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www.profafguimaraes.net 1 l l l q q q Prof. A.F.Guimarães Física 3 – Questões 1 Questão 1 Calcule a distância entre dois prótons para que o módulo da força elétrica repulsiva entre os prótons seja igual ao peso de um próton na superfície da terrestre. Resolução: Na superfície terrestre, o peso de um próton é dado por: ݓ ൌ ݉ ή ݃ ൌ ͳǡ ή ͳͲିଶ ή ͻǡͺ ݓ ൌ ͳǡͶ ή ͳͲିଶ�ܰ (1.1) A força elétrica de repulsão é dada por: ܨ ൌ ͳͶߨ߳ ή ȁݍଵȁ ή ȁݍଶȁݎଶ (1.2) Substituindo os valores do peso e da carga do próton bem como da constante envolvida, em (1.2), teremos: ͳǡͶ ή ͳͲିଶ ൌ ͻ ή ͳͲଽ ή ሺͳǡ ή ͳͲିଵଽሻଶݎଶ ݎ ؆ Ͳǡͳͳͺ�݉ ൌ ͳͳǡͺ�ܿ݉ (1.3) Questão 2 A carga total de duas pequenas esferas positivamente carregadas vale ͷ ή ͳͲିହ�ܥ. Determine a carga total de cada esfera, sabendo que quando a distância entre as esferas é de�ʹǡͲ�ܰ, a força de repulsão possui módulo igual a Ͳǡͻ�ܰ. Resolução: Utilizando a expressão de (1.2), teremos: Ͳǡͻ ൌ ͳͶߨ߳ ή ȁݍଵȁ ή ȁݍଶȁͶ Ǣ �ݍଵ Ͳ�݁�ݍଶ Ͳ ݍଵ ή ݍଶ ൌ Ͷ ή ͳͲିଵ (2.1) Para a carga total, teremos: ݍଵ ݍଶ ൌ ͷ ή ͳͲିହ�ܥ (2.2) Poderemos utilizar o resultado de (2.1), isolar uma das variáveis e substituir em (2.2). Teríamos dessa forma uma equação do segundo grau a ser solucionada. Porém, uma observação mais apurada, nos leva a procurar dois números cujo produto é dado por (2.1) e a soma é dada por (2.2) sendo os dois números positivos. Logo, teremos como uma possível solução: ݍଵ ൌ ͳ ή ͳͲିହ�ܥǢ �ݍଶ ൌ Ͷ ή ͳͲିହ�ܥ (2.3) Questão 3 Em cada vértice de um triângulo equilátero de lado igual a l, existe uma carga q. Determine o módulo da força que atua sobre qualquer uma das três cargas em função de l e de q. Resolução: Considere a figura abaixo como representação da configuração do nosso problema. Figura 3-1 A resultante das forças que atuam, por exemplo, na carga do vértice inferior esquerdo será dada por: ܨԦோ ൌ ܨԦଵ ܨԦଶ (3.1) www.profafguimaraes.net 2 a a r r R Q Q q Ʌ ܨԦ ܨԦ ܨԦଵ ܨԦଶ Ͳι ܨԦோ Em que: ܨଵ ൌ ܨଶ ൌ ͳͶߨ߳ ή ȁݍȁଶ݈ଶ (3.2) O módulo da resultante será dado pela lei dos cossenos. Assim, utilizando (3.2), teremos: Figura 3-2 ܨோଶ ൌ ܨଵଶ ܨଶଶ ʹܨଵܨଶ Ͳι ܨோ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶ݈ଶ ʹ ൬ͳ ͳʹ൰൨ଵଶ ܨோ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶ݈ଶ ሺ͵ሻଵଶ (3.3) Questão 4 Duas cargas positivas iguais estão separadas por uma distância ʹܽ. Uma carga de prova puntiforme é colocada num plano equidistante das duas primeiras, perpendicular ao segmento de reta que as une. (a) Calcule o raio r da circunferência de simetria nesse plano, para os pontos da qual a força na carga de prova é máxima. (b) Qual a direção e o sentido desta força, supondo-se uma carga de prova positiva? Resolução: Considere o seguinte diagrama como representação do nosso problema. Figura 4-1 Em que ܨ ൌ ͳͶߨ߳ ή ȁܳȁ ή ȁݍȁݎଶ Ǣ ��ݎଶ ൌ ܴଶ ܽଶ (4.1) A força resultante aponta na direção do raio da circunferência no sentido do afastamento do centro. Seu módulo será dado por: ܨோ ൌ ʹܨݏ݁݊ߠ ൌ ͳʹߨ߳ ή ܳݍሺܴଶ ܽଶሻଷଶ ή ܴǢ ݏ݁݊�ߠ ൌ ܴݎ (4.2) Procuramos o valor de R para que ܨோ seja máximo. Tomando a derivada de ܨோ , teremos: ݀ܨோܴ݀ ൌ ܳݍʹߨ߳ ሺܴଶ ܽଶሻଷଶ െ ͵ܴଶሺܴଶ ܽଶሻଷଶሺܴଶ ܽଶሻଷ (4.3) Agora, tomando o valor nulo de (4.3), teremos: ሺܴଶ ܽଶሻଷଶ െ ͵ܴଶሺܴଶ ܽଶሻଵଶ ൌ Ͳ ܴ ൌ ξܽʹ ֜ ܴ ൌ ܽξʹʹ (4.4) Questão 5 Uma certa carga Q deve ser dividida em duas: q e Q – q. Qual a relação entre Q e q, para que a repulsão Coulombiana entre as duas partes seja máxima? Resolução: Seja a força de repulsão dada por: ܨ ൌ ͳͶߨ߳ ή ȁܳ െ ݍȁ ή ȁݍȁݎଶ (5.1) Levando em consideração que as cargas se manterão fixas, para que a força assuma seu valor máximo, teremos que tomar a derivada da força de repulsão com relação a carga e determinar o valor de q para que a derivada seja nula. Assim, teremos: www.profafguimaraes.net 3 Ʌ Ʌ q ܨԦ ݓሬሬԦ ሬܶԦ ߠ ݀ܨோ݀ݍ ൌ ͳͶߨ߳ ή ሺܳ െ ݍሻ െ ݍݎଶ (5.2) O valor máximo ocorrerá para ௗிೃௗ ൌ Ͳ. Logo, de (5.2), teremos: ܳ െ ʹݍ ൌ Ͳ ݍ ൌ ܳʹ (5.3) Questão 6 Duas bolas iguais, de massa m e carga q, estão penduradas por fios de seda de comprimento l, como mostra a figura. Admita que o ângulo Ʌ é tão pequeno que a tg Ʌ possa ser substituída por sen Ʌ� � � Ǥ� �� ǡ� �� ǡ�ǣ�� ݔ ൌ ቆ ݍଶ݈ʹߨ߳݉݃ቇଵଷ� onde x é a separação entre as duas bolas. Se l = 120 cm, m = 10 g e x = 5,0 cm, qual o valor de q? Resolução: Na situação de equilíbrio, temos, por exemplo, para a carga da esquerda: Logo, ܨோ ൌ Ͳ (6.1) Ou melhor: ܶݏ݁݊�ߠ ൌ ܨǢ ��ܶܿݏ�ߠ ൌ ݓ ݐ݃�ߠ ൌ ܨݓ (6.2) Em que ܨ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶݔଶ (6.3) Levando em consideração o que foi colocado no enunciado, temos: ݐ݃�ߠ ؆ ݏ݁݊�ߠ ൌ ʹ݈ݔ (6.4) Utilizando (6.2), (6.3) e (6.4), teremos: ʹ݈ݔ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶݔଶ݉݃ ݔଷʹ݈ ൌ ݍଶͶߨ߳݉݃ ݔ ൌ ቆ ݍଶ݈ʹߨ߳݉݃ቇଵଷ (6.5) Substituindo os valores fornecidos, teremos: ͳǡʹͷ ή ͳͲିସʹǡͶ ൌ ͻ ή ͳͲଽ ή ݍଶͲǡͲͻͺ ݍ ؆ ʹǡ͵ͺ ή ͳͲି଼ܥ (6.6) Questão 7 Suponha que numa experiência de Eletroquímica você consiga retirar um elétron de cada conjunto de 10 átomos de um bloco de cobre de massa m = 0,3 kg. A massa atômica do cobre vale 64 gmol-1. (a) Determine a carga livre total em função do número de Avogadro NA, da www.profafguimaraes.net 4 q q q 1 m 1 m 1 m 0,1 m 0,1 m 0,1 m carga do elétron e, da massa m e da massa atômica M. (b) Calcule o valor dessa carga livre. Resolução: O número total de átomos é dado por: ܰ ൌ ܰ݉ܯ (7.1) Para um conjunto de 10 átomos, temos 1 elétron retirado. Assim, para N átomos, teremos: ݊ ൌ ͳܰͲ (7.2) Assim, a carga obtida é dada por: ݍ ൌ ݊݁ ݍ ൌ ܰ݉݁ͳͲܯ (7.3) Substituindo os dados em (7.3), teremos: ݍ ൌ ǡͲʹ͵ ή ͳͲଶଷ ή ͵ͲͲ ή ͳǡ ή ͳͲିଵଽͳͲ ή Ͷ ݍ ؆ Ͷͷǡʹ ή ͳͲଷܥ (7.4) Então a carga total de elétrons será de െͶͷǡʹ ή ͳͲଷܥ. Questão 8 Em cada vértice de um quadrado existe uma carga q. Determine o módulo da força elétrica resultante sobre qualquer uma das quatro cargas em função do lado a do quadrado, de q e de ߳. Resolução: Para qualquer carga dos vértices do quadrado, existem três forças atuando, conforme mostra a figura abaixo. Figura 8-1 Em que: ܨଵ ൌ ܨଷ ൌ ܨ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶܽଶ (8.1) E ܨଶ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶʹܽଶ ൌ ʹܨ (8.2) A força resultante é dada por: ܨԦோ ൌ ܨԦଵ ܨԦଶ ܨԦଷ (8.3) Para o módulo de (8.3) temos: ܨோ ൌ ܨ ൬ξʹ ͳʹ൰ ܨோ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶܽଶ ቆʹξʹ ͳʹ ቇ (8.4) Questão 9 Três pequenas bolas, cada qual com a massa de 10 g, estão suspensas de um mesmo ponto por três fios de seda de 1,0 m de comprimento. As bolas têm cargas idênticas e estão situadas nos vértices de um triângulo equilátero de 0,1 m de lado. Qual o valor da carga de cada bola? Resolução: Figura 9-1 A Figura 9-1 mostra a configuração do problema em questão. Cada carga do vértice do triângulo estará sujeita a quatro forças, sendo duas forças elétricas, a tração e seu peso. Assim, para que sejamantido o equilíbrio estático, temos: q ܨԦଵ ܨԦଶ ܨԦଷ www.profafguimaraes.net 5 q q q 1 m 1 m 0,1 m 0,1 m ܨԦଵ ܨԦଶ ݓሬሬԦ ࢀሬሬԦ ࣂ ܽ ܾ ܨோ ൌ Ͳ (9.1) Desta forma teremos: Figura 9-2 ܨԦଵ ܨԦଶ ൌ െሬܶԦ௫ (9.2) E ݓሬሬԦ ൌ െሬܶԦ௬ (9.3) Em que: ܨଵ ൌ ܨଶ ൌ ܨ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶͲǡͳଶ ௫ܶ ൌ ܶݏ݁݊ߠǢ� ௬ܶ ൌ ܶܿݏߠ ݓ ൌ ݉݃ (9.4) Primeiro passo será a determinação do módulo de (9.2). Teremos, utilizando (9.4): ௫ܶ ൌ ܨඥʹ ʹܿݏͲι ௫ܶ ൌ ܨξ͵ (9.5) Segundo passo, determinar o módulo de (9.3). Assim, utilizando (9.4), teremos: ௬ܶ ൌ ͲǡͲͳ ή ͻǡͺ ൌ ͲǡͲͻͺ�ܰ (9.6) Observando a Figura 9-2, temos que: ܾ ൌ Ͳǡͳξ͵͵ Ǣ ܽ ൌ ξʹǡͻͻ ή ξ͵͵ (9.7) Observa-se, da Figura 9-2, que Ty é perpendicular ao plano do triângulo equilátero e Tx é paralelo ao plano do referido triângulo, sendo Ʌ� � ������ Ǥ��ǡ��(9.4)��(9.7)ǡ�ǣ�� ௫ܶܶ௬ ൌ ݐ݃ߠ ൌ Ͳǡͳξʹǡͻͻ (9.8) Mas, de (9.5) e (9.6), temos: ௫ܶܶ௬ ൌ ܨξ͵ͲǡͲͻͺ (9.9) Também de (9.4): ܨ ൌ ͻ ή ͳͲଵଵݍଶ. Assim, utilizando (9.8) e (9.9), teremos: ͻ ή ͳͲଵଵݍଶξ͵ͲǡͲͻͺ ൌ Ͳǡͳξʹǡͻͻ ݍ ؆ ǡͲ͵ ή ͳͲି଼�ܥ (9.10) Questão 10 Coloca-se uma carga Q em dois vértices opostos de um quadrado, e uma carga q em cada um dos demais. (a) Qual a relação entre Q e q para que a força resultante nas cargas Q seja nula? (b) Será possível escolher um valor de q de modo que a resultante seja nula sobre qualquer carga? Resolução: Figura 10-1 Q Q q q ܨԦଵ ܨԦଶ ܨԦଷ www.profafguimaraes.net 6 Para que a força resultante seja nula na carga Q, do vértice inferior esquerdo, teremos: ܨԦଵ ܨԦଶ ൌ െܨԦଷ (10.1) Assim, ܨଷ ൌ ܨξʹǢ�ܨଵ ൌ ܨଶ ൌ ܨ ൌ ͳͶߨ߳ ή ȁܳȁ ή ȁݍȁݎଶ (10.2) Em que ܨଷ ൌ ଵସగఢబ ή ொమଶమ Logo, teremos: ͳͶߨ߳ ή ܳଶʹݎଶ ൌ ͳͶߨ߳ ή ܳݍݎଶ ξʹ ܳ ൌ ʹݍξʹ (10.3) Como a força entre Q e q é de atração, necessariamente essas cargas terão sinais diferentes. Assim, pode-se concluir que: ܳ ൌ െʹݍξʹ (10.4) Para que a força resultante seja nula na carga q, por exemplo, a carga do vértice superior esquerdo na Figura 10-1. Teremos a seguinte relação: ݍ ൌ െʹܳξʹ (10.5) Não existe um valor de q que satisfaça as relações (10.4) e (10.5), simultaneamente. Questão 11 Um cubo de aresta a tem uma carga puntiforme q colocada em cada vértice. (a) Mostre que o módulo da força resultante sobre cada carga é: ܨோ ൌ Ͳǡʹݍଶ߳ܽଶ (b) Qual a direção de FR em relação às arestas do cubo? Resolução: Figura 11-1 A Figura 11-1 mostra a configuração do problema em questão. Todas as forças representadas na cor preta possuem o mesmo módulo que vale: ܨଵ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶܽଶ (11.1) As forças em vermelho também possuem o mesmo módulo, dado por: ܨଶ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶʹܽଶ (11.2) A força em verde possui o módulo valendo: ܨଷ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶ͵ܽଶ (11.3) Previamente, somaremos apenas as forças representadas em preto e vermelho. Observando a Figura 11-1, concluímos que na direção do eixo x, por exemplo, teremos: ܨ௫ ൌ ܨଵ ܨଶሺݏ݁݊�Ͷͷι ܿݏͶͷιሻ ܨ௫ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶܽଶ ቆͳ ξʹʹቇ (11.4) O mesmo ocorre para as componentes de y e z. A resultante das componentes de x, y e z será: x y z ܨԦଵ ܨሬԦʹ ࡲሬԦ www.profafguimaraes.net 7 ܨ ൌ ൫ܨ௫ଶ ܨ௬ଶ ܨ௭ଶ൯ଵଶ ܨ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶܽଶ ቆͳ ξʹʹቇξ͵ (11.5) Pela simetria do problema, verifica-se que a resultante F dos componentes x, y e z se encontra exatamente na direção da diagonal do cubo, ou seja, exatamente na mesma direção e sentido de F3. Logo, utilizando (11.3) e (11.5) a resultante será: ܨோ ൌ ܨ ܨଷ ܨோ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶܽଶ ቆξ͵ ξʹ ͳ͵ቇ ܨோ ൌ Ͳǡʹʹݍଶܽଶ߳ (11.6) Questão 12 A Figura 12-1mostra uma barra longa, isolante, sem massa, de comprimento l, presa por um pino no centro e balanceada com um peso W, a uma distância x da sua extremidade esquerda. Nas extremidades esquerda e direita da barra estão presas cargas positivas q e 2q, respectivamente. A uma distância h, diretamente abaixo de cada uma dessas cargas encontra-se afixada uma carga positiva Q. (a) Determine a distância x para a posição do peso, quando a barra está balanceada. (b) Qual deve ser o valor de h para que a barra não exerça uma força vertical sobre o suporte, na situação balanceada? Despreze a interação entre as cargas nas extremidades opostas da barra. Figura 12-1 Resolução: Para que ocorra o equilíbrio, sem rotação, temos para o torque resultante a seguinte condição: ࣮ோ ൌ Ͳ (12.1) Tomando o centro como ponto de referência, teremos: ܨଵ ή ݈ʹ ܹ ൬ݔ െ ݈ʹ ൰ െ ܨଶ ή ݈ʹ ൌ Ͳ (12.2) Em que ܨଵ ൌ ଵସగఢబ ή ொమ e ܨଶ ൌ ଵସగఢబ ή ଶொమ . Resolvendo (12.2), teremos: ݔ ൌ ݈ʹܹ ൬ܹ െ ͳͶߨ߳ ή ݍ݄ܳଶ ൰ (12.3) Para que o suporte não exerça força, temos a seguinte condição: ܨଵ ܨଶ ൌ ܹ (12.4) Resolvendo (12.4), teremos: ܹ ൌ ͳͶߨ߳ ή ͵ݍ݄ܳଶ ݄ ൌ ൬ ͳͶߨ߳ ή ͵ݍܹܳ൰ଵଶ (12.5) Substituindo o resultado de (12.5) em (12.3), teremos: ݔ ൌ ݈͵ (12.6) Questão 13 Um elétron é lançado com uma velocidade inicial de ͵ǡʹͶ ή ͳͲହ�݉ ή ݏିଵ diretamente contra um próton que está em repouso. Se o elétron estiver inicialmente a uma distância grande do próton, qual será seu afastamento do próton + + + + l x W h q 2q Q Q www.profafguimaraes.net 8 ݍଵ ݍଶ ݍଷ ܨԦ 4,00 cm 3,00 cm 5,00 cm ܨԦ ܨԦଵଷ ܨԦଶଷ quando sua velocidade for igual a duas vezes o valor inicial? (Sugestão: Usar o teorema do trabalho-energia.) Resolução: Utilizando o teorema do trabalho-energia, teremos: ܹ ൌ න ܨ �݀ݎమభ ൌ ο� భ՜ஶ ቈ ݁ଶͶߨ߳ ή ͳݎభ ൌ ݉ʹ ൫ݒଶ െ ݒଶ൯Ǣ�ݒ ൌ ʹݒ ͻ ή ͳͲଽ ή ሺͳǡ ή ͳͲିଵଽሻଶൌܽ ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ͵ ή ሺ͵ǡʹͶ ή ͳͲହሻଶʹ ܽ ؆ ͳǡͳ ή ͳͲିଽ�݉ (13.1) Questão 14 Três cargas são colocadas como indica a Figura 14-1. O módulo de ݍଵ é igual a ʹǡͲͲ�ߤܥ, porém não conhecemos seu sinal e nem o valor da carga ݍଶ. A carga ݍଷ é igual a ͶǡͲͲ�݉ܥ e a força resultante ܨԦ sobre ݍଷ aponta para o sentido negativo do eixo 0x. A) Considerando os possíveis sinais diferentes para as cargas ݍଵ e ݍଶ, existem quatro diagramas de forças possíveis para representar as forças ܨԦଵ e ܨԦଶ exercidas por ݍଵ e ݍଶ sobre a carga ݍଷ. Faça desenhos mostrando esses quatro diagramas possíveis. B) Usando os desenhos da parte (a) e a direção e o sentido de ܨԦ , determine os sinais das cargas ݍଵ e ݍଶ. C) Calcule o módulo de ݍଶ. D) Calcule o módulo da força resultante ܨԦ que atua sobre ݍଷ. Figura 14-1 Resolução: a) Os possíveis diagramas de forças: b) Como a força resultante aponta para o sentido negativo de 0x, o diagrama de forças que melhor representa as interações é o primeiro (1). Assim, ݍଵ ͲǢ�ݍଶ ൏ Ͳ. c) Utilizando o digrama 1, temos: Podemos utilizar uma semelhança de triângulos. Assim, teremos: ܨͷ ൌ ܨଵଷͶ ൌ ܨଶଷ͵ (14.1) Em que ܨଵଷ ൌ ଵସగఢబ ή ȁభȁήȁయȁమ ൌ ͻ ή ͳͲଽ ଶήଵషలήସήଵషయሺସήଵషమሻమ Assim, utilizando (14.1), temos: ܨଶଷ ൌ ͵͵ͷͲ�ܰ ֜ ݍଶ ൌ ͺǡͶ͵ͷ ή ͳͲି�ܥ (14.2) d) Utilizando (14.1), temos: ܨ ൌ ͷʹͷͲ�ܰ (14.3) 1 ܨଵଷ ܨଶଷ ܨଵଷ ܨଶଷ 2 ܨଵଷ ܨଶଷ 3 ܨଵଷ ܨଶଷ 4
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