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RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 1 1. Frações Não tem como aprender qualquer assunto de Matemática se você não domina o conceito de fração. Além do conceito em si, você precisa saber como realizar operações envolvendo frações com maestria. O que significa a fração 3/4 de um bolo, por exemplo? Significa que o bolo foi dividido em 4 partes iguais e estamos considerando 3 destas partes. Se você domina este conceito, conseguirá resolver muitas questões sem precisar montar equações do primeiro grau. 1. Se 1/3 de um bolo pesa 600g, então quanto pesa o bolo todo? Resolução Dividimos o bolo em 3 partes iguais. O problema diz que uma dessas partes pesa 600g. Como as 3 partes são iguais, então cada uma das 3 partes pesa 600g. Para calcular o peso do bolo todo, basta multiplicar 600g por 3. Resposta: 3 x 600g = 1.800g. 2. Se 2/3 de um queijo pesam 700g, então quanto pesa o queijo todo? Resolução O que significa a fração 2/3? Significa que o queijo foi dividido em 3 partes iguais e estão sendo consideradas 2 dessas 3 partes. Observe o esquema a seguir: RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 2 Para saber o peso de cada uma das três partes, devemos dividir 700 por 2. 700/2 = 350 g. Como cada pedaço pesa 350g, então o queijo todo pesa 3 x 350 g = 1.050 g. Como um pouco de prática você conseguirá resolver questões como esta sem precisar fazer o desenho. Assim: Duas partes pesam juntas 700g. Portanto, cada parte pesa 700g/2 = 350g. Como o queijo é composto por 3 partes, então o peso do queijo todo é igual a 3 x 350g = 1.050g. 03. Se 4/7 de um salame pesam 200g, então quanto pesa o salame todo? Resolução O que significa a fração 4/7? Significa que o salame foi dividido em 7 partes iguais e estão sendo consideradas 4 das 7 partes. Sabemos que 4 pedaços juntos pesam 200g. Assim, cada pedaço pesa 200/4 = 50g. Como são 7 pedaços ao todo, o peso do salame é igual a 7 x 50g = 350g. 04. Um bolo pesa 1.500g. Qual o peso de 3/5 do bolo? Resolução Devemos dividir o bolo em 5 partes iguais: 1.500/5 = 300g. Cada pedaço pesa, portanto, 300g. Como estamos interessados em 3 pedaços, a resposta é 3 x 300g = 900g. Obviamente não precisamos ficar raciocinando assim toda vez, mas é importante saber a ideia por trás de tudo. Para calcular 3/5 de 1.500, podemos simplesmente multiplicar 3/5 por 1.500. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 3 35×1.500 Agora temos duas opções: podemos multiplicar 1.500 por 3 e dividir o resultado por 5 ou dividir 1.500 por 5 e multiplicar o resultado por 3. 35×1.500 = 3×300 = 900𝑔 05. Se 2/3 de um saco de farinha de trigo pesam 400g e o quilo de farinha de trigo custa R$ 3,00, então quanto custa 5/6 do mesmo saco de farinha de trigo? Resolução 2/3 de um saco de farinha de trigo pesam 400g. Isto significa que dividimos o saco de farinha de trigo em 3 partes iguais. Duas dessas partes pesam juntas 400g. Assim, cada parte pesa 400g/2 = 200g. Como são 3 partes, então o saco todo pesa 3 x 200g = 600g. Estamos interessados no preço de 5/6 do saco de farinha de trigo. 56 𝑑𝑒 600 = 56×600 = 5×100 = 500𝑔 Sabemos que 1 kg de farinha de trigo custa R$ 3,00. Portanto, 500g (meio quilograma) custam a metade: R$ 1,50. Resposta: R$ 1,50 Fração restante Imagine que eu comi 2/5 de um bolo. Qual a fração do bolo que restou? Em outras palavras, qual a fração restante? O bolo foi dividido em 5 partes iguais e eu comi 2 dessas partes. Sobraram, portanto, 3 partes das 5. A fração restante é 3/5. Para calcular a “fração restante”, basta repetir o denominador e subtrair o denominador do numerador. Sendo n/m um número entre 0 e 1, ou seja, 0 < n/m < 1, a fração restante é o número (m-n)/m. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 4 06. (Analista Judiciário – TJ/PI 2015/FGV) Francisco vendeu seu carro e, do valor recebido, usou a quarte parte para pagar dívidas, ficando então com R$ 21.600,00. Francisco vendeu seu carro por: a) R$ 27.600,00 b) R$ 28.400,00 c) R$ 28.800,00 d) R$ 29.200,00 e) R$ 29.400,00 Resolução Se Francisco usou 1/4 do valor recebido para pagar dívidas, a fração restante é igual a 3/4. Basta raciocinar que ele dividiu o dinheiro proveniente da venda do carro em 4 partes iguais e usou 1 dessas partes para pagar dívidas. Sobraram 3 das 4 partes. Assim, 3/4 do valor do carro equivalem a R$ 21.600,0. Qual o valor do carro todo? Estamos dividindo o preço do carro em 4 partes iguais e sabemos que 3 destas partes juntas valem R$ 21.600,00. Qual o valor de cada parte? O valor de cada parte é 21.600/3 = 7.200 reais. Como são 4 partes ao todo, o valor do carro é igual a 4 x 7.200 = 28.800 reais. Gabarito: C O conceito de “fração restante” é muito importante em vários tópicos de Matemática. É comum encontrarmos em Geometria, Porcentagem, Probabilidade e muito mais. Em suma, a “fração restante” é o que falta para 1. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 5 Se você come 2/5 de um chocolate, significa que você dividiu o chocolate em 5 partes iguais e comeu 2 dessas partes. Em outras palavras, sobraram 3 das 5 partes. Assim, a fração restante é 3/5. Se você consumiu 4/7 de uma garrafa de leite, então sobram 3/7. Suponha que seu salário seja de R$ 8.000,00. Se você gasta 3/16 na conta luz, então o valor que sobra é igual a 13/16. Portanto, o valor que você ainda tem disponível é 1316 ∙ 8.000 = 13 ∙ 500 = 6.500 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 É muito comum você precisar calcular a “fração restante” da “fração restante”. Neste caso, basta multiplicar tudo. 07. O salário de João é R$ 20.000,00. Ele gastou 2/5 com alimentação. Do dinheiro que sobrou, João gastou 1/4 na prestação de seu carro. Quanto João ainda tem disponível? Resolução Se João gastou 2/5 com alimentação, então sobraram 3/5 de seu salário. Do que restou, João gastou 1/4. Portanto, sobraram 3/4 do restante. O que João ainda tem disponível é 34 ∙ 35 ∙ 20.000 = 920 ∙ 20.000 = 9 ∙ 1.000 = 9.000 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 08. Manuella tinha R$ 1800,00. Ela emprestou 2/5 dessa quantia para seu irmão. Quantos reais sobraram para ela? A) R$ 1.080,00 B) R$ 910,00 C) R$ 911,00 D) R$ 902,00 E) R$ 915,00 Resolução Ora, se Manuella emprestou 2/5 do seu dinheiro, então sobraram 3/5. Sobraram para ela 35 ∙ 1.800 = 5.4005 = 1.080 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 6 Gabarito: A Vamos agora resolver problemas de “trás para frente”. Vamos informar as frações que foram gastas, informar o valor final e perguntar quanto havia no início. 09. Abelardo gastou inicialmente metade do dinheiro que tinha e, em seguida, mais um terço do que sobrou. Depois disso, ficou com R$ 40,00. Quanto dinheiro tinha Abelardo inicialmente? Resolução Vamos assumir que Abelardo tinha inicialmente x reais. Se ele gastou metade do seu dinheiro (1/2), então ele ficou com a outra metade, ou seja, 1/2 de x. Em seguida, do dinheiro que sobrou, Abelardo gastou 1/3. Assim, ele ficou com 2/3 do restante. Abelardo agora tem 2/3 de 1/2 de x. Esta quantiaé igual a 40 reais. 23 ∙ 12 ∙ 𝑥 = 40 Cortando 2 do numerador com 2 do denominador: 𝑥3 = 40 𝑥 = 3 ∙ 40 = 120 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 10. (TRF 3a Região 2014/FCC) Um técnico precisava arquivar x processos em seu dia de trabalho. Outro técnico precisava arquivar y processos, diferente de x, em seu dia de trabalho. O primeiro técnico arquivou, no período da manhã, 2/3 dos processos que precisava arquivar naquele dia. No período da tarde, esse técnico arquivou 3/8 dos processos que arquivara pela manhã e ainda restaram 14 processos para serem arquivados. O segundo técnico arquivou, no período da manhã, 3/5 dos processos que precisava arquivar naquele dia. No período da tarde, o segundo técnico arquivou 5/18 dos processos que arquivara pela manhã e ainda restaram 42 processos para serem arquivados. Dessa forma, é possível determinar que, o técnico que arquivou mais processos no período da tarde superou o que o outro arquivou, também no período da tarde, em um número de processos igual a RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 7 (A) 42. (B) 18. (C) 12. (D) 30. (E) 15. Resolução O primeiro técnico arquivou 2/3 dos processos que precisava arquivar, ou seja, 2/3 de x. No período da tarde, esse técnico arquivou 3/8 dos processos que arquivara pela manhã. Assim, à tarde ele arquivou 38𝑑𝑒 23𝑑𝑒 𝑥 = 38 ∙ 23 ∙ 𝑥 = 𝑥4 Se somarmos os processos que ele arquivou pela manha (2x/3), os processos que arquivou à tarde (x/4) e os processos que restaram (14) teremos como resultado o próprio x, que é o total de processos que ele precisava arquivar. 2𝑥3 + 𝑥4 + 14 = 𝑥 Vamos multiplicar todos os membros da equação por 12, que é o mmc entre 3 e 4. No caso das frações, devemos dividir 12 pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador. Observe que 12 dividido por 3 é 4. 4 vezes 2x = 8x. 12 dividido por 4 é 3. 3 vezes x = 3x. 8𝑥 + 3𝑥 + 168 = 12𝑥 11𝑥 + 168 = 12𝑥 𝑥 = 168 Vamos agora calcular o número de processos do segundo técnico. O segundo técnico arquivou, no período da manhã, 3/5 dos processos que precisava arquivar naquele dia. No período da tarde, o segundo técnico arquivou 5/18 dos processos que arquivara pela manhã e ainda restaram 42 processos para serem arquivados. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 8 Assim, ele arquivou 3/5 de y pela manhã, 5/18 de 3/5 de y à tarde e ainda restaram 42 processos. A soma desses valores é igual a y. 35 ∙ 𝑦 + 518 ∙ 35 ∙ 𝑦 + 42 = 𝑦 3𝑦5 + 𝑦6 + 42 = 𝑦 Vamos multiplicar todos os membros da equação por 30, que é o mmc entre 5 e 6. Olhe para primeira fração. Vamos dividir 30 pelo seu denominador e multiplicar o resultado pelo numerador. 30 dividido por 5 é 6. 6 vezes 3y é 18y. Olhe para a segunda fração. 30 dividido por 6 é 5 e vezes y é 5y. 18𝑦 + 5𝑦 + 1.260 = 30𝑦 7𝑦 = 1.260 𝑦 = 180 O primeiro técnico deveria arquivar 168 processos o segundo técnico, 180 processos. AGORA PRESTE MUITA ATENÇÃO À PERGUNTA DO ENUNCIADO!!! Dessa forma, é possível determinar que, o técnico que arquivou mais processos no período da tarde superou o que o outro arquivou, também no período da tarde, em um número de processos igual a Perceba então que não queremos apenas a diferença entre x e y. Queremos saber a diferença entre as quantidades arquivadas no período da tarde. O primeiro técnico, no período da tarde, arquivou: 𝑥4 = 1684 = 42 O segundo técnico, no período da tarde, arquivou: 518 ∙ 35 ∙ 𝑦 = 𝑦6 = 1806 = 30 A diferença entre essas quantidades é 12. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 9 Essa foi uma ótima casca de banana, mas quem marcasse 180 – 168 = 12 também iria acertar a questão (na sorte). Letra C 11. (Câmara Municipal de São Paulo 2014/FCC) Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4a semana é igual a a) 5/16 b) 1/6 c) 8/24 d) 1/4 e) 2/5 Resolução Na primeira semana ele executou 3/8 da tarefa. Na segunda semana, ele executou 1/3 do que havia executado na primeira semana, ou seja: 13 𝑑𝑒 38 = 13× 38 = 18 Somando a primeira e a segunda semana, temos: 38+ 18 = 48 = 12 Portanto, nas duas primeiras semanas ele executou metade da tarde. Sobrará a outra metade para a terceira e a quarta semana. Vamos considerar que a fração executada na quarta semana seja igual a x. Na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 4a semana, ou seja, 2x. 𝑥 + 2𝑥 = 12 3𝑥 = 12 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 10 𝑥 = 16 Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4a semana é igual a 1/6. Letra B 12. (Sergipe-Gás 2013/FCC) Uma máquina gira 1 volta e 2/3 de volta, em sentido horário e gasta 20 segundos nesse movimento. Em seguida ela gira 1/3 de volta em sentido contrário e gasta 10 segundos nesse movimento. A máquina segue realizando sempre esses dois tipos de movimentos, um após o outro e sempre iniciando da posição que parou no movimento anterior. Após 4 minutos e 50 segundos a máquina para. Em relação à posição inicial, a máquina parou na posição correspondente a um giro, no sentido horário, de a) zero volta b) 2/3 de volta c) – 1/3 de volta d) 1/2 de volta e) 1/3 de volta Resolução Vamos ver o que acontece em 30 segundos. A máquina gira 1 volta e 2/3 de volta em sentido horário e depois retorna no sentido contrário 1/3 de volta. No final dos 30 segundos: 1+ 23− 13 = 1 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎 + 13 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎 Assim, a cada 30 segundos, ele dá uma volta completa (ou seja, passa pela sua posição inicial) e avança mais 1/3 de volta. Conclusão: a cada 30 segundos a sua posição avança 1/3 de volta. Em 60 segundos ele avança 2/3 de volta e em 90 segundos ele chega na posição inicial. Percebeu? Depois de 90 segundos ele para na posição inicial, é como se não tivesse saído do lugar. Queremos saber a posição final após 4 minutos e 50 segundos, que é igual a 290 segundos. No 90o segundo ele está na posição inicial. No 180o segundo ele está na posição inicial. No 270o segundo ele está na posição inicial. Só faltam agora 20 segundos para finalizar o movimento. E o que a máquina faz em 20 segundos? Gira 1 volta e 2/3 de volta! Portanto, a máquina finalizará o movimento a 2/3 de volta em relação a posição inicial. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 11 Letra B 13. (DPE-RS 2013/FCC) Em uma empresa, 2/3 dos funcionários são homens e 3/5 falam inglês. Sabendo que 1/12 dos funcionários são mulheres que não falam inglês, pode-se concluir que os homens que falam inglês representam, em relação ao total de funcionários, uma fração equivalente a (A) 3/10 (B) 7/20 (C) 2/5 (D) 9/20 (E) 1/2 Resolução Se você quiser evitar trabalhar com frações, pode colocar um valor para o total de funcionários da empresa. De preferência escolha um número que seja múltiplo de 3, 5 e 12. Por exemplo, vamos dizer que a empresa tem 60 funcionários. 2/3 dos funcionários são homens.23 𝑑𝑒 60 = 23 ∙ 60 = 40 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 Consequentemente, são 20 mulheres. 3/5 falam inglês. 35 𝑑𝑒 60 = 35 ∙ 60 = 36 𝑓𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑖𝑛𝑔𝑙ê𝑠 Consequentemente, 24 não falam inglês. 1/12 dos funcionários são mulheres que não falam inglês. 112 𝑑𝑒 60 = 112 ∙ 60 = 5 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑛ã𝑜 𝑓𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑖𝑛𝑔𝑙ê𝑠 Vou montar uma tabelinha para colocar os dados. Falam Inglês Não falam inglês Total Homens 40 Mulheres 5 20 Total 36 24 60 São 20 mulheres. Como 5 não falam inglês, então 15 falam inglês. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 12 São 24 pessoas que não falam inglês das quais 5 são mulheres. Portanto, 19 homens não falam inglês. Falam Inglês Não falam inglês Total Homens 19 40 Mulheres 15 5 20 Total 36 24 60 Como são 40 homens e 19 não falam inglês, então 21 homens falam inglês. Falam Inglês Não falam inglês Total Homens 21 19 40 Mulheres 15 5 20 Total 36 24 60 Veja o que a questão pede: pode-se concluir que os homens que falam inglês representam, em relação ao total de funcionários, uma fração equivalente a: São 21 homens que falam inglês em um total de 60 pessoas. A fração pedida é: 2160 = 720 Letra B 14. (TRT 9a Região 2013/FCC) Em uma disciplina de um curso superior, 7/9 dos alunos matriculados foram aprovados em novembro, logo após as provas finais. Todos os demais alunos fizeram em dezembro uma prova de recuperação. Como 3/5 desses alunos conseguiram aprovação após a prova de recuperação, o total de aprovados na disciplina ficou igual a 123. O total de alunos matriculados nessa disciplina é igual a (A) 136. (B) 127. (C) 130. (D) 135. (E) 126. Resolução Vamos considerar que o número de alunos matriculados é igual a x. 7/9 dos alunos matriculados foram aprovados em novembro. Isto significa que 2/9 dos alunos ainda não foram aprovados e farão uma prova de recuperação em dezembro. 3/5 destes 2/9 conseguiram aprovação após a recuperação. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 13 35 𝑑𝑒 29𝑑𝑒 𝑥 = 35 ∙ 29 ∙ 𝑥 = 2𝑥15 O total de aprovados na disciplina é igual a 123. 7𝑥9 + 2𝑥15 = 123 Vamos calcular mmc(9,15). 9, 15 3 3, 5 3 1,5 5 1,1 𝑚𝑚𝑐 9,15 = 3 ∙ 3 ∙ 5 = 45 Vamos multiplicar todos os membros da equação por 45. No caso das frações, primeiro dividimos 45 pelo denominador e multiplicamos o resultado pelo numerador. 35𝑥 + 6𝑥 = 123 ∙ 45 41𝑥 = 123 ∙ 45 𝑥 = 123 ∙ 4541 Observe que 123/41=3. 𝑥 = 3 ∙ 45 = 135 Letra D 15. (TRT 15a Região) Em um Tribunal havia um percentual de 30% de funcionários fumantes. Após intensa campanha de conscientização sobre os riscos do tabagismo, 6 em cada 9 fumantes pararam de fumar. Considerando que os funcionários que anteriormente eram não fumantes permaneceram com essa mesma postura, a nova porcentagem de funcionários fumantes desse Tribunal passou a ser de (A) 8%. (B) 12%. (C) 10%. (D) 16%. (E) 14%. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 14 Resolução Vamos considerar que o total de pessoas no tribunal seja de 100 pessoas. 30% são fumantes, ou seja, 30 pessoas são fumantes. 6 em cada 9 fumantes pararam de fumar. Isto quer dizer que 6/9 = 2/3 dos fumantes pararam de fumar. 23 𝑑𝑒 30 = 23 ∙ 30 = 20 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 10 pessoas continuam a fumar. Como o total de pessoas é 100, então ainda temos 10% de fumantes. Letra C 16. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Tiago é capaz de cortar a grama do jardim de sua casa em 2/3 do tempo que seu irmão Gabriel faria o mesmo serviço e em 1/3 do tempo que seu outro irmão, Rodrigo, conseguiria. Se os três decidirem cortar a grama do jardim juntos, levarão 10 minutos. O tempo, em minutos, que Gabriel e Rodrigo levariam para cortar a grama do jardim de sua casa juntos é (A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 27 (E) 30 Resolução Se Tiago é capaz de cortar a grama do jardim de sua casa em 2/3 do tempo que Gabriel faria, então enquanto Tiago corta a grama do jardim todo, Gabriel corta apenas 2/3 da grama. Se Tiago é capaz de cortar a grama do jardim de sua casa em 1/3 do tempo que Rodrigo faria, então enquanto Tiago corta a grama do jardim todo, Rodrigo corta apenas 1/3 da grama. Juntando as duas informações temos o seguinte: o tempo que Tiago leva para cortar a grama toda do jardim é igual ao tempo que Gabriel e Rodrigo (juntos) levam para cortar a grama toda (pois 2/3 + 1/3 = 1). Ou seja, Tiago tem a mesma capacidade de trabalhar de Gabriel e Rodrigo juntos. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 15 Se os três decidem cortar a grama do jardim juntos e levam 10 minutos, isto quer dizer que nestes 10 minutos Tiago cortou metade da grama e Gabriel e Rodrigo (juntos) cortaram a outra metade. Se Gabriel e Rodrigo cortam metade da grama em 10 minutos, eles cortam a grama toda em 20 minutos. Letra C Produção x Tempo 17. (ATA-MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas Resolução Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e tempo: perguntar o que cada objeto produz na unidade de tempo. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 16 A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora. A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora. Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão: 124+ 148 = 2+ 148 = 348 = 116 Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em x horas, em 1 hora encherão 1/x. Assim: 1𝑥 = 116 𝑥 = 16 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira enche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas. Cada parte representa !!" do tanque. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 17 Se você não gostou da “montagem” desta equação, poderíamos fazer uma regra de três. Fração Horas 1/16 1 1 x Por que colocamos 1? Porque queremos saber em quanto tempo encheremos o tanque todo, ou seja, 16/16 = 1. Como a regra de três é simples e direta, basta “multiplicar cruzado”. 116 ∙ 𝑥 = 1 𝑥16 = 1 𝑥 = 16 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo. Considere que um objeto execute um serviço em 𝑎 horas,outro objeto execute um serviço o mesmo serviço em 𝑏 horas, outro objeto execute o mesmo serviço em 𝑐 horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos executem o serviço em 𝑥 horas. Temos a seguinte relação: 1𝑎 + 1𝑏 +⋯ = 1𝑥 No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em 𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. 124+ 148 = 1𝑥 2+ 148 = 1𝑥⇔ 348 = 1𝑥 Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 3 ∙ 𝑥 = 1 ∙ 48 𝑥 = 483 = 16 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. Gabarito: E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 18 18. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas. Resolução Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha em g horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas. 15+ 1𝑔 = 13 1𝑔 = 13− 15⇔ 1𝑔 = 5− 315 1𝑔 = 215 Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 2 ∙ 𝑔 = 1 ∙ 15 𝑥 = 152 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 7 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Gabarito: B 19. Um tanque tem duas torneiras. A primeira enche o tanque em 15 horas, e a segunda, em 18 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo-se as duas torneiras durante 5 horas, enche-se uma parte do tanque. Podemos afirmar que a segunda torneira sozinha encherá o restante do tanque em A) 14 horas. B) 10 horas. C) 7 horas. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 19 D) 8,5 horas. E) 8 horas. Resolução A primeira torneira enche, em uma hora, 1/15 do tanque. Em 5 horas, a primeira torneira enche 5/15 do tanque. A segunda torneira enche, em uma hora, 1/18 do tanque. Em 5 horas, a segunda torneira enche 5/18 do tanque. As duas torneiras, em 5 horas, enchem: 515+ 518 = 13+ 518 = 6+ 518 = 1118 𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 Precisamos ainda encher 7/18 do tanque (fração restante). Sabemos que a segunda torneira enche, em uma hora, 1/18 do tanque. Em quanto tempo a segunda torneira encherá 7/18 do tanque? Podemos resolver com uma regra de três simples e direta. Fração Tempo (horas) 1/18 1 7/18 x 118 ∙ 𝑥 = 718 ∙ 1 𝑥18 = 718 𝑥 = 7 Gabarito: C 20. Dois grupos de trabalhadores são empregados para construir uma parede. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 24 dias; o segundo grupo em 30 dias. Se o primeiro grupo trabalhar durante 5 dias, em quanto tempo o segundo grupo terminará a obra? Aproxime para o inteiro mais próximo em dias. Resolução RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 20 O primeiro grupo, em um dia, faz 1/24 da parede. Em 5 dias, construirá 5/24 da parede. Assim, ainda precisamos construir 19/24 da parede (fração restante). Quem irá construir esta fração restante? O segundo grupo. O segundo grupo faz a parede toda em 30 dias. Portanto, em um dia, o segundo grupo constrói 1/30 da parede. Queremos saber em quanto tempo o segundo grupo construirá 19/24 da parede. Fração Dias 1/30 1 19/24 x 130 ∙ 𝑥 = 1924 ∙ 1 𝑥30 = 1924 24𝑥 = 30 ∙ 19 24𝑥 = 570 𝑥 = 23,75. O inteiro mais próximo é 24 dias. 21. Dois grupos de trabalhadores são empregados para colocar azulejos. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 24 dias; o segundo grupo em 30 dias. Se os dois grupos trabalharem juntos durante 8 dias, após esses dias o primeiro grupo é dispensado. Em quanto tempo o segundo grupo terminará a obra? Resolução Os dois grupos trabalham juntos durante 8 dias. O primeiro grupo, em um dia, faz 1/24 do serviço. Em 8 dias, o primeiro grupo faz 8/24 = 1/3 do serviço. O segundo grupo, em um dia, faz 1/30 do serviço. Em 8 dias, o segundo grupo faz 8/30 = 4/15 do serviço. Os dois grupos, em 8 dias, juntos fazem: 13+ 415 = 5+ 415 = 915 = 35 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 21 Portanto, os dois grupos em 8 dias completaram 3/5 da tarefa. Ainda precisam ser feitos 2/5 do trabalho (fração restante). Quem será responsável para completar o serviço? O segundo grupo sozinho. Ora, o segundo grupo, em um dia, faz 1/30 do serviço. Em quanto tempo fará 2/5? Fração Dias 1/30 1 2/5 x 130 ∙ 𝑥 = 25 ∙ 1 𝑥30 = 25 5𝑥 = 30 ∙ 2 5𝑥 = 60 𝑥 = 12 𝑑𝑖𝑎𝑠 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 22 1.1 Exercícios Propostos 01. Flávia gastou inicialmente 4/5 do dinheiro que tinha comprando ingressos para o cinema e em seguida 1/3 do restante com pipoca, e depois disso ficou com R$ 40,00. Quanto dinheiro tinha inicialmente? 02. Dois grupos de trabalhadores são empregados para assentar placas de pisos. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 36 horas. O segundo grupo em 60 horas. O primeiro grupo trabalha durante 4 horas. Após essas horas, o segundo grupo também é contratado. Em quanto tempo os dois grupos juntos terminarão a obra? 03. Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 9 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 15 horas. Estando o tanque vazio e abrindo a primeira torneira durante 3 horas e em seguida fechando esta e abrindo a outra torneira, em quanto tempo o tanque estará cheio? 04. Três grupos de trabalhadores são empregados para lavar externamente um prédio. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 4 dias; o segundo grupo em 6 dias e o terceiro grupo em 12 dias. Se os três grupos trabalharem juntos, em quantos dias o prédio estará lavado? 05. Três grupos de trabalhadores são empregados para levantar as paredes de uma casa. O primeiro grupo faz o trabalho todo em 12 dias; o segundo grupo em 18 dias e o terceiro grupo em 24 dias. Se os dois primeiros grupos trabalharem juntos durante 2 dias e após esses dias é contratado o terceiro grupo de trabalhadores, em quantos dias a obra estará terminada? 06. Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 8 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo a primeira torneira durante 4 horas e meia, em seguida abrindo a outra torneira, em mais quanto tempo o tanque estará cheio? 07. Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 12 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 18 horas. Estando o tanque com 1/4 de sua capacidade com água e abrindo as duas torneiras, em quanto tempo o tanque estará cheio? 08. Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 12 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 15 horas. O tanque está com 3/20 de sua capacidade com água e RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 23 abre-se a primeira torneira durante3 horas. Em seguida, abre-se também a outra torneira. Em quanto tempo as duas torneiras encherão o resto do tanque? 09. Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 3 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 4 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo as duas torneiras e o ralo simultaneamente, em quanto tempo o tanque estará cheio? 10. Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 12 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 15 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 10 horas. Estando o tanque com metade de sua capacidade com água e abrindo as duas torneiras e o ralo ao mesmo tempo, em quanto tempo o tanque estará cheio? RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 24 1.2 Resolução dos exercícios propostos 01. Flávia gastou inicialmente 4/5 do dinheiro que tinha comprando ingressos para o cinema e em seguida 1/3 do restante com pipoca, e depois disso ficou com R$ 40,00. Quanto dinheiro tinha inicialmente? Resolução Vamos assumir que Flávia inicialmente possuía x reais. Se ela gastou 4/5 do dinheiro, ela possui agora 1/5 de x (fração restante). Em seguida, ela gastou 1/3 do restante. Portanto, ela ficou com 2/3 do restante. A quantia que Flávia agora possui é igual a 2/3 de 1/5 de x. O problema afirma que esta quantia é igual a 40 reais. 23 ∙ 15 ∙ 𝑥 = 40 2𝑥15 = 40 2𝑥 = 15 ∙ 40 2𝑥 = 600 𝑥 = 300 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 02. Dois grupos de trabalhadores são empregados para assentar placas de pisos. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 36 horas. O segundo grupo em 60 horas. O primeiro grupo trabalha durante 4 horas. Após essas horas, o segundo grupo também é contratado. Em quanto tempo os dois grupos juntos terminarão a obra? Resolução O primeiro grupo, em uma hora, faz 1/36 do trabalho. Em 4 horas, o primeiro grupo faz 4/36 = 1/9 do trabalho. Como 1/9 do trabalho já foi executado, precisamos ainda fazer 8/9 (fração restante). Quem irá fazer esta tarefa? Os dois grupos juntos. Sabemos que em 1 hora o primeiro grupo faz 1/36 do serviço. O segundo grupo em 1 hora faz 1/60 do serviço. Juntos, em uma hora, eles fazem RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 25 136+ 160 = 5+ 3180 = 8180 = 245 Vamos agora armar a regra de três. Os dois grupos em 1 hora fazem 2/45 do serviço. Em quanto tempo farão 8/9? Fração Horas 2/45 1 8/9 x 245 ∙ 𝑥 = 89 ∙ 1 2𝑥45 = 89 2𝑥 ∙ 9 = 8 ∙ 45 18𝑥 = 360 𝑥 = 20 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 03. Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 9 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 15 horas. Estando o tanque vazio e abrindo a primeira torneira durante 3 horas e em seguida fechando esta e abrindo a outra torneira, em quanto tempo o tanque estará cheio? Resolução A primeira torneira, em uma hora, enche 1/9 do tanque. Em 3 horas, a primeira torneira enche 3/9 = 1/3 do tanque. Ainda precisamos encher 2/3 do tanque (fração restante). Quem irá encher esta fração restante? A segunda torneira sozinha. A segunda torneira enche o tanque em 15 horas. Assim, em uma hora, ela enche 1/15 do tanque. Em quanto tempo ela encherá 2/3 do tanque? Fração Horas 1/15 1 2/3 x 115 ∙ 𝑥 = 23 ∙ 1 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 26 𝑥15 = 23 3𝑥 = 2 ∙ 15 3𝑥 = 30 𝑥 = 10 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 04. Três grupos de trabalhadores são empregados para lavar externamente um prédio. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 4 dias; o segundo grupo em 6 dias e o terceiro grupo em 12 dias. Se os três grupos trabalharem juntos, em quantos dias o prédio estará lavado? Resolução O primeiro grupo, em um dia, faz 1/4 do trabalho. O segundo grupo, em um dia, faz 1/6 do trabalho. O terceiro grupo, em um dia, faz 1/12 do trabalho. Juntos, em um dia, eles fazem: 14+ 16+ 112 = 3+ 2+ 112 = 612 = 12 Em um dia eles lavam metade do prédio. Assim, eles lavam o prédio todo em 2 dias. Outra maneira seria utilizar a “fórmula” que mostrei anteriormente. Seja x o tempo que eles levam para lavar o prédio juntos. Assim, 14+ 16+ 112 = 1𝑥 12 = 1𝑥 𝑥 = 2 05. Três grupos de trabalhadores são empregados para levantar as paredes de uma casa. O primeiro grupo faz o trabalho todo em 12 dias; o segundo grupo em 18 dias e o terceiro grupo em 24 dias. Se os dois primeiros grupos RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 27 trabalharem juntos durante 2 dias e após esses dias é contratado o terceiro grupo de trabalhadores, em quantos dias a obra estará terminada? Resolução O primeiro grupo, em um dia, executa 1/12 do trabalho. O segundo grupo, em um dia, executa 1/18 do trabalho. O terceiro grupo, em um dia, executa 1/24 do trabalho. Os dois primeiros grupos, em um dia, executam 112+ 118 = 3+ 236 = 536 Só que os dois primeiros grupos trabalharam juntos durante dois dias. Assim, eles executaram 2× 536 = 518 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖ç𝑜 Ainda precisamos executar 13/18 do serviço. Quem executará este serviço? Os três grupos juntos. Os três grupos, em um dia, executam 112+ 118+ 124 = 6+ 4+ 372 = 1372 Vamos armar a regra de três. Os três grupos, em um dia, executam 13/72 do trabalho. Em quanto tempo executarão 13/18? Fração Dias 13/72 1 13/18 x 1372 ∙ 𝑥 = 1318 ∙ 1 13𝑥72 = 1318 Uma dica sobre simplificação. Quando temos uma proporção, ou seja, uma igualdade entre duas frações, como é o caso acima, podemos simplificar os numeradores em lados opostos da equação. Também podemos simplificar os RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 28 denominadores que estão em lados opostos. Assim, podemos cortar 13 com 13. Podemos, se quisermos, também simplificar 18 com 72. 𝑥72 = 118 18𝑥 = 72 𝑥 = 4 𝑑𝑖𝑎𝑠 06. Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 8 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo a primeira torneira durante 4 horas e meia, em seguida abrindo a outra torneira, em mais quanto tempo o tanque estará cheio? Resolução A primeira torneira, em 1 hora, enche 1/8 do tanque. A segunda torneira, em 1 hora, enche 1/6 do tanque. Juntas, em 1 hora, enchem 18+ 16 = 3+ 424 = 724 Pois bem. Voltemos ao enunciado. A primeira torneira trabalhou sozinha durante 4 horas e meia. Assim, ela encheu 4,5/8 do tanque. Ainda precisamos encher 3,5/8 do tanque (fração restante). Quem encherá esta fração restante? As duas torneiras juntas. As duas torneiras, em uma hora, enchem 7/24 do tanque. Em quanto tempo encherão 3,5/8? Vamos armar a regra de três. Fração Horas 7/24 1 3,5/8 x 724 ∙ 𝑥 = 3,58 ∙ 1 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 29 7𝑥24 = 3,58 7𝑥 ∙ 8 = 24 ∙ 3,5 56𝑥 = 84 𝑥 = 1,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 1ℎ30𝑚𝑖𝑛 07. Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanqueem 12 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 18 horas. Estando o tanque com 1/4 de sua capacidade com água e abrindo as duas torneiras, em quanto tempo o tanque estará cheio? Resolução O tanque já está com 1/4 de sua capacidade. Portanto, ainda precisamos encher 3/4 do tanque (fração restante). A primeira torneira, em uma hora, enche 1/12 do tanque. A segunda torneira, em uma hora, enche 1/18 do tanque. Juntas, em uma hora, enchem 112+ 118 = 3+ 236 = 536 Queremos sabem em quanto tempo elas encherão 3/4 do tanque. Fração Horas 5/36 1 3/4 x 536 ∙ 𝑥 = 34 ∙ 1 5𝑥36 = 34 5𝑥 ∙ 4 = 36 ∙ 3 20𝑥 = 108 𝑥 = 5,4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑥 = 5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 + 0,4 ∙ 60𝑚𝑖𝑛 = 5 ℎ 24𝑚𝑖𝑛 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 30 08. Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 12 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 15 horas. O tanque está com 3/20 de sua capacidade com água e abre-se a primeira torneira durante 3 horas. Em seguida, abre-se também a outra torneira. Em quanto tempo as duas torneiras encherão o resto do tanque? Resolução A primeira torneira, em uma hora, enche 1/12 do tanque. Em 3 horas, a primeira torneira enche 3/12 = 1/4 do tanque. O tanque já possuía 3/20 da sua capacidade com água. Agora o tanque possui 320+ 14 = 3+ 520 = 820 = 25 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚 á𝑔𝑢𝑎 Ainda precisamos encher 3/5 do tanque (fração restante). Quem irá encher esta fração restante? As duas torneiras juntas. As duas torneiras, em uma hora, enchem juntas 112+ 115 = 5+ 460 = 960 = 320 𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 Em quanto tempo encherão 3/5? Vamos armar a regra de três. Fração Horas 3/20 1 3/5 x 320 ∙ 𝑥 = 35 ∙ 1 3𝑥20 = 35 3𝑥 ∙ 5 = 20 ∙ 3 15𝑥 = 60 𝑥 = 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 31 09. Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 3 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 4 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo as duas torneiras e o ralo simultaneamente, em quanto tempo o tanque estará cheio? Resolução Em 1 hora, a primeira torneira enche 1/3 do tanque. Em 1 hora, a segunda torneira enche 1/4 do tanque. Em 1 hora, o ralo esvazia 1/6 do tanque. Juntos, em 1 hora, as duas torneiras e o ralo enchem 13+ 14− 16 = 4+ 3− 212 = 512 𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 Em quanto tempo encherão um tanque todo? Fração Horas 5/12 1 1 x 512 ∙ 𝑥 = 1 5𝑥 = 12 𝑥 = 2,4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑥 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 + 0,4 ∙ 60𝑚𝑖𝑛 = 2ℎ 24 𝑚𝑖𝑛 Podemos usar aquela “fórmula geral” para resolver esta questão. Lembre-se apenas que o ralo está “prejudicando” o trabalho. Portanto, colocaremos um sinal negativo no serviço do ralo. Seja x o tempo necessário para encher o tanque. 13+ 14− 16 = 1𝑥 4+ 3− 212 = 1𝑥 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 32 512 = 1𝑥 5𝑥 = 12 𝑥 = 2,4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑥 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 + 0,4 ∙ 60𝑚𝑖𝑛 = 2ℎ 24 𝑚𝑖𝑛 10. Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 12 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 15 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 10 horas. Estando o tanque com metade de sua capacidade com água e abrindo as duas torneiras e o ralo ao mesmo tempo, em quanto tempo o tanque estará cheio? Resolução Em 1 hora, a primeira torneira enche 1/12 do tanque. Em 1 hora, a segunda torneira enche 1/15 do tanque. Em 1 hora, o ralo esvazia 1/10 do tanque. Juntos, em 1 hora, as duas torneiras e o ralo enchem 112+ 115− 110 = 5+ 4− 660 = 360 = 120 𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 O tanque já tem metade (1/2) da sua capacidade com água. Precisamos encher a outra metade (fração restante). Vamos armar a regra de três. Fração Horas 1/20 1 1/2 x 120 ∙ 𝑥 = 12 ∙ 1 𝑥20 = 12 2𝑥 = 20 𝑥 = 10 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
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