Aula 04 – Estimação pontual

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Aula 04 – Estimação pontual
Prof. Me. André Breve andre.breve@estacio.br
CCE0174 – Estatística Aplicada à Engenharia
A inferência
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
estatística está sempre focada em tirar conclusões a
cerca de um ou mais parâmetros de uma população
Uma	parte	importante
desse
processo
é	obter
estimativas	dos
parâmetros.
Ao discutirmos problemas de inferência, é conveniente termos um símbolo geral para representar o parâmetro de interesse
–	Usaremos o símbolo grego θ (teta) para representar o parâmetro
μ,	a	variância
σ2
ou
O	símbolo	θ	pode	representar	a	média qualquer parâmetro de interesse para nós
Introdução
O objetivo da estimação pontual é selecionar um único número, baseado nos dados da amostra, que é o valor mais plausível para θ. O valor numérico de uma estatística amostral será usado como a estimativa pontual.
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Um estimador pontual de algum parâmetro de uma população θ é um único valor numérico θ de uma estatística Θ. A estatística Θ é chamada de estimador pontual.
Estimação Pontual
Exemplo: Suponha que a variável aleatória X seja normalmente distribuída, com uma média desconhecida μ. A média da amostra é um estimador pontual da média desconhecida da população.
Amostra: {25, 30, 29, 31}
Depois de a amostra ter sido selecionada, o valor numérico	é a estimativa pontual de μ
Similarmente,
se	a	variância	da
população
for	também
desconhecida,	um	estimador	pontual
para	σ2 será
a	variância	da
amostra s2 e o seu valor numérico é chamado de estimativa pontual de
σ2
=
25+30+29+31
4
= 28,75
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Estimação Pontual
Estimadores não tendenciosos
Um estimador deve estar “perto”, de algum modo, do valor verdadeiro do parâmetro desconhecido.
Formalmente dizemos que Θ é um estimador não tendencioso de θ se o valor esperado de Θ for igual a θ, ou seja, a média amostral de Θ é igual a θ
Não tendêncioso: E(Θ) = θ (tendência zero)
Tendencioso: a diferença E(Θ) – θ é chamada de tendência do estimador Θ
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Estimação Pontual
Erro-Padrão
Quando o valor numérico ou estimativa de um parâmetro é reportado, geralmente é desejável dar alguma ideia da precisão da estimação.
A medida de precisão normalmente empregada é o erro-padrão do estimador
O erro-padrão de um estimador é o seu desvio padrão
No caso de não conhecer σ, substituímos pelo amostral (s)
𝜎𝑥 =
𝜎
𝑛
Estimação Pontual
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Erro-Padrão
Quando o estimador seguir uma distribuição normal, poderemos estar razoavelmente confiantes de que o valor verdadeiro do parâmetro estará entre dois erros-padrão da estimativa
Mesmo em casos em que o estimador pontual não seja normalmente distribuído, podemos estabelecer que desde que o estimador seja não tendencioso, a estimativa do parâmetro desviará do valor verdadeiro tanto quatro erros-padrão no máximo 6% do tempo.
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Estimação Pontual
Exemplo: Um artigo descreveu o novo método de medir a condutividade térmica de ferro Armco. Usando uma temperatura de 100°F e uma potência de 550 watts, as 10 medidas seguintes de condutividade térmica foram obtidas:
41,60; 41,48; 42,34; 41,95; 41,86; 42,18; 41,72; 42,26; 41,81; 42,04
Encontre uma estimativa pontual da condutividade térmica média, o erro padrão amostral e o intervalo de precisão.
419,24
10
=	= 41,924
𝜎𝑥 =
𝜎
𝑛
=
=
𝑠	0,284
𝑛	10
= 0,0898
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Obs1: O erro-padrão é cerca de 0,2% da média amostra, implicando que tivemos uma estimativa pontual relativamente precisa da condutividade Obs2: Como 2𝜎𝑥 = 0,1796, podemos considerar com bastante confiança
que a condutividade térmica média está no intervalo 41,924 ± 0,1796, ou seja: entre 41,744 e 42,104
Estimação Pontual
Exercício 1: Dados sobre a espessura de óxido de semicondutores são os seguintes:
425, 431, 416, 419, 421, 436, 418, 410, 431, 433, 423, 426, 410, 435,
436, 428, 411, 426, 409, 437, 422, 428, 413, 416
Calcule a estimativa pontual da média da espessura do óxido para
todas as pastilhas da população.
Calcule a estimativa pontual do desvio padrão da espessura do óxido para todas as pastilhas da população.
Calcule o erro-padrão da estimativa pontual do item “a”
Calcule a estimativa pontual da mediana da espessura do óxido
para todas as pastilhas na população
Calcule a estimativa pontual da proporção de pastilhas na população que tem uma espessura de óxido maior do que 430 angstrons
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Estimação Pontual
Estimação Pontual
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Exercício 2: Um pacote computacional foi utilizado para calcular alguns sumários numéricos de uma amostra de dados. Os resultados estão dispostos abaixo:
Preencha os valores que faltam
Qual é a estimativa da média da população a partir da qual essa
amostra foi retirada?
Variável
N
Média
Erro-padrãodamédia
Variância
DesvioPadrão
X
20
50,184
?
1,816
?
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Exercício 3: Um pacote computacional foi utilizado para calcular alguns sumários numéricos de uma amostra de dados. Os resultados estão dispostos abaixo:
Preencha os valores que faltam
Qual é a estimativa da média da população a partir da qual essa
amostra foi retirada?
Variável
N
Média
Erro-padrãodamédia
Variância
DesvioPadrão
Soma
X
?
?
2,05
?
10,25
3761,70