APOSTILA TUDO SOBRE FUNÇÕES

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Funções
1 Introdução
Para começarmos, precisamos de algumas definições:
• Par ordenado: conjunto de dois números reais em que a ordem dos
elementos importa, ou seja, (1, 2) 6= (2, 1). Utilizaremos essa definição
para a representação de pontos no plano cartesiano, em que o primeiro
elemento representa o valor de x e o segundo representa o valor de y.
• Relação: Uma relação de A em B é o conjunto formado por todos os
pares (x,y), tais que x ∈ A e y ∈ B que assumem uma determinada
propriedade p(x,y).
Dessa forma, já temos conteúdo suficiente para definirmos o assunto prin-
cipal:
Função é a relação f de A em B tal que ∀x ∈ A,∃!y ∈ B tal que (x, y) ∈ f .
Geralmente representada por, no caso de funções de apenas uma variável, f(x)
= y, ou seja, aplicando determinada propriedade em x, o transformamos em
y.
Essa propriedade pode ser explícita ou implícita (ou equação funcional),
como motram os exemplos abaixo:
• f(x) = k
• f(x) = ax2 + bx+ c
• f(a+ b) = f(a) + f(b)
• f(ab) = f(a) + f(b)
Uma função geralmente é representada da seguinte forma:
f : A→ B
onde A é chamado domínio (Df ) e B, contra-domínio (CDf ).
1
• Domínio: conjunto de valores em que a função pode ser aplicada.
• Contra-domínio: qualquer conjunto que contenha o conjunto imagem
(Imf ).
• Conjunto imagem: subconjunto do contra-domínio formado por todos
os valores que a função pode assumir quando aplicada a elementos do
domínio. Pode ser representado pelo seguinte conjunto, representado
pelo pontilhado na figura 1.
Imf = {y ∈ B|f(x) = y;∀x ∈ A}
Figura 1: Exemplo de diagrama de funções
2 Classificação de Funções
Sendo:
f : A→ Bef(x) = y
• Injetora:
(injetora) ⇐⇒ (∀(x1, x2) ∈ A2|x1 6= x2 → f(x1) 6= f(x2))
• Sobrejetora:
(sobrejetora) ⇐⇒ (∀y ∈ B, ∃x ∈ A|f(x) = y)
2
• Bijetora: Injetora e Sobrejetora
(bijetora) ⇐⇒ (∀y ∈ B, ∃!x ∈ A|f(x) = y)
• Paridade:
1. Par: Gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
(par) ⇐⇒ (∀x ∈ A→ (−x) ∈ A ∧ f(−x) = f(x))
2. ímpar: Gráfico da função é simétrico em relação à origem.
(ímpar) ⇐⇒ (∀x ∈ A→ (−x) ∈ A ∧ f(−x) = −f(x))
Obs:
(a) (f é par e ímpar) ⇐⇒ (f(x) = 0, ∀x ∈ A)).
(b) Toda função pode ser escrita como a soma de uma função par
com uma ímpar.
• Periodicidade:
(periódica) ⇐⇒ (∃p 6= 0(real|)∀x ∈ A→ (x+p) ∈ A∧f(x) = f(x+p))
– Preíodo principal: menor valor de P.
– f(x) = a+ b.sen(cx+ d) =⇒ P = 2pi|c|
– f(x) = a+ b.cos(cx+ d) =⇒ P = 2pi|c|
– f(x) = a+ b.tg(cx+ d) =⇒ P = pi|c|
• Monotonicidade:
1. Estritamente crescente:
x1 > x2 =⇒ f(x1) > f(x2),∀(x1, x2) ∈ A2, x1 6= x2
2. Crescente:
x1 ≥ x2 =⇒ f(x1) ≥ f(x2),∀(x1, x2) ∈ A2, x1 6= x2
3. Constante:
f(x1) = f(x2),∀(x1, x2) ∈ A2, x1 6= x2
3
4. Decrescente:
x1 ≥ x2 =⇒ f(x1) ≤ f(x2),∀(x1, x2) ∈ A2, x1 6= x2
5. Estritamente decrescente:
x1 > x2 =⇒ f(x1) < f(x2),∀(x1, x2) ∈ A2, x1 6= x2
Obs: No primeiro e no último itens as funções são injetoras.
3 Composição de Funções
f : A→ B
g : C → D
E = {∀x ∈ A|f(x) ∈ C}
Se E 6= ∅ =⇒ g ◦ f é a função composta de f com g.
No caso da figura 2, A = X, B = C = Y e D = Z:
Figura 2: Exemplo de diagrama de funções compostas
Obs:
1. f ◦ g(x) 6= g ◦ f(x).
2. h ◦ (g ◦ f)(x) = (h ◦ g) ◦ f(x).
3. Se f e g são injetoras, g ◦ f é injetora.
4. Se f e g são sobrejetoras, g ◦ f é sobrejetora.
5. Se g ◦ f ínjetora então f é injetora.
6. Se g ◦ f śobrejetora então g é sobrejetora.
4
4 Funções Inversas
Uma função f é inversível se sua relaçao inversa é função, ou seja, se, sendo
f(x) = y uma função, f−1(y) = x também for.
Dessa definição, temos a seguinte propriedade:
fé inversível ⇐⇒ fé bijetora
Obs:
1. ∃f−1 =⇒ f−1 ◦ f(x) = x.
2. f e f−1 são simétricas em relação à reta y = x.
5 Gráfico de uma Função
O gráfico de uma função f : A→ B é o seguinte conjunto de pontos (Figura
3):
G = {(x, f(x)),∀x ∈ A}
Figura 3: Exemplo do gráfico da função f(x) = x
5
6 Principais Funções
Para essas funções, denotaremos:
• R como o conjunto dos números reais.
• Período como o "período principal".
• Domínio como o domínio máximo.
1. Função constante: f(x) = k
• Domínio: Df = R
• Imagem: Imf = {k}
• Paridade: Função par
• Período principal não definido
• Monotonicidade: Função Constante
• @f−1(y)
• Gráfico: Figura 4
Figura 4: Gráfico da função constante f(x) = k
2. Função Afim: f(x) = ax+ b
6
• Domínio: Df = R
• Imagem: Imf = R
• Paridade:
{
ímpar b = 0
nem ímpar, nem par b 6= 0
• Sem período
• Monotonicidade:
{
Extritamente Crescente a > 0
Extritamente Decrescente a < 0
• f−1(y) = y−b
a
• Gráfico: Figura 5
Figura 5: Gráfico da função afim f(x) = ax+ b
3. Função Quadrática: f(x) = ax2 + bx+ c
• Domínio: Df = R
• Imagem: Imf =
{[−∆
4a
; +∞) if a > 0(−∞;−∆
4a
]
if a < 0
• Paridade:
{
par b = 0
nem ímpar, nem par b 6= 0
• Sem período
• Monotonicidade: Sem classificação para todo o domínio.
• @f−1(y) em todo o domínio.
• Gráfico (D = ∆): Figura 6
7
• Forma fatorada: f(x) = a(x− r1)(x− r2), sendo r1 e r2 as raízes.
• Forma vértice: f(x) = a(x− xV )2 + yV , sendo (xV , yV ) o vértice.
4. Função Polinomial:
f : R→ Rf(x) = a0xn + a1xn−1 + · · ·+ an−1x+ an
• Domínio: Df = R
• Imagem:
Imf =

R ímpar
[yV ,+∞) a0 > 0
(−∞, yV ] a0 < 0
Sendo yV a ordenada do vértice extremo do gráfico da função.
• Paridade:
Figura 6: Gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx+ c
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
par e ímpar ai = 0,∀i = 0, 1, 2, . . . , n
ímpar n ímpar e ai = 0,∀i = 1, 3, . . . , n
par par e ai = 0, ∀i = 1, 3, . . . , n− 1
nem par, nem ímpar outros casos
• Sem período
• Monotonicidade:
Extritamente crescente a0 > 0, n ímpar e f(x) = a0(x− r)n
Extritamente decrescente a0 < 0, n ímpar e f(x) = a0(x− r)n
Sem classificação outros casos
Sendo r a única raiz da função.
• Para os casos em que a função é extritamente crescente ou decres-
cente:
f−1(y) =
(
y
a0
) 1
n
+ r
• Gráfico: Muito genérico para ser desenhado, mas podemos descrevê-
lo:
– Cruza o eixo y em an.
– Cruza o eixo x em k pontos, que são as raízes reais, com k ≤ n.
– Os gráficos são retas somente nos casos de n = 0 e n = 1, já
estudados.
5. Função Recíproca: f(x) = 1
x
• Domínio: Df = R\{0}
• Imagem: Imf = R\{0}
• Paridade: ímpar
• Sem período
• Monotonicidade: Sem classificação para todo o domínio.
• f−1(y) = 1
y
.
• Gráfico: Hipérbole Equilátera (figura 7
Obs: Através do gráfico dessa função, pode ser definida a função
logarítimica. Já que, como será visto mais adiante:
9
∫ x
1
1
x
dx = ln(x)
6. Função Modular:
f(x) =| x | ou f(x) =
{
x x ≥ 0
−x x < 0
• Domínio: Df = R
• Imagem: Imf = [0; +∞)
• Paridade: Par
• Sem período
• Monotonicidade: Sem classificação para todo o domínio.
• @f−1(y) para todo o domínio.
• Gráfico: Figura 8
7. Função Exponencial: f(x) = ax, a > 0, a 6= 1
• Domínio: Df = R
• Imagem: Imf = [0; +∞)
• Paridade: Nem par, nem ímpar.
Figura 7: Gráfico da função recíproca f(x) = 1
x
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• Sem período
• Monotonicidade:{
Extritamente decrescente 0 < a < 1
Extritamente crescente a > 1
• f−1(y) = logay.
• Gráfico: Figura 9
• Essa é uma das mais importantes funções e, portanto, algumas
propriedades serão exploradas:
– x = 0 =⇒ f(x) = 1 ou a0 = 1
– x = 1 =⇒ f(x) = a ou a1 = a
– f(x).f(y) = f(x+ y) ou ax.ay = ax+y
– f(x)
f(y)
= f(x− y) ou ax
ay
= ax−y
– f(x)y = f(xy) ou (ax)y = axy
– 1
f(x)
= f(−x) ou 1
ax
= a−x
– ax.bx = (ab)x
– Essa função, com a = e (número de Euler), pode ser aproxi-
mada pela série de Taylor para a seguinte soma:
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
Figura 8: Gráfico da função modular f(x) =| x |
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– Uma importante equação, que relaciona a função exponencial
com a trigonometria é a fórmula de Euler, dada por:
eiθ = cos(θ) + i.sen(θ)
Com essa relação serápossível a dedução das fórmulas de
sen(nθ) e cos(nθ), para qualquer valor de θ. Mas esse exercí-
cio fica a cargo do leitor na sessão de desafios da apostila de
trigonometria.
Dessa fórmula, tiramos uma expressão que relaciona 5 dos
mais importantes números da matemática, ao substituirmos
θ por pi:
eipi + 1 = 0
8. Função Logarítimica: f(x) = logax, a > 0, a 6= 1
• Domínio: Df = R+\{0}
• Imagem: Imf = R
Figura 9: Gráfico da função exponencial f(x) = ax
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• Paridade: Nem par, nem ímpar.
• Sem período
• Monotonicidade:{
Extritamente decrescente 0 < a < 1
Extritamente crescente a > 1
• f−1(y) = ay.
• Gráfico: Figura 10
Figura 10: Gráfico da função logarítimica f(x) = logax
• Essa é uma das mais importantes funções e, portanto, algumas
propriedades serão exploradas:
– x = 1 =⇒ f(x) = 0 ou loga1 = 0
– f(x) + f(y) = f(xy) ou loga(xy) = loga(x) + loga(y)
– f
(
x
y
)
= f(x)− f(y) ou loga
(
x
y
)
= loga(x)− loga(y)
– f(xy) = y.f(x) ou loga(xy) = y.loga(x)
– Mudança de base: logbx = logaxlogab
9. Função seno: f(x) = sen(x)
• Domínio: Df = R (x em radianos)
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• Imagem: Imf = [−1; 1]
• Paridade: Função ímpar
• Período: P = 2pi
• Monotonicidade: Sem classificação
• @f−1(y) em todo o domínio, porém, para D = [−pi
2
; pi
2
]
, define-se
f−1(y) = arcsen(y)
• Gráfico: Figura 11
Figura 11: Gráfico da função seno f(x) = sen(x)
• Obs: A função pode ser aproximada pela série de Taylor para a
seguinte soma:
sen(x) =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
x2n+1
10. Função cosseno: f(x) = cos(x)
• Domínio: Df = R (x em radianos)
• Imagem: Imf = [−1; 1]
• Paridade: Função par
• Período: P = 2pi
• Monotonicidade: Sem classificação
• @f−1(y) em todo o domínio, porém, para D = [0;pi], define-se
f−1(y) = arccos(y)
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Figura 12: Gráfico da função cosseno f(x) = cos(x)
• Gráfico: Figura 12
• Obs: A função pode ser aproximada pela série de Taylor para a
seguinte soma:
cos(x) =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n
11. Função tangente: f(x) = tg(x)
• Domínio: Df = {x ∈ R | x 6= pi2 +Kpi,K ∈ Z} (x em radianos)
• Imagem: Imf = R
• Paridade: Função ímpar
• Período: P = pi
• Monotonicidade: Sem classificação
• @f−1(y) em todo o domínio, porém, para D = ]−pi
2
; pi
2
[
, define-se
f−1(y) = arctg(y)
• Gráfico: Figura 13
• Obs: A função pode ser aproximada pela série de Taylor para a
seguinte expressão:
tg(x) =
sen(x)
cos(x)
=
∑∞
n=0
(−1)n
(2n+1)!
x2n+1∑∞
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n
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Referências
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Funções
• Livro: Mtemática - Temas e Metas Volume 6 - Funções e Derivadas -
Antonio dos Santos Machado
• Livro de Matemática do Sistema de Ensino Poliedro
Figura 13: Gráfico da função tangente f(x) = tg(x)
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