AP1 Calculo 3 gabarito(1)

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CURSO DE LICENCIATURA EM FÍSICA/MATEMÁTICA
PRÓ-LICENCIATURA/UAB
1
a
AVALIAÇÃO PRESENCIAL - AP1 � DATA:10/05/2014 � VALOR: 40 PONTOS
DISCIPLINA: CÁLCULO III
PROFESSOR(A): GRIGORI CHAPIRO
ALUNO(A): N
o
DE MATRÍCULA:
POLO:
Informações: Esta prova contém quarto questões.
A prova deve ser feita sem consulta a qualquer material.
Não é permitido usar rascunhos ou calculadoras.
A resolução das questões pode ser feita a lápis.
Questões sem desenvolvimento não serão corrigidas.
Questão 1: Dada função f : R2 → R, f(x, y) = x2 − 2y2 − 1.
(a) Encontre a equação da curva de nível de f(x, y) que corresponde ao valor 0.
(b) Faça o esboço desta curva de nível.
Solução:
(a) curva de nível de f(x, y) que corresponde ao valor 0 é x2− 2y2− 1 = 0. Assim a curva de nível é uma hipérbole:
{(x, y) ∈ R2, x2 − 2y2 = 1}
(b) Esboço da curva x2 − 2y2 = 1:
-1 1 x
y
Pontuação: (a) 15 pts. (b) 10 pts. Parte do desenho 5pts.
Questão 2: Determine o domínio de continuidade da função f : R2 → R de�nida por
f(x, y) =

1
x2 + (y − 2)2 (x, y) 6= (0, 2)
0 (x, y) = (0, 2)
Solução:
1
A função f(x, y) é contínua para todos os pontos onde x2 + (y − 2)2 6= 0 (não anula), portanto basta veri�car se
f(x, y) é contínua no ponto (0, 2). Para que a função seja contínua em (0, 2), o limite desta função no ponto (0, 2)
tem que existir e ser 0. Temos
Fazemos y = 2, temos
lim
(x,y)→(0,2)
f(x, 2) = lim
x→0
1
x2
=∞.
Ou seja, o limite não existe! Portanto a função f não é contínua em (0, 2) e o domínio de continuidade da função
f é {(x, y) ∈ R2, (x, y) 6= (0, 2)}.
Pontuação:
Erro de conta (-5pts). Resposta sem justi�cativa 0 pts.
Quem lembrou da de�nição de continuidade ganhou 10 pts.
Questão 3: Dizemos que um par de funções u(x, y) e v(x, y) satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann se
∂u
∂x
=
∂v
∂y
e
∂u
∂y
= −∂v
∂x
.
Veri�que se seguintes pares de funções veri�cam as Equações de Cauchy-Riemann:
1. u(x, y) = x2 − y2 e v(x, y) = 2xy;
2. u(x, y) =
−y
x2 + y2
e v(x, y) =
x
x2 + y2
.
Solução:
Item (1). Calculando as derivadas parciais temos:
∂u
∂x
= 2x,
∂u
∂y
= −2y, ∂v
∂x
= 2y,
∂v
∂y
= 2x.
Substituindo nas relações de Cauchy-Riemann temos que de fato
∂u
∂x
=
∂v
∂y
e
∂u
∂y
= −∂v
∂x
.
Item (2). Calculando as derivadas parciais temos:
∂u
∂x
=
2xy
(x2 + y2)2
,
∂u
∂y
=
−x2 − y2 + 2y2
(x2 + y2)2
=
−x2 + y2
(x2 + y2)2
,
∂v
∂x
=
x2 + y2 − 2x2
(x2 + y2)2
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
,
∂v
∂y
=
−2xy
(x2 + y2)2
.
Neste caso temos
∂u
∂x
= −∂v
∂y
e
∂u
∂y
=
∂v
∂x
.
Portanto as relações de Cauchy-Riemann nao são satisfeitas.
Pontuação: Item 1. 10 pts. Item 2. 15 pts. Erro de conta (-5pts).
Questão 4: Determine o conjunto no qual a função f(x, y) = |x|+ y admite ambas as derivadas parciais.
Solução:
Existem várias formas de resover esta questão. A mais fácil é:
A função f(x, y) pode ser escrita como soma de duas funções f1(x, y) = |x| e f2(x, y) = y, logo as derivadas parciais
de f(x, y) existem nas mesmas regiôes onde existem as derivadas parcias de f1 e f2 simultaneamente. Do cálculo 1
sabemos que a funçao f1 não é derivavel apenas em x = 0 e f2 é derivavel em R2 todo. Portando a região é:
R = {(x, y) ∈ R2, x 6= 0}.
Pontuação: 25 pts.
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