de o usual ser o pagamento mensal.
Evolução do Prêmio do Seguro por Morte
capitalização repartição simples
Do gráfico acima, percebe-se que o valor do prêmio pago no regime financeiro de capitalização fica
constante (nivelado) durante todo o tempo, enquanto no regime financeiro de repartição simples ele
cresce à medida que a pessoa envelhece. Pode-se dizer que o regime de repartição simples
representa, em cada idade, o custo do risco de morte a que o segurado está exposto. Logo, aos
20 anos de idade esse custo é de R$ 193,20, enquanto aos 65 anos esse custo sobe para R$ 3.979,90.
A título ilustrativo, esse custo de R$ 193,20 para a idade de 20 anos foi calculado multiplicando-se a
probabilidade de uma pessoa de 20 anos morrer, obrigatoriamente, antesde atingir 21 anos (0,001932 –
probabilidade dada pela tábua de mortalidade SGB-71), pelo capital segurado (R$ 100.000,00). Procedimento
análogo foi feito para as outras idades.
Em contrapartida, o cálculo do prêmio para o regime financeiro de capitalização envolve cálculos mais
complexos, que não serão abordados neste material.
Outro ponto bastante importante é que o valor inicial do prêmio no regime financeiro de capitalização é
bem maior do que no regime financeiro de repartição; todavia, a partir de determinada idade (44 anos)
isso se inverte.
O que se pretende mostrar é que não existe mágica, ou seja: se a pessoa quiser pagar o mesmo preço ao
longo de toda sua vida, deverá pagar mais no início, para que parte do que ela pagou seja utilizada no
futuro, quando o custo da sua morte for superior àquilo que ela estiver pagando naquele momento.
UNIDADE 1 23
 Regime Financeiro
Idade Capitalização Repartição Simples
20 561,41 193,20
21 561,41 193,90
22 561,41 194,60
23 561,41 194,60
24 561,41 194,90
25 561,41 195,30
26 561,41 197,20
27 561,41 197,80
28 561,41 202,20
29 561,41 204,10
30 561,41 209,90
31 561,41 215,70
32 561,41 222,60
33 561,41 233,30
34 561,41 248,90
35 561,41 266,20
36 561,41 287,60
37 561,41 311,80
38 561,41 341,70
39 561,41 376,10
40 561,41 413,40
41 561,41 456,60
42 561,41 505,00
43 561,41 556,50
44 561,41 612,40
45 561,41 673,40
46 561,41 744,30
47 561,41 814,60
48 561,41 895,10
49 561,41 981,10
50 561,41 1.076,30
51 561,41 1.180,30
52 561,41 1.294,80
53 561,41 1.419,50
54 561,41 1.555,70
55 561,41 1.702,40
56 561,41 1.863,30
57 561,41 2.035,80
58 561,41 2.217,30
59 561,41 2.408,90
60 561,41 2.612,80
61 561,41 2.840,20
62 561,41 3.090,80
63 561,41 3.364,00
64 561,41 3.657,70
65 561,41 3.979,90
Obs.: valores expressos em reais.
Por fim, é importante deixar claro que não existe plano que seja melhor do que o outro. Cabe ao corretor
de seguros a tarefa de informar aos segurados as características de cada modelo e avaliar, junto com o
segurado, o plano que seja mais indicado para o perfil daquela pessoa.
Apresentamos, abaixo, os valores dos prêmios para cada idade.
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO24
Observação
Devido à natureza do regime financeiro de repartição simples e de repartição de
capitais de cobertura, os planos estruturados nesses regimes não permitem concessão
de resgate, saldamento, seguro prolongado ou devolução de quaisquer prêmios pagos,
uma vez que cada prêmio pago é destinado ao custeio das despesas de administração
e das indenizações a serem pagas no próprio período. Com isso, os segurados ou
beneficiários só terão direito a alguma indenização em caso de sinistro.
Já as coberturas de risco estruturadas no regime financeiro de capitalização podem
prever a possibilidade de resgate. Nesses casos, haverá formação da provisão
matemática de benefícios a conceder com base nos prêmios pagos, capitalizados
atuarialmente, após o desconto das importâncias relativas às despesas de corretagem,
colocação e administração do plano, e à parcela do prêmio destinada à cobertura de
risco que o segurado está exposto. Portanto, deve ficar claro para os segurados que o
resgate, nesses casos, corresponderá a um valor calculado atuarialmente, que não
representará o somatório dos prêmios pagos.
Somente os prêmios destinados à cobertura por sobrevivência dão direito, obrigatoriamente,
a resgate.
As seguintes definições são importantes e aparecem comumente nas condições gerais e regulamentos de
planos de Seguros de Pessoas e Previdência:
• a provisão matemática de benefícios a conceder deve abranger os compromissos assumidos pela
sociedade seguradora com os segurados, enquanto não iniciado o evento gerador do pagamento da
indenização; e
• a provisão matemática de benefícios concedidos corresponde ao valor atual da indenização cujo
evento gerador já tenha ocorrido.
Acúmulo individual
de recursos
Tipo de benefício e
prazo de pagamento
Prazo de pagamento
do benefício
Evolução do prêmio
Possibilidade de resgate
Quadro Resumo
Repartição Simples
Não há
Coberturas de risco por
morte e invalidez
Pago à vista
Cresce conforme o risco.
Quanto mais velho,
mais alto o prêmio
Não permite
Repartição de Capitais
de Cobertura
Não há
Coberturas de risco por
morte e invalidez
Pago na forma de renda
Cresce conforme o risco.
Quanto mais velho,
mais alto o prêmio
Não permite
Capitalização
Há
Coberturas de risco por
morte e invalidez ou
por sobrevivência
Pago à vista ou na forma
de renda
Constante ou nivelado
durante o tempo do
contrato
Se cobertura de risco:
facultativo. Se cobertura de
sobrevivência: obrigatória
Fi
xa
n
d
o
 C
o
n
ce
it
o
s
25FIXANDO CONCEITOS 1
Analise as proposições a seguir e depois marque a alternativa correta
[1] Sobre espaço amostral, evento e probabilidade, é correto afirmar que:
I. Espaço amostral também é conhecido como espaço das possibilidades.
II. Evento é o próprio espaço amostral.
III. A probabilidade de ocorrência de um determinado evento está compreendida no intervalo [0,1].
IV. Se a probabilidade associada à ocorrência de um evento for igual a zero, dizemos tratar-se de um
evento certo.
Agora assinale a alternativa correta:
(a) Somente I é proposição verdadeira.
(b) Somente III é proposição verdadeira.
(c) Somente I e III são proposições verdadeiras.
(d) Somente II e III são proposições verdadeiras.
(e) Somente II, III e IV são proposições verdadeiras.
[2] A probabilidade de que no lançamento de dois dados o produto das faces sorteadas seja igual a 12 é de:
(a) 0,040
(b) 0,056
(c) 0,111
(d) 0,167
(e) 0,250
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO26
Analise as proposições a seguir e depois marque a alternativa correta
[3] Sobre as noções elementares de probabilidade, é correto afirmar que:
I. Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento.
II. Um evento é dito certo quando a probabilidade associada à ocorrência desse evento é nula.
III. A probabilidade de ocorrência de um evento é representada por um número entre zero e um.
IV. A fórmula matemática para cálculo da probabilidade é p = número de casos possíveis .
número de casos favoráveis
Agora assinale a alternativa correta:
(a) Somente I é proposição verdadeira.
(b) Somente I e II são proposições verdadeiras.
(c) Somente I e III são proposições verdadeiras.
(d) Somente III e IV são proposições verdadeiras.
(e) Somente I, III e IV são proposições verdadeiras.
[4] A probabilidade de perda de um automóvel, considerando que a seguradora calculou a esperança
matemática em R$ 900,00, que o fator de desconto utilizado foi de 0,9434 e que o valor do bem é de
R$ 10.000,00, é de:
(a) 0,0805
(b) 0,0849
(c) 0,0900
(d) 0,0954
(e) 0,1000
[5] Na equação x = prêmio puro + margem para despesas + margem de lucro, podemos afirmar
que x representa o:
(a) Valor da indenização a ser pago pela seguradora ao segurado.
(b) Valor médio do sinistro.
(c) Valor da comissão de corretagem.
(d) Preço do seguro.
(e) Valor a ser recebido pela seguradora para custear apenas os sinistros.
[6] Sabendo-se que o prêmio puro é igual a R$ 125,00, a comissão de corretagem sobre o prêmio comercial
é de 20% e o carregamento para as despesas administrativas e lucro da seguradora é de 15%, calcule o
prêmio comercial:
FIXANDO CONCEITOS 1 27
Analise as proposições a seguir e depois marque a alternativa correta
[7] Sobre esperança matemática e tábuas de mortalidade, é correto afirmar que:
I. A esperança matemática, em seguro, também pode ser chamada de prêmio comercial.
II. A raiz da tábua é o número de sobreviventes com 60 anos de um grupo segurado.
III. As tábuas de mortalidade são instrumentos destinados a medir as probabilidadesde aposentadoria
de um determinado empregado.
IV. A probabilidade de ocorrência do evento determinado é considerada no cálculo do valor da esperança
matemática.
Agora assinale a alternativa correta:
(a) Somente I é proposição verdadeira.
(b) Somente II é proposição verdadeira.
(c) Somente IV é proposição verdadeira.
(d) Somente II e III são proposições verdadeiras.
(e) Somente II, III e IV são proposições verdadeiras.
[8] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 40 anos morrer antes de atingir a idade de 41 anos, usando
os números de mortos e de sobreviventes da tábua AT-2000 MALE (constante do Anexo 1).
[9] Calcular o número de mortes com idade 40 anos, usando o número de sobreviventes da tábua AT-2000
MALE (constante do Anexo 1).
[10] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 40 anos sobreviver aos 41 anos, usando os números de
sobreviventes da tábua AT-2000 MALE (constante do Anexo 1).
[11] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 40 anos sobreviver aos 41 anos, usando a probabilidade
de morte calculada na questão 8.
[12] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 40 anos sobreviver aos 55 anos, usando os números de
sobreviventes da tábua AT-2000 MALE (constante do Anexo 1).
[13] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 40 anos morrer antes de atingir a idade de 55 anos,
usando os números de sobreviventes da tábua AT-2000 MALE (constante do Anexo 1).
[14] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 40 anos morrer antes de atingir a idade de 55 anos,
usando a probabilidade de sobrevivência calculada na questão 12.
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO28
[15] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 40 anos morrer obrigatoriamente antes de atingir a idade
de 55 anos, sabendo-se que:
a) o número de sobreviventes com 40 anos é 935.000 e o número de sobreviventes com 55 anos é
835.000.
b) a probabilidade de uma pessoa de 40 anos sobreviver aos 55 anos de idade é 0,918553.
[16] Considerando que o número de vivos com 45 anos é 900.000 e com 52 anos é 820.000, e, ainda, que
o número de mortes com 52 anos é 9.000, calcule a probabilidade de uma pessoa de 45 anos sobreviver
até a idade de 53 anos.
[17] Os tipos de regime financeiro que existem são:
(a) Repartição simples e repartição composta.
(b) Repartição simples e repartição de capitais de cobertura.
(c) Repartição simples, repartição composta e capitalização.
(d) Repartição simples e capitalização composta.
(e) Repartição simples, repartição de capitais de cobertura e capitalização.
Analise as proposições a seguir e depois marque a alternativa correta
[18] Sobre regime financeiro, é correto afirmar que:
I. Os planos estruturados nos regimes de repartição de capitais de cobertura permitem concessão de
resgate, saldamento, seguro prolongado ou devolução de quaisquer prêmios pagos.
II. Os planos estruturados nos regimes de repartição simples não permitem concessão de resgate,
saldamento, seguro prolongado ou devolução de quaisquer prêmios pagos.
III. Os planos de sobrevivência estruturados nos regimes de capitalização permitem concessão de resgate,
saldamento, seguro prolongado ou devolução de quaisquer prêmios pagos.
Agora assinale a alternativa correta:
(a) Somente I é proposição verdadeira.
(b) Somente II é proposição verdadeira.
(c) Somente III é proposição verdadeira.
(d) Somente I e III são proposições verdadeiras.
(e) Somente II e III são proposições verdadeiras.
FIXANDO CONCEITOS 1 29
[19] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 53 anos morrer antes de atingir a idade de 54 anos,
usando os números de mortos e de sobreviventes da tábua CSO-58.
[20] Calcular o número de mortes com idade 57 anos, usando os números de sobreviventes da tábua
CSO-58.
[21] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 53 anos sobreviver aos 54 anos, usando os números de
sobreviventes da tábua CSO-58.
[22] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 53 anos sobreviver aos 54 anos, usando a probabilidade
de morte calculada no exercício 19.
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO30
[23] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 49 anos sobreviver aos 65 anos, usando os números de
sobreviventes da tábua CSO-58.
[24] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 49 anos morrer antes de atingir a idade de 65 anos,
usando os números de sobreviventes da tábua CSO-58.
[25] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 49 anos morrer antes de atingir a idade de 65 anos,
usando a probabilidade de sobrevivência calculada no exercício 23 acima.
Pr
ec
if
ic
aç
ão
 d
o
 S
eg
u
ro
UNIDADE 2 31
PRECIFICAÇÃO DO SEGURO
Fatores que Influenciam no Cálculo do
Preço dos Seguros de Pessoas e de
Previdência Complementar
Seguros de Pessoas – Cobertura por Morte Qualquer Causa
Aescolha do regime financeiro, para seguro em caso de morte, afeta diretamente os valores dosprêmios ao longo de vigência do contrato. Entretanto, será que se tivéssemos adotado outratábua de mortalidade, em vez da tábua SGB-71, os valores seriam diferentes?
A resposta para essa pergunta é sim, e isso se deve ao fato de a probabilidade de morte, componente
principal no custo do seguro, associada a cada tábua ser diferente. Consequentemente, para cada tábua
associa-se uma diferente expectativa de vida, cujo conceito está relacionado a quantos anos, em média,
viverá cada componente que forma o grupo.
Utiliza-se a expectativa de vida ou esperança de vida, ou ainda vida média, entre outras finalidades, para
se avaliar comparativamente duas ou mais tábuas de mortalidade.
No caso do exemplo anterior, conforme pode se observar na tabela a seguir, a pessoa de 20 anos, pela
tábua SGB-71, tem uma expectativa de viver mais 47,70 anos, enquanto que, pela tábua de mortalidade
AT-2000 Male, essa expectativa é de 62,01 anos.
2
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO32
q
x
Expectativa
de Vida ( )
0,000505 59,50
0,000525 58,53
0,000546 57,56
0,000570 56,59
0,000596 55,63
0,000622 54,66
0,000650 53,69
0,000677 52,73
0,000704 51,76
0,000731 50,80
0,000759 49,83
0,000786 48,87
0,000814 47,91
0,000843 46,95
0,000876 45,99
0,000917 45,03
0,000968 44,07
0,001032 43,11
0,001114 42,15
0,001216 41,20
0,001341 40,25
0,001492 39,30
0,001673 38,36
0,001886 37,43
0,002129 36,50
0,002399 35,57
0,002693 34,66
0,003009 33,75
0,003343 32,85
0,003694 31,96
0,004057 31,07
0,004431 30,20
0,004812 29,33
0,005198 28,47
0,005591 27,62
0,005994 26,77
0,006409 25,93
0,006839 25,09
0,007290 24,26
0,007782 23,44
0,008338 22,62
0,008983 21,80
0,009740 20,99
0,010630 20,20
0,011664 19,41
0,012851 18,63
AT-83 Male
q
x
Expectativa
de Vida ( )
0,001932 47,70
0,001939 46,79
0,001946 45,88
0,001946 44,97
0,001949 44,06
0,001953 43,14
0,001972 42,22
0,001978 41,31
0,002022 40,39
0,002041 39,47
0,002099 38,55
0,002157 37,63
0,002226 36,71
0,002333 35,79
0,002489 34,87
0,002662 33,96
0,002876 33,05
0,003118 32,14
0,003417 31,24
0,003761 30,35
0,004134 29,46
0,004566 28,58
0,005050 27,71
0,005565 26,85
0,006124 25,99
0,006734 25,15
0,007443 24,32
0,008146 23,50
0,008951 22,68
0,009811 21,88
0,010763 21,10
0,011803 20,32
0,012948 19,56
0,014195 18,81
0,015557 18,07
0,017024 17,35
0,018633 16,64
0,020358 15,95
0,022173 15,27
0,024089 14,60
0,026128 13,95
0,028402 13,31
0,030908 12,69
0,033640 12,08
0,036577 11,48
0,039799 10,89
SGB-71
x q
x
Expectativa
de Vida ( )
20 0,000499 62,01
21 0,000519 61,04
22 0,000542 60,07
23 0,000566 59,10
24 0,000592 58,14
25 0,000616 57,17
26 0,000639 56,20
27 0,000659 55,24
28 0,000675 54,28
29 0,000687 53,31
30 0,000694 52,35
31 0,000699 51,38
32 0,000700 50,42
33 0,000701 49,46
34 0,000702 48,49
35 0,000704 47,52
36 0,000719 46,56
37 0,000749 45,59
38 0,000796 44,62
39 0,000864 43,66
40 0,000953 42,70
41 0,001065 41,74
42 0,001201 40,78
43 0,001362 39,83
44 0,001547 38,8845 0,001752 37,94
46 0,001974 37,01
47 0,002211 36,08
48 0,002460 35,16
49 0,002721 34,24
50 0,002994 33,34
51 0,003279 32,43
52 0,003576 31,54
53 0,003884 30,65
54 0,004203 29,77
55 0,004534 28,89
56 0,004876 28,02
57 0,005228 27,16
58 0,005593 26,30
59 0,005988 25,44
60 0,006428 24,59
61 0,006933 23,75
62 0,007520 22,91
63 0,008207 22,08
64 0,009008 21,26
65 0,009940 20,45
AT-2000 Male
q
x
Expectativa
de Vida ( )
0,000624 54,23
0,000648 53,27
0,000674 52,30
0,000702 51,33
0,000733 50,37
0,000768 49,41
0,000806 48,44
0,000849 47,48
0,000896 46,52
0,000947 45,56
0,001004 44,61
0,001067 43,65
0,001136 42,70
0,001213 41,75
0,001297 40,80
0,001391 39,85
0,001494 38,90
0,001607 37,96
0,001733 37,02
0,001872 36,08
0,002025 35,15
0,002220 34,22
0,002481 33,30
0,002804 32,38
0,003187 31,47
0,003625 30,57
0,004116 29,68
0,004657 28,80
0,005246 27,93
0,005880 27,07
0,006557 26,23
0,007277 25,40
0,008038 24,58
0,008840 23,78
0,009682 22,99
0,010565 22,20
0,011491 21,44
0,012460 20,68
0,013476 19,93
0,014542 19,20
0,015662 18,48
0,016869 17,76
0,018199 17,06
0,019666 16,37
0,021283 15,68
0,023066 15,01
AT-49 Male
UNIDADE 2 33
Dessa forma, caso tivéssemos utilizado a tábua de mortalidade AT-2000 Male, no exemplo do Prêmio do
Seguro por Morte apresentado na unidade anterior, os valores iniciais seriam R$ 243,28 para o regime
financeiro de capitalização e R$ 49,90 para o regime financeiro de repartição simples, valores esses bem
inferiores aos R$ 561,41 e R$ 193,20, obtidos com a Tábua SGB-71.
Portanto, percebe-se que a escolha da tábua de mortalidade é fundamental para o preço do seguro e para
a solvência da seguradora, bastando, para isso, que se imagine a situação a seguir.
Suponha, por hipótese, que as pessoas com 20 anos de idade irão sobreviver, obrigatoriamente, em média,
mais 47,70 anos. Portanto, o correto, tecnicamente, seria que as seguradoras estruturassem seus produtos
com base em tábuas de mortalidade que tivessem, no máximo, 47,70 anos de expectativa de vida para a
idade de 20 anos.
Entretanto, uma determinada sociedade seguradora, com o intuito de aumentar suas vendas, desenhou o
seu produto utilizando a tábua de mortalidade AT-2000 Male. O que irá ocorrer com essa sociedade
seguradora? Apesar de ter vendido mais do que seus concorrentes, pois o seu preço é mais baixo,
possivelmente ela terá um problema de solvência, pois as pessoas começaram a morrer muito antes do
que ela imaginou. A sociedade seguradora pagará muito mais sinistros do que aquilo que ela efetivamente
imaginou, ou seja, tudo que ela arrecadou de prêmios não será suficiente para pagar por todos os sinistros
ocorridos.
Previdência Complementar – Renda Mensal Vitalícia Imediata
(Anuidade Imediata Vitalícia)
Suponha que uma pessoa de 60 anos de idade queira saber quanto que a sociedade seguradora cobra
para lhe pagar uma renda mensal vitalícia de R$ 1.000,00 (utiliza-se, também, a denominação Anuidade
Imediata Vitalícia de R$ 1.000,00). Se a sociedade seguradora fizer os seus cálculos pela SGB-71, essa
pessoa de 60 anos deverá desembolsar R$ 166.786,81; enquanto se os cálculos forem feitos pela
AT-2000 Male, esse valor a ser desembolsado subirá para R$ 294.501,79. Em ambos os casos, foi
considerada a taxa de juros de 0% a.a., a qual será objeto de discussão mais à frente.
Novamente, a explicação é bastante intuitiva, pois aos 60 anos a pessoa tem uma expectativa de vida de
mais 13,95 anos pela SGB-71 e de 24,59 anos pela AT-2000 Male. Logicamente, se a sociedade seguradora
tiver cobrado pela SGB-71, e o segurado viver pela AT-2000 Male, haverá falta de recursos, o que
poderá ocasionar a insolvência da sociedade seguradora.
Por fim, no caso das rendas pagas em função da sobrevivência, um outro fator é bastante determinante
no preço: a taxa de juros.
Imagine um plano de Previdência Complementar Aberta com cobertura por sobrevivência que fosse
contratado hoje, adotando como premissas a tábua de mortalidade AT-49 Male e a taxa de juros de
4% a.a.. Conforme pode ser visto na tabela a seguir, o valor necessário de provisão matemática
de benefícios a conceder para pagar R$ 1.000,00 de renda mensal vitalícia a uma pessoa de 60 anos
é de R$ 147.366,02. Se, no momento de concessão da renda, a taxa de juros reais da economia brasileira
for, por exemplo, 2% a.a., e a expectativa de vida de uma pessoa de 60 anos de idade tiver como
parâmetro, por exemplo, a tábua de mortalidade AT-83 Male, haverá um descasamento da ordem de
R$ 63.000,00.
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO34
Provisão em função da tábua biométrica e da taxa de juros
Provisão matemática de benefícios a conceder necessária para pagar R$ 1.000,00 de
renda mensal vitalícia a uma pessoa de 60 anos de idade.
AT-49 Male AT-83 Male AT-2000 Male
0% a.a. 221.106,41 270.785,15 294.501,79
1% a.a. 197.774,71 237.759,15 256.268,96
2% a.a. 178.158,84 210.663,01 225.266,37
3% a.a. 161.542,31 188.222,50 199.866,59
4% a.a. 147.366,02 169.470,62 178.851,57
5% a.a. 135.188,36 153.666,98 161.300,96
6% a.a. 124.659,13 140.239,90 146.512,99
A tabela acima nos permite concluir que:
1. para uma determinada tábua de mortalidade, quanto maior a taxa de juros, menor o montante necessário
que se deve acumular para pagar o mesmo valor de benefício; e
2. para uma determinada taxa de juros, quanto maior a expectativa de vida, maior o montante necessário
que se deve acumular para pagar o mesmo valor de benefício. A título de exemplo, a tábua de mortalidade
AT-49 Male tem uma expectativa de vida, aos 60 anos, igual a 18,48 anos; enquanto a AT-83 Male tem
uma expectativa de vida igual a 22,62 anos e a AT-2000 Male, uma expectativa de vida igual a
24,59 anos.
Resumo
Fatores que influenciam o preço do Seguros de Pessoas e Previdência, com
coberturas de risco:
• regime financeiro; e
• tábua de mortalidade.
Fatores que influenciam o preço de anuidades:
• tábua de mortalidade; e
• taxa de juros.
Fi
xa
n
d
o
 C
o
n
ce
it
o
s
35FIXANDO CONCEITOS 2
[1] Se a seguradora adotar o regime financeiro de capitalização para calcular o prêmio do seguro por
morte ao longo da vigência do seguro, ela vai encontrar um valor de prêmio diferente caso adotasse o
regime financeiro de repartição simples? Por quê?
[2] Dizer que a expectativa de vida de uma pessoa de 45 anos pela Tábua AT-2000 Male é 37,94
significa que:
(a) A probabilidade de ela morrer antes de atingir 46 anos é 37,94%.
(b) A probabilidade de ela sobreviver à idade de 46 anos é 37,94%.
(c) Pela tábua AT-2000 Male, acredita-se que ela vai sobreviver 37,94 anos.
(d) A probabilidade de ela morrer antes de atingir 115 anos é 37,94%.
(e) Ela vai sobreviver exatamente 37,94 anos.
[3] O preço que a seguradora cobra (ou a provisão matemática necessária) para pagar uma anuidade
imediata, num determinado valor ao segurado, depende:
(a) Somente da expectativa de vida.
(b) Do regime financeiro usado para calcular o prêmio.
(c) Da tábua de mortalidade e do regime financeiro usados para estimar o prêmio.
(d) Da tábua de mortalidade e da taxa de juros considerados para esse cálculo.
(e) Somente da taxa de juros considerada nesse cálculo.
[4] Consultando a tabela da página 31, o montante necessário que uma seguradora deve cobrar de um
segurado de 60 anos, para pagar uma renda mensal vitalícia imediata de R$ 10.000,00 (dez mil reais) a
esse segurado, considerando que a mortalidade deve seguir a Tábua AT-83 Male e a taxa de juros é de
4% a.a., é de:
(a) R$ 147.366,02
(b) R$ 169.470,62
(c) R$ 1.473.660,20
(d) R$ 1.694.706,20
(e) R$ 1.788.515,70
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO36
[5] Consultando a expectativa de vida das tábuas AT-2000 Male e AT-83 Male, responda as questões
a seguir:
(a) Qual a expectativa de vida aos 20 anos da Tábua AT-2000 Male?
(b) Qual a expectativade vida aos 20 anos da Tábua AT-83 Male?
(c) Qual a expectativa de vida aos 45 anos da Tábua AT-2000 Male?
(d) Qual a expectativa de vida aos 45 anos da Tábua AT-83 Male?
(e) Qual a expectativa de vida aos 60 anos da Tábua AT-2000 Male?
(f) Qual a expectativa de vida aos 60 anos da Tábua AT-83 Male?
[6] Complete de forma a tornar verdadeira a seguinte afirmação:
Se a AT-2000 Male é uma tábua cuja expectativa de vida é ________ do que a da Tábua AT-83 Male,
então a provisão matemática necessária para pagar o mesmo valor de benefício vitaliciamente, considerando
uma mesma taxa de juros com a tábua AT-2000 Male, é ____________ necessária se utilizada a tábua
AT-83 Male.
(a) maior/igual àquela
(b) maior/maior do que aquela
(c) menor/maior do que aquela
(d) menor/igual àquela
(e) maior/menor do que aquela
Te
st
an
d
o
 C
o
n
h
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en
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s
37TESTANDO CONHECIMENTOS
[1] Uma pessoa espera ganhar um prêmio de R$ 10.000,00, e a probabilidade de ganhá-lo é de 0,3.
Calcule o valor a ser investido, desconsiderando o fator de desconto.
[2] As tábuas de mortalidades são instrumentos destinados a medir:
(a) A probabilidade de invalidez total e permanente por doença.
(b) A probabilidade de doença.
(c) Somente a probabilidade de morte.
(d) Somente a probabilidade de sobrevivência.
(e) A probabilidade de sobrevivência e de morte.
[3] A construção de uma tábua de mortalidade depende de uma taxa em especial, que é a:
(a) Taxa de invalidez.
(b) Taxa de juros.
(c) Taxa de correção monetária.
(d) Taxa de mortalidade.
(e) Taxa pura.
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO38
[4] Calcule a probabilidade de uma pessoa de 42 anos sobreviver à idade de 55 anos, sabendo-se que:
l54 = 84.317; l55 = 83.311; e l42 = 91.731.
[5] Considerando os dados da questão anterior, calcule a probabilidade de a pessoa de 42 anos morrer,
obrigatoriamente, antes de atingir a idade de 55 anos.
[6] Calcule a probabilidade de uma pessoa de 55 anos sobreviver à idade de 56 anos, utilizando, para isso,
as tábuas de mortalidade CSO-58 e AT-2000 Male.
[7] Calcular a probabilidade de uma pessoa de 3 anos sobreviver à idade de 55 anos, tomando-se por base
as informações da tábua de mortalidade CSO-58.
TESTANDO CONHECIMENTOS 39
[8] Analise as proposições a seguir:
I. Existem dois regimes financeiros.
II. O regime de repartição é utilizado para estruturar benefício por sobrevivência.
III. O regime de repartição de capitais de cobertura é utilizado para estruturar coberturas de risco
quando os capitais segurados forem pagos sob a forma de renda.
Agora marque a alternativa correta:
(a) Somente a proposição I é verdadeira.
(b) Somente a proposição II é verdadeira.
(c) Somente a proposição III é verdadeira.
(d) Somente as proposições I e II são verdadeiras.
(e) Somente as proposições I e III são verdadeiras.
[9] Analise as proposições a seguir:
I. Existem três métodos de tarifação.
II. O método de tarifação julgamento ou subjetivo é utilizado quando não se tem informação suficiente
no processo de tarifação.
III. O método de tarifação tábua de mortalidade é utilizado nos Seguros de Pessoas e de Anuidades.
Agora marque a alternativa correta:
(a) Somente a proposição I é verdadeira.
(b) Somente a proposição II é verdadeira.
(c) Somente a proposição III é verdadeira.
(d) Somente as proposições I e II são verdadeiras.
(e) Somente as proposições II e III são verdadeiras.
[10] Analise as proposições a seguir:
I. A tábua de mortalidade não tem influência no preço do Seguros de Pessoas com cobertura de morte.
II. Para uma determinada tábua de mortalidade, quanto maior a taxa de juros, menor o montante
necessário que se deve acumular para pagar o mesmo valor de benefício.
III. Para uma determinada taxa de juros, quanto maior a expectativa de vida, maior o montante necessário
que se deve acumular para pagar o mesmo valor de benefício.
(a) Somente a proposição I é verdadeira.
(b) Somente a proposição II é verdadeira.
(c) Somente a proposição III é verdadeira.
(d) Somente as proposições I e II são verdadeiras.
(e) Somente as proposições II e III são verdadeiras.
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO40
[11] Calcule o prêmio puro, sabendo-se que o prêmio de risco é igual a R$ 100,00 e o carregamento de
segurança estatístico (θ), 10%.
[12] Sabendo-se que o prêmio comercial é igual a R$ 137,50 e que o prêmio puro é igual a R$ 110,00,
calcule o carregamento para as despesas da seguradora (α).
[13] Sabendo-se que o prêmio comercial é igual a R$ 200,00, que o carregamento para as despesas da
seguradora (α) é igual a 45% e que o prêmio de risco é igual a R$ 100,00, calcule o carregamento
de segurança estatístico (θ).
[14] Calcule o número de sobreviventes com 44 anos, sabendo-se que o número de mortes com 44 anos
é 4.474,12 e que a probabilidade de uma pessoa de 44 anos falecer antes de atingir 45 anos é 0,004920.
TESTANDO CONHECIMENTOS 41
[15] Calcule o número de mortes com 57 anos, sabendo-se que o número de sobreviventes com 57 anos
é 810.615,85 e a probabilidade de uma pessoa de 57 anos falecer antes de atingir 58 anos é 0,015540.
[16] Calcule a probabilidade de uma pessoa de 42 anos sobreviver aos 43 anos, sabendo-se que o número
de mortes com 42 anos é 3.825,30 e o número de sobreviventes com 42 anos é 917.337,27.
[17] Marque a alternativa que preencha corretamente as lacunas:
A ______________ é um número associado à ocorrência de um evento, destinado a medir sua possibilidade
de ocorrência, e corresponde à divisão da (do) ______________ pelo _____________ .
(a) esperança matemática / probabilidade de ganho / valor do bem
(b) probabilidade / número de casos possíveis / número de casos favoráveis
(c) tábua de mortalidade / número de vivos / número de mortos
(d) probabilidade / número de vivos / número de mortos
(e) probabilidade / número de casos favoráveis / número de casos possíveis
[18] Um apostador lança dois dados simultaneamente. A probabilidade de que a soma das faces sorteadas
seja igual a 24 é de:
(a) 0
(b) 0,056
(c) 0,111
(d) 0,222
(e) 0,356
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO42
[19] Considerando que a probabilidade de uma pessoa com 40 anos sobreviver aos 41 anos é de 0,9950 e o
número de vivos com a idade de 40 anos é 924.100, o número de pessoas mortas com a idade de 40 anos é:
(a) 4.620,50
(b) 5.000,50
(c) 6.520,20
(d) 7.000,60
(e) 20.500,70
[20] Considerando que o número de vivos com 60 anos é 800.000 e com 64 anos é 730.090, podemos
afirmar, sabendo que o número de mortes com 64 anos é 13.514, que a probabilidade de uma pessoa de 60
anos sobreviver até a idade de 65 anos é de:
(a) 0,7580
(b) 0,8152
(c) 0,8957
(d) 0,9326
(e) 0,9998
[21] A probabilidade de uma pessoa de 30 anos morrer antes de atingir 45 anos, sabendo que o número de
vivos com 30 anos é 950.000 e com 45 anos é 929.000, é de:
(a) 0,0150
(b) 0,0166
(c) 0,0221
(d) 0,0478
(e) 0,1005
[22] A probabilidade de uma pessoa de 50 anos morrer antes de atingir 70 anos, considerando que 0,9575
é a probabilidade de uma pessoa de 50 anos sobreviver até 70 anos, é de:
(a) 0,0425
(b) 0,0526
(c) 0,0587
(d) 0,0679
(e) 0,1050
[23] Marque a alternativa que preencha corretamente as lacunas:
A escolha da(o) _______ é fundamental para a determinação do preço do Seguros de Pessoas e de
planos de Previdência Complementar, bem como para a solvência da seguradora.
(a) receita
(b) cobertura
(c) vigência do seguro
(d) índice de atualização monetária
(e) tábua de mortalidade
43ANEXOS
Anexos
1 Tábua de Mortalidade AT-2000 Male
2 Tábua de Mortalidade CSO-58
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO44
A
n
ex
o
 1
45ANEXO 1
x q
x
l
x
d
x
Expectativa de vida
0 0,002080 1.000.000,00 2.080,00 81,30
1 0,000815 997.920,00 813,30 80,47
2 0,000454997.106,70 452,69 79,53
3 0,000367 996.654,01 365,77 78,57
4 0,000321 996.288,24 319,81 77,60
5 0,000291 995.968,43 289,83 76,62
6 0,000270 995.678,60 268,83 75,64
7 0,000257 995.409,77 255,82 74,67
8 0,000294 995.153,95 292,58 73,68
9 0,000325 994.861,37 323,33 72,71
10 0,000350 994.538,04 348,09 71,73
11 0,000371 994.189,95 368,84 70,75
12 0,000388 993.821,11 385,60 69,78
13 0,000402 993.435,51 399,36 68,81
14 0,000414 993.036,15 411,12 67,83
15 0,000425 992.625,03 421,87 66,86
16 0,000437 992.203,16 433,59 65,89
17 0,000449 991.769,57 445,30 64,92
18 0,000463 991.324,27 458,98 63,95
19 0,000480 990.865,28 475,62 62,98
20 0,000499 990.389,67 494,20 62,01
21 0,000519 989.895,46 513,76 61,04
22 0,000542 989.381,71 536,24 60,07
23 0,000566 988.845,46 559,69 59,10
24 0,000592 988.285,78 585,07 58,14
25 0,000616 987.700,71 608,42 57,17
26 0,000639 987.092,29 630,75 56,20
27 0,000659 986.461,54 650,08 55,24
28 0,000675 985.811,46 665,42 54,28
29 0,000687 985.146,03 676,80 53,31
30 0,000694 984.469,24 683,22 52,35
31 0,000699 983.786,02 687,67 51,38
32 0,000700 983.098,35 688,17 50,42
33 0,000701 982.410,18 688,67 49,46
34 0,000702 981.721,51 689,17 48,49
35 0,000704 981.032,34 690,65 47,52
36 0,000719 980.341,70 704,87 46,56
37 0,000749 979.636,83 733,75 45,59
Tábua de Mortalidade AT-2000 Male
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO46
x q
x
l
x
d
x
Expectativa de vida
38 0,000796 978.903,08 779,21 44,62
39 0,000864 978.123,88 845,10 43,66
40 0,000953 977.278,78 931,35 42,70
41 0,001065 976.347,43 1.039,81 41,74
42 0,001201 975.307,62 1.171,34 40,78
43 0,001362 974.136,28 1.326,77 39,83
44 0,001547 972.809,50 1.504,94 38,88
45 0,001752 971.304,57 1.701,73 37,94
46 0,001974 969.602,84 1.914,00 37,01
47 0,002211 967.688,85 2.139,56 36,08
48 0,002460 965.549,29 2.375,25 35,16
49 0,002721 963.174,03 2.620,80 34,24
50 0,002994 960.553,24 2.875,90 33,34
51 0,003279 957.677,34 3.140,22 32,43
52 0,003576 954.537,12 3.413,42 31,54
53 0,003884 951.123,69 3.694,16 30,65
54 0,004203 947.429,53 3.982,05 29,77
55 0,004534 943.447,48 4.277,59 28,89
56 0,004876 939.169,89 4.579,39 28,02
57 0,005228 934.590,50 4.886,04 27,16
58 0,005593 929.704,46 5.199,84 26,30
59 0,005988 924.504,62 5.535,93 25,44
60 0,006428 918.968,69 5.907,13 24,59
61 0,006933 913.061,56 6.330,26 23,75
62 0,007520 906.731,30 6.818,62 22,91
63 0,008207 899.912,68 7.385,58 22,08
64 0,009008 892.527,10 8.039,88 21,26
65 0,009940 884.487,22 8.791,80 20,45
66 0,011016 875.695,41 9.646,66 19,65
67 0,012251 866.048,75 10.609,96 18,86
68 0,013657 855.438,79 11.682,73 18,09
69 0,015233 843.756,06 12.852,94 17,33
70 0,016979 830.903,12 14.107,90 16,59
71 0,018891 816.795,22 15.430,08 15,87
72 0,020967 801.365,14 16.802,22 15,17
73 0,023209 784.562,92 18.208,92 14,48
74 0,025644 766.354,00 19.652,38 13,81
75 0,028304 746.701,62 21.134,64 13,16
76 0,031220 725.566,97 22.652,20 12,53
77 0,034425 702.914,77 24.197,84 11,92
47ANEXO 1
x q
x
l
x
d
x
Expectativa de vida
78 0,037948 678.716,93 25.755,95 11,33
79 0,041812 652.960,98 27.301,60 10,75
80 0,046037 625.659,38 28.803,48 10,20
81 0,050643 596.855,90 30.226,57 9,67
82 0,055651 566.629,32 31.533,49 9,16
83 0,061080 535.095,83 32.683,65 8,67
84 0,066948 502.412,18 33.635,49 8,20
85 0,073275 468.776,69 34.349,61 7,75
86 0,080076 434.427,08 34.787,18 7,33
87 0,087370 399.639,90 34.916,54 6,92
88 0,095169 364.723,36 34.710,36 6,53
89 0,103455 330.013,00 34.141,49 6,17
90 0,112208 295.871,51 33.199,15 5,82
91 0,121402 262.672,36 31.888,95 5,50
92 0,131017 230.783,41 30.236,55 5,19
93 0,141030 200.546,86 28.283,12 4,89
94 0,151422 172.263,73 26.084,52 4,61
95 0,162179 146.179,21 23.707,20 4,35
96 0,173279 122.472,02 21.221,83 4,09
97 0,184706 101.250,19 18.701,52 3,84
98 0,196946 82.548,67 16.257,63 3,60
99 0,210484 66.291,04 13.953,20 3,36
100 0,225806 52.337,84 11.818,20 3,13
101 0,243398 40.519,64 9.862,40 2,89
102 0,263745 30.657,24 8.085,69 2,66
103 0,287334 22.571,55 6.485,57 2,44
104 0,314649 16.085,97 5.061,44 2,22
105 0,346177 11.024,54 3.816,44 2,01
106 0,382403 7.208,10 2.756,40 1,81
107 0,423813 4.451,70 1.886,69 1,61
108 0,470893 2.565,01 1.207,85 1,43
109 0,524128 1.357,17 711,33 1,27
110 0,584004 645,84 377,17 1,11
111 0,651007 268,67 174,90 0,96
112 0,725622 93,76 68,04 0,83
113 0,808336 25,73 20,80 0,71
114 0,899633 4,93 4,44 0,60
115 1,000000 0,49 0,49 0,50
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO48
A
n
ex
o
 2
49ANEXO 2
x q
x
l
x
d
x
Expectativa de vida
0 0,007080 1.000.000,00 7.080,00 68,30
1 0,001760 992.920,00 1.747,54 67,78
2 0,001520 991.172,46 1.506,58 66,90
3 0,001460 989.665,88 1.444,91 66,00
4 0,001400 988.220,97 1.383,51 65,10
5 0,001350 986.837,46 1.332,23 64,19
6 0,001300 985.505,23 1.281,16 63,27
7 0,001260 984.224,07 1.240,12 62,35
8 0,001230 982.983,95 1.209,07 61,43
9 0,001210 981.774,88 1.187,95 60,51
10 0,001210 980.586,93 1.186,51 59,58
11 0,001230 979.400,42 1.204,66 58,65
12 0,001260 978.195,76 1.232,53 57,72
13 0,001320 976.963,23 1.289,59 56,80
14 0,001390 975.673,64 1.356,19 55,87
15 0,001460 974.317,45 1.422,50 54,95
16 0,001540 972.894,95 1.498,26 54,03
17 0,001620 971.396,69 1.573,66 53,11
18 0,001690 969.823,03 1.639,00 52,19
19 0,001740 968.184,03 1.684,64 51,28
20 0,001790 966.499,39 1.730,03 50,37
21 0,001830 964.769,35 1.765,53 49,46
22 0,001860 963.003,83 1.791,19 48,55
23 0,001890 961.212,64 1.816,69 47,64
24 0,001910 959.395,95 1.832,45 46,73
25 0,001930 957.563,50 1.848,10 45,82
26 0,001960 955.715,40 1.873,20 44,90
27 0,001990 953.842,20 1.898,15 43,99
28 0,002030 951.944,05 1.932,45 43,08
29 0,002080 950.011,61 1.976,02 42,16
30 0,002130 948.035,58 2.019,32 41,25
31 0,002190 946.016,27 2.071,78 40,34
32 0,002250 943.944,49 2.123,88 39,43
33 0,002320 941.820,62 2.185,02 38,51
34 0,002400 939.635,59 2.255,13 37,60
35 0,002510 937.380,47 2.352,82 36,69
36 0,002640 935.027,64 2.468,47 35,78
37 0,002800 932.559,17 2.611,17 34,88
Tábua de Mortalidade CSO-58
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO50
x q
x
l
x
d
x
Expectativa de vida
38 0,003010 929.948,00 2.799,14 33,97
39 0,003250 927.148,86 3.013,23 33,07
40 0,003530 924.135,63 3.262,20 32,18
41 0,003840 920.873,43 3.536,15 31,29
42 0,004170 917.337,27 3.825,30 30,41
43 0,004530 913.511,98 4.138,21 29,54
44 0,004920 909.373,77 4.474,12 28,67
45 0,005350 904.899,65 4.841,21 27,81
46 0,005830 900.058,44 5.247,34 26,95
47 0,006360 894.811,10 5.691,00 26,11
48 0,006950 889.120,10 6.179,38 25,27
49 0,007600 882.940,71 6.710,35 24,45
50 0,008320 876.230,36 7.290,24 23,63
51 0,009110 868.940,13 7.916,04 22,82
52 0,009960 861.024,08 8.575,80 22,03
53 0,010890 852.448,28 9.283,16 21,25
54 0,011900 843.165,12 10.033,66 20,47
55 0,013000 833.131,46 10.830,71 19,71
56 0,014210 822.300,75 11.684,89 18,97
57 0,015540 810.615,85 12.596,97 18,23
58 0,017000 798.018,88 13.566,32 17,51
59 0,018590 784.452,56 14.582,97 16,81
60 0,020340 769.869,59 15.659,15 16,12
61 0,022240 754.210,44 16.773,64 15,44
62 0,024310 737.436,80 17.927,09 14,78
63 0,026570 719.509,71 19.117,37 14,14
64 0,029040 700.392,34 20.339,39 13,51
65 0,031750 680.052,95 21.591,68 12,90
66 0,034740 658.461,26 22.874,94 12,31
67 0,038040 635.586,32 24.177,70 11,73
68 0,041680 611.408,62 25.483,51 11,17
69 0,045610 585.925,11 26.724,04 10,64
70 0,049790 559.201,06 27.842,62 10,12
71 0,054150 531.358,44 28.773,06 9,63
72 0,058650 502.585,38 29.476,63 9,15
73 0,063260 473.108,75 29.928,868,69
74 0,068120 443.179,89 30.189,41 8,24
75 0,073370 412.990,47 30.301,11 7,81
76 0,079180 382.689,36 30.301,34 7,39
77 0,085700 352.388,02 30.199,65 6,98
51ANEXO 2
x q
x
l
x
d
x
Expectativa de vida
78 0,093060 322.188,37 29.982,85 6,59
79 0,101190 292.205,52 29.568,28 6,21
80 0,109980 262.637,24 28.884,84 5,85
81 0,119350 233.752,40 27.898,35 5,51
82 0,129170 205.854,05 26.590,17 5,19
83 0,139380 179.263,88 24.985,80 4,89
84 0,150010 154.278,08 23.143,25 4,60
85 0,161140 131.134,83 21.131,07 4,32
86 0,172820 110.003,76 19.010,85 4,06
87 0,185130 90.992,91 16.845,52 3,80
88 0,198250 74.147,39 14.699,72 3,55
89 0,212460 59.447,67 12.630,25 3,31
90 0,228140 46.817,42 10.680,93 3,06
91 0,245770 36.136,49 8.881,27 2,82
92 0,265930 27.255,23 7.247,98 2,58
93 0,289300 20.007,24 5.788,10 2,33
94 0,316660 14.219,15 4.502,64 2,07
95 0,351240 9.716,51 3.412,83 1,80
96 0,400560 6.303,69 2.525,00 1,51
97 0,488420 3.778,68 1.845,58 1,18
98 0,668150 1.933,10 1.291,60 0,83
99 1,000000 641,50 641,50 0,50
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO52
G
ab
ar
it
o
GABARITO 53
* Questão com Memória de Cálculo.
Fixando Conceitos
Unidade 1
1 – C
2 – C*
3 – C
4 – D*
5 – D
6 – *
7 – C
8 – *
9 – *
10 – *
11 – *
12 – *
13 – *
14 – *
15 – *
16 – *
17 – E
18 – E
Memória de Cálculo
Unidade 1
Questão 2)
p = no de casos favoráveis / no de casos possíveis
no de casos possíveis = 36
no de casos favoráveis = 4, pois pares cujo produto seja 12 = {(2,6), (3,4), (4,3), (6,2)}
p = 4 / 36 = 1/9 = 0,111
19 – *
20 – *
21 – *
22 – *
23 – *
24 – *
25 – *
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO54
Questão 4)
E = 900
Q = 10.000,00
vn = 0,9434
p = ?
E = Q × p × vn
900 = 10.000 × p × 0,9434
900 = 9.434 × p
p = 900 / 9.434
p = 0,095399 ou 0,0954
Questão 6)
PC = 125
α = Comissão de corretagem + carregamento para despesas e lucro = 20% + 15% = 35%
Prêmio Comercial = Prêmio Puro = 125 = 125 = 192,31
 
 1 – α 1 – 0,35 0,65
Questão 8)
000953,0
78,278.977
35,931
40
40
40 === l
dq
Questão 9)
35,93143,347.97678,278.977414040 =−=−= lld
Questão 10)
999047,0
78,278.977
43,347.976
40
41
40 === l
lp
Questão 11)
999047,0000953,011 4040 =−=−= qp
Questão 12)
9654,0
78,278.977
48,447.943
40
55
4015 === l
lp
GABARITO 55
Questão 13)
03462,0
78,278.977
48,447.94378,278.977
40
5540
4015/ =
−
=
−
=
l
llq
Questão 14)
03462,09654,011 40154015/ =−=−= pq
Questão 15)
a) 010695,0000.935
000.100
000.935
000.835000.935
40
5540
4015/ ==
−
=
−
=
l
llq
b) 081447,0918553,011 40154015/ =−=−= pq
Questão 16)
 
45 
900.000 
52 53
820.000 
d 52 = 9.000 
n p x = 8 p 45 = ? 
Dados:
l45 = 900.000
l52 = 820.000
d52 = 9.000
Pergunta-se: 8 p45 = ?
Conhecemos as fórmulas:
n
 p
x
 = l
x
 + n / l
x
d
x
 = l
x
 – l
x
 + 1
Então:
8p45 = l53 / l45 = l53 / 900.000
Mas l53= ?
Podemos calcular o l53, já que foram informados o l52 e o d52 e que d52 = l52 – l53
l53 = l52 – d52 � l53 = 820.000 – 9.000 = 811.000
Logo,
8p45 = l53 / l45 = 811.000 / 900.000 = 0,901111 ou 90,11%
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO56
Questão 19)
q53 =
d53
 =
 9.283,16
 = 0,01089
l53 852.448,28
Questão 20)
d57
 = l57 – l58= 810.615,85 – 798.018,88 = 12.596,97
Questão 21)
p53 =
l54
 =
843.165,12
 = 0,98911
l53 852.448,28
Questão 22)
p53 = 1 – q53 = 1 – 0,01089 = 0,98911
Questão 23)
16 p49 =
l65
 =
680.052,95
 = 0,77021
l49 882.940,71
Questão 24)
/ 16 q49 =
l49 – l65
 =
882.940,71 – 680.052,95
 = 0,22979
 l49 882.940,71
Questão 25)
16 / q49 = 1 – 16 p49 = 1 – 0,77021 = 0,22979
GABARITO 57
Memória de Cálculo
Unidade 2
Questão 1)
Sim. Porque no regime de capitalização o prêmio é constante durante todo o período de vigência do
contrato, enquanto que, no regime de repartição simples, o prêmio é menor na época da entrada no plano
e vai aumentando conforme o segurado vai ficando mais velho durante a vigência do contrato.
Questão 5)
a) 62,01
b) 59,50
c) 37,94
d) 35,57
e) 24,59
f) 22,62
Fixando Conceitos
Unidade 2
1 – *
2 – C
3 – D
4 – D
5 – *
6 – B
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO58
Memória de Cálculo
Testando Conhecimentos
Questão 1)
Q = 10.000,00
p = 0,3
E = ?
vn = 1
E = Q × p × vn
E = 10.000 × 0,3 × 1
E = R$ 3.000,00
Questão 4)
x = 42 anos
n = 55 – 42 = 13 anos
l54 = 84.317
l55 = 83.311
l42 = 91.731
13p42 = ?
13p42 = l55 / l42
13p42 = 83.311 / 91.731 = 0,9082
Testando Conhecimentos
1 – *
2 – E
3 – D
4 – *
5 – *
6 – *
7 – *
8 – C
 9 – E
10 – E
11 – *
12 – *
13 – *
14 – *
15 – *
16 – *
17 – E
18 – A*
19 – A*
20 – C*
21 – C*
22 – A*
23 – E
GABARITO 59
Questão 5)
x = 42 anos
n = 55 – 42 = 13 anos
l54 = 84.317
l55 = 83.311
l42 = 91.731
/13q42 = ?
Utilizar os dados da questão anterior e calcular:
/13 q42 = ( l42 – l55 ) / l42 = (91.731 – 83.311) / 9.1731 = 0,09l8
Ou utilizar a resposta da questão 4:
13 p42 = 0,9082
/13 q42 = 1 – 13 p42 = 1 – 0,9082 = 0,0918
Questão 6)
x = 55 anos
p55 = ?
p55 = l56 / l55
p55 (CSO-58) = 822.300,75 / 833.131,46 = 0,987000
p55 (AT-2000 Male) = 939.169,89 / 943.447,48 = 0,995466
Questão 7)
x = 3 anos
n = 55 – 3 = 52 anos
52p3 = ?
52p3 = l55 / l3
52p3 = 833.131,46 / 989.665,88 = 0,8418310
Questão 11)
Prêmio Puro = ?
Prêmio de Risco = R$ 100,00
Carregamento de segurança estatístico (θ) é igual a 10%.
Prêmio Puro = Prêmio de Risco × (1 + θ)
Prêmio Puro = 100 × (1 + 0,10)
Prêmio Puro = R$ 110
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO60
Questão 12)
Prêmio Comercial = R$ 137,50
Prêmio Puro = R$ 110,00
Carregamento para as despesas da seguradora (α) = ?
Prêmio Comercial = Prêmio Puro / (1 – α)
137,50 = 110 / (1 – α)
(1- α) = 110 / 137,50
(1- α) = 0,80
α = 1 – 0,80 = 0,20
α = 20%
Questão 13)
Prêmio Comercial = R$ 200,00
Carregamento para as despesas da seguradora (α) = 45%
Prêmio de Risco = R$ 100,00
Carregamento de segurança estatístico (θ) = ?
Prêmio Comercial = {Prêmio de Risco × (1 + θ)} / (1 – α)
200 = {100 × (1 + θ)} / (1 – 0,45)
200 = {100 × (1 + θ)} / (0,55)
200 × 0,55 = {100 × (1 + θ)}
110 = {100 × (1 + θ)}
110 / 100 = 1 + θ
1,10 = 1 + θ
θ = 1,10 – 1 = 0,10
θ = 10%
Questão 14)
l44 = ?
d44 = 4.474,12
q44 = 0,004920
q
x
 = d
x
 / l
x
q44 = d44 / l44
l44 = d44 / q44
l44 = 4.474,12 / 0,004920
l44 = 909.373,98
Questão 15)
d57 = ?
l57 = 810.615,85
q57 = 0,015540
q
x
 = d
x
 / l
x
q57 = d57 / l57
d57 = q57 × l57
d57 = 0,015540 × 810.615,85
d57 = 12.596,97
GABARITO 61
Questão 16)
p42 = ?
d42 = 3.825,30
l42 = 917.337,27
Existem duas formas de se calcular o p
x
p
x
 = l
x + 1 / lx ou px = 1 – qx
Como: q
x
 = d
x
 / l
x 
, utilizaremos a segunda, pois os dados do problema são suficientes para isso.
q42 = d42 / l42
q42 = 3.825,30 / 917.337,27
q42 = 0,004170
Logo:
p
x
 = 1 – q
x
p42 = 1 – q42
p42 = 1 – 0,004170
p42 = 0,995830
Questão 18)
p = no de casos favoráveis / no de casos possíveis
no de casos possíveis = 36
no de casos favoráveis = 0, pois pares cuja soma seja 24 = { }, isto é, conjunto vazio → evento impossível
p = 0 /36 = 0
Questão 19)
d40 = ?
p40 = 0,9950
l40 = 924,100
Sabemos que q40 =
d40
l40
E que q40 = 1 – p40 = 1 – 0,9920 = 0,005
q40 =
d40
l40
0,005 = d40
924.100
d40 = 0,005 × 924.100 = 4.620,50
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA E PRECIFICAÇÃO DO SEGURO62
Questão 20)
l60 = 800.000
l64 = 730.090
d64 = 13.514
5 p60 = ?
Sabemos que 
60
65
605 l
lp