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Progressões geométricas e aritméticas

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blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1 
 
 
ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI 
 
 
 
 
 
UNITAU 
 
 
 
 
 
APOSTILA 
 
 
 
 
 
SUCESSÃO, PA e PG 
 
 
 
 
 
PROF. CARLINHOS 
 
 
 
 
NOME DO ALUNO: Nº TURMA: 
 
 
 
 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 2 
 
SUCESSÃO OU SEQUENCIA NUMÉRICA 
 
Sucessão ou seqüência numérica é todo conjunto de números dispostos numa certa 
ordem. Uma sucessão pode ser finita ou infinita. 
Exemplos: 
- (2; 5; 8; 11) finita - ( -3; -2; -1; ...) infinita 
 
Representação genérica de uma sucessão 
 
(a1, a2; a3; ...; an-1; an) em que: 
 
a1 – 1º termo 
a2 – 2º termo 
a3 – 3º termo 
. 
. 
. 
an – n-ésimo termo 
 
Termo geral ou lei de formação de sucessão 
 
É a fórmula matemática que determina os termos de uma sequência, em função de sua 
posição n na sequência. Exemplos: 
 
1) Escreva os 3 primeiros termos da seqüência definida por: 
a) an = 3n+2, onde n *Ν∈ 
Resolução: 
 
 
 
 
b) a1 = 2 e an+1 = an + 8 
Resolução: 
 
 
 
 
Progressão Aritmética (P.A) 
 
É toda sequência numérica em que a diferença, a partir do segundo e o seu antecessor se 
mantém constante. Essa diferença constante r chama-se razão da PA. 
Então a seqüência (a1, a2; a3; ...; an-1; an) é uma PA, se e somente, se: 
 
a2 - a1 = a3 - a2 = an - an-1 = r 
 
Exemplos: 
 
1) Verifique se a sequência abaixo é uma PA, em caso positivo, determine a razão: 
 
a) ( 2; 5; 8; 11;...) b) ( 19; 14; 9; 4;...) 
 
 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 3 
 
Resolução: Resolução: 
 
 
 
 
c) (7; 7; 7; 7; ...) d) ( 1; 6; 11; 17; ...) 
Resolução: Resolução: 
 
 
 
 
Observações: 
a) PA crescente, quando r (razão) > 0. 
b) PA decrescente, quando r (razão) < 0. 
c) PA constante, quando r (razão) = 0. 
 
2) Determine x, de modo que os números x - 5; 2x + 3 e 5x - 1, formem nessa ordem 
uma PA. 
Resolução: 
 
 
 
 
Fórmula do termo geral de uma PA 
 
Para calcularmos qualquer termo de uma P.A. usamos a fórmula seguinte: 
 
an = a1 + (n - 1)r 
 
an = representa o termo procurado. 
a1 = representa o primeiro termo da P.A 
n = representa o número de termos. 
r = representa a razão da P.A. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule o sétimo termo da P.A (1, 6, 11, ...) 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 200. 
Resolução: 
 
 
 
 
 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 4 
 
 
3) Calcule a razão de uma P.A sabendo que a2 = - 11, a12 = 19 . 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
4) Interpole 6 meios aritméticos entre 3 e 17. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
5) Numa estrada existem dois telefones instalados um no km 10 e outro no km 50. Entre 
eles serão colocados mais 9 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos 
sempre a mesma distância. determinar em quais marcos quilométricos deverão ficar 
esses novos telefones. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
Propriedades 
 
1ª) Sendo a, b, c três termos consecutivos de uma P.A, dizemos que o termo b central 
entre eles é a média aritmética dos outros dois. 
Exemplo: 
Sendo 2, x, 18 três termos consecutivos de uma P.A. Calcule o valor de x. 
 
 
 
2ª) Numa P.A finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma 
dos extremos. 
Exemplo: Observe a PA (3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17) 
 
9 + 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20 
 
Soma dos n-primeiros termos de uma PA 
 
A soma dos n-primeiros (Sn) termos de uma PA é dada por: 
 
2
).( 1 naaS nn
+
=
, onde: 
a1→ primeiro termo an→ n-ésimo termo n→ números de termos 
 
 
 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 5 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2,6, ...) 
Resolução: 
 
 
 
 
 
2) O dono de uma fábrica iniciar a produção com 1000 mensais e, a cada mês produzir 
200 unidades a mais. Mantidas essas condições, em dois anos quantos unidades a 
fábrica terá produzido no total ? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
Progressão Geométrica (PG) 
 
É toda sequência numérica em que o quociente, a partir do segundo e o seu antecessor 
se mantém constante. Essa quociente constante q chama-se razão da PG. 
 
Então a seqüência (a1, a2; a3; ...; an-1; an) é uma PG, se e somente, se: 
 
q
a
a
a
a
a
a
n
n
====
−12
3
1
2
...
 
 
Exemplos: 
 
1) Verifique se a sequência abaixo é uma PG, em caso positivo, determine a razão: 
 
a) ( 2; 6; 18; 54;...) b) ( 32; 8; 4; 1;...) 
Resolução: Resolução: 
 
 
 
 
c) (7; 7; 7; 7; ...) d) ( 1; 6; 36; 180; ...) 
Resolução: Resolução: 
 
 
e) (2; -4; 8; -16;...) e) (-4; -8; -16; -32;...) 
Resolução: Resolução: 
 
 
Observação: Podemos observar através do exemplo anterior que uma PG, pode ser 
crescente, decrescente, constante ou alternante. 
 
 
 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 6 
 
2) Determine x, de modo que os números x, 3x + 12 e 10x + 12 estejam nessa ordem em 
PG. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula do termo geral de uma PG 
 
Para calcularmos qualquer termo de uma P.G. usamos a fórmula seguinte: 
 
an = a1.qn - 1 
 
an = representa o termo procurado. 
a1 = representa o primeiro termo da P.G. 
n = representa o número de termos. 
q = representa a razão da P.G. 
 
Exemplos: 
 
1) Determine o décimo termo da PG (2; 6; ...). 
Resolução: 
 
 
 
 
 
2) Em uma cultura de bactérias, uma bactéria se divide em duas a cada hora. Determine 
o número de bactérias originadas de uma só bactéria dessa colônia depois de 12 horas. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
3) Numa PG, o 2º termo igual a 12 e o 5º termo 324. Determine o 1º termo e a razão 
dessa PG. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
4) Inserir três meios geométricos entre 2 e 750. 
Resolução: 
 
 
 
 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 7 
 
Propriedades 
 
1ª) Se x, y e z são três termos consecutivos de uma PG, então o termo central é a média 
geométrica dos extremos, ou seja: 
 
y2 = x.z 
 
Exemplo: (4; 8; 16) → 82 = 4. 16 = 64 
 
2ª) Em qualquer PG, o produto dos termos equidistantes dos extremos é igual ao 
produto dos extremos. 
 
Exemplo: (2; 4; 8; 16; 32; 64) → 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128 
 
 
Soma (Sn) dos n-primeiros termos de uma PG finita 
 
A soma dos n-primeirostermos de PG finita é dada por: 
 
1º caso: ( q = 1 ) Sn = n.a1 
 
2º caso: ( q ≠ 1 )
1
)1.(1
−
−
=
q
qaS
n
n ou 1
. 1
−
−
=
q
aqaS nn 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular a soma dos 10 primeiros termos da PG (3; 6;…) 
Resolução: 
 
 
 
 
 
2) Calcule S = 2 + 4 + 8 +...+ 2048 
Resolução: 
 
 
 
 
 
Soma (S) dos termos de uma PG infinita 
 
A soma dos termos de uma PG infinita, de razão -1 < q < 1 é dada por: 
S = 
q-1
a1
 
 
Exemplos: 
 
 
 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 8 
 
1) Calcule o valor de S = ...
9
1
3
11 +++ 
Resolução: 
 
 
 
 
 
2) Resolva a equação 20...
42
=+++
xx
x 
Resolução: 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM (PA) 
 
1) Determine as seqüências abaixo: 
a) an = 2n-1 com n∈Ν* resp: (1,3,5,...) 
b) 


+=
=
−
,2
3
1
1
nn aa
a
com n∈Ν, n ≥ 2 resp: (3,5,7,...) 
 
2) Escreva o termo geral das sequências: 
 a) (1,4,9,16,25,...) resp: an=n2 com n∈Ν* 
 b) (3,6,9,12,...) resp: an= 3n com n∈Ν* 
 c) (2,5,8,11,14,...) resp: an = 3n - 1 com n∈Ν* 
 
3) Determine quais da seqüências abaixo são PA. Em caso afirmativo, determine a razão 
e classifique-as em crescente, decrescente ou constante: 
a) (1; 1,1; 1,2; 1,3; ...) resp: PA crescente razão r = 0,1 
b) (22;18;14;12; ...) resp: Não é PA 
c) (-3;-5;-7; ...) resp: PA decrescente r = -2 
d) (5;5;5; ...) resp: PA constante razão r = 0 
e) (1; -2; 3;-4; ...) resp: Não é PA 
 
4) Os números x2, (x+2)2 e (x+3)2 estão em PA nessa ordem. Determine esses 
números. resp: (1/4;25/4,49/4) 
 
5) Determine o 10º termo da PA (2,8,...). resp: a10=56 
 
6) Determine quantos mútiplos de 5 há entre 21 e 623. resp: 120 
 
7) Um corpo caindo livremente ( desprezando-se a resistência do ar ) tem ao final do 
1º segundo, velocidade de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final do segundo 
seguinte; de 29,4 m/s no final do 3º segundo; e assim por diante. Continuando 
assim, determine qual será a sua velocidade no final décimo segundo. resp: 98m/s 
 
 
 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 9 
 
8) No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de uma montadora está 
em PA crescente. Em janeiro, a produção foi de 18000 carros e, em junho, foi de 
78000 unidades. Determine a produção dessa montadora nos meses de fevereiro, 
março, abril e maio. resp: 30000, 42000, 54000 e 66000 
 
9) A figura abaixo indica a distribuição de cadeiras num auditório: 
 
 
 Determine quantas há fila H mantida essa tendência. resp: 38 
 
10) Uma empresa tem o seu organograma uma PA partindo do presidente e a cada 
nível abaixo dele aumentando 4 funcionários. A forma mais comum de se representar 
esse organograma é a piramidal 
 
 Sabendo que a empresa tem dez níveis hierárquicos, determine quantos empregados ela 
 tem. resp: 190 funcionários 
 
11) Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da seguinte maneira: no 1º dia, são 
colhidas 10 dúzias; no 2º, 16 dúzias; no 3º, 22 dúzias; e assim por diante. Quantas 
laranjas colherá ao final dos doze dias ? resp: 6192 laranjas 
 
12) Verificou-se que o número de pessoas que comparecia a determinado evento 
aumentava, diariamente , segundo uma PA de razão 15. Sabe-se que no 1º dia 
compareceram 56 pessoas e que o espetáculo foi visto, ao todo, por 707 pessoas. 
Durante quantos dias esse espetáculo ficou em cartaz ? resp: 7 dias 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM (PG) 
 
1) Classifique as seqüências abaixo em PA, PG ou nem PA e nem PG. 
a) (3;7;11;15) resp: PA 
b) (2;4;810) resp: nem PA e nem PG 
c) (125;25;5;1) resp: PG 
 
2) Determinar o 10º termo da PG (1/3;1;3;...). resp: a10= 6561 
 
3) Numa PG o 4º termo é igual a 32 e o 1º termo igual a ½. Determinar a razão e o 
8º termo dessa PG. resp: q = 4 e a8 = 8192 
 
4) Determine 3 números em PG cujo o produto seja 1000 e a soma 62. resp: 2;10 e 50 
 
 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 
10 
 
5) Interpolar cinco meios geométricos entre 2/3 e 486. 
 resp: (2/3;2;6;18;54;162;486) e (2/3;-2;6;-18;54;-162;486) 
 
6) Numa cidade, um boato é espalhado da seguinte maneira; 1º dia, 5 pessoas ficam 
sabendo; no 2º, 15; no 3º, 45; e assim por diante. Quantas ficam sabendo do boato no 
10º dia? resp: 98415 
 
7) Uma cultura de certa bactéria, mantida sob determinada condições, triplica a cada 
dia que passa. Se o volume inicial dessa cultura é de 5cm3, determine quantos dias 
passarão para essa bactéria atingir um volume de 405 cm3. resp 4 dias 
 
8) Determinar a soma dos dez primeiro da PG (3;6;...). resp: 3069 
 
9) Calcular o valor de x na igualdade 10x+20x+...+1280x = 7650, sabendo que os 
termos do 1º membro estão em PG. resp: 3 
 
10) Calcule o valor da soma ....
27
4
9
2
3
1
+++ resp: 1 
 
11) Calcule o valor de x na igualdade x + 12...
93
=++
xx
. resp: 8 
 
12) Uma bola é atirada de uma altura de 200m. Ao atingir o solo pela primeira vez, ela 
sobe até, a um altura de 100m, cai e atinge o solo pela segunda vez, subindo até a uma 
altura de 50m, e assim sucessivamente até perder a energia e cessar o movimento. 
Quantos metros a bola percorre ao todo? Resp: 600m 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD 
Contexto&Aplicações – Volume Único 
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática

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