FUNÇÕES UNIDADE 1 CÁLCULO APLICADO À SAÚDE FUNÇÕES

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CÁLCULO 
APLICADO 
À SAÚDE
Aline Bento
Funções
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer o conceito de função e os conjuntos de domínio, imagem 
e contradomínio de uma função nos aspectos algébricos e gráficos.
 � Identificar graficamente a mudança de sinal e os zeros de uma função.
 � Distinguir determinados tipos de funções.
Introdução
O trabalho com funções não se restringe somente a cálculos; de forma 
geral, aplicamos as funções em muitas áreas profissionais, sendo um dos 
conceitos mais importantes da matemática. 
A noção de função aparece quando uma grandeza depende de outra; 
por exemplo, o volume e a superfície de uma esfera são duas funções 
que dependem do raio: V(r) = πr3 e A(r) = 4πr2. 
Neste capítulo, estudaremos sobre o que é uma função e os conceitos 
relacionados, conheceremos a representação gráfica de uma função e 
os tipos principais de funções existentes, além de suas propriedades e o 
reconhecimento de uma função.
Função, domínio, imagem e contradomínio 
de uma função 
Função
Basicamente, a função é uma relação entre dois elementos. Sejam dois con-
juntos, por exemplo, A e B; uma função é a relação que cada elemento de A 
associa a um único elemento de B, indicadas por:
f : A → B
A relação entre os conjuntos A e B é dada por uma regra de associação 
por meio da expressão:
y = f(x)
Essa regra diz que o elemento x є A, chamado de variável independente, 
está relacionado de modo único ao elemento y = f(x) є B, chamado de variável 
dependente. O conjunto A é chamado de domínio e o indicamos A = Dom( f ); 
o conjunto B é chamado de contradomínio.
O conjunto imagem indicado como Im( f ) é o conjunto dos elementos de 
B aos quais foram associados elementos de A, isto é: 
lm( f ) = {y ∈ B | y = f(x) para algum x ∈ A}
Definição e exemplos
Uma função f (de uma variável real) é um mecanismo que, a um número real 
x, chamado entrada (ou variável), associa um único número real construído 
a partir de x, denotado f(x) e chamado saída (ou imagem). Essa associação 
costuma ser denotada da seguinte forma: 
x → f(x)
Representação gráfica
Uma forma de representar a função no plano cartesiano é pelo seu gráfico, 
pois este permite extrair a informação essencial contida na função. Seja f uma 
função com domínio D. A construção do gráfico consiste em traçar todos os 
pontos do plano cartesiano desta forma: (x, f(x)); onde x ∈ D. Por exemplo, a 
Figura 1 ilustra f tendo um domínio D = [a,b].
Funções2
Figura 1. f com um domínio D = [a,b].
a x b
(x, f(x))
Quando x varre o seu domínio [a,b], o ponto (x, f(x)) traça o gráfico de f.
Representação analítica
Outra maneira de indicar uma função consiste em dar a regra de associação 
seguida do seu domínio. A função do exemplo anterior pode ser assim indicada: 
f(x) = x2, x ∈ :ℜ
Nesse modo de indicar a função, subentende-se que o contradomínio é o 
conjunto ℝ dos números reais.
Quando o domínio e o contradomínio de uma função estão contidos no conjunto dos 
números reais, a função é chamada de uma função real de variável real.
Uma função tem três constituintes básicos: domínio, contradomínio e regra de 
associação. Duas funções são iguais somente quando têm os mesmos domínio, con-
tradomínio e regra de associação.
3Funções
Funções injetoras
Sejam A e B conjuntos e f : A → B uma função. Dizemos que: 
f é injetora de A em B ⇔ (∀ x1, x2 ∈ A)( f(x1) = f(x2) → x1 = x2)
Note que isso é o mesmo que (∀ x1, x2 ∈ A)(x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)).
Note que isso não é o mesmo que (∀ x1, x2 ∈ A)(x1 = x2 → f(x1) = f(x2)).
Funções sobrejetoras
Sejam A e B conjuntos e f : A → B uma função. Dizemos que:
f é sobrejetora de A em B ⇔ (∀ y ∈ B)(∃ x ∈ A)(y = f(x))
Note que dizer que uma função é sobrejetora é o mesmo que mostrar 
que Im( f ) = C( f ). Ou seja, para qualquer função, sempre será verdade que 
Im( f ) ⊆ C( f ), porém, somente para as funções sobrejetoras poderemos escrever 
Im( f ) = C( f ).
Funções bijetoras
Sejam A e B conjuntos e f : A → B uma função. Dizemos que f é bijetora se e 
só se f é sobrejetora e injetora. Isto é:
f bijetora ⇔ f injetora ∧ f sobrejetora
Ou seja:
f bijetora ⇔ (∀ x1, x2 ∈ A)( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 ∧ (∀ y ∈ B)(∃ x ∈ A)(y = f(x))
Para algumas equações — por exemplo, as equações polinomiais do segundo grau —, 
existem fórmulas explícitas que dão as raízes em função dos coeficientes (p. ex., regra 
de Bháskara).
Funções4
Zeros de uma função e identificação gráfica 
da mudança de sinal
Vamos ilustrar o significado dos zeros de uma função por meio dos gráficos 
a seguir, os quais representam as funções:
f(x) = 1 + x + x2
f(x) = 1 + x + x2 + x2
f(x) = 1 + x + x2 + x2 + x4
f(x) = |x|
f(x) = x2/3(x − 2)2
f(x) = x2/3(x − 2)2
f(x) = x3
A raiz de uma função é o ponto em que f(x) = 0. Graficamente representa o 
valor de x onde a curva corta (ou toca) o eixo x. Caso isso não ocorra, dizemos 
que a função não possui raiz real. Para encontrar algebricamente as raízes de 
uma função, igualamos f(x) a zero e resolvemos a equação. 
O gráfico do polinômio P2(x) = 1 + x + x
2 de grau 2 é representado na 
Figura 2.
Figura 2. Gráfico do polinômio P2(x) = 1 + x + x
2 de grau 2.
76543210–1–2–3–4
0
–1
–2
1
2
3
4
5
6
5Funções
O gráfico do polinômio P3(x) = 1 + x + x
2 + x3 de grau 3 é representado 
na Figura 3.
Figura 3. Gráfico do polinômio P3(x) = 1 + x + x
2 + x3 de grau 3.
76543210–1–2–3–4
0
–1
–2
1
2
3
4
5
6
O gráfico do polinômio P4(x) = 1 + x + x
2 + x2 + x4 de grau 4 é representado 
na Figura 4.
Figura 4. Gráfico do polinômio P4(x) = 1 + x + x
2 + x3 + x4 de grau 4.
76543210–1–2–3–4
0
–1
–2
1
2
3
4
5
6
Funções6
O gráfico da função racional é representado na Figura 5.
Figura 5. Gráfico da função racional .
76543210–1–2–3–4
0
–1
–2
1
2
3
4
5
6
O gráfico da função valor absoluto |x| = x, x ≥ 0–x, x < 0{ é representado 
na Figura 6.
Figura 6. Gráfico da função valor absoluto |x| = x, x ≥ 0
–x, x < 0{ .
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8–1–2
7Funções
Considere uma função f.
A função g(x) = f(x) + c é obtida pela translação (deslocamento) vertical 
de f em c unidades.
A função g(x) = f(x − γ) é outra função obtida pela translação (deslocamento) 
horizontal de f em γ unidades.
O gráfico da Figura 7 mostra a translação vertical da função algébrica 
f(x) = x2/3(x − 2)2 considerando c = 3.
Figura 7. Translação vertical da função algébrica f(x) = x2/3(x − 2)2.
7
6
5
4
3
2
1
0
0–1–2–3 1 2 3 4 5 6 7
O gráfico da Figura 8 mostra a expansão horizontal da função algébrica 
f(x) = x2/3(x − 2)2 considerando γ = 3.
Funções8
Figura 8. Expansão horizontal da função algébrica f(x) = x2/3(x − 2)2.
7
6
5
4
3
2
1
0
0–1–2–3 1 2 3 4 5 6 7
Propriedades de funções
Função par: f(–x) = f(x).
Função ímpar: f(–x) = –f(x).
Existem funções que não são pares nem ímpares.
Função crescente: t < x implica f(t) < f(x).
Função decrescente: t < x implica f(t) > f(x).
Confira outro exemplo:
Uma função f, real de variável real, diz-se crescente em I, I ⊂ D( f ), se e 
somente se, para todo x1, x2 ∈ I, tem-se: x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).
f diz-se estritamente crescente em I, se e somente se x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Uma função f, real de variável real, diz-se decrescente em I, I ⊂ D( f ), se 
e somente se, para todo x1, x2 ∈ I, tem-se: x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2).
f diz-se estritamente decrescente em I, se e somente se x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
Existem funções que não são crescentes nem decrescentes. Exemplo: a 
função f(x) = x2 é uma função par (Figura 9).
9Funções
Figura 9. Exemplo de função par.
7
6
5
4
3
2
1
0
0–1–2–3–4–5 1 2 3 4 5
Essa função é simétrica em relação ao eixo y (função par). O gráfico dela 
é simétrico com respeito ao eixo vertical.
A função f(x) = x3 é uma função ímpar (Figura 10).
Figura 10. Função ímpar.
4
3
2
1
1 2 3 4 5
0
0
–1
–1–2–3–4–5
–2
–3
–4
Funções10
Essa função é simétrica em relação à origem (função ímpar). O gráficodela é simétrico em relação à origem.
O objetivo do método bisseção é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz 
até atingir a precisão requerida: | b k – a k | < ε, usando, para isso, a sucessiva divisão 
de [a,b] ao meio.
Tipos de funções
No estudo sobre funções e os tipos de funções, que será apresentado a seguir, 
poderemos observar que a importância das funções não está restrita apenas 
a cálculos e fórmulas matemáticas comumente utilizados em sala de aula. 
O conceito de função também está relacionado com a nossa vida diária, por 
exemplo, uma função pode ser usada para estimar a vazão de água que percorre 
o encanamento da nossa residência, assim como pode também estimar a vazão 
de uma usina hidrelétrica, como Itaipu. Esse trabalho se chama modelagem 
matemática e pode envolver diferentes tipos de funções. Portanto, reconhecer 
algumas das principais funções poderá ser muito útil nos cálculos de integrais 
e derivadas, que são utilizadas no trabalho com modelagem.
Funções algébricas
De modo geral, funções definidas por meio de operações algébricas em po-
linômios são chamadas de funções algébricas e envolvem apenas operações 
algébricas (adição, subtração, divisão, multiplicação e potenciação) sobre 
números reais. As funções que não são algébricas são chamadas de funções 
transcendentes. Podemos citar como funções transcendentes as funções tri-
gonométricas, as funções exponenciais e as funções logarítmicas.
11Funções
Funções polinomiais
É toda função cuja regra de associação é um polinômio, isto é, f(x) = anx
n + 
an−1x
n−1 + … + a1x + a0, onde os coeficientes a0, a1, … , an são números reais 
e n é algum natural.
Funções polinomiais têm a forma: 
f(x) = a0x
n + a1x
n−1 + … + an-1x + an
Nela, a0, … an são constantes, e n é um inteiro positivo chamado de grau do 
polinômio se an ≠ 0. O domínio deste tipo de função são os todos os números 
reais, ou seja, não há restrições.
Funções racionais
É toda função f cuja regra de associação é da forma f(x) = p(x) / q(x), onde p(x) 
e q(x) são funções polinomiais. Note que uma função racional está definida 
em qualquer domínio que não contenha raízes do polinômio q(x).
Uma função é dita racional quando se encontra representada pelo quociente 
entre dois polinômios, sendo o divisor um polinômio não nulo.
O domínio de uma função racional f(x) = N(x) / D(x) é dado por: 
Df = {x ∈ R / D(x) ≠ 0}
Ou seja, o domínio desse tipo de função são os todos os números reais, 
exceto o(s) valor(es) que torne(m) o denominador nulo.
Funções trigonométricas
Funções trigonométricas são as que estão associadas a ângulos e retas. Elas 
são importantes no equacionamento de situações práticas que tenham caráter 
periódico. Confira os valores de funções trigonométricas para alguns ângulos 
no Quadro 1.
Funções12
G
ra
us
–1
80
°
–1
35
°
–9
0º
–4
5°
0°
30
°
45
°
60
°
90
°
13
5°
18
0°
θ 
(ra
di
an
os
)
–π
 –
3π 4
 –
π 2
 –
π 4
0
π 6
 –
π 4
 π 3
 –
π 2
 –
3π 4
π
se
n 
θ
0
 
√2 2
–
–1
 
√2 2
–
0
1 2
 √
2 2
–
 √
3 2
1
 √
2 2
–
0
co
s θ
–1
 
√2 2
–
0
 √
2 2
–
1
√3 2
 √
2 2
–
 1 2
0
 
√2 2
–
–1
tg
 θ
0
1
—
–1
0
√3 3
1
 √
3
—
–1
0
Q
ua
dr
o 
1.
 V
al
or
es
 d
e 
fu
nç
õe
s t
rig
on
om
ét
ric
as
 p
ar
a 
de
te
rm
in
ad
os
 â
ng
ul
os
13Funções
Função seno
A função seno é definida da seguinte forma (Figura 11):
sen: R → R
x → sen(x) y = sen x
Figura 11. Função seno.
y
1
– 2π 3π
2
π
2
– –– π π 2ππ
2
0
–1
3π
2
x
D(sen) = ] -∞, +∞ [
Im(sen) = [ – 1, +1]
Período = 2π
Função cosseno
A função cosseno é definida da seguinte forma (Figura 12):
cos: R → R
x → cos(x) y = cos x
Funções14
Figura 12. Função cosseno.
y
1
– 2π 3π
2
π
2
– –– π π 2ππ
2
0
–1
3π
2
x
D(sen) = ] -∞, +∞ [
Im(sen) = [ –1, +1]
Período = 2π
Função tangente
A função tangente é definida como sendo o quociente da função seno pela 
função cosseno (Figura 13). 
tg: A → R
x → tg(x) = sen(x) / cos(x)
y = tg(x)
Figura 13. Função tangente.
y
1
– 2π 3π
2
π
2
– –– π π 2ππ
2
0
–1
3π
2
x
15Funções
D(tg) = {x ∈ R / x ≠ π/2 + kπ}, para k ∈ Z
Im(sen) = -∞ < y < +∞ 
Período = π
Funções inversas trigonométricas
Função arco-seno
A função f: R → [–1;1] definida por f(x) = sen x não é bijetora. Entretanto, 
restringindo o domínio ao intervalo [–π/2; π/2], obtemos uma função bijetora 
cuja inversa denominamos função arco-seno.
Temos, para x ∈ [–π/2; π/2] e y ∈ [–1;1]:
sen y = y ⇔ x = arcsen y
Trocando x por y e y por x, temos y = arcsen x. Portanto, a função inversa 
de f: [–π/2; π/2] → [–1;1], f(x) = sen x é: 
f–1: [–1;1] → [–π/2; π/2], f–1(x) = arcsen x
Observe a Figura 14.
Figura 14. y = sen x, x Є [–π/2 ; +π/2] e y = arcsen x.
1
1
y y
π
2
–
π
2
–
π
2
π
2
0
0–1
–1
xx
Funções16
Função arco-cosseno
A função f:[0;π] → [–1;1] definida por f(x) = cos x, restrição do cosseno ao 
intervalo [0;π], é bijetora, e sua inversa é denominada função arco-cosseno. 
Temos, para x Є [0;π] e y Є [–1;1]: cos x = y ⇔ x = arccos y. Trocando x por 
y e y por x, temos y = arccos x. Portanto, a função inversa de f é f–1: [– 1;1] → 
[ 0 ; π ], f–1(x) = arccos x. Observe a Figura 15.
Figura 15. Função arco-cosseno: y = cos x, x Є [ 0 ; π ] e y = arccos x.
y y
1
1
π
π
π
2
π
2
0
0–1
–1 x
x
Função arco-tangente
A função f:]-π/2; π/2[ definida por f(x) = tg x com restrição da tangente ao in-
tervalo ]-π/2; π/2[ é bijetora, e sua inversa é denominada função arco-tangente. 
Temos, para x ∈ ]-π/2; π/2[ e y ∈ R, tg x = y ⇔ x = arctg y. Trocando x por 
y e y por x, temos y = arctg y. Portanto, a função inversa de f é f-1: R → ]-π/2; 
π/2[ f-1(x) = arctg x. Observe a Figura 16.
17Funções
Figura 16. Função arco-tangente: y = tg x, x Є ] -π/2 ; +π/2 [ e y = arctg x.
y y
1
1π
2
–
π
2
–
π
2
π
2
0
0
–1
–1x x
Exponencial
Uma das funções mais importantes da matemática é a exponencial de base 
a (Figura 17):
Figura 17. Exponencial de base a.
y
x
ax
Sendo a um número positivo e a ≠ 1. Os gráficos dessas funções mudam 
de acordo com o valor de a, e estão ilustrados na Figura 18.
Funções18
Figura 18. Gráficos das funções exponenciais.
y
x
a
a > 1
1
10
y
x
1
10
0 < a < 1
a
Função logarítmica
A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Considere f(x) = ax; 
sua função inversa é:
Observe também a Figura 19.
Figura 19. Função logarítmica: loga 1 = 0 e loga a = 1.
y
x
logax
19Funções
Graficamente, a função logarítmica é representada na Figura 20.
Figura 20. Representação gráfica da função logarítmica.
y
xa
a > 1
1
10
loga x
y
xa
0 < a <1
loga x1
10
As propriedades operatórias são definidas por determinadas expressões. 
Para todo x, y > 0, valem as seguintes regras.
a) Propriedade do produto:
loga(xy) = loga x + loga y
b) Propriedade do quociente:
loga(x / y) = loga x – loga y
c) Propriedade da potenciação:
loga (y
x) = x logay
Uma das principais características de uma função é sua capacidade de representar 
transformações, ou seja, uma função pode ser entendida como um mecanismo que, 
sob certas condições predefinidas, transforma entradas em saídas.
Funções20
PINTO, M. M. F. Fundamentos da matemática. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2011.
VACCARO G. L. R.; CANTO, E. A. Estruturas algébricas: relações, funções, reticulados & 
álgebras booleanas. 135 p. Porto Alegre, 2001. Disponível em: <https://www.inf.pucrs.
br/~rvieira/cursos/lac/RelFReAB.pdf>. Acesso em: 17 dez. 2018.
21Funções
Conteúdo: