C.A Capítulo 2 Limites

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Capítulo 2 – Limites
Capítulo 2
Limites
	O cálculo diferencial e integral se baseia em um procedimento conhecido como limite. O objetivo desse procedimento é avaliar o que acontece com uma função quando a variável independente tende a um certo valor.
	O limite de uma função pode ser avaliado das seguintes formas:
Graficamente, analisando o comportamento gráfico da função em um software matemático;
Numericamente, substituindo valores na função;
Analiticamente, a partir das técnicas algébricas de resolução.
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
	A operação matemática chamada limite se representa da seguinte forma:
		
	Devemos ler essa expressão da seguinte forma: “limite de f(x) quando x tende a p”.
	A expressão do limite encerra a seguinte pergunta:
Qual é o valor da função quando x tende a p ?
Exemplo
	Leia o limite abaixo:
		
Solução
	O limite deve ser lido da seguinte forma: “Limite de x2+1 quando x tende a 1”.
ANÁLISE GRÁFICA
	Esse tipo de análise permite afirmar o valor de um limite apenas olhando o seu gráfico. Por exemplo, considere a função dada no exemplo anterior:
		
	O seu gráfico é dado por:
	Pelo gráfico podemos perceber que, quando x tende a 1, y tende a 2. Então o limite é igual a:
		
ANÁLISE NUMÉRICA
	Considerando o limite:
		
	A análise numérica consiste em avaliar o valor da função quando x vai se aproximando de p. Essa aproximação deve ser feita de duas maneiras:
Diminuindo o valor de x até chegar em p;
Aumentando o valor de x até chegar em p.
Exemplo
	Fazer a análise numérica do limite:
		
Solução
	Para facilitar o entendimento, vamos construir a seguinte tabela:
	x diminuindo até p=1
	x aumentando até p=1
	x
	y = x2+1
	x
	y = x2+1
	1,1
	2,21
	0,9
	1,81
	1,01
	2,0201
	0,99
	1,9801
	1,001
	2,002001
	0,999
	1,998001
	...
	...
	...
	...
	1
	2
	1
	2
	É muito importante saber que não estamos interessados no valor da função no ponto x=1, mas o que acontece com a função quando x se aproxima cada vez mais de 1.
AVALIAÇÃO ANALÍTICA
	A avaliação analítica de um limite é feita basicamente através de teoremas e de um pouco de álgebra. A escolha de uma dentre as várias técnicas de solução depende de como a função se comporta num determinado valor de x.
	Existem dois comportamentos que podem ser esperados de uma função:
Continuidade;
Descontinuidade.
	Dizemos que uma função é contínua num ponto se não existe nenhum tipo de interrupção na sua trajetória nesse local. Por outro lado, uma função descontínua apresenta interrupção na sua trajetória em um ou mais pontos.
Exemplo
		Imagine duas pessoas subindo um pequeno morro. A pessoa que vem pela esquerda, no ponto P, percebe que chegou a uma altura de 2 metros. A outra pessoa que vem pela direita, no mesmo ponto P, percebe que chegou a uma altura de 5 metros.
	Podemos então concluir que existe uma descontinuidade (interrupção) no ponto P, pois o morro apresentou um salto nesse ponto (de 2 metros para 5 metros).
	
CONCEITO INFORMAL DE CONTINUIDADE
	Observe os gráficos abaixo:
	
	
	No primeiro gráfico, à medida que nos aproximamos de p pela direita ou pela esquerda, a função tende a f(p). Identificamos esse tipo de gráfico como sendo de uma função contínua.
	No segundo gráfico, à medida que nos aproximamos de p pela direita e pela esquerda, a função apresenta valores diferentes. Nesse caso, a função tem uma descontinuidade do tipo salto.
	Existe ainda uma terceira situação em que a função tem uma descontinuidade do tipo buraco, ou seja, a função não pode ser calculada em p embora o limite exista.
Exemplo
	Encontrar o limite:
		
Solução
	Ao tentarmos substituir x=2 na função aparecerá zero no denominador. Isso aparentemente nos levaria a pensar que o limite não tem solução. Analisando numericamente esse limite:
	x
	
	
	x
	
	2,1
	4,1
	
	1,9
	3,9
	2,01
	4,01
	
	1,99
	3,99
	2,001
	4,001
	
	1,999
	3,999
	...
	...
	
	...
	...
	2
	4
	
	2
	4
	Como podemos explicar que o limite quando x tende a 2 é igual a 4 e não seja possível substituir x=2 na função ? vamos enxergar a situação no gráfico:
	Chegamos à conclusão que encontrar um determinado limite não quer dizer simplesmente calcular o valor da função num ponto. Nesse exemplo, a finalidade do limite é descobrir o comportamento da função quando x tende a 2 e não quando x é igual a 2.
	Fica mais fácil verificar que o limite é igual a 4 fazendo a fatoração do numerador:
		
	Na verdade, o que fizemos foi encontrar uma função equivalente à original que fornecesse os mesmos valores de y quando x tende a 2. Note que a bola aberta no gráfico significa que a função original não é definida no ponto x=2.
	O resultado desse limite fornece a localização do buraco na função.
	Podemos resumir as três situações mostradas no seguinte quadro:
	Quando a função é contínua
		
Quando a função não é contínua
		
 não existe quando a função apresenta salto em p.
		
 quando a função não é definida em p.
PROPRIEDADES DO LIMITE
	O limite apresenta as propriedades listadas abaixo:
	
, desde que 
Exemplo
	Calcular os limites:
		1) 
		2) 
		3) 
		4) 
		5) 
 já que 
 e não atende à propriedade (d).
	Nesse caso, podemos apenas fatorar o numerador para obter:
		
	
		Para usar essas propriedades, é necessário que os existam limites:
		
 e 
LIMITES LATERAIS
	A noção de limite lateral surge da necessidade de definirmos qual é o limite de uma função quando a variável independente tende pela direita e pela esquerda do ponto considerado. Essa noção é muito importante na caracterização de uma função que possui salto num ponto.
	O limite da função f(x) quando x tende a p pela direita é representado da seguinte maneira:
		
	Da mesma forma, o limite da função quando x tende a p pela esquerda é representado por:
		
	Quando os limites laterais forem diferentes:
		
 não existe
	Nesse caso, a função f(x) apresenta uma descontinuidade do tipo salto em x=p.
Exemplo
	Calcule os limites laterais em x=1 da seguinte função:
		
Solução
		
		
	Como os limites à esquerda e à direita são diferentes, a função apresenta um salto em x=1 e é considerada descontínua.
	Podemos usar um artifício bem simples para calcular os limites laterais:
	Nesse caso, substituímos x por p+h e fazemos h tender a zero.
Exemplo
	Calcular o limite:
		
Solução
	Fazendo as devidas substituições:
		
	Nesse caso, substituímos x por p-h e fazemos h tender a zero.
Exemplo
	Calcular o limite:
		
Solução
	Fazendo as devidas substituições:
		
O SÍMBOLO (
	Até uma certa fase dos nossos estudos em matemática, não tínhamos idéia do resultado da seguinte divisão:
		
	Vamos agora mostrar o que isso significa. Para isso, chamaremos o denominador dessa fração de x e diminuiremos o seu valor até zero.
	x
	
	1
	1
	0,1
	10
	0,01
	100
	0,001
	1000
	...
	...
	0
	(
	Podemos perceber pela tabela que, diminuindo o valor de x cada vez mais, o valor da divisão aumenta cada vez mais. À medida que x se aproxima de zero, a expressão cresce sem limitação, ou seja, tende ao infinito.
	Representaremos o infinito pelo símbolo:
Infinito = (
LIMITES NO INFINITO
	Existem algumas situações em que necessitamos encontrar o limite de uma função quando a variável independente tende ao infinito. Esses tipos de limite são expressos por:
		
 e 
Exemplo
	Calcular o limite:
		
Solução
	Vamos fazer uma tabela para avaliar numericamente esse limite:
	x
	
	1
	1
	10
	0,1
	1000
	0,001
	...
	...
	+(
	0
	Então:
		
	Graficamente, podemos ver melhor o resultado desse limite:
	À medidaque x caminha na direção positiva, f(x) tende a zero. Por outro lado, o limite:
		
	À medida que x caminha na direção negativa, f(x) também tende a zero.
	Os limites abaixo também resultam no mesmo valor:
		
, para qualquer n>0.
	Esses resultados são utilizados quando precisarmos calcular um limite do tipo:
		
, sendo P(x) e Q(x) dois polinômios.
	A técnica se resume a dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x existente nos polinômios P(x) e Q(x), aplicando em seguida o limite.
Exemplo
	Calcular o limite:
		
Solução
	Dividindo o numerador e o denominador por x5:
		
	Aplicando as propriedades dos limites, teremos como resultado:
		
LIMITES INFINITOS
	Ao calcularmos os limites laterais de uma função, às vezes nos deparamos com um crescimento (ou decrescimento) ilimitado. Um exemplo disso são os limites:
		
 e 
	O gráfico da função pode nos fornecer essa informação valiosa:
	
	
	Aproximação pela direita
	Aproximação pela esquerda
	À medida que x vai se aproximando pela direita de zero, a função tende a crescer ilimitadamente. Já quando z se aproxima de zero pela esquerda, a função tende a decrescer ilimitadamente. Isso faz com que os limites respectivamente sejam iguais a:
		
 e 
	Chegamos assim à conclusão que os limites não existem.
APLICAÇÃO DE LIMITES INFINITOS
	O conceito de limites infinitos tem aplicações interessantes dentro da Física. Por exemplo, considere a famosa lei de Ohm:
		
	Onde:
		V é a tensão aplicada em Volts;
		R é a resistência elétrica em ( (Ohms);
		I é a corrente elétrica em Ampéres.
	Rearranjando a lei de Ohm:
		
	Vamos agora analisar o significado do seguinte limite:
		
	Sabemos que o resultado desse limite é +(. Isso significa que, quando a resistência tende a zero, a corrente elétrica tende ao infinito.
	Se dois fios desencapados de um eletrodoméstico se tocarem, a resistência elétrica entre esses dois fios será igual a zero e, portanto, a corrente tenderá ao infinito. Esse altíssimo valor de corrente é muito perigoso, pois pode provocar incêndios de grandes proporções.
ASSÍNTOTAS VERTICAIS
	Quando os limites são iguais a:
		
 ou 
	Estamos diante de uma informação importante: a assíntota vertical. A assíntota vertical é uma reta imaginária que passa exatamente na descontinuidade da função.
	A equação da reta imaginária é então dada por:
		
Exemplo
		Encontrar a assíntota vertical da função:
		
Solução
	A assíntota está localizada em x=1, já que os limites são iguais a:
		
 e 
	Portanto, a equação da reta vertical imaginária é igual a:
		
	O gráfico da função pode ser conferido ao lado.
	
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS
	Quando os limites no infinito forem iguais a:
		
 ou 
	A função f(x) se aproxima de uma reta imaginária – a assíntota horizontal. A equação da reta imaginária é dada então por:
		
Exemplo
		Encontrar a assíntota horizontal da função:
		
Solução
	Tomando o limite:
		
	Dessa forma, a equação da reta horizontal imaginária é igual a:
		
	O gráfico da função pode ser conferido ao lado.
	
APLICAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS
	Um exemplo de aplicação da assíntota horizontal é o carregamento da bateria do seu aparelho celular.
	Podemos expressar o percentual de carga P, em função do tempo, pela seguinte função:
		
	Onde k é uma constante que depende da bateria usada no aparelho.
	Ao calcularmos o limite:
		
	Encontraremos a sua assíntota horizontal:
		
		
		Isso quer dizer que a carga completa (100% da capacidade da bateria) ocorrerá teoricamente apenas num tempo infinito após iniciar o carregamento. Por isso, o fabricante recomenda no manual do aparelho uma carga de 1 hora (em média) que corresponde a aproximadamente 90% da sua capacidade máxima.
	
LIMITE DE FUNÇÃO COMPOSTA
	Algumas funções são compostas de duas ou mais funções elementares, como por exemplo:
		
	Podemos enxergar essa função da seguinte maneira:
		
, sendo 
	Desejamos conhecer os limites de tais tipos de funções.
	Considere o limite:
		
	Se fizermos:
		
	Então:
		
 quando 
		
	Isso só será válido se 
 existir.
Exemplo
	Calcular o limite:
		
Solução
	Fazendo:
		
	Pela equação anterior, podemos concluir que:
		
 quando 
	Então:
		
TEOREMA DO CONFRONTO
	O teorema do confronto é um dos teoremas mais úteis no cálculo de limites porque permite encontrar um resultado baseado em comparações com outros limites conhecidos.
	Vamos supor que num determinado intervalo:
		
	Se:
		
	Então:
		
	O teorema do confronto nos diz que se f(x) for maior ou igual a g(x) e menor ou igual a h(x) num determinado intervalo e se as funções g(x) e h(x) tenderem a um mesmo limite, então f(x) tenderá a esse limite também.
	Graficamente, é mais fácil mostrar o significado desse importante teorema:
LIMITES IMPORTANTES
	Vamos discutir dois limites importantes, pois precisaremos dos seus resultados mais adiante no capítulo de derivadas. Os dois limites são:
	Primeiramente, vamos mostrar numericamente que:
		
	Para avaliar esse limite, vamos montar a seguinte tabela:
	x
	
	1
	2
	100
	2,704813...
	1.000
	2,716923...
	1.000.000
	2,718280...
	1.000.000.000
	2,718281...
	...
	...
	+(
	e
	Podemos notar que, à medida que x aumenta, a função dada tende a um valor constante que chamaremos de e (número de Euler). Já vimos anteriormente que um limite desse tipo define uma assíntota horizontal dada pela equação:
		
	O gráfico da função e da sua assíntota é mostrado abaixo:
	Observando atentamente o gráfico, também podemos afirmar que:
		
	Queremos agora mostrar que:
		
	Para avaliar esse limite, vamos montar a seguinte tabela:
	x
	
	0,1
	(0,99833
	0,01
	(0,99998
	0,001
	(0,99999
	...
	...
	0
	1
	O gráfico dessa função é dado por:
	Poderíamos ter calculado o limite através do teorema do confronto. Para isso, devemos saber que é verdadeira a desigualdade (veja a demonstração no apêndice 2):
		
, para qualquer 
.
	Vamos dividir os três membros por sen(x):
		
	A tangente do ângulo x é dada pela seguinte relação trigonométrica:
		
	Substituindo na desigualdade, obteremos:
		
	Para qualquer 
, podemos fazer:
		
	Vamos calcular os limites das seguintes funções quando x tende a zero:
		
	Então, conforme o teorema do confronto:
		
LIMITES IMPORTANTES E FUNÇÃO COMPOSTA
	Às vezes, os dois limites importantes mostrados anteriormente não estão na sua forma padrão. Quando isso acontece, devemos usar o conceito de limite de função composta.
Exemplo
	Calcular o limite:
		
Solução
	Primeiro, multiplicamos e dividimos a função por 5:
		
	Agora, fazemos:
		
	Pela equação anterior, podemos concluir que:
		
 quando 
	Portanto, o limite é igual a:
		
Exemplo
	Calcular o limite:
		
Solução
	Para transformar esse limite na forma padrão, devemos fazer:
		
 ( 
	Pela equação anterior, podemos concluir que:
		
 quando 
	Isso faz com que o limite seja igual a:
		
CONCEITO RIGOROSO DE LIMITE
	Os conceitos de limite mostrados até agora são informais. Matematicamente, precisamos de uma definição mais precisa.
		O limite:
		
	É igual a L se, dado um número (>0, existe um número (>0 (dependendo de () tal que:
		
 quando 
	A definição afirma que, escolhendo qualquer ( positivo de forma que o limite L esteja entre L+( e L-(, existirá um valor positivo ( tal que p estará entre p+( e p-(.
	Em poucas palavras queremos dizer que, para pontos vizinhos de p, a função se aproxima do seu limite L.
	Essa definição de limite pode ser verificada através do seguinte gráfico:Exemplo
	Demonstre o limite abaixo:
		
Solução
	Pela definição de limite:
		
 quando 
	Substituindo a expressão de f(x):
		
	Fatorando o numerador:
		
	O resultado é igual a:
		
		
	Se escolhermos 
 então a função f(x) se aproximará de 4 quando x tender a 2.
	Podemos explicar essa situação de uma maneira bem mas simples. Se escolhermos 
 então para valores de x entre 2,1 (=p+() e 1,9 (=p-(), o limite da função estará entre 4,1 (=L+() e 3,9 (=L-() já que 
.
 LIMITES NO MATHEMATICA
	O software Mathematica permite o cálculo de limites através de um comando muito simples:
		Limit[expressão, x->a]
	Note que o símbolo -> é um sinal de subtração seguido de um sinal de maior.
Exemplo
	Calcular o limite abaixo no Mathematica:
		
	O seguinte comando deve ser digitado e executado:
		Limit[(5*x^5+3*x^3+x+1)/(4*x^5+2*x^2+2), x->Infinity]
	O Mathematica fornece 5/4 como resultado.
	Podemos também calcular os limites laterais da função através dos seguintes comandos:
		Limit[expressão, x->a, Direction->1]
		Limit[expressão, x->a, Direction->-1]
	No primeiro caso, o comando calcula o limite lateral à esquerda de a na expressão. Já o segundo caso, o comando calcula o limite lateral à direita de a na expressão.
EXERCÍCIOS
	1 – Encontre os seguintes limites:
		a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
		f) 
	g) 
	h) 
	i) 
	j) 
		l) 
	m) 
	n) 
	o) 
	2 – Calcule o limite:
	Para cada um dos casos abaixo:
		a) 
		b) 
		c) 
		d) 
		e) 
x(-(
x(+(
y tende a 2
x tende a 1
�EMBED Equation.3���
página � PAGE �16�
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