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PROVA CORRIGIDA E COMENTADA 
 
1. Os pontos F(2, 0, 0), G(0, 2, 0) e H(0, 0, 6) são vértices de um triângulo. Calcular o comprimento do 
segmento que une os pontos médios dos lados maiores. (Sugestão: faça um esboço.) 
 F (2, 0, 0) 
 
 P Q 
 
 
H(0, 0, 6) G(0, 2, 0) 
 
Primeiro é necessário calcular o tamanho dos lados. Para isso usamos o cálculo do módulo de um vetor 
definido por dois pontos. (ver livro página 99) �������� = � − � = �0 − 2,2 − 0,0 − 0� = �−2,2,0�												
��������
 = ��−2�� + 2� + 0� = √4 + 4 + 0 = √8	 
�������� = � − � = �0 − 2,0 − 0,6 − 0� = �−2,0,6�											
��������
 = ��−2�� + 0� + 6� = √4 + 0 + 36 = √40	 
��������� = � − � = �0 − 0,0 − 2,6 − 0� = �0, −2,6�										
���������
 = �0� + �−2�� + 6� = √0 + 4 + 36 = √40 
Então os dois segmentos de maiores são FH e GH, então é preciso achar o ponto médio em cada segmento. 
Ponto médio é media aritmética entre as coordenadas. (ver livro páginas 129-130) 
Ponto médio de FH é ����� , ���� , ���� � = �1,0,3� vamos chamar de P 
Ponto médio de GH é ����� , ���� , ���� � = �0,1,3� vamos chamar de Q 
E comprimento do segmento que une os pontos médios é o comprimento de PQ, isto é: �������� = � − � = �0 − 1,1 − 0,3 − 3� = �−1,1,0�												
��������
 = ��−1�� + 1� + 0� = √1 + 1 + 0 = √2	 
 
R: √� 
 
2. Achar a área do paralelogramo cujos lados são os vetores ��� = (1, −3, 1) e !�� = (1, 4, 2). 
Para encontrar área do paralelogramo, é preciso calcular primeiro o produto vetorial. (ver livro páginas 111-
115) 
 × !������������ = #$ % &1 −3 11 4 2#
$ %1 −31 4 = −6$ + % + 4& − 4$ − 2% + 3& = −10$ − % + 7& 
Área é o módulo do produto vetorial. 
 × !������������
 = ��−10�� + �−1��+7� = √100 + 1 + 49 = √150 ≅ 12,25 
R: 12,25 
 
3. Dados os vetores ���= (2, 2, 0) , !�� = (m , m , −m ) e +���� = (3, 0, −m ), calcule o valor de m a fim de que 
seja de 9 unidades o volume do paralelepípedo cujas arestas são os vetores ���, !��	e +����. 
Para encontrar volume do paralelepípedo, é preciso calcular primeiro o produto misto. (ver livro páginas 
115-116) 
, ��� × 	!��-	.+���� 	= # 2 2 0/ / −/3 0 −/#
2 2/ /3 0 = −2/
� − 6/ + 2/� = −6/ 
Volume é o módulo do produto misto. 
, ��� × 	!��-	.+����
 	= 9 |−6/| 	= 9 
é uma equação modular, então −6/ = 9				12			 − 6/ = 	−9 
/ = 9−6 				12			/ = −9−6 
/ = 3−2 				12			/ = 32 
 
Observação: eu não me dei conta que daria uma equação modular quando elaborei a prova e por isso na 
correção considerei correta quando foi apresentado pelo menos um dos resultados acima, resolvido como se 
fosse uma equação de primeiro grau apenas. 
 
R: / = 34� 				12			/ = 3� 
 
 
4. Determine o ângulo entre as retas 
 5: 78 = 2 + 39: = 39; = 2 − 49
<
 e =: >8+32 <= :−34 = ;−3. 
Calcular ângulo entre duas retas é preciso dos vetores diretores das retas. (ver livro página 124) 
A reta r está escrita por equações paramétricas e o vetor diretor são os coeficiente do parâmetro t, ou seja, !?���� = �3,3, −4�. 
A reta s está escrita por equações simétricas e o vetor diretor são os denominadores, ou seja, !@���� = �2,4, −3�. 
Para calcular ângulo temos a fórmula 
 cos D = 
EF�����.EG����
HEF�����IHEG����I = |3.��3.J��4J�.�43�|�3K�3K��4J�K��K�JK��43�K = |��L��L�|√M�M�L�√J�L��M = |3�|√3J√�M = 3�√MN� 
 
Fazendo arco cosseno encontramos D ≅ 17,18° 
 
R: 17,18o 
 
5. Determine a equação do plano que passa pelo ponto A(1, −4, 3) e é perpendicular a reta 
 5: > 8−4<= :+32 = ;+21 . 
Para escrever a equação de um plano precisamos de um ponto por onde ele passe e um vetor normal. (ver 
livro páginas 132-136) 
Como o plano é perpendicular a reta r, podemos usar o vetor diretor da reta r como sendo o vetor normal 
ao plano. Equações simétricas têm o vetor diretor no denominador. !?���� = �−4,2,1� = P�� 
Equação geral do plano Q8 + R: + S; + T = 0 sendo P�� = �Q, R, S� e vamos usar A(x,y,z). −4.1 + 2. �−4� + 1.3 + T = 0 −4 − 8 + 3 + T = 0 −9 + T = 0 T = 9 
 
R: Então a equação do plano é −UV + �W + X + Y = Z 
 
OBS.: Em duas provas a questão 5 era como está acima e em outras duas provas como esta abaixo: 
 
Determine a equação do plano que passa pelo ponto A(3, −1, 4) e é paralela ao plano 
 [:−48 + 2: + ; − 3 = 0. 
Para escrever a equação de um plano precisamos de um ponto por onde ele passe e um vetor normal. (ver 
livro páginas 132-136) 
Como o plano é paralelo ao plano [, podemos usar o vetor normal a [	como sendo o vetor normal ao plano 
desejado. Para encontrar o vetor normal do plano [ basta olhar na equação os valores de a, b e c. P�� = �−4,2,1� 
−4.3 + 2. �−1� + 1.4 + T = 0 −12 − 2 + 4 + T = 0 −10 + T = 0 T = 10 
 
R: Então a equação do plano é −UV + �W + X + \Z = Z 
 
 
6. Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(1, −2, 0) e B(2, 2, 3). 
Para escrever as equações de uma reta, precisamos de um ponto da reta e o vetor diretor. (ver livro páginas 
119-122) 
Como sabemos que a reta passa nos pontos A e B, podemos definir o vetor diretor como ]^������ = ^ − ] = �2 − 1,2 + 2,3 − 0� = �1,4,3� 
R: 
5: 7 8 = 1 + 9: = −2 + 49; = 39
<
 ou 						5: 7 8 = 2 + 9: = 2 + 49; = 3 + 39
<
 
usando o ponto A usando o ponto B 
 
7. Escreva as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, −4, 0) e é paralela a reta 
5: 7 8 = 2 + 29: = −3 + 39; = −1 − 9
<
. 
Para escrever as equações de uma reta, precisamos de um ponto da reta e o vetor diretor. (ver livro páginas 
119-122) 
Como sabemos que a reta é paralela a reta r, podemos usar vetor diretor da reta r (ver os coeficientes de t). !?���� = �2,3, −1� 
Nas equações simétricas no numerador usamos as coordenados do ponto A e no denominador o vetor. 
R: 
_43
� = `�J3 = a4L 
 
 
8. Determinar um ponto P do eixo das abscissas cuja distância ao ponto A (−3, 4, 8) seja igual a 12 
unidades. 
Ponto do eixo das abscissas P(x, 0, 0). 
Distância entre os pontos A e P é módulo do vetor. (ver livro página 91) 
 
]�������
 = 12 
��8 + 3�� + �0 − 4�� + �0 − 8�� = 12 
���8 + 3�� + 4� + 8��� = 12� �8 + 3�� + 4� + 8� = 144 8� + 68 + 9 + 16 + 64 = 144 8� + 68 − 55 = 0 
Pela fórmula de báscara 4b±√bK4Jde�d 
 8 = 5	12	8 = −11 
 
 R: P(5, 0, 0) ou P(-11, 0, 0) 
 
Obs.: em outras provas era o ponto no eixo das ordenadas P(0, y, 0) daí a resolução é semelhante e a 
resposta é P(0, 5, 0) ou P(0, -11,0). 
 
9. Dados os pontos: A(–3, 4, 2), B(m, –2, 4), C(–5, m, –4) e D(–1, 2, –3), calcule m de modo que os vetores ]^������ e fg������ sejam ortogonais. 
Para serem ortogonais, o produto escalar é zero. (ver livro página 111) ]^������. fg������ = 0 ]^������ = ^ − ] = �/ + 3,−2 − 4,4 − 2� = �/ + 3,−6,2� fg������ = g − f = �−1 + 5,2 − /,−3 + 4� = �4,2 − /, 1� ]^������. fg������ = 0 �/ + 3�. 4 + �−6�. �2 −/� + 2.1 = 0 
 4/ + 12 − 12 + 6/ + 2 = 0 10/ + 2 = 0 
/ = −210 = −15 
 
10. Verifique se os pontos A (7, 4, −7), B (5, 2, −6) e C (−1, −4, −3) são colineares. 
Basta fazer a relação explicada na página 123. ]^������ = ^ − ] = �5 − 7,2 − 4, −6 + 7� = �−2,−2,1� ]f������ = f − ] = �−1 − 7,−4 − 4,−3 + 7� = �−8,−8,4� 
Para serem colineares, as projeções devem ser proporcionais. −2−8 = −2−8 = 14 
 hã1!