AULA02

Prévia do material em texto

Aula 02
Matemática Básica - Curso Básico p/ Concursos (com videoaulas)
Professor: Arthur Lima
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1 
 
AULA 02: PROPORCIONALIDADE 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 12 
3. Lista de exercícios resolvidos 83 
4. Gabarito 110 
 
Prezado aluno, 
 
Em nossa segunda aula falaremos sobre razões, proporções, regra de três 
simples e composta, direta e inversa. São assuntos muito cobrados em editais de 
matemática e também de raciocínio lógico. 
Tenha uma boa aula, e me procure em caso de dúvida! 
 
1. TEORIA: 
 Proporção é uma igualdade entre duas razões (divisões, frações). Dizemos 
que duas grandezas são proporcionais quando é possível criar, entre elas, razões 
que permanecem constantes. Ex.: quando estamos dizendo que as idades de duas 
pessoas, A e B, são proporcionais aos números 5 e 7, podemos criar a seguinte 
igualdade: 
5 7
A B
 
ou 
5
7
A
B
 
 
Precisamos conhecer dois tipos de razões: aquelas com grandezas 
diretamente proporcionais, e aquelas com grandezas inversamente proporcionais. 
 
1.1 Grandezas diretamente proporcionais: dizemos que duas grandezas são 
diretamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra também 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 2 
cresce. Ex.: imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente 
proporcional ao tempo de serviço. Isso quer dizer que, à medida que o tempo de 
serviço aumenta, o salário do profissional também aumenta, e vice-versa. Esse 
crescimento ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma 
razão entre o salário e o tempo trabalhado. Assim, se S1 é o salário de um 
empregado e T1 é o tempo trabalhado por ele atualmente, e S2 é o salário de outro 
empregado que já trabalhou pelo período T2, podemos dizer que: 
1 2
1 2
S S
T T
 
 Podemos ainda usar a regra de três simples para relacionar essas 
grandezas: 
Tempo...........................................Salário 
T1 S1 
T2 S2 
 
 As setas apontadas no mesmo sentido indicam que as duas grandezas 
aumentam (ou diminuem) juntas, ou seja, são diretamente proporcionais. Uma vez 
montada essa regra de três, basta usar a “multiplicação cruzada”, isto é, multiplicar 
os termos das diagonais para obter a seguinte igualdade: 
1 2 2 1T S T S   
 
Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa 
onde salários e tempos de serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos 
de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de Kléber é de R$1500 por mês, 
há quanto tempo ele trabalha nesta empresa? 
Temos duas grandezas envolvidas (tempo trabalhado e salário). Para encontrar 
o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), montamos a seguinte regra 
de três: 
Tempo (anos)...........................................Salário (reais) 
5 1000 
T 1500 
Assim, basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à 
multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000): 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 3 
5 1500 1000
7500 1000
7500
7,5
1000
T
T
T
  
 
 
 
 Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos. 
 
1.2 Grandezas inversamente proporcionais: dizemos que duas grandezas são 
inversamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra diminui. Por 
exemplo, imagine que 2 pedreiros trabalhando juntos levam 6 horas para erguer 
uma parede. Quanto tempo levariam 3 pedreiros? Temos duas grandezas 
inversamente proporcionais: número de pedreiros e tempo para erguer a parede. 
Isso porque, quanto mais pedreiros, menos tempo é necessário. Vamos montar a 
regra de três: 
Número de pedreiros Tempo (hr) 
 2 6 
 3 T 
 Veja que neste caso as setas estão invertidas. Isto porque o número de 
pedreiros aumenta em ordem inversa ao tempo. Por isso, devemos inverter a ordem 
de uma das grandezas antes de multiplicar as diagonais. Vamos inverter a ordem do 
número de pedreiros: 
Número de pedreiros Tempo (hr) 
 3 6 
 2 T 
 Veja que agora as setas apontam na mesma direção. Podemos, então, 
efetuar a multiplicação cruzada: 
3 2 6
12
4
3
T
T
  
 
 
 Portanto, o aumento de número de pedreiros (de 2 para 3) reduz o tempo 
necessário para erguer a parede de 6 para 4 horas. 
 
1.3 Regra de três composta: até aqui trabalhamos apenas com duas grandezas. 
Ao trabalhar com 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 4 
inversamente), temos uma regra de três composta. Vamos entender como funciona 
através de um exemplo: 
2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 
5 pedreiros em 7 meses? 
 Temos, portanto, 3 grandezas: número de pedreiros, número de paredes e 
tempo de construção. Veja o esquema abaixo: 
 
Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 
 2 4 1 
 5 X 7 
 A seguir, colocamos a seta na coluna onde está a grandeza que precisamos 
descobrir (X), apontando para baixo ou para cima (como você quiser): 
 
Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 
 2 4 1 
 5 X 7 
 
Agora, vamos comparar as demais grandezas com aquela onde está o X 
(número de paredes), para descobrir se há uma relação direta ou inversamente 
proporcional entre elas. Observe que, quanto maior o número de paredes, mais 
pedreiros serão necessários para construí-las. Portanto, trata-se de uma relação 
diretamente proporcional. Assim, colocamos a seta no mesmo sentido (isto é, para 
baixo) na coluna do Número de pedreiros: 
 
Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 
 2 4 1 
 5 X 7 
 Da mesma forma, vemos que quanto maior o número de paredes, maior será 
o tempo de construção. Portanto, essas grandezas também são diretamente 
proporcionais, e podemos colocar a seta no mesmo sentido: 
 
 
Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 
 2 4 1 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 5 
 5 X 7 
Obs.: se alguma grandeza fosse inversamente proporcional, colocaríamos a seta no 
sentido oposto. Depois, para colocar a seta no mesmo sentido das demais, 
precisaríamos inverter os termos daquela grandeza (trocá-los de linha). Veremos 
exercícios tratando sobre isso. 
 
 Uma vez alinhadas as setas, podemos igualar a razão onde está a grandeza 
X com o produto das duas outras razões, montando a seguinte proporção: 
4 2 1
5 7X
  
 Feito isso, fica fácil obter o valor de X: 
 
4 2 1
5 7
4 2 1
5 7
4 2
35
2 4 35
70
X
X
X
X
X
 




 

 
 Portanto, seria possível erguer 70 paredes com 5 pedreiros trabalhando por 7 
meses. 
 Resumindo os passos utilizados na resolução de exercícios de regra de três 
composta: 
1. Encontrar quais são as grandezas envolvidas e montar uma tabela com as 
mesmas; 
2. Colocar uma seta na coluna onde estiver o valor a serdescoberto (X) 
3. Comparar as demais grandezas à da coluna do X, verificando se são direta ou 
inversamente proporcionais à ela, e colocando setas no mesmo sentido ou no 
sentido oposto; 
4. Alinhar todas as setas, invertendo os termos das colunas onde for necessário; 
5. Montar a proporção, igualando a razão da coluna com o termo X com o produto 
das demais razões. 
6. Obter X. 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 6 
 Quanto ao passo 5, cabe uma observação: em alguns exercícios, o próprio 
enunciado já “monta a proporção”, dizendo qual razão é proporcional às demais, isto 
é, qual coluna deve ser igualada ao produto das demais. Veremos isso nos 
exercícios. 
 
1.4 Diferenças de rendimento 
 Imagine que Paulo e Marcos levam 1 hora para arrumar 600 livros na 
estante. Sabemos ainda que Paulo, trabalhando sozinho, levaria 3 horas para 
completar este serviço. Quanto tempo levaria Marcos, trabalhando sozinho, para 
completar o serviço? 
 Esse é um tipo de questão que pode aparecer em provas como a sua. Aqui, o 
exercício deixa implícito que podem haver diferenças de rendimento entre os 
trabalhadores. Isto é, pode ser que Paulo seja mais eficiente que Marcos, sendo 
capaz de guardar os livros mais rapidamente. Assim, Paulo gastaria menos tempo 
que Marcos, se cada um tivesse que executar o trabalho inteiro sozinho. 
 Neste tipo de exercício, o enunciado sempre informará dados sobre: 
a) o desempenho dos 2 funcionários trabalhando juntos (neste caso, eles levam 1 
hora para arrumar 600 livros); 
b) o desempenho de um dos funcionários trabalhando sozinho (neste caso, Paulo 
levaria 3 horas). 
 Com base nisso, você precisará deduzir qual é o desempenho do outro 
funcionário, para então calcular o tempo que ele levaria para executar o trabalho 
sozinho. 
 Se Paulo leva 3 horas para guardar 600 livros, em 1 hora ele guarda 200 
livros (600 / 3). Esta foi a parcela de trabalho executada por Paulo quando eles 
trabalharam juntos por 1 hora: 200 livros. Os outros 400 foram guardados por 
Marcos! Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros em 1 hora. Descobrimos o 
desempenho de Marcos. Com isso, podemos calcular o que foi pedido pelo 
enunciado: se Marcos guarda 400 livros em 1 hora, ele levará 1,5 hora para guardar 
os 600 livros, trabalhando sozinho. Vamos escrever as regras de três que seriam 
necessárias para resolver este exercício: 
 
1. Descobrir a parcela do trabalho de Paulo no tempo que trabalharam juntos: 
 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 7 
Horas de trabalho Livros guardados 
3 600 
1 P 
 
3 1 600
200
P
P livros
 

 
 
2. Descobrir a parcela de trabalho de Marcos no tempo que trabalharam juntos: 
P + M = 600 
M = 600 – P = 600 – 200 = 400livros 
 
3. Descobrir o tempo gasto por Marcos para efetuar a tarefa sozinho: 
Horas de trabalho Livros guardados 
1 400 
T 600 
 
1 600 400
600
1,5
400
T
T hora
 
 
 
 
 Você deve ter reparado que a segunda informação dada pelo enunciado 
(tempo gasto por um dos funcionários para executar o trabalho sozinho) serviu para 
obtermos a capacidade de trabalho daquele funcionário. Em alguns exercícios, o 
enunciado pode fornecer a capacidade operacional daquele funcionário. Por 
exemplo: ao invés de ter dito que Paulo leva 3 horas para executar o trabalho 
sozinho, o exercício poderia ter dito que a capacidade operacional de Paulo é 50% 
da capacidade operacional de Marcos (afinal, Paulo guarda 200 livros por hora, 
enquanto Marcos guarda 400). 
 Com essa informação da capacidade operacional em mãos, também seria 
possível resolver o exercício. Bastaria observar que, se Marcos é capaz de guardar 
M livros em 1 hora, então Paulo é capaz de guardar 50% de M, ou seja, 0,5M livros 
no mesmo tempo. Portanto, juntos eles guardam M + 0,5M, ou seja, 1,5M livros em 
1 hora. Com a regra de três abaixo obteríamos a capacidade de trabalho de Marcos 
(M): 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 8 
 
1,5M ----------------------- 600 livros 
M ------------------------- X livros 
1,5 600
600
400
1,5
M X M
X
  
 
 
 Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros por hora, como já havíamos 
constatado no caso anterior. 
 Ao longo dos exercícios você se acostumará a tratar casos onde existem 
diferenças de rendimento. 
 
1.5 Divisão em partes proporcionais 
 Uma propriedade importante das proporções pode ser enunciada assim: 
 Se 
a c
b d
 , então 
a a c
b b d



, e também 
c a c
d b d



 
 
Esta propriedade é muito utilizada na resolução de questões de concursos 
que versam sobre divisão proporcional. Para você entender melhor, vamos trabalhar 
com um exemplo. Suponha que André, Bruno e Carlos são pedreiros, e trabalharam 
juntos na construção de uma casa. O patrão combinou de pagar um total de 
R$40000, sendo que cada pedreiro receberia um valor proporcional ao tempo que 
trabalhasse. Ao final, André trabalhou 200 horas, Bruno trabalhou 300 horas e 
Carlos trabalhou 500 horas. Quanto foi recebido por cada rapaz? 
Chamando de a, b e c os valores recebidos por cada um, sabemos que os 
eles são proporcionais 200, 300 e 500 respectivamente, ou seja: 
200 300 500
a b c
  
 
 Usando a propriedade acima, podemos dizer que: 
200 300 500 200 300 500
200 300 500 1000
a b c a b c
a b c a b c
 
  
 
 
  
 
 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 9 
 Sabemos que o total recebido (ou seja, a + b + c) é de 40000 reais. Assim, 
40000
200 300 500 1000
a b c
   
 
 Assim, podemos encontrar os valores de a, b e c: 
40000
200 1000
a
 
40000
200 8000
1000
a reais   
 
 
40000
300 1000
b
 
40000
300 12000
1000
b reais   
 
40000
500 1000
c
 
40000
500 20000
1000
c reais   
 Note que, de fato, a soma dos valores recebidos por cada um é igual a 40000 
reais. Ao longo dos exercícios de hoje veremos mais alguns exemplos como este. 
 Uma outra forma de efetuar divisões proporcionais consiste no uso de 
‘constantes de proporcionalidade’. Acompanhe a resolução do exercício abaixo para 
entender como efetuar este tipo de divisão proporcional: 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) O número 772 foi dividido em partes diretamente 
proporcionais a 7, 4 e 8 e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente. 
Assinale a alternativa que apresenta o menor desses números. 
(A) 120. 
(B) 160. 
(C) 180. 
(D) 200. 
(E) 240. 
RESOLUÇÃO: 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 10 
 Devemos dividir 772 em três partes, que ao mesmo tempo são diretamente 
proporcionais a 7, 4 e 8, e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. Isto significa que 
podemos escrever cada uma das três partes da seguinte forma: 
- 
7
2
K  (diretamente proporcional a 7 e inversamente proporcional a 2); 
- 
4
3
K  (diretamente proporcional a 4 e inversamente proporcional a 3); 
- 
8
5
K  (diretamente proporcional a 8 e inversamente proporcionala 5); 
 
 Neste caso, chamamos K de “constante de proporcionalidade”. A soma dos 3 
números é igual a 772, ou seja: 
7 4 8
772
2 3 5
K K K      
105 40 48
772
30
K K K 
 
23160 193K 
120K  
 
 Portanto, a constante K é igual a 120. Deste modo, os 3 números são: 
7
2
K  = 120 x (7/2) = 420 
4
3
K  = 120 x (4/3) = 160 
8
5
K  = 120 x (8/5) = 192 
 Repare que, de fato, 160 + 192 + 420 = 772. O menor dos 3 números é 160. 
Resposta: B 
 
1.6 Escalas 
 Para finalizarmos a teoria da aula de hoje, é interessante falarmos sobre um 
tópico muito relacionado com proporcionalidade: as escalas utilizadas em mapas, 
maquetes etc. Quando dizemos que o mapa de uma cidade foi feito na escala de 
1:1000, estamos dizendo que 1 unidade de medida no mapa corresponde a 1000 
unidades no “mundo real”. Ou seja, 1 centímetro no mapa corresponde a 1000cm no 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 11 
mundo real, e 1 metro no mapa corresponde a 1000m (ou 1km) no mundo real. 
Portanto, se a distância entre duas ruas neste mapa estão a 30 cm de distância, a 
distância real pode ser obtida com uma regra de três simples: 
1cm no mapa ---------------------- 1000cm no mundo real 
30cm no mapa --------------------- D cm no mundo real 
 
1 x D = 30 x 1000 
D = 30000cm = 300m 
 
 Entendido? Trabalhar com escalas é muito simples, desde que você saiba 
montar a regra de três! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 12 
2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
1. FCC – TCE/SP – 2012) O robô A percorre um segmento de reta com medida par, 
em metros, em 20 segundos cada metro; um segmento de reta com medida ímpar, 
em metros, é percorrido em 30 segundos cada metro. O robô B percorre em 20 
segundos cada metro os segmentos de medida ímpar, em metros. Os segmentos de 
medida par, em metros, o robô B percorre em 30 segundos. Um percurso com 
segmentos de reta de 2 metros, 3 metros, 4 metros, 7 metros, 4 metros e 3 metros 
será percorrido pelo robô mais rápido, neste percurso, com uma vantagem, em 
segundos, igual a 
(A) 20. 
(B) 30. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 60. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos utilizar regras de três para calcular o tempo gasto por cada robô para 
percorrer cada segmento. Vejamos: 
1) Segmentos de medida par. Estes segmentos somam 2 + 4 + 4 = 10 metros. 
Vejamos o tempo gasto por cada robô: 
Robô A: 
1 metro --------------------------- 20 segundos 
10 metros ------------------------- TempoA 
TempoA = 200 segundos 
 
 
Robô B: 
1 metro --------------------------- 30 segundos 
10 metros ------------------------- TempoB 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 13 
TempoB = 300 segundos 
 
2) Segmentos de medida ímpar. Estes segmentos somam 3 + 7 + 3 = 13 
metros. Vejamos o tempo gasto por cada robô: 
Robô A: 
1 metro --------------------------- 30 segundos 
13 metros ------------------------- TempoA 
TempoA = 390 segundos 
Robô B: 
1 metro --------------------------- 20 segundos 
13 metros ------------------------- TempoB 
TempoB = 260 segundos 
 Assim, o tempo total gasto pelo Robô A é de 200 + 390 = 590 segundos, e 
pelo Robô B é de 300 + 260 = 560 segundos. A diferença é de: 
590 – 560 = 30 segundos 
Resposta: B 
 
2. FCC – TRF/2ª – 2012) Duas empresas X e Y têm, respectivamente, 60 e 90 
funcionários. Sabe-se que, certo dia, em virtude de uma greve dos motoristas de 
ônibus, apenas 42 funcionários de X compareceram ao trabalho e que, em Y, a 
frequência dos funcionários ocorreu na mesma razão. Nessas condições, quantos 
funcionários de Y faltaram ao trabalho nesse dia? 
a) 36 
b) 33 
c) 30 
d) 27 
e) 20 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 14 
RESOLUÇÃO: 
 Se 42 funcionários de X compareceram, então 18 faltaram. Chamando de Z o 
número de funcionários que faltaram na empresa Y, podemos montar a seguinte 
proporção: 
Total de funcionários de X --------------------- Número de faltantes em X 
Total de funcionários de Y --------------------- Número de faltantes em Y 
 
 Colocando os valores que o enunciado forneceu, temos: 
60 ------------------------ 18 
90 ------------------------ Z 
 
 Logo, Z = 90 x 18 / 60 = 27. Isto é, 27 funcionários de Y faltaram ao trabalho. 
Resposta: D 
 
3. FCC – TRF/2ª – 2012) Certo dia, dois Técnicos Judiciários de uma Unidade do 
Tribunal Regional Federal – Nilmar e Abraão – foram incumbidos de arquivar 105 
documentos e expedir um lote com 80 unidades de correspondências. Sabe-se que, 
para a execução de tal tarefa, eles dividiram o total de documentos entre si na razão 
inversa de suas respectivas idades e o total de correspondências, na razão direta de 
seus tempos de serviço no Tribunal. Assim sendo, se Nilmar tem 30 anos de idade e 
trabalha há 8 anos no Tribunal, enquanto que Abraão tem 40 anos e lá trabalha há 
12 anos, é correto afirmar que: 
a) Nilmar arquivou 15 documentos a mais do que o total daqueles arquivados por 
Abraão 
b) Abraão expediu o dobro do número de correspondências expedidas por Nilmar 
c) o número de documentos arquivados por Abraão foi maior que a quantidade de 
correspondências que ele expediu 
d) o número de correspondências expedidas por Nilmar foi maior que a quantidade 
de documentos que ele arquivou 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 15 
e) Abraão e Nilmar arquivaram quantidades iguais de documentos 
RESOLUÇÃO: 
 No caso dos documentos, a divisão é inversamente proporcional às idades. 
Logo, podemos montar a proporção abaixo, chamando de N os documentos de 
Nilmar e A os documentos de Abraão: 
N ------- 40 
A ------- 30 
 Veja que, nessa proporção, já invertemos a posição da coluna das idades. 
Logo, 3N = 4A. Como A + N = 105, então N = 105 – A. Assim: 
3 (105 – A) = 4A 
315 = 7A 
A = 45  N = 60 
 
 No caso das correspondências, a divisão é diretamente proporcional aos 
tempos de serviço. Assim, podemos montar a seguinte proporção, onde N é o 
número de correspondências de Nilmar e A o número de correspondências de 
Abraão: 
 
N ------- 8 
A ------- 12 
Logo, 12N = 8A. Como A + N = 80, então N = 80 – A. Portanto: 
12 (80 – A) = 8A 
3 (80 – A) = 2A 
240 = 5A 
A = 48  N = 80 – 48 = 32 
 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 16 
 Assim, ao todo Abraão arquivou 45 documentos e expediu 48 
correspondências, enquanto Nilmar arquivou 60 documentos e expediu 32 
correspondências. 
Resposta: A 
 
4. FCC – TRF/2ª – 2012) Suponha que, pelo consumo de energia elétrica de uma 
máquina, que durante 30 dias funciona ininterruptamente 8 horas por dia, paga-se o 
total de R$288,00. Se essa máquina passar a funcionar 5 horas por dia, a despesa 
que ela acarretará em 6 dias de funcionamento ininterrupto será de: 
a)R$36,00 
b) R$36,80 
c) R$40,00 
d) R$42,60 
e) R$42,80 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui temos 3 grandezas: dias de funcionamento, horas de funcionamento por 
dia, e valor da conta de energia. Assim, temos: 
30 dias ------------ 8 horas por dia -------------- 288 reais 
6 dias ------------ 5 horas por dia -------------- X reais 
 Sabemos que, quanto maior o número de dias, maior a conta de energia. 
Essas grandezas são diretamente proporcionais. Da mesma forma, quanto maior o 
número de horas de funcionamento por dia, maior a conta de energia. Também são 
grandezas diretamente proporcionais. Assim, basta montar a proporção, igualando a 
razão da coluna onde está o X com a multiplicação das demais razões: 
288 30 8
6 5
288 8
5
5
36
X
X
X reais
 
 

 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 17 
Resposta: A 
 
5. FCC – MPE/PE – 2012) Um casal de idosos determinou, em testamento, que a 
quantia de R$ 4.950,00 fosse doada aos três filhos de seu sobrinho que os ajudara 
nos últimos anos. O casal determinou, também, que a quantia fosse distribuída em 
razão inversamente proporcional à idade de cada filho por ocasião da doação. 
Sabendo que as idades dos filhos eram 2, 5 e x anos respectivamente, e que o filho 
de x anos recebeu R$ 750,00, a idade desconhecida é, em anos, 
(A) 4. 
(B) 6. 
(C) 7. 
(D) 9. 
(E) 8. 
RESOLUÇÃO: 
 Como os valores são inversamente proporcionais às idades, podemos 
também dizer que os valores recebidos são diretamente proporcionais aos inversos 
das idades, ou seja: 
4950 -------------------------- 
1 1 1
2 5x
  
750 ---------------------------- 
1
x
 
 
 Assim, temos: 
1
750
1 1 14950
2 5
x
x

 
 
1
750
10 5 24950
10 10 10
x
x x
x x x

 
 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 18 
1
750
10 74950
10
x
x
x


 
750 1 10
4950 10 7
x
x x
 

 
750 1 10
4950 1 10 7x
 

 
x = 8 
Resposta: E 
 
6. FCC – MPE/PE – 2012) O dono de uma obra verificou que, com o ritmo de 
trabalho de 15 trabalhadores, todos trabalhando apenas 4 horas por dia, o restante 
de sua obra ainda levaria 12 dias para ser encerrado. Para terminar a obra com 9 
dias de trabalho o dono da obra resolveu alterar o número de horas de trabalho por 
dia dos trabalhadores. Com a proposta feita, cinco trabalhadores se desligaram da 
obra. Com o pessoal reduzido, o número de horas de trabalho por dia aumentou 
ainda mais e, mesmo assim, houve acordo e as obras foram retomadas, mantendo-
se o prazo final de 9 dias. Após três dias de trabalho nesse novo ritmo de mais 
horas de trabalho por dia, cinco trabalhadores se desligaram da obra. O dono 
desistiu de manter fixa a previsão do prazo, mas manteve o número de horas de 
trabalho por dia conforme o acordo. Sendo assim, os trabalhadores restantes 
terminaram o que faltava da obra em uma quantidade de dias igual a 
(A) 42. 
(B) 36. 
(C) 24. 
(D) 12. 
(E) 8. 
RESOLUÇÃO: 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 19 
 Temos 3 grandezas envolvidas nesse exercício: número de trabalhadores, 
horas trabalhadas por dia, e tempo para finalizar a obra. Vejamos os dados 
fornecidos inicialmente: 
 
Trabalhadores Horas/Dia Tempo restante 
15 4 12 
 
A seguir temos uma redução de 12 para 9 dias e uma redução de 15 para 10 
trabalhadores. Vejamos qual passa a ser a jornada diária: 
 
Trabalhadores Horas/Dia Tempo restante 
15 4 12 
10 x 9 
 
 Observe que quanto mais horas por dia de trabalho, menos trabalhadores 
são necessários, e menor é o tempo restante da obra. Assim, temos grandezas 
inversamente proporcionais. Invertendo as colunas “trabalhadores” e “tempo 
restante”, temos: 
 
Trabalhadores Horas/Dia Tempo restante 
10 4 9 
15 x 12 
 
4 10 9
15 12x
  
x = 8 horas/dia 
 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 20 
 Durante os 3 primeiros dias, o trabalho foi feito por esses 10 trabalhadores, 
trabalhando 8 horas por dia. Sendo T o trabalho total a ser executado, vejamos 
quanto foi feito nestes primeiros dias. O que sabemos é que, em 9 dias, eles 
finalizariam o trabalho. Assim: 
 
9 dias --------------- T 
3 dias --------------- X 
 
9X = 3T 
X = T/3 
 
 Portanto, 1/3 do trabalho foi executado nos primeiros 3 dias, restando 2/3. 
Neste momento mais 5 trabalhadores abandonaram o serviço, ficando apenas os 
outros 5. Vejamos em quanto tempo eles finalizam o trabalho: 
 
Trabalhadores Tempo restante 
10 6 
5 x 
 
 Observe que quanto mais trabalhadores, menos tempo será necessário para 
acabar o serviço. Isto é, essas grandezas são inversamente proporcionais. 
Invertendo uma das colunas temos: 
 
 
Trabalhadores Tempo restante 
10 x 
5 6 
 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 21 
10 x 6 = 5x 
x = 12 dias 
Resposta: D 
 
7. FCC – BANESE – 2012) Atualmente, o reservatório de combustível de um posto 
de gasolina é abastecido por uma única tubulação. A bomba nela instalada bombeia 
combustível a uma vazão de X litros por hora, conseguindo encher totalmente o 
reservatório, inicialmente vazio, em 5 horas. O dono do posto vai construir outra 
tubulação que atenda o reservatório, instalando nela uma bomba que, trabalhando 
junto com a atual, possa encher totalmente o reservatório em 2 horas. Para que isso 
seja possível, o novo equipamento deverá bombear combustível a uma vazão, em 
litros por hora, de 
(A) X. 
(B) 3X/2 
(C) 2X 
(D) 5X/2 
(E) 3X 
RESOLUÇÃO: 
 Seja Y a vazão da segunda bomba. Quando ela for instalada, a vazão total 
será de X + Y litros por hora. Assim, temos: 
 
 Vazão Tempo para encher 
 X 5 horas 
X + Y 2 horas 
 
 Quanto maior a vazão, menos tempo é gasto para encher o reservatório. 
Logo, temos grandezas inversamente proporcionais. Invertendo uma das colunas, 
temos: 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 22 
 Vazão Tempo para encher 
 X 2 horas 
X + Y 5 horas 
5X = 2X + 2Y 
3X = 2Y 
Y = 3X/2 
Resposta: B 
 
8. FCC – SPPREV – 2012) As garrafas PET são grandes poluentes do meio 
ambiente. Pensando nisso, algumas empresas buscam maneiras de reaproveitar o 
material, tornando-o matéria-prima de outros produtos. É o caso de algumas 
tecelagens que produzem camisetas e sacolas com tecidos feitos da reciclagem de 
garrafas PET. A malha produzida é feita com uma mistura de algodão reciclado de 
tecidos que seriam jogados fora e a fibra da PET. Para cada camiseta são utilizadas 
cerca de 2,5 garrafas de mesmo tamanho. Considerando que a empresa produz 
camisetas de um mesmo tipo e tamanho e já utilizou 2 milhões de garrafas iguais à 
citada anteriormente, com esse total produziu, aproximadamente, 
(A) 80 000 camisetas. 
(B) 800 000 camisetas. 
(C) 50 000camisetas. 
(D) 500 000 camisetas. 
(E) 5 000 000 camisetas. 
RESOLUÇÃO: 
 Basta dividirmos o total utilizado (2 milhões de garrafas) pelo número de 
garrafas necessário para fazer uma camisa (2,5 garrafas). Isto é: 
Total de garrafas
garrafas por camisa
Camisas 
2.000.000
2,5
Camisas 
20.000.000
25
Camisas 
800.000Camisas 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 23 
 
 Também poderíamos ter usado a seguinte regra de três: 
 2,5 garrafas ---------------------------- 1 camisa 
2.000.000 garrafas --------------------- N camisas 
 
N = 2.000.000 / 2,5 = 800.000 camisas 
Resposta: B 
 
9. FCC – SPPREV – 2012) Um pai dispõe de R$ 10.000,00 para dividir entre seus 
três filhos em partes diretamente proporcionais às suas idades: 5, 7 e 13 anos. 
Dessa forma, o filho 
(A) mais novo irá receber R$ 2.000,00. 
(B) mais velho irá receber R$ 5.000,00. 
(C) do meio irá receber R$ 3.000,00. 
(D) mais velho irá receber o dobro da quantia do filho mais novo. 
(E) do meio irá receber a média aritmética das quantias que seus irmãos receberão. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja S o valor recebido pelo filho mais novo. Utilizando a propriedade que 
vimos ao estudar divisão proporcional, temos que: 
5
10000 5 7 13
S

 
 
2000S reais 
Resposta: A 
 
10. FCC – SPPREV – 2012) Uma empresa com 350 funcionários comprou refeições 
congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa 
tivesse 100 funcionários a menos, a quantidade de refeições adquiridas seria 
suficiente para 
(A) 28 dias. 
(B) 30 dias. 
(C) 35 dias. 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 24 
(D) 40 dias. 
(E) 45 dias. 
RESOLUÇÃO: 
 Nesta questão temos: 
 
Número de funcionários Duração das refeições 
350 25 dias 
250 X dias 
 
 Quanto mais funcionários, menos tempo durarão as refeições. São 
grandezas inversamente proporcionais. Invertendo uma das colunas, temos: 
 
Número de funcionários Duração das refeições 
250 25 dias 
350 X dias 
 
 Assim, 
250X = 350 x 25 
X = 35 dias 
Resposta: C 
 
Atenção: use as informações do texto abaixo para resolver as três próximas 
questões 
Para realizar uma determinada tarefa, uma empresa contrata quatro 
funcionários e aluga um equipamento cujo valor do aluguel é determinado por lotes 
de tempo de sua utilização. Não há possibilidade de se pagar fração de lotes. Por 
exemplo: se o equipamento for utilizado durante 3 lotes e um terço de lote será 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 25 
cobrado o equivalente a 4 lotes de tempo de utilização. Sendo assim, os 
funcionários resolveram trabalhar em turnos contínuos, um indivíduo imediatamente 
após o outro. O primeiro funcionário trabalhou o equivalente a quatro terços de um 
lote; o segundo funcionário trabalhou três quartos do tempo que o primeiro havia 
trabalhado; o terceiro funcionário ficou em ação três meios do tempo que o segundo 
havia ficado e o quarto funcionário terminou a tarefa gastando a terça parte do 
tempo que o terceiro havia gasto. A empresa contratante do serviço destinou a 
quantia de R$ 19.500,00 para pagamento dos funcionários que realizassem a tarefa. 
O pagamento foi feito proporcionalmente ao tempo despendido em serviço pelos 
quatro funcionários individualmente. 
 
11. FCC – MPE/PE – 2012) O número de lotes que serão cobrados pelo uso desse 
equipamento é: 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 6. 
(D) 7. 
(E) 8. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja L o símbolo de um lote. Segundo o enunciado, o primeiro funcionário 
trabalhou o equivalente a quatro terços de um lote, isto é, 
4
3
L . 
O segundo funcionário trabalhou três quartos do tempo que o primeiro havia 
trabalhado, ou seja, 
3 4
4 3
L L  . 
 O terceiro funcionário ficou em ação três meios do tempo que o segundo 
havia ficado: 
3
2
L . 
 O quarto funcionário terminou a tarefa gastando a terça parte do tempo que o 
terceiro havia gasto: 
1 3 1
3 2 2
L L  . 
 Somando os gastos de cada funcionário, temos: 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 26 
4 3 1
3 2 2
8 6 9 3
6
26 13
4,333
6 3
L L L L
L
L L L
   
  

 
 
 
 Como não é possível pagar por uma fração de lote, será preciso pagar por 5 
lotes. 
Resposta: B 
 
12. FCC – MPE/PE – 2012) O funcionário que obteve o maior valor recebeu a 
quantia de: 
(A) R$ 3.250,00. 
(B) R$ 4.250,00. 
(C) R$ 5.575,00. 
(D) R$ 6.000,00. 
(E) R$ 6.750,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Como vimos na questão anterior, ao todo foram trabalhados 
13
3
L . Por sua 
vez, a remuneração total foi de 19500 reais. O funcionário que trabalhou mais foi 
aquele que trabalhou por 
3
2
L . Assim, vejamos quanto ele recebeu: 
13
3
L --------------------------- 19500 reais 
3
2
L -------------------------- X 
13 3
19500
3 2
L X L    
13 3
19500
3 2
X   
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 27 
6750X reais 
Resposta: E 
 
13. FCC – MPE/PE – 2012) A empresa que aluga o equipamento possibilita o 
pagamento da locação em duas parcelas, não necessariamente iguais. O primeiro 
pagamento acontece após os dois primeiros operários terem terminado suas tarefas 
e é proporcional ao tempo de uso do equipamento por esses dois primeiros 
operários. Supondo que o aluguel total do equipamento seja de R$ 46.800,00, o 
valor da primeira parcela da locação será de: 
(A) R$ 23.000,00. 
(B) R$ 23.400,00. 
(C) R$ 24.200,00. 
(D) R$ 25.200,00. 
(E) R$ 25.800,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Como vimos, ao todo foram usados 13/3 lotes do equipamento, sendo que os 
dois primeiros funcionários juntos utilizaram 4/3 + 1 = 7/3 lotes. Assim, podemos 
obter a primeira parcela paga pelo aluguel do equipamento através de uma regra de 
três: 
13/3 ----------------------------- 46800 reais 
7/3 ------------------------------- X 
 
X = 25200 reais 
Resposta: D 
 
14. FCC – MPE/AP – 2012) Uma empresa que trabalha com enormes quantidades 
de documentos confidenciais adquiriu 11 máquinas fragmentadoras de papel, 
dividindo-as entre suas duas filiais. Todas as máquinas são capazes de triturar a 
mesma quantidade de papel por hora. Na filial de São Paulo, operando com a 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 28 
máxima capacidade, as máquinas lá entregues trituraram 1.400 kg de papel em 4 
horas. Já as máquinas da filial do Rio de Janeiro, também operando com a máxima 
capacidade, trituraram 500 kg de papel em 2 horas e meia. A quantidade de 
máquinas que foram enviadas para a filial de São Paulo é igual a 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 8 
(E) 9 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos quantos quilos de papel as máquinas do Rio de Janeiro teriam 
triturado se trabalhassem por 4 horas: 
500 kg de papel ------------------------------ 2,5 horas 
X kg de papel -------------------------------- 4 horasX = 800kg 
 
 Agora sim podemos efetuar uma comparação. Sejam N as máquinas 
entregues em São Paulo, de modo que as restantes (11 – N) foram entregues no 
Rio. Assim, em 4 horas de trabalho teríamos: 
 N máquinas -------------------------- 1400kg 
11 – N máquinas ------------------ 800kg 
 
800N = 1400 (11 – N) 
800N = 15400 – 1400N 
N = 7 
 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 29 
 Portanto, 7 máquinas foram enviadas para São Paulo. 
Resposta: C 
 
15. FCC – TRT/1ª – 2013) Um site da internet que auxilia os usuários a calcularem 
a quantidade de carne que deve ser comprada para um churrasco considera que 
quatro homens consomem a mesma quantidade de carne que cinco mulheres. Se 
esse site aconselha que, para 11 homens, devem ser comprados 4.400 gramas de 
carnes, a quantidade de carne, em gramas, que ele deve indicar para um churrasco 
realizado para apenas sete mulheres é igual a 
(A) 2.100. 
(B) 2.240. 
(C) 2.800. 
(D) 2.520. 
(E) 2.450. 
RESOLUÇÃO: 
 Inicialmente podemos verificar a quantos homens correspondem 7 mulheres: 
4 homens ------------------- 5 mulheres 
X homens --------------- 7 mulheres 
X = 28/5 homens 
 
 Sabemos ainda que 11 homens consomem 4400g de carne. Vejamos quanto 
seria necessário para 28/5 homens (isto é, 7 mulheres): 
11 homens -------------- 4400g 
28/5 homens ------------ C 
C = (28/5) X 4400 / 11 = 2240g 
Resposta: B 
 
16. FCC – TRT/12ª – 2013) A partir de meio-dia um relógio de ponteiros começa a 
atrasar 2 segundos e 2 décimos de segundo a cada 1 minuto. Sendo assim, no 
horário correto das 16h desse mesmo dia, o ponteiro dos segundos desse relógio 
estará apontando para a marcação do mostrador correspondente ao número 
(A) 12. 
(B) 43. 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 30 
(C) 34. 
(D) 48. 
(E) 17. 
RESOLUÇÃO: 
 Do meio dia (12h) às 16h temos um espaço de 4 horas, ou 4 x 60 minutos, 
isto é, 240 minutos. Se em 1 minuto o relógio atrasa 2,2 segundos, em 240 minutos 
o atraso do relógio é: 
1 minuto ------------------------ 2,2 segundos 
240 minutos -------------------- T segundos 
 
1 x T = 240 x 2,2 
T = 528 segundos 
 
Isto significa que quando a hora certa for 16h, o relógio estará 528 segundos 
atrás. Lembrando que 1 minuto contém 60 segundos, vemos que: 
1 minuto ---------------------- 60 segundos 
N minutos -------------------528 segundos 
 
1 x 528 = N x 60 
N = 528 / 60 minutos 
 
Dividindo 528 por 60, obtemos quociente 8 e resto 48. Assim, o relógio estará 
8 minutos e 48 segundos atrás. Para isso, ao invés de marcar 16:00:00, ele estará 
marcando 15:51:12 (veja que, de fato, somando mais 8 minutos e 48 segundos, 
chegamos a 16h). Deste modo, o ponteiro dos segundos estará na posição 12. 
Resposta: A 
 
17. FCC – TRF/2ª – 2012) Certo dia, no início do expediente, um Técnico Judiciário 
constatou que no almoxarifado do Tribunal havia 120 pastas, 60% das quais eram 
verdes e as demais, azuis. Sabe-se que, tendo sido retiradas algumas pastas do 
almoxarifado, no final do expediente ele constatou que a porcentagem do número 
de pastas verdes havia se reduzido a 52% do total de pastas que lá restavam. 
Assim, considerando que o número de pastas azuis era o mesmo que havia 
inicialmente, a quantidade de pastas verdes que foram retiradas é um número: 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 31 
a) menor que 10 
b) compreendido entre 10 e 18 
c) compreendido entre 18 e 25 
d) compreendido entre 25 e 30 
e) maior que 30 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos calcular o número de pastas de cada cor que haviam inicialmente, 
lembrando que o total era de 120: 
 Verdes = 60% de 120 = 60% x 120 = 0,6 x 120 = 72 
 Azuis = 120 – 72 = 48 
 Ao final do expediente, as pastas verdes eram apenas 52% do total, de modo 
que as pastas azuis passaram a representar 48% do total. Deste modo, podemos 
calcular o número total de pastas restantes: 
48 pastas azuis ------------------- 48% 
Total de pastas restantes-------- 100% 
 
 Logo, Total de pastas restantes = 100 pastas. Destas, as pastas verdes são 
100 – 48 (azuis) = 52. 
 Se haviam 72 pastas verdes no início do expediente e, ao final, apenas 52, 
então podemos dizer que 20 pastas verdes foram retiradas. 
Resposta: C 
 
18. IBFC – Seplag/FHA – 2012) Paulo pagou R$ 15,62 por 4 kg de um produto A e 
R$ 19,53 por 5 kg de um produto B. Nessas condições, e sem arredondar as casas 
decimais, pode-se dizer que: 
a) o valor de 10 kg do produto A é maior que o valor de 10 kg do produto B. 
b) o valor de 10 kg do produto A é igual ao valor de 10 kg do produto B. 
c) o valor de 10 kg do produto A é menor que o valor de 10 kg do produto B. 
d) só é possível resolver a questão se arredondarmos as casas decimais. 
RESOLUÇÃO: 
 É possível obter o valor de 10kg de cada produto através de regras de três: 
4kg de A ------------ 15,62 reais 
10kg de A ---------------- R reais 
4R = 156,2 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 32 
R = 39,05 reais 
 
5kg de B --------------- 19,53 reais 
10kg de B --------------- T reais 
5T = 195,3 
T = 39,06 reais 
 
Assim, o valor de 10 kg do produto A é menor que o valor de 10 kg do 
produto B. 
Resposta: C 
 
19. IBFC – Pref. Campinas – 2012) Para completar uma obra foram necessários 12 
pedreiros trabalhando 6 horas por dia. Se a obra tivesse que ser feita com 3 
pedreiros a menos então o total de horas necessárias para completar a obra seria 
de: 
a) 8 
b) 9 
c) 4,5 
d) 10 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui temos: 
Pedreiros Horas por dia 
12 6 
9 H 
 
 Quanto MAIS pedreiros, MENOS horas por dia são necessárias. Assim, 
devemos inverter uma das colunas: 
 
Pedreiros Horas por dia 
9 6 
12 H 
 
 Assim: 
9/12 = 6/H 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 33 
12/9 = H/6 
H = 8 horas por dia 
Resposta: A 
 
20. FGV – POLÍCIA CIVIL/MA – 2012 ) Em uma sala há policiais civis e militares do 
Estado do Maranhão, bem como policiais federais. Nessa sala, para cada dois 
policiais civis do Estado do Maranhão há três policiais militares e para cada três 
policiais militares há cinco policiais federais. 
Em relação ao número total de policiais na sala, a porcentagem daqueles que são 
policiais civis do Estado do Maranhão é de: 
(A) 10%. 
(B) 15%. 
(C) 20%. 
(D) 25%. 
(E) 30%. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja C, M e F o número de policiais civis, militares e federais, 
respectivamente. Para cada dois policiais civis há três militares: 
C -------------------------- M 
2 -------------------------- 3 
 
3C = 2M 
M = 3C/2 
 
Para cada três policiais militares há cinco policiais federais: 
M -------------------------- F 
3 --------------------------- 5 
 
5M = 3F 
F = 5M/3 
 
 Como M = 3C/2, podemos substituir M na equação acima, ficando com: 
F = 5 x (3C/2) / 3 
F = 5C/2 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof.Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 34 
 
O total de policiais é, portanto: 
Total = C + M + F 
Total = C + 3C/2 + 5C/2 
Total = 10C/2 
 
 Assim, os “C” policiais civis representam, percentualmente: 
P = C / Total 
P = C / (10C/2) 
P = 2/10 
P = 20% 
RESPOSTA: C 
 
21. FGV – ASSEMBLEIA LEGISLATIVA/MA – 2013 ) Um pedreiro utilizou 800 
tijolos para construir um muro com dois metros de altura e vinte metros de 
comprimento. Agora esse pedreiro deseja construir outro muro com três metros de 
altura e trinta metros de comprimento, utilizando exatamente a mesma técnica e o 
mesmo tijolo utilizado na construção do primeiro muro. A quantidade de tijolos 
necessária para a construção do segundo muro é 
a) 1200. 
b) 1500. 
c) 1600. 
d) 1800. 
e) 2400. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos as grandezas “tijolos”, “altura” e “comprimento”: 
 
Tijolos Altura Comprimento 
800 2 20 
T 3 30 
 
 Quanto MAIS tijolos, MAIS alto o muro que podemos construir, e MAIS 
comprido ele pode ser. Temos grandezas diretamente proporcionais. Assim, 
montando a proporção: 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 35 
800 2 20
3 30T
  
1800T tijolos 
RESPOSTA: D 
 
22. FGV – ASSEMBLEIA LEGISLATIVA/MA – 2013) Para fazer uma miniatura de 
sorveteiro foram utilizados 120 gramas de argila. Para fazer outra miniatura de 
sorveteiro, com exatamente as mesmas proporções da primeira e com a metade da 
altura, a quantidade necessária dessa mesma argila, em gramas, é Q. O valor de Q 
é 
a) 80. 
b) 75. 
c) 60. 
d) 30. 
e) 15. 
RESOLUÇÃO: 
 Em primeiro lugar, o que é um sorveteiro? Bom, uma interpretação é que se 
esteja referindo ao carrinho utilizado para vender sorvetes na rua. Podemos assumir 
que se trata de um paralelepípedo, com altura A, comprimento C e largura L. Se o 
novo sorveteiro tem as mesmas proporções e metade da altura (ou seja, A/2), é 
preciso ter metade do comprimento e metade da largura também. Temos: 
 
Argila Altura Largura Comprimento 
120 A L C 
Q A/2 L/2 C/2 
 
 Quanto MAIS argila, MAIOR altura, MAIOR largura e MAIOR comprimento o 
sorveteiro pode ter. Assim, temos grandezas diretamente proporcionais. Montando a 
proporção: 
120
/ 2 / 2 / 2
A L C
Q A L C
   
120
2 2 2
Q
   
15Q gramas 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 36 
RESPOSTA: E 
 
23. VUNESP – Pref. São Carlos – 2012) Paguei R$ 50,00 por 3,5 metros de um 
tecido. O preço de 21 metros desse tecido é 
(A) R$ 270,00. 
(B) R$ 280,00. 
(C) R$ 290,00. 
(D) R$ 300,00. 
(E) R$ 310,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui temos a regra de três: 
50 reais ----------------- 3,5 metros 
X reais ----------------- 21 metros 
 
50 x 21 = 3,5X 
X = 300 reais 
Resposta: D 
 
24. VUNESP – Pref. São Carlos – 2012) Para varrer uma longa avenida, uma 
equipe de nove garis demora três horas. Se diminuirmos três garis dessa equipe, 
sendo que todos têm o mesmo ritmo de trabalho, essa mesma avenida será varrida 
em 
(A) 4 horas. 
(B) 4 horas e 15 minutos. 
(C) 4 horas e 30 minutos. 
(D) 4 horas e 45 minutos. 
(E) 5 horas. 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 37 
RESOLUÇÃO: 
 Temos as grandezas “número de garis” e “tempo de trabalho”. Assim: 
 
Número de garis Tempo de trabalho 
9 3 horas 
9 – 3 T horas 
 
 Observe que, quanto mais garis, menos tempo é necessário para terminar o 
trabalho. Isto é, as grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo uma das 
colunas, temos: 
Número de garis Tempo de trabalho 
9 – 3 3 horas 
9 T horas 
 
 Agora sim podemos montar a proporção e encontrar T: 
9 3 3
9
6 3
9
4,5
T
T
T horas




 
 Como sabemos, 4,5 horas correspondem a 4 horas e meia, isto é, 4 horas e 
30 minutos. 
Resposta: C 
 
25. VUNESP – Pref. São Carlos – 2012) Para calcular o número aproximado de 
pessoas em um show, calcula-se quantas pessoas estão em um metro quadrado e 
multiplica-se pela área que elas ocupam. Em um show de rock, havia, segundo as 
autoridades, 55 000 pessoas, aproximadamente, sendo que havia seis pessoas em 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 38 
cada metro quadrado. A área que essas pessoas estavam ocupando era de um 
pouco mais de 
(A) 9 000 m2. 
(B) 10 000 m2. 
(C) 11 000 m2. 
(D) 12 000 m2. 
(E) 13 000 m2. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos 6 pessoas em 1 metro quadrado. Assim, podemos saber quantos 
metros quadrados são necessários para comportar 55000 pessoas: 
 
6 pessoas --------------------------- 1m2 
55000 -------------------------------- Área 
 
6 x Área = 55000 x 1 
Área = 9166,67m2 
 
 Portanto, a área necessária é pouco mais de 9000m2. 
Resposta: A 
 
26. VUNESP – SAP/SP – 2012) Com 1 litro de tinta, Clayton consegue pintar uma 
parede de 10 m2 em 25 minutos. Trabalhando no mesmo ritmo e nas mesmas 
condições de uso da tinta, para pintar uma parede de 14 m2, Clayton precisa de 
(A) 1,4 litros e 30 minutos. 
(B) 1,4 litros e 35 minutos. 
(C) 1,6 litros e 30 minutos. 
(D) 1,6 litros e 35 minutos. 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 39 
(E) 1,8 litros e 30 minutos. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos trabalhar separadamente com o tempo e a quantidade de tinta. Basta 
ver que estas grandezas são diretamente proporcionais à área a ser pintada, isto é, 
quanto maior a área ser pintada, mais tempo e mais tinta são gastos. 
 Quanto ao tempo necessário, temos: 
25 minutos --------------------------- 10m2 
T minutos ---------------------------- 14m2 
 
25 x 14 = 10T 
T = 35 minutos 
 
 Quanto à quantidade de tinta necessária, temos: 
1 litro --------------------------- 10m2 
L litros ---------------------------- 14m2 
 
1 x 14 = 10L 
L = 1,4 litros 
 
 Assim, para pintar 14m2 são necessários 1,4 litros de tinta e 35 minutos. 
Resposta: B 
 
27. VUNESP – SAP – 2012) A área que o estado de São Paulo possui é, 
aproximadamente, 250 000 km2 e sua população é de, aproximadamente, 41 
milhões de pessoas. Sendo a densidade demográfica a razão entre a população e a 
área ocupada, pode-se afirmar que a densidade demográfica, em habitantes por 
quilômetros quadrados, do estado de São Paulo é 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 40 
(A) 0,16. 
(B) 16,4. 
(C) 164. 
(D) 1 640. 
(E) 16 640. 
RESOLUÇÃO: 
 Segundo o enunciado, a densidade demográfica é a razão entre a população 
e a área, ou seja: 
22
41000000
164
250000
População pessoas pessoasDensidade
kmÁrea km
   
Resposta: C 
 
28. VUNESP – SAP/SP – 2012) Trezentos detentos foram transferidos de um 
presídio superlotado e distribuídos em outras duas penitenciárias, em quantidades 
diretamente proporcionais ao número de vagas disponíveis em cada uma. Se a 
penitenciária A tinha 420 vagas disponíveise se a penitenciária B recebeu 100 
detentos, então o número de vagas disponíveis na penitenciária B era 
(A) 230. 
(B) 210. 
(C) 200. 
(D) 180. 
(E) 170. 
RESOLUÇÃO: 
 Como a penitenciária B recebeu 100 presos, então os outros 200 presos 
foram para a penitenciária A. Sabemos que o número de presos é proporcional ao 
número de vagas. Assim, temos: 
 
 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 41 
Vagas Presos 
Penitenciária A: 200 420 
Penitenciária B: 100 X 
 
200X = 100 x 420 
X = 210 
 
 Assim, a penitenciária B tem 210 vagas. 
Resposta: B 
 
29. VUNESP – SAP/SP – 2012) Na oficina de trabalhos manuais, uma equipe de 
detentos realizou 2/5 de um trabalho em 8 dias, trabalhando 6 horas por dia. 
Mantendo a mesma produtividade por hora e trabalhando 2 horas a mais por dia, 
essa mesma equipe terminará o projeto em mais 
(A) 8 dias. 
(B) 9 dias. 
(C) 10 dias. 
(D) 11 dias. 
(E) 12 dias. 
RESOLUÇÃO: 
 Como 2/5 do trabalho já foram realizados, restam ainda 3/5 para finalizar. 
Como na segunda parte serão trabalhadas 2 horas a mais por dia, os turnos de 
trabalho serão de 8 horas cada. Organizando as grandezas do enunciado, temos: 
 
Quantidade de trabalho Dias de trabalho Horas por dia 
2/5 8 6 
3/5 D 8 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 42 
 Quanto mais dias de trabalho, maior a quantidade de trabalho que pode ser 
feita. Assim, essas grandezas são diretamente proporcionais. Já quanto mais dias 
de trabalho, menos horas precisam ser utilizadas por dia para finalizar a empreitada. 
Deste modo, essas grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo os 
valores da coluna “horas por dia”, temos: 
 
Quantidade de trabalho Dias de trabalho Horas por dia 
2/5 8 8 
3/5 D 6 
 
 Agora podemos montar a proporção: 
8 2 / 5 8
3 / 5 6
8 2 4
3 3
9 
D
D
D dias
 
 

 
Resposta: B 
 
30. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) São necessários 50 litros de água para 
irrigar um gramado retangular de 8 metros de largura por 10 metros de 
comprimento. Para que outro gramado, também retangular, de 4 metros de largura 
por 20 metros de comprimento, tenha uma irrigação na mesma proporção, serão 
necessários 
(A) 24 litros. 
(B) 36 litros. 
(C) 42 litros. 
(D) 50 litros. 
(E) 56 litros. 
RESOLUÇÃO: 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 43 
 O primeiro gramado tem 8 metros de largura e 10 de comprimento, de modo 
que sua área é: 
A = largura x comprimento = 8 x 10 = 80m2 
 
 Já o segundo gramado tem área de: 
A = largura x comprimento = 4 x 20 = 80m2 
 
 Deste modo, como ambos os gramados tem mesma área, a mesma 
quantidade de água é necessária: 50 litros. 
Resposta: D 
 
31. VUNESP – UNESP – 2012) Uma máquina produz 70 parafusos por minuto, e 
outra máquina, mais nova, produz 120 parafusos por minuto. As duas máquinas 
iniciaram ao mesmo tempo a produção de um lote de 6 000 parafusos, porém, após 
15 minutos, a máquina mais nova quebrou. O tempo necessário, em minutos, para 
que a máquina antiga complete a tarefa sozinha, a partir do momento da quebra da 
máquina mais nova, é 
(A) 25. 
(B) 30. 
(C) 35. 
(D) 40. 
(E) 45. 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos quantos parafusos foram fabricados pela primeira máquina nos 15 
minutos iniciais: 
70 parafusos ------------------------- 1 minuto 
 X parafusos -------------------------- 15 minutos 
 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 44 
70 x 15 = 1X 
X = 1050 parafusos 
 
 Neste mesmo tempo, a máquina mais nova produziu: 
120 parafusos ------------------------- 1 minuto 
 X parafusos -------------------------- 15 minutos 
 
120 x 15 = 1X 
X = 1800 parafusos 
 
 Assim, após 15 minutos foram produzidos 1050 + 1800 = 2850 parafusos. 
Para chegar a 6000, faltam 6000 – 2850 = 3150 parafusos. Vejamos quanto tempo a 
máquina antiga gasta para produzi-los: 
70 parafusos ------------------------- 1 minuto 
 3150 parafusos -------------------------- T minutos 
 
70T = 3150 x 1 
T = 45 minutos 
Resposta: E 
 
32. VUNESP – SEFAZ/SP – 2013) O gerente de uma loja tem títulos de cobrança 
com 3 agentes, A, B e C. Ele quer distribuir os R$ 340.000,00 para cobrança de 
modo que cada agente receba proporcionalmente ao que cada um deles recebeu no 
último mês. No ultimo mês, o agente A recebeu 80% dos títulos, o agente B recebeu 
70% e o agente C recebeu apenas 50%. Nessas condições, pode-se afirmar 
corretamente que 
(A) a soma do que receberam A e B foi de R$ 242.000,00. 
(B) a soma do que receberam B e C foi de R$ 238.000,00. 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 45 
(C) o agente A recebeu R$ 136.000,00. 
(D) o agente B recebeu R$ 102.000,00. 
(E) o agente C recebeu R$ 170.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Os valores recebidos por A, B e C são proporcionais a 80%, 70% e 50% 
respectivamente. O total distribuído é de 340.000 reais. Assim: 
Valor recebido por A % de A
=
Total % Total
 
Valor recebido por A 80%
=
340000 80%+70%+50%
 
0,8
Valor recebido por A=340000 136000
2
reais  
 
 De maneira análoga, temos: 
0,7
Valor recebido por B=340000 119000
2
reais  
0,5
Valor recebido por C=340000 85000
2
reais  
 
 Repare que, de fato, 136000 + 119000 + 85000 = 340000 reais. Nosso 
gabarito é a alternativa C. 
Resposta: C 
 
33. CEPERJ – DEGASE – 2012) Uma pessoa levou 1 hora, 40 minutos e 20 
segundos para realizar determinada tarefa. O tempo total de trabalho dessa pessoa, 
em segundos, vale: 
A) 120 
B) 1420 
C) 3660 
D) 4120 
E) 6020 
RESOLUÇÃO: 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 46 
 Aqui podemos usar regras de três simples para converter o tempo do 
enunciado em segundos. Sabemos que 1 hora corresponde a 60 minutos. Somando 
com os outros 40 minutos, temos 100 minutos. Assim: 
1 minuto ------------------------ 60 segundos 
100min. ------------------------- X segundos 
X = 60 x 100 = 6000 segundos 
 
 Somando com os 20 segundos restantes, temos 6020 segundos. 
Resposta: E 
 
34. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2012) Sabe-se que 30 patos comem 18kg de milho 
em 3 dias, e que n patos comerão 80kg de milho em 4 dias. O valor de n é: 
A) 80 
B) 100 
C) 120 
D) 140 
E) 150 
RESOLUÇÃO: 
 Temos 3 grandezas: número de patos, quantidade de milho e número de 
dias. Vamos colocá-las abaixo conforme dito pelo enunciado: 
 
Número de patos Quantidade de milho Número de dias 
30 18 3 
n 80 4 
 
 Quanto mais patos, maior a quantidade de milho necessária. São grandezas 
diretamente proporcionais. E quanto mais patos, menor o número de dias que eles 
gastarão para comer tudo. São grandezas inversamente proporcionais. Portanto, 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOSProf. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 47 
antes de montar a proporção, precisamos inverter a coluna do número de dias. 
Invertendo-a, temos: 
 
Número de patos Quantidade de milho Número de dias 
30 18 4 
n 80 3 
 
 Agora sim podemos montar a proporção: 
30 18 4
80 3n
  
 
 Com isso, obtemos o valor de n: 
30 18 4
80 3
30 80 3 18 4
30 80 3
100
18 4
n
n
n
 
    
 
 

 
 
 Ou seja, são necessários 100 patos para comer 80kg de ração em 4 dias. 
Resposta: B 
 
35. CEPERJ – PROCON/RJ – 2012) Na construção de uma fábrica, todos os 120 
operários moram no alojamento e fazem suas refeições no refeitório. A nutricionista 
informou que eles consomem 90kg de feijão em 6 dias. A próxima etapa da obra 
será realizada com 180 operários e deverá durar 20 dias. A quantidade de feijão que 
deve ser consumida nessa próxima etapa é de: 
A) 270kg 
B) 360kg 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 48 
C) 400kg 
D) 450kg 
E) 540kg 
RESOLUÇÃO: 
 Temos as grandezas: número de operários, quantidade de feijão, e dias de 
consumo. Foi dado: 
 
Operários Feijão Dias 
120 90 6 
 180 X 20 
 
 Quanto mais feijão, mais operários podem ser alimentados. E quanto mais 
feijão, mais dias de obra podem ser supridos. Assim, temos grandezas diretamente 
proporcionais. Logo: 
90 120 6
180 20X
  
X = 450kg de feijão 
Resposta: D 
 
36. CEPERJ – PROCON/RJ – 2012) Sabe-se que 4 máquinas iguais, trabalhando o 
dia inteiro durante 4 dias, produzem 40 toneladas de fertilizante. Assim, a 
quantidade de fertilizante que 6 dessas máquinas, trabalhando o dia inteiro durante 
6 dias, produzirão é de: 
A) 60 toneladas 
B) 75 toneladas 
C) 90 toneladas 
D) 120 toneladas 
E) 150 toneladas 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 49 
RESOLUÇÃO: 
 Temos as grandezas: número de máquinas, dias de trabalho, fertilizante 
produzido. Foi dado: 
 
Máquinas Dias Fertilizante 
 4 4 40 
6 6 X 
 
 Veja que quanto mais fertilizante precisar ser produzido, mais dias de 
trabalho são necessários, e mais máquinas também. Temos grandezas diretamente 
proporcionais. Assim: 
40 4 4
6 6X
  
90X toneladas 
Resposta: C 
 
37. CESGRANRIO – CMB – 2012) No país X, a moeda é o PAFE e, no país Y, a 
moeda é o LUVE. Se 1,00 PAFE é equivalente a 0,85 LUVES, então 17,00 LUVES 
equivalem a quantos PAFES? 
 a) 14,45 
 b) 17,00 
 c) 20,00 
 d) 144,50 
 e) 200,00 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos montar a regra de três: 
1 PAFE ------------------ 0,85 LUVES 
X PAFES ------------- 17 LUVES 
 
1 x 17 = 0,85X 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 50 
X = 17 / 0,85 
X = 20 PAFES 
Resposta: C 
 
38. CESGRANRIO – Banco do Brasil – 2012) No Brasil, quase toda a produção de 
latas de alumínio é reciclada. As empresas de reciclagem pagam R$ 320,00 por 100 
kg de latas usadas, sendo que um quilograma corresponde a 74 latas. 
 
De acordo com essas informações, quantos reais receberá um catador ao vender 
703 latas de alumínio? 
 a) 23,15 
 b) 23,98 
 c) 28,80 
 d) 28,96 
 e) 30,40 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos a quantos kg correspondem 703 latas: 
74 latas -------------- 1kg 
703 latas ----------- X kg 
74X = 703 
X = 9,5kg 
 
 
 Como 100kg valem 320 reais, vejamos quando valem 9,5kg: 
100kg -------------- 320 reais 
9,5kg ----------------- P 
 
100P = 9,5 x 320 
P = 30,40 reais 
Resposta: E 
 
39. FCC – TRT/16ª – 2014) Dois nadadores partem ao mesmo tempo de extremos 
opostos de uma piscina retilínea de 90 metros. Ambos nadadores nadam com 
velocidades constantes, um deles percorrendo 2 metros por cada segundo, e o 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 51 
outro percorrendo 3 metros por cada segundo. Supondo que os nadadores não 
perdem nem ganham tempo ao fazerem as viradas nos extremos da piscina, o 
segundo encontro dos dois nadadores na piscina ocorrerá após t segundos da 
partida dos nadadores. Nas condições dadas, t é igual a 
(A) 36. 
(B) 54. 
(C) 58. 
(D) 56. 
(E) 48. 
RESOLUÇÃO: 
 Cada nadador parte de um extremo, e nada 90m até a outra extremidade. Ao 
longo dessa primeira passagem, há o primeiro encontro entre eles. Então cada 
nadador volta no sentido oposto, e aí ocorre o segundo encontro. Portanto, a soma 
das distâncias percorridas por cada um deles, na segunda piscina, é de 90m. 
 Se nessa segunda passagem o nadador mais rápido nadou D metros, o mais 
lento nadou 90 – D metros. 
 Assim, o nadador mais rápido nadou 90 + D metros, e o mais lento nadou 90 
+ (90 – D) = 180 – D metros. Como eles gastaram o mesmo tempo, podemos dizer 
que: 
90 + D ------------------ 3 metros por segundo 
180 – D ---------------- 2 metros por segundo 
 
2 x (90 + D) = 3 x (180 – D) 
180 + 2D = 540 – 3D 
D = 72 metros 
 
 Assim, o nadador mais rápido nadou 90 + D = 90 + 72 = 162 metros até o 
segundo encontro. O tempo gasto foi: 
3 metros -------------- 1 segundo 
162 metros ------------ t segundos 
 
3t = 162 
t = 54 segundos 
Resposta: B 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 52 
 
40. FCC – TRT/16ª – 2014) André pensou que realizaria uma tarefa em 20 dias, 
porém, levou 20 dias a mais porque trabalhou 3 horas a menos por dia. Se a 
produtividade de André por hora se manteve sempre a mesma durante a realização 
da tarefa, o número de horas diárias que André dedicou à realização da tarefa foi 
igual a 
(A) 6. 
(B) 5. 
(C) 5,5. 
(D) 3,5. 
(E) 3. 
RESOLUÇÃO: 
 André faria a tarefa em 20 dias, se gastasse “H” horas por dia. Como ele 
gastou H – 3 horas por dia, ele levou 40 dias para fazer o trabalho. Ou seja: 
 
Dias Horas por dia 
20 H 
40 H – 3 
 
 Quanto MAIS horas por dia forem trabalhadas, MENOS dias são necessários. 
As grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo uma das colunas: 
 
Dias Horas por dia 
40 H 
20 H – 3 
 
 Montando a proporção: 
40 / 20 = H / (H – 3) 
2 = H / (H – 3) 
2H – 6 = H 
H = 6 horas por dia 
 
 Como André gastou 3 horas a menos por dia, ele trabalhou 6 – 3 = 3 horas 
por dia apenas. 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 53 
Resposta: E 
 
41. ESAF – STN – 2012) Um país distante está enfrentando uma epidemia bastante 
grave que precisa de um lote de comprimidos EPIDEM, de modo a minimizar os 
efeitos devastadores da doença. Contudo, a produção do EPIDEM é feita sob 
encomenda por apenas dois laboratórios: LAB1 e o LAB2. As autoridades públicas, 
preocupadas com a grande demanda por esse medicamento, precisam saber em 
quanto tempo receberão o determinado lote, uma vez que foram informadas que, 
para a fabricação de um lote de EPIDEM, o LAB1 precisa de 4 dias e o LAB2precisa 
de 6 dias para a fabricação do mesmo lote de EPIDEM. Para o rápido atendimento 
da demanda, as autoridades públicas solicitaram aos dois laboratórios para 
trabalharem em conjunto. Desse modo, o número de dias – considerando-se até 
duas casas decimais – necessários para que os 2 laboratórios, trabalhando em 
conjunto, produzam o lote de EPIDEM é, em valor aproximado, igual a: 
a) 2,4 
b) 2,16 
c) 3,64 
d) 10 
e) 24,4 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de L o total do lote que precisa ser fabricado. O LAB1 levaria 
4 dias para fabricar este lote, ou seja, a cada dia ele produziria L/4. Já o LAB2 
levaria 6 dias para fabricar o mesmo lote, de modo que a cada dia ele produziria L/6. 
 Juntos, esses laboratórios fabricam, em um dia: 
Produção conjunta em 1 dia = L/4 + L/6 = 5L/12 
 
 O tempo para produzir um lote inteiro (L) pelos dois laboratórios em conjunto 
pode ser obtido em uma regra de três simples: 
 
5L/12 -------------------- 1 dia 
L -------------------------- D dias 
 
(5L/12) x D = L x 1 
5D/12 = 1 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 54 
D = 12 / 5 
D = 2,4 dias 
RESPOSTA: A 
 
42. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) Em um tanque há 3 torneiras. A primeira 
enche o tanque em 5 horas, a segunda, em 8 horas, já a terceira o esvazia em 4 
horas. Abrindo-se as 3 torneiras ao mesmo tempo e estando o tanque vazio, em 
quanto tempo o tanque ficará cheio? 
a) 10 horas e 40 minutos 
b) 13 horas e 20 minutos 
c) 14 horas e 30 minutos 
d) 11 horas e 50 minutos 
e) 12 horas e 10 minutos 
RESOLUÇÃO: 
 A primeira torneira enche o tanque em 5 horas. Portanto, a cada hora essa 
torneira coloca 1/5 do volume total do tanque, que chamaremos de T. Em outras 
palavras, ela adiciona T/5 litros em uma hora. 
 A segunda torneira enche o tanque em 8 horas, ou seja, a cada hora ela 
coloca T/8 litros no tanque. 
 A terceira o esvazia em 4 horas. Isto é, a cada hora ela retira T/4 litros do 
tanque. 
 Somando o volume colocado pelas torneiras 1 e 2 e subtraindo o volume 
retirado pela torneira 3 em uma hora, temos: 
Em uma hora = T/5 + T/8 – T/4 
Em uma hora = 8T/40 + 5T/40 – 10T/40 
Em uma hora = 3T/40 
 
 Portanto, em 1 hora o volume do tanque aumenta em 3T/40. Para chegar até 
o volume total (isto é, 40T/40, ou simplesmente T), o tempo necessário é: 
1 hora -------------------- 3T/40 
N horas ------------------ T 
 
N x 3T/40 = 1 x T 
N x 3/40 = 1 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 55 
N = 40/3 
N = 39/3 + 1/3 
N = 13 horas + 1/3 de hora 
N = 13 horas + 1/3 x 60 minutos 
N = 13 horas + 20 minutos 
RESPOSTA: B 
 
43. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) Para construir 120 m2 de um muro em 2 
dias, são necessários 6 pedreiros. Trabalhando no mesmo ritmo, o número de 
pedreiros necessários para construir 210 m2 desse mesmo muro em 3 dias é igual a 
a) 2. 
b) 4. 
c) 3. 
d) 5. 
e) 7. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos no enunciado 3 grandezas: área do muro, dias de construção, e 
número de pedreiros. Podemos resumir na tabela abaixo: 
 
Área do muro Dias de construção Número de pedreiros 
120 2 6 
210 3 N 
 
 A variável que queremos descobrir está na coluna do número de pedreiros, 
portanto devemos verificar quais das outras variáveis são direta ou inversamente 
proporcionais a esta. 
 Para isto, basta pensar o seguinte: quanto MAIS pedreiros nós tivermos 
disponíveis, seremos capazes de construir MAIS muros e em MENOS dias. 
Portanto, observe que a variável “dias” é inversamente proporcional ao número de 
pedreiros, pois quando uma aumenta a outra diminui. Invertendo esta coluna, 
ficamos com: 
 
Área do muro Dias de construção Número de pedreiros 
120 3 6 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 56 
210 2 N 
 
 Agora basta montar a nossa proporção, igualando a razão da coluna onde 
está a variável (N) com a multiplicação das demais colunas: 
6 120 3
210 2N
  
6 4 3
7 2N
  
6 2 3
7 1N
  
1 1 1
7 1N
  
7N pedreiros 
RESPOSTA: E 
 
44. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2013) Em um país distante, as tarifas 
ferroviárias são diretamente proporcionais à raiz quadrada da distância percorrida. A 
distância da cidade Bengé até a cidade Mengé, por trem, é de 1250 km e a tarifa é 
de R$ 182,00. Um turista que está em Bengé quer ir até Mengé, viajando sempre de 
trem. No entanto, em vez de o turista ir diretamente de Bengé para Mengé, ele vai 
de Bengé para Cengé, que fica distante 800 km de Bengé. No outro dia, ainda de 
trem, o turista, sai de Cengé para Mengé, cuja distância é de 450 km. Desse modo, 
se o turista tivesse ido diretamente de Bengé para Mengé, a redução percentual dos 
gastos com as tarifas de trem, considerando duas casas após a vírgula, seria 
aproximadamente de: 
a) 28,57 % 
b) 27,32 % 
c) 25,34 % 
d) 43,78 % 
e) 22,33 % 
RESOLUÇÃO: 
 As tarifas ferroviárias são diretamente proporcionais à raiz quadrada da 
distância percorrida. Chamando de D a distância, e de k a constante de 
proporcionalidade, podemos escrever que: 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 57 
Tarifa k D  
 
 A distância da cidade Bengé até a cidade Mengé, por trem, é de 1250 km e a 
tarifa é de R$ 182,00. Com isso conseguimos obter o valor da constante k: 
Tarifa k D  
182 35,35k  
5,15k  
 
 Indo de Bengé para Cengé (800km) e em seguida de Cengé para Mengé 
(450km), temos um custo de: 
Tarifa k D  
5,15 800 5,15 450Tarifa    
5,15 28,28 5,15 21,21Tarifa     
254,87Tarifa reais 
 
 Se o turista tivesse ido diretamente de Bengé para Mengé, a economia seria 
de 254,87 – 182 = 72,87 reais. Percentualmente, esta economia é de: 
P = 72,87 / 254,87 = 28,59% 
RESPOSTA: A 
 
45. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) A taxa cobrada por uma empresa de 
logística para entregar uma encomenda até determinado lugar é proporcional à raiz 
quadrada do peso da encomenda. Ana, que utiliza, em muito, os serviços dessa 
empresa, pagou para enviar uma encomenda de 25kg uma taxa de R$ 54,00. Desse 
modo, se Ana enviar a mesma encomenda de 25kg dividida em dois pacotes de 
16kg e 9kg, ela pagará o valor total de 
a) 54,32. 
b) 54,86. 
c) 76,40. 
d) 54. 
e) 75,60. 
RESOLUÇÃO: 
00256362270
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 02 
 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 58 
 Sabendo que a taxa é proporcional à raiz quadrada do peso da encomenda, 
podemos chamar de “k” a constante de proporcionalidade, e de P o peso da 
encomenda, de modo que a taxa cobrada é: 
Taxa k P 
 
 Ana pagou uma taxa = 54 reais para uma encomenda de peso P = 25kg, 
portanto podemos descobrir o valor da constante de proporcionalidade assim: 
Taxa k P 
54 25k 
54 .5k 
10,8k  
 
 Se Ana enviar a mesma encomenda de 25kg dividida em dois pacotes de 
16kg e 9kg, ela pagará o valor total de: 
Taxa k P 
10,8. 16 10,8. 9Taxa  
10,8 4 10,8 3Taxa    
75,60Taxa reais 
RESPOSTA: E 
 
46. CESPE – TJ/RR – 2012) Marcos, Pedro e Paulo, servidores de um tribunal, 
dedicam, respectivamente,