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Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-77 1o. Semestre de 2013 – Primeira Avaliac¸a˜o INSTRUC¸O˜ES: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATI- VAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida. Questa˜o 1: Dado o sistema { 6x+ ky = 9 2x− 7y = 1 , de inco´gnitas x e y determine: (a) k para que o sistema seja imposs´ıvel. (b) k tal que o sistema possua soluc¸a˜o u´nica. Questa˜o 2: Considere a matriz A = 4 2 02 4 0 0 0 4 . Encontre valores λ ∈ R tais que o sistema linear (A− λI3)X = 0 possua soluc¸a˜o na˜o-trivial. Questa˜o 3: Calcule o determinante da matriz A sabendo que A · ( 5 −4 3 4 ) = ( 4 6 3 11 ) Questa˜o 4: Um exemplo simples e interessante do uso de matrizes e´ o acontece quando trabalhamos com o CPF (Cadastro de Pessoas F´ısicas). O nu´mero de inscric¸a˜o do CPF e´ constitu´ıdo de nove d´ıgitos agrupados de treˆs em treˆs, mais dois d´ıgitos verificadores, por exemplo 313.402.809−XY. Os d´ıgitos verificadores X e Y teˆm por finalidade comprovar a validade do nu´mero do CPF informado. Tais d´ıgitos sa˜o obtidos por multiplicac¸a˜o de matrizes. • O Ca´lculo do primeiro d´ıgito verificador. Tomamos a matriz linha A = (aij)9×1 constitu´ıda dos d´ıgitos do CPF na ordem em que eles aparecem e fazemos o seu produto com a matriz coluna B = (bij)1×9 em que Bt = [10 9 8 7 6 5 4 3 2]. A seguir tomamos o resto da divisa˜o inteira da u´nica entrada da matriz A ·B pelo nu´mero 11. Se o resto for 0 ou 1 o primeiro d´ıgito verificador sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o primeiro d´ıgito verificador sera´ 11-resto. • O Ca´lculo do segundo d´ıgito verificador. Tomamos a matriz linha C = (cij)10×1 constitu´ıda dos d´ıgitos do CPF mais o primeiro d´ıgito verificador na ordem em que eles aparecem e fazemos o seu produto com a matriz coluna D = (dij)1×10 em que Dt = [11 10 9 8 7 6 5 4 3 2]. A seguir tomamos o resto da divisa˜o inteira da u´nica entrada da matriz C ·D pelo nu´mero 11 Se o resto for 0 ou 1 o segundo d´ıgito verificador sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o segundo d´ıgito verificador sera´ 11-resto. Encontre os d´ıgitos verificadores do CPF. 313.402.809−XY.
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