Apostila Fenomenos de Transporte. Roberto Parreiras Tavares

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Roberto Parreiras Tavares
Departamento de Engenharia Metalúrgica e de Materiais
Belo Horizonte
ABRIL/2002
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Página
1- INTRODUÇÃO 01
2- CONCEITOS FUNDAMENTAIS 06
2.1-Conceitos 06
2.1.1- Fluídos 06
2.1.2- Força e Tensão 07
2.1.3- Energia 10
2.1.4- Mecanismos de Transporte 11 
2.2-Unidades 13
Exercícios 26
3- VISCOSIDADE 29
3.1-Definição de viscosidade e lei de Newton da Viscosidade 29
3.1.1- Interpretação física de τyx 32
3.1.2- Dimensão da viscosidade 37
3.2-Viscosidade de gases 40
3.3-Viscosidade de líquidos 47
3.3.1- Viscosidade de metais líquidos 50
3.3.2- Viscosidade de escórias 55
Referências 66
Exercícios 67
4- ESCOAMENTO LAMINAR E BALANÇO DE MOMENTO 70
4.1-Escoamento laminar e turbulento 70
4.2-Balanços de Massa e de momento 72
 4.2.1- Balanço de massa 74
4.2.2- Balanço de momento 74
4.3- Aplicação dos Balanços de Massa e Momento 77
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4.3.1- Escoamento entre duas placas horizontais 77
4.3.2- Escoamento de uma película de fluido 88
4.3.3- Escoamento axial em um duto cilíndrico 107
4.3.4- Escoamento em dutos concêntricos 125
4.3.5- Escoamento laminar bifásico 130
Referências 135
Exercícios 136
5- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS 143
5.1-Equação da Continuidade 145
5.2-Equação do Movimento 149
5.3-Equação da Continuidade e do Movimento em Coordenadas 160
Cilíndricas e Esféricas 
5.3.1- Coordenadas cilíndricas 160
5.3.2- Coordenadas esféricas 160
5.4-Soluções de Equações Diferenciais 162
5.4.1- Escoamento em uma película de fluido 162
5.4.2- Escoamento em um tubo circular 164
5.4.3- Escoamento anelar tangencial 166
5.4.4- Formato da superfície de um líquido com movimento de rotação 171
5.4.5- Escoamento laminar em torno de uma esfera 175
5.4.6- Camada limite 182
5.4.7- Escoamento não estacionário em um tubo circular 185
Referências 187
Apêndice 188
Exercícios 197
6- ESCOAMENTO TURBULENTO E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 201
6.1- Introdução 201
6.2- Modelos de Turbulência 206
6.2.1- Equações da continuidade e do movimento 	�
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	 208
6.2.1.1- Equação da continuidade 	�
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 208
6.2.1.2- Equação do movimento 	�
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 209
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6.3- Fatores de fricção 215
6.3.1- Escoamento em dutos (interno) 217
6.3.1.1- Análise dimensional 220
6.3.1.2- Escoamento em dutos não-cilíndricos 235
6.3.2- Escoamento em torno de objetos (externo) 238
6.3.2.1- Escoamento em torno de esferas 239
6.4- Fatores de Fricção para Leitos Empacotados 244
6.4.1- Equação de Ergun 245
6.4.1.1- Regime laminar 253
6.4.1.2- Regime turbulento 254
Referências 256
Exercícios 258
7- BALANÇOS GLOBAIS NO ESCOAMENTO DE FLUIDOS ISOTÉRMICOS 261
7.1-Balanço Global de Massa 262
7.2-Balanço Global de Energia 268
7.2.1- Avaliação do termo de energia cinética 270
7.2.2- Avaliação do termo de energia potencial 274
7.2.3- Teorema de Bernoulli 275
7.2.4- Avaliação das perdas por fricção 278
7.2.4.1- Perdas por fricção em dutos retos 279
7.2.4.2- Perdas por fricção em expansão e contração 285
7.2.4.3- Perdas por fricção em válvulas e conexões 288
7.3-Escoamento em panelas e Distribuidores 295
7.3.1- Vazamento de uma panela 295
7.3.2- Transferência de metal do distribuidor para o molde 307
7.4-Técnicas de medida de vazão de fluidos 315
7.4.1- Medidores de diferença de pressão 315
7.4.1.1- Medidores de orifício 315
7.4.1.2- Tubo de Pitot 323
7.4.1.3- Rotâmetros 327
Referências 330
Exercícios 331
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Figura 1.1 - Transporte de calor entre duas barras de ferro.
No estudo da termodinâmica metalúrgica fica bastante clara uma das limitações dessa
ciência: a impossibilidade de prever a taxa com que os fenômenos ocorrem.
Através de alguns exemplos simples, pode-se observar esta limitação.
Considere-se o caso visto na figura 1.1, onde se tem duas barras de ferro iguais, em
contato perfeito. Uma das barras está a 1000º C e a outra a 200º C. A termodinâmica
prevê que calor vai ser transportado da barra mais quente para a mais fria e que, no
equilíbrio, as duas barras estarão a uma mesma temperatura. Entretanto, a
termodinâmica não prevê quanto tempo levará para se atingir o equilíbrio nem permite
determinar os perfis de temperatura nas duas barras em um dado tempo.
Um caso análogo a esse pode ser imaginado considerando duas barras de aço a uma
mesma temperatura; entretanto, com diferentes teores de carbono, conforme mostrado
na figura 1.2.
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Figura 1.2 - Transporte de carbono entre duas barras de aço.
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Figura 1.3 - Esvaziamento de uma panela de aço.
Aqui nesse caso, a termodinâmica informa que vai haver um transporte de carbono da
barra que possui maior concentração para a barra de menor concentração. Contudo,
não fornecerá o tempo necessário para se alcançar o equilíbrio, nem os perfis de
concentração em um certo instante de tempo.
Finalmente, considere-se a situação mostrada na figura 1.3, onde se tem uma panela
com aço líquido no seu interior. Sabe-se que ao se abrir a válvula, o aço deve ser
vazado da panela. Mas não se sabe, por exemplo, determinar o tempo de
esvaziamento dessa panela, em função da quantidade de aço nela contido.
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sses três exemplos mostram as três áreas distintas que constituem o que se chama
de ��"#$�"%&�'��
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- transporte de energia (ou calor): exemplo da figura 1.1;
- transporte de massa: exemplo da figura 1.2;
- transporte de momento: exemplo da figura 1.3.
O estudo de fenômenos de transporte permitirá, então, responder as perguntas
formuladas nos três exemplos. Além de responder essas questões, a ciência
“fenômenos de transporte” ainda encontra inúmeras aplicações dentro da metalurgia.
Algumas delas podem ser relacionadas com a figura 1.4, onde se tem um fluxograma
geral para a produção de aço laminado a partir das matérias primas. A seguir, citam-se
algumas dessas aplicações: 
A) Transporte de calor:
� trocas térmicas entre gases e sólidos na sinterização e no alto-forno. Esse estudo
permite determinar a taxa de aquecimento dos sólidos, que afeta diretamente a
eficiência do processo;
� solidificação nas etapas de lingotamento contínuo, indireto e direto. Especialmente
no lingotamento contínuo, o estudo do transporte de calor durante a solidificação é
de fundamental importância, pois através dele pode-se determinar o tamanho do
molde e a produtividade do equipamento;
� trocas térmicas entre gases e o aço nos fornos de reaquecimento e fornos-poço.
B) Transporte de massa:
� todas as etapas que envolvem reações químicas estão ligadas ao transporte de
massa e a cinética química. Pode-se citar :
� reações de redução dos óxidos de ferro no alto-forno;
� reações de dessulfuração na estação de dessulfuração;
� reações de fabricação do aço, especialmente descarburação;
� reações de refino do aço, dentre as quais destaca-se a desgaseificação.
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Figura 1.4- Fluxograma geral de fabricação dos aços(1).
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C)Transporte de momento – toda etapa que envolve movimentação de fluidos está
ligada ao transporte de momento. Logo, tem-se:
� movimento dos gases ao longo dos leitos de sinterização e alto-forno. Nesse caso,
o estudo do transporte de momento permite dimensionar o exaustor e o soprador
a serem usados nessas instalações;
� injeção de gases nos processos de fabricação e refino do aço, permitindo
determinar os perfis de velocidade do aço e com isso indicar os pontos mais
adequados para injeção dos agentes de refino;
� escoamento do aço nos processos de refino sob vácuo, particularmente no reator
RH. Nesse caso, o conhecimento do campo de velocidades do aço, e de como ele
é afetado pela configuração do sistema, pode ser útil na otimização da operação do
equipamento e até no seu projeto.
Além dessas, inúmeras outras aplicações podem ser citadas. Estas aplicações se
tornam cada vez mais comuns e importantes à medida que se desenvolvem as
técnicas numéricas para solução das equações que são obtidas.
Finalmente, é importante mencionar que Fenômenos de Transporte não tem
aplicações restritas à área de metalurgia. Seus conceitos são largamente aplicados na
indústria aero-espacial, química e mecânica. Merece destaque ainda a sua aplicação
na meteorologia.
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1- Catálogo de Produtos da Magnesita, 1980.
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Para se desenvolver o estudo de transporte de momento, uma conceituação básica
deve ser feita. Uma análise das unidades normalmente usadas na quantificação das
grandezas envolvidas nesse estudo também torna-se importante.
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Como no estudo de transporte de momento está-se envolvido na maioria dos casos
com o movimento dos fluidos, torna-se importante, inicialmente, definir o que é um
fluido.
A definição de um fluido pode ser feita através de uma propriedade comum a todos
eles: um fluido não consegue preservar a sua forma a não ser que esteja contido
dentro de um recipiente. Nesse caso, o fluido assume a forma do recipiente.
Uma definição mais rigorosa estabelece que um fluido é uma substância que se
deforma continuamente sob a ação de uma tensão de cisalhamento, independente de
seu valor. É importante observar que existem substâncias que não são fluidos e que
se deformam sob uma tensão de cisalhamento; entretanto, essa deformação não se
dá de modo contínuo. Esse é o caso dos sólidos.
Pelas definições, observa-se que fluidos são os gases e líquidos.
Ainda dentre os fluidos pode-se fazer uma distinção: fluidos compressíveis e
incompressíveis.
Fluidos incompressíveis são aqueles cuja densidade se mantém constante com a
variação de temperatura e pressão. Nas condições normais que acontecem nos
problemas de engenharia, os líquidos são considerados fluidos incompressíveis e
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) (2.2)
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) (2.3)
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 (2.4)
gases são considerados fluidos compressíveis, desde que suas densidades tenham
uma variação significativa. Entretanto, em algumas situações particulares os gases
apresentam comportamento de fluidos incompressíveis.
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Uma outra definição importante é a da força. O conceito de força é derivado da
segunda lei do movimento de Newton, que pode ser colocada na seguinte forma:
onde:
Σ F = somatório de forças atuando no corpo;
m = massa do corpo;
a = aceleração.
Uma outra maneira de expressar essa lei é:
onde:
u = velocidade;
t = tempo.
Deve-se observar que as equações (2.1) e (2.2) se confundem quando a massa é
constante, pois:
Lembrando da definição de momento:
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∆�
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Figura 2.1 - Forças atuando na superfície de um elemento de volume.
constata-se que força nada mais é do que a taxa de variação de momento com o
tempo.
As forças que atuam em um dado sistema podem ser classificadas em duas
categorias: forças de volume e forças de superfície. Forças de volume são aquelas
causadas pela gravidade ou campos eletromagnéticos e atuam no fluido como um
todo. Estas forças são normalmente expressas em termos de força por unidade de
volume.
Em contraste, forças de superfície representam a ação da vizinhança no elemento
fluido sendo considerado. Estas forças são normalmente dadas em termos de força por
unidade de área.
Um conceito importante é o de tensão. Para definir essa grandeza será considerado
o elemento de volume de fluido visto na figura 2.1.
Considerando a área hachurada, ∆A e a força exercida pela vizinhança nessa pequena
área, ∆F, pode-se decompor essa em dois componentes: ∆Fn é a componente normal
à área ∆A e ∆Ft é a componente tangencial à área ∆A.
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τ
τ
τ
τ
τ
τ
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Figura 2.2 - Tensões atuando em um elemento de volume.
As quantidades ∆Fn e ∆Ft são chamadas de força normal e força de cisalhamento,
respectivamente. Lembrando que tensão é definida como força por unidade de área,
pode-se considerar dois tipos de tensão de atuando no elemento fluido:
� tensão normal:
� tensão de cisalhamento:
Mais especificamente, uma tensão é identificada pela direção da força e pela
orientação da área sob a qual ela atua. A figura 2.2 mostra um elemento de volume na
forma de um cubo. Nessa mesma figura são mostradas as nove possibilidades de
tensões atuando nesse elemento.
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S
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F
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1
2
 2 (2.8)
Os dois subscritos obedecem à seguinte convenção:
� primeiro subscrito: direção da normal ao plano sobre o qual a força está atuando;
� segundo subscrito: direção da força que produz a tensão.
Observa-se facilmente que xx , yy e zz são tensões normais, ao passo que xy , xz , yx,
yz , zx e zy são tensões de cisalhamento.
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No estudo do escoamento de fluidos, duas formas de energia são particularmente
importantes: a energia potencial e a energia cinética.
Energia potencial é a energia possuída pelo fluido em virtude de sua massa, sua
posição e o efeito da gravidade. Numericamente, a energia potencial é dada pela
seguinte relação:
sendo:
Ep = energia potencial por unidade de volume do fluido;
ρ = densidade do fluido;
g = aceleração da gravidade;
z = altura do fluido, em relação a um nível arbitrário no qual a energia potencial é
tomada como zero.
Já a energia cinética é a energia que o fluido possui em virtude de seu movimento. O
seu valor, por unidade de volume do fluido, pode ser determinado através da seguinte
relação:
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onde:
Ec = energia cinética por unidade de volume do fluido;
ρ = densidade do fluido;
u = velocidade do fluido.
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Antes de se passar ao estudo das unidades envolvidas na avaliação das grandezas
que aparecem em fenômenos de transporte, uma última conceituação deve ser feita.
Ela está relacionada aos mecanismos de transporte de momento, calor e massa.
Basicamente, existem dois mecanismos de transporte de momento, calor e massa.
Esses dois mecanismos são denominados:
- difusão;
- convecção.
Para transporte de calor existe ainda um mecanismo adicional denominado radiação.
O mecanismo de difusão depende da existência de um meio físico e ocorre devido à
presença de um gradiente de uma dada grandeza:
� velocidade no caso do transporte de momento;
� temperatura no caso do transporte de calor;
� concentração ou potencial químico no caso de transporte de massa, sem que
ocorra necessariamente uma movimentação macroscópica do fluido.
A convecção também dependeda existência de um meio e se dá como uma
consequência de um movimento macroscópico do fluido.
Para caracterizar melhor a distinção entre esses dois mecanismos, considere-se os
exemplos mostrados nas figuras 2.3 e 2.4.
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Figura 2.3 - Transporte de calor por difusão e convecção.
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Água
Açúcar
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Figura 2.4 - Transporte de massa por difusão e convecção.
 
Na figura 2.3, dentro da barra de ferro ocorre o transporte de calor por difusão (também
denominada condução) devido ao gradiente de temperatura entre as duas faces.
Observa-se que não existe nenhum movimento macroscópico dos átomos de ferro
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dentro da barra. Na superfície direita da barra, existe um ventilador soprando ar frio
sobre a barra. Nesse caso, o calor é retirado da barra através do mecanismo de
convecção: existe um movimento macroscópico do fluido (no caso ar).
Na figura 2.4.a tem-se um caso de transporte de massa por difusão. Carbono é
transportado de uma superfície para a outra devido ao gradiente de concentração.
Novamente, constata-se que não existe nenhum movimento macroscópico do sistema.
Na figura 2.4.b, o transporte de massa se dá por convecção. O açúcar se dissolve na
água e é transportado às diversas partes do sistema, devido à movimentação da água
decorrente da presença do agitador.
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A representação quantitativa dos fenômenos de escoamento de fluidos requer o uso
de diferentes tipos de equações. Essas equações, descrevendo os fenômenos físicos,
tem que ser dimensionalmente homogêneas. Em outras palavras, todos os termos tem
que ter a mesma dimensão expressa nas mesmas unidades.
Ao longo dos anos, vários sistemas de unidades tem sido adotados pelas comunidades
científica e de engenharia, como por exemplo: sistema inglês, sistema cgs, sistema
mks.
Em 1960, um novo e racional sistema de unidades foi recomendado para uso
internacional, sendo denominado: sistema internacional de unidades. Nesse sistema,
que será adotado ao longo do texto, a unidade de massa é o quilograma, a unidade de
comprimento é o metro e a unidade de tempo é o segundo.
A tabela 2.1 contém uma lista de unidades e dimensões das principais quantidades
envolvidas em fenômenos de transporte, bem como a natureza dessas quantidades
(escalar, vetorial ou tensorial).
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Tabela 2.1 - Unidades e dimensões das principais quantidades envolvidas em
Fenômenos de Transporte.
Quantidade Dimensão Símbolo Natureza
Massa M kg escalar
Comprimento L m escalar
Tempo t s escalar
Temperatura T K (oC) escalar
Aceleração L t-2 m/s2 vetorial
Velocidade angular t-1 s-1 vetorial
Área L2 m2 escalar
Densidade M L-3 kg/m3 escalar
Viscosidade dinâmica M L-1 t-1 kg/m.s escalar
Viscosidade cinemática L2 t-1 m2/s escalar
Energia, trabalho M L2 t-2 J (N.m) escalar
Força M L t-2 N (kg/m.s2) vetorial
Momento M L t-1 kg.m/s vetorial
Pressão M L-1 t-2 N/m2 escalar
Tensão M L-1 t-2 N/m2 tensorial
Potência M L2 t-3 W (N.m/s) escalar
Calor específico L2 t-2 T-1 J / kg.K escalar
Velocidade L t-1 m/s vetorial
Volume L3 m3 escalar
Como normalmente ainda se encontra na literatura outros sistemas de unidades que
não o SI (.istema /nternacional), é importante que se saiba fazer as devidas
conversões.
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A tabela 2.2 mostra alguns fatores de conversão úteis no estudo de fenômenos de
transporte.
Tabela 2.2 - Fatores de conversão úteis no estudo de fenômenos de transporte.
Unidade Unidade do Sistema
Internacional
1 ft (pé) 0,3048 m
1 in (polegada) 0,0254 m
1 lbm (libra massa) 0,45359 kg
1 BTU (unidade térmica britânica) 1055 J
1 cal (caloria) 4,184 J
1 lbf 4,4482 N
1 kgf 9,8 N
1 hp 745,7 W
Em relação à temperatura deve-se fazer um comentário mais detalhado. Nas escalas
relativas, tem-se:
� temperaturas em centígrados: ºC
� temperatura em graus Fahrenheit: ºF
Nas escalas absolutas, o zero é fixado como sendo a temperatura mais baixa que o
homem acredita que possa existir. Tem-se:
� centígrado: Kelvin - 0 K = - 273 oC
� Fahrenheit: Rankine - 0 oR = - 460 oF
É importante observar que um centígrado equivale exatamente a 1 Kelvin e que um
grau Fahrenheit é igual a 1 Rankine.
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R� � 1,8 R� (2.9)
� � 1,8 R� (2.10)
 
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� 460 (2.11)
 
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� 273 (2.12)
 
&
�
5
9
( 
)
� 32) (2.13)
São válidas ainda as seguintes relações:
As relações acima indicam que o grau Celsius é 1,8 vezes maior que o grau
Fahrenheit. A mesma relação existe entre o Kelvin e o grau Rankine. As relações
acima são úteis quando se pensa em conversão de variações nas temperaturas.
Para conversão de temperatura, tem-se as seguintes relações:
 
Algumas unidades ainda recebem nomes especiais e é importante que estes nomes
sejam conhecidos, bem como os seus significados. Tem-se:
- dina = g cm / s2 (força);
- poundal = lbm ft / s2 (força);
- Pascal = N/m2 (pressão);
- erg = g cm2 / s2 (energia);
- Poise = g / cm s (viscosidade).
Para se praticar a conversão de unidades, alguns exemplos serão resolvidos a seguir.
Exemplo- Um avião viaja a uma velocidade igual a velocidade do som. Qual é a sua
velocidade, expressa em unidades do sistema internacional ? Velocidade
do som = 3,96 x 106 ft/h.
Solução- Tem-se os seguintes fatores de conversão:
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� 3,96%106 (0,3048 �)(3600 �) � 335,3 �/�
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S
� � � �
1 ft = 0,3048 m;
1 h = 3600 s.
Usando os fatores de conversão acima, a velocidade em unidades do sistema
internacional será dada por:
Exemplo- 100 lbm de água escoam num tubo a uma velocidade de 10 ft/s. Qual a
energia cinética da água, em unidades do sistema internacional ?
Solução- A energia cinética é dada por:
Os fatores de conversão pertinentes são:
1 lbm = 0,45359 kg;
1 ft = 0,3048 m.
Logo, pelo mesmo procedimento do exemplo anterior, tem-se:
Exemplo- Qual é a energia potencial, em unidades SI, de um corpo de 30 lbm situado
a 10 ft acima do nível de referência ?
Solução- A energia potencial é dada por:
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) 10 (0.3048 �)
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0,45359 )�
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(0,3048)2 � 2
&
 2
� 737,34 +
6,
Usando os fatores de conversão já uitlizados acima, tem-se:
Exemplo- Um parâmetro muito usado em transferência de calor é denominado
coeficiente de transferência de calor. Esse parâmetro é normalmente
fornecido através de correlações empíricas. Uma delas é:
onde:
h = coeficiente de transferência de calor (BTU/h ft2 oF);
G = fluxo de massa (lbm / h ft2);
D = diâmetro do tubo (ft).
Deseja-se escrever a mesma equação adotando unidades SI. Qual deve ser a nova
constante no lugar de 0,026 ?
Solução- Em unidades do sistema internacional, tem-se:
GSI ( kg / m2 s) DSI (m) hSI (J / s m2 oC)
Usando os fatores de conversão da tabela 2.2, tem-se:
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� 0,176 '
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)0,6
(3,28 ,
6,
)0,4
'
6,
� 4,8274
+ 0,6
6,
,
6,
0,4
� � � � (2.14)
Substituindo estes valores na relação, obtem-se:
Finalmente:
Logo, a nova constante é 4,8274.
Finalmente,é importante comentar a respeito da pressão e das várias maneiras de
expressar esta variável.
Pressão é normalmente definida como sendo força por unidade de área, agindo
ortogonalmente à superfície em consideração.
Considere-se, então, a figura 2.5. Dentro do tubo de vidro há um líquido. A força que
o líquido exerce sobre a placa da base esta associada ao seu peso. Logo:
onde:
F = força exercida pelo líquido sobre a placa de base;
m = massa de líquido contido no tubo;
g = aceleração da gravidade.
��������	
����
������
�	�������������
0123����
4�
�
56	��
Figura 2.5 - Dispositivo para definição de pressão.
� � / (2.15)
/ � � ' (2.16)
0 � �
�
(2.17)
A massa de líquido contido no tubo é dada por:
onde:
 = densidade do líquido;
V = volume de líquido no tubo.
O volume de líquido contido na coluna cilíndrica pode ser determinado por:
onde:
A = área da base da coluna de líquido;
h = altura da coluna de líquido.
A pressão exercida pelo líquido na área da base é dada por:
��������	
����
������
�	�������������
12���3� �(��"
� � 12���3� 2�"�
	!� � 12���3� �
���&42	�� (2.19)
0 � � ' (2.18)
0 � (13600 )�
� 3
) (9,8 �
� 2
) (0,5 �) � 66640 0�
500 �� 5� � 66640 0�
"���
1 �� 5� � 133,33 0�
'2 � '1 � '
Combinando as relações acima, pode-se obter uma expressão genérica para avaliação
da pressão exercida pela coluna de líquido:
Considerando-se uma coluna de 0,5 m de mercúrio ( = 13600 kg/m3), tem-se a
seguinte pressão:
Algumas vezes, a pressão é expressa em termos da altura da coluna de líquido
(normalmente, mercúrio ou água). É comum se dizer “pressão de 20 mm de mercúrio”
referindo-se à pressão exercida por uma coluna de 20 mm de mercúrio.
Usando-se os resultados acima, pode-se determinar um fator de conversão de mm de
mercúrio para Pascal. Tem-se que:
Um outro ponto importante ligado à pressão está relacionado à maneira de expressar
os valores de pressão. Duas maneiras são normalmente empregadas: pressão relativa
e pressão absoluta. A diferença entre elas é vista esquematicamente na figura 2.6.
Tem-se que a pressão absoluta é dada por:
Ou, pela figura 2.6:
��������	
����
������
�	�������������
76
 76
���8 
��� ���8 
���
∆0�
∆0�
56	��
$� �
+
��
9�
����
����%� 9�
����,
�����
∆0
56	��
:��8 
���
9�
����� �
+;��	�
Figura 2.6 - Quadro esquemático identificando a diferença entre pressão absoluta e
relativa.
A pressão atmosférica é determinada por um aparelho denominado barômetro.
 
No sistema britânico de unidades, é comum encontrar-se pressões fornecidas em
termos das seguintes unidades:
� psia (��
���� 1�2� �6
�2�� ���'� �(��"
�7 = libra-força por polegada quadrada
absoluta;
� psig (��
����1�2��6
�2�����'�����7 = libra-força por polegada quadrada relativa.
Essas unidades são as comumente utilizadas na especificação de calibração de pneus.
Exemplo- Usando o mesmo procedimento adotado para correlacionar mm de Hg e Pa,
determine um fator de conversão de metro de coluna d´água para Pascal.
��������	
����
������
�	�������������
101330 0� � 101330
1 "(
I
4,4482 8
(0,0254)2 � 2
	�2
� 14,7 1�	�
0 � � '
0 � (1000 )�
� 3
) (9,8 �
� 2
) (1 �) � 9800 0�
Solução- Pela relação (2.18), tem-se que:
Considerando a densidade da água igual a 1000 kg/m3, tem-se:
Dessa forma, constata-se que 1 m de coluna d´água equivale a 9800 Pa.
Exemplo- A pressão atmosférica equivale a 760 mm Hg. Determine esse valor em psia
e em Pascal.
Solução- Pelo fator de conversão determinado anteriormente, tem-se que:
1 mm Hg = 133,33 Pa
Logo:
760 mm Hg = 760 x 133,33 Pa = 101330 Pa = 101330 N/m2.
Usando os fatores de conversão da tabela 2.2, tem-se:
1 lbf = 4,4482 N
1 in = 0,0254 m
Logo:
Exemplo- Um manômetro (mede pressão relativa) indica que a pressão dentro de um
tanque é 51 psi. A pressão barométrica é de 28 in de Hg. Calcular a pressão
absoluta de CO2 no tanque em Pa.
��������	
����
������
�	�������������
Solução- Para determinar a pressão absoluta basta converter os dados de pressão
relativa e barométrica para Pa e somar os resultados. A pressão relativa é de 51,0 psi.
Pelo resultado do exemplo anterior, tem-se que:
101330 Pa = 14,7 psi
Logo:
51 psi = 351553 Pa
Já a pressão barométrica (atmosférica) é de 28 in Hg. Mas:
1 in = 0,0254 m = 25,4 mm
Logo:
28 in = 711,2 mm Hg
Do exemplo anterior, sabe-se que:
1 mm Hg = 133,33 Pa
Assim: 28 in Hg = 94824,3 Pa.
Finalmente, a pressão absoluta é dada por:
pressão absoluta = (351553 + 94824,3) Pa = 446377,3 Pa.
A seguir serão resolvidos mais dois exemplos relativos à conversão de unidades e
dimensões das variáveis encontradas no estudo de transporte de momento.
Exemplo- A densidade da água a 25 oC é de 62,4 lbm/ft3. Fornecer o valor dessa
densidade em kg/m3.
Solução- Usando os fatores de conversão da tabela 2.2:
1 lbm = 0,45359 kg
1 ft = 0,3048 m.
��������	
����
������
�	�������������
+22
� 62,4 0,45359 )�
"(
P
1&
 3
(0,3048)3 � 3
� 999,55 )�
� 3
02���3�
,���	����
�
0
�
9: &1
 &2
9: &3
�
: 2
 2
���2�	�
9����
�
9: 2
 &2
9
�
: 2
 2
Assim, determina-se a densidade da água nas unidades do sistema internacional:
Exemplo- Mostrar que o parâmetro P/ tem dimensão de energia por unidade de
massa.
Solução- Consultando a tabela 2.1, tem-se:
- pressão: M L-1 t-2 ;
- densidade: M L-3 ;
- energia: M L2 t-2 .
Assim, tem-se:
Constata-se assim que pressão/densidade tem a mesma dimensão de energia por
unidade de volume.
��������	
����
������
�	�������������
���8 
���∆0
$� �
+
��
"��<'�����=�
/�
��
�>�?�@�/A.
1- Calcular o volume em m3, de um cilindro com as seguintes dimensões:
� altura ou comprimento: 15 in;
� diâmetro: ¼ in.
2- Se um foguete usa 255 ft3/h de oxigênio líquido, quantos m3/s de oxigênio são
usados?
3- Calcular todas as temperaturas a partir de um dos valores dados:
Unidade a b c d e f g
oF 140 1000
oR 500 1000
K 298 1000
oC -40
4- Um manômetro indica que a pressão relativa dentro de um condensador é de 3,53
metros de coluna d’água. O barômetro indica 30,4 in de Hg. Qual a pressão absoluta
no condensador em psi e em Pa?
5- Pequenos animais (insetos e roedores) podem viver em pressões reduzidas (3,0
psia). Num teste, um manômetro de Hg foi ligado a um recipiente, conforme a figura
abaixo. A leitura do manômetro indica 25,4 in Hg e a pressão barométrica é igual a
14, 79 psi. Poderão os insetos sobreviver?
��������	
����
������
�	�������������
�
R
� � 
0
5
� � µ / � ( / 2
6- Calcular a energia cinética de 1 tonelada de água movendo a 60 milhas/hora. Dar
a resposta em:
a- ft . lbf
b- ergs
c- Joules
d- hp . seg
e- Watt . seg
Dado: 1 milha = 1,6 Km
7- Densidades podem ser expressas como funções lineares da temperatura. A
expressão geral tem a seguinte forma:
Sendo que:
 : kg/m3 ; T : oC.
Se a equação é dimensionalmente consistente, qual deve ser a unidade de “A”?
8- Num alto-forno, a queda de pressão do gás pode ser expressa por:
onde:
P= queda de pressão;
H = altura do leito;
µ = viscosidade do gás;
 = densidade do gás;
V = velocidade do gás.
Determinar as unidades das constantes “a” e “b”, usando o sistema internacional.
9- Uma correlação empírica para determinar o coeficiente de transferência de calor de
uma placa vertical para o ar pode ser expressa por:
��������	
����
������
�	�������������
' � 0,29 
:
1
2
�� � , /
µ
+2 � � :
3
2
� �
1 �
� 
3
onde:
h = coeficiente de transferência de calor [=] Btu/h.ft2 ºF
T = diferença de temperatura entre a superfície da placa e o ar [=] ºF
L = comprimento da placa [=] ft.
Deseja-se escrever a mesma relação adotando unidades SI. Qual deve sera nova
constante no lugar de 0,29?
10- Provar que os seguintes números são adimensionais:
onde:
D = diâmetro
V = velocidade
= densidade
µ = viscosidade dinâmica
g = aceleração da gravidade
T= diferença de temperatura
L = comprimento
 = viscosidade cinemática
= coeficiente de compressibilidade, avaliado pela seguinte relação:
����������	�
��������������
�����������	
�����
�����
����
�����
�
���
��
�����������
����
�
Figura 3.1- Situação esquemática para definição de viscosidade.
Uma das principais propriedades dos fluidos, que tem grande importância no seu
escoamento, é a viscosidade. Essa propriedade será definida neste capítulo. Serão
apresentadas também maneiras de se estimar o seu valor para diferentes tipos de
fluidos de interesse na metalurgia.
��������
�
�������
����
���������
��������������
����
����
A viscosidade é uma propriedade física que caracteriza a resistência ao escoamento
de um fluido simples. Para quantificá-la, considere-se a situação vista na figura 3.1,
onde se tem uma certa quantidade de fluido entre duas placas paralelas.
No tempo t = 0, a placa inferior começa a se mover a uma velocidade constante V. A
partir desse instante, o fluido que está sobre essa placa também começa a se mover.
Com o tempo, o fluido move-se até atingir o estado estacionário: a distribuição de
velocidade ao longo do fluido se torna constante com o tempo. Essa situação é
mostrada na figura 3.2, onde se tem os perfis de velocidade em função do tempo a
partir do qual a placa inferior começou a se movimentar.
����������	�
���������������
��� �!�"#�$"%�!�%!
� ��&�'
��()(� ��"$ !$�*�
)!�!)(�(�"#�
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� %+$ 5� 6-!�� �(���"�
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7
8
7
8
7
8
7
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7�&�'
7�&��
7�&�'
7�&��
7�&�'
7�&��
7�&�'
7�&��
Figura 3.2- Evolução do perfil de velocidades em um sistema de placas paralelas.
�
�
� µ �
�
(3.1)
Quando o estado estacionário é atingido, uma força constante F é necessária para
manter o movimento da placa inferior. Essa força pode ser expressa da seguinte
maneira:
onde:
F = força para manter a placa inferior em movimento;
A = área da placa;
����������	�
���������������
1 Gradiente é a variação no valor de alguma grandeza com a posição dentro de um dado
sistema.
����	
��
	
� �
���� �
 ���	��	�
��� (3.2)
��	��
��
 �
 �
�����	�
 �
�
[
�
�
��
[
��
�
0 � �
� � 0
(3.3)
V = velocidade da placa inferior;
L = distância entre as placas;
µ = constante de proporcionalidade. Esta constante depende do fluido que está entre
as placas e é denominada viscosidade dinâmica ou molecular.
Observa-se que a força por unidade de área é proporcional à velocidade e
inversamente proporcional à distância entre as placas. Como a força aplicada nesse
caso é tangencial à superfície da placa, tem-se ainda que:
Na interface entre o fluido e as placas prevalece a condição de �����������9������.
Isso significa que o fluido que está em contato com a placa assume a velocidade da
placa. Como as placas em questão possuem velocidades diferentes, há o
aparecimento de um gradiente1 de velocidade no interior do fluido.
No estado estacionário, quando o perfil de velocidade é linear, V/L pode ser associado
ao gradiente de velocidade. No caso mostrado na figura 3.2, o gradiente de velocidade
pode ser determinado considerando-se que:
- em y = 0, vx = V;
- em y = L, vx = 0.
Logo:
Deve-se observar que, na avaliação do gradiente de velocidade pela equação acima,
há uma correspondência direta entre as velocidades que aparecem no numerador da
fração e as posições indicadas no denominador.
����������	�
���������������
�
���� �
 ���	��	�
��� �
\[
� � µ
��
[
��
(3.4)
Substituindo as equações (3.2) e (3.3) em (3.1), pode-se escrever que:
A relação (3.4) é a expressão matemática da ��
��������������	
����
���� aplicada
a casos de escoamentos uni-dimensionais, onde se tem apenas uma componente de
velocidade (vx), variando somente em uma direção (y). Esta lei estabelece que a tensão
de cisalhamento, yx (y é a direção da normal ao plano sobre o qual a força atua e x é
a direção da força aplicada - veja figura 3.2) , é proporcional ao negativo do gradiente
de velocidade. No capítulo 5 será apresentada a forma mais completa da lei de Newton
da viscosidade aplicada a escoamentos tri-dimensionais. 
Um fluido que obedece à lei de Newton da viscosidade é denominado Newtoniano. Os
fluidos comuns na metalurgia (gases, metais e escórias líquidos) são fluidos
Newtonianos. Exemplos de fluidos não Newtonianos são os polímeros, pastas e tintas.
Estes fluidos não obedecem à equação (3.4). Existe um ramo da ciência que se dedica
ao estudo dos fluidos não Newtonianos, buscando determinar �3���:��������
���
	��
(similares à equação (3.4)), que regem o seu comportamento.
Ainda em relação à equação (3.4), deve-se observar que quanto maior é a viscosidade
do fluido, µ, maior será a tensão de cisalhamento, ou a força, necessária para manter
a placa inferior em movimento.
������� ����2���������;�
������
\[
Na análise da equação (3.4) feita acima, interpretou-se yx como sendo a tensão de
cisalhamento (atrito) existente devido ao gradiente de velocidade. 
A expressão (3.4) pode ser interpretada de um outro modo. Na vizinhança da superfície
que está se movendo em y = 0, o fluido adquire uma certa quantidade de momento na
����������	�
���������������
1 Fluxo de alguma grandeza (momento, calor e massa) representa a quantidade desta
grandeza que é transportada por unidade de tempo e área. Taxa representa a
quantidade transportada por unidade de tempo.
direção x. Este fluido, por sua vez, passa uma certa quantidade desse momento para
a camada adjacente de fluido, fazendo com que ela adquira também movimento na
direção x. Desse modo, pode-se dizer que o momento da direção x é transmitido por
difusão na direção y ao longo do fluido. Como visto no capítulo 2, para que momento
seja transportado por difusão é necessária a existência de um gradiente de
velocidade.
yx pode, então, ser interpretado como fluxo1 de momento –x por difusão na direção
y. Essa interpretação é bastante conveniente pois é análoga ao tratamento que será
dado mais tarde para o transporte de calor e massa. E mais, através dessa
interpretação, se torna mais fácil entender o sinal de yx.
Momento por difusão é transportado das regiões de alta para as de baixa velocidade
(similar ao que Robin Hood fazia,����	��������������
� 	��	���� 	�	���� �!�
�). Assim,
na figura 3.2, momento vai de y = 0 (alta velocidade) para y = L (baixa velocidade).
Para se saber o que é alta ou baixa velocidade, é importante lembrar que velocidade
é uma grandeza vetorial. Assim, uma velocidade de - 100 m/s é menor que uma
velocidade de 0,01 m/s.
Com esta nova interpretação para yx, pode-se dizer que a lei de Newton da
viscosidade estabelece que o fluxo de momento por difusão é proporcional ao negativo
do gradiente de velocidade. O sinal de yx pode ser determinado considerando-se que
o fluxo de momento-x será positivo se ele se der no mesmo�����
���do crescimento
do eixo y (y é a direção do gradiente de velocidade) . Se o fluxo de momento for no
sentido oposto ao crescimento do eixo y, ele será negativo.
Finalmente, o sinal do gradiente de velocidade pode ser determinado de uma maneira
bastante simples. Se quando y aumenta, vx também aumenta, pode-se dizer que o
����������	�
��������������"
y
z
z = 0
z = H
gradiente de velocidade é positivo. Se quando y aumenta, vx diminui, o gradiente de
velocidade é negativo.
A seguir serão resolvidos alguns exemplos de aplicação, enfatizando a interpretação
da lei de Newton daviscosidade. 
Exemplo- Para a figura mostrada abaixo, determine:
- direção e sentido do transporte de momento por difusão;
- direção e sentido do fluxo de momento por convecção.
Aplique a lei de Newton da viscosidade à situação mostrada.
Solução- Conforme visto acima, momento por difusão é transportado na direção do
gradiente de velocidade. Assim, a direção do transporte de momento por difusão é a
direção z. 
Como momento é transportado por difusão das regiões de alta (z = H) para as de baixa
velocidade (z = 0), tem-se que o sentido do transporte de momento por difusão é o
negativo de z.
Transporte de momento por convecção ocorre na direção do movimento macroscópico
do fluido (veja Capítulo 2), que nesse caso é a direção y. Como as velocidades estão
no mesmo sentido de crescimento do eixo y, elas são todas positivas e, portanto, o
sentido do fluxo de momento por convecção é o positivo de y.
Para o sistema visto acima, a lei de Newton pode ser colocada na seguinte forma:
����������	�
��������������#
]\
� � µ
��
\
�$
x
z
x = H
x = 0
[]
� � µ
��
]
�%
Para o caso em estudo, a velocidade vy aumenta quando z aumenta. Dessa forma o
gradiente de velocidade é positivo e o fluxo de momento por difusão, zy, é negativo,
pois ocorre no sentido oposto ao crescimento do eixo z.
Exemplo- Repita o exemplo acima para a situação vista abaixo:
Solução- Nesse caso, as velocidades são negativas, pois estão no sentido oposto ao
crescimento do eixo z. 
Momento por difusão é transportado na direção x (direção do gradiente de velocidade),
da região de altas (x = H) para as de baixa velocidade (x = 0). (���<������ 3��
	����
�����=�����9�����>��	����
��� ?4� Desta forma, o sentido do transporte de
momento por difusão é o negativo de x.
Momento por convecção é transportado na direção do movimento macroscópico do
fluido, que na situação vista acima é a direção z, no sentido negativo deste eixo.
Para este caso, a lei de Newton da viscosidade pode ser colocada na seguinte forma:
O fluxo de momento por difusão é negativo e o gradiente de velocidade é positivo (vz
aumenta quando x aumenta).
����������	�
��������������&
7
>
>�&�'
>�&��
>�&�<
>�&�@
Exemplo- Repita os exemplos acima para o caso apresentado na figura a seguir.
Solução- A situação acima é um pouco mais complexa que as anteriores. Nesse caso,
há uma alteração no sentido da velocidade na região mostrada.
Considerando-se a orientação dos eixos, tem-se que a velocidade vy é positiva na
região definida por :0 < z < b. Na região dada por b < z < H, as velocidades são
negativas. A velocidade máxima no domínio considerado ocorre em z = a. Logo, o
transporte de momento por difusão vai ocorrer na direção z (direção do gradiente de
velocidade), no sentido de z = a para z = 0 e de z = a para z = H. Assim, tem-se:
- região: 0 < z < a : fluxo de momento por difusão é negativo - sentido contrário ao do
crescimento do eixo z;
- região: a < z < H : fluxo de momento por difusão é positivo - mesmo sentido do
crescimento do eixo z.
O transporte de momento por convecção ocorre na direção do deslocamento
macroscópico do fluido, que nesse caso é a direção y. Tem-se que:
- região: 0 < z < b : fluxo de momento por convecção é positivo - velocidades
positivas;
- região: b < z < H : fluxo de momento por convecção é negativo - velocidades
negativas.
Para o sistema em estudo, a lei de Newton pode ser colocada na seguinte forma:
����������	�
��������������'
]\
� � µ
��
\
�$
�
���� �
 ���	��	�
��� �
\[
:
(
� � 2
)�	��
��
 �
 �
�����	�
 �
��
[
�
\
:
�
� �
� � &1
(
� � 2
� µ 1
�
µ : (
� �
Analisando-se o sinal do gradiente de velocidade, tem-se que:
- região: 0 < z < a : velocidades aumentam com o aumento em z - gradiente é
positivo;
- região: a < z < H : velocidades diminuem com o aumento em z - gradiente é
negativo.
Os exemplos acima demonstram que os mecanismos de transporte, difusão e
convecção, podem estar presentes simultaneamente. O fato de haver transporte de
momento por difusão não elimina a possibilidade de existência de transporte por
convecção e vice-versa.
����A���
����������	
����
����
Através da lei de Newton de viscosidade expressa através da equação (3.4), pode-se
determinar a dimensão da viscosidade dinâmica ou molecular, µ. Tem-se que:
Substituindo-se na lei de Newton da viscosidade, obtem-se:
Desse modo:
����������	�
��������������*
�
µ (3.5)
+
\
� � , ��
��
(3.6)
No sistema internacional, a viscosidade é expressa em termos das seguintes unidades:
µ : kg/m s = Pa s.
Uma unidade de viscosidade bastante popular é a referente ao sistema cgs
(�entímetro-9rama-�egundo). Nesse sistema, a viscosidade é dada em g/cm s. Essa
unidade é denominada Poise, P, em homenagem ao cientista francês ��
��uille, que
desenvolveu estudos na área de mecânica dos fluidos.
O centipoise, cP, é uma unidade derivada do Poise e equivale a um centésimo dessa
unidade:
1 cP = 10-2 P 
Uma outra grandeza de importância no estudo do transporte de momento é a
viscosidade cinemática, definida pela seguinte relação:
onde:
 = viscosidade cinemática e = densidade do fluido. 
A viscosidade cinemática tem dimensão de M2 / t (verifique isso como um exercício) e
é conhecida também como difusividade de momento.
Antes de ver os métodos para estimativa de viscosidade de fluidos de interesse na
metalurgia, é importante ver a similaridade existente entre a lei de Newton da
viscosidade e leis similares que regem o transporte de calor e massa por difusão.
O transporte de calor por difusão é governado pela seguinte relação:
onde:
qy = fluxo de calor por difusão;
����������	�
��������������
-
\
� � . �/
��
(3.7)
k = condutividade térmica do material ao longo do qual o calor é transferido;
T = temperatura.
Essa relação é conhecida como lei de Fourier.
Para o transporte de massa por difusão, tem-se a seguinte expressão:
 
sendo:
jy = fluxo de massa por difusão;
D = difusividade de massa;
C = concentração ou potencial químico da espécie química que se difunde.
Essa expressão é a representação matemática da lei Fick para difusão de massa.
É imediata a similaridade entre as lei de Newton da viscosidade, de Fourier e de Fick.
Todas elas estabelecem que o fluxo (de momento, calor ou massa) é proporcional ao
gradiente de uma dada variável (velocidade, temperatura e concentração ou potencial
químico). As constantes de proporcionalidade são específicas para cada situação:
- transporte de momento: µ (viscosidade);
- transporte de calor: k (condutividade térmica);
- transporte de massa: D (difusividade de massa).
A principal diferença entre a lei de Newton e as leis de Fourier e de Fick está
relacionada com a natureza das variáveis envolvidas. Na lei de Newton, o gradiente
envolve uma variável vetorial, que é a velocidade. Nas lei de Fourier e Fick, o gradiente
é de uma variável escalar, temperatura e concentração (ou potencial químico),
respectivamente. Como consequência desta diferença, o fluxo de momento, yx, é uma
grandeza tensorial: um índice está associado à direção da velocidade, e outro à
direção do gradiente. Os fluxos de calor e de massa, qy e jy, são grandezas vetoriais,
e o seu índice está relacionado com a direção do gradiente de temperatura ou
concentração (ou potencial químico).
����������	�
�������������"�
��A��
����
��������B����
No estudo da transferência de momento, uma das características do fluido que deve
ser conhecida é a sua viscosidade.
Um grande volume de dados de viscosidade de fluidos encontra-se tabelado na
literatura. Entretanto, nem sempre os valores de que se necessita são encontrados,
especialmente quando se lida com gases, mistura de gases e metais líquidos em altas
temperaturas.
Nesses casos, algumaalternativa para determinação da viscosidade (nem que seja de
modo aproximado) deve ser buscada.
Para gases já existem algumas teorias que permitem uma estimativa da viscosidade.
Uma dessas é a teoria cinética dos gases. Por essa teoria, considera-se um gás ideal
possuindo as seguintes características:
� as moléculas são rígidas como bolas de bilhar, possuindo um diâmetro “d” e massa
“m”;
� as moléculas não exercem forças umas sobre as outras, exceto quando elas
colidem;
� as colisões são perfeitamente elásticas e obedecem as leis clássicas de
conservação de momento e energia;
� as moléculas estão uniformemente distribuídas, possuindo uma concentração
equivalente a “n” moléculas por unidade de volume. Elas estão em contínuo
movimento e estão separadas por distâncias que são grandes comparadas com seu
diâmetro;
� todas as direções para a velocidade são igualmente prováveis. A magnitude da
velocidade de uma molécula pode possuir qualquer valor entre zero e infinito.
����������	�
�������������"�
µ � 2
3 3/2
� 0
%
�
� 2
(3.8)
Assumindo que as moléculas possuem uma distribuição de velocidade dada pela
equação de Maxwell (isto é, a energia térmica do gás é dada pela energia cinética de
todas as moléculas que se movem) e através de um longo desenvolvimento(1) pode-se
determinar que a viscosidade é dada pela seguinte expressão:
onde:
µ = viscosidade do gás em Poise (g/cm s);
m = massa de uma molécula (g);
KB = contante de Boltzmann (1,38 x 10-16 erg/molécula K);
T = temperatura (K);
d = diâmetro de uma molécula (cm).
(Verifique a consistência das unidades da equação acima).
Uma conclusão importante que pode ser obtida através da equação acima é a de que
a viscosidade de um gás é independente da pressão e depende apenas da
temperatura. Esta conclusão está em boa concordância com dados experimentais até
pressões de dez atmosferas. Entretanto, a dependência com a temperatura está
apenas qualitativamente correta: a viscosidade de um gás cresce com a temperatura.
Quantitativamente, dados reais obtidos para vários gases indicam que µ varia com Tn,
onde “n” está entre 0,6 e 1,0, ao invés de 0,5 como é indicado pela equação (3.8).
Uma teoria mais moderna substituiu o modelo de bolas de bilhar por um modelo mais
realístico. Este novo modelo considera um campo de forças, englobando forças de
atração e repulsão entre as moléculas. Esta teoria faz uso da energia potencial de
interação entre um par de moléculas no gás. Esta função, normalmente denominada
potencial Lennard-Jones, mostra um comportamento de interação molecular: fraca
atração para grandes separações e forte repulsão para pequenas separações. A figura
3.3 mostra este comportamento.
����������	�
�������������"�
0
A tração
R epu lsão
σ δ
ε
r
E ne rg ia
Figura 3.3- Função potencial de Lennard-Jones, descrevendo
a interação de duas moléculas não polares.
(�) � 4
�
12
�
�
6
(3.9)
A posição de equilíbrio das moléculas é dada pelo ponto δ, onde a energia potencial
é mínima e vale -ε. O parâmetro ε é chamado de energia característica.
A função potencial, (r), é descrita pela seguinte relação:
onde:
 = energia característica (erg/molécula);
 = diâmetro de colisão (Angstrom).
Usando o potencial Lennard-Jones, Chapman e Enskog desenvolveram a seguinte
equação para cálculo de viscosidade de gases não polares a baixas pressões:
����������	�
�������������"�
µ � 2,6693%10&5 ( �
2
µ
(3.10)
µ = viscosidade do gás (Poise);
 = diâmetro de colisão da molécula (Angstrom);
M = massa molecular do gás (g/mol);
µ = integral de colisão da teoria de Chapman-Enskog.
A constante da equação (3.10) já incorpora fatores de conversão para que o resultado
de viscosidade seja obtido em Poise, quando os valores de , M e µ são fornecidos
nas unidades listadas acima.
A integral de colisão é função do parâmetro adimensional de temperatura KB . T/ε .
Para usar a equação (3.10), são necessários os valores de σ e ε/KB. Esses parâmetros
são conhecidos para várias substâncias, sendo que uma lista parcial é fornecida na
tabela 3.1.
Para determinar a integral de colisão, pode-se usar a tabela 3.2. Se o gás fosse
composto de esferas rígidas de diâmetro σ (ao invés de moléculas reais com forças de
atração e repulsão), o parâmetro Ωµ seria igual a um. Desse modo, pode-se dizer que
a função Ωµ
 
 quantifica o desvio do comportamento de esferas rígidas.
A relação (3.10) é, então, útil para determinar a viscosidade de gases não polares a
baixas densidades. Entretanto, ela não pode ser aplicada com confiança para gases
constituídos por moléculas polares ou muito grandes, em especial para H2O, NH3,
CH3OH e NOCl.
Uma alternativa ao uso da tabela 3.2 consiste no uso de correlações matemáticas
obtidas a partir de ajuste de função aos dados desta tabela. Desta forma, evita-se
interpolações, uma vez que os valores do parâmetro /KB T nem sempre são os
indicados nesta tabela. As correlações obtidas através deste ajuste são:
����������	�
�������������""
log µ � 0,2071 � 0,4662 log
0
%
� (3.11)
log µ � 0,0689 � 0,1497 log
0
%
� (3.12)
- para KB T/ � 2:
- para KB T/ > 2:
Tabela 3.1- Parâmetros de Lennard-Jones(1).
Substância Massa molecular, M Parâmetros de Lennard-Jones
 (Angstron) /KB (K)
Elementos Leves
H2 2,016 2,915 38,0
He 4,003 2,576 10,2
Gases nobres
Ne 20,183 2,789 35,7
Ar 39,944 3,418 124
Kr 83,8 3,498 225
Xe 131,3 4,055 229
Substâncias poli-atômicas simples
Ar 28,97 3,617 97
N2 28,02 3,681 91,5
O2 32,00 3,433 113
CO 28,01 3,590 110
CO2 44,01 3,996 190
SO2 64,07 4,290 252
F2 38,00 3,653 112
Cl2 70,91 4,115 357
Br2 159,83 4,268 520
CH4 16,04 3,822 137
����������	�
�������������"#
Tabela 3.2- Valores da Integral de Colisão, baseados no potencial de Lennard-Jones(1).
KB T / µ
0,3 2,785
0,4 2,492
0,5 2,257
0,6 2,065
0,7 1,908
0,8 1,780
0,9 1,675
1,0 1,587
2,0 1,175
4,0 0,970
6,0 0,8963
8,0 0,8538
10 0,8242
20 0,7432
40 0,6718
60 0,6335
80 0,6076
100 0,5882
200 0,5320
400 0,4811
Uma limitação da equação (3.10) é que ela fornece resultados bons apenas para
temperauras acima de 100 K. Para a metalurgia, isso não representa uma restrição
importante, pois na maioria dos casos de lida com temperaturas bem acima deste
valor.
Em metalurgia, é bastante comum se ter misturas de gases. Para estas misturas, a
viscosidade pode ser estimada a partir da seguinte relação:
����������	�
�������������"&
µ
0,6785$
�
�
Q
L'1
%
L
µ
L
(
L
�
Q
L'1
%
L
(
L
(3.13)
 
onde:
n = número de componentes da mistura;
xi = fração molar do componente i na mistura;
µi = viscosidade do componente i na msitura;
Mi = massa molecular do gás i. 
Os cálculos de viscosidades de gases puros e misturas de gases geralmente
encontrados em metalurgia podem ser realizados através da planilha viscosidade-
gases.xls.
Usando a planilha acima, resolva os exemplos apresentados abaixo.
Exemplo- Avalie a viscosidade do hidrogênio a 1 atm de pressão e a 1000 K.
Solução- Usando a planilha acima, obtem-se:
µ = 0,7183
Logo:
µ = 1,94 x 10-4 P.
Exemplo- Calcule a viscosidade do CO2 a 200, 300 e 800 K. Compare com os
seguintes dados experimentais: 
200 K: µ = 1,015 x 10-4 P;
 300 K: µ = 1,495 x 10-4 P.
Solução- Para as temperaturas de 200, 300 e 800 K tem-se, respectivamente:
µ (200 K) = 1,5729
µ (300 K) = 1,302
µ (800 K) = 0,945
����������	�
�������������"'
As viscosidades obtidas são:
µ (200 K) = 9,971 x 10-5 P;
µ (300 K) = 1,475 x 10-4 P;
µ (800 K) = 3,319 x 10-4 P;
Exemplo- Estime a viscosidade de um gás de alto-forno com a seguinte composição:
N2 = 50 % CO = 24 % CO2 = 22 % H2 = 4 %;
a uma temperatura de 100 oC.
Solução- Pelos resultados da planilha, tem-se
µ (N2) = 2,121 x 10-4P;
µ (CO) = 2,169 x 10-4 P;
µ (CO2) = 1,821 x 10-4 P;
µ (H2) = 1,035 x 10-4 P;
A viscosidade da mistura é, então:
µ (mistura) = 2,04 x 10-4 P;
�����
����
���������;3�
���
Ao se lidar com o transporte de momento em líquidos, usualmente defronta-se com o
problema de que a estrutura dos líquidos é bem menos conhecida que a estrutura de
gases e sólidos. Entretanto, existe mais similaridade entre sólidos e líquidos que entre
líquidos e gases. Essa afirmação é baseada na pequena variação de volume que
ocorre quando se passa de sólido para líquido (3 a 5% no caso de metais) e no
pequeno valor do calor de fusão quando este é comparado com o calor de
vaporização.
Dados de raios-X mostram também que nos líquidos existe uma organização a curta
distância.
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�������������"*
µ � � exp
)
YLV
1 �
(3.14)
� �
2
R
�
ˆ�
(3.15)
)
YLV
� 0,41 3
YDS
(3.16)
Várias teorias tem sido formuladas para explicar algumas das propriedades dos
líquidos. Contudo, todas elas apresentam problemas.
Uma dessas teorias propõe a seguinte relação para cálculo de viscosidade de líquidos:
onde:
µ = viscosidade do líquido (Poise);
A = constante (Poise)
T = temperatura absoluta;
R = constante dos gases (cal/mol . K);
∆Gvis = energia de ativação da viscosidade (cal/mol).
A constante A é objeto de muitos estudos teóricos desenvolvidos sobre a estrutura dos
líquidos. Nenhuma dessas teorias fornecem valores satisfatórios. A teoria que fornece
os melhores valores é a de Eyring, que propõe a seguinte equação para avaliação da
constante A:
onde:
No = número de Avogadro
h = constante de Planck (6,624 x 10-27 erg . s) 
V^ = volume molar (cm3/mol).
Para líquidos que apresentam interações apenas do tipo van der Waals a energia de
ativação da viscosidade pode ser obtida da energia de vaporização:
sendo:
∆Evap= energia de vaporização (cal/mol).
����������	�
�������������"
3
YDS
� 4
YDS
� 1 �
E
(3.17)
Essa energia de vaporização pode ser relacionada com a entalpia de vaporização
através da seguinte expressão:
onde:
∆Hvap = entalpia de vaporização (cal . mol).
Tb = temperatura de ebulição (K)
Infelizmente as relações (3.16) e (3.17) não são válidas para metais líquidos e não
devem ser usadas, a não ser como último recurso.
É surpreendente como líquidos de natureza completamente diferentes, em termos de
ligação, apresentam viscosidade com valores próximos.
A tabela 3.3 mostra faixas de valores de viscosidade para diversos líquidos.
Tabela 3.3- Viscosidade de líquidos de diferentes naturezas(1).
Faixa de viscosidade
(Poise)
Materiais
1 - 100 Escórias: CaO - SiO2 - Al2O3
50 % NaOH - 50 % H2O
Óleos
0,1 - 1,0 H2SO4
0,01 - 0,1 Sais fundidos
Metais pesados (Pb, Au, Zn)
Metais alcalinos (Ca, Mg)
Metais de transição (Fe, Ni, Co)
Água (20 oC)
Querosene (20 oC)
0,001 - 0,01 Acetonas
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�������������#�
µ( �
µ 2 2
R
( 1 �
(3.18)
� ( �
0
%
� (3.19)
� ( � 1
� 3
(3.20)
�������
����
������������
���;3�
���
As interações existentes nos metais líquidos não são do tipo van der Waals e , desse
modo, as relações vistas acima não se aplicam a esses materiais.
Chapman desenvolveu uma teoria considerando as interações entre os átomos nos
metais e obteve uma relação entre três grandezas:
-µ*: viscosidade reduzida;
-T*: temperatura reduzida;
-V*: volume reduzido.
Essas grandezas são definidas através das seguintes expressões:
onde:
δ = distância interatômica no cristal a 0 K (cm);
ε = parâmetro de energia, característica do metal;
No = número de Avogrado;
M = massa atômica;
R = constante dos gases (8,314 x 107 g . cm2 / s2 . mol . K);
T = temperatura absoluta (K);
KB= constante de Boltzmann; 1,38 x 10-16 erg/K
n = número de átomos por unidade de volume.
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�������������#�
' � A � C D E F
'
�
A
�
C
G
D
E
F
�H+I
µI
IA
Figura 3.4- Curva para estimativa da viscosidade de metais líquidos(1).
µ( � (2 � �0,0088 � 0,4488 1
� (
� 0,0262 1
� (
2
� 0,0156 1
� (
3 (3.21)
0
%
� 5,20 �
I
(3.22)
O relacionamento entre os três parâmetros acima é mostrado na figura 3.4.
A relação vista graficamente na figura 3.4 pode ser expressa através do seguinte
polinômio:
A tabela 3.4 fornece valores de e /KB para diversos metais. Os valores de /KB
quando colocados como função da temperatura se ajustam bastante bem a uma curva
do tipo:
 
onde:
Tf = temperatura de fusão do metal (K).
����������	�
�������������#�
Tabela 3.4- Valores dos parâmetros e /KB para diversos metais.
Metais (Angstron) /KB (K)
Na
K
Li
Mg
Al
Ca
Fe
Co
Ni
Cu
Zn
Rb
Ag
Cd
In
Sn
Cs
Au
Hg
Pb
Pu
3,84
4,76
3,14
3,20
2,86
4,02
2,52
2,32
2,50
2,56
2,74
5,04
2,88
3,04
3,14
3,16
5,40
2,88
3,10
3,50
3,10
1970
1760
2350
4300
4250
5250
10900
9550
9750
6600
4700
1600
6400
3300
2500
2650
1550
6750
1250
2800
5550
A planilha viscosidade-metais.xls permite que se faça a estimativa de valores de
viscosidade de metais líquidos, bastando digitar o metal (símbolo), a sua densidade e
a temperatura de interesse. Os exemplos a seguir demonstram o uso da planilha e o
cálculo de viscosidade de metais líquidos usando as relações acima.
Exemplo- Estime a viscosidade do titânio líquido 1850 oC. Os seguintes dados estão
disponíveis:
����������	�
�������������#�
0
%
� 5,20 (1800 � 273) � 10779,6
� ( � 1850 � 273
10779,6
� 0,1969 1
� (
� 5,0787
µ( � (2 � 3,6383
� � 2
R (
� 6,023 % 1023 4,5
47,9
� 5,6584 % 1022 5����� / �� 3
� ( � 1
� 3
�
1
(5,6584%1022) (2,89%10&8)3
� 0,7322
µ( � 3,6383
� (2
�
3,6383
(0,7322)2
� 6,7864
µ � µ( ( 1 �
2 2
R
� 6,7864 (47,9) (8,314%107) (2123)
(2,89%10&8)2 (6,023%1023)
� 0,0392 6 � 3,92 �6
- Tf = 1800 oC - M = 47,9 g/mol - densidade = 4,5 g/cm3 - = 2,89 �.
Solução- Usando a equação (3.22), determina-se /KB :
A temperatura reduzida é:
Pela equação (3.21), obtem-se:
Resta ainda determinar o valor de V*. Tem-se que:
Logo:
Assim:
A partir da relação (3.18), pode-se escrever:
Exemplo- Avalie a viscosidade do ferro líquido a 1873 K. Densidade do ferro: 7 g/cm3.
����������	�
�������������#"
Figura 3.5- Viscosidade da liga ferro-carbono(1).
Solução- Usando a planilha, obtem-se:
T* = 0,1718;
n = 7,549 x 1022;
V* = 0,8278;
µ* = 6,9795.
E, finalmente:
µ = 5,38 cP
Para o caso de ligas, não há modelos de aplicação geral. É comum representar estes
dados de viscosidade, superpondo-se linhas de iso-viscosidade ao diagrama de fase
da liga. Exemplo deste tipo de abordagem é apresentado na figura 3.5.
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 ����A��
����
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��
Uma outra fase que freqüentemente aparece nos processos metalúrgicos e que
apresenta bastante interesse é a escória.
Para se ter uma idéia da importância da viscosidade da escória, pode-se citar o
exemplo do alto-forno. Neste reator, uma escória pouco viscosa (ou muito fluida) é
essencial para que se consiga uma boa produtividade e um ferro gusa menos
contaminado de elementos indesejáveis. Desse modo, torna-se importante estudar a
determinação de viscosidade de escórias, especialmente daquelas que aparecem nos
processos siderúrgicos.
A viscosidade é uma propriedade intrínseca de uma determinada escória, sendo que
o conhecimento de sua estrutura ou do arranjo de suas moléculas ajuda no
entendimento dos fatores que afetam a viscosidade. Em geral, escórias são formadas
por cátions e ânions resultantes da ionização de óxidos básicos e ácidos em solução
líquida. Pode-se considerar que óxidos ácidos são aqueles que, quando dissolvidos na
escória, adquirem íons de oxigênio adicionais formando complexos aniônicos,
enquanto os óxidos básicos fornecem os íons oxigênio e o seu cátionpassa a se
mover livremente. Os óxidos ácidos mais comuns são SiO2 e Al2O3, que se comportam
de maneira similar. Os óxidos básicos mais importantes são o CaO e o MgO.
Considerando-se a sílica pura, que tem as ligações entre os átomos muito fortes e
direcionais e que só escoa se essas ligações forem quebradas, pode-se examinar o
que acontece se for adicionado um óxido: CaO, por exemplo.
A estrutura da sílica líquida é similar à da sílica sólida, onde cada íon Si+4 compartilha
um elétron com cada um dos quatro íons O-2, que formam um tetraedro em torno do
íon Si+4. No estado sólido, a eletroneutralidade é mantida por cada íon O-2
compartilhando seu outro elétron entre dois tetraedros ou íons Si+4: a estrutura é um
arranjo cristalino regular de grupos SiO4-4 , como é mostrado na figura 3.6.
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�������������#&
Figura 3.6- Estruturas da sílica sólida e líquida(1).
Quando a sílica é fundida o arranjo continua, mas não em toda a sua extensão sendo
que algumas ligações são rompidas, conforme se vê na figura 3.6b. mesmo assim,
continuam existindo muitas ligações Si-O e a viscosidade do líquido SiO2 é muito
elevada (1,5 x 105 Poise a 1940ºC).
Quando CaO, ou outro óxido bivalente similar é dissolvido na sílica líquida, os íons Ca+2
são acomodados nos interstícios da estrutura da sílica e os íons O-2 entram dentro da
rede cristalina, conforme se vê na figura 3.7. Cada íon O-2 do óxido CaO causa a
separação de dois tetraedros, pois com a presença de mais um íon O-2 cada tetraedro
����������	�
�������������#'
Figura 3.7- Efeito da dissolução da cal na estrutura da sílica líquida(1).
Figura 3.8- Viscosidade da solução CaO-SiO2 (1).
pode ter um oxigênio que seja somente dele. Assim o aumento da dissolução de CaO
resulta numa quebra progressiva da rede tridimensional original, implicando numa
queda acentuada da viscosidade da solução, conforme se vê na figura 3.8.
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�������������#*
Essa figura mostra também que o aumento da temperatura contribui para uma maior
quebra de ligações e consequentemente diminui a viscosidade da solução
A figura 3.8 não pode ser aplicada diretamente para escórias de alto-forno devido à
presença de outros óxidos importantes como o Al2O3 e o MgO. A seguir serão vistos
alguns métodos usados na determinação da viscosidade das escórias.
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Nos Dados Termodinâmicos para Metalurgistas(2) há uma série de diagramas para
vários sistemas e temperaturas que fornecem diretamente o valor da viscosidade.
Para se usar esses diagramas é necessário saber marcar o ponto referente a
composição da escória. Através da figura 3.9, pode-se ver como assinalar o ponto
referente a uma dada composição da escória.
O ponto A representa o componente A puro e qualquer ponto na linha AC representa
uma mistura de A e C sem o componente B. As linhas paralelas ao lado oposto do
vértice A representam linhas de igual concentração de A, sendo que quanto mais
próxima elas estiverem desse vértice, maior será o teor de A .
Nesse diagrama, tem-se que os pontos 1 e 2 apresentam a seguinte composição
� ponto 1: - A = 40%
- B = 20%
- C = 40%
� ponto 2: - A = 30%
- B = 40%
- C = 30%
A figura 3.10 mostra um diagrama de isoviscosidade de aplicação em altos-fornos a
coque.
����������	�
�������������#
Figura 3.9- Diagrama ternário usado na locação de pontos de composição.
Figura 3.10- Diagrama de isoviscosidade para o sistema CaO-SiO2-Al2O3-MgO.
Temperatura = 1500 oC. Teor de SiO2 = 35 %.(2)
����������	�
�������������&�
ln µ � �10,3469 � 25144
�
� 0,096334 (%/	7) � 0,118176 (%(�7) �
0,0080126 (%��273) (3.23)
54�#=��������%;�
���"3�
	������
Um outro método usado para determinação de viscosidade de escórias é o da sílica
equivalente. A base para o desenvolvimento desse método é discutida a seguir.
A alumina (Al2O3), quando dissolvida na escória, forma ânions (AlO3)-3 e o seu
comportamento com relação à viscosidade é similar ao da sílica. Porém a base é
(AlO3)-3 (diferente de SiO4–4) e dois íons Al+3 podem substituir dois íons Si+4 somente se
um íon Ca+2 está disponível para manter a eletroneutralidade. Portanto, com relação
à viscosidade, a alumina tem uma sílica equivalente Xa , que depende da relação
Al2O3/CaO e da quantidade total de Al2O3, como mostra a figura 3.11. Os dados de
sílica equivalente foram correlacionados com a viscosidade para o sistema CaO – Mg -
Al2O3 – SiO2 para várias temperaturas, como mostra a figura 3.12. Para se calcular a
viscosidade de uma escória, primeiro deve-se converter a porcentagem dos
constituintes para fração molar e determinar Xa (sílica equivalente) pela figura 3.11. O
MgO é equivalente ao CaO, até cerca de 10% de MgO. O FeO e o MnO também são
equivalentes ao CaO até 5%. Todas essas frações molares devem ser somadas para
se obter XCaO. Passa-se, então, à figura 3.12 e obtem-se a viscosidade da escória.
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����
����
Outra possibilidade que pode ser adotada para cálculo de viscosidade de escórias é
o uso da equação de viscosidade, que é dada pela seguinte expressão(3):
onde:
µ = viscosidade da escória (kg/m s);
T = temperatura (K);
% i = teor do óxido na escória. !���������%
!
�
���	���������������D���CD�K�
����������	�
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Figura 3.11- Sílica equivalente à alumina, para várias frações molares de Al2O3 e para várias relações
Al2O3 / CaO (1).
����������	�
�������������&�
Figura 3.12- Viscosidade do sistema líquido CaO-SiO2-Al2O3-MgO (1).
����������	�
�������������&�
Exemplo- Estimar a viscosidade de uma escória com a seguinte composição:
CaO = 41,46 % SiO2 = 35 % MgO = 5,62 % Al2O3 = 17,92 %.
Temperatura = 1500 oC.
Usar os três métodos apresentados acima.
Solução- Diagrama de isoviscosidade. A temperatura e o teor de SiO2 estão dentro do
limite de validade da figura 3.10. Logo, marcando-se o ponto referente à composição
da escória nesse diagrama, pode-se determinar a viscosidade da escória. O resultado
é visto no diagrama ternário abaixo. O valor obtido é de 4 P. 
Para aplicar o método da sílica equivalente, calcula-se, inicialmente, a fração molar dos
óxidos na escória. Tem-se:
XCaO = 0,4516
XSiO2 = 0,3558
XAl2O3 = 0,1074
XMgO = 0,0852.
A relação XAl2O3 / XcaO será dada por:
����������	�
�������������&"
8
$O223
8
&D2
� 8
0J2
�
0,1074
0,4516 � 0,0852
� 0,2001
X = 0,1654 a
Tomando a curva correspondente a 0,20, obtem-se uma sílica equivalente de:
Xa = 0,1654. (Observe a figura abaixo).
O valor de (XSiO2 + Xa) é, então: 0,3558 + 0,1654 = 0,5212. Este valor é lançado no
gráfico da figura 3.12, para a temperatura de 1500 oC, obtendo-se uma viscosidade de
4,03 P (log µ = 0,605), conforme mostrado na figura abaixo. 
����������	�
�������������&#
log µ = 0,605
ln µ � �10,3469 � 25144
1773
� 0,096334 (41,46) � 0,118176 (5,62) �
0,0080126 (17,92) � �0,9670
µ � 0,3802 ,�
� �
� 3,802 6
Finalmen
te, usa-se a fórmula de viscosidade, dada pela equação (3.23). Substituindo valores,
obtem-se:
Observa-se que os três métodos forneceram resultados bem semelhantes. 
����������	�
�������������&&
Vários modelos mais elaborados têm sido desenvolvidos para previsão de valores de
viscosidades de diferentes tipos de escórias. Os métodos apresentados acima
representam apenas algumas das alternativas que se tem para avaliação de
viscosidades deste tipo de fluido, de grande importância na metalurgia. 
$"�"$L�) (%
1- G.H. Geiger; D.R. Poirier. Transport Phenomena in Metallurgy. Addison-Wesley
Publishing Company, Massachusetts, 1980, 616 p.
2- J.L.R. Carvalho et alii. Dados Termodinâmicos para Metalurgistas. Edições
Engenharia, Belo Horizonte, 1977, 394 p.
3- L.F.A. Castro et alii. Tecnologia de Fabricação do Gusa Líquido em Altos-fornos.
Volume 9 - Escórias de Alto-forno, 1989.
����������	�
�������������&'Placa superior
Placa inferior
z
z = a
z = b
z = 0
z = L
x
�
[
� �6,25 � 2 � 6,25� � 1 (�
[
[�] �/�, � [�] �)
"M"$)N) !%
1- O perfil de velocidade de um fluido em um dado sistema é expresso por:
 
Faça um esboço desse perfil de velocidades (y varia entre 0 e 0,5 m).
Usando a equação do perfil de velocidade, determinar:
- direção e sentido do fluxo de momento por convecção;
- direção e sentido do fluxo de momento por difusão;
- fluxo de momento por difusão em y=0 m;
- tensão de cisalhamento em y = 0 e y=0,5 m;
O fluido apresenta as seguintes características:
fluido = 3 g/cm3 µfluido = 2 x 10-3 lbm/ft.s
2- Para a figura abaixo, indicar a direção e sentido do transporte de momento por
convecção e difusão. Enuncie a lei de Newton da viscosidade para o caso mostrado.
Explicar todas as respostas dadas.
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�������������&*
3- Calcular as viscosidades do CO2 e N2 no intervalo de 600 a 2000K com incrementos
de 200K. Fazer um gráfico de µN2 e µCO2 �
��9� temperatura (K).
4- Determinar as viscosidades de oxigênio, nitrogênio e metano gasosos a 20ºC e
pressão atmosférica. Fornecer o resultado em centpoise. Comparar com os dados
experimentais abaixo:
µN2 = 0,0175 cP;
µO2 = 0,0203 cP;
µCH4 = 0,0109 cP.
5- a) Calcular a viscosidade do ar a 20ºC, considerando-o como uma mistura de 79%
de N2 e 21% de O2.
2- Comparar o resultado com o valor experimental: 0,01813 cP.
6- Determinar a viscosidade do cromo líquido a 2000ºC. Os dados são:
-ponto de fusão: 1898ºC
-peso atômico: 52,01
-densidade: 7,1 g/cm3
-δ: 2,72 A.
7- Estimar a viscosidade do titânio líquido a 1900ºC. Os seguintes dados são
disponíveis:
-temperatura de fusão: 1800ºC
-massa atômica: 47,9
-densidade: 4,50 g/cm3
-δ : 2,89 A
8- Avaliar a viscosidade do ferro a 1800ºC. Dados:
-temperatura de fusão: 1536ºC
-peso atômico: 55,85
-densidade: 7 g/cm3
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9- Estimar a viscosidade da seguinte escória:
% SiO2 = 45
% CaO = 35
% Al2O3 = 20
a 1500ºC. Usar os três métodos discutidos e comparar os resultados.
10- Calcular a viscosidade da seguinte escória de alto-forno:
% SiO2 = 40
% CaO = 35
% Al2O3 = 18
% MgO = 7
a 1400ºC.
Comparar os resultados obtidos pelos diferentes métodos de cálculo.
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Neste capítulo será desenvolvido o cálculo da distribuição de velocidade de um fluido
que escoa através de sistemas de geometria simples, em fluxo laminar. Para tal, serão
usados os conceitos de viscosidade e de balanço de massa e momento. Inicialmente,
será feita a distinção entre escoamento laminar e turbulento.
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��
���	
��	������������
�
Quando um fluido se move através de um sistema, dois regimes diferentes de
escoamento podem ocorrer. A experiência feita por Reynolds em 1883 demonstra
esses dois tipos de escoamento.
Considere-se, inicialmente, um tubo transparente com água escoando através dele.
Um jato filiforme de tinta é injetado paralelo ao curso do escoamento da água. Para
baixas velocidades do fluido, a tinta escoará em linha reta, sem se misturar com as
camadas adjacentes de água, conforme mostrado na figura 4.1a. Esse tipo de
escoamento é chamado de �	
��	��
À medida que a velocidade da água é aumentada, atinge-se a situação mostrada na
figura 4.1b. A partir de um certo ponto, a água fica toda colorida pela tinta. Esse é o
escoamento turbulento.
O significado do escoamento laminar é que o movimento do fluido é feito através de
camadas infinitesimais de fluido que se movem em trajetórias bem definidas.
No escoamento turbulento, o movimento das partículas do fluido é irregular e as
velocidades são variáveis com o tempo, conforme se observa na figura 4.2, obtida
experimentalmente usando um anemômetro a laser.
O ponto onde ocorre a transição de um regime de escoamento para o outro é
determinado experimentalmente e varia de acordo com a configuração do sistema.
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Figura 4.1 - Vista esquemática da experiência de Reynolds.
Figura 4.2- Medidas de velocidade no centro de um tubo de 22 mm de diâmetro,
usando anemometria a laser. Número de Reynolds = 6500(1).
Normalmente, o critério para se saber o tipo de escoamento que prevalece no fluido
é estipulado através de uma grandeza adimensional denominada ������� ��
	�
�����. Esse número é definido genericamente através da seguinte relação:
��������	
����
�	�����
����������
���	
�����������������
�
 � 
 �
µ
(4.1)
�
 � � �
µ
(4.2)
onde:
L = dimensão característica (definida de acordo com a configuração do sistema);
 = velocidade média do fluido no tubo;�
ρ = densidade do fluido;
µ = viscosidade dinâmica do fluido.
(Verificar que Re é um número adimensional).
No caso de tubos, a dimensão característica é o diâmetro. Dessa forma, o número de
Reynolds em tubos é definido por:
onde:
D = diâmetro do tubo.
O valor do número de Reynolds para o qual ocorre a transição de escoamento laminar
para turbulento �
�
���� é de aproximadamente 2100. Esse número foi determinado
empiricamente. Sistemas com outras configurações apresentam transição em outros
valores de números de Reynolds.
�� ��!	�	�"���#��$	��	���#��$�
��
�
Nesse item, será desenvolvida a metodologia que é normalmente utilizada na obtenção
de perfis de velocidade de fluidos, escoando sob regime laminar em sistemas de
geometria simples. O uso inicial de geometrias simples tem a finalidade de reduzir a
complexidade matemática e enfatizar os conceitos de Fenômenos de Transporte.
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����
�	�����
����������
���	
�����������������
A determinação dos perfis de velocidade de fluidos é feita através do desenvolvimento
de balanços de massa e de momento e da aplicação da equação de Newton da
viscosidade.
Nos problemas de engenharia, que envolvem o escoamento de um fluido, é importante
se determinar uma relação matemática entre a força motriz para o escoamento do
fluido ocorrer e a vazão do fluido no sistema em análise. Trata-se, portanto, de uma
relação de causa (força motriz) e efeito (vazão do fluido). Além desta relação, outras
informações adicionais podem também ser obtidas: 
� velocidade máxima;
� velocidade média;
� tensão de cisalhamento nas paredes do duto por onde o fluido escoa.
O tratamento matemático desse tipo de problema é feito através do desenvolvimento
de balanços de massa e momento aplicados ao sistema em estudo. As diferenças
principais destes balanços em relação àqueles que são feitos na termodinâmica e na
cinemática clássica são:
� os balanços são desenvolvidos considerando o aspecto tempo, ou seja, são
avaliadas as 
	%	� de entrada e saída de massa e momento. Na termodinâmica, o
balanço de massa não considera a variável tempo, adotando-se uma referência
arbitrária, normalmente vinculada à quantidade de produto gerado ou de matérias-
primas utilizadas;
� os balanços são aplicados a porções infinitesimais do sistema e não ao sistema
como um todo, como ocorre na termodinâmica e na cinemática. Esses balanços
infinitesimais são, então, integrados para se obter informações globais sobre o
sistema.
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O balanço de massa é estabelecido a partir do princípio de conservação de massa (��
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