EB Part3 - Provas CEFET

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Junho de 2013
Leis do Eletromagnetismo e Corrente Variável
Abstract
Lei de Gauss; lei de Faraday; equações de Maxwell; capacitores e indutores; circuitos RC, RL e LC.
Dirceu Portes
Centro Federal de Educação Tecnológica -CEFET/RJ
Contents
1 Lei de Gauss 1
1.1 Fluxo de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Lei de Gauss para o campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Lei de Gauss para o campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Capacitância e capacitores 4
2.1 Energia e potência em um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Capacitância equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Lei de Faraday-Lenz 7
4 Equações de Maxwell 10
5 Indutância e indutores 11
5.1 Energia e potência em um indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Circuitos com corrente variável 15
6.1 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2 Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3 Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 Problemas 18
7.1 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1 Lei de Gauss
O eletromagnetismo está alicerçado em quatro leis fundamentais, que podem ser expressas em
linguagem matemática e são conhecidas como as quatro equações de Maxwell. Partiremos agora
para o estudo de duas leis fundamentais do eletromagnetismo — a lei de Gauss para o campo
elétrico e a lei de Gauss para o campo magnético. Mas, primeiramente, é conveniente rever o
noção matemática de ‡uxo de um campo vetorial.
1.1 Fluxo de um campo vetorial
Qualquer superfície plana pode ser representada por um vetor ~S, de módulo igual a área da
superfície e direção perpendicular à superfície (o sentido do vetor ~S é arbitrário no caso de uma
superfície plana). Suponha uma superfície plana, representada pelo vetor ~S; imersa em um campo
vetorial uniforme ~� qualquer; o ‡uxo �v pode ser obtido facilmente pelo produto escalar dos
vetores dos vetores ~S e ~�;
� = ~� � ~S (superfície plana). (1)
O ‡uxo não é um vetor, pois o produto escalar resulta em um número real. Na Física, a noção
de ‡uxo é aplicada em diferentes contextos e seu signi…cado irá depender da natureza do campo
vetorial ~�: Por exemplo: se ~� fosse o campo de velocidades em um ‡uido, o ‡uxo corresponderia a
vazão do líquido através da superfície ~S; se ~� fosse a densidade de corrente ~j, o ‡uxo corresponderia
à corrente elétrica através da superfície ~S:
O cálculo de ‡uxo resume-se a um simples produto escalar apenas quando a superfície for plana
e o campo uniforme, no caso mais geral, quando a superfície for curva, ou quando o vetor ~� variar
ao longo da superfície, a relação (1) acima perde o sentido. No entanto, ainda pode ser aplicada
a uma pequena região da superfície (in…nitésimo), representada pelo vetor d
�!
S ,
d� = ~� � d~S:
A idéia é simples: o planeta Terra possui uma superfície curva, mas temos a ilusão que é plana. Isso
porque alguns quilômetros quadrados ao nosso redor são ín…mos quando comparados à superfície
total da Terra. Justamente essa é a idéia de in…nitésimo: uma fração de superfície tão pequena,
1
que pode ser tratada como plana. Desse modo, o produto escalar de ~� � d~S (~� é o campo em d~S)
fornece o in…nitésimo de ‡uxo através da fração de área d~S. O ‡uxo total será obtido pela soma
de todos d� ao longo da superfície. A soma de in…nitésimos é a própria integral, logo
� =
Z
S
d� =
Z
S
~� � d~S: (2)
O sentido do vetor d~S é relevante para o cálculo do ‡uxo. Em superfícies aberta seu sentido é
arbitrário, mas em superfícies fechadas, por convenção, o sentido do vetor d~S é sempre para fora
da superfície. Também temos que o ‡uxo em superfícies fechadas é denotado por um círculo no
sinal de integral,
� =
I
S
~� � d~S:
O cálculo de uma integral de superfície pode ser bastante trabalhoso, porém tais integrais …cam
enormemente simpli…cada quando há simetria (o valor de ~� � d~S é o mesmo sobre a superfície).
Para uma superfície que apresente simetria, ‡uxo poderá ser facilmente calculado como
� = � S cos �; (3)
onde � é o módulo do campo ao longo da superfície, S é a área da superfície, e � é o angulo entre
os vetores ~� e d~S.
Por exemplo, se desejarmos calcular o ‡uxo do campo gravitacional ~g em um tonel fechado
perfeitamente cilíndrico apoiado no chão com a sua parte superior de área A perfeitamente per-
pendicular ao vetor ~g; teremos: o ‡uxo na tampa superior é igual a �gA; pois o ângulo entre ~g e
d~S é de 1800; o ‡uxo no fundo é igual a gA; pois o ângulo entre ~g e d~S é de 00; e zero no envoltório
lateral, pois o ângulo entre ~g e d~S é de 900. Portanto ‡uxo na superfície fechada do tonel será
zero, soma do resultado obtido em cada uma das três partes.
1.2 Lei de Gauss para o campo elétrico
Considere uma superfície fechada S, envolvendo uma região …nita do espaço tridimensional. Na da
região limitada por essa superfície sempre haverá uma carga líquida q (positiva, negativa, ou nula).
A lei de Gauss a…rma que o ‡uxo do campo elétrico através de S será diretamente proporcional à
2
carga q, isto é, I
S
~E � d~S = q
"0
: (4)
Ressaltamos que na equação acima q não corresponde à carga de um monopolo, mas é o resultado
da soma de todas as cargas contidas no interior da superfície fechada. A equação (4) é bastante
geral, aplica-se a qualquer superfície fechada que imaginarmos (superfície gaussiana) e a qualquer
distribuição de cargas.
A lei de Gauss é fundamental no formalismo matemático do eletromagnetismo, isso signi…ca
que ela não pode ser deduzida de outras equações e que outras equações são deduzidas a partir
dela. No entanto, a lei de Gauss não possui uma utilidade apenas teórica (deduzir outras equações
a partir dela), também pode ser aplicada diretamente na resolução de diversos problemas Na
prática, a lei de Gauss poderá ser aplicada diretamente quando houver simetrias que simpli…quem
muito o cálculo do ‡uxo. Nesse caso
I
S
~E � d~S = E S cos � ) E S cos � = q
"0
:
Por exemplo, vamos aplicar a lei de Gauss para calcular o campo elétrico produzido por um
monopolo. Tomando como superfície gaussiana uma esfera de raio r com o seu centro na posição
da carga pontual q; por simetria esférica, teremos
I
S
�!
E � d�!S = E S = E 4�r2:
Aplicando a Lei de Gauss (4), obteremos
E4�r2 =
q
"0
;
o que é equivalente a
E =
1
4�"0
q
r2
;
um resultado já conhecido.
3
1.3 Lei de Gauss para o campo magnético
A lei de Gauss para o campo magnético a…rma que para qualquer superfície fechada o ‡uxo do
campo magnético será nulo; isto é, I
S
�!
B � d�!S = 0: (5)
De certa a equação acima para o campo magnético é análoga a lei de Gauss para o campo elétrico,
eq. (4), com a diferença que a carga será sempre nula, pois não existe carga magnética.
A lei de Gauss para o campo magnético é fundamental no formalismo do eletromagnetismo,
porém raramente é aplicada diretamente na resolução de problemas.
2 Capacitância e capacitores
Já explicado que o potencial elétrico possui o mesmo valor em todos os pontos de um condutor.
Particularmente, para uma esfera de raio R o valor do potencial é determinado de forma simples
pela relação
V =
q
4�"0R
:
Por conseguinte, a razão entre a carga e o potencial,
q
V
= 4�"0R;
depende apenas de R, uma característica geométrica da esfera. Para outros condutores, com
qualquer forma geométrica, também é verdade que a razão q=V só dependerá de característicasdo
condutor. A capacitância, também chamada de capacidade elétrica, é justamente de…nida como
como essa razão
C =
q
V
:
A capacitância de um condutor é expressa em farad (abreviada F) em homenagem a Michael
Faraday.
Um capacitor é constituído por dois condutores próximos, porém isolados um do outro, tendo
cargas q e �q: O conceito de capacitância pode ser estendido para capacitores. Para capacitores,
4
a capacitância é de…nida como
C =
��� q
�V
��� ; (6)
onde �V é ddp entre os dois condutores que constituem o capacitor. Os capacitores têm larga
aplicação em circuitos elétricos, pois é uma forma simples de fornecer ddp a um circuito e de
armazenar energia.
O capacitor mais simples e comum é formado por duas placas paralelas separadas por uma
distância d, com o espaço entre elas preenchido por um isolante (dielétrico). O cálculo da ca-
pacitância para o capacitor de placas paralelas é bastante facilitado pelo fato do campo elétrico
ser uniforme entre as placas, exceto por alguma disprezível distorção nas bordas. Aplicando a
lei de Gauss (problema 3.6), pode-se demonstrar que o campo próximo a qualquer condutor será
perpendicular à superfície e seu módulo será dado por
E =
�
"0
:
Temos que, entre as placas de um capacitor de área A;
E =
�
"0
=
q
A"0
: (7)
Como
�V = Ed; (8)
teremos, pelas eqs (6) a (8),
C =
A"0
d
: (9)
A última equação seria a capacitância se houvesse vácuo entre as placas do capacitor. No entanto,
na prática, os capacitores são construídos com um dielétrico entre as placas e a capacitância é
dada por
C =
A"
d
; (10)
pois "0 ) " em dielétricos. Como " � "0; a presença de um dielétrico entre as placas do capacitor
é um importante fator de aumento da capacitância do mesmo.
5
Deve …car claro que a eq. (10) é válida apenas para o capacitor de placas paralelas. Para
capacitores com outras formas geométricas, será necessário calcular �V e aplicar a de…nição dada
na eq. (6).
2.1 Energia e potência em um capacitor
Determinar o sinal da carga em um capacitor pode …car confuso, pois sempre que uma placa
tiver uma carga q a outra placa terá uma carga �q: Por essa razão, arbitramos uma placa como
referência e nos referimos à carga do capacitor q (positiva ou negativa) como a carga dessa placa.
também, devemos escolher como positivo o sentido da corrente que carrega a placa de referência,
de modo a se ter
i =
dq
dt
:
O sinal da ddp no capacitor, obtida de (6), …ca determinado por
�VC = � q
C
; (11)
porque a fem produzida pelo capacitor se opõe à corrente que o carrega.
O capacitor fornecerá energia positiva ao circuito quando estiver sendo descarregado (dq=dt <
0), e, ao contrário, "fornecerá" energia negativa ao circuito quando estiver sendo carregado
(dq=dt > 0). Pode-se determinar a potencia de um capacitor, tanto na carga quanto na descarga,
pela relação universal
P = �V i:
Substituindo eq.(11), tem-se a fórmula …nal para a potencia fornecida por capacitor,
P = � q
C
dq
dt
:
Para se calcular a energia armazenada em um capacitor, basta calcular a energia fornecida ao
circuito pelo capacitor durante uma descarga completa. Denotando por U a energia armazenada
no capacitor, obteremos
U = � 1
C
Z tf
ti
q
dq
dt
dt = � 1
C
Z 0
q
q dq =
1
2C
q2 :
6
Logo, a energia armazenada em capacitor é dado por
U =
1
2C
q2: (12)
Vê-se que a energia em um capacitor é diretamente proporcional à carga presente nas placas.
Podemos também obter uma relação direta entre a energia e o campo elétrico presente entre as
placas, das eqs. (7) e (9), obtém-se
U =
"0
2
Ad E2:
Note que Ad é o volume no interior do capacitor, ou seja,
U =
"0
2
� volume� E2: (13)
2.2 Capacitância equivalente
A capacitância equivalente de uma combinação de capacitores é a capacitância de um único ca-
pacitor que, usado no lugar da combinação, forneceria a mesma capacitância que a combinação
de capacitores.
Para N capacitores Ci colocados em série,
Ceq =
1P
1=Ci
:
Para N capacitores Ci colocados em paralelo
Ceq =
X
Ci :
3 Lei de Faraday-Lenz
A lei de Faraday-Lenz introduz ingredientes novos a teoria eletromagnética. Até o momento foi
visto que o campo elétrico é produzido por cargas e o campo magnético é produzido por cargas em
movimento, porém a lei de Faraday a…rma que o campo elétrico pode ser produzido pela variação
do campo magnético. Em linguagem matemática, a lei de Faraday-Lenz é expressa como
I
C
~E � d~l = � d
dt
Z
S
~B � d~S; (14)
7
Figure 1: Lei de Faraday-Lenz
onde S é superfície aberta qualquer é C a curva fechada correspondente ao contorno desta super-
fície.
A forma matemática da lei de Faraday-Lenz pode parecer muito difícil e abstrata, mas cada
elemento tem um signi…cado físico bastante concreto. O lado esquerdo corresponde a uma ddp
— lembramos que a ddp é, por de…nição, a integral de linha do campo elétrico. Para simpli…car,
vamos denotar por E essa ddp, ou seja,
I
C
~E � d~l = E :
O lado direito da eq. (14) é a derivada temporal do ‡uxo do campo magnético, pois
�B =
Z
S
~B � d~S:
Substituindo as duas últimas equações na eq. (14), tem-se que a lei de Faraday pode ser escrita
como
E = �d�B
dt
: (15)
De forma esquemática
variação de �B ) campo elétrico) ddp.
Veja a …gura (1), ao aproximarmos o campo magnético de um condutor, a variação do ‡uxo
magnético através área circunscrita pela espira irá induzir uma ddp, a qual, por sua vez, gera uma
corrente elétrica, fenômeno descoberto por Faraday descobriu em 1888. Relacionando o fenômeno
com a eq. (14) identi…camos o …o da espira como o caminho C e a área interna delimitada pelo …o
8
Figure 2: Lei de Lenz para o sentido da corrente induzida
como a superfície S — S é chamada de área acoplada ao circuito. Observe que o imã parado não
produz corrente, é necessário haver movimento, pois é a variação do ‡uxo (derivada no tempo)
que produz a corrente.
É importante enfatizar o sinal negativo presente na lei de Faraday, o qual está relacionado com
sentido da corrente induzida. Na …gura (2) ilustramos o campo magnético produzido pela corrente
induzida (a …gura não ilustra o campo do imã). Observe que, na aproximação do imã, surgirá
uma força repulsiva entre os polos se opondo ao movimento, ao contrário, no afastamento do imã,
surgirá uma força atrativa entre os polos, também se opondo ao movimento. Em suma, a corrente
induzida será tal que o campo produzido por ela irá se opor ao movimento que a produziu. Tal
princípio é atribído a Lenz não é um "mero detalhe ", não fosse o sinal negativo na equação (14)
a princípio da conservação da energia seria violado e o moto contínuo poderia ser construído.
As aplicações práticas da lei de Faraday são enormes. De imediato temos os geradores e todos os
demais dispositivos que transformam energia mecânica em elétrica, também, os transformadores,
os indutores, e diversos outros equipamentos têm a lei de Faraday como princípio fundamental de
funcionamento. Na …gura (3) ilustramos o protótipo de um alternador, o movimento circular do
imã vai periodicamente gerando corrente alternada nas espiras.
Contudo, não é apenas por suas aplicações tecnológicas que a lei de Faraday possui um papel
relevante, as implicações teóricas dela também são relevantes. Observe que, até agora, exceto pela
lei de Faraday-Lenz, não havíamos estudado nenhuma equação relacionando o campo elétrico com
9
Figure 3: Protótipo de um alternador
o campo magnético, a eletrostática e a magnetostática eram tratadas como teorias independentes.
O único vínculo entre os dois campos residia no fato da carga elétrica, que gera ~E, estar relacionada
à corrente elétrica, que gera ~B. Alei de faraday-Lenz ensina que existe uma relação mais forte
entre o campo elétrico e o campo magnético, na realidade, eles são faces distintas de um mesmo
fenômeno e devem ser estudados em conjunto por uma única teoria — o eletromagnetismo.
Em particular, para campos estáticos,
d�B
dt
= 0
o que acarreta em I
C
~E � d~l = 0;
uma equação fundamental da eletrostática que exprime o fato de o campo elétrico ser conserv-
ativo, o que permite a existência do potencial elétrico. Disso conclui-se que o campo elétrico é
conservativo apenas na eletrostática. Se houver variação temporal, o campo elétrico poderá deixar
de ser conservativo e sua integral de linha em um caminho fechado poderá resultar em uma ddp
diferente de zero.
4 Equações de Maxwell
Até o momento estudamos quatro leis fundamentais no eletromagnetismo: lei de Gauss para o
campo elétrico, lei de Gauss para o campo magnético, lei de Ampère, e lei de Faraday-Lenz. Um
10
físico chamado Maxwell, no …nal do século XIX, percebeu que havia uma inconsistência entre
essas quatro leis e acrescentou um termo na lei de Ampère. A contribuição de Maxwell teve como
conseqüência a descoberta das ondas eletromagnéticas, o que permitiu um salto tecnológico para
a humanidade. Com o termo de Maxwell as quatro equações …cam da seguinte forma:
I
~E � d~S = q
"0
; (16)
I
~B � d~S = 0; (17)I
~E � d~l = � d
dt
Z
~B � d~S; (18)I
~B � d~l = �0i+ �"0
d
dt
Z
~E � d~S: (19)
Essas quatro equações são coletivamente chamadas de equações de Maxwell.
Passado mais de um século as equações da Maxwell continuam a ser consideradas corretas,
e são coerentes com as teorias mais modernas da Física, como Física Quântica e relatividade.
As equações de Maxwell constituem um dos pilares do conhecimento humano e formam a base
teórica para uma in…nidade de aplicações tecnológicas. Um estudo mais profundo das equações
de Maxwell e das ondas eletromagnéticas será feito no curso de Ondas
5 Indutância e indutores
Na seção anterior, foi visto que um campo magnético variando no tempo pode produzir ddp em
um circuito elétrico, ddp essa proporcional à variação do ‡uxo do campo magnético através da
área acoplada ao circuito. Nos exemplos ilustrados nas …guras (1) e (3), a variação temporal do
campo magnético é obtida pelo movimento mecânico de um imã natural:
movimento do imã) ‡uxo magnético variável) ddp no circuito.
Nada impede, porém, que o campo magnético variável seja produzido por outro circuito elétrico,
o esquema seria o seguinte:
corrente variável no circuito 1) ‡uxo magnético variável) ddp no circuito 2.
11
Em conclusão, um circuito elétrico, portador de corrente alternada, pode induzir correntes em
outro circuito próximo. Tal fenômeno é chamado de indutância, um curioso efeito onde a variação
de corrente em um circuito produz ddp em outro circuito próximo. É claro que o segundo circuito,
aquele que sofre a ação da indutância, também pode produzir ddp no primeiro, mas a indutância
nem sempre é recíproca. Um …o retilíneo portador de corrente variável pode produzir ddp em
algum circuito adjacente, mas não é passível do efeito; um circuito precisa ser fechado para ser
passível de indução.
A indutância é um importante e sutil fenômeno eletromagnético, particularmente signi…cativo
entre bobinas solenóides como ocorre nos transformadores. Todavia, não é apenas entre dois
circuitos diferentes que pode haver indutância, um circuito pode induzir a ele mesmo no seguinte
esquema:
corrente variável) ‡uxo magnético variável) ddp no próprio circuito da corrente.
Esse efeito, por motivos óbvios, é chamado de auto-indução, e o ‡uxo magnético obtido, de
auto‡uxo.
Pela lei de Faraday
d
dt
�autofluxo = ��V : (20)
O auto‡uxo em um circuito �autofluxo irá depender de sua forma geométrica, além da corrente
elétrica i presente no próprio circuito. Tem-se que
�autofluxo = Li; (21)
na qual L é uma características intrínsecas do circuito. Chamada de auto-indutância do circuito,
ou simplesmente indutância, L corresponde a propensão de um circuito a se auto-induzir. Para
um …o retilíneo, onde L = 0, inexiste o efeito de auto-indução. Qualquer circuito que apresente
auto-indutância diferente de zero pode ser chamado de indutor, porém, na prática, o predomínio
de solenóides e toróides é absoluto.
Substituindo eq.(21) em eq.(20), é fácil ver que
�V = �Ldi
dt
: (22)
12
�V é a ddp que o circuito produz nele mesmo sempre que sua corrente variar no tempo, para
correntes contínuas di=dt é zero e o efeito inexiste. Semelhante aos resistores e capacitores, os
indutores também podem fornecer ddp a um circuito. Observe que a ddp produzida por um
indutor sempre irá se opor a variação da corrente: se a corrente estiver diminuindo �V será
positivo, caso contrário, �V será negativo (conseqüência da lei de Lenz).
A auto-indutância de um circuito qualquer, em princípio, sempre poderá ser calculada pela
de…nição, eq.(21),
L =
�autofluxo
i
:
Em particular, para um solenóide com N espiras, comprimento l e área de seção transversa A;
L = �0lSn
2; (23)
onde n é a densidade de espiras,
n =
N
l
:
Lembramos que o campo magnético no interior de um solenóide é dado por
B = �0in: (24)
Como o campo magnético é uniforme, o auto‡uxo magnético será obtido por
�autofluxo = NSB:
Combinando as três últimas equações,
�autofluxo = �0lSn
2i:
Ora,
L =
�autofluxo
i
= �0lSn
2;
conforme antecipamos.
Enfatizamos que a fórmula acima é válida apenas para o indutor formado por um solenóide.
Para circuitos com outras formas geométricas, será necessário calcular o auto‡uxo caso a caso.
A unidade de auto-indutância é o henry (abreviado H) em homenagem a Joseph Henry. Tam-
bém podemos usar o Wb A�1 como unidade de auto-indutância, pois Wb é a unidade de ‡uxo
para o campo magnético.
13
5.1 Energia e potência em um indutor
Tem-se que
P = �V i ;
logo, em um indutor, eq.(22),
P = �Lidi
dt
(25)
O indutor fornecerá energia positiva ao circuito quando a corrente estiver diminuindo (di=dt <
0); ao contrário, "fornecerá" energia negativa ao circuito quando a corrente estiver aumentando
(di=dt > 0).
Para se calcular a energia armazenada em um indutor, basta calcular a energia fornecida ao
circuito pelo indutor quando a corrente com seu valor inicial i vai a zero. Temos que
U = �L
Z tf
ti
i
di
dt
dt = �L
Z 0
i
i di =
1
2
Li2 :
Vê-se que a energia em umindutor é diretamente proporcional à corrente presente no circuito.
Podemos também obter uma relação direta entre a energia e o campo magnético presente no
interior do solenóide, das eqs. (23) e (24), obtém-se
U =
1
2�0
lSB2:
Note que lS é o volume no interior do solenóide, ou seja,
U =
1
2�0
� volume�B2: (26)
Diferente dos resistores, que dissipam energia, os indutores e os capacitores conservam a energia
em um circuito. A energia que eles absorvem não é dissipada, mas …ca armazenada neles, podendo
ser devolvida ao circuito. Enquanto o capacitor armazena energia através da carga q presente em
suas placas e libera essa energia ao ser descarregado; o indutor armazena energia através da
corrente i presente em seu circuito e libera essa energia quando a corrente decresce. No capacitor,
a energia …ca armazenada no campo elétrico presente entre as placas; no indutor, a energia …ca
armazenada no campo magnético presente no interior do solenóide.
14
As eqs. (13) e (26) são de validade geral, apesar de terem sido deduzidas para casos particulares
— capacitor de placas paralelas e indutor solenóide, respectivamente — . Por conseguinte, a energia
do campo eletromagnético é dada por
Energia
volume
=
"0
2
E2 +
1
2�0
B2:
Essa, justamente, é a energia presentena onda eletromagnética, como a proveniente do nosso Sol.
6 Circuitos com corrente variável
Indutores, capacitores e resistores são três dispositivos básicos de ampla utilização. São três formas
distintas de se obter ddp. O comportamento dos resistores independe se a corrente é contínua ou
alternada, mas os capacitores e os indutores estão associados a correntes que variam no tempo. O
fenômeno da auto-indução inexiste se não houver variação temporal da corrente, e é na corrente
alternada que um capacitor pode ser carregado e descarregado periodicamente.
São tantas as relações envolvendo esses três dispositivos que convém organizá-los em uma
tabela:
Propriedade ddp
Potência
fornecida
Energia
armazenada
Unidade
R resistência �Ri �Ri2 0 Ohm (
)
C capacitância � qC � qC dqdt 12C q2 Farad (F )
L auto-indutância �L didt �Li didt 12Li2 Henry (H)
(27)
Em um circuito, a energia liberada por um dos dispositivos terá que ser armazenada ou dissi-
pada por outros, ou seja, a soma das potências deve ser igual a zero sempre,
X
P = 0: (28)
Veremos aqui apenas três circuitos simples: RC, RL e LC. Um estudo de circuitos mais complexos
iria além dos objetivos do nosso curso.
15
6.1 Circuito RC
Se as duas placas que constituem o capacitor, uma com carga q e a outra com carga �q, forem
ligados por um …o o capacitor irá descarregar. A ddp fornecida pelo capacitor irá estabelecer uma
corrente elétrica que só terminará quando o capacitor estiver descarregado (q = 0). Tal descarga
sempre ocorrerá com a participação de alguma resistência, nem que seja a própria resistência do
…o, formando um circuito RC. Tem-se que a energia liberada pelo capacitor será dissipada pelo
resistor,
Pcapacitor + Presistor = 0
Substituindo as expressões da potência (27), obtém-se
� q
C
dq
dt
�Ri2 = 0;
sendo
i =
dq
dt
: (29)
É claro que o capacitor irá descarregar e a corrente será negativa, como os cálculos vão mostrar.
Combinando-se as duas últimas equações, obtém-se a seguinte equação diferencial
dq
dt
=
�1
RC
q;
cuja solução é
q(t) = q(0) exp
�
� t
RC
�
:
A equação acima determina como a carga irá decrescer durante a descarga do capacitor, vemos
que é um decaimento exponencial e que, quanto maior for a resistência R, mais lentamente o
capacitor irá descarregar.
A partir da função da carga com o tempo, facilmente obtém-se a corrente
i =
dq
dt
= �i(0) exp
�
� t
RC
�
;
com
i(0) =
q(0)
CR
:
Observe que a corrente será negativa como esperado.
16
6.2 Circuito RL
Suponha que no instante inicial haja uma corrente i em circuito formado apenas por um indutor
e um resistor. Não importa como a corrente foi produzida, suponha que previamente havia uma
fonte que foi retirada. Semelhante ao que ocorre na descarga de um capacitor, a energia fornecida
pelo indutor será dissipada no resistor,
Pindutor + Presistor = 0:
Substituindo as expressões da potência (27), obtém-se
�Lidi
dt
�Ri2 = 0;
Dessa última equação, temos a seguinte equação diferencial
di
dt
= �R
L
i;
cuja solução é
i(t) = i(0) exp
�
�R
L
t
�
:
Semelhante ao capacitor, obtemos um decaimento exponencial para a corrente; diferente do ca-
pacitor, quanto maior for a resistência R, mais rapidamente a corrente irá decrescer.
6.3 Circuito LC
No circuito formado exclusivamente por um capacitor e um indutor (LC) a resistência é considerada
desprezível. A energia será trocada inde…nidamente entre o indutor e o capacitor, sem haver
dissipação. Pela conservação da energia e pela tabela (27), tem-se que
� q
C
dq
dt
� Lidi
dt
= 0:
Dessa última equação, temos a seguinte equação diferencial
d2q
dt2
= � 1
LC
q:
Essa equação é bem conhecida pela teoria e fornece a solução do oscilador harmônico,
q(t) = qm�ax cos(!t+ �);
17
com
! =
r
1
LC
:
Signi…ca que a carga irá oscilar no capacitor, entre uma valor máximo qm�ax até um valor mínimo
�qm�ax (a carga negativa signi…ca que o capacitor foi carregado de modo inverso).
A partir da função da carga com o tempo, facilmente obtém-se a corrente
i(t) = �im�ax sin(!t+ �);
Portanto o circuito RL produz uma corrente alternada que se comporta como um oscilador har-
mônico. A frequência do circuito pode ser determina pela relação entre ! e a frequência do
movimento harmônico,
f =
!
2�
=
1
2�
r
1
LC
:
Existe uma completa analogia entre as oscilações em circuito LC e as oscilações em um sistema
mecânico massa-mola. Nessa analogia a L corresponde à massa; 1=C corresponde à constante
elástica k; a energia armazenada no indutor corresponde à energia cinética; a energia armazenada
no capacitor corresponde à energia potencial elástica; etc..
7 Problemas
3.1) Considere uma esfera de raio igual a 10 cm uniformemente carregada com uma carga total
igual a 10�10 C: Obtenha o módulo do campo elétrico para um ponto distante: a) 5 cm do centro
da esfera; b) 10 cm do centro da esfera; c) 15 cm do centro da esfera. d) Faça um esboço do
grá…co do campo elétrico versus distância ao centro da esfera.
3.2) Para um …o muito longo (despreze os efeitos das extremidades) com uma densidade linear
de carga igual a �; calcule o módulo do campo elétrico em função da distância ao centro do …o.
3.3) Uma esfera condutora oca, de raio externo R2, e raio interno R1, tem uma carga q em seu
centro. Calcule o módulo do campo elétrico para um ponto: a) fora da esfera oca; b) na esfera
ôca; c) no interior da esfera ôca.
18
3.4) Um cubo de aresta igual a 1; 0 cm é colocado em uma região onde existe um campo elétrico
uniforme de módulo igual a 102 N=C, perpendicular a uma das faces do cubo. Adicionado a este
campo existe um outro campo produzido por uma carga elétrica de 6�10�11 C colocada no centro
do cubo. Calcule o ‡uxo do campo elétrico em cada uma das seis faces do cubo.
3.5) Uma esfera oca, de raio externo R2, e raio interno R1, tem uma carga q uniformemente
distribuída em seu volume. Calcule o módulo do campo elétrico a uma distância r do centro da
esfera. a) r < R1. b) R1 < r < R2. c) r > R2.
3.6) Uma chapa metálica quadrada de lado 50 cm está uniformemente carregada com carga
total igual a 10�9C. a) Calcule o módulo do campo elétrico para um ponto muito próximo da
chapa. b) Considere uma segunda chapa idêntica, porém carregada com cargas negativas, colocada
paralela à primeira sem encostar (capacitor). Qual a campo elétrico na região entre as duas chapas.
3.7) Um capacitor é formado por um condutor cilíndrico de raio R1 e comprimento l, envolvido
por uma casca condutora, igualmente, cilíndrica e coaxial, com raio R2 (R2 > R1): Pela lei de
Gauss, sabemos que o campo na região entre os condutores é
E =
q
2�"0rl
;
onde r é a distância ao eixo axial dos cilindros (R1 � r � R2). Determine a capacitância deste
capacitor.
3.8) Um capacitor de placas paralelas com área A e separação d é parcialmente preenchido
com um dielétrico de espessura x (x < d) e constante dielétrica �. Estabeleça um expressão para
a capacitância deste capacitor. (dica: considere o sistema como dois capacitores em série)
3.9) Um estudante do CEFET-RJ dispõe de 20 m de …o de 1; 0 mm de espessura, incluindo
o material isolante. Ele constrói um solenóide de área transversa quadrada enrolando o …o com-
pactamente em uma camada. Qual deve ser o comprimento do solenóide para que esse tenha
indutância de 80� �H?
3.10) Uma haste condutora de comprimento l = 120mm é articulada em uma extremidade, en-
quanto a outra extremidade desliza em um condutor circular perpendicular a um campo magnético
uniforme B = 400 mT . A haste gira em sentido anti-horário com velocidade angular constante
19
! = 370 rad=s; conforme a …gura abaixo. Suponha uma resistênciaR = 1:2 
 e calcule a corrente
instantânea induzida no circuito.
3.11) O toróide é uma bobina em forma de câmara de ar com N voltas de …o enrolado em
torno dela. Considere um toróide de área transversa retangular, com raio interno R1; raio externo
R2; e largura a: Pela lei de Ampere, sabemos que o campo magnético no interior de um toróide é
dado por
B =
�0iN
2�r
;
onde r é a distância ao eixo axial do toróide (R1 � r � R2). Determine a auto-indutância do
toróide.
3.12) Um espira quadrada de lado igual a l delimita uma superfície representada pelo vetor ~S.
Esta espira gira na presença de um campo magnético uniforme e constante ~B: A rotação da espira
é tal, que o ângulo � entre ~B e ~S varia no tempo de acordo com a expressão � = !t: Determine o
valor máximo fem induzida na espira.
3.13) Para se determinar uma resistência R; de valor desconhecido, um capacitor C = 1; 5 �F
é descarregado sobre a esta resistência R: Durante a descarga, cronometra-se 0; 20 s para que a
ddp fornecida pelo capacitor caia para a metade do seu valor incial. Qual o valor da resistência R?
3.14) Considere um circuito LR com corrente inicial i. O indutor de L = 10 mH descarrega
sobre a sua própria resistência interna R = 2; 0 
: Calcule o tempo para que a corrente diminua
para metade do sue valor inicial.
3.15) Considere um circuito LC com L = 0; 10 H e C = 0; 10 �F; a carga inicial do capacitor
é 2; 0 �C e a corrente inicial no circuito é zero.
20
a) Qual a frequência deste circuito?
Estabeleça expressões como função do tempo para:
b) a corrente elétrica no circuito;
c) a ddp no capacitor;
d) a ddp no indutor.
3.16) Considere um circuito LC em um instante em que 25% da energia eletromagnética está
armazenada no capacitor e 75% está armazenada no indutor. Para esse instante determine:
a) a carga no capacitor em termos de sua carga máxima;
b) a corrente no indutor em termos de sua corrente máxima.
3.17) Uma bobina formada por 200 espiras e com raio de 0:10m é colocada perpendicularmente
a um campo magnético uniforme de 0:2T; o qual é desligado, indo linearmente a zero em 50 ms.
Para o momento em que o campo magnético é desligado, determine:
a) a fem induzida na bobina,
b) o campo elétrico no interior do …o da espira.
3.18) Um solenóide muito longo de 3 cm de raio possui 20 espiras por centímetro e é percorrido
por uma corrente de i = 0; 5 sen(10t) (no sistema internacional). No extremo deste solenóide é
colocada uma espira circular concêntrica com o solenóide e com a metade do raio deste. Determine
a fem induzida na espira.
7.1 Respostas
3:1 a)zero; b)90 N=C; c)40 N=C
3:2) E =
1
2�"0
�
r
3:3 a) E =
1
4�"0
q
r2
; b) zero; 3; c) E =
1
4�"0
q
r2
3.4) Tomando como orientação o sentido do campo, teremos: 0; 13 Nm2=C na face dianteira,
2; 13 Nm2=C na face posterior e 1; 13 Nm2=C nas demais quatro faces.
21
3:5 a) zero; b) E =
1
4�"0
q
r2
r3 �R31
R32 �R31
; c) E =
1
4�"0
q
r2
3:6 a)14 N=C; b)28 N=C
3:7) C =
2�"0l
ln(R2=R1)
3:8) C =
�"0A
�d+ x(1� �)
3:9) l = 12; 5 cm
3:10) i = 0:89 A
3:11) L =
�0N
2a
2�
ln
R2
R1
3:12) �V = Bl2!
3:13) R = 192 k
3:14) t = 3:5 ms
3:15 a) f = 20� kHz
b) i = �0:0 2 sin 104t A
c) �VC = �20 cos 104t V
d) �VL = 20 cos 10
4t V
3:16 a) q = �1
2
qm�ax
b) i = �
p
3
2
im�ax
3:17 a) �V = 8� V b) E = 0:4 V=m
3:18) �V = �8:9� 10�6 cos(10t)
22