banco 1 de provas

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SEQUÊNCIAS, SÉRIES, SÉRIES DE POTÊNCIAS E DE TAYLOR
(PROVAS ANTERIORES)
M. AYMONE
Problema 1. .
a) Dê um exemplo de uma série condicionalmente convergente e de uma série absolutamente
convergente.
b) Existe uma série convergente S :=
∑∞
n=1 an tal que limn→∞ an = c onde c 6= 0?
Problema 2. Em cada item decida se a série é convergente ou divergente e justifique sua
afirmação:
a)
∞∑
n=1
(−1)n+1
lnn
.
b)
∞∑
n=1
(
5n+ 1
15n+ 1
)n
.
Problema 3. Calcule o raio de convergência da série de potências F (x) :=
∞∑
k=1
xn
n5
e calcule
a série de potências de
d
dxF (x).
Problema 4. O número pi2 = 9.86960440109... pode ser calculado segundo a série alternada
∞∑
k=1
(−1)n+1 · 12
n2
= pi2
ou segundo a série
∞∑
k=1
6
n2
= pi2.
Justifique as seguintes afirmações:
a) Para determinar pi2 com precisão até a centésima casa decimal é suficiente somar os 1051
primeiros termos da série
∞∑
k=1
12 · (−1)n+1
n2
.
b) Para determinar pi2 com precisão até a centésima casa decimal é necessário somar os
10100 primeiros termos da série
∞∑
k=1
6
n2
.
Problema 5. Seja f(x) = cos( 1x ) para x > 0 e f(1) = 1. Calcule o limite da sequência
{f(an)}∞n=1 quando:
i) an =
1
2npi ;
ii) an =
1
(2n+1)pi ;
iii) A função f é contínua em x = 0?
M. AYMONE
Problema 6. .
a) Dê um exemplo de uma sequência convergente. Dê um exemplo de uma sequência {an}∞n=1
divergente tal que |an| ≤ 1 para todo n.
b) Seja S :=
∞∑
n=1
an uma série convergente. O que se pode dizer sobre a convergência da
série T :=
∞∑
n=1
bn onde bk = k para 1 ≤ k ≤ 100 e bk = ak para todo k > 100?
Problema 7. Em cada item decida se a sequência é convergente ou divergente e no caso de
convergência calcule o seu limite:
a) an = sin
(
npi
2
)
.
b) an =
(−1)n+1
n .
Problema 8. Em cada item decida se a série é convergente ou divergente e no caso de
convergência indique se é condicional ou absoluta:
a)
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
.
b)
∞∑
n=1
(−1)n+1
2n
.
Problema 9. Calcule o raio de convergência das séries de potências
∞∑
n=1
xn
2n
e
∞∑
n=1
x2n
2n
.
Problema 10. Seja f : R→ R definida por f(x) := cos(x).
a) Supondo que f possui representação em série de potências f(x) =
∑∞
n=0 anx
n
com raio
de convergência infinito, calcule an para cada n.
b) Justifique por que f possui representação em série de potências com raio de convergência
infinito.
Problema 11 (Difícil). Seja {an}n∈N uma sequência de números não negativos tal que∑∞
k=1 ak é uma série convergente.
a) Mostre que para todo β ≥ 1 a série
∞∑
k=1
aβk é convergente.
b) Mostre que a afirmação do item anterior é falsa se 0 < β < 1, ou seja, mostre que existe
uma série convergente de termos não negativos
∑∞
k=1 ak e um número 0 < c < 1 tal que a
série
∑∞
k=1 a
c
k é divergente.
Problema 12. Justifique ou dê contra-exemplo.
a) Toda série convergente converge absolutamente?
b) Seja Sn :=
n∑
k=1
ak. Suponha que Sn =
1
ln(n+1) . Encontre o valor de an para cada n ∈ N.
A série
∞∑
k=1
ak é convergente ou divergente? Justifique.
SEQUÊNCIAS, SÉRIES, SÉRIES DE POTÊNCIAS E DE TAYLOR (PROVAS ANTERIORES)
Problema 13. Em cada item decida se a série é convergente ou divergente. No caso de
convergência indique se é condicional ou absoluta:
a)
∞∑
k=1
1√
k
.
b)
∞∑
k=1
(−1)k+1√
k
.
Problema 14. .
a) Calcule o raio de convergência da série de potências 1 +
∞∑
k=1
(−1)kxk.
b) Usando que
1
1 + x
= 1 +
∞∑
k=1
(−1)kxk, calcule a série de potências da função ln(1 + x) e
o raio de convergência dessa série de potências.
Problema 15. Dê um exemplo de uma série convergente S :=
∞∑
k=1
ak tal que |ak| > 0 para
cada k e |S − Sn| ≤ 12n+1 , onde Sn :=
n∑
k=1
ak.
Problema 16. Seja {an}∞n=1 tais que an ≥ 0 para todo n. Seja Sn := a1 + ...+ an. Prove
que somente uma das afirmações ocorre:
i) Ou Sn converge;
ii) Ou Sn diverge para infinito;
Problema 17 (Muito difícil). Prove que se {an}∞n=1 é convergente, então
Mn :=
1
n
n∑
k=1
ak
satisfaz limn→∞Mn = limn→∞ an.