UNIDADE 4 - Aula 3 - Análise Combinatória

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UNIDADE 4 – NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
1. Análise Combinatória 
4.1 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 Em muitos casos, o número de observações de um 
espaço amostral não é muito grande. 
 Então, contar quantas observações compreendem um 
evento (ou o número total de observações) não é uma 
tarefa difícil. 
 
 No entanto, os problemas surgem quando os 
processos de contagem são impraticáveis. 
 
 Em tais casos, usa-se a análise combinatória. 
4.2 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
 Se uma coisa pode ser feita de n1 maneiras diferentes 
e, após isso, uma segunda coisa puder ser feita de n2 
maneiras diferentes, ..., e a última k-coisa puder ser 
feita de nk maneiras diferentes, então todas essas k 
coisas podem ser feitas, na ordem especificada, em n1 * 
n2 * ... * nk maneiras diferentes. 
 
 Exemplo: Se um homem tem 2 camisas e 4 gravatas, 
então ele tem 2*4=8 maneiras de escolher uma 
camisa e, depois, uma gravata. 
 
 O diagrama de árvore é muito usado para se verificar 
este princípio. 
 
 
4.3 DIAGRAMA DE ÁRVORE 
 Exemplo: Se um homem tem 2 camisas e 4 
gravatas, então ele tem 2*4=8 maneiras de 
escolher uma camisa e, depois, uma gravata. 
Gravata 1 
Gravata 2 
Gravata 3 
Gravata 4 
Gravata 1 
Gravata 2 
Gravata 3 
Gravata 4 
4.4 PERMUTAÇÕES (ARRANJOS) 
 Quando a ordem em que os elementos se dispõem é 
importante, o número total de resultados possíveis é conhecido 
como arranjo ou permutação. 
 
 Suponhamos que haja quatro times de futebol num torneio. 
 
 De quantas maneiras pode apresentar-se o resultado final? 
 
 Imaginamos quatro compartimentos a preencher: vencedor, 
segundo, terceiro e último. 
 
 Podemos preencher o compartimento vencedor com qualquer 
dos quatro times. Restam então três compartimentos e três 
times. 
 
 O segundo colocado pode ser qualquer dos três times restantes. 
)!(
!)1)...(2)(1(n rn
nrnnnnPr −
=+−−−=
!)1)...(2)(1(n nnnnPr =−−=
4.4 PERMUTAÇÕES (ARRANJOS) 
 Podemos preencher o compartimento vencedor com qualquer dos 
quatro times. Restam então três compartimentos e três times. 
 
 O segundo colocado pode ser qualquer dos três times restantes. 
 
 O terceiro lugar pode ser ganho por qualquer dos dois times 
restantes e, finalmente, apenas um time será o último colocado. 
 
 O número total de resultados será: 
 
 4 x 3 x 2 x 1 = 24 
1º colocado 2º colocado 3º colocado 4º colocado 
4.4 PERMUTAÇÕES (ARRANJOS) 
 Suponha que tenhamos n objetos distintos e queremos colocar r objetos em 
linha . 
 
 Uma vez que existem n maneiras de se escolher o 1º objeto, teremos (n-1) 
maneiras de escolher o 2º objeto, ..., e, finalmente, (n-r+1) maneiras de 
escolher o r-ésimo objeto. 
 
 Segue do princípio fundamental da contagem, que o número de 
permutações que podemos fazer é dado por: 
 
 
 
 
 Chamamos nPr de “número de permutações de n objetos tomados r”. 
 
 No caso particular em que r=n, a fórmula acima se transforma em: 
 
 
 
 
)!(
!)1)...(2)(1(n rn
nrnnnnPr −
=+−−−=
!)1)...(2)(1(n nnnnPr =−−=
4.4 PERMUTAÇÕES (ARRANJOS) - EXEMPLO 
 Sejam as 7 letras: A, B, C, D, E, F, G 
 
 Quantos arranjos de 3 letras podemos fazer a 
partir destas 7? 
 
 Temos que n=7 e r=3, então: 
2105*6*7
)!4(
!7
)!37(
!7
37 ===−
=P
4.4 PERMUTAÇÕES (ARRANJOS) 
 Quando temos permutações com repetição, ou seja, no 
caso onde alguns itens são idênticos, e a ordem é 
importante, o cálculo para o número de permutações 
distintas é dado por: 
)!)...(!)(!)(!(
!
321
,...,, 21
k
nnn
n nnnn
nP k =
4.4 PERMUTAÇÕES (ARRANJOS) – EXEMPLO 2 
 Quantas permutações distintas de 3 letras podemos 
formar com as letras R R R R U U U N ? 
 
 
4.4 PERMUTAÇÕES (ARRANJOS) – EXEMPLO 2 
 Quantas permutações distintas de 3 letras podemos 
formar com as letras R R R R U U U N ? 
 
 Há 8 letras: 4 R’s, 3 U’s e 1 N. 
 
 Donde 
 
 
280
)!1)(!3)(!4(
!81,3,4
8 ==P
4.5 COMBINAÇÕES 
 Na permutação, estamos interessados na ordem do arranjo. 
 Por exemplo, “ABC” é diferente de “BCA”. 
 
 Contudo, em muitos problemas, estamos apenas interessados em 
selecionar os objetos, sem que tenhamos que considerar a ordem. 
 Por exemplo, “ABC” possui a mesma combinação de letras de 
“BCA”. 
 
 Tais seleções são chamadas de combinações. 
 
 O número total de combinações de r objetos selecionados de n 
(“combinação de n coisas tomadas r”) é dado por: 
 
 
. )!(!
!
rnr
nCrn −
=
4.6 COMBINAÇÕES - EXEMPLO 
 O número de maneiras em que 3 cartas podem 
ser escolhidas de um total de 8 cartas diferentes 
é: 
 
 Temos que n=8 e r=3: 
 
 
56
!3
6*7*8
)!5(!3
!8
)!38(!3
!8
38 ===−
=C
4.7 PROBABILIDADE – MÉTODOS DE SELEÇÃO 
 Existem duas maneiras de selecionarmos 
unidades para a nossa amostra: 
 
 Sem reposição: O elemento selecionado não retorna 
para a amostra e as probabilidades de seleção 
mudam. 
 
 Com reposição: O elemento selecionado retorna para 
a amostra e as probabilidades de seleção continuam 
iguais. 
4.8 SELEÇÃO SEM REPOSIÇÃO - EXEMPLO 
 Uma caixa contém 8 bolas vermelhas, 3 bolas 
brancas e 9 bolas azuis. 
 Se 3 bolas são retiradas aleatoriamente sem 
repetição, determine a probabilidade de: 
 
 A) Obter 3 bolas vermelhas 
 
4.8 SELEÇÃO SEM REPOSIÇÃO - EXEMPLO 

4.8 SELEÇÃO SEM REPOSIÇÃO - EXEMPLO 

4.8 SELEÇÃO COM REPOSIÇÃO - EXEMPLO 

	Unidade 4 – Noções de Probabilidade
	4.1 Análise Combinatória
	4.2 princípio Fundamental da Contagem
	4.3 Diagrama de Árvore
	4.4 Permutações (Arranjos)
	4.4 Permutações (Arranjos)
	4.4 Permutações (Arranjos)
	4.4 Permutações (Arranjos) - Exemplo
	4.4 Permutações (Arranjos)
	4.4 Permutações (Arranjos) – Exemplo 2
	4.4 Permutações (Arranjos) – Exemplo 2
	4.5 Combinações
	4.6 Combinações - Exemplo
	4.7 Probabilidade – Métodos de Seleção
	4.8 Seleção Sem Reposição - Exemplo
	4.8 Seleção Sem Reposição - Exemplo
	4.8 Seleção Sem Reposição - Exemplo
	4.8 Seleção Com Reposição - Exemplo