ECT1303-2013.1-Aula11-Solucao_Sistemas_LinearesII

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UFRN 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Escola de Ciências e Tecnologia 
Solução de Sistemas de 
Equações Lineares 
Parte II: Efeitos da aritmética 
flutuante e pivotação 
ECT1303 – Computação Numérica 
• Manter o telefone celular sempre 
desligado/silencioso quando estiver em 
sala de aula; 
• Nunca atender o celular na sala de aula. 
Introdução 
Até aqui, utilizamos a aritmética exata para a 
resolução de sistemas lineares. 
Está na hora de verificar se a aritmética flutuante 
utilizada pelos computadores tem influência sobre 
os resultados. 
De fato, veremos que certas matrizes são muito 
sensíveis aos efeitos da aritmética flutuante. 
Exemplo 1 
Considere o sistema: 
 cuja solução exata é x = [4 3]T 
Se trocamos o termo 1,1 da matriz por 1,05, a nova 
solução exata é x = [8 1]T. 
Uma pequena modificação no termo de uma matriz 
pode levar a uma grande modificação da solução 
exata. 
Na prática, a aritmética flutuante provoca pequenas 
modificações nos termos de uma matriz, o que se 
reflete nos métodos exatos de resolução. 


















4,10
10
21,1
21
2
1
x
x
Exemplo 2 – parte I 
Considere o sistema: 
 
 
 cuja solução exata é x = [10 1]T 
Suponha que iremos realizar a eliminação de Gauss 
utilizando aritmética de 4 dígitos de precisão. 
Note que o primeiro pivô é pequeno a11=0,003, e seu 
multiplicador associado, m21=5,291/0,003 = 
1763,666..., é arredondado para 1764. 





78,46130,6291,5
17,5914,59003,0
21
21
xx
xx
Exemplo 2 – parte II 
A eliminação de Gauss fornece: 
 
 
Os módulos de m21a13 e a23 introduziu erros de 
arredondamento. 
A substituição regressiva resulta em: 
 





104400104300
17,5914,59003,0
2
21
x
xx
1010
1001,1
1
2


x
x
Como podemos limitar estes erros? 
Pivotamento Parcial 
Uma primeira possibilidade consiste em aumentar a 
precisão da mantissa p, porém isso nem sempre é 
possível. 
Analisando os cálculos precedentes, pode-se 
suspeitar que a origem dos problemas é a divisão 
por um pivô quase nulo. 
Sabemos que tal operação é perigosa 
numericamente. 
Uma estratégia consiste então em permutar as linhas 
mesmo se o pivô não é exatamente nulo. 
Pivotamento Parcial 
 
O pivotamento parcial consiste na troca de linhas 
de um sistema: selecionar um elemento na 
mesma coluna que esteja abaixo da diagonal 
principal e que tenha o maior módulo para ser o 
pivô. 
Exemplo 2 – parte IV 
Retomando a eliminação de Gauss do exemplo 
(ainda com p=4) com pivotamento parcial, teremos 
agora: 
 
 
O multiplicador será, m21 = 0,000567, e o resultado 
após a substituição: 
 x = [10 1]T 
... igual a solução exata 





17,5914,59003,0
78,46130,6291,5
21
21
xx
xx
Exemplo 3 – parte I 
A estratégia de pivotamento parcial geralmente 
melhora a precisão dos resultados, porém nem 
sempre esta operação é suficiente. 
Considere o sistema 
 
 que é o mesmo do exemplo anterior multiplicando 
a primeira equação por 104 . 
Por Gauss chegamos a x= [-10, 1,001]t . 
 





78,46130,6291,5
59170059140030
21
21
xx
xx
Exemplo 3 – parte II 
Mais uma vez, o erro é considerável com relação à 
solução exata. 
Isto ocorre porque a matriz A é constituída de termos 
de ordem de grandeza completamente diferentes. 
Dimensionamento 
Uma solução parcial para o problema do exemplo 
anterior é efetuar o dimensionamento (mudança de 
escala) dos coeficientes da matriz. 
 
 
 
Atenção! O termo da direita b não é levado em 
consideração para se determinar o maior termo de 
cada linha. 
O dimensionamento consiste em dividir cada 
linha da matriz A pelo seu maior termo 
(em valor absoluto). 
Exemplo 3 – parte III 
O sistema 
 se torna então 
 
 
 Agora, a troca de linhas é necessária, pois o pivô 0,5x 
10-4 é muito pequeno. 
Podemos mostrar que a resolução em aritmética 
flutuante com p=4 fornece a solução 
 x = [10 1]T, 
 que é o resultado exato. 





78,46130,6291,5
59170059140030
21
21
xx
xx





6313,78631,0
0005,100005,0
21
21
xx
xx
Pivotação Completa 
• A pivotação completa, no k-ésimo passo, busca todos os 
elementos aij para i=k, k+1, ..., n, e j= k, k+1, ..., n, para achar o 
elemento com o maior módulo. Ambas as trocas de linhas e 
colunas são executadas para trazer esse elemento à posição 
pivô. 
 
 
 
 
• O número de operações acrescentadas é maior se comparado 
a pivotação parcial com dimensionamento. Porém, a precisão 
é maior e não realiza a operação de divisão na etapa de 
pivotação. 
Na Pivotação completa ocorre tanto permutação 
de linhas quanto colunas, de forma que o maior 
elemento possível seja o pivô. 
Exercício 
• Para o sistema 
 
• Cuja solução real é [100, 1], encontre utilizando Gauss e 
uma precisão de três dígitos: 
– A solução sem pivotação; 
– A solução com pivotação parcial; 
– A solução com pivotação parcial e dimensionamento; 
– A solução com pivotação total. 





0,4710,631,5
2,599,58003,0
21
21
xx
xx