Capítulo 2 Circuitos Trifásicos

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CAPÍTULO 2 
Methodio Varejão de Godoy 
CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
1. OBJETIVO 
O principal objetivo desse texto é apresentar os circuitos trifásicos, su-
as principais equações e relações de uma forma simples, sem o formalismo da 
grande maioria dos livros sobre o assunto, dando uma ênfase maior a aspectos 
práticos com o que encontramos e observamos no nosso dia a dia os sistemas 
elétricos. 
2. INTRODUÇÃO 
Nos sistemas elétricos a potência gerada nas centrais de geração é 
distribuída para consumidores residenciais, comerciais e industriais (Figura 1). 
 
Figura 1 – Sistema elétrico 
 
Existem várias fontes primárias para produzir energia como água, car-
vão, gás, urânio... Nas usinas hidrelétricas, usa-se a energia mecânica da altu-
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
2
ra da água ou da sua vazão para acionar uma máquina primária ou turbina e 
converter energia mecânica em elétrica (Figura 2). 
 
Figura 2 - Usina hidrelétrica 
 
Carvão, óleo e urânio são combustíveis empregados para converter 
água em vapor que aciona uma turbina primária. Algumas concessionárias uti-
lizam turbinas à gás, a vapor ou ainda a gás e a vapor denominadas ciclo com-
binadas. O eixo da turbina é acoplado ao eixo do gerador. Quando o gás ou 
vapor aciona a turbina e movimenta também o gerador este produz energia elé-
trica nos seus terminais (Figura 3). 
 
Figura 3 - Central térmica à vapor 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
3
Geradores de corrente alternada operam com base na teoria da indu-
ção eletromagnética, isto é quando condutores são movimentados dentro de 
um campo magnético, tensões são induzidas nos condutores. 
Um gerador básico consiste de um campo magnético, um enrolamento 
de armadura (onde as tensões são induzidas), anéis coletores, escovas e al-
guns tipos de cargas resistivas como pode ser visto na Figura 4. No gerador 
básico da Figura 4 o campo magnético é produzido pelo imã com seus dois po-
los magnéticos N (norte) e S (sul). Esse fluxo magnético produz um fluxo que 
circula dentro do enrolamento de armadura, a cada posição desse enrolamento 
temos um fluxo diferente passando pelo enrolamento de armadura. Pela Lei de 
Faraday, para cada posição do campo magnético em relação ao campo mag-
nético criado pelo imã, temos um valor de tensão induzida no enrolamento de 
armadura. 
 
Figura 4 - Gerador elementar em corrente alternada 
 
Se a rotação do enrolamento de armadura ocorrer ao longo de um ciclo 
completo isto é 3600, pode ser visto que no primeiro quarto de ciclo a tensão 
iria crescendo até atingir um máximo positivo em 900. A tensão cairia no se-
gundo quarto de ciclo até atingir zero em 1800. Durante o terceiro quarto do ci-
clo a tensão iria aumentando no sentido contrário até atingir o máximo negativo 
em 2700. No quarto ciclo a tensão voltaria a decrescer até atingir zero em 3600. 
Se o enrolamento de armadura for acionado de forma a completar 60 ciclos em 
um segundo, termos então uma tensão induzida no enrolamento de armadura 
na frequencia de 60 Hz. (Figura 5). 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
4
 
Figura 5 - Onda senoidal 
 
3. TENSÕES TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS 
Num sistema elétrico, embora as ligações monofásicas e bifásicas são 
utilizadas em grande escala em circuitos de iluminação, pequenos motores e 
eletrodomésticos. Nos níveis da geração, transmissão e utilização da energia 
elétrica para fins industriais utiliza-se quase que exclusivamente as ligações tri-
fásicas. 
Os geradores síncronos são trifásicos e são projetados de forma que 
as tensões geradas sejam senoidais e simétricas. Essas tensões trifásicas são 
obtidas utilizando três enrolamentos de armadura posicionados 1200 um do ou-
tro, de forma que a cada instante, os três enrolamentos de armadura a cada 
instante são submetidos adiferentes fluxos magnéticos. 
Um sistema elétrico que possui tensões trifásicas senoidais simétricas 
ou equilibradas é um sistema onde as tensões tem o mesmo módulo e são de-
fasadas entre si de 1200, como pode ser visto nas seguintes equações e na Fi-
gura 6. 
)wt(sen.Vv
)wt(sen.Vv
)wt(sen.Vv
MAXC
MAXB
MAXA
0
0
120
120
+=
−=
=
 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
5
 
Figura 6 - Tensões trifásicas equilibradas 
 
As tensões va, vb, e vc são denominadas tensões fase-terra ou de fase 
e são referidas a um ponto comum chamado neutro (n), que pode estar 
aterrado (potencial zero) ou não. 
Empregando o método fasorial as tensões de fase são expressas pelos 
seguintes fasores: 
0
EF
0M
C
0
EF
0M
B
0
EF
0M
A
120 V120 
2
VV
120- V120- 
2
VV
0 V0 
2
VV
+∠=+∠=
∠=∠=
∠=∠=
 
O diagrama fasorial dessas tensões de fase está mostrado na Figura 7. 
1200
1200
1200 VA
VB
VC
 
Figura 7 - Diagrama fasorial das tensões de fase 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
6
Num circuito trifásico define-se tensões de linha ou fase-fase desse 
circuito como sendo as tensões definidas pelas seguintes equações: 
000
000
000
1501503012
9090312012
30303120
+∠=+∠=∠−+∠=−=
−∠=−∠=+∠−−∠=−=
+∠=+∠=−∠−∠=−=
LEFEFEF
0
EFACCA
LEFEFEF
0
EFCBBC
LEFEFEF
0
EFBAAB
VV.V0VVVV
VV.V0VVVV
VV.V0VVVV
 
O diagrama fasorial das tensões de linha ou fase-fase podem ser vistas 
na Figura 8. 
VA
VB
VC -VB
-VA
-VC
VABVCA
VBC
 
Figura 8 - Diagrama fasorial das tensões de linha 
 
Define-se sequencia de fase de um conjunto de tensões trifásicas 
como sendo a ordem em cada uma das tensões atinge o seu valor máximo no 
tempo. Num circuito trifásico podemos observar a presença de duas 
sequencias de fase ABC e ACB. A sequencia de fase ABC das tensões Va, Vb 
e Vc pode ser visto na Figura 9 e e a sequencia de fase ACB ou CBA na Figura 
10. Essas sequencias de fase podem também ser visualizadas a partir do 
diagrama fasorial, os fasores girando no sentido anti-horário definem a 
sequencia de fase. Assim um observador parado junto a tensão da fase a, ele 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
7
vê passar a primeiro a fase B e em seguida a fase C no caso da sequencia de 
fase ABC (Figura 11). 
 
Figura 9- Sequencia de fase ABC 
 
 
Figura 10 - Sequencia de fase CBA 
 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
8
VA
VB
VC
OBSERVADOR
 
Figura 11 - Sequencia de fase num diagrama fasorial 
 
Na sequencia de fase CBA, as tensões trifásicas senoidais simétricas 
ou equilibradas tem o mesmo módulo e são defasadas entre si de 1200, dadas 
pelas seguintes equações: 
)wt(sen.Vv
)wt(sen.Vv
)wt(sen.Vv
MAXC
MAXB
MAXA
0
0
120
120
−=
+=
=
 
O diagrama fasorial das tensões de linha ou fase-fase na sequencia de 
fase CBA podem ser vistas na Figura 12. 
VA
VB
VC -VB
-VA
-VC
VABVCA
VBC
 
Figura 12 - Diagrama fasorial das tensões de linha na sequencia CBA 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
9
É importante destacar que independente da sequencia de fase a rela-
ção entre a tensão de fase VF e a tensão de linha VL é dada por: 
3
L
F
VV =
 
4. CARGAS TRIFÁSICAS 
As cargas trifásicas industriais (como os motores elétricos) são usual-
mente simétricas ou equilibradas, isto é tem impedâncias iguais nas três fases. 
As cargas monofásicas e bifásicas como as de iluminação, os aparelhos ele-
trodomésticos, motores monofásicos são distribuídos entre as fases de modo 
que o sistema não fique desequilibrado ou assimétrico. 
Nos sistemas elétricos as cargas elétricas são usualmente conectadas 
em estrela (ou Y), aterrada ou nãoe em triângulo (ou delta). 
 
TRIÂNGULO
ESTRELA
NÃO
ATERRADA ESTRELA
ATERRADA
 
Figura 13 - Ligações usuais das cargas equilibradas 
 
Nas ligações em triângulo as cargas são alimentadas pela tensão de 
tensão de linha enquanto que nas cargas ligadas em estrela elas são alimenta-
das pela tensão de fase. 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
10
Considerando as impedâncias das três fases iguais (carga equilibrada) 
as correntes que circulam em cada fase são dadas pelas seguintes ex-
pressões: 
)wt(sen.Ii
)wt(sen.Ii
)wt(sen.II
MAXC
MAXB
MAXA
0
0
120
120
+θ−=
−θ−=
θ−=
 
Os fasores das correntes podem ser obtidos a partir das equações: 
 
0EF0M
C
0EF0M
B
EFM
A
120θ- 
Z
V120θ- 
2
II
120-θ- 
Z
V120-θ- 
2
II
θ- 
Z
V
θ- 
2
II
+∠=+∠=
∠=∠=
∠=∠=
 
A Figura 14 mostra os diagramas fasoriais das tensões e das correntes 
em circuito trifásico equilibrado, onde θ é o ângulo do fator de potência isto é a 
diferença entre a fase da tensão e da corrente. 
 
VA
VB
VC
IA
IC
IB
θ
θ
θ
 
Figura 14 - Tensões e correntes num circuito trifásico equilibrado 
 
Com a carga equilibrada, isto é com impedâncias nas três fases iguais 
temos que: 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
11
0=++ CBA III 
Para a carga ligada em estrela mostrada na Figura 15, as seguintes 
observações sobre as tensões e correntes podem ser obtidas: 
Z
ZZ
VAB
VBC
VC
IA
IB
IC
VA
VB
VCA
 
Figura 15 - Carga ligada em estrela 
 
• As tensões aplicadas a cada carga (VZ) são as tensões fase-
neutro (tensão de fase) e não as tensões fase-fase (tensões de 
linha) e as relações entre essas tensões são dadas pelas se-
guintes equações: 
000
000
000
1501503012
9090312012
30303120
+∠=+∠=∠−+∠=−=
−∠=−∠=+∠−−∠=−=
+∠=+∠=−∠−∠=−=
LEFEFEF
0
EFACCA
LEFEFEF
0
EFCBBC
LEFEFEF
0
EFBAAB
VV.V0VVVV
VV.V0VVVV
VV.V0VVVV
 
ou de forma resumida: 
3
L
FZ
VVV ==
 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
12
• As correntes que circulam por cada uma das cargas (IZ) são as 
próprias correntes que circulam pelo condutor da alimentação ou 
condutor de linha. 
CZC
BZB
AZA
II
II
II
=
=
=
 
Para a carga ligada em triângulo mostrada na Figura 16, as seguintes 
observações sobre as tensões e correntes podem ser obtidas: 
 
Z Z
Z
VA
VB
VC
IA
IB
IC
IBC
IAB ICA
VAB
VBC
VCA
 
Figura 16 - Carga ligada em triângulo 
 
• As tensões aplicadas a cada carga (VZ) são as tensões fase-fase 
(tensão de linha). 
• As correntes que circulam por cada uma das cargas (IZ) são as 
correntes IAB, IBC e ICA (denominadas correntes de fase) distintas 
das que circulam pelo condutor da alimentação ou condutor de 
linha. Para obter as correntes nas cargas, vamos aplicar a Lei das 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
13
Correntes de Kirchhoff para cada um dos três nós do triângulo, de 
modo que: 
BCCACBCCCA
ABBCBABBBC
CAABACAAAB
III III
III III
III III
−=⇒+=
−=⇒+=
−=⇒+=
 
Z Z
Z
IA
IB
IC
IBC
IAB
ICA
IAB
IBC
ICA
 
Figura 17 – Lei das correntes de Kirchhoff apliacada aos nós do triângulo 
 
Admitindo as correntes de fase equilibradas dadas pelos seguintes 
fasores: 
0
EF
0MF
CA
0
EF
0MF
BC
0
F
0MF
AB
120 I120 
2
II
120- I120- 
2
II
0 I0 
2
II
+∠=+∠=
∠=∠=
∠=∠=
 
as correntes de linha podem ser determinadas a partir das equações : 
0
LFBCCAC
0
LFABBCB
0
L
0
FCAABA
0II.III 
01II.III 
30I30.I3III 
9903
51503
0
0
+∠=+∠=−=
−∠=−∠=−=
−∠=−∠=−=
 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
14
Resumindo, podemos concluir que para circuitos trifásicos equilibrados 
com cargas ligadas em triângulo o módulo da corrente de linha é o módulo da 
corrente de fase dividida por raiz de três, isto é: 
FL
L
F
I.I 
 ou 
II
3
3
=
=
 
5. TRANSFORMAÇÃO ESTRELA TRIÂNGULO 
Dado um conjunto de impedâncias equilibradas ZΔ (valores iguais nas 
três fases) conectadas em triângulo, podemos obter um conjunto de impedân-
cias equilibradas equivalentes em estrela ZY (Figura 18), desde que a relação 
entre os valores de impedância dos dois circuitos seja: 
3
∆ZZ Y = 
 
Z Z
Z
ZY
ZY ZY
 
Figura 18 – Transformação estrela triângulo 
 
Portanto quando for mais conveniente ter todas as impedâncias de 
uma rede conectada em estrela ou todas em triângulo pode-se substituir um 
conjunto por outro equivalente desde que a relação entre as impedâncias seja 
empregada. 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
15
6. POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS 
Considere uma carga trifásica simétrica submetida a tensões trifásicas 
equilibradas alimentada por correntes trifásicas equilibradas como pode ser vis-
to na Figura 19 e no diagrama fasorial mostrado na Figura 20. 
CARGA
TRIFÁSICA
SIMÉTRICA
IA
IB
IC
VA
VB
VC
 
Figura 19 – Carga trifásica simétrica 
 
 
VA
VB
VC
IA
IC
IB
θ
θ
θ
 
Figura 20 – Tensões e correntes equilibradas 
 
A potência ativa e reativa cedida a esta carga simétrica por ser obtida a 
partir da potência complexa trifásica dada por: 
*
CC
*
BB
*
AAF I.VI.VI.VS ++=3 
Considerando que: 
0
EFC
0
EFB
0
EFA
120 VV
120- VV
0 VV
+∠=
∠=
∠=
 
e: 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
16
0
EFC
0
EFB
EFA
120θ- II
120-θ- II
θ- II
+∠=
∠=
∠=
 
a potência complexa trifásica passa a ser expressa a partir das potências ativas 
e reativas cedidas a carga pela seguinte equação: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) FFEFEFEFEFF
*
EFEF
*
EFEF
*
EFEFF
jQPθsen.I.V..jθcos.I.V.S
θI.V
θI.VθI.VS
333
000
00000
3
33
120120
1201200
+=+=
−+∠+∠+
−−∠−∠+−∠∠=
 
As potências ativa e reativa cedidas a uma carga simétrica podem ain-
da serem calculadas a partir das tensões de linha, usando a seguinte equação: 
EFLEF V.V 3= 
 obtem-se: 
( ) ( ) FFEFLEFEFLEFF jQPθsen.I.V..jθcos.I.V.S 333 33 +=+= 
 
θcos.I.V.P EFEFF 33 =
θsen.I.V.Q EFEFF 33 =
EFEFF I.V.N 33 =
θ
 
Figura 21- Triângulo das potências 
 
É importante destacar que todas essas relações podem ser obtidas a 
partir do triângulo de potências da Figura 21 onde podem ser obtidas as se-
guintes equações: 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
17
( ) ( )
F
F
F
F
FFF
N
Q
θsen
N
P
θcosFP
QPN
3
3
3
3
2
3
2
33
=
==
+=
 
7. POTÊNCIA CEDIDA A CARGAS SIMÉTRICAS EM ESTRELA 
Considere uma carga simétrica como a mostrada na Figura 22, a 
potência complexa cedida a ela é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
FFEFEFEFF
CBA
*
CC
*
BB
*
AAF
*
CC
*
BB
*
AAF
jQPI.X.jI..RI.Z.S
I.ZI.ZI.ZI.I.ZI.I.ZI.I.ZS
I.VI.VI.VS
33
222
3
222
3
3
333 +=+==
++=++=
++=
 
Z
ZZ
VAB
VBC
VC
IA
IB
IC
VA
VB
VCA
 
Figura 22 – Carga simétrica em estrela 
 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
18
EXERCÍCIOS 
1. Para a linha de transmissão em 13,8 kV da Figura 1. Apresente quais são 
as tensões de linha e quais são as tensões de fase em módulo e fase. 
 
Figura 23 - Linha em 13,8 kV 
2. Se a tensão entre as fases B e C (VBC) é 380V com fase 150. Obter as 
tensões de fase VA, VB e VC. Apresente o diagrama fasorial admita asequencia de fase ABC. 
3. Conceitue: sequencia de fase, tensão de linha, tensão de fase, corrente de 
linha e corrente de fase. 
4. O que significa um sistema elétrico trifásico equilibrado? E impedâncias 
simétricas? 
5. Uma carga ligada em estrela (Figura 24) tem uma impedância Z é de 
(20+j95) ohms. Se a tensão VBC aplicada é de 389 V com fase 1500. Obter 
as tensões: VA, VB, VC, VAB e VCA. Obtenha também as correntes nas três 
fases, a potência ativa e reativa abasorvida e o diagrama fasorial. 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
19
Z
Z Z
389 V
 
Figura 24 – Carga ligada em estrela 
6. Uma carga ligada em triângulo (Figura 24) tem uma impedância Z é de 
(20+j95) ohms. Se a tensão VBC aplicada é de 380 V com fase 150. Obter as 
tensões: VA, VB, VC, VAB e VCA. Obtenha também as correntes nas três 
fases, a potência ativa e reativa abasorvida e o diagrama fasorial. 
380 V
Z Z
Z
 
Figura 25 – Carga ligada em triângulo 
7. Um alimentador trifásico alimenta duas cargas A e B em 380 V (Figura 26). 
Considerando a impedância da carga A de (30+j62) ohms e a da carga B de 
(12+j84) ohms. Pede-se as correntes nas fases A que alimentam as duas 
cargas, as tensões de linha, as tensões de fase, as correntes na carga 
ligada em triângulo e o diagrama fasorial. 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
20
CARGA B
CARGA A
Z1 Z1
Z1
Z2
Z2 Z2
380 V
 
Figura 26 – Cargas ligada em estrela e triângulo 
8. Um motor de indução trifásico ligado em triângulo é alimentado em 380 V 
entre fases e absorve uma corrente de 4A com fator de potência 0,85 
indutivo (Figura 27). Obter a potência ativa e reativa absorvida pelo motor. 
 
Figura 27 – Motor de Indução 
9. Um transformador trifásico tem potência nominal de 100 kVA, e relação de 
transformação nominal de 13.800V/380V. Obtenha a corrente nominal no 
lado de alta tensão. E no lado de baixa tensão? 
 
Figura 28 – Transformador trifásico 
 
10. Um transformador alimenta três consumidores no seu secundário ou lado 
de baixa tensão com fornecimento de energia elétrica trifásico: Consumidor 
A: 18 KW com fator de potência 0,86 indutivo; Consumidor B: 16 KVA com 
Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos 
 
 
 
21
fator de potência 0,89 indutivo e o Consumidor C: 10 KVAR com fator de 
potência 0,81 indutivo. Obter a potência ativa e reativa total que o 
transformador alimenta.