AP1-CIII-2020-1-gabarito Calculo 3 Cederj

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Cálculo III – Gabarito –2020-1
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Questão 1 (3,0 pontos)
Calcule os seguintes limites:
(a) (1,5 ponto) lim
(x,y)→(1,1)
x2 − y2
x− y
;
(b) (1,5 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
sen x
x + y .
Solução:
(a) Como
x2 − y2 = (x + y)(x− y),
temos
lim
(x,y)→(1,1)
x2 − y2
x− y
= lim
(x,y)→(1,1)
(x + y)(x− y)
x− y
= lim
(x,y)→(1,1)
(x + y) = 2
(b) Ponhamos
h(x, y) = sen x
x + y ,
para cada (x, y) ∈ R2 tal que x 6= −y. Como
lim
t→0
h(t, 0) = lim
t→0
sen t
t + 0 = limt→0
sen t
t
= 1
e
lim
t→0
h(0, t) = lim
t→0
sen 0
0 + t = limt→0 0 = 0
deduzimos que lim
(x,y)→(0,0)
sen x
x + y não existe.
Questão 2 (3,0 pontos)
Considere a função f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) =
{
x3−x2+xy2−y2
x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0);
1 se (x, y) = (0, 0).
Cálculo III AP1 2
(a) (1,0 ponto) Prove que f não é cont́ınua em (0,0);
(b) (1,0 ponto) Calcule as derivadas parciais de f em (0, 0), caso existam;
(c) (1,0 ponto) Sem utilizar a definição de diferenciabilidade, decida se f é diferenciável.
Solução:
(a) Observemos que
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
x3 − x2 + xy2 − y2
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2)(x− 1)
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
(x− 1)
= −1 6= f(0, 0).
Portanto, f não é cont́ınua em (0, 0)
(b) Observemos que
lim
h→0+
f(0 + h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0+
h3−h2
h2
− 1
h
= lim
h→0+
h− 2
h
= −∞
e que
lim
h→0+
f(0, 0 + h)− f(0, 0)
h
= lim
h→0+
−h2
h2
− 1
h
= lim
h→0+
−2
h
= −∞.
Portanto, não existem as derivadas parciais de f em (0, 0).
(c) A função f não é diferenciável em (0, 0), pois não é cont́ınua em tal ponto.
Questão 3 (4,0 pontos)
Considere a função g : R2 −→ R, definida por
g(x, y) = x2 + y2,
para cada (x, y) ∈ R2.
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Cálculo III AP1 3
(a) (1,0 ponto) Calcule as derivadas parciais de g, em cada (x, y) ∈ R2;
(b) (2,0 ponto) Utilizando a Definição de Diferenciabilidade, prove que g é diferenciável em (1, 0);
(c) (1,0 ponto) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g, no ponto P = (1, 0, g(1, 0)).
Solução:
(a) Claramente, para cada (x, y) ∈ R2, temos
gx(x, y) = 2x e gy(x, y) = 2y.
(b) Para cada (h, k) ∈ R2, definamos
r(h, k) := g(1 + h, 0 + k)− g(1, 0)− gx(1, 0)h− gy(1, 0)k,
isto é,
r(h, k) = [(1 + h)2 + k2]− (12 + 02)− 2 · 1 · h− 2 · 0 · k = h2 + k2.
Portanto,
lim
(h,k)→(0,0)
r(h, k)√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
h2 + k2√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
√
h2 + k2 = 0.
Portanto, g é diferenciável em (1, 0).
(c) Sendo g uma função diferenciável em (1, 0), a equação do plano tangente ao gráfico de g, no
ponto P = (1, 0, g(1, 0)) = (1, 0, 1), é dada por
z − g(1, 0) = gx(1, 0)(x− 1) + gy(1, 0)(y − 0),
ou seja, z = 2x− 1 é a equação do plano tangente ao gráfico de g, no ponto P .
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RASCUNHO
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