prim prova 2015 01

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PRIMEIRA PROVA - CÁLCULO 2
06 DE ABRIL DE 2015
Problema 1. Defina série convergente, absolutamente convergente e condicionalmente con-
vergente.
Problema 2. Determine a convergência das seguintes séries e indique se é absoluta ou
condicional: ∞∑
n=1
n
2n+ 1
;
∞∑
n=1
(−1)n lnn
n
;
∞∑
n=1
n
2n
.
Problema 3. Enuncie a desigualdade de Taylor e a utilize para mostrar que f(x) = sen(x)
possui representação em série de potências.
Problema 4. Seja f(x) = arctan(x). Usando que f ′(x) = 11+x2 e que a série de potências
1
1−x =
∑∞
n=0 x
n
possui raio de convergência R = 1, mostre que f possui representação em
série de potências em torno de x = 0, determine essa representação e o raio de convergência.
Problema 5. Seja sk :=
∑k
n=0
4(−1)n
2n+1 . Usando que limk→∞ sk = pi, determine um valor
suficiente de k0 para o qual as n primeiras casas decimais de sk são iguais as de pi, para todo
k ≥ k0.