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RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 1 Aula 5 Proposições ........................................................................................................................... 2 Leis do Pensamento .......................................................................................................... 4 Modificador ............................................................................................................................ 7 Proposições simples e compostas .............................................................................. 8 Conjunção p ˄ q ................................................................................................................... 9 Disjunção Inclusiva p ∨ q ................................................................................................. 13 Disjunção Exclusiva p v q .............................................................................................. 14 Condicional p → q ................................................................................................................ 15 Bicondicional p ↔ q ........................................................................................................... 16 Número de linhas de uma tabela-verdade ............................................................. 17 Equivalências Lógicas ...................................................................................................... 21 Condição Necessária e Condição Suficiente .......................................................... 27 Negação de proposições compostas ......................................................................... 31 Negação de proposições quantificadas ................................................................... 35 Questões FCC .............................................................................................................................. 49 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 2 Proposições Nosso principal objeto de estudo serão as proposições. E o que são proposições lógicas? Há várias definições nos livros de lógica e cada banca adota “textos diferentes” para definir as proposições. Vamos utilizar uma definição que englobasse um “acordo” entre livros e bancas organizadoras. Chegamos à seguinte definição: Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Vamos analisar os termos desta definição. Sendo oração, deve possuir sujeito e predicado. Desta forma, expressões do tipo: “Os alunos do Ponto dos Concursos.” Não são consideradas proposições (pois não há predicado). Sendo declarativa, não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa. Desta forma, as expressões abaixo não são consideradas proposições. i) Que belo dia! (exclamativa) ii) Qual é o seu nome? (interrogativa) iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa – indica ordem) iv) Que Deus te abençoe. (optativa – exprime desejo). Vejamos um exemplo: 01. (AFT 2013/CESPE-UnB) A sentença “Quem é o maior defensor de um Estado não intervencionista, que permite que as leis de mercado sejam as únicas leis reguladoras da economia na sociedade: o presidente do Banco Central ou o ministro da Fazenda?” é uma proposição composta que pode ser corretamente representada na forma (PvQ)∧ R, em que P, Q e R são proposições simples convenientemente escolhidas. O item está errado, já que a frase dada no enunciado é interrogativa. Para começar, o conjunto de palavras deve ser uma oração declarativa, por exemplo: “O Ponto dos Concursos obteve um grande índice de aprovação no concurso para AFRFB 2009”. Outro ponto a ser analisado na definição é que a oração declarativa deve poder ser classificada em V ou F, mas não as duas. Vejamos alguns exemplos de orações declarativas que não podem ser classificadas em V ou F. “A frase dentro destas aspas é falsa.” RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 3 Vamos tentar classificar em verdadeiro ou falso. Se dissermos que esta “proposição” é verdadeira, teremos uma contradição – pois será verdade que a frase é falsa, logo a frase é falsa. Se dissermos que a “proposição” é falsa, teremos novamente uma contradição. Se assim o fizermos, então será falso que a frase dentro daquelas aspas é falsa, portanto, a frase é verdadeira. Assim, a “proposição” não pode ser nem verdadeira nem falsa. O que concluímos? Que esta frase não é uma proposição lógica. Observação: Frases contraditórias como esta são comumente denominadas de paradoxos. Um paradoxo famoso é o de Eubulides que declarou: Eu sou mentiroso. Ora, o paradoxo de Eubulides não pode ser uma proposição lógica. Se dissermos que a frase de Eubulides é verdadeira, então é verdade que ele é um mentiroso e, portanto, não pode declarar uma verdade. Contradição! Se dissermos que a frase é falsa, então é falso que ele é um mentiroso. E se ele não é um mentiroso, a frase não pode ser falsa (portanto, é verdadeira). Novamente uma contradição. Assim, a frase “Eu sou mentiroso” não é uma proposição lógica. Estes exemplos não são proposições lógicas porque não podem ser nem verdadeiros nem falsos. Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta ou função proposicional. Exemplo: 𝑥 + 5 = 10 Não dá para julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porque não é possível descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, 𝑥 + 5 = 10. Caso contrário, se x for diferente de 5, a igualdade acima está errada. “x” é uma variável, pode assumir inúmeros valores. Quando a sentença possui uma variável, nós dizemos que ela é uma sentença aberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ou falso. Logo, não é proposição. Vejamos outro exemplo de sentença aberta: “Ele ganhou o Oscar de melhor ator em 2001”. Ora, não sabemos quem é “ele”. Portanto, não podemos classificar esta frase em V ou F. Se “ele” for Russel Crowe, então a frase é verdadeira. Se “ele” for qualquer outra pessoa que não Russel Crowe, então a frase é falsa. Como não sabemos quem é “ele”, não podemos classificar a frase e, portanto, não é considerada uma proposição. Em tempo: é costume na Lógica “apelidar” as proposições com letras do alfabeto. Por exemplo: 𝑝:𝑃𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 (𝐹) 𝑞:𝐹𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐻𝑒𝑛𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠𝑜 𝑓𝑜𝑖 𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝐵𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑒𝑚 1997. (𝑉) RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 4 Leis do Pensamento Assim como a Filosofia, a Sociologia, a Economia e outras ciências, a Lógica também possui diversas escolas. A Lógica tratada neste curso é a chamada Lógica Aristotélica (Lógica Formal, Lógica da Forma) e toda a sua estrutura é fundamentada nas seguintes Leis do Pensamento. 1. Princípio da identidade Se uma proposição qualquer é verdadeira, então ela é verdadeira. "Cada coisa é aquilo que é." (Gottfried Leibniz) 2. Princípio do terceiro excluído Toda proposição tem um dos dois valores lógicos: ou verdadeiro ou falso, excluindo-se qualquer outro. "Quem diz de uma coisa que é ou que não é ou dirá o verdadeiro ou dirá o falso. Mas se existisse um termo médio entre os dois contraditórios nem do ser nem do não ser poder-se-ia dizer que é o que não é." (Aristóteles) 3. Princípio de não contradição Uma proposiçãonão pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa. "Efetivamente, é impossível a quem quer que seja acreditar que uma mesma coisa seja e não seja" (Aristóteles) O princípio da identidade afirma que uma proposição não pode ser “mais” verdadeira do que outra. Não existem patamares de verdade. Na Lógica Aristotélica, todas as proposições verdadeiras, assim como todas as proposições falsas, estão em um mesmo nível. O princípio do terceiro excluído estabelece que só existem dois valores lógicos. Assim, por exemplo, a proposição p (“Existe vida fora da Terra”) só pode assumir uma das duas possibilidades, V ou F, excluindo-se um hipotético valor lógico “talvez”, “não lembro” ou “pode ser”. O princípio de não contradição decreta que uma proposição não pode ser simultaneamente V e F. Assim, se uma proposição é verdadeira, já temos certeza de que ela não pode ser falsa, e reciprocamente. O valor lógico de uma proposição p é indicado por V(p). Por exemplo, se a proposição p for falsa, indicamos V(p) = F. 02. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 5 A frase que não possui essa característica comum é a a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Resolução A frase I é exclamativa. A frase II não possui predicado, não sendo assim uma oração. A frase III é interrogativa e a frase V é imperativa. Portanto a característica comum entre as frases I, II, III e V é que elas não são proposições. A única proposição é a frase IV, pois é uma oração declarativa, que podemos classificar em V ou F, apesar de não sabermos o seu valor lógico. Letra D 03. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. II. 5 x y+ é um número inteiro. III. João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. É verdade que APENAS: a) I e II são sentenças abertas. b) I e III são sentenças abertas. c) II e III são sentenças abertas. d) I é uma sentença aberta. e) II é uma sentença aberta. Resolução A frase I é uma sentença aberta, pois “Ele” pode, nesta questão, estar se referindo a um homem qualquer. Não podemos classificá-la em V ou F, pois não sabemos sobre quem estamos falando. A frase II é, sem dúvida, uma sentença aberta, pois há duas variáveis e infinitos valores que podem tornar a frase verdadeira ou falsa. Já a frase III não é uma sentença aberta, pois facilmente podemos verificar o sujeito e classificá-la em V ou F. Se quiser classificar esta proposição em V ou F, basta fazer uma rápida pesquisa no Google (rss). Letra A RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 6 04. (TCE-PB/2006/FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças: 1. Três mais nove é igual a doze. 2. Pelé é brasileiro. 3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria. 5. A metade de um número. 6. O triplo de 15 é maior do que 10. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números a) 1,2 e 6. b) 2,3 e 4. c) 3,4 e 5. d) 1,2,5 e 6. e) 2,3,4 e 5. Resolução As frases 1,2 e 6 têm sujeito e predicado. São, portanto, sentenças. As frases 3,4 e 5 não possuem sentido completo. Não são sentenças. Letra A 05. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças: 1. Tomara que chova! 2. Que horas são? 3. Três vezes dois são cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais são confiáveis. 6. Exercícios físicos são saudáveis. De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números (A) 1, 3 e 5. (B) 2, 3 e 5. (C) 3, 5 e 6. (D) 4 e 6. (E) 5 e 6. Resolução A FCC conceitua sentença como proposição. A frase 1 é exclamativa, a frase 2 é interrogativa, a frase 4 não possui predicado e, portanto, não são sentenças. As sentenças (proposições lógicas) são as frases 3, 5 e 6. Letra C RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 7 Modificador O modificador é um operador lógico que “troca” o valor lógico das proposições. Se temos em mãos uma proposição verdadeira, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição falsa. Da mesma forma, se temos em mãos uma proposição falsa, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira. Os símbolos que indicam que uma proposição foi “modificada” são: ~ 𝑜𝑢 ¬ . A proposição modificada é chamada de negação da proposição original. Exemplos: 𝑝:𝑃𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 Está é uma proposição falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira. ~𝑝:𝑃𝑎𝑟𝑖𝑠 𝒏ã𝒐 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎. Esta frase também pode ser lida das seguintes formas: ~𝑝: É 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑃𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎. ~𝑝:𝑁ã𝑜 é 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑃𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎. Quando temos uma proposição simples, devemos modificar o verbo para negar a frase. Vejamos outro exemplo: 𝑞: 𝐽𝑜ℎ𝑛 𝐿𝑒𝑛𝑛𝑜𝑛 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒𝑢 𝑜 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑚 2001. Esta é uma proposição verdadeira. Vamos modificar o verbo e torná-la uma proposição falsa. ~𝑞: 𝐽𝑜ℎ𝑛 𝐿𝑒𝑛𝑛𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒𝑢 𝑜 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑚 2001. Vamos definir formalmente o modificador. Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição chamada negação de p pode ser formada escrevendo-se “É falso que...” antes de p ou, se possível, inserindo a palavra “não”. Simbolicamente, a negação de p é designada por p~ ou p¬ . Para que p~ seja uma proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critério de classificação: A proposição p~ tem sempre o valor lógico oposto de p , isto é, p~ é verdadeira quando p é falsa, e p~ é falsa quando p é verdadeira. Tabela-verdade 1 p p~ V F F V RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 8 A tabela-verdade dispõe as relações entre os valores lógicos das proposições. Tabelas-verdades são especialmente usadas para determinar os valores lógicos de proposições construídas a partir de proposições simples. As tabelas de valores têm longa história, mas receberam certo destaque desde os trabalhos (independentes) de Ludwig Wittgenstein (1889-1951) e de Emil L. Post (1897- 1954). A tabela 1 mostra todas as possibilidades de valores de uma proposição e os correspondentes valores da sua negação. A negação de uma proposição pode ser considerada o resultado de uma operação do “operador negação” de uma proposição. O operador negação constrói uma nova proposição a partir de uma proposição que já existe. Vamos estudar agora operadores lógicos que são usados para formar novas proposiçõesa partir de duas ou mais proposições preexistentes. Esses operadores lógicos são chamados conectivos. Proposições simples e compostas Estudaremos métodos de produzir novas proposições a partir de proposições simples. Uma proposição é simples quando declara algo sem o uso de conectivos. Esses métodos foram discutidos pelo matemático inglês George Boole, em 1854, no seu livro As Leis do Pensamento. Diversas declarações matemáticas são obtidas combinando proposições. Exemplos: p : O número 2 é primo. (V) q : 15 : 3 = 6 (F) r : O retângulo é um polígono regular. (F) A partir de proposições simples dadas podemos construir novas proposições compostas mediante o emprego de operadores lógicos chamados conectivos, como “e” (conectivo de conjunção), “ou” (conectivo de disjunção), e os condicionais “se... então”, “se e somente se”. Observe que o modificador “não” não é um conectivo. “Não” é um advérbio de negação. A expressão “não” não conecta duas proposições. Exemplos: p : A Lua é um satélite da Terra e Recife é a capital de Pernambuco. q : Carlos é solteiro ou Pedro é estudante. r : Se um quadrilátero tem todos os lados congruentes, então é um losango. s : Um quadrilátero é um quadrado se e somente se for retângulo e losango. Obs.: A proposição “Guilherme e Moraes são professores” é uma proposição simples. O sujeito dessa proposição, porém, é composto. A proposição “Guilherme é professor e Moraes é professor” é uma proposição composta. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 9 (AFT 2013/CESPE-UnB) Julgue os itens subsequentes, relacionados a lógica proposicional. 06. A sentença “A presença de um órgão mediador e regulador das relações entre empregados e patrões é necessária em uma sociedade que busca a justiça social” é uma proposição simples. Resolução O item está certo. Observe que temos apenas um verbo na oração. Uma proposição é simples quando declara algo sem o uso de conectivos. Observe ainda que o conectivo “e” na frase acima não está conectando duas orações. O conectivo “e”, no nosso exemplo, está conectando as palavras “mediador” e regulador. Portanto, a proposição é simples e o item está certo. (STF 2008/CESPE-UnB) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto, então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes. 07. A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. 08. A segunda frase é uma proposição lógica simples. 09. A terceira frase é uma proposição lógica composta. 10. A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. Resolução 07. Os verbos “ouve” e “atenta” indicam ordem (imperativo). Portanto não são consideradas proposições lógicas. O item está errado. 08. Certo. 09. A proposição é simples. O sujeito da oração é que é composto. O item está errado. 10. “Se..., então...” é um conectivo só. O item está errado. Conjunção p ˄ q Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “e” para formar uma proposição composta, que é chamada de conjunção das proposições originais. Simbolicamente representamos a conjunção de duas proposições p e q por qp ∧ . Imagine que você prometeu ao seu filho que, no final de semana: “Vamos ao Shopping Center e vamos à praia.” Vamos separar a frase acima em duas parcelas: 𝑝:𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑜 𝑆ℎ𝑜𝑝𝑝𝑖𝑛𝑔 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑞:𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 à 𝑝𝑟𝑎𝑖𝑎 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 10 Conectando as proposições 𝑝 e 𝑞 pelo conectivo “e”, temos a proposição: 𝑝 ∧ 𝑞:𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑜 𝑆ℎ𝑜𝑝𝑝𝑖𝑛𝑔 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑒 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 à 𝑝𝑟𝑎𝑖𝑎. Se as duas parcelas componentes são verdadeiras, então, de fato, o pai levará o filho ao Shopping e à praia. Logo, nossa proposição composta é verdadeira. p: Vamos ao Shopping Center. (Verdade) q: Vamos à praia (Verdade) Teríamos então: p q 𝑝 ∧ 𝑞 V V V Neste quadro estamos indicando que se a proposição “p” (Vamos ao Shopping Center) for verdadeira e a proposição “q” (Vamos à praia) também for verdadeira, então a proposição “P e Q” (Vamos ao Shopping Center e vamos à praia) também será verdadeira. Agora vamos imaginar que o pai levará o filho ao Shopping Center, mas não levará o filho à praia. p: Vamos ao Shopping Center. (Verdade) q: Vamos à praia (Falso) Agora a proposição composta é falsa. Ela afirma que “Vamos ao Shopping Center” e, além disso, “Vamos à praia”. Afirma-se que as duas parcelas ocorrem ao mesmo tempo, o que não está acontecendo (pois a segunda parcela é falsa). Portanto “p e q” é falso. p q 𝑝 ∧ 𝑞 V F F Analisemos agora a terceira situação: O pai não levará o filho ao Shopping Center, mas levará o filho à praia. p: Vamos ao Shopping Center. (Falso) q: Vamos à praia (Verdade) RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 11 Novamente, a afirmação de que “Vamos ao Shopping Center e vamos à praia” é falsa. Isso porque uma das parcelas é falsa. Portanto: p q 𝑝 ∧ 𝑞 F V F E finalmente a última situação possível. O pai nem leva o filho ao Shopping Center nem o leva à praia. p: Vamos ao Shopping Center. (Falso) q: Vamos à praia (Falso) p q 𝑝 ∧ 𝑞 F F F Unindo todas estas possibilidades em uma única tabela, temos: p q 𝑝 ∧ 𝑞 V V V V F F F V F F F F Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de uma conjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: à A conjunção qp ∧ é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa então qp ∧ é falsa. O “e” lógico costuma ser apresentado com o símbolo ∧. Deste modo, escrever “P ∧ Q” é o mesmo que escrever “P e Q”. Exemplo: p : João é gordo e Mário é alto. Suponha que a proposição João é gordo seja verdadeira e que Mário não seja alto. Dessa forma, RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 12 A conjunção “João é gordo e Mário é alto” é falsa, pois a proposição “Mário é alto” é falsa. A composta só seria verdadeira se ambas as proposições “João é gordo” e “Mário é alto” fossem verdadeiras. 11. (PC-CE 2012/CESPE-UnB) Se a proposição “João é pobre” for falsa e se a proposição “João pratica atos violentos” for verdadeira, então a proposição “João não é pobre, mas pratica atos violentos” será falsa. Resolução O “mas” tem o mesmo sentido do conectivo “e”. Temos a seguinte estrutura: 𝐽𝑜ã𝑜 𝑛ã𝑜 é 𝑝𝑜𝑏𝑟𝑒! 𝑒 𝑝𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑖𝑜𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠! . Ora, uma proposição composta pelo conectivo “e” é verdadeira quando seus dois componentes são verdadeiros. Assim, a proposição acima é verdadeira e o item está errado. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 13 Disjunção Inclusiva 𝒑 ∨ 𝒒 Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” para formar uma proposição composta que é chamada de disjunção inclusiva das proposições originais. Simbolicamente, a disjunção das proposições p e q é designada por qp ∨ . O símbolo v é a inicial da palavra grega vel. Vamos postular um critério para decidir ovalor lógico (V ou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: à A disjunção inclusiva qp ∨ é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; qp ∨ é falsa se e somente se ambas p e q são falsas Exemplo: p : Vou à festa ou não me chamo Fulano. Considere que Fulano afirmou: Vou à festa ou não me chamo Fulano. Fulano foi à festa. Portanto, a proposição “Vou à festa” é verdadeira. A proposição “não me chamo Fulano” é falsa, pois quem a disse foi Fulano. Temos o seguinte esquema: Vou à festa ou não me chamo Fulano. V F A disjunção “Vou à festa ou não me chamo Fulano” só seria falsa se ambas as proposições “Vou à festa” e “Não me chamo Fulano” fossem falsas. Como a proposição “Vou à festa” é verdadeira, temos que a composta é verdadeira. Assim, V Vou à festa ou não me chamo Fulano. V F p q qp ∨ V V V V F V F V V F F F RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 14 O uso do conectivo ou na disjunção inclusiva corresponde a um dos dois modos como a palavra ou é usada na Língua Portuguesa. A disjunção inclusiva é verdadeira quando pelo menos uma das duas proposições for verdadeira ou quando ambas forem verdadeiras. A disjunção inclusiva é usada, por exemplo, na seguinte proposição: Hoje é sexta-feira ou hoje está chovendo. Nesse caso, poderíamos ter as duas proposições “Hoje é sexta-feira” e “Hoje está chovendo” verdadeiras. Não estamos afirmando que as duas são verdadeiras, mas que ambas poderiam ser verdadeiras. Por outro lado, estamos usando a disjunção exclusiva quando dizemos: Ou hoje é sexta-feira ou sábado, mas não ambos. Nesse caso, as duas proposições “Hoje é sexta-feira” e “Hoje é sábado” não podem ser simultaneamente verdadeiras. Como já observamos, o uso do conectivo ou em uma disjunção corresponde a um dos dois significados usados na Língua Portuguesa, denominados inclusivo e exclusivo. A disjunção inclusiva qp ∨ é verdadeira quando pelo menos uma delas for verdadeira. Quando o ou exclusivo é usado para conectar as proposições p e q, a proposição “ou p ou q, mas não ambas” é obtida. A proposição é verdadeira quando p é verdadeira e q é falsa, ou quando p é falsa e q é verdadeira, e é falsa quando ambas, p e q, são falsas ou ambas são verdadeiras. O símbolo do “ou” é ∨. É um símbolo semelhante ao do “e”, mas de cabeça para baixo. Alguns alunos se mostram especialistas em construir processos mnemônicos. Um dos processos que aprendemos com esses mestres foi como distinguir os símbolos ∨ e ∧. Basta colocar uma letra O ao lado dos símbolos. Observe: O∨ / O∧ Em qual das duas situações você consegue ler “OU”? Na “palavra da esquerda! Portanto, aquele símbolo é o “ou”. Consequentemente o outro é o “e”. Outro processo mnemônico consiste em colocar um “pontinho” em cima do símbolo. Vejamos: Em qual das duas situações você consegue ver a letra cursiva “i”? No símbolo da direita! Portanto, aquele símbolo é o “e” (mesmo fonema do “i”). Disjunção Exclusiva p v q Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” para formar uma proposição composta que é chamada de disjunção exclusiva das proposições originais. Simbolicamente, a disjunção das proposições p e q é designada por p v q. Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjunção exclusiva a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: à A disjunção exclusiva p v q é verdadeira se exatamente uma delas p ou q for verdadeira, e falsa nos outros casos. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 15 Condicional p → 𝒒 Quando duas proposições são conectadas com a palavra “se” antes da primeira e a inserção da palavra “então” entre elas a proposição resultante é composta e é também chamada de implicação. Simbolicamente, qp→ . Em uma proposição condicional, o componente que se encontra entre o “se” e o “então” é chamado de antecedente e o componente que se encontra após a palavra “então” é chamado consequente. Por exemplo, na proposição “Se vou à praia, então tomo banho de mar”, “vou à praia” é o antecedente e “tomo banho de mar” é o consequente. O condicional qp→ é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, qp→ é verdadeiro. Coloquemos um exemplo para resumi-lo. Se Guilherme é recifense, então Guilherme é pernambucano. Guilherme é recifense Guilherme é pernambucano 1º caso verdadeira verdadeira 2º caso verdadeira falsa 3º caso falsa verdadeira 4º caso falsa falsa Analisemos cada um deles. 1º caso à antecedente e consequente verdadeiros. Aqui, se efetivamente Guilherme for recifense e também for pernambucano, não há dúvida, a proposição condicional é considerada verdadeira. p q p v q V V F V F V F V V F F F RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 16 2º caso à antecedente verdadeiro e consequente falso. Nessa situação, temos Guilherme como uma pessoa que nasceu no Recife e não nasceu em Pernambuco. A condicional é considerada falsa. 3º caso à antecedente falso e consequente verdadeiro. Guilherme não nasceu no Recife, mas nasceu em Pernambuco. Isso é totalmente permitido, visto que Guilherme poderia ter nascido em Petrolina, por exemplo. A proposição condicional é verdadeira. 4º casoà antecedente e consequente falsos. Guilherme não nasceu no Recife nem em Pernambuco. Situação totalmente aceitável, visto que Guilherme poderia ter nascido em qualquer outro lugar do mundo. Existe apenas uma situação em que o condicional é falso: quando a primeira proposição for verdadeira e a segunda, falsa. Bicondicional p ↔ q Conectando duas proposições p, q através do conectivo bicondicional, obtemos uma nova proposição p q↔ , que se lê “p se e somente se q”. O bicondicional equipara-se à conjunção de dois condicionais qp→ e q p→ . Por exemplo, a proposição composta “Hoje é Natal se, e somente se hoje é 25 de dezembro” significa que “Se hoje é Natal, então hoje é 25 de dezembro” e “Se hoje é 25 de dezembro, então hoje é Natal”. O bicondicional p q↔ é verdadeiro quando p e q são ambos verdadeiros ou ambos falsos, e falso, quando p e q têm valores lógicos diferentes. No nosso exemplo acima, RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 17 Podemos resumir tudo o que foi dito com a seguinte tabela-verdade. 𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V Ou ainda, para facilitar o processo mnemônico, podemos memorizar as regras que tornam as compostas verdadeiras. Conjunção 𝑝 ∧ 𝑞 As duas proposições p, q devem ser verdadeiras Disjunção Inclusiva 𝑝 ∨ 𝑞 Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas. Disjunção Exclusiva 𝑝 ∨ 𝑞 Apenasuma das proposições pode ser verdadeira. A proposição composta será falsa se os dois componentes forem verdadeiros ou se os dois componentes forem falsos. Condicional 𝑝 → 𝑞 Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem. Bicondicional 𝑝 ↔ 𝑞 Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas. Número de linhas de uma tabela-verdade O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples é 2n. Para uma proposição simples p, o número de linhas da tabela-verdade é 2, pois, pelas leis do pensamento a proposição p só pode assumir um dos dois valores lógicos: V ou F. p V F Para duas proposições p e q, o número de linhas da tabela-verdade é 22 = 4. SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 2 proposições, começaremos com a seguinte disposição. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 18 p q V V V F F V F F Para 3 proposições p, q e r, o número de linhas da tabela-verdade é 23 = 8. SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 3 proposições, começaremos com a seguinte disposição. p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as proposições) representa uma valoração. 12. (TRF-1ª Região/2006/FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo: a) alguns atos não têm causa se não há atos livres. b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa. Resolução Vimos que o bicondicional qp↔ (se e somente se) equipara-se à conjunção de dois condicionais qp→ e q p→ . Letra C 13. (ALESP 2010/FCC) Paloma fez as seguintes declarações: − “Sou inteligente e não trabalho.” − “Se não tiro férias, então trabalho.” Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO concluir que Paloma (A) é inteligente. (B) tira férias. (C) trabalha. (D) não trabalha e tira férias. (E) trabalha ou é inteligente. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 19 Resolução O enunciado já informou que as duas proposições são verdadeiras. “Sou inteligente e não trabalho.” Esta é uma proposição composta pelo conectivo “e”. Lembra quando uma frase composta pelo “e” é verdadeira? Quando as duas proposições componentes são verdadeiras. Desta maneira, concluímos que “Sou inteligente” é verdade e “Não trabalho” também é verdade. Se “não trabalho” é verdade, então “trabalho” é falso. Letra C Vamos analisar a segunda proposição. “Se não tiro férias, então trabalho.” Já sabemos que a proposição “não trabalho” é verdade. Portanto, a sua negação é falsa. Ora, para que uma proposição composta pelo conectivo “se..., então...” seja verdadeira, não pode acontecer de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Em suma, não pode acontecer VF nesta ordem. Como o consequente é falso, o antecedente não pode ser verdadeiro, portanto deve ser falso. Conclui-se que a proposição “não tiro férias” é falsa. Isto quer dizer que “tiro férias” é verdade. 14. (Petrobras/2007/Cespe) Julgue o item que se segue. Considere as proposições abaixo: p: 4 é um número par; q: A Petrobras é a maior exportadora de café do Brasil. Nesse caso, é possível concluir que a proposição p ∨ q é verdadeira. Resolução “Se não tiro férias, então trabalho.” F “Se não tiro férias, então trabalho.” F F RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 20 Temos que a proposição p é verdadeira, enquanto que a proposição q é falsa. A disjunção p ∨ q só é falsa se ambas p, q são falsas. Se ao menos uma delas for verdadeira, a composta também será verdadeira. Portanto, a proposição p ∨ q é verdadeira e o item está certo. (INSS 2008/CESPE-UnB) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F —, mas não como ambas. Se P e Q são proposições, então a proposição “Se P então Q”, denotada por P→Q, terá valor lógico F quando P for V e Q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma ¬P, a negação da proposição P, terá valores lógicos contrários aos de P. P∨Q, lida como “P ou Q”, terá valor lógico F quando P e Q forem, ambas, F; nos demais casos, será V. Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 5.º da Constituição Federal. A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue os itens a seguir. 15. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B→C é V. 16. De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a proposição (¬A)∨ (¬C) tem valor lógico F. Resolução Vamos relembrar alguns incisos do artigo 5º da Constituição Federal. XXXII – o Estado promoverá, na forma da lei, a defesa do consumidor; XLII – a prática do racismo constitui crime inafiançável e imprescritível, sujeito à pena de reclusão, nos termos da lei; LII – não será concedida extradição de estrangeiro por crime político ou de opinião. Deste modo: V(A)=F V(B)=V V(C)=F p q p ∨ q V F V RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 21 Vamos ao primeiro item: Queremos saber o valor lógico do condicional: B→C Sabemos que o primeiro componente é verdadeiro e o segundo é falso. Esta é a única situação em que o condicional é falso. O item está errado. Segundo item: Sabemos que A é falsa. Logo, a negação de A é verdadeira. Sabemos que C é falsa. Logo, a negação de C é verdadeira. A¬ : verdadeira C¬ : verdadeira A proposição solicitada foi: (¬A)∨ (¬C). Temos um “ou” em que as duas “parcelas” são verdadeiras, o que faz com que a proposição composta seja verdadeira. O item está errado. Equivalências Lógicas Estudaremos agora um conceito importantíssimo em Lógica: as famosas equivalências lógicas. E o que são proposições logicamente equivalentes? Grosso modo, duas proposições são logicamente equivalentes quando elas “dizem a mesma coisa”. Por exemplo: 𝑝: Eu joguei o lápis. 𝑞: O lápis foi jogado por mim. As duas proposições acima têm o mesmo significado. Elas querem dizer a mesma coisa!! Quando uma delas for verdadeira, a outra também será. Quando uma delas for falsa, a outra também será. Dizemos, portanto, que elas são logicamente equivalentes. Em símbolos dizemos: 𝑝⇔ 𝑞 Esta seta dupla é o símbolo de equivalência. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 22 Vamos conversarformalmente agora... Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se possuem a mesma tabela- verdade. Vamos mostrar, por exemplo, que a proposição p q↔ equivalente a ( ) ( )p q q p→ ∧ → . Ou seja, que [ ]( ) ( ) ( )p q p q q p↔ ⇔ → ∧ → . Construímos a tabela-verdade e verificamos se os valores lógicos das duas proposições são sempre iguais. p q p q→ q p→ ( ) ( )p q q p→ ∧ → p q↔ V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V Assim, acabamos de mostrar que uma proposição bicondicional equivale à conjunção de dois condicionais. Há algumas equivalências notáveis que são muito cobradas em concursos. Vamos enunciar as equivalências, demonstrá-las e aplicá-las. Teorema: As proposições p q→ , ~ ~q p→ e ~ p q∨ são logicamente equivalentes. Demonstração: p q ~ q ~ p p q→ ~ ~q p→ ~ p q∨ V V F F V V V V F V F F F F F V F V V V V F F V V V V V Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas logicamente equivalentes. Em uma linguagem informal, poderíamos construir o seguinte algoritmo para construir essas proposições equivalentes notáveis, dada a proposição condicional p q→ . ~ ~q p→ Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo “se...,então” ~ p q∨ Negue apenas o antecedente e troque o conectivo por “ou”. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 23 Por exemplo, dada a proposição “Se bebo, então não dirijo”, temos que as seguintes proposições são equivalentes a ela: i) Se dirijo, então não bebo. ii) Não bebo ou não dirijo. 17. (SGA/AC 2007/CESPE-UnB) As proposições A→B e (¬B) → (¬A) têm a mesma tabela verdade. Resolução Como comentei anteriormente, estas duas proposições são equivalentes. O item está certo. 18. (Agente Penitenciário SJDH-BA 2010/FCC) Uma afirmação equivalente à afirmação “Se bebo, então não dirijo” é (A) Se não bebo, então não dirijo. (B) Se não dirijo, então não bebo. (C) Se não dirijo, então bebo. (D) Se não bebo, então dirijo. (E) Se dirijo, então não bebo. Resolução Como foi dito anteriormente, há duas proposições equivalentes (notáveis): i) Se dirijo, então não bebo. ii) Não bebo ou não dirijo. Letra E 19. (Polícia Civil 2007/Ipad) A sentença “Penso, logo existo” é logicamente equivalente a: a) Penso e existo. b) Nem penso, nem existo. c) Não penso ou existo. d) Penso ou não existo. e) Existo, logo penso Resolução Dada a proposição “penso à existo”, temos, trivialmente, duas proposições equivalentes a ela: i) Se não existo, então não penso. (Nega o antecedente e o consequente, troca a ordem e mantém o conectivo.) ii) Não penso ou existo. (Nega o antecedente e troca o conectivo por “ou”). Letra C 20. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Considere a seguinte proposição: “Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.” Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é: RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 24 (A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional. (C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. Resolução Temos, trivialmente, duas proposições equivalentes a ela: i) Se a pessoa melhora o seu desempenho profissional, então ela faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (Nega o antecedente e o consequente, troca a ordem e mantém o conectivo.) ii) Uma pessoa faz cursos de aperfeiçoamentos na sua área de trabalho ou ela não melhora o seu desempenho profissional. (Nega o antecedente e troca o conectivo por “ou”). O que a FCC fez foi trocar a ordem das proposições no caso ii. Isto é perfeitamente permitido, já que a o conectivo “ou” permite a troca da ordem das frases sem alterar o seu sentido. Letra E 21. (MPE-AM 2007/CESPE-UnB) As proposições (¬A)˅(¬B) e ¬A→B têm exatamente as mesmas valorações V ou F, independentemente das valorações V ou F atribuídas às proposições básicas A e B. Resolução Vamos construir uma tabela-verdade para as duas proposições. Há 2² = 4 linhas. Começamos com as proposições A,B e suas respectivas negações. A B ¬A ¬B V V F F V F F V F V V F F F V V Para construir (¬A)˅(¬B) devemos conectar a terceira coluna com a quarta coluna através do conectivo “ou”. A composta será verdadeira em todas as linhas que houver pelo menos uma verdadeira. A B ¬A ¬B (¬A)˅(¬B) V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 25 Para construir ¬A→B, devemos conectar a terceira coluna com a segunda coluna (com o conectivo “se...,então...). Observe que devemos olhar primeiro para ¬A e depois para B. A composta ¬A→B é falsa na quarta linha, pois ¬A é verdadeira e B é falsa. A B ¬A ¬B (¬A)˅(¬B) ¬A→B V V F F F V V F F V V V F V V F V V F F V V V F O item está errado, pois as proposições ¬A→B e (¬A)˅(¬B) não possuem as mesmas valorações. (MPE-AM 2007/CESPE-UnB)Texto II – para os itens 22 e 23 Duas proposições são denominadas equivalentes quando têm exatamente as mesmas valorações V e F. Por exemplo, são equivalentes as proposições (¬A)˅B e A→B. A partir das informações dos textos I e II acima, e supondo que A simboliza a proposição “Alice perseguiu o Coelho Branco” e B simboliza a proposição “O Coelho Branco olhou o relógio”, julgue os itens a seguir. 22. A proposição “Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco” pode ser simbolizada por (¬B)→(¬A). Resolução O item está certo. B: “O Coelho Branco olhou o relógio” (¬B): “O Coelho Branco não olhou o relógio” A: Alice perseguiu o Coelho Branco. (¬A): Alice não perseguiu o Coelho Branco. Portanto, (¬B)→(¬A): “Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco”. 23. A proposição “Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco” é equivalente à proposição “O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco”. Resolução Lembremos o que foi dito na exposição teórica. Dada a proposição condicional p q→ . RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 26 ~ ~q p→ Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo “se...,então” ~ p q∨ Negue apenas o antecedente e troque o conectivo por “ou”. Então dada a proposição “Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco”, devemos negar apenas o primeiro componente e trocar o conectivo por “ou”. Obtemos: “O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco”. O item está certo. 24. (BB 2009/CESPE-UnB) A proposição Se x é um número par, então y é um número primo é equivalente à proposição Se y não é um número primo, então x não é um número par. Resolução Esta questão abordaa equivalência (𝑝 → 𝑞)⟺ (∼ 𝑞 →∼ 𝑝). Neste tipo de equivalência, permanecemos com o conectivo “se..., então...”, negamos os dois componentes e trocamos a ordem das frases. O item está certo. 25. (EMBASA 2010/CESPE-UnB) Caso a proposição "Se a EMBASA promover ações de educação ambiental, então a população colaborará para a redução da poluição das águas" seja V, a proposição "Se a EMBASA não promover ações de educação ambiental, então a população não colaborará para a redução da poluição das águas" também será V. Resolução Novamente uma questão envolvendo equivalência do conectivo “se..., então...” com o conectivo “se..., então...”. Vimos na questão anterior que devemos negar os dois componentes e trocar a ordem. O problema negou os dois componentes, mas não trocou a ordem das frases. O item está errado. 26. (TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) A proposição “Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sabia do esquema.” é logicamente equivalente à proposição “Se o prefeito Pérsio sabia do esquema, então o vereador Vitor participou do esquema”. Resolução O item está certo. Esta questão aborda a equivalência (𝑝 → 𝑞)⟺ (∼ 𝑞 →∼ 𝑝). Neste tipo de equivalência, permanecemos com o conectivo “se..., então...”, negamos os dois componentes e trocamos a ordem das frases. 27. (TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) A proposição “Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema.” é logicamente equivalente à proposição “O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”. Resolução Nesta questão temos uma equivalência do conectivo “se…, então…” com o conectivo “ou”. Vamos relembrar: RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 27 (𝑝 → 𝑞)⟺ (∼ 𝑝 ∨ 𝑞) Ou seja, para transformar uma frase de “se…, então…” para “ou”, devemos negar o primeiro componente e repetir o segundo. Proposição Se o vereador Vitor não participou do esquema então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema. Equivalente O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema. O item está certo. Condição Necessária e Condição Suficiente Vamos considerar as seguintes proposições: 𝑝:𝐺𝑢𝑖𝑙ℎ𝑒𝑟𝑚𝑒 é 𝑝𝑒𝑟𝑛𝑎𝑚𝑏𝑢𝑐𝑎𝑛𝑜. 𝑞:𝐺𝑢𝑖𝑙ℎ𝑒𝑟𝑚𝑒 é 𝑏𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙𝑒𝑖𝑟𝑜. Considere agora a proposição composta 𝑝 → 𝑞: 𝑝 → 𝑞: 𝑆𝑒 𝐺𝑢𝑖𝑙ℎ𝑒𝑟𝑚𝑒 é 𝑝𝑒𝑟𝑛𝑎𝑚𝑏𝑢𝑐𝑎𝑛𝑜, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐺𝑢𝑖𝑙ℎ𝑒𝑟𝑚𝑒 é 𝑏𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙𝑒𝑖𝑟𝑜. Imagine que alguém te informou que de fato Guilherme é pernambucano. Você já pode garantir que Guilherme é brasileiro? Sim!! Desta forma, dizemos que Guilherme ser pernambucano é condição suficiente para Guilherme ser brasileiro. Por que é condição suficiente? Porque basta saber que Guilherme é pernambucano para garantir que Guilherme é brasileiro. Generalizando, dizemos que no condicional 𝑝 → 𝑞, 𝒑 é condição suficiente para 𝒒. Imagine agora que alguém te informou que Guilherme é brasileiro. Você garante que Guilherme é pernambucano? Não!! Ou seja, saber que Guilherme é brasileiro NÃO É SUFICIENTE para saber que Guilherme é pernambucano. Mas uma coisa podemos garantir: para que Guilherme seja pernambucano, ele necessariamente tem que ser brasileiro. Ou seja, RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 28 Guilherme ser brasileiro é condição necessária para Guilherme ser pernambucano. Diz-se que p é condição suficiente de (ou para) q sempre que p q→ . Em outras palavras, uma condição suficiente aparece como antecedente de uma proposição condicional. Usando a mesma expressão, q se diz condição necessária de (ou para) p. Em outras palavras, uma condição necessária aparece como consequente de uma condicional. Por exemplo, a proposição “Se Guilherme é pernambucano, então Guilherme é brasileiro” pode ser lida das seguintes maneiras: Guilherme ser pernambucano é condição suficiente para Guilherme ser brasileiro. Guilherme ser brasileiro é condição necessária para Guilherme ser pernambucano. Resumindo... Exemplo: Considere a frase “Penso, logo existo”. Esta frase significa que “Se penso, então existo”. Lembre-se que o primeiro componente do “se..., então” é a condição suficiente. Desta forma: Pensar é condição suficiente para existir. O segundo componente do “se..., então...” é a condição necessária. Desta forma: Existir é condição necessária para pensar. Lembra da equivalência 𝑝 → 𝑞⇔ ~𝑞 → ~𝑝 que estudamos na aula passada? Pois bem, a proposição “Se penso, então existo.” é equivalente à proposição: “Se não existo, então não penso”, que pode ser escrita como: Não existir é condição suficiente para não pensar. Não pensar é condição necessária para não existir. Vamos agora considerar as seguintes proposições: 𝑝:𝐺𝑢𝑖𝑙ℎ𝑒𝑟𝑚𝑒 é 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑓𝑒𝑛𝑠𝑒. 𝑞:𝐺𝑢𝑖𝑙ℎ𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑛𝑎𝑠𝑐𝑒𝑢 𝑛𝑜 𝑅𝑒𝑐𝑖𝑓𝑒. p q→ p é condição suficiente para q q é condição necessária para p RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 29 Considere agora a proposição composta 𝑝⟷ 𝑞: 𝑝⟷ 𝑞:𝐺𝑢𝑖𝑙ℎ𝑒𝑟𝑚𝑒 é 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑓𝑒𝑛𝑠𝑒 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝐺𝑢𝑖𝑙ℎ𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑛𝑎𝑠𝑐𝑒𝑢 𝑛𝑜 𝑅𝑒𝑐𝑖𝑓𝑒. Esta frase tem o seguinte significado: “Se Guilherme é recifense, então Guilherme nasceu no Recife e se Guilherme nasceu no Recife, então Guilherme é recifense.”. Trata-se, portanto, de um bicondicional. Diz-se que p é condição necessária e suficiente de (ou para) q, ou que q é condição necessária e suficiente de (ou para) p sempre que p q↔ . Por exemplo, a proposição “Guilherme é recifense se e somente se nasceu no Recife” pode ser lida das seguintes maneiras: Guilherme ser recifense é condição necessária e suficiente para ter Guilherme nascido no Recife. Guilherme ter nascido no Recife é condição necessária e suficiente para Guilherme ser recifense. Em resumo: 28. (MEC/2008/FGV) Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros, assinale a alternativa logicamente correta: a) Ser brasileiro é condição necessária e suficiente para ser paulista. b) Ser brasileiro é condição suficiente, mas não necessária para ser paranaense. c) Ser carioca é condição necessária e suficiente para ser brasileiro. d) Ser baiano é condição suficiente, mas não necessária para ser brasileiro. e) Ser maranhense é condição necessária, mas não suficiente para ser brasileiro. Resolução a) Brasileiro ↔ paulista. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser brasileira e não ser paulista. Contradição, pois os valores lógicos das proposições componentes de uma bicondicional devem ser iguais. Uma p q→ p é condição suficiente para q q é condição necessária para p p q↔ p é condição necessária e suficiente para q q é condição necessária e suficiente para p RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 30 proposição bicondicional equipara-se a dois condicionais: Se uma pessoa é brasileira, então ela é paulista e, se uma pessoa é paulista, então ela é brasileira. b) Brasileiro →paranaense. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser brasileira e não ser paranaense. Como vimos, não pode ocorrer VF em uma condicional. c) Carioca ↔ brasileiro. Falso, pela mesma razão da alternativa A. d) Baiano → brasileiro. Verdadeiro, pois é impossível que uma pessoa seja baiana e não seja brasileira. Neste caso éimpossível ocorrer VF. É impossível que o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso. e) Brasileiro →maranhense. Falso, pela mesma razão da alternativa B. Letra D 29. (Bacen/2006/FCC) Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. q: fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica q, então: a) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. b) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. c) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo. d) Fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. e) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo. Resolução “p implica q” é o mesmo que 𝑝 → 𝑞. Desta forma: p é condição suficiente para q. A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 31 Letra E 30. (BB/2008-2/CESPE) A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem”. Resolução “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos”. O primeiro componente é condição suficiente. Aumentar as reservas internacionais em moeda forte é condição suficiente para o país ficar protegido de ataques especulativos. O segundo componente é condição necessária. “O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais em moeda forte aumentem”. Observe que a frase que nós construímos não foi a mesma do enunciado. A frase do enunciado é a seguinte: “O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem”. Está faltando a expressão “em moeda forte”. Mesmo assim, o CESPE considerou o item como certo. O item está certo. Negação de proposições compostas Aprenderemos agora a construir a negação de proposições compostas. Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição, chamada negação de p, pode ser formada escrevendo-se “É falso que ...” antes de p ou, se possível, inserindo a palavra “não”. Simbolicamente, a negação de p é designada por p~ ou p¬ . Para que p~ seja uma proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 32 critério de classificação: A proposição p~ tem sempre o valor lógico oposto de p , isto é, p~ é verdadeira quando p é falsa e p~ é falsa quando p é verdadeira. Exemplo: p : Paris está na França. p~ : É falso que Paris está na França. p~ : Paris não está na França. p~ : Não é verdade que Paris está na França. Devemos ter certo cuidado ao negar as proposições. Em termos de lógica, a negação de uma proposição p será a proposição p~ . A negação de “A parede é branca” é “A parece não é branca”. A negação efetua a simples troca do valor verdade de p . Assim, quando p é verdadeira, p~ é falsa; quando p é falsa, p~ é verdadeira. Essa simplicidade lógica se opõe às várias complicações que a negação coloca nos discursos. Considere então a proposição: “Guilherme jogou um livro na perna de João”. A negativa, de acordo com a Lógica, limita-se a trocar o valor-verdade da afirmação feita. Limita-se a dizer que a afirmativa é falsa. Entretanto, essa falsidade pode recair em vários itens da afirmação. i) Não foi Guilherme quem jogou o livro, foi Alberto. ii) Não jogou, apenas encostou. iii) Não foi um livro, e sim um caderno. iv) Não foi na perna, foi na barriga. v) Não foi em João, foi em Paulo. Como nos revela este exemplo, há uma negação “externa”, aplicável a uma proposição inteira, e uma negação interna, aplicável a algum componente da p p~ V F F V RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 33 proposição. Queremos com isso mostrar que, por exemplo, não são equivalentes as proposições ~ ( )p q∧ e ~ ~p q∧ . Para evitar dúvidas, enunciaremos as “fórmulas” de negação das proposições compostas, demonstraremos e, em seguida, aplicaremos nas diversas questões de concurso. Negação das proposições usuais Afirmação Negação 𝑝 ~𝑝 𝑝 ∧ 𝑞 ~𝑝 ∨ ~𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 ~𝑝 ∧ ~𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝⟷ 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑝 ∧ ~𝑞 𝑝⟷ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 (𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ~𝑝) 𝑝⟷ ~𝑞 ~𝑝⟷ 𝑞 Poderíamos montar esta tabela em uma linguagem informal para um melhor entendimento do leitor iniciante. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 34 Observe que há várias maneiras de negar a proposição composta pelo “se e somente se”. Afirmação Negação p q∧ Negue as duas proposições e troque o conectivo “e” pelo conectivo “ou” p q∨ Negue as duas proposições e troque o conectivo “ou” pelo conectivo “e” 𝑝 ∨ 𝑞 Troque o conectivo “ou...ou...” pelo conectivo “se e somente se p q→ Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo “e” e negue o consequente. p q↔ Afirme a primeira “e” negue a segunda, coloque o conectivo “ou” e em seguida afirme a segunda “e” negue a primeira. Negue apenas o segundo componente e mantenha o conectivo. Negue apenas o primeiro componente e mantenha o conectivo. Troque o conectivo “se e somente se” pelo conectivo “ou exclusivo”. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1: Conjunção Afirmação: Vou ao cinema e vou ao teatro. Negação: Não vou ao cinema ou não vou ao teatro. Exemplo 2: Disjunção Afirmação: Eu te ensino Lógica ou meu nome não é Guilherme. Negação: Não te ensino Lógica e meu nome é Guilherme. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 35 Exemplo 3: Condicional Afirmação: Se bebo, então não dirijo. Negação: Bebo e dirijo. Negação de proposições quantificadas Observe as seguintes expressões: a) 2 6 0x + = b) 3 0x − > Elas contêm variáveis e seus valores lógicos (verdadeira ou falsa) dependem do valor atribuído à variável. a) 2 6 0x + = é verdadeira se trocarmos x por 3− e é falsa para qualquer outro valor atribuído a x . b) 3 0x − > é verdadeira, por exemplo, para 8x = e falsa, por exemplo, para 1x = . Expressões que contêm variáveis são chamadas de sentenças abertas ou funções proposicionais. Como já comentamos, tais expressões não são proposições, pois seus valores lógicos dependem dos valores atribuídos às variáveis. Entretanto, temos duas maneiras de transformar funções proposicionais em proposições: atribuir valor às variáveis ou utilizar quantificadores. Quantificadores são palavras ou expressões que indicam que houve quantificação.São exemplos de quantificadores as expressões: existe, algum, todo, cada, pelo menos um, nenhum. Note que os dicionários, de modo geral, não registram “quantificador”. Esse termo, no entanto, é de uso comum na Lógica. Uma proposição é dita categórica quando é caracterizada por um quantificador seguido por uma classe ou de atributos, um elo e outra classe de atributos. Vejamos exemplos de proposições quantificadas. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 36 Observe que a proposição universal negativa “Nenhum recifense é pernambucano” equivale a dizer que “Todo recifense não é pernambucano”. Dessa forma, a expressão “nenhum” pode ser substituída pela expressão “todo... não ...”. O quantificador universal é indicado pelo símbolo ∀ , que se lê: “todo”, “qualquer que seja”, “para todo”. O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃ , que se lê: “algum”, “existe”, “existe pelo menos um”, ”pelo menos um”, “existe um”. Note que uma função proposicional (ou sentença aberta) quantificada é uma proposição. Então, como proposição, pode ser negada. Negação de proposições quantificadas Em resumo, temos o seguinte quadro para negação de proposições quantificadas. Afirmação Negação Particular afirmativa (“algum...”) Universal negativa (“nenhum...” ou “todo... não ...”) Universal negativa (“nenhum...” ou “todo... não...”) Particular afirmativa (“algum...”) Universal afirmativa (“todo...”) Particular negativa (“algum... não”) Particular negativa (“algum... não”) Universal afirmativa (“todo...”) Proposição universal afirmativa Todo recifense é pernambucano. Proposição universal negativa Nenhum recifense é pernambucano. Proposição particular afirmativa Algum recifense é pernambucano. Proposição particular negativa Algum recifense não é pernambucano. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 37 Observe que se a proposição original utiliza o quantificador UNIVERSAL, a sua negação terá um quantificador PARTICULAR. Se a proposição original tem um quantificador PARTICULAR, sua negação utilizará o quantificador UNIVERSAL. Verifique ainda que se a proposição original é AFIRMATIVA, sua negação será NEGATIVA. Se a proposição original é NEGATIVA, sua negação será AFIRMATIVA. Vejamos alguns exemplos: p : Algum político é honesto. p : Existe político honesto. A proposição dada é uma PARTICULAR AFIRMATIVA. Sua negação será uma UNIVERSAL NEGATIVA. ~ p : Nenhum político é honesto. ~ p : Todo político não é honesto. q : Nenhum brasileiro é europeu. q : Todo brasileiro não é europeu. A proposição dada é uma UNIVERSAL NEGATIVA. Sua negação será uma PARTICULAR AFIRMATIVA. ~ q : Algum brasileiro é europeu. ~ q : Existe brasileiro que é europeu. r : Todo concurseiro é persistente. A proposição dada é uma UNIVERSAL AFIRMATIVA. Sua negação será uma PARTICULAR NEGATIVA. ~ r : Algum concurseiro não é persistente. ~ r : Existe concurseiro que não é persistente. t : Algum recifense não é pernambucano. t : Existe recifense que não é pernambucano. A proposição dada é uma PARTICULAR NEGATIVA. Sua negação será uma UNIVERSAL AFIRMARTIVA. ~ t : Todo recifense é pernambucano. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 38 Observação: Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação? De três maneiras: i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada. ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa. iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. 31. (ANCINE 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição “Todo ator sabe cantar e dançar” é equivalente a “Existe ator que não sabe cantar ou que não sabe dançar”. Resolução A proposição dada no enunciado utiliza o quantificador universal “todo”. Para negar uma proposição como esta, devemos trocar o quantificador pelo particular (algum, existe,...) e negar o resto da frase. Observe que o “resto” da frase é composta pelo conectivo “e”. Sabemos, pelas Leis de DeMorgan, que para negar uma proposição composta pelo conectivo “e” devemos modificar os verbos e trocar o conectivo por “ou”. O item está certo. 32. (ANCINE 2012/CESPE-UnB) A proposição ¬{(P v Q)→(¬R)} é logicamente equivalente à proposição {(¬P)∧(¬Q)} → R. Resolução Vamos analisar a proposição dada: ¬{(P v Q)→(¬R)}. Observe que o objetivo desta proposição é negar (já que temos o símbolo da negação fora das chaves) a proposição (P v Q)→(¬R). Ora, e como negamos uma proposição composta pelo conectivo “se..., então...”? Devemos repetir a primeira proposição, trocar o conectivo “se..., então...” pelo conectivo “e” e negar o segundo componente (negar o consequente). Desta forma, a proposição ¬{(P v Q)→(¬R)} é equivalente à proposição (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅. O item está errado. Observe que o enunciado negou os dois componentes e manteve o conectivo “se..., então...”. 33. (ANCINE 2012/CESPE-UnB) A proposição “Se todo diretor é excêntrico e algum excêntrico é mau ator, então algum diretor é mau ator” é logicamente equivalente à proposição “Algum diretor não é excêntrico ou todo excêntrico é bom ator ou algum diretor é mau ator”. Resolução Nós estudamos duas equivalências importantes envolvendo o conectivo “se…, então…”. Uma delas tem como objetivo transformar uma proposição do “se…, então…” em outra proposição do “se…, então…”. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 39 A outra equivalência nos ensina como transformar uma proposição do “se…, então…” em uma proposição composta pelo conectivo “ou”. Para tanto, devemos negar o primeiro componente, trocar o conectivo “ou” pelo “se…, então…” e copiar o segundo componente. Se 𝐭𝐨𝐝𝐨 𝐝𝐢𝐫𝐞𝐭𝐨𝐫 é 𝐞𝐱𝐜ê𝐧𝐭𝐫𝐢𝐜𝐨 𝐞 𝐚𝐥𝐠𝐮𝐦 𝐞𝐱𝐜ê𝐧𝐭𝐫𝐢𝐜𝐨 é 𝐦𝐚𝐮 𝐚𝐭𝐨𝐫!° !"#$"%&%'& , então algum diretor é mau ator!° !"#$"%&%'& . Vamos negar o primeiro componente. Temos uma proposição composta pelo conectivo “e”. Devemos negar as duas partes e trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. Para negar uma proposição com “todo”, trocamos pelo quantificador particular (existe, algum,…) e modificamos o verbo. Para negar uma proposição com “algum”, trocamos pelo quantificador universal (todo) e modificamos o verbo. Assim, a proposição dada é equivalente a “Algum diretor não é excêntrico ou todo excêntrico é bom ator ou algum diretor é mau ator”. Lembre-se que o segundo componente deve ser copiado. O item está certo. Uma ressalva: não aceito 100% o gabarito desta questão. Se João não é um ator ruim, isso não significa dizer que ele é um bom ator. Existe um meio termo. Da mesma forma, se João não é rico, isto não significa dizer que ele é pobre. Existe um meio termo. De qualquer forma, esta questão serve de respaldo para eventuais recursos no futuro. 34. (PREVIC 2011/CESPE-UnB) A negação da proposição “Se um trabalhador tinha qualidade de segurado da previdência social ao falecer, então seus dependentes têm direito a pensão” é logicamente equivalente à proposição “Um trabalhador tinha qualidade de segurado da previdência social ao falecer, mas seus dependentes não têm direito a pensão”. Resolução Queremos negar uma proposição composta pelo conectivo “se..., então...”. Devemos copiar o primeiro componente, negar o segundo e trocar o conectivo pelo “e”. Ficamos com: Um trabalhadortinha qualidade de segurado da previdência social ao falecer e seus dependentes não têm direito a pensão. O item está certo. A palavra MAS tem o mesmo sentido do conectivo “e”. 35. (ABIN 2010/CESPE-UnB) A negação da proposição "estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos" é equivalente a "estes papéis não são rascunhos e têm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos". Resolução RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 40 Para negar uma proposição composta pelo conectivo “ou”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo “e”. Afirmação Estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos Negação Estes papéis não são rascunhos e têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos O item está certo. 36. (Banco da Amazônia 2010/CESPE-UnB) A negação da proposição "se Paulo está entre os 40% dos homens com mais de 30 anos, então Luísa tem mais de 30 anos" é "se Paulo não está entre os 40% dos homens com mais de 30 anos, então Luísa não tem mais de 30 anos". Resolução Queremos negar uma proposição composta pelo conectivo “se..., então...”. Devemos copiar o primeiro componente, negar o segundo e trocar o conectivo pelo “e”. O item está errado, já que ele negou os dois componentes (deveria ter negado apenas o segundo) e manteve o conectivo “se..., então...” (deveria ter trocado pelo “e”). 37. (BB 2008/CESPE-UnB) A negação da proposição "As palavras mascaram-se" pode ser corretamente expressa pela proposição "Nenhuma palavra se mascara". Resolução A proposição “As palavras mascaram-se” tem um quantificador universal implícito, ou seja, ela significa “Todas as palavras mascaram-se”. Para negar uma proposição com o quantificador universal “todo”, devemos trocar pelo quantificador particular (existe, algum,…) e negar o restante da frase. Ou seja, a correta negação é “Alguma palavra não se mascara” ou “Existe palavra que não se mascara”. O item está errado. 38. (TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição “Se eu não registrar minha candidatura dentro do prazo, também não poderei concorrer a nenhum cargo” estará corretamente expressa por “Se eu registrar minha candidatura dentro do prazo, então poderei concorrer a algum cargo”. Resolução Queremos negar uma proposição composta pelo conectivo “se..., então...”. Devemos copiar o primeiro componente, negar o segundo componente e trocar o conectivo pelo “e”. O item está errado, já que ele negou os dois componentes (deveria ter negado apenas o segundo) e manteve o conectivo “se..., então...” (deveria ter trocado pelo “e”). RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 41 39. (Câmara dos Deputados 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição “Não conheço esse empresário nem ouvi falar de sua empresa” pode ser expressa por “Conheço esse empresário e ouvi falar de sua empresa”. Resolução A proposição dada no enunciado significa “Não conheço esse empresário e não ouvi falar de sua empresa”. A negação desta proposição é “Conheço esse empresário ou ouvi falar de sua empresa”. O item está errado, pois foi utilizado o conectivo “e” na negação. Lembre-se das Leis de De Morgan: para negar uma proposição composta pelo “e”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. 40. (PC-CE 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição “Se houver corrupção, os níveis de violência crescerão” é equivalente a “Se não houver corrupção, os níveis de violência não crescerão”. Resolução Para negar uma proposição composta pelo conectivo “se…, então…” devemos copiar o primeiro componente, negar o segundo e trocar o conectivo pelo “e”. O item está completamente errado. O CESPE negou os dois componentes e manteve o conectivo “se…, então…”. A correta negação da proposição dada é “Há corrupção e os níveis de violência não crescem”. 41. (PC-CE 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição “Toda pessoa pobre é violenta” é equivalente a “Existe alguma pessoa pobre que não é violenta”. Resolução O item está certo. Para negar uma proposição com o quantificador universal, devemos utilizar o quantificador particular (existe, algum, existe algum, pelo menos um, etc.) e modificar o verbo. Afirmação Toda pessoa pobre é violenta. Negação Existe alguma pessoa pobre que não é violenta. 42. (PC-CE 2012/CESPE-UnB) Considerando que Jorge não seja pobre, mas pratique atos violentos, é correto afirmar que Jorge é um contraexemplo para a afirmação: “Todo indivíduo pobre pratica atos violentos”. Resolução O que é um contraexemplo? Ora, é um “exemplo” que torne a proposição falsa. E como vamos saber quando a proposição é falsa? Basta construir a sua negação!! A negação de “Todo indivíduo pobre pratica atos violentos” é “Existe indivíduo pobre que não pratica atos violentos” (trocamos o tipo de quantificador e modificamos o verbo). RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 42 Assim, um contraexemplo sera um indivíduo pobre que não pratique atos violentos. Jorge não é um contraexemplo. Para que ele fosse um contraexemplo para a frase, ele deveria ser pobre e não praticar atos violentos. O item está errado. 43. (TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição “Se eu não registrar minha candidatura dentro do prazo, também não poderei concorrer a nenhum cargo” estará corretamente expressa por “Se eu registrar minha candidatura dentro do prazo, então poderei concorrer a algum cargo”. Resolução Qualquer tentativa de negar uma proposição composta pelo “se…, então…” utilizando o próprio conectivo “se…, então…” estará errada. Assim, o item está errado. (TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) P: Se não há autorização legislativa ou indicação dos recursos financeiros correspondentes, então, não há abertura de créditos suplementares ou de créditos especiais. Considerando a proposição acima, que tem por base o art. 167, inciso V, da Constituição Federal de 1988, julgue os itens seguintes. 44. Na proposição P, a negação do consequente estaria corretamente expressa por: “Há abertura de créditos suplementares ou há abertura de créditos especiais”. Resolução O consequente é a segunda proposição de uma proposição composta pelo conectivo “se…, então…”, ou seja, é a proposição que fica depois do “então”. Queremos, portanto, negar a proposição “não há abertura de créditos suplementares ou de créditos especiais.”. Para negar uma proposição composta pelo “ou”, devemos negar os componentes e trocar o conectivo pelo “e”. O item está errado, já que o conectivo não foi trocado. 45. (FCC-2011-Banco do Brasil - Escriturário) Um jornal publicou a seguinte manchete: "Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários." Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários. b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários. d) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil. e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA Aula 05 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves 43 Resolução A negação de uma proposição
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