UNIDADE 4 - Aula 4 - Variável aleatória definição, tipo e características

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UNIDADE 4 – NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
1. Variável aleatória: definição, tipo e características. 
4.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 Um corretor de seguros recebe uma comissão de 
R$50,00 a cada novo seguro que vende. 
 
 A probabilidade de um determinado perfil de 
cliente adquirir o seguro é de 0,20. 
 
 Descreva como pode se comportar a comissão se o 
corretor abordar 2 clientes. 
 
 C: Compra o seguro; 
 N: Não compra o seguro. 
4.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 Quais são todos os possíveis resultados? 
 
 O cliente 1 compra e o cliente 2 compra: (C,C); 
 
 O cliente 1 compra e o cliente 2 NÃO compra: (C,N); 
 
 O cliente 1 NÃO compra e o cliente 2 compra: (N,C); 
 
 O cliente 1 NÃO compra e o cliente 2 NÃO compra: (N,N). 
 
4.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 Quais são as comissões? 
 
 O cliente 1 compra e o cliente 2 compra: (C,C) = 100 
 
 O cliente 1 compra e o cliente 2 NÃO compra: (C,N) = 50 
 
 O cliente 1 NÃO compra e o cliente 2 compra: (N,C) = 50 
 
 O cliente 1 NÃO compra e o cliente 2 NÃO compra: (N,N) = 0 
 
4.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 A variável aleatória relaciona cada ponto 
amostral (cada possível realização de um evento) 
à um número: 
Ω 
(C,C) 
 
(C,N) 
 
(N,C) 
 
(N,N) 
100 
50 
0 
X 
4.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 Suponha que para cada ponto de um espaço 
amostral a gente consiga definir um número. 
 
 Assim, temos uma função definida no espaço 
amostral. 
 
 Essa função é chamada de variável aleatória. 
 
4.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA - EXEMPLO 
 Uma moeda é lançada duas vezes (K= coroa; C=Cara). 
 
 O espaço amostral é Ω = { KK, KC, CK, CC} 
 
 Defina a variável aleatória X como sendo o nº de caras que 
aparecem. 
 
 Para cada ponto no espaço amostral, podemos, então, definir um 
nº: 
 
 
 
Ponto: KK KC CK CC 
X: 0 1 1 2 
4.2 TIPOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 Temos dois tipos de variáveis aleatórias: 
 
 As variáveis aleatórias DISCRETAS; e 
 
 As variáveis aleatórias CONTÍNUAS. 
 
 Discreta: Quando a variável recebe valores 
finitos ou infinitos enumeráveis. 
 Exemplos: Idade (anos), nº de filhos 
 
 Contínua: Quando os valores estão dentro de um 
intervalo ou conjunto de intervalos contínuos . 
 Exemplos: Tempo de duração, temperatura. 
 
 
4.3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS - EXEMPLOS 
 Uma indústria de aviões recebe pedidos de um determinado tipo 
dejato comercial por ano (X: 0, 1, 2, 3, 4, ...); 
 
 Um empresário com 20 escritórios comerciais quer saber o número de 
escritórios que estão alugados por mês (X: 0, 1, 2, 3, ...., 20); 
 
 Número de vendas num dia de funcionamento de uma loja (X: 0, 1, 2, 
...); 
 
 Número de chamadas telefônicas recebidas numa central num dia (X: 
0,1, 2, ...); 
 
 Um vendedor de seguros aborda 5 clientes por dia, recebendo 50,00 de 
comissão a cada venda. A variável de interesse é o ganho diário do 
vendedor (X: 0,00; 50,00; 100,00; 150,00; 200,00; 250,00); 
 
 Número de peças defeituosas num lote com 30 peças (X: 0, 1,..., 30) 
4.4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS - EXEMPLOS 
 Y: Tempo de execução de uma tarefa; 
 
 Z: Nível de colesterol no sangue; 
 
 T: Altura de trabalhadores de uma certa região; 
 
 W: Tempo de espera em uma fila bancária: t≥0; 
 
 U: Intenção de votos em um candidato em uma certa 
semana: 0 ≤x ≤1; 
 
 S: Variação do Real frente ao Dólar em um certo dia: 
-∞≤y ≤+∞ 
4.5 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA 
 
 Um corretor de seguros recebe uma comissão de 
R$50,00 a cada novo seguro que vende. A 
probabilidade de um determinado perfil de cliente 
adquirir o seguro é de 0,20. Descreva como pode se 
comportar a comissão se o corretor abordar 2 clientes. 
 
 C:o cliente compra o seguro; 
 N:o cliente não compra o seguro. 
 
P(C) = 0,2 P(N)=0,8 
4.5 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA 
 
 Ao abordar 2 clientes, os eventos possíveis são: 
 
 
1 º Cliente 2 º Cliente Comissão P(Comissão) 
C C 100 0,04 
C N 50 0,16 
N C 50 0,16 
N N 0 0,64 
Espaço amostral 
4.5 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA 
 
 Ao abordar 2 clientes, os eventos possíveis são: 
 
 
 
 
 
 
 
 A distribuição de probabilidade é uma função que 
associa uma probabilidade a cada valor da variável 
aleatória. 
 
 
Comissão P(Comissão) 
100 0,04 
50 0,32 
0 0,64 
Variável 
Aleatória 
Distribuição da 
Probabilidade 
4.5 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA 
 
 Seja X a variável aleatória “Comissão”. 
 
 A função P(X=x) só será uma distribuição de probabilidades se: 
 
 Para todo P(X=x), temos uma probabilidade entre 0 e 1. 
 
 A soma de todos os P(X=x) tem que ser igual a 1. 
 
 X P(X=x) 
100 0,04 
50 0,32 
0 0,64 
Soma = 1,00 
4.6 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA - EXEMPLO 
 Ache a distribuição de probabilidade da variável 
aleatória X: número de caras em 2 lançamentos. 
 
 
 
 Se a moeda for balanceada, temos: 
 
P(KK) = ¼; P(KC) = ¼; P(CK) = ¼ ; P(CC) = ¼ 
 
 Assim: 
P(X=0) = ¼; P(X=1) = ¼+¼ = ½ ; P(X=2) = ¼ 
 
 
Ponto: KK KC CK CC 
X: 0 1 1 2 
4.6 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA - EXEMPLO 
 Então, a tabela de distribuição de probabilidade 
para esse problema é: 
x 0 1 2 
P(X=x) 1/4 1/2 1/4 
 
 
 Um corretor de seguros recebe uma comissão de R$50,00 a 
cada novo seguro que vende. A probabilidade de um 
determinado perfil de cliente adquirir o seguro é de 0,20. 
Descreva como pode se comportar a comissão se o corretor 
abordar 2 clientes. 
 
 C:o cliente compra o seguro; 
 N:o cliente não compra o seguro. 
 
P(C) = 0,2 P(N)=0,8 
 
 
 
 Qual a comissão média recebida pelo corretor ao 
abordar 2 clientes? E o desvio padrão da comissão? 
4.7 VALOR ESPERADO DE UMA VARIÁVEL DISCRETA 
4.7 VALOR ESPERADO DE UMA VARIÁVEL DISCRETA 
 O valor esperado, esperança, ou média, de uma 
variável aleatória é uma medida da localização 
central dada por : 
 
 ∑ ===
x
xXxPXE )()( µ
4.8 VARIÂNCIA DE VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA 
 A variância de uma variável aleatória é dada por: 
 
 
 
 
 O desvio-padrão é a raiz quadrada dessa 
variância. 
 
∑ =−==
x
xXPxXVar )()()( 22 µσ
∑ =−=
x
xXPx )()( 2µσ
 
 
 Seja X a variável aleatória “Comissão”. 
 
 
 
 
 
 
 A comissão esperada, ou comissão média é: 
 
 
 
X P(X=x) 
100 0,04 
50 0,32 
0 0,64 
4.9 VALOR ESPERADO DE UMA VARIÁVEL DISCRETA – EXEMPLO 1 
20
0164
64,0*032,0*5004,0*100
)(*)(*)(*)( 332211
=
++=
++=
=+=+== xXPxxXPxxXPxXE
 
 
 Seja X a variável aleatória “Comissão”. 
 
 
 
 
 
 O desvio-padrão é: 
 
 
 
X P(X=x) 
100 0,04 
50 0,32 
0 0,64 
4.9 DESVIO-PADRÃO DE UMA VARIÁVEL DISCRETA – EXEMPLO 1 
20)( == µXE
2843,28
800
256288256
64,0*)200(32,0*)2050(04,0*)20100(
)(*)()(*)()(*)(
222
3
2
32
2
21
2
1
≈
=
++=
−+−+−=
=−+=−+=−= xXPxxXPxxXPx µµµσ
4.10 VALOR ESPERADO DE UMA VARIÁVEL DISCRETA – EXEMPLO 2 
 Seja a tabela de distribuição de probabilidades do 
problema das moedas: 
 
 
 
 
 O valor esperado é: 
x 0 1 2 
f(x) 1/4 1/2 1/4 
14/1*22/1*14/1*0
)2(*2)1(*1)0(*0)(
=++=
=+=+=== XPXPXPXE µ
4.10 VARIÂNCIA DE VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA – EXEMPLO 2 
 Seja a tabela de distribuição de probabilidades do 
problema das moedas: 
 
 
 
 
 A variância é: 
x 0 1 2 
f(x) 1/4 1/2 1/4 
2/14/14/1
4/1*)12(2/1*)11(4/1*)10()( 2222
=+=
−+−+−==σXVar
4.11 EXEMPLO 3 
 Em um determinado condomínio residencial: 
 30% das famílias não têm filhos; 
 40% das famílias têm um filho; 
 20% das famílias têm dois filhos; 
 10% das famílias têm três filhos. 
 
 Seja X o nº defilhos de uma família sorteada ao acaso desse 
condomínio. 
 
 Então X é uma variável aleatória discreta com distribuição de 
probabilidade dada pela tabela a seguir: 
x 0 1 2 3 
P(X=x) 0,3 0,4 0,2 0,1 
4.11 EXEMPLO 3 
 Então X é uma variável aleatória discreta com distribuição de 
probabilidade dada pela tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
 O valor esperado do número de filhos é dado por: 
 E(X) = 0*P(X=0) + 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + 3*P(X=3) 
 = 0*0,3 + 1*0,4 + 2*0,2 + 3*0,1 = 1,1 filho por família. 
 
 
 
x 0 1 2 3 
P(X=x) 0,3 0,4 0,2 0,1 
4.11 EXEMPLO 3 
 Então X é uma variável aleatória discreta com distribuição de 
probabilidade dada pela tabela a seguir: 
 
 
 
 
 A variância é dada por: 
Var(X)=(0-1,1)2*P(X=0) + (1-1,1)2*P(X=1) + (2-1,1)2*P(X=2) + (3-1,1)2*P(X=3) 
 = 1,21*0,3 + 0,01*0,4 + 0,81*0,2 + 3,61*0,1 = 0,89 
 
 O desvio padrão é: 
DP(X) = √0,89 = 0,943 filhos 
 
 
 
x 0 1 2 3 
P(X=x) 0,3 0,4 0,2 0,1 
	Unidade 4 – Noções de Probabilidade
	4.1 Variável Aleatória
	4.1 Variável Aleatória
	4.1 Variável Aleatória
	4.1 Variável Aleatória
	4.1 Variável Aleatória
	4.1 Variável Aleatória - Exemplo
	4.2 Tipos de Variáveis Aleatórias
	4.3 Variáveis Aleatórias Discretas - Exemplos
	4.4 Variáveis Aleatórias Contínuas - Exemplos
	4.5 Distribuição de probabilidade Discreta
	4.5 Distribuição de probabilidade Discreta
	4.5 Distribuição de probabilidade Discreta
	4.5 Distribuição de probabilidade Discreta
	4.6 Distribuição de probabilidade Discreta - Exemplo
	4.6 Distribuição de probabilidade Discreta - Exemplo
	4.7 Valor Esperado de uma variável discreta
	4.7 Valor Esperado de uma variável discreta
	4.8 Variância de variável aleatória discreta
	4.9 Valor Esperado de uma variável discreta – Exemplo 1
	4.9 Desvio-Padrão de uma variável discreta – Exemplo 1
	4.10 Valor Esperado de uma variável discreta – Exemplo 2
	4.10 Variância de variável aleatória discreta – Exemplo 2
	4.11 Exemplo 3
	4.11 Exemplo 3
	4.11 Exemplo 3