Apostila de Lajes

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UFPa – ESTRUTURAS DE CONCRETO II – Prof Ronaldson Carneiro - Nov/2006 
1. INTRODUÇÃO 
 
1. DEFINIÇÃO: Elementos planos (placas), geralmente em posição horizontal, que 
apresentam uma dimensão, a espessura, muito menor em relação às demais. As lajes 
recebem os carregamentos atuantes e os transferem aos apoios dispostos no 
contorno, geralmente vigas, e destes para os pilares até as fundações. Nas estruturas 
usuais, as lajes respondem por aproximadamente 50 % do consumo de concreto. 
 
1.2. Tipos de lajes 
 
a. Lajes maciças: De seção homogênea, executadas sobre formas, que as 
moldam, e escoramentos, que as sustentam até que adquiram resistência 
própria. Recomendadas para vãos até 6 metros de comprimento. 
 
b. Lajes nervuradas: Apresentam nervuras, onde ficam concentradas as 
armações, entre as quais podem ser colocados materiais inertes (isopor, tijolo, 
etc.) com função de enchimento, o que simplifica a forma (plana) e deixa a 
superfície inferior lisa para receber o acabamento. Esse sistema é empregado 
em grandes vãos, onde é necessário trabalhar com espessuras elevadas a fim 
de atender as flechas e solicitações. A necessidade de espessuras elevadas 
inviabiliza o emprego de lajes maciças em razão do consumo de concreto e do 
peso próprio elevado, o que não acontece nas nervuradas, pois parte do 
concreto é retirado ou substituído por um material mais leve, colocado entre as 
nervuras, ficando a armação concentrada em faixas (nervuras) para atender às 
solicitações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c. Lajes lisas (cogumelo): São lajes apoiadas diretamente pelos pilares (sem 
vigas). Esse tipo de laje apresenta diversas vantagens: facilidade de execução 
(forma e armação), redução de pé direito, facilita a passagem de tubulações 
(elétrica, hidráulica, ar condicionado, etc.), flexibiliza o arranjo de alvenarias 
e/ou divisórias (forro liso), etc. Apesar das inúmeras vantagens, ausência de 
vigas torna o sistema mais flexível, comprometendo estabilidade horizontal. A 
possibilidade de ruptura por punção e colapso progressivo deve ser 
cuidadosamente analisada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. Lajes pré-moldadas (treliçadas): Trata-se de lajes nervurada com nervuras 
parcialmente pré-moldadas. A armação fica concentrada nas nervuras. Tem a 
vantagem da pré-fabricação, reduzindo o uso de formas e escoramentos, com 
conseqüente redução de custos e aumento de produtividade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES MACIÇAS 
 As lajes podem ser classificadas quanto aos seguintes aspectos: 
 
• Quanto ao tipo de apoio: 
As lajes podem apresentar os seguintes tipos de apoio (vínculo): 
 
 
 
 
simplesmente 
apoiado engastado
Livre (sem apoio)Tipo de apoio
representação
A borda da laje simplesmente apoiada permite a rotação, enquanto o engastado é 
impedido de girar. O engastamento depende da rigidez do apoio, ou seja, da rigidez do 
elemento onde a laje pretende se engastar. Na realidade, é muito difícil garantir o 
engastamento perfeito, sendo mais freqüente o engastamento parcial. Deve-se 
destacar que a existência de armação de ligação de uma laje com o apoio, 
normalmente, a laje vizinha, NÃO garante o engastamento, é preciso que a rotação 
seja impedida, daí a importância da rigidez do apoio. A figura abaixo exemplifica a 
representação da vinculação das lajes. 
 bordas 
simplesmente 
apoiadas
borda 
engastada
borda livre
Laje
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Quanto à armação 
De acordo com a atuação dos momentos fletores, em uma ou duas direções, as lajes 
podem ser classificadas em armadas em uma ou duas direções. 
 
a. Lajes armadas em uma direção: são aquelas em que os momentos fletores solicitam 
predominante apenas uma direção. É o caso das lajes em balanço (sacadas), 
daquelas com as dois lados opostos apoiados, sendo os outros dois livres (rampas, 
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escadas), e das lajes com lados apoiados (simples ou engaste), onde a medida do 
maior lado (L) supera o dobro do lado menor (l), como indicado na figura a seguir. 
 
L
l
M
fy
Mfx
2>
l
L
 
 
 
 
 
 
 
O momento na direção do menor vão é muito superior ao da outra direção quando a 
relação entre os vãos supera 2, sendo, dessa forma, considerada como armada em 
apenas uma direção. Na direção secundária, paralela a “L”, é colocada uma armação 
de distribuição. 
 
a. Lajes armadas em duas direções: são aquelas em que os momentos fletores 
solicitam as duas direções. Essa situação ocorre nas lajes retangulares apoiadas nos 
quatro lados, em que a relação entre o maior vão (L) e o menor (l) é inferior ou igual a 
dois. 
 
L
l
M
fy
Mfx
L
2≤
l
L São mais econômicas que as lajes 
armadas em uma direção, pois o 
carregamento da laje solicita as 
duas direções, reduzindo a 
magnitude dos momentos fletores e 
das flechas. 
 
 
 
Para a determinação dos vãos para a laje, a Norma Brasileira (NBR 6118) prescreve: 
 Vão da laje l = lo + a1 + a2
 onde: 
 
 
 
h
a1 = menor vão entre (t1/2) e (0,3h)
t1 t2
lo a2 = menor vão entre (t2/2) e (0,3h)
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3.0 AÇÕES A CONSIDERAR 
As ações (carregamentos) podem classificadas segundo o tempo de atuação 
nas estruturas, dando origem às ações permanentes e ações variáveis. As ações 
permanentes atuam durante toda a vida, pode-se citar: peso próprio, revestimentos, 
paredes, etc. As ações variáveis são constituídas pelas cargas de uso da construção, 
ou seja, atuam durante certos períodos na estrutura, pode-se citar: móveis, pessoas, 
veículos, peso da água (reservatórios), etc. A figura mostrada a seguir ilustra as ações 
usuais nas lajes de construções residenciais. 
 
paredes
revestimento teto
pessoas, móveis, veículos, etc
revestimento do piso 
paredes
revestimento teto
pessoas, móveis, veículos, etc
revestimento do piso 
 
 
 
 
 
 
No processo de cálculo das lajes, as ações devem ser consideradas por m2, algumas 
são de fato, caso do peso próprio, outras são admitidas assim por simplificação, como 
o peso de paredes, o qual deve ser distribuído na área da laje. O cálculo 
computacional por elementos finitos já permite a consideração mais precisa da 
atuação de ações discretas (paredes) nas lajes. 
 
3.1 COMPOSIÇÃO DO CARREGAMENTO DAS LAJES POR m2 
3.1.1 AÇÕES PERMANENTES 
 São constituídas pelo peso próprio do elemento estrutural e pelo peso de todos 
os elementos construtivos e instalações permanentes. Toda carga é de volume 
(kN/m3), transformada em peso por m2 (kN/m2) para efeito de cálculo. 
 
a. Peso próprio 
Para determinação do peso próprio (pp) por m2, basta multiplicar o volume da laje em 
1 m2, pelo peso específico do concreto armado (γ = 25 kN/m3), assim: 
 
pp = 1 m x 1 m x e x 25 = 25. e (kN/m2), com e em metros. 
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 Para cada “cm” na espessura da laje (0,01 m), o peso próprio aumenta de 0,25 kN (25 
kgf). Assim, uma laje com 8 cm de espessura apresenta peso próprio de 2 kN (200 kgf) 
por m2. 
 
Como a espessura ainda não é conhecida nesta fase do cálculo, e o peso próprio é um 
carregamento a ser considerado,deve-se fazer um pré-dimensionamento das 
espessuras. A norma brasileira (NBR 6118) não apresenta critérios de pré-
dimensionamento, no entanto, para lajes retangulares com bordas apoiadas ou 
engastadas, a altura útil (d) pode ser estimada por meio da expressão: 
 
 
100
)1,05,2( *lnd ⋅−= 
 
sendo n o número de bordas engastadas e l* o menor valor entre l (menor vão) e 0,7L 
(maior vão). Ao valor da altura útil deve-se acrescentar o valor correspondente à 
metade do diâmetro da armação (estimado) e o valor do cobrimento das armaduras, 
como ilustrado na figura abaixo. Assim, 
 
 
 = d +Ø/2 + c 
d
Ø/2
c
e
d
Ø/2
c
e
 
 
Para efeito de pré-dimensionamento pode-se admitir um diâmetro de 0,5 cm 
(Ø = 5.0 mm). O valor do cobrimento (c) é estabelecido na NBR 6118 de acordo com a 
classe de agressividade ambiental (CAA) em que a estrutura será construída, 
conforme as Tabelas 6.1 e 7.2 da norma, mostradas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Permite ainda a norma que os cobrimentos acima sejam reduzidos de 5 mm, quando 
houver um controle rigoroso de execução, o que deve ser explicitado nos desenhos do 
projeto. De acordo a NBR 6118, lajes executadas em Belém, ambiente urbano, 
classe II, devem ter cobrimento mínimo na face inferior e superior de 25 mm e 15 mm, 
respectivamente, enquanto aquelas executadas em Salinópolis, ambiente marinho, 
classe III, devem ser executadas com cobrimento de 35 mm e 15 mm. 
 
A NBR 6118 ainda prescreve que devem ser respeitados os seguintes limites mínimos 
para a espessura de lajes maciças: 
• 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
• 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 
• 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
• 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
• 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo. 
 
Como exemplo de pré-dimensionamento, seja a laje de piso indicada na figura a 
seguir, a ser executada em ambiente classe, armada com ferros de diâmetro 6 mm. 
100
)1,05,2( *lnd ⋅−= , sendo n = 1 e l* o menor valor 
entre l = 350 e 0,7 L = 280 cm, ou seja, l* = 280 cm, 
logo, cmd 72,6
100
280)11,05,2( =⋅⋅−= 
L = 400
l=
 3
50
L = 400
l=
 3
50
 
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Assim, a espessura da laje: 
e = d +Ø/2 + c 
 e = 6,72 + 0,6/2 + 2 = 9,02 cm e = 9 cm 
 
O peso próprio da laje com 9 cm de espessura 
 pp = 25 . 0,09 = 2,25 kN/m2 ou 225 kgf/ m2
 
b. Revestimento da superfície inferior (teto) 
Para determinação da carga correspondente ao revestimento do forro, deve-se 
multiplicar o volume do material aplicado em 1 m2 (1 x 1 x hrt) pelo peso específico do 
material ( γrt ), sendo hrt a espessura da camada de revestimento. 
 
 = (1 x 1 x hrt) x γrf 
1m
 
 
 De acordo com o tipo de revestimento, pode-se encontrar as seguintes situações: 
• argamassa de cimento+areia+cal (γ = 19 kN/m3) com espessura média de 2 cm: 
 0,02 x 19 = .. ... .0,38 kN/m2 
• Gesso espatulado diretamente sobre o concreto: .................... Não considerar 
• Placas de gesso (forro falso) penduradas na laje: ...............................0,1 kN/m2 
 
c. Revestimento de piso 
 É normalmente constituído de camada niveladora e acabamento final. 
 
c.1 Camada niveladora ou camada de regularização em argamassa de cimento+areia 
(γ = 21 kN/m3) com espessura média de 4 cm: 0,04 x 21 = ........................... 0,84 kN/m2 
 
c.2 Acabamento: 
• Em lajota (e = 0,5 cm) ................................................. 0,005 x 18 = 0,09 kN/m2 
• Em taco/tábua corrida (e = 2 cm) ....................................0,02 x 10 = 0,2 kN/m2 
• Em mármore/granito (e = 2 cm) ..................................... 0,02 x 28 = 0,56 kN/m2 
• Em carpete/paviflex ou similar ............................................... Não considerar 
 
hrfhrf
1m
hrt
1m
1m
hrt
γ 
(kN/m3) 
e 
(m) 
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Como resultado final do revestimento de piso deve-se considerar o peso da camada 
niveladora somado com o do acabamento. De modo a simplificar a consideração da 
carga de revestimento nos projetos de prédios residenciais dois valores distintos em 
função do acabamento especificado: 1 kN/ m2 para acabamento simples (lajota, tábua 
corrida, taco de madeira, carpete) e 1,5 kN/m2 para acabamentos mais sofisticados 
que incluam pedras de mármore ou granito) 
 
d. Cargas de parede sobre lajes 
O peso das paredes depende da espessura (largura) definida no projeto arquitetônico. 
O peso das paredes de tijolos cerâmicos é obtido da soma do peso dos elementos 
cerâmicos (tijolo) com o da argamassa de rejunte e de acabamento (reboco). Assim, o 
peso de 1 m2 ( 1m de comprimento por 1 m de altura) de paredes acabadas, 
executadas com tijolos cerâmicos furados, é dado por: 
 espessura da parede peso por m2
 13 cm .................................... ~ 2 kN/m2
 15 cm .................................... ~ 2,3 kN/m2
 20 cm .................................... ~ 2,9 kN/m2
 
Desta forma, para se obter o peso total das paredes sobre determinada laje, deve-se 
multiplicar o comprimento total das paredes pela altura, para se determinar a área 
total, e o resultado pelo peso por m2, o qual varia com a espessura. 
 
d.1 Peso das paredes nas lajes armadas em duas direções 
 
1,5 m
2,
5 
m4
,5
 m
4 m
0,15 m
1,5 m
2,
5 
m4
,
 Nessas lajes o peso das paredes deve ser uniformemente distribuído na área da 
laje, resultando em uma carga por m2. É uma simplificação em razão dos processos 
manuais de cálculo, válido para lajes com dimensões reduzidas, como as de prédios 
residenciais. Para a laje indicada na figura, a carga proveniente das paredes com 2,8 
metros de altura resulta em: 
 
 
lajedaárea
paredestotalpesopalv = 
5 
m 
4 m
0,15 m
 2/43,1
45,4
3,28,2)5,15,2( mkNpalv ≅⋅
⋅⋅+= 
 
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d.1 Peso das paredes nas lajes armadas em apenas uma direção 
Há duas situações quanto à distribuição do peso das paredes, visto que essas 
lajes são admitidas como faixas sucessivas de 1 m de largura, como vigas, segundo o 
menor vão. 
• Parede paralela à menor direção: a peso da parede é distribuído apenas em um 
trecho correspondente a 2/3 do menor vão, como indicado na figura, ficando a 
laje com carregamentos diferentes. 
Nos trechos “a” e “c”: 
 
 
lb
paredetotalPesopalv ⋅=
 
 No trecho “b”: 
 
 
 
 , sendo b = l⋅
3
2 
 
 
l
L
• Parede paralela à maior dimensão: A parede é considerada como uma carga 
concentrada na laje. 
No trecho “a””: 
 
 
 
 No trecho “b”: 
 
 
 
 
 Ppar = 1 ml x altura parede x peso 1 m2 parede 
 
Nos dois casos acima, a carga da parede solicita trechos diferentes da laje (a, b e c), 
resultando em momentos e, provavelmente, armaduras diferentes na mesma laje. De 
a
b =
c
l
L
pp+rev+sc
l
pp = peso próprio
rev = revestimento
sc = carga acidentala
pp+
 l⋅3
2
b = l⋅3
2 rev+sc+palv
l
pp = peso própriorev = revestimento
sc = carga acidental
palv = peso parede
c
l
L
a
b
d1 d2
l
L
a
b
d1 d2
pp+rev+sc
l
pp = peso próprio
rev = revestimento
sc = carga acidental
pp+rev+sc
l
d1 d2
Ppar
pp+rev+sc
l
d1 d2
Ppar pp = peso próprio
rev = revestimento
sc = carga acidental
Ppar = peso parede
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modo a simplificar o detalhamento e evitar possíveis erros de execução, costuma-se 
adotar a maior armação em toda extensão da laje. 
 
Nos balanços (sacadas), o peso do guarda-corpo deve ser considerada como uma 
carga concentrada, aplicada na extremidade do balanço. 
 
3.1.2 AÇÕES VARIÁVEIS 
São aquelas que atuam na estrutura em função de seu uso, tais como: pessoas, 
móveis, veículos, etc. O termo variável refere-se ao tempo de permanência da carga 
na estrutura. Os valores mínimos das cargas variáveis dependem da finalidade da 
edificação e estão especificados na NBR 6120. 
 
São freqüentes os valores: 
• 1,5 kN/m2 : edifícios residenciais (salas, dormitórios, cozinha e banheiros); 
• 2 kN/m2 : escritórios 
• 0,5 kN/m2 : forro / terraço sem acesso ao público; 
• 3 kN/m2 : garagem / estacionamento para veículos de passageiros com carga 
máxima de 25 kN por veículo; 
 
A NBR 6120 ainda exige que deve-se considerar a atuação de uma carga horizontal 
de 0,8 kN e outra vertical de 2 kN, por metro linear, ao longo de parapeitos e balcões, 
como ilustrado na figura a segui. 
0,8 kN
2 kN
parapeito 
(guarda-corpo)
 
 
 
 
Cabe citar a situação de estruturas com cargas variáveis (sobrecargas) elevadas, caso 
de depósitos, supermercados, etc., onde deve-se analisar os resultados da aplicação 
da carga variável em lajes distintas de modo a se obter os maiores esforços, visto que 
a aplicação localizada de valores elevados de carga pode alterar a condição de 
engastamento da laje, ou seja, pode resultar na rotação (apoio simples) na borda da 
laje, admitida inicialmente engastada. 
carga variável elevadacarga variável elevada
 
 
 
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4. ESFORÇOS SOLICITANTES 
O dimensionamento das lajes é realizado a partir dos momentos fletores, das forças 
cortantes e dos momentos de torção. As lajes são consideradas como faixas 
sucessivas de 1 m de largura, dispostas em uma ou duas direções, onde atuam os 
esforços solicitantes. O valor determinado para a faixa de laje é considerado o mesmo 
em toda sua extensão. Os esforços dependem do carregamento, das vinculações e 
dos vãos da laje. 
 
4.1 Momentos fletores 
4.1.1 Nas lajes armadas em uma direção ( L / l >2 ) 
a. Apoiadas nos quatro lados ( L / l >2 ) 
O cálculo é análogo ao de uma viga de base igual a 1 m e altura correspondente à 
espessura da laje. Os seguintes casos podem ser encontrados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Em balanço 
100
l
L
8
2lp ⋅
p
l
p
8
2pl−
l
p
12
2pl−
24
2pl
100
l
L
8
2lp ⋅
p
l
p
8
2pl−
l
p
12
2pl−
24
2pl
A laje fica engastada em apenas um lado, considera-se como uma viga em balanço 
 
p(g+q)
l
P(peso gc +2 kN)
0,8.h 
0,8 kN
2 kN
h )8,0
2
(
2
hlPlpM f ⋅+⋅+⋅−≅
)( PlpV +⋅−≅
p(g+q)
l
P(peso gc +2 kN)
0,8.h 
0,8 kN
2 kN
h )8,0
2
(
2
hlPlpM f ⋅+⋅+⋅−≅
)( PlpV +⋅−≅
 
 
 
 
 
 
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4.1.2 Nas lajes armadas em duas direções ( L / l ≤ 2 ) 
Para determinação dos esforços nas lajes armadas nas duas direções há dois 
processos de cálculo: o elástico e o plástico. 
O cálculo no regime plástico permite a determinação do momento fletor último a 
partir da configuração de ruína da laje, definida por “linhas de ruptura, charneiras ou 
rótulas plásticas”, de acordo com a provável distribuição das fissuras no momento da 
ruptura, como ilustrada na figura a seguir. 
 
Linhas de ruptura
(charneiras plásticas)
 
 
 
 
 
 
 As “linhas de ruptura” dividem a laje em triângulos e trapézios, ou seja, painéis 
rígidos que giram em torno das rótulas plásticas. A carga última pode ser obtida por 
meio do princípio dos trabalhos virtuais ou equações de equilíbrio. A verificação aos 
ELS (estado limite de serviço) deve ser realizada por processo elástico de cálculo. 
O cálculo em regime elástico (cargas de serviço) pode ser realizado a partir da 
equação diferencial fundamental da teoria das placas, denominada equação de 
Lagrange, admitindo material homogêneo, isótropo, elástico e linear. A equação 
relaciona o deslocamento elástico, z, da placa com carga uniforme, p, normal à 
superfície, como segue: 
 
 
 D
p
y
z
yx
z
x
z =∂
∂+∂∂
∂+∂
∂
4
4
22
4
4
4 2
 
 
h
y
x
z
p
h
y
x
z
p
sendo: 
)1(12 2
3
ν−=
EhD = é a rigidez à flexão da placa; 
E é módulo de elasticidade do material; 
h é a espessura da placa; 
ν é o coeficiente de Poisson do material. 
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Os momentos fletores nas direções x e y da placa podem ser determinados por: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂⋅−= 2
2
2
2
y
z
x
zDM x ν e ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂⋅−= 2
2
2
2
x
z
y
zDM y ν 
 
A solução das equações diferenciais é normalmente obtida por meio de 
processos numéricos (diferenças finitas, elementos finitos, etc.) ou integração por 
séries trigonométricas, dos quais resultaram tabelas de uso prático, como as de 
Czerny, Bares, Marcus, etc. 
O chamado Processo de Marcus é um dos mais empregados na determinação 
dos momentos fletores em lajes retangulares. A obtenção dos momentos fletores é 
realizada com base na teoria das grelhas ou quinhões de carga, corrigidos por 
coeficientes obtidos da solução da equação de Lagrange. A teoria das grelhas consiste 
em dividir a laje em faixas de largura unitária, ortogonais entre si, paralelas aos bordos, 
onde a carga total da laje, p, é dividida em duas parcelas, px e py, chamadas de 
quinhões de carga, função da relação entre os vãos e da vinculação da laje, sendo 
px + py = p. As faixas, admitidas como vigas independentes submetidas aos respectivos 
quinhões de carga, produzem esforços mais elevados por não considerar a ligação 
com as outras faixas, daí a necessidade de correção por meio de coeficientes 
resultantes da equação de Lagrange. O cálculo dos momentos fletores em lajes 
retangulares, apoiadas em todo seu contorno, pelo Processo de Marcus pode ser 
realizado por meio de tabelas conforme o roteiro a seguir: 
 
1. Observa-se, pelo esquema estático, o tipo de laje a ser calculada. Há seis situações 
possíveis: 
 
1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 
 
 
2. Calcula-se a relação xy ll=λ , onde é a direção que contém o maior número 
de engastes. No caso de igualdade no número de engastes, será o menor vão: 
xl
xl
 
 
 
lx l x lx l x l xlx l x lx l x l x
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3. Com a definição do tipo de laje e do valor de λ , obtém-se na tabela de Marcus os 
coeficientes m e n para cálculo dos momentos positivos e negativos, respectivamente; 
 
4. Os momentos são então obtidos pelas expressões: 
 Momentos positivos Momentos negativos 
Diagrama compatibilizado
L1 L2
XL1 XL2
}
Xc
XL1 Xc
XL21LM∆ 2LM∆Diagrama compatibilizado
L1 L2
XL1 XL2
}
XcXc
XL1 Xc
XL2
1LM∆ 2LM∆
 
x
x
x m
plM
2
= 
x
x
x n
plX
2
−= 
 
y
x
y m
plM
2
= 
y
x
y n
plX
2
−= 
 
ly
l x
Xy
X x
M
x
My
ly
l x
Xy
X x
M
x
My
Observar que o numerador das expressões é sempre o mesmo, , nas duas 
direções. 
2
xpl
 
4.1.3 Compatibilização dos momentos 
O cálculo dos momentos fletores indicado nos itens anteriores é realizado como lajes 
isoladas. No trabalho conjunto, as lajes admitidas contínuas apresentam, 
normalmente, sobre um mesmo apoio, momentos de engastamento diferentes face ao 
cálculo isolado. Dessa forma, entre lajes contínuas, o momento negativo deve ter valor 
único, o que requer a compatibilização (uniformização) dos momentos das lajes 
engastadas. O momento compatibilizado pode ser obtido por: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
⋅
≥
2
(8,0
21
21
LL
LL
c XX
XeXentremaiordo
X
)
 
 
 Como conseqüência da compatibilização, 
convém corrigir os momentos positivos, 
aumentando-o ou reduzindo-o, conforme 
for o caso, de um valor correspondente a 
metade da diferença entre o momento 
compatibilizado, Xc, e o momento negativo 
da laje calculada isoladamente, XL1 ou XL2, 
ou seja, ∆ML1=(XL1 – Xc)/2 para L1 e ∆ML2=(Xc – XL2)/2 para L2. 
 15
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Coeficientes para cálculo dos momentos pelo Processo de Marcus 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16
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5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO 
 
Calculados os momentos fletores, pode-se realizar o dimensionamento das 
armaduras de flexão. O dimensionamento é realizado admitindo-se as faixas de laje 
como vigas de base 1 m e altura h igual à espessura da laje. Em geral, o 
dimensionamento conduz a seções subarmadas com armadura simples. A armadura 
dupla deve ser evitada em virtude da altura reduzida o que dificulta a execução. Para o 
cálculo das armaduras, além da altura e momento fletor, é preciso definir a altura útil 
(d = h – d’), a resistência característica à compressão do concreto (fck) e o aço a ser 
empregado (CA 50 ou CA 60). As armaduras podem ser obtidas por: 
 
)/( 2 mcm
fdk
MA
ydz
Sd
s = 
sendo: 
kSd MM ⋅= 4,1 , momento solicitante de cálculo em kgf.m; 
d , a altura útil em metros; 
fyd , valor de cálculo da resistência ao escoamento em kgf / cm2; 
zk , coeficiente obtido na Tabela 5.1 a partir do coeficiente obtido por: mdk
cd
Sd
md fd
Mk 2= 
onde 
cdf é o valor de cálculo da resistência à compressão do concreto em kgf / cm
2; 
d , a altura útil em centímetros e em kgf.m. SdM
 
Com o objetivo de melhorar a dutilidade nas regiões de apoio ou ligações com outros 
elementos estruturais, a NBR 6118 exige que se observe os seguintes limites: 
5,0≤=
d
xkx para concretos com 35≤ckf MPa 
4,0≤=
d
xk x para concretos com MPa 35>ckf
 
 
 
 
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Tabela 5.1 – coeficientes adimensionais para o dimensionamento à flexão* 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*do livro “ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO – FUNDAMENTOS DE PROJETO, 
DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO” – João Carlos Teatini de Souza Clímaco 
 
 
 
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O ELU é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal 
pertencer a um dos domínios definidos na figura mostrada a seguir. 
 
 
 
 
kx = 0,259 
 
 
kx = 0,585 kx = 0,628 
CA 50 CA 60 
 
 
 
 
 
sc
c
x d
xk εε
ε
+== 
 
Descrição dos domínios de estado limite último: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Após dimensionamento à flexão, a escolha das armaduras (bitola e 
espaçamento) deve atender as prescrições da NBR 6118/2003 relacionadas a seguir: 
 
a. Armadura mínima: 
Destinada a melhorar o desempenho e dutilidade à flexão, assim como controlar a 
fissuração, a armadura mínima em lajes deve ser obtida por 
 
hbA wmíns ⋅⋅= min, ρ (cm2) 
 
sendo , h em cm e cmbw 100= mínρ obtido na Tabela abaixo 
Tabela 5.2 – Taxa de armadura mínima em lajes 
20 25 30 35 40 45 50
Armaduras negativas 
Armadura positiva (principal) de 
lajes armadas em uma direção
Armadura positiva de lajes 
armadas em duas direção
0,1 0,1 0,116 0,135 0,154 0,174 0,193
f ck (MPa)Armaduras
ρ mín 0,15 0,15 0,173 0,201 0,23 0,259 0,288
 
 
A armadura secundaria (distribuição) de lajes, colocada na direção paralela ao maior 
vão, deve ser obtida por 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅
≥
míns
prins
dists
A
mcm
A
A
,
2
,
,
5,0
/9,0
5/
 
b. Bitola máxima ( máxφ ) 
8
h
máx ≤φ , h é a espessura da laje 
c. Espaçamento máximo das barras ( ) s
Na região de maiores momentos fletores, a armadura principal deve apresentar 
espaçamento máximo de 2h ou 20 cm, ou seja, . ⎩⎨
⎧≤
cm
h
s
20
2
A armadura secundária deve apresentar espaçamento de no máximo 33 cm, o que 
corresponde a aproximadamente 3 barras por cada metro da laje na direção 
secundária. 
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6. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS DE LAJES 
 O detalhamento das armaduras das lajes é realizado em planta, utilizando como 
base a planta de formas da estrutura do pavimento. Na planta de armadura de lajes 
devem ser desenhadas apenas as barras representativas da armadura de cada laje 
nas duas direções, com indicação do número de barras destinadas àquela laje, 
diâmetro, espaçamento entre barras e comprimento unitário. O desenho deve indicar 
as armaduras positivas (junto à face inferior) e negativas (junto à face superior), no 
entanto, quando houver superposição de armaduras que dificulte a interpretação 
deve-se realizar o detalhamento dessas armaduras em plantas diferentes. Costuma-se 
representar as barras da armadura positiva com linhas cheias e as da negativa com 
linhas tracejadas de modo a facilitar a visualização do detalhamento. Por último, na 
planta de detalhamento das armaduras devem constar: a resistência característica do 
concreto, fck, o tipo de aço (CA 60 e/ou CA 50), os quadros com discriminação das 
barras e resumo do aço (quantitativos), e o cobrimento a ser adotado na execução do 
projeto. 
 
6.1 Armadura inferior (positiva) 
 Deve ficar junto à face inferior da laje com a finalidade de atender os momentos 
fletores positivos. As armaduras geralmente se estendem de apoio a apoio, 
penetrando no mínimo 10Ø (10 diâmetros da barra). Na prática a armadura se estende 
até próximo à face externa da viga de apoio da laje, respeitando-se o cobrimento 
mínimo normativo. A Figura 6.1 mostra o detalhamento típico de armaduras positivas 
em lajes. 
A bitola e espaçamento são 
obtidos no dimensionamento. A 
quantidade é obtida dividindo-se o 
vão livre (interno), na direção 
transversal da armadura, pelo 
espaçamento, subtraindo-se uma 
unidade. O comprimento é obtido 
pela soma do vão livre, na direção 
da armadura, com a largura dos 
apoios, subtraindo-se o cobrimentonormativo nas duas extremidades. 
32 Ø6.3 c14 - 405
46
0
380
15 15
15
23
 Ø
5.
0 
c1
6 
-4
85
Quantidade
Diâmetro
Espaçamento
Comprimento
vão livre
32 Ø6.3 c14 - 405
46
0
380
15 15
15
23
 Ø
5.
0 
c1
6 
-4
85
Quantidade
Diâmetro
Espaçamento
Comprimento
vão livre
 21
Figura 6.1 – Armadura positiva 
 
UFPa – ESTRUTURAS DE CONCRETO II – Prof Ronaldson Carneiro - Nov/2006 
 Alguma economia pode ser obtida variando-se alternadamente o comprimento 
das barras, em decorrência da redução dos momentos fletores na região próxima dos 
apoios, ou seja, fora da região dos maiores momentos. O comprimento das barras, 
denominadas de ferros contra-fiados, depende da vinculação da laje. Deve-se atentar 
para o espaçamento máximo nessa região em que as barras ficam com o dobro do 
valor na região dos maiores momentos, em face do valor máximo de 33 cm 
estabelecido na NBR 6118. Assim, o detalhamento com ferros contra-fiados só pode 
ser realizado quando o espaçamento entre barras, na região dos maiores momentos, 
for de até 16,5 cm. A Figura 6.2 exemplifica o detalhamento com ferros contra-fiados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 Ø6.3 c14 - 345
46
0
380
15 15
15
15
23
 Ø
5.
0 
c1
6 
-4
15
Quantidade
Diâmetro
Espaçamento
Comprimento
vão livre
COMPRIMENTO DOS 
FERROS CONTRA-FIADOS
~ 0,85 . (vão livre + largura apoios)
~ 0,8 . (vão livre + largura apoios)
~ 0,7 . (vão livre + largura apoios)
VINCULAÇÃO 
DA LAJE
32 Ø6.3 c14 - 345
46
0
380
15 15
15
15
23
 Ø
5.
0 
c1
6 
-4
15
Quantidade
Diâmetro
Espaçamento
Comprimento
vão livre
COMPRIMENTO DOS 
FERROS CONTRA-FIADOS
~ 0,85 . (vão livre + largura apoios)
~ 0,8 . (vão livre + largura apoios)
~ 0,7 . (vão livre + largura apoios)
VINCULAÇÃO 
DA LAJE
Figura 6.2 – Detalhamento da armadura positiva com ferros contra-fiados 
 
6.2 Armadura superior (negativa) 
6.2.1 Armadura negativa entre lajes totalmente apoiadas (nos quatro lados) 
 Deve ficar junto à face superior da laje com o objetivo de atender os momentos 
negativos. Quando não se determinar o diagrama exato de momentos negativos, as 
barras da armadura principal sobre os apoios deverão se estender, para cada lado, de 
um valor correspondente a 1/4 do maior entre os menores vãos das lajes contíguas, 
como exemplifica a Figura 6.3. 
A bitola e espaçamento são determinados pelo dimensionamento. A quantidade 
é determinada da mesma forma citada anteriormente e o comprimento total 
corresponde à soma do comprimento reto com os dos ganchos nas extremidades. De 
modo a garantir o posicionamento das barras, devem ser colocadas barras 
complementares na direção transversal de modo a proporcionar a sustentação 
desejada. Convém ainda empregar dispositivos de apoio tais como caranguejos ou 
blocos de argamassa. 
 22
UFPa – ESTRUTURAS DE CONCRETO II – Prof Ronaldson Carneiro - Nov/2006 
 23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.3 – Detalhamento de armadura superior (negativa) 
l 2=
40
0
l2 é o maior entre os menores vãos
l1=500 l3=300
L1 L2
menor vão de L1 menor vão de L2
ou
200
a
a/2
25 Ø8.0 c15 – 212
57
l1 > l2 > l3
a = 2 .( l2 / 4) = 2 . (400/4) = 200 cm
h – 3 h = 10 h = 8 
armadura de amarração
.. 
Ø
5.
0 
c3
0 
–
…
l2 / 4 l2 / 4
l 2=
40
0
l2 é o maior entre os menores vãos
l1=500 l3=300
L1 L2
menor vão de L1 menor vão de L2
ou
200
a
a/2
25 Ø8.0 c15 – 212
57
l1 > l2 > l3
a = 2 .( l2 / 4) = 2 . (400/4) = 200 cm
h – 3 h = 10 h = 8 
armadura de amarração
.. 
Ø
5.
0 
c3
0 
–
…
l2 / 4 l2 / 4
 
6.2.1 Armadura negativa em balanços 
• Com continuidade 
Nas lajes em balanço com continuidade as barras devem ser estender na laje 
contígua 1,5 vezes o comprimento do balanço. 
 De modo a garantir o 
posicionamento das barras 
da armadura principal, 
devem ser dispostas barras 
complementares na direção 
transversal como indicado 
anteriormente. 
L1 L2
l=120 
l1,5 l
300
h = 10 h = 8 
.. Ø8.0 c12 – 312
57
h – 3 
a = 2 ,5 l = 300 cm
cobrimento
armadura de 
amarração
.. 
Ø
5.
0 
c3
0 
–
…
L1 L2
l=120 
l1,5 l
300
h = 10 h = 8 
.. Ø8.0 c12 – 312
57
h – 3 
a = 2 ,5 l = 300 cm
cobrimento
armadura de 
amarração
.. 
Ø
5.
0 
c3
0 
–
…
 
 
Figura 6.5 – Detalhamento da armadura no balanço com continuidade 
 
• Sem continuidade 
A armadura deve ficar ancorada na viga, é o caso de pequenas marquises de 
proteção. Deve-se destacar a necessidade de dimensionar a viga à torção. 
 
.. Ø6.3 c15 – …
h – 3 
Viga
Laje
armadura de 
amarração
.. Ø6.3 c15 – …
h – 3 
Viga
Laje
armadura de 
amarração
 
 
 
 
Figura 6.6 – Detalhamento da armadura no balanço sem continuidade