Funções - Matemática Aplicada

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UNIVERSIDADE DO GRANDE RIO PROF. JOSÉ DE SOUZA HERDY
ICEN – INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
Introdução
Na Matemática, como em outras ciências, muitas vezes queremos estabelecer uma relação, isto é, uma correspondência entre dois conjuntos.
P. ex.: Suponhamos que temos dois conjuntos: um de números, A = {1, 2, 3, 4}, e um conjunto de 4 pessoas específicas, B = {Ari, Rui, Lina, Ester}. Uma relação de A em B pode ser aquela que ao número 1 associa o nome Ari, ao número 2 associa Éster, ao nº. 3 associa Lina e ao 4, Rui. Esquematicamente:
	A
	B
	1
	Ari
	2
	Ester
	3
	Lina
	4
	Rui
Questão: Qual é a lei que está garantindo a relação (associação) entre os elementos dos conjuntos?
Ou seja, nos números em ordem crescente associamos os nomes em ordem alfabética.
	Outra maneira de representar seria utilizando a notação de par ordenado:
(1, Ari), (2, Ester), (3, Lina), (4, Rui).
	A correspondência estabelecida determina um conjunto de pares ordenados, que nós chamaremos de: M = {(1, Ari), (2, Ester), (3, Lina), (4, Rui)}
Questão: Esta é a única relação que pode ser estabelecida entre os conjuntos A e B?
Exemplo de outras relações entre A e B.
2ª) - Corresponder ao número 1 os indivíduos do sexo masculino;
 - Corresponder ao número 2 os indivíduos do sexo feminino.
Conjunto: N = {(1, Ari), (1, Rui), (2, Ester), (2, Lina)}
3ª) - Associar aos números ímpares o nome Ari e aos números pares o nome Lina:
Conjunto: P = {(1, Ari), (2, Lina). (3, Ari), (4, Lina)}
Obs: Note que todos os conjuntos M, N e P são formados por pares ordenados cujos primeiros elementos pertencem a “A” e cujos segundos elementos pertencem a “B”. Ou seja, são todos subconjuntos do produto cartesiano de A por B:
	M 
 A x B; N 
 A x B; P 
 A x B.
	
	É possível determinar outras relações de A em B, mas todas serão subconjuntos de A x B. Ao todo, podemos estabelecer 
 “relações” de A em B.
Definição: S é uma relação de A em B se S é um subconjunto de A x B.
				S 
 A x B.
Exemplo: Sejam os conjuntos: A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}, e seja S = {(x, y) 
 
A x B / y = x + 1}, temos, então: S = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
Gráfico do produto cartesiano Diagrama da relação
	Definida uma relação S, de A em B, podemos considerar dois novos conjuntos: o domínio da relação, D (S) e o conjunto imagem da relação, Im (S).
	Definição: O domínio de S é o conjunto dos elementos x 
 A para os quais existe um y 
 B tal que (x, y) 
 S. O conjunto imagem de S é o conjunto dos y 
 B para os quais existe um x 
 A tal que (x, y) 
 S.
Exemplo:
1) Seja a relação S de 
* em 
* tal que: S = {(x, y) 
 
* x 
* / 
+ 
�� EMBED Equation.DSMT4 25}. Determine o conjunto de pares ordenados.
Solução: S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
Problemas:
Sendo A = {1, 3, 5, 7} e B = {3, 5, 8, 9}, escreva sob a forma de conjunto a relação de A em B, definida por:
a) x < y, x 
 A e y 
 B; 
b) x 
 y, x 
 A e y 
 B;
c) x é divisor de y, x 
 A e y 
 B;
d) x = y, x 
 A e y 
 B.
Dê o domínio e o conjunto imagem de cada uma das relações do problema 1.
Função
Definição: Uma relação f de A em B é uma função se, e somente se:
Todo elemento x 
A tem um correspondente y 
 B, definido pela relação f.
A cada x 
A não podem corresponder dois ou mais elementos de B, através de f.
Exemplo: Uma franquia é vendida a 500 mil u.m. a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida, a receita de vendas é 500x milhares de u.m. (unidades monetárias).
	Assim, podemos dizer que R(x) = 500x é uma função que fornece para cada quantidade vendida (x) a receita correspondente. O domínio da função é o conjunto 
{0, 1, 2, 3,...} e o conjunto imagem é {0, 500, 1000,...}
Lista de Problemas
1 - Dada a função f(x) = 7x – 3, onde D = 
, obtenha:
a) f(2) b) f(
) c) f(
) d) f(a + b)
2 - Dada a função f(x) = 
- 4x + 10, obtenha os valores de x cuja imagem seja 7.
3 - O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função:
c(x) = 100 + 2x.
Qual o custo de fabricação de 10 unidades?
Qual o custo de fabricação da 10ª unidade?
4 - Certa livraria vende certa revista por 5 u.m. a unidade.
Seja x a quantidade vendida, qual a função receita de vendas desta revista?
5 - Dada a função f(x) = 
, obtenha;
f(3);
f(-4);
o valor de x tal que f(x) = 49;
o valor de x tal que f(x) = -10.
6 - Um vendedor de assinaturas de uma revista ganha 2.000 u.m. de salário fixo, mais 50 por assinatura. Sendo x o número de assinaturas vendidas por mês, expresse seu salário como função de x.
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