Apendice 1 Números Complexos

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APÊNDICE 1 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
1. OBJETIVO 
Este texto tem por objetivo fazer uma revisão sobre números complexos 
assunto fundamental para solução de redes e problemas envolvendo sistemas 
elétricos em regime permanente senoidal. 
2. INTRODUÇÃO 
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram 
alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois 
séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. 
Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números 
complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos 
estudos e análises envolvendo sistemas elétricos em regime permanente 
senoidal. 
 
Da teoria dos números complexos se define a unidade imaginária representada 
pela letra j, como sendo a raiz quadrada de -1, assim: 
1−=j
 
Na maioria dos textos sobre números complexos a unidade imaginária é 
representada pela letra i. Uma vez que, a letra i é tradicionalmente adotada 
para denotar a corrente elétrica, nos livros envolvendo circuito elétricos e 
estudos em sistemas elétricos a unidade imaginária é representada pela letra j. 
 
Com a utilização da unidade imaginária podemos obter a raiz quadrada de 
números negativos como se pode ver no seguinte exemplo: 
 
Apêndice 1 – Números Complexos 
 
 
2
41.1616 j=−=−
 
Observe que a partir dessa definição , podem ser obtidas as seguintes 
potências de j, assim: 
1,2,3,4...n com j,j jj jj 1j 4n310 ==−===
 
3. NÚMERO COMPLEXO 
Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: 
jbaz +=
 
onde j é a unidade imaginária, a é denominada parte real e b parte imaginária 
do número complexo z. Isto é: 
bIm{z} e aRe{z} ==
 
Se em z = a + bj tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um 
imaginário puro, por outro lado se tivermos b = 0 e a qualquer real, dizemos 
que z é um número real. Portanto o conjunto dos números reais é um 
subconjunto do conjunto dos números complexos. 
 
O número complexo z pode ser expresso na forma retangular ou algébrica: 
jbaz +=
 
ou na forma polar: 
θ
=
je.rz
 
onde r é o módulo ou magnitude e θ é a fase ou ângulo do número complexo. 
Para converter um número complexo expresso na forma polar para a forma 
retangular se utiliza a igualdade conhecida como Equação de Euler: 
j.senθcosθe jθ +=
 
 
Apêndice 1 – Números Complexos 
 
 
3
Assim, temos que: 
jbaj.r.senθcosθ.rrez jθ +=+==
 
É muito comum nos problemas envolvendo cálculos em sistemas elétricos 
exprimir um número complexo na forma polar substituindo-se o e por um 
símbolo gráfico (∠), assim: 
θ re.rz j ∠== θ
 
Para convertermos um número complexo da forma retangular para a polar 
podemos utilizar as seguintes equações: 
22
22
yxr
 
1 θcos θsen
a
b
arctgθ
a
b
θ cos 
senθtgθ
r
a
senθ r.senθb
r
a
θ cos θ r.cosa
jbaj.r.senθcosθ.rrz
+=
=+






=
==
=⇒=
=⇒=
+=+=θ∠=
 
 
4. REPRESENTAÇÂO GRÁFICA DE UM NÚMERO COMPLEXO 
Os números complexos são representados graficamente por vetores num 
plano, denominado plano complexo. A parte real do número complexo é 
representada no eixo das abcissas e a parte imaginária no eixo das ordenadas, 
Apêndice 1 – Números Complexos 
 
 
4
como pode ser visto na Figura 1, onde estão apresentadas a representação 
gráfica dos seguintes números complexos Z1= 4+2j, Z2= -3+2j, Z3= -4-4j, Z4= -3j 
e Z5 =-2+4j. 
 
EIXO IMAGINÁRIO Im{z}
EIXO REAL Im{z}
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
 
Figura 1 – Representação gráfica de números complexos 
 
Quando um número complexo A é expresso na forma polar a representação 
gráfica é imediata pois o módulo ou magnitude do número complexo 
corresponde a intensidade ou módulo do vetor e o ângulo ou argumento 
corresponde ao ângulo medido no sentido anti-horário entre o vetor e o eixo 
das abcissas. A figura mostra a representação gráfica dos seguintes números 
complexos na forma polar: Z1 = 3 ∠ 300 , Z2 = 4 ∠ -450 , Z3 = 2 ∠ 1200 e Z1 = 3 
∠ 2400 , 
 
Apêndice 1 – Números Complexos 
 
 
5
EIXO IMAGINÁRIO Im{z}
EIXO REAL Im{z}
Z1
Z2
Z3
Z4
 
Figura 2 – Representação gráfica de números complexos 
 
5. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
O conjugado de um número complexo z, denotado por z* é um número que tem 
a mesma parte real de z e a parte imaginária é o simétrico da parte imaginária 
de z, isto é: 
 jb-az então jb az se * =+=
 
Para um número z expresso na forma polar, o complexo conjugado de z (z*) é 
dado por: 
 rez então rez se j*j θ−θ ==
 
6. OPERAÇÔES COM NÚMEROS COMPLEXOS 
Para adicionar ou subtrair numeros complexos expressos na forma retangular, 
adiciona-se ou subtrai-se as partes reais e as partes imaginárias de cada um 
dos números complexos, assim: 
)yy.(j)xx(jyxjyxZZZ 2121221121 +++=+++=+= 
( ) ( ) )yy.(j)xx(jyxjyxZZZ 2121221121 −+−=+−+=−= 
Apêndice 1 – Números Complexos 
 
 
6
Caso algum número complexo esteja expresso na forma polar é conveniente 
convertê-lo para a forma retangular antes de executar a operação de adição ou 
subtração. 
 
Exemplo 1 
Considere Z1 = 2+j3 e Z2 = 3 ∠ 300, pede-se obter Z1 + Z2. 
Solução: 
Convertendo Z2 = 3 ∠ 300 para a forma retangular, encontra-se: 
5159812303303303 02 ,j,)(sen..j)cos(.Z +=+=∠= 
Somando os números complexos, obtem-se: 
545981451598123221 ,j,,j,jZZ +=+++=+ 
 
Para multiplicar ou dividir numeros complexos expressos na forma polar, 
multiplica-se ou dividi-se as amplitudes ou módulos desses números e soma-se 
ou subtrai-se as fases, assim: 
( ) ( ) 21 θθ r.rθr.θrZ xZZ +∠=∠∠== 21221121 
21 θθ r
r
θr
θr
 
Z
ZZ −∠=
∠
∠
==
2
1
22
11
2
1
 
Caso algum número complexo esteja expresso na forma retangular é 
conveniente convertê-lo para a forma polar antes de executar a operação de 
multiplicação ou divisão. 
 
Exemplo 2 
Considere Z1 = 2+j3 e Z2 = 3 ∠ 300, pede-se obter Z1 x Z2. 
Solução: 
Convertendo Z1 = 2+j3 para a forma polar, encontra-se: 
Apêndice 1 – Números Complexos 
 
 
7
022
2 309956605633232 ,,2
3
arctg jZ +∠=




∠+=+=
 
Multiplicando-se os números complexos, obtem-se: 
( ) ( ) 00021 30998681681030995660563303 ,,,,xxZZ ∠=+∠∠= 
 
É importante destacar que é possível multiplicar e dividir números complexos 
com eles expressos na forma retangular, apenas é ADEQUADO passá-los 
para a forma polar e usar a metodologia descrita. Para avaliar este fato, deve 
ser analisado as duas situações apresentadas a seguir onde realizamos o 
produto e o quociente entre dois números complexos expressos na forma 
retangular (Z1 = 2+j3 e Z2 = 4-j3 ) sem convertê-los para a forma polar. 
( ) ( ) ( ) jj.jjj)j(xjxZZ 617331268343221 +=−++−=−+= 
( ) j,,jj)j(
)j(
x)j(
j
Z
Z
x
Z
Z
Z
Z
*
*
720040
916
91268
34
34
34
32
2
2
2
1
2
1 +−=
+
−++
=
+
+
−
+
==
 
EXERCÍCIOS 
1. Represente graficamente no plano complexo os seguintes números 
complexos: 
023-2 d) j1 c) j b) a a) ∠+ 45
 
2. Obtenha o resultado das seguintes expressões e represente 
graficamente os números complexos envolvidos e o complexo resultante 
no plano complexo. 
j
j
 a)
25
72
−
+
 
j
,
j
j
 b)
51
604141
37
42 0
+−
−∠
+
−−
+
 
Apêndice 1 – Números Complexos 
 
 
8
134
31
651
53
61
−∠+
−−
++−





−
+
j
j)j.(j
j
 c)3. Definido-se o número complexo a como sendo 1∠1200, pede-se obter: 
( )*2
*
2
a )c
a )c
a 1 )b
aa a)
−
++1
 
4. Obtenha o resultado das seguintes expressões e represente 
graficamente os números complexos envolvidos e o complexo resultante 
no plano complexo. 
53
42
32 jaj
j
 a) −+
+−
−
 
153
24
35 23
−∠++
−
+
aj
j
 b)
 
j
aja)j.(
,
j
 c)
45
23
6071
33 2
0
−
−+
++−





−∠
−
 
5. Obtenha a corrente em regime permanente senoidal no circuito da Figura 3 
e esboçe o diagrama fasorial mostrando as tensões nos diversos 
elementos. 
i(t)
R
CvS(t)
vS(t) = 10.sen(2t-300) , R = 2 ohms , C = 2 F
 
Figura 3 – Circuito RC série 
 
Apêndice 1 – Números Complexos 
 
 
9
6. Obtenha a corrente em regime permanente senoidal no circuito da Figura 4 
e esboçe o diagrama fasorial mostrando as tensões nos diversos 
elementos. 
i(t)
R
LvS(t)
vS(t) = 12.sen(5t-600) , R = 3 ohms , L = 4 H
 
Figura 4 – Circuito RL série 
 
7. Obtenha a corrente em regime permanente senoidal no circuito da Figura 5 
e esboçe o diagrama fasorial mostrando as tensões nos diversos 
elementos. 
i(t)
R
LvS(t)
vS(t) = 220.sen(2t-600) , R = 5 ohms , L = 1 H , C = 2 F
C
 
Figura 5 – Circuito RLC série 
 
8. Obtenha a corrente em regime permanente senoidal no circuito da Figura 6 
e esboçe o diagrama fasorial mostrando as tensões nos diversos 
elementos. 
 
Apêndice 1 – Números Complexos 
 
 
10
i(t)
R
LvS(t)
vS(t) = 25.sen(8t-500) , R = 2 ohms , L = 2 H , C = 1 F
C
 
Figura 6 – Circuito R em série com ramo LC 
 
9. Obtenha a corrente em regime permanente senoidal que alimenta um 
macaco hidraúlico de impedância (40+j50) ohms. Esboçe o diagrama 
fasorial mostrando as tensões nos elementos R e X. 
 
10. Obtenha a corrente em regime permanente senoidal que alimenta um 
máquina de fax de impedância (140+j550) ohms. Esboçe o diagrama 
fasorial mostrando as tensões nos elementos R e X.