1-NÚMEROS COMPLEXOS 1 A 20

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Este livro trata fundamentalmente do comportamento de circuitos
elétricos em corrente alternada, cujos dispositivos básicos são: resistor,
indutor e capacitor.
A resolução de circuitos elétricos consiste basicamente no cálculo
de correntes, tensões e potências.
Para tanto, necessitamos de instrumentos matemáticos que
tomem. possível a melhor compreensão deste assunto.
Sendo assim, primeiramente estudaremos a teoria do número
complexo, que será o instrumento matemático vital para a resolução de
circuitos em corrente alternada e, em seguida, estudaremos o diagrama
fasorial, que será importante para a análise e visualização dos fenômenos
elétricos em corrente alternada.
o conceito de número complexo ou número imaginário foi
introduzido com o intuito de se poder representar raízes quadradas de
números negativos, cujos resultados não fazem parte do conjunto dos
números reais.
Números Complexos 1
Exemplos:
I ..pi ; .J7j ; .J-I0
Consideremos a seguinte definição:
Denomina-se unidade imaginária o número j, tal que:
Desta forma, é possível representar a raiz quadrada de um número
negativo através do número imaginário da seguinte forma:
h=Jr;.=jJ;.
Exemplos:
1) ..pi =Jr4 = jJ4 = j2
2) .J7j =~ =jJ9 =j3
3) .J-I0 = ~j2 . 10 = jM
Da definição de unidade imaginária, j2 = -1, pode-se deduzir
também que:
. j3 = j2.j =(-I).j =-j
. j4 =j2.j2 =(-1).(-1) =1
. j5 = j2.j2.j = (-I).(-I).j =j
. j6 = l.j2 .j2= (-1).(-1).(-1)= -1
. e assim por diante.
2
Um número complexo possui três fonnas diferentes de representação:
. Fonna Cartesiana
. Fonna Polar
. Fonna Trigonométrica
Cada uma destas formas 'pode ser utilizada dependendo das
operações matemáticas envolvidas nos cálculos, como será visto mais
adiante.
Forma Cartesiana
Genericamente, todo número complexo z pode ser representado
na forma cartesiana por:
Onde: . a e b são números reais
. j representa a unidade imaginária
O plano cartesiano utilizado para representar um número
complexo z é fonnado por um eixo real (abcissa), onde se localiza a
quantidade a, e um eixo imaginário (ordenada), onde se localiza a
quantidade b, como mostra a figura 1.1.
Eixo
Imaginário
(1m)
b
z(a,b)
I
I
I
I
Eixo Real (R)
a
Figura 1.1 - Plano Cartesiano para Números Complexos
Números Complexos 3
Exemplos:
Representar os números complexos a seguir no plano cartesiano:
. Zl =4+j4 . zs=-5
. z2=7 (não tem parte imaginária) . z6=-4-j3
. z3=j3 (não tem parte real) . z7=-j4
. z4=-3+j2 . zg=4-j3
No plano cartesiano, estes números ficam representados da
seguinte forma:
Zs
1m
4 'Zt
3 zJ :
z 2 :
I I
I 1 I
I ~
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 -R
i -1 i
I I
I -2 I
I I
3 4
Z6 Zs
-4 Z7
-7 -6 -5
Forma Polar
Seja o número complexo z = a + jb representado no plano
cartesiano, como mostra a figura 1.2.
1m
a RO
Figura 1.2 -Forma Polar do Número Complexo
4
Na forma polar, o segmento de reta oz = Z representao módulo
do número complexoz e <I>(letragrega fi)representa o argumento (ângulo
ou fase) de z, tomando-se como referência a parte positivado eixo real.
Assim, a forma polar de se representar um número complexo
é a seguinte:
OBSERVAÇÕES:
. De uma forma geral, um número complexo genérico é
representado por uma letra minúscula (z), sendo o seu
móduIo representado por uma letra maiúscula (Z),salvo
algumas exceções. Isto ocorre porque, como será visto
mais adiante, os números complexos servem para
. representar grandezas que variam em função do tempo,
sendo esta a representação usual. Nas exceções, como
também será visto mais adiante, tanto o número complexo
quanto seu módulosão representados por letrasmaiúsculas.
Alguns autores representam o número complexo desta
forma: Z=Z~
.
Conversão entre Graus e Radianos
o ângulo <I>pode ser dado em graus (O)ou em radianos (rd).
A conversão de uma unidade para outra é feita por uma simples regra de
três, tomando-se como referência que 1trd corresponde a 180°.
Exemplos:
Converter 45° para radianos e 1t/6 rd para graus.
1t ~ 180°
<I>(rd)~ 45°
1t ~ 180
1t/ 6 ~ <1>(°)
45 . 1t - 1trd
<I>= 180 - 4 (1t/6) . 180 = 30°<1>= 1t
Números Complexos 5
Transformação da Forma Cartesiana para Polar
Para a transformação da forma cartesiana para a polar, valem
as expressões:
Dependendo do quadrante em que está localizadoo segmento oz ,
o cálculodo ângulo cI>precisa ser corrigidopara que o seu valortenha como
referência sempre a parte positiva do eixo real.
Exemplos:
1) Segmento oz no 2Q quadrante:
2
cI>'= arctg- = 340
3
Logo:
cI>= 180-cI>' = 180-34 = 1460
1m
z
R-3
-L-
8
l'
2) Segmento oz no 3Q quadrante:
2
<1>'= arctg- = 3403
Logo:
<I>= 180+<1>'= 180+34 = 2140 ou
<I>= <1>'-180 = 34 -180 = -1460
1m
R
z
- 2
3) Segmento oz no 4Qquadrante <1>'= arctg- = 3403
Logo:
<I>= 360 - <1>'= 360 - 34 = 3260 ou
<I>= -<1>'= -340
1m
3 R
z
Números Complexos 7
Sabendo-se as expressões do módulo e da fase de um número
complexo, e orientando-se pelo plano cartesiano para a devida correção
da fase, pode-se fazer a transformação da forma cartesiana para apoIar.
Exemplos:
Transformar os números complexos a seguir, da forma cartesiana
para a polar, representando-os no plano cartesiano:
a) Z1 = 4 + j4 1m
4
21 = .J42 +42 =4../2
4
<1>1 =arctg- =45°4
:. Z1= 4../2 145° o 4 R
b) Z2= 7 (não tem parte imaginária)
22 =7
<1>2= 0°
:. Z2= 7 ~
1m
c) Z3 =j3 (não tem parte real) O
23 =3
<1>3= 90°
:. Z3= 3 I 90°
Poderíamos representar,
também, por: z3 =3 I - 270°
-J-
8
Z2 .R.
7
Imt Z33
1\3
.RO
R
26 = ~(-4)2 + (-3)2 = 5
<1>6 = arctg ~ ==370
logo, <1>6= 180+ 37 = 2170
:.26 = 5 12170 Z6
g) 27 = -j4
1m
o
27 =4
<1>7 = 2700 ou <1>7= -900
:. 27 = 4 12700 ou 27 = 4 1-900
R
cil7
~
-4. Z7
w
Números Complexos 9
1-
d) 24 = -3+ j2
1m
24 = (-3)2 + 22 = J13== 3,6
2
<1>4 = arctg3 ==340
Z4
logo, <1>4= 180 - 34 = 1460
:.24 = 3,6 11460
i
10'
R
-3
e) 25 = -5
1m
25 =5
<1>5 = 1800
:. 25 = 5 11800 Z5 Z5 .. I ' R
-5
f) 26 = -4 - j3
l'
h) Z8 =4-j3
1m
o 4
RZ8 = J42 +(-3)2 = 5
<1>8= arctg ~ ==37°
logo, <1>8= 360 - 37 = 323°
:. z8 = 5 1323° ou z8 = 5
Zg
1-37°
Transformação da Forma Polar para Cartesiana
Da figura 1.3, obtêm-se, por trigonometria, as expressões de a e b:
Figura1.3 -Forma Trigonométrica do Número Complexo
Estas expressões podem ser utilizadas para a transformação da
forma polar para a cartesiana.
Portanto, um número complexo pode também ser representado
na forma trigonométrica, como segue:
10
a =Z.cos<l> e b = Z.sen<l>
1m
b_m.-7:'
Z.sencjl
O, Z.coscjl a R
Exemplos:
Transformar os números complexos a seguir,da forma polar para
a cartesianà, representando-os no plano cartesiano:
a) 21 =10 I 60°
a = 10.cos600= 10 . 0,5 = 5
b = 10.sen600= 10 . 0,866 = 8,66
:.21 = 5 + j8,66
1m
o R
b) 22 = 20 1120°
a = 20.cos120° = 20.(-0,5) = -10
b = 20.sen 120°= 20 . 0,866 = 17,32
:.22 =-10+j17,32
1m
R
c) 23 = 50 1-30°
1m
43,40
O1"""- J I. -30" I RI
-25~-__5~_~
Z:3
1m
O R
a = 50.cos(-300) = 50 . 0,866 = 43,30
b = 50.sen(-300) = 50.(-0,5) = -25
:. 23 = 43,30 - j25
d) 24 = 100 1180°
-t-
a = 100. cos180° = 100.(-1) = -100
b = 100.sen1800= 100.(0) = O
-100
:.24 = -100 z,-- 100
Números Complexos 11
1m l'
e) Z5 = 6 I - 90°
a = 6.cos(-900) = 6.(0) = O
b = 6.sen(-900) = 6.(-1) =-6
:.z5 =-j6
f) Z6= 20 I 240°
a = 20.cos2400= 20.(-0,5) = -10
b = 20.sen2400= 20.(-0,866) = -17,32
:. Z6= -10 - j17,32 -~o
I
I
I
I
!/20
JI---f -1732~ '
R
g) Z7 =30 I 45°
1m
a = 30.cos45°= 30 . 0,707 = 21,21
b = 30.sen45°= 30 . 0,707 = 21,21
:. Z7 = 21,21 + j21,21
21,21 i- -- - - - -;fZ,
21;21 Ro
12
o
....
R
-90"
r
6
-6. Zs
1m
As quatro operações matemáticas básicaspodem ser realizadas
com números complexos de forma bastante simples, conforme veremos a
seguir.
Soma e Subtração
Para somar ou subtrair dois números complexos, utiliza-se a
forma cartesiana, somando-se ou subtraindo-se as partes real e imaginária
correspondentes.
Assim, considerando-se os seguintes números complexos genéricos:
ZI = aI + jb1 e Z2 =a2 + jb2
as operações soma zl + z2 e subtração zl -z2 podemser realizadas
conforme segue:
Exemplos:
Considere os seguintes números complexos:
ZI =10+ jl0
Obter:
Z2 =5+ j4 Z3 = -5+ j15 Z4= -10 - j20
a) ZI +z2 = (10 +5)+ j(10 +4) = 15 + j14
b) Z3 + Z4 = [-5 + (-10)] + j[15 + (-20)] =-15 - j5
zl +z4 =[10+(-10)]+j[10+(-20)]=-jl0c)
-L-
Números Complexos 13
l'
d) Z2 +Z3 = [5+(-5)]+ j(4+15) = j19
e) Zl - Z2 = (10 - 5) + j[10 - 4) = 5 + j6
f) Z2-Zl = (5-10)+ j[4-10) = -5- j6
Z3- Z4 = [-5 - (-10)J + j[15 - (-20)J =5 + j35g)
h) Z4 - z3 =[-10 - (-5)] + j(-20 -15) = -5 - j35
Z2 -Z3 = [5- (-5)] + j(4-15) = 10 - jlli)
j) Z3- z2 = (-5 - 5) + j(15- 4) = -10 + jll
Multiplicação e Divisão
Para multiplicar ou dividir dois números complexos, utiliza-se
a forma polar da seguinte maneira:
Multiplicação: Multiplicam-se os módulos e somam-se os
argumentos (ângulos).
Divisão: Dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos
(ângulos).
Assim, considerando-se os seguintes números complexos genéricos:
Zl =21 ~ Z2 =22l...!Le
as operações multiplicação zl.z2 e divisão z/z2 podem ser realizadas
conforme segue:
14
Exemplos:
Considere os seguintes números complexos:
ZI = 4 + j4 = 4J21 45° Z2 = 5 + j8,66 = 10 1 60°
Z3 =-j4=41-9oo=4 1270° z4 =-5+j8,66 =10 1120°
Obter:
a) zl,z2 = 4J21 45° . 10 I 60° =>
zl,z2 = 4J2 . 10 145°+60° = 56,6 1105°
b) z2.z3=loI6O° .41-900 =10.41600-900 =40 1-300
ou
z2.z3 = 10 1600 . 4 I 2700 = 10 . 41 600+2700 = 40 13300
c) Z3'Z4= 4 1-900 . 10 11200 = 4. 10 1 -900+1200 = 40 1300
d) zl.z4 = 4J2 145° . 10 1120° = 40J2 1165°
4J2 145° = 4J2 145°-60° = 0,4J2 1-15°
e) ZIIz2 = 10 160° 10
- 10~ =~ 1600-45°=1,25J21135°
f) z2 1 z3 - 4J2145° 4J2
4J21 45° = 4J2 145°-(-90°)=J2 1135°
g) zl/z3=~ 4
4 ~ - ~ 1-90°-60° = 0,4 1-150°
h) z3 1 z2 = 10 160° - 10
-t-
Números Complexos 15
É possível, também, realizar as operações de multiplicação e divisão
usando a forma cartesiana, porém o processo é um pouco mais trabalhoso.
Multiplicação: Aplica-se a propriedade distributiva e somam-se
as partes reais e imaginárias resultantes.
Exemplo:
Usando a forma cartesiana, realizar a operação zl.z2' conforme
o item (a) do exemplo anterior, e comparar os resultados:
ZI.Z2 =(4 + j4).(5 + j8,66) ~
zl.z2 =(4.5) + (4.j8,66) + (j4.5) + (j4.j8,66) ~
zl.z2 = 20 + j34,64 + j20 + j234,64 ~
zl.z2 = 20 + j54,64-34,64 = -14,64+ j54,64
Convertendo o resultado para a forma polar, tem-se:
21.22 = ~(-14,64)2 +(54,64)2 = 56,6
"', - 54,64 - 75°
't' - arctg1464 =,
logo, cp= 180 - 75 = 105° e, portanto, zl.z2 = 56,6 1105°
Para realizar a operação de divisão entre dois números complexos
na forma cartesiana, é necessário utilizar o conceito de conjugado.
18
1-
i) 10 1120° = 10 1120°-60° = 1 160°
z4 /z2 = 10 160° 10
10 1120° = 10 1120°-(-90°)= 2,51 210°j) z4 /z3 = 4 1-90° 4
Conjugado de um Número Complexo
Dado um número complexo genérico z = a + jb ou z =I~_j), o
seu conjugado z* é definido como:
bt' ~z
I
I
I
I
RIa
I
I
I
-b+- - - - - - - z*
Figura 1.4 - Conjugado de um Número Complexo
A multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado tem
a qualidade de eliminar a parte imaginária do mesmo, pois:
z.z* = (a + jb).(a - jb) = a2 + b2 (resultado somente com parte real)
Desta forma, a divisão entre dois números complexos na forma
cartesiana pode ser realizada como segue:
Divisão: Acha-se o conjugado (z*) do denominador, multiplica-
o pelo numerador e pelo denominador, e realizam-se, em seguida, as
operações necessárias para simplificar o resultado.
Exemplo:
Usando a forma cartesiana, realizar a operação z4/z2' conforme
o item (i) do exemplo visto anteriormente, e comparar os resultados:
z / z = (-5 + j8,66).(5 - j8,66) = -25 + j43,3 + j43,3 + 75 ~
4 2 (5 + j8,66).(5 - j8,66) 52 + 8,662
/ = 50+ j86,6 = 0,5+ jO,866 = 1 1600z4 z2 100
Números Complexos 17
Representação dos Números Complexos
1.1 - Converter os números complexos a seguir, para a forma
polar:
1.2 - Converter os números complexos a seguir, para a forma
cartesiana:
Operações com Números Complexos
1.3 - Dados os números complexos 21' 22' 23 e 24' efetuar as
seguintes operações, deixando as respostas na forma
cartesiana:
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a) 21 =20 - jl0 e) 25 =5
b) 22 =10 + j15 f) 26 = -15
c) 23 = -50 + j30 g) 27 = j25
d) 24 = -6 - j12 h) 28 =-j9
a) 21 =50 I 30° e) 25 = 45 1- 90°
b) 22 = 100 1150° f) 26 = 220
c) 23 = 10 1- 30° g) 27 =3,56I 45°
d) 24 = 251 90° h) 28 = 67 1180°
ZI =40 - jl00 Z2 =50 I 30° Z3 =5 + j8,66 Z4= -20 - j40
1.4 - Efetuar as operações dos itens (g), (h), (i)e m do Exercício
Proposto 1.3 usando a forma cartesiana.
Números Complexos 19
a) ZI +z2 f) Z3 - Z4
b) zl +z4 g) z
c) Z2 +z4 h) z1,z3
d) zl -z2 i) z4 / zl
e) z2 -z3 j) ZI,(z2 +z3)
z4
20