apostila resolvaê matemática

Prévia do material em texto

98 
 
 
 
 
Teoria de Conjuntos 
 
 
 
De uso corrente em Matemática, a noção 
básica de conjunto não é definida, ou seja, é aceita 
intuitivamente e, por isso, é chamada noção 
primitiva. Ela foi utilizada primeiramente por Georg 
Cantor (1845-1918), matemático nascido em São 
Petersburgo, mas que passou a maior parte de sua 
vida na Alemanha. Segundo Cantor, a noção de 
conjunto designa uma coleção de objetos bem 
definidos e discerníveis, chamados elementos do 
conjunto. 
 Pretendemos aqui introduzir alguns 
conceitos que também consideramos primitivos: 
A. Definições 
a) Conjunto – é uma coleção de objetos, números, 
letras, etc. 
 
 
b) Elementos - são os componentes do conjunto 
 
c) Relação de pertinência – quando um elemento 
faz ou não parte de um determinado conjunto, diz-
se que ele pertence ou não pertence a tal conjunto. 
 pertence não pertence 
 
Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a 
qualquer pode ser elemento de um determinado 
conjunto A. Quando for, dizemos que: 
 
 
 
 
Caso contrário, dizemos que a não pertence 
a A e escrevemos a A. 
 
Exemplo: Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 
8} 
 
O algarismo 2 pertence ao conjunto A, então: 2 A. 
O algarismo 7 não pertence ao conjunto A, então: 7 
 A. 
 
B. Tipos de conjuntos / conjuntos especiais 
 
Embora conjunto nos ofereça a ideia de 
“reunião” de elementos, podemos considerar 
como conjunto agrupamentos formados por um 
só elemento ou agrupamentos sem elemento 
algum. 
 
- Conjunto Unitário: Chamamos de conjunto 
unitário aquele formado por um só elemento. 
 
Exemplos: 
 
1º) Conjunto dos números primos, pares e 
positivos: {2} 
2º) Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua} 
3º) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: 
{6} 
 
- Conjunto Vazio: Chamamos de conjunto 
vazio aquele formado por nenhum elemento. 
Obtemos um conjunto vazio, considerando um 
conjunto formado por elementos que admitem 
uma propriedade impossível. 
 
Exemplo: Conjunto das raízes reais da equação: 
x2 + 1 = 0 
 
O conjunto vazio pode ser apresentado 
de duas formas:  ou { }. Não podemos 
confundir as duas notações representando 
o conjunto vazio por 
{ }
, pois estaríamos 
apresentando um conjunto unitário cujo elemento 
é o  . 
O conjunto vazio está contido em 
qualquer conjunto e, por isso, é considerado 
subconjunto de qualquer conjunto, inclusive 
dele mesmo. 
 
- Conjunto Universo: Quando desenvolvemos 
um determinado assunto dentro da matemática, 
precisamos admitir um conjunto ao qual 
pertencem os elementos que desejamos utilizar. 
Este conjunto é chamado de conjunto universo e 
é representado pela letra maiúscula U. 
Uma determinada equação pode ter 
diversos conjuntos solução de acordo com o 
conjunto universo que for estabelecido. 
 
Exemplo: A equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0 
apresenta: 
 
 
 
 
 
Subconjuntos - Relação de Inclusão 
 
Dizemos que o conjunto A está contido 
no conjunto B se todo elemento que pertencer 
a A, pertencer também a B. Indicamos que 
a pertence a A e escrevemos a A 
 
99 
 
o conjunto A está contido em B por meio da 
seguinte simbologia: 
 
 
 
Obs.: Podemos encontrar em algumas publicações 
uma outra notação para a relação de inclusão: 
 
 
 
O conjunto A não está contido 
em B quando existe pelo menos um elemento 
de A que não pertence a B. Indicamos que 
o conjunto A não está contido em B desta maneira: 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
Se o conjunto A está contido no conjunto B, 
dizemos que A é um subconjunto de B. Como 
todo elemento do conjunto A pertence 
ao conjunto A, dizemos 
que A é subconjunto de A e, por extensão, 
todo conjunto é subconjunto dele mesmo. 
 
Conjunto das Partes 
 
Dado um conjunto A, dizemos que o seu 
conjunto de partes, representado por P (A), é 
o conjunto formado por todos os subconjuntos do 
conjunto A. 
 
1 Determinação do Conjunto de partes 
 
Vamos observar, com o exemplo a seguir, 
o procedimento que se deve adotar para a 
determinação do conjunto de partes de um 
dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para 
obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta 
escrevermos todos os seus subconjuntos: 
 
1º) Subconjunto vazio:  , pois o conjunto vazio é 
subconjunto de qualquer conjunto. 
2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}. 
3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} 
e {3, 5}. 
4º) Subconjuntos com três elementos:A = {2, 3, 5}, 
pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo. 
 
Assim, o conjunto das partes 
do conjunto A pode ser apresentado da 
seguinte forma: P(A) = {  , {2}, {3}, {5}, 
{2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}. 
 
 
2  Número de Elementos do conjunto de 
partes 
 
Podemos determinar o número de 
elementos do conjunto de partes de 
um conjunto A dado, ou seja, o número de 
subconjuntos do referido conjunto, sem que haja 
necessidade de escrevermos todos os elementos 
do conjunto P(A). 
 
 
 
 
Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = 
{2, 3, 5} apresenta três elementos e, portanto, é 
de se supor, pelo uso da relação apresentada, 
que P (A) = 23 = 8, o que de fato ocorreu. 
 
Notas: 
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A 
 A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de 
qualquer conjunto. (  A) 
c) se um conjunto A possui m elementos então ele 
possui 2n subconjuntos. 
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos 
de um conjunto A é denominado conjunto das 
partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = 
{c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) 
= { , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é 
também denominado parte de A. 
Importante  A relação de pertinência relaciona 
um elemento a um conjunto e a relação de 
inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos. 
 
 
 
Exemplo 1: Considerando P o conjunto dos 
números naturais pares e N o conjunto dos 
números naturais, temos: 
 
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} e N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} 
 
Neste caso P  N, pois todos os elementos de P 
pertencem a N. 
 
Representação por diagrama: 
 
 
 
Exemplo 2: Se A é o conjunto dos retângulos e B é 
o conjunto dos quadriláteros, então A  B, pois 
todo retângulo é um quadrilátero. 
 
Se A tem n elementos, P(A) tem 2n 
elementos. 
 
100 
 
Representação por diagrama: 
 
 
 
Exemplo 3:Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = 
{0, 1, 2, 3, 4, 5} e C = {0, 2, 5}, temos: 
 
a) A  B, pois todo elemento de A pertence a 
B; 
 C  A, pois 5  C e 5  A; 
 B  C, pois todo elemento de C pertence a 
B. 
 
b) Um diagrama de Venn que representa os 
conjuntos A, B e C é o seguinte: 
 
 
 
Igualdade de Conjuntos 
 
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, 
eles possuírem os mesmos elementos, em 
qualquer ordem e independentemente do número 
de vezes que cada elemento se apresenta. 
 
Veja o exemplo abaixo: 
{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1} 
 
Por isso, convencionamos não repetir elementos 
de um conjunto. 
 
Observação 1: Se o conjunto A está contido 
em B (A B) e B está contido em A (B A), 
podemos afirmar que A = B. 
 
Observação 2: Se A não é igual a B, então A é 
diferente de B e escrevemos A ≠ B. 
 
 
C. Notação e Representação 
 
A representação de um conjunto pode ser feita de 
diversas maneiras, como veremos a seguir. 
 
1  Listagem dos Elementos 
 
Apresentamos um conjunto por meio da listagem 
de seus elementos quando relacionamos todos 
os elementos que pertencem 
ao conjunto considerado e envolvemos essa lista 
por um par de chaves. Os elementos de 
um conjunto, quando apresentados na forma de 
listagem, devem ser separados por vírgula ou por 
ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de 
números decimais. O tipo de representação 
abaixo é conhecido como representação 
tabular. 
 
Exemplos: 
 
a) Seja A o conjunto das cores da bandeira 
brasileira, então: 
 
A = {verde, amarelo, azul, branco} 
 
b) Seja B o conjunto das vogais do nosso 
alfabeto, então: 
 
B = {a, e, i, o, u} 
c) Seja C o conjunto dos algarismos do 
sistema decimal de numeração,então: 
 
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 
2  Uma Propriedade de seus elementos 
 
A apresentação de um conjunto por meio da 
listagem de seus elementos traz o inconveniente 
de não ser uma notação prática para os casos em 
que o conjunto apresenta uma infinidade de 
elementos. Para estas situações, podemos fazer 
a apresentação do conjunto por meio de uma 
propriedade que sirva a todos os elementos do 
conjunto e somente a estes elementos. 
 
Exemplos: 
 
a) Seja B o conjunto das vogais do nosso 
alfabeto, então: B = {x / x é vogal do nosso 
alfabeto} 
 
b) Seja C o conjunto dos algarismos do 
sistema decimal de numeração, então: C = {x/x é 
algarismo do sistema decimal de numeração} 
 
3  Diagrama de Venn 
 
A apresentação de um conjunto por meio do 
diagrama de Venn é gráfica e, portanto, muito 
prática. Os elementos são representados por 
pontos interiores a uma linha fechada não 
entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à 
linha representam elementos que não pertencem 
ao conjunto considerado. 
 
Exemplo: Seja B o conjunto das vogais do nosso 
alfabeto. 
 
 
 
101 
 
4  Intervalo Real 
Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[ , {xЄR/a 
< x < b} 
 
Aberto à esquerda e aberto à direita 
 
 
Intervalo aberto em a e fechado em b, ]a,b], {xЄR/a 
< x ≤ b} 
Aberto à esquerda e fechado à direita 
 
 
 
Intervalo fechado em a e aberto em b, [a,b[, {xЄR/a 
≤ x < b} 
Fechado à esquerda e aberto à direita 
 
 
Intervalo fechado em a e fechado em b, [a,b], 
{xЄR/a ≤ x ≤ b} 
Fechado à esquerda e fechado à direita 
 
 
Intervalos infinitos 
{xЄR/x > a} 
 
 
{xЄR/x<a} 
 
 
{xЄR/x≥a} 
 
 
{xЄR/≤a} 
 
 
 
Intervalos numéricos 
Dados dois números reais p e q, chama-
se intervalo a todo conjunto de todos números 
reais compreendidos entre p e q, podendo inclusive 
incluir p e q. Os números p e q são os limites 
do intervalo, sendo a diferença p – q, chamada 
amplitude do intervalo. 
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado 
e caso contrário, o intervalo é dito aberto. 
A tabela abaixo, define os diversos tipos de 
intervalos. 
 
 
 
Operações com Conjuntos 
 
- União de Conjuntos: Dados dois conjuntos A e 
B, a união (ou reunião) é o conjunto formado 
pelos elementos de A mais os elementos de B. E 
é indicado por A B (lê-se: A união B ou A 
reunião B). Representamos a união de dois 
conjuntos da seguinte forma: 
 
 
 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, calcular A B . 
 
Sol.: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} 
 
Graficamente, temos: 
 
 
 
Observe que os elementos comuns não são 
repetidos. 
 
- Intersecção de Conjuntos: Dados dois 
conjuntos A e B, a intersecção é o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem 
simultaneamente a A e B. E é indicado por 
102 
 
A B (lê-se: A intersecção B ou, simplesmente, 
A inter B). Representamos a intersecção de dois 
conjuntos da seguinte forma: 
 
 
 
Exemplo 1: Sendo A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 
9}, determinar A B . 
 
Sol.: A B = {3, 5, 8}, apenas os elementos 
comuns a A e B. 
 
Graficamente: 
 
 
Exemplo 2: Calcule M N onde M = {2, 3, 5} e 
N = {4, 6}. 
 
Sol.: M N  , não há elementos comuns. 
Nesse caso, dizemos que os conjuntos são 
disjuntos. 
 
- Diferença de Conjuntos: Dados os conjuntos A 
e B, podemos determinar um conjunto cujos 
elementos pertencem ao conjunto A e não 
pertencem ao conjunto B. Esse conjunto é 
chamado diferença entre A e B e indicado por A – 
B, que se lê “A menos B”. Assim, define-se: 
 
A – B = {x | x  A e x  B} 
 
Graficamente, temos: 
 
 
Exemplo 1: Calcular A – B, sabendo que A = {3, 4, 
6, 8, 9} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 10}. 
 
Sol.: A – B = {3, 8, 9}, elementos que estão em A 
mas não estão em B. 
 
Graficamente: 
 
 
Exemplo 2: Sendo A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 3, 5, 
6}, calcule A – B. 
 
Sol.: A – B =  , não existe elemento de A que 
não pertença a B. 
 
Produto Cartesiano de Conjuntos 
Outra operação útil entre conjuntos é o produto 
cartesiano que se baseia no conceito de par 
ordenado. Ao escrevermos um par ordenado (x, 
y), a ordem dos elementos é fundamental: x é o 
primeiro elemento do par e y é o segundo 
elemento do par. 
O produto cartesiano dos conjuntos A e B é o 
conjunto A x B cujos elementos são todos os 
pares ordenados (x, y) tal que x é elemento de A 
e y é elemento de B. Portanto: 
 
A x B = { (x,y) | x  A e y  B}. 
 
Obs.: 1) Dados dois pares ordenados (x, y) e (a, 
b), dizemos que: 
(x, y) = (a, b)  x = a e y = b 
 2) Se o conjunto A tem m elementos e B n 
elementos, então A x B terá m.n elementos. 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {5,6} e B = 
{2,3,4}, vamos determinar o produto cartesiano 
AXB; 
 
a) forma tabular: 
AXB = {(5,2), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4)} 
 
 
 
 
 
c) forma gráfica: 
 
 
 
103 
 
 Alguns Símbolos Matemáticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
01. Indique se cada um dos elementos – 4 ; 
1
3
 ; 3 
e 0,25 pertence ou não a cada um destes 
conjuntos. 
 
A = {x | x é um número inteiro} 
 
B = {x | x < 1} 
 
C = {x | 15x – 5 = 0} 
 
D = {x |- 2 ≤ x ≤ 
1
4
} 
 
02. Considerando que F = {x | x é estado do 
sudeste brasileiro} e G = {x | x é capital de um país 
sulamericano}, quais das sentenças seguintes são 
verdadeiras? 
 
a) Rio de Janeiro F 
b) México G 
c) Lima G 
d) Montevidéu G 
e) Espírito Santo F 
a) São Paulo F 
 
 
 
03. Se H = {-1, 0, 2, 4, 9}, reescreva cada um 
dos conjuntos seguintes enumerando seus 
elementos. 
 
A = {x | x H e x < 1} 
 
B = {x | x H e 
2𝑥−1
3
= 1} 
 
C = {x | x H e x é um quadrado perfeito} 
 
D = {x | x H e x < 0} 
 
04. Represente, na forma tabular, os seguintes 
conjuntos: 
 
a) A = {x Z | -3 ≤ x ≤ 3} 
 
b) B = {x Z | x2 = 9} 
 
c) C = {x N | x2 = 9} 
 
d) D = { x N | 9 ≤ x < 100} 
 
e) E = {x N | x > 54} 
 
05. Represente, na forma de diagrama, os seguintes 
conjuntos: 
 
a) A = {x N | 2 < x ≤ 12} 
 
b) B = {x N | 4 < x < 8} 
 
06. Escreva o conjunto expresso pela propriedade: 
 
a) x é um número natural par. 
 
b) x é um número natural múltiplo de 5 e menor 
que 31. 
 
c) x é um quadrilátero que possui 4 ângulos retos. 
 
07. Escreva uma propriedade que define o conjunto: 
 
a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
 
b) {0, 2, 4, 6} 
 
08. Sejam A = { x  N | x é número par compreendido 
entre 3 e 15}, B = { x  N | x é um número par 
menor que 15} e C = {x  N | x é um número par 
diferente de 2}. Usando os símbolos  ou  , 
relacione entre si os conjuntos: 
 
a) A e B 
 
b) A e C 
 
d) B e C 
 
09. Dado os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4, 
5}, C = {3, 4, 5} e D = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique 
em verdadeiro (V) ou falso (F): 
 
( ) A  B 
( ) C  A 
( ) B  D 
( ) D  B 
( ) C  A 
( ) A  D 
 
10. Considere que: 
 
 A é o conjunto dos números naturais ímpares 
menores do que 10; 
 B é o conjunto dos dez primeiros números 
naturais; 
< (é menor que) 
> (é maior que) 
≤ (é menor ou igual a) 
≥ (é maior ou igual a) 
{ } ou (conjunto vazio) 
(“para todo” ou “para qualquer que seja) 
 
 (pertence) 
 (não pertence) 
(existe) 
 
 (está contido) 
 (não está contido) 
(contém) 
 
| (tal que) 
104 
 
 C é o conjunto dos números primos menores 
do que 9. 
 
Use os símbolos  ou  e relacione esses 
conjuntos na ordem dada: 
 
a) A e B 
 
b) C e A 
 
c) C e B 
 
d) A e C 
 
11. Represente na forma de diagrama, os 
silogismos: 
 
a) * Todo retângulo é paralelogramo. 
 * Todo paralelogramo é quadrilátero. 
 * Então, todo retângulo é quadrilátero. 
b) * Todo aluno pertence a uma classe. 
 * Toda classe pertence a uma escola. 
 * Então, todo aluno pertence a uma escola. 
 
12. Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. 
Daí pode-se concluir que: 
 
a) algum atleta é celta; 
 
b) nenhum atleta é celta; 
c) nenhum atleta é bondoso; 
d) alguém que seja bondoso é celta; 
e) ninguém que seja bondoso é atleta. 
 
13. São dados os conjuntos A = {x | x é um número 
ímparpositivo} e B = {y | y é um número inteiro e 
0 < y ≤ 4}. Determine o conjunto dos elementos 
z, tais que z  B e z  A. 
 
14. Considere as premissas: P1 – Algum A é B. 
P2 – Nenhum C é B. Se P1 e P2 são verdadeiras 
então, é necessariamente verdadeiro que: 
 
a) Algum A é C. 
b) Algum C é A. 
c) Nenhum A é C. 
d) Nenhum C é A. 
e) Algum A não é C. 
 
15. Classifique como conjunto vazio ou conjunto 
unitário, considerando o universo dos números 
naturais: 
 
a) A = { x | x é menor do que 1} 
 
b) B = {x | x é maior do que 10 e menor do que 
11} 
 
c) C = {x | x é par maior do que 3 e menor do que 
5} 
 
d) D = {x | x é primo maior do que 7 e menor do 
que 11} 
 
e) E = {x | x + 7 = 4} 
 
f) F = {x | x < 0} 
 
g) G = { x | 5x = 60} 
 
 
16. Considerando U = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} como 
conjunto universo, determinar o conjunto 
solução de: 
 
a) {x  U | x + 4 = 2} 
 
b) {x  U | 3x = 5} 
 
 
17. Dados A = {0,1} e B = {1, 3, 5}, determine: 
 
a) P(A) 
 
b) P(B) 
 
c) o número de elementos de P(A) 
 
d) o número de elementos de P(B) 
 
 
18. Se P(A) tem 64 elementos, quantos elementos 
tem o conjunto A? 
 
19. Dados os conjuntos X = {1, 2, 3, 4}, Y = {0, 2, 
4, 6, 8} e Z = {0, 1, 2}: 
 
a) Determine todos os subconjuntos de X que têm 
três elementos cada um. 
 
b) Dê três exemplos de subconjuntos de Y, cada 
qual com quatro elementos. 
 
c) Determine o conjunto P(Z). 
 
20. Obtenha x e y de modo que: {0, 1, 2} = {0, 
1, x} e {2, 3} = {2, 3, y}. 
 
21. (Unirio-RJ) Sendo x e y números tais que {1, 
2, 3} = {1, x, y}, pode-se afirmar que: 
 
a) x = 2 e y = 3 
b) x + y = 5 
c) x < y 
d) x ≠ 2 
e) y ≠ 2 
 
 
22. Dados os conjuntos A = {p, q, r}, B = {r, s} e 
C = {p, s, t}, determine os conjuntos: 
 
a) A  B 
 
b) A  C 
 
c) B  C 
 
d) A  B 
 
e) A  C 
 
f) B  C 
105 
 
23. Sendo A, B e C os conjuntos dados no 
exercício anterior, determine: 
 
a) (A  B)  C 
b) A  B  C 
c) (A  C)  (B  C) 
d) (A  C)  (B  C) 
 
 
24. Dado U = {- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}, sejam 
A = {x  U | x < 0}, B = {x  U | - 3 < x < 2} e C = 
{ x  U | x ≥ 1}. 
 
a) A  B  C 
b) A  B  C 
c) C  (B  A) 
d) (B  A)  C 
 
25. Sabendo que A  B = {2, 5}, B = {2, 5, 9} e 
A  B = {2, 3, 5, 8, 9}, represente os conjuntos A 
e B por meio de um diagrama. 
 
26. Represente os conjuntos A = {1, 2, 3, 5, 12}, 
B = {1, 2, 7, 8, 11} e C = {2, 4, 5, 8, 9} por meio 
de um diagrama. A seguir, hachure a região que 
representa (A  C)  B. 
 
27. Para avaliar a quantidade de pessoas que 
se mantêm em postos de trabalho na população 
de uma pequena cidade, foi realizada uma 
pesquisa cujos resultados são apresentados na 
tabela a seguir. 
 
 
Em relação ao conjunto universo U das pessoas 
entrevistadas nessa pesquisa, considere os 
conjuntos: A = {x  U | x é empregado}, B = {x  
U | x é aposentado}, C = {x  U | x é 
desempregado}, D = {x  U | x é do sexo 
feminino}, E = {x  U | x é do sexo masculino} e 
F = {x  U | x é aprendiz}. Calcule o número de 
elementos de cada um dos conjuntos M, N, P e 
R. 
 
a) M = {x  U | x  A ou x  B} 
b) N = A  B 
c) P = {x  U | x  C e x  D} 
d) Q = C  D 
e) R = E  (B  F) 
 
28. Considerando o conjunto universo U = {- 2, 
- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e dados A = {x  U | x ≤ 3}, B 
= {x  U | x é ímpar} e C = {x  U | - 2 ≤ x < 1}, 
determine: 
 
a) A – C 
 
b) C – B 
 
c) (A  C) – B 
 
d) C  (A – B) 
 
 
 
29. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) 
e justifique: 
 
a) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, 
então A  B tem 7 elementos. 
 
b) Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos, 
então A  B tem 2 elementos. 
 
c) Se A  B =  , A tem 5 elementos e B tem 
4 elementos, então A  B tem 9 elementos. 
 
30. Qual a região do diagrama representa 
peixes com caudas azuis e barbatanas amarelas 
que brilham no escuro, mas não vivem em água 
fria? 
 
 
 
31 - Dados os conjuntos M = {1,3,5} e N = {2,4}, 
determinar o produto cartesiano M X N e N X M nas 
formas tabular e gráfica 
 
32 - Determinar o produto cartesiano dos conjuntos 
abaixo, na forma gráfica. 
a. [2,5] X {1} 
b. {3,4} X [-1,3] 
c. [1,3] X [2,5] 
d. ]-2,1] X [3,5[ 
 
 
Exercícios 
 
1) (Fatec – SP) O conjunto A tem 20 elementos, 
A  B tem 12 elementos e A  B tem 60 elementos. 
O número de elementos do conjunto B é: 
a) 28 
b) 36 
c) 40 
d) 48 
e) 52 
 
2) Em um bairro existem 1800 pessoas 
associadas ao clube A ou ao clube B sendo 1200 
106 
 
são sócios de A e 800 são sócios de B. Quantos 
são sócios de A que não são sócios de B? 
 
 
 
 
3) Feita uma pesquisa sobre as revistas que 
os estudantes leem mais tivemos o seguinte 
resultado: 
A B A e B 
44% 40% 24% 
 
Responda: 
a) Quantos por cento leem apenas a revista A? 
 
b) Quantos por cento leem apenas a revista B? 
 
c) Quantos por cento não leem nenhuma das 
duas revistas? 
 
 
4) (PUC – RJ) Uma população consome 3 
marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma 
pesquisa de mercado, colheram-se os resultados 
tabelados abaixo: 
 
Marca Número de 
consumidores 
A 105 
B 200 
C 160 
A e B 25 
B e C 40 
A e C 25 
A, B e C 5 
Nenhuma das 
três 
120 
 
 Determine o número de pessoas consultadas. 
 
5) (PUC- PR) Em um levantamento com 100 
vestibulandos da PUC, verificou-se que o número 
de alunos que estudou para as provas de 
Matemática, Física e Português foi o seguinte: 
Matemática, 47; Física, 32; Português, 21; 
Matemática e Física, 7; Matemática e Português, 
5; Física e Português, 6; as três matérias, 2. 
Quantos dos 100 alunos incluídos no 
levantamento não estudaram nenhuma das três 
matérias? 
 
6) O professor de Literatura do Cursinho Mil 
sugeriu a leitura dos livros Helena, Senhora e A 
Moreninha. Foi constatado que nos 1000 alunos 
consultados: 
Alunos Leitura 
600 A Moreninha 
400 Helena 
300 Senhora 
200 A Moreninha e Helena 
150 A Moreninha e Senhora 
100 Senhora e Helena 
20 
A Moreninha, Senhora e 
Helena 
 
 Calcule: 
a) O número de alunos que leu apenas uma 
das obras 
 
b) O número de alunos que não leu nenhuma 
das três obras 
 
c) O número de alunos que leu duas ou mais 
obras. 
 
7) Numa pesquisa realizada por técnicos da ONG 
ÁGUALIMPA, foram coletadas amostras do lago 
XORORÓ. Das 340 amostras coletadas, verificou-
se que: 
• 100 apresentaram a bactéria A; 
• 150 apresentaram a bactéria B; 
• 120 apresentaram a bactéria C; 
• 40 apresentaram as bactérias A e B; 
• 25 apresentaram as bactérias A e C; 
• 30 apresentaram as bactérias B e C; 
• 55 não apresentaram nenhuma das três 
bactérias. 
Determine: 
a) Quantas amostras apresentaram as 3 bactérias. 
b) Quantas amostras apresentaram pelo menos 2 
bactérias. 
 
8) Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 
futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos, nenhum 
esporte. O número total de alunos é 
 
a) 230 b) 300 c) 340 d) 
380 
 
9) No concurso para o CPCAR foram entrevistados 
979 candidatos, dos quais 527 falam a língua 
inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam 
nenhum desses idiomas. O número de candidatos 
que falam as línguas inglesa e francesa é 
 
a) 778 b) 120 c) 658 d) 
131 
 
10) Uma pesquisa de mercado sobre a preferência 
de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 
mostrou que, dos entrevistados, 
 
20 consumiam os três produtos; 
30 os produtos P1 e P2; 
50 os produtos P2 e P3; 
60 os produtos P1 e P3; 
120 o produto P1; 
75 o produto P2 
 
Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram 
preferência a pelo menos um dos produtos, 
pergunta-se: 
 
a) Quantas consumiam somente o produto P3? 
b) Quantas consumiam pelo menos dois dos 
produtos? 
107 
 
c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não 
P3? 
 
11) ( Faap) Numa prova constituída de dois 
problemas, 300 alunos acertaram somente um 
deles, 260 o segundo, 100 alunos acertaram os 
dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos 
fizeram a prova? 
 
 
12) Se o conjunto A tem 7 elementos, o conjunto 
B, 4 elementose A  B tem 1 elemento, quantos 
elementos terá A B? 
 
13) Numa pesquisa em que foram ouvidas 
crianças, constatou-se que: 
 
 15 crianças gostavam de refrigerante. 
 25 crianças gostavam de sorvete 
 5 crianças gostavam de refrigerante e de sorvete 
 
Quantas crianças foram pesquisadas? 
 
14) Foram instaladas 66 lâmpadas para iluminar as 
ruas A e B, que se cruzam. Na rua A foram 
colocadas 40 lâmpadas e na rua B 30 lâmpadas. 
Quantas lâmpadas foram instaladas no 
cruzamento? 
 
15) Numa concentração de atletas há 42 que jogam 
basquetebol, 28 voleibol e 18 voleibol e 
basquetebol, simultaneamente. Qual é o número 
de atletas na concentração? 
 
16) Uma atividade com duas questões foi aplicada 
em uma classe de 40 alunos. Os resultados 
apontaram que 20 alunos haviam acertado as duas 
questões, 35 acertaram a primeira questão e 25, a 
segunda. Faça o diagrama e calcule o percentual 
de alunos que acertou apenas uma questão? 
 
17) Uma pesquisa de mercado foi realizada para 
verificar a audiência de três programas de 
televisão, 1200 famílias foram entrevistadas e os 
resultados obtidos foram os seguintes: 370 famílias 
assistem ao programa A, 300 ao programa B e 360 
ao programa C. Desse total, 100 famílias assistem 
aos programas A e B, 60 aos programas B e C, 30 
aos programas A e C e 20 famílias aos 3 
programas.Com base nesses dados, determine: 
 
a) quantas famílias não assistem a nenhum dos 3 
programas? 
b) quantas famílias assistem ao programa A e não 
assistem ao programa C? 
c) qual o programa de maior fidelidade, ou seja, 
cujos espectadores assistem somente a esse 
programa? 
 
 
18) Dado o conjunto M = {1, 3, 5, 7}, pede-se: 
 
a) Quantos elementos possui P(M)? 
 
b) Escreva os elementos de P(M). 
 
 
19) (UFAL) Na figura abaixo têm-se representados 
os conjuntos A, B e C, não disjuntos. 
 
 
A região sombreada representa o conjunto: 
a) C - (A  B) 
b) (A  B) - C 
c) (A  B) - C 
d) A  B  C 
e) A  B  C 
 
Conjuntos numéricos fundamentais 
Entendemos por conjunto numérico, qualquer 
conjunto cujos elementos são números. Existem 
infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os 
chamados conjuntos numéricos fundamentais, a 
saber: 
Conjunto dos números naturais 
Vamos começar nos primórdios da 
matemática. 
- Se eu pedisse para você contar até 10, o 
que você me diria? 
- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, 
oito, nove e dez. 
 
Pois é, estes números que saem 
naturalmente de sua boca quando solicitado, são 
chamados de números NATURAIS, o qual é 
representado pela letra . 
Foi o primeiro conjunto inventado pelos 
homens, e tinha como intenção mostrar 
quantidades. 
 
Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído 
neste conjunto, mas pela necessidade de 
representar uma quantia nula, definiu-se este 
número como sendo pertencente ao conjunto dos 
Naturais. Portanto: 
 
N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ...} 
 
Como o zero originou-se depois dos outros 
números e possui algumas propriedades próprias, 
algumas vezes teremos a necessidade de 
representar o conjunto dos números naturais sem 
incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * 
(asterisco) empregado ao lado do símbolo do 
conjunto, que representa a ausência do zero. Veja 
o exemplo: 
 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ...} 
 
 
 
http://www.paulomarques.com.br/arq11-1.htm
108 
 
Números Pares e Ímpares 
 
Os pitagóricos estudavam à natureza dos números, e 
baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo 
de vida. Vamos definir números pares e ímpares de 
acordo com a concepção pitagórica: 
 par é o número que pode ser dividido em duas 
partes iguais, sem que uma unidade fique no 
meio, e ímpar é aquele que não pode ser 
dividido em duas partes iguais, porque sempre 
há uma unidade no meio 
 
Uma outra caracterização, nos mostra a preocupação 
com à natureza dos números: 
 número par é aquele que tanto pode ser dividido 
em duas partes iguais como em partes 
desiguais, mas de forma tal que em nenhuma 
destas divisões haja uma mistura da natureza 
par com a natureza ímpar, nem da ímpar com a 
par. Isto tem uma única exceção, que é o 
princípio do par, o número 2, que não admite a 
divisão em partes desiguais, porque ele é 
formado por duas unidades e, se isto pode ser 
dito, do primeiro número par, 2. 
 
Para exemplificar o texto acima, considere o 
número 10, que é par, pode ser dividido como a soma 
de 5 e 5, mas também como a soma de 7 e 3 (que 
são ambos ímpares) ou como a soma de 6 e 4 
(ambos são pares); mas nunca como a soma de um 
número par e outro ímpar. Já o número 11, que é 
ímpar pode ser escrito como soma de 8 e 3, um par e 
um ímpar. Atualmente, definimos números pares 
como sendo o número que ao ser dividido por dois 
têm resto zero e números ímpares aqueles que ao 
serem divididos por dois têm resto diferente de zero. 
Por exemplo, 12 dividido por 2 têm resto zero, 
portanto 12 é par. Já o número 13 ao ser dividido por 
2 deixa resto 1, portanto 13 é ímpar. 
Múltiplos e Divisores 
Divisibilidade 
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 
2, 4, 6 ou 8. Ex.: O número 74 é divisível por 2, pois 
termina em 4. 
 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos 
valores absolutos dos seus algarismos é um número 
divisível por 3. Ex.: 123 é divisível por 3, pois 1+2+3 = 
6 e 6 é divisível por 3 
 
Um número é divisível por 5 quando o algarismo 
das unidades é 0 ou 5 (ou quando termina em o ou 
5). Ex.: O número 320 é divisível por 5, pois termina 
em 0. 
 
Um número é divisível por 10 quando o algarismo 
das unidades é 0 (ou quando termina em 0). Ex.: O 
número 500 é divisível por 10, pois termina em 0. 
 
Números Primos 
Um número natural é primo quando é divisível 
apenas por dois números distintos: ele próprio e o 
1. 
 
Exemplos: 
• O número 2 é primo, pois é divisível apenas por dois 
números diferentes: ele próprio e o 1. 
• O número 5 é primo, pois é divisível apenas por dois 
números distintos: ele próprio e o 1. 
• O número natural que é divisível por mais de dois 
números diferentes é chamado composto. 
• O número 4 é composto, pois é divisível por 1, 2, 4. 
• O número 1 não é primo nem composto, pois é 
divisível apenas por um número (ele mesmo). 
• O número 2 é o único número par primo. 
 
Decomposição em Fatores Primos (Fatoração) 
Um número composto pode ser escrito sob a forma 
de um produto de fatores primos. 
 
Por exemplo, o número 60 pode ser escrito na forma: 
60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 22 . 3 . 5 que é chamada de forma 
fatorada. 
 
Para escrever um número na forma fatorada, 
devemos decompor esse número em fatores primos, 
procedendo do seguinte modo: 
 
Dividimos o número considerado pelo menor número 
primo possível de modo que a divisão seja exata. 
Dividimos o quociente obtido pelo menor número 
primo possível. 
Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente 
pelo menor número primo possível, até que se 
obtenha o quociente 1. 
 
Exemplo: 
 
 
Portanto: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 
 
Na prática, costuma-se traçar uma barra vertical à 
direita do número e, à direita dessa barra, escrever os 
divisores primos; abaixo do número escrevem-se os 
quocientes obtidos. A decomposição em fatores 
primos estará terminada quando o último quociente 
for igual a 1. 
 
Exemplo: 
 60 
30 
15 
5 
 1 
2 
2 
3 
5 
109 
 
Logo: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 
Divisores de um Número 
Consideremos o número 12 e vamos determinar 
todos os seus divisores Uma maneira de obter esse 
resultado é escrever os números naturais de 1 a 12 e 
verificar se cada um é ou não divisor de 12, 
assinalando os divisores. 
 
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 
 
Indicando por D(12) (lê-se: "D de 12”) o conjunto 
dos divisores do número 12, temos: 
 
D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12} 
 
Na prática, a maneira mais usada é a seguinte: 
1º) Decompomos em fatores primos o número 
considerado. 
12 
6 
3 
1 
2 
2 
3 
 
2º) Colocamos um traço verticalao lado os fatores 
primos e, à sua direita e acima, escrevemos o 
numero 1 que é divisor de todos os números. 
 
12 
6 
3 
1 
 
2 
2 
3 
1 
 
3º) Multiplicamos o fator primo 2 pelo divisor 1 e 
escrevemos o produto obtido na linha 
correspondente. 
 
12 
6 
3 
1 
 
2 
2 
3 
x1 
 2 
 
4º) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo 
pelos divisores já obtidos, escrevendo os 
produtos nas linhas correspondentes, sem 
repeti-los. 
 
12 
6 
3 
1 
 
2 
2 
3 
x1 
 2 
 4 
 
 
12 
6 
3 
1 
 
2 
2 
3 
x1 
 2 
 4 
 3, 6, 12 
 
Os números obtidos à direita dos fatores primos 
são os divisores do número considerado. Portanto: 
D(12) = { 1, 2, 4, 3, 6, 12} 
Exemplos: 
1) 
 
18 
9 
3 
1 
 
2 
3 
3 
1 
2 
3, 6 
9, 18 
 
 
D(18) = {1, 2 , 3, 6, 
9, 18} 
 
2) 
 
30 
15 
5 
1 
 
2 
3 
5 
1 
2 
3, 6 
5, 10, 15, 30 
 
D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 
 
Máximo Divisor Comum 
Recebe o nome de máximo divisor comum de 
dois ou mais números o maior dos divisores comuns 
a esses números. 
Um método prático para o cálculo do M.D.C. de 
dois números é o chamado método das divisões 
sucessivas (ou algoritmo de Euclides), que consiste 
das etapas seguintes: 
 Esse processo prático costuma ser simplificado 
fazendo-se uma decomposição simultânea dos 
números. Para isso, escrevem-se os números, um ao 
lado do outro, separando-os por vírgula, e, à direita da 
barra vertical, colocada após o último número, 
escrevem-se os fatores primos comuns e não-
comuns. Marca-se os fatores primos comuns 0 
produto desses fatores comuns termina M.D.C dos 
números apresentados. 
 
Exemplo: 
Calcular o M.D.C. (90, 60) 
 
 
Mínimo Múltiplo Comum 
Recebe o nome de mínimo múltiplo comum de 
dois ou mais números o menor dos múltiplos 
(diferente de zero) comuns a esses números. 
 
Esse processo prático costuma ser simplificado 
fazendo-se uma decomposição simultânea dos 
números. Para isso, escrevem-se os números, um ao 
lado do outro, separando-os por vírgula, e, à direita da 
barra vertical, colocada após o último número, 
escrevem-se os fatores primos comuns e não-
comuns. 0 calculo estará terminado quando a última 
linha do dispositivo for composta somente pelo 
110 
 
número 1. O M.M.C dos números apresentados será 
o produto dos fatores. 
Exemplo: Calcular o M.M.C (90, 60) 
 
Exemplo: 
Calcular o M.M.C (36, 48, 60) 
36, 48, 60 
18, 24, 30 
 9, 12, 15 
 9, 6, 15 
 9, 3, 15 
 3, 1, 5 
 1, 1 5 
 1, 1, 1 
2 
2 
2 
2 
3 
3 
5 
 
 
Resposta: M.M.C (36, 48, 60) = 24 . 32 . 5 = 720 
 
Exercício 
 
1) Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de 
mesmo comprimento. Após realizarem os cortes 
necessários, verificou-se que duas peças 
restantes tinham as seguintes medidas: 156 
centímetros e 234 centímetros. O gerente de 
produção ao ser informado das medidas, deu a 
ordem para que o funcionário cortasse o pano em 
partes iguais e de maior comprimento possível. 
Como ele poderá resolver essa situação? 
 
 
2) Uma empresa de logística é composta de três 
áreas: administrativa, operacional e vendedores. A 
área administrativa é composta de 30 funcionários, 
a operacional de 48 e a de vendedores com 36 
pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma 
integração entre as três áreas, de modo que todos 
os funcionários participem ativamente. As equipes 
devem conter o mesmo número de funcionários 
com o maior número possível. Determine quantos 
funcionários devem participar de cada equipe e o 
número possível de equipes. 
 
3) Numa linha de produção, certo tipo de 
manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na 
máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 
6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a 
manutenção nas três máquinas, após quantos dias 
as máquinas receberão manutenção no mesmo 
dia. 
 
4) Um médico, ao prescrever uma receita, 
determina que três medicamentos sejam ingeridos 
pelo paciente de acordo com a seguinte escala de 
horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, 
de 3 em 3 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. 
Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas 
da manhã, qual será o próximo horário de ingestão 
dos mesmos? 
 
 
5) Na transmissão de um evento esportivo, 
comerciais dos produtos A, B e C, todos de uma 
mesma empresa, foram veiculados durante um 
tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, 
respectivamente, com diferentes números de 
inserções para cada produto. Sabe-se que a 
duração de cada inserção, para todos os produtos, 
foi sempre a mesma, e a maior possível. Assim, o 
número total de comerciais dessa empresa 
veiculados durante a transmissão foi igual a 
 
a) 32 
b) 30 
c) 24 
d) 18 
e) 16 
 
6) No almoxarifado de uma Unidade do Tribunal 
Regional Eleitoral há disponível: 11 caixas de 
lápis, cada qual com 12 unidades; 9 caixas de 
borrachas, cada qual com 8 unidades; 8 caixas de 
réguas, cada qual com 15 unidades. Sabe-se 
que: 
 
a) todos os objetos contidos nas caixas acima 
relacionadas deverão ser divididos em pacotes e 
encaminhados a diferentes setores dessa 
Unidade; 
b) todos os pacotes deverão conter a mesma 
quantidade de objetos; 
c) cada pacote deverá conter um único tipo de 
objeto. Nessas condições, a menor quantidade de 
pacotes a serem distribuídos é um número 
compreendido entre: 
 
a) 10 e 20 
b) 20 e 30 
c) 30 e 40 
d) 40 e 50 
e) 50 e 60 
 
7) Considere dois grupos de agentes censitários, 
um deles com 66 agentes e o outro, com 72. Os 
dois grupos serão divididos em equipes de 
trabalho. Essas equipes deverão ter o mesmo 
número de agentes, sendo que todos os agentes 
de cada equipe devem ser originários do mesmo 
grupo. Desse modo, o número máximo de 
agentes por equipe será 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
8) A tabela abaixo apresenta as dimensões do 
papel enrolado em duas bobinas B1 e B2. 
 
Todo o papel das bobinas será cortado de modo 
que, tanto o corte feito em B1 como em B2, 
resulte em folhas retangulares, todas com a 
111 
 
mesma largura do papel. Nessas condições, o 
menor número de folhas que se poderá obter é 
a) 135 
b) 137 
c) 140 
d) 142 
e) 147 
 
9) Sistematicamente, dois funcionários de uma 
empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 
dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos 
sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de 
outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, 
uma outra provável coincidência de horários das 
suas horas-extras ocorrerá em 
a) 9 de dezembro de 2010. 
b) 15 de dezembro de 2010. 
c) 14 de janeiro de 2011. 
d) 12 de fevereiro de 2011. 
e) 12 de março 2011. 
 
10) Duas polias conectadas por uma correia têm 
comprimentos de 12 cm e 22 cm. 
 
O menor número de voltas completas que a polia 
menor deve dar para que a polia maior dê um 
número inteiro de voltas é 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
9) Um agente administrativo foi incumbido de tirar 
cópias das 255 páginas de um texto. Para tal ele só 
dispõe de uma impressora que apresenta o 
seguinte defeito: apenas nas páginas de números 
8, 16, 24, 32, ... (múltiplos de 8) o cartucho de tinta 
vermelha falha. Considerando que em todas as 
páginas do texto aparecem destaques na cor 
vermelha, então, ao tirar uma única cópia do texto, 
o número de páginas que serão impressas sem 
essa falha é 
a) 226 
b) 225 
c) 224 
d) 223 
e) 222 
Conjunto dos números inteiros 
Os números naturais foram suficientes 
para a sociedade durante algum tempo. Com o 
passar dos anos, e o aumento das "trocas" de 
mercadorias entre os homens, foi necessário criar 
uma representação numérica para as dívidas. 
Com isso inventaram-se os chamados 
"números negativos", e junto com estes números, 
um novo conjunto: o conjunto dos números 
inteiros, representado pela letra . 
 
Z = {..., -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
...} 
 
O conjunto dos números inteiros é 
formado por todos os números NATURAIS mais 
todos os seus representantes negativos. 
Noteque este conjunto não possui início 
nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um 
início e não possui fim). 
Assim como no conjunto dos naturais, 
podemos representar todos os inteiros sem o 
ZERO com a mesma notação usada para os 
NATURAIS. 
 
Z* = {..., -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
...} 
 
Em algumas situações, teremos a 
necessidade de representar o conjunto dos 
números inteiros que NÃO SÃO NEGATIVOS. 
Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado 
do símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que 
esta simbologia representa os números NÃO 
NEGATIVOS, e não os números POSITIVOS, 
como muita gente diz). Veja o exemplo: 
 
Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} 
 
Obs.: Note que agora sim este conjunto possui 
um início. E você pode estar pensando "mas o 
zero não é positivo". O zero não é positivo nem 
negativo, zero é NULO. 
 
http://www.paulomarques.com.br/arq11-10.htm
112 
 
Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia 
do sinalzinho positivo representa todos os 
números NÃO NEGATIVOS, e o zero se 
enquadra nisto. 
Se quisermos representar somente os positivos 
(ou seja, os não negativos sem o zero), 
escrevemos: 
Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} 
 
Pois assim teremos apenas os positivos, já que o 
zero não é positivo. Ou também podemos 
representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS 
com: 
 
Z- = {..., -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui 
início. E também os inteiros negativos (ou seja, os 
não positivos sem o zero): 
 
Z*- = {..., -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1 } 
 
Uma propriedade interessante dos números 
inteiros, que já foi mencionada neste texto (e que 
podemos representar em um diagrama) é a de ter 
em seu interior todos os números naturais. Veja o 
diagrama a seguir: 
 
 Todo número natural é inteiro, isto é, N é um 
subconjunto de Z 
Operações com Números Inteiros 
 
I) Adição e Subtração 
I.a) Sinais iguais: Soma-se e conserva-se o mesmo 
sinal. 
I.b) Sinais diferentes: Diminui-se e dá-se o sinal do 
maior. 
 
II) Multiplicação e Divisão: 
 
Aplica-se a regra dos sinais: 
 
 
Obs.: Pela ordem, resolver ; ; . 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Conjunto dos números racionais 
 
Olhando ainda pela linha do tempo, em um 
determinado momento começou a ficar crucial a 
necessidade de se representar "partes" de alguma 
coisa. Ex.: fatia de um bolo, pedaço de um 
terreno,... e por essa necessidade foi inventado as 
frações. Para incluir os números ditos fracionários, 
junto com os já existentes, criou-se o conjunto dos 
números RACIONAIS ( ), que indica uma razão 
(divisão) entre dois números inteiros. 
Os números racionais são todos aqueles que 
podem ser representados por uma fração de 
números inteiros. 
Mas os números 6 e o 2,3 não têm o sinal de fração 
e são números racionais? 
- Ora, o 6 pode ser representado pela fração
2
12
 ou 
até mesmo 
1
6
, e o 2,3 pode ser 
10
23
 , portanto, se 
um número tem a possibilidade de ser escrito em 
fração de números inteiros, é considerado racional. 
Então me parece que todos os números com 
vírgula serão racionais?? 
- Não. Somente os que possuírem finitos 
algarismos após a vírgula, e as chamadas dízimas 
periódicas, que possuem infinitos algarismos após 
a vírgula mas são números racionais. Veja os 
exemplos a seguir: 
3,1415926... 
Este não é um número 
Racional, pois possui 
infinitos algarismos após 
a vírgula (representados 
pelas reticências) 
2,252 
Este é um número 
Racional, pois possui 
finitos algarismos após a 
vírgula. 
http://www.paulomarques.com.br/arq11-11.htm
113 
 
2,252525... 
Este número possui 
infinitos 
números após a vírgula, 
mas 
é racional, é chamado de 
dízima periódica. 
Reconhecemos um 
número destes quando, 
após a vírgula, ele 
sempre repetir um 
número (no caso 25). 
 
Portanto, o conjunto dos inteiros está "dentro" do 
conjunto dos Racionais. Representamos assim: 
 
Q = {x | x = p/q com p  Z , q  Z e q  0 }. 
(o símbolo | lê-se como "tal que"). 
 
Temos então que número racional é aquele que 
pode ser escrito na forma de uma fração p/q 
onde p e q são números inteiros, com o 
denominador diferente de zero. 
Lembre-se que não existe divisão por zero!. 
São exemplos de números racionais: 
3
2
 , 25,1
4
7
 , 
100
1
01,0  , 
...272727,0
11
3
 , etc. 
Notas: 
a) Transformando números decimais em fração: 
Podemos transformar números decimais em 
frações, conforme mostra os exemplos: 
1000
1
001,0
100
1
01,0
10
1
1,0



 
1000
4173
173,4
100
39
39,0


 
 
Também podemos transformar frações por 
números decimais, para isso basta dividir o 
numerador pelo denominador. Veja: 
125,189
8
9
 
 
875,04035
40
35
 
b) toda dízima periódica é um número racional, pois 
é sempre possível escrever uma dízima periódica 
na forma de uma fração. 
Exemplo: 0,4444... = 4/9 
Dizíma periódica e Fração Geratriz 
Classificando as Dízimas Periódicas em 
Simples e Compostas 
A dízima periódica 0,1535353... é composta, pois 
ela possui um ante período que não se repete, no 
caso o número1, e um período formado pelo 
número 53, que se repete infinitamente. Se fosse 
apenas 0,535353... teríamos uma dízima 
periódica simples, pois ela possui apenas um 
período, 53, mas não um ante período. 
Veja abaixo alguns exemplos: 
 
Exemplos de Dízimas Periódicas Simples 
0,111... período igual a 1 
0,252525... período igual a 25 
0,010101... período igual a 01 
0,123123123... período igual a 123 
 
Exemplos de Dízimas Periódicas Compostas 
0,2333... ante período igual a 2 e período igual a 3 
0,45222... ante período igual a 45 e período igual 
a 2 
0,171353535... ante período igual a 171 e período 
igual a 35 
0,32101230123... ante período igual a 32 e período 
igual a 0123 
 
Transformando Dízimas Periódicas Simples 
em Frações Geratrizes 
Um método prático para se obter a fração geratriz 
no caso de dízimas periódicas simples, consiste em 
utilizarmos o período como numerador e 
utilizarmos como denominador um número 
formado por tantos dígitos 9, quantos forem os 
dígitos do período. Vejamos: 
0,111...  
9
1
 0,252525... 
99
25
 
0,010101...  
99
1
 0,123123123...  
999
123
 
Repare no último exemplo que o numerador 123 e 
o denominador 999 não são primos entre si, de 
fato o seu máximo divisor comum não é 1, mas 
sim 3. Realizando a simplicação de ambos os 
http://www.matematicadidatica.com.br/NumerosPrimosEntreSi.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/MDC.aspx
114 
 
termos por 3, a fração 
999
123
 será transformada 
na fração irredutível equivalente 
333
41
. 
Caso a dízima possua uma parte inteira, basta a 
destacarmos e calcularmos a parte decimal como 
já explicado: 
5,7373...  
99
73
5 
Note que
99
73
5 é uma fração mista que pode ser 
transformada na fração imprópria 
99
568
. 
Transformando Dízimas Periódicas Compostas 
em Frações Geratrizes 
São dízimas que na parte decimal possuem um ou 
mais números que não se repetem 12,65777777... 
(o 6 e o 5 não fazem parte do período de repetição) 
 
Ex.: 
4,1222... 
 
9
2
4110
...222,04110
...222,4110
...1222,4




x
x
x
x
 
90
371
37190
9
236990



x
x
x
 
c) As notações para os "não positivos" e os "não 
negativos", utilizados para os inteiros, também 
podem ser usadas para os racionais. O zero é um 
número racional, pois podemos representá-lo pela 
fração: 
 
= {Todos os racionais sem o zero} 
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS} 
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem 
o zero, ou seja, os positivos} 
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS} 
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem 
o zero, ou seja, os negativos} 
 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
A soma ou a diferença de duas frações é uma outra 
fração, cujo calculo recai em um dos dois casos 
seguintes: 
 
1º CASO: Frações com mesmo denominador. 
Observemos as figuras seguintes: 
 
 
 
 
 
3
6
 
2
65
6
 
Indicamos por: 
6
5
6
2
6
3
 
 
 
 
 
 
 
2
6
 
 
 
5
6
 
 
 
3
6
 
Indicamos por: 
6
3
6
2
6
5
 
 
Assim, para adicionar ou subtrair frações de 
mesmo denominador, procedemos do seguinte 
modo: 
 adicionamos ou subtraímos os numeradores e 
mantemos o denominador comum. 
 simplificamos o resultado, sempre que 
possível. 
 
Exemplos: 
5
4
5
13
5
1
5
3


 
3
4
9
12
9
84
9
8
9
4


 
3
2
6
4
6
37
6
3
6
7


 
0
7
0
7
22
7
2
7
2


 
 
Observação: A subtração só pode ser efetuada 
quando o minuendo é maior que o subtraendo, ou 
igual a ele. 
 
2º CASO: Frações com denominadores diferentes: 
Neste caso, para adicionar ou subtrair frações com 
denominadores diferentes, procedemos do 
seguinte modo: 
• Reduzimos as frações ao mesmo denominador. 
• Efetuamos a operação indicada, de acordo com 
o caso anterior. 
• Simplificamos o resultado (quando possível). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/FracaoSimplificacao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/FracaoMistaImpropria.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/FracaoMistaImpropria.aspx
115 
 
Exemplos: 
6
5
12
10
12
64
12
6
12
4
4
2
3
1
)1






 
8
9
24
27
24
1215
24
12
24
15
6
3
8
5
)2






 
Observações: 
Para adicionar mais de duas frações, reduzimos 
todas ao mesmo denominador e, em seguida, 
efetuamos a operação. 
 
Exemplos. 
 
5
4
15
12
15
372
15
3
15
7
15
2
)




a
 
24
53
24
1232018
24
12
24
3
24
20
24
18
2
1
8
1
6
5
4
3
)





b
 
Havendo número misto, devemos transformá-lo 
em fração imprópria: 
 
Exemplo: 
2
1
3
5
12
3
1
6
7
3
5
12
19
6
28
12
5
12
38
12
28 5 38
12
71
12
  
  
  
 

 
 
Se a expressão apresenta os sinais de parênteses 
( ), colchetes [ ] e chaves { }, observamos a 
mesma ordem: 
1º) efetuamos as operações no interior dos 
parênteses; 
2º) as operações no interior dos colchetes; 
3º) as operações no interior das chaves. 
 
Exemplos: 
a) 
 
12
11
12
6
12
17
2
1
12
17
2
1
12
9
12
8
2
4
2
5
4
3
3
2























 
 b) 
 
12
17
12
29
12
46
12
29
6
23
12
29
6
7
6
30
12
9
12
20
6
7
5
4
3
3
5
6
2
6
9
5
4
3
3
2
1
3
1
2
3
5





























































 
 
 
Exercícios 
 
1 – Transforme as dízimas periódicas em frações: 
a) 2,5555... c) 3,4111111... 
 
 
b) 15,23333... d) 0,132132132... 
 
2 - Dar a fração geratriz correspondente a cada 
dízima periódica simples: 
 
a) 0,3131... 
b) 0,2222... 
c) 7,131313... 
d) 0,258258... 
e) 0,1212121... 
f) 1,555555... 
 
3 - Determine a fração geratriz de cada número 
decimal abaixo: 
 
a) 0,525252 ... = 
b) 0,666 ... = 
c) 0,32444 ... = 
d) 5,241241241 ... = 
e) 0,48121121121 ... = 
f) 34,212121 ... = 
g) 5,131131131 ... = 
h) 0,643777 ... = 
 
4 - Transforme em números decimais as seguintes 
frações, indicando entre quais números inteiros 
elas se localizam e dê um referencial (sua posição 
entre os números inteiros). 
 
a) 
5
2
 b) 
7
2
 c) 
10
4
  d) 
3
2
  
 
 
e) 
9
2
 f) 
15
2
 g) 
9
2
  
 
 
 
 
116 
 
5 - Calcule: 
1
)0,777...
2
1
)1,222...
6
1
)0,777...
2
1 2
) 0,222... :
3 3
a
b
c
d
 
 
 
 
  
 
 
 
6 – Efetue: 
a) 

2,1
1
2,0...1333,0
 
 
b) 





18
9
3
2
54,3
...444,1...555,1
2,1...777,0
 
 
7 – O valor de ...777,2 é: 
a) 1,2 b) 1,666... c) 1,5 
 d) 1,77... e) 3,49 
8 – Resolvendo a expressão 
...333,0)2(3,0  , obtemos: 
a) 
30
41
 b) 
30
79
 c) 
30
14
 
d) 
5
7
 e) – 2 
9 – Resolva a expressão a seguir, apresentando a 
resposta na sua forma mais simples. 
2,0
7
10
10
59
3
10
...333,04


 
10 – Dados A = [0, 3] e B = [1, 5[, calcule: 
 
a) A B 
b) A B 
c) B – A 
11 – Dados A=]–1, 4] e B = [4, 6], determine: 
 
a) 
b) 
c) 
12 - (Fuvest - SP) Dividir um número por 0,0125 
equivale a multiplicá-lo por: 
 
13 - A professora Fernanda passou uma lista com 
40 exercícios para serem feitos durante o recesso 
de 10 dias. Paulo recebeu a lista e no primeiro dia 
resolveu 2/5 dos exercícios. No dia seguinte 
resolveu 1/3 do que sobrou e finalizou no terceiro 
dia a lista. Nesse último dia de trabalho, ele 
resolveu: 
a) 8 exercícios. 
b) 10 exercícios. 
c) 12 exercícios. 
d) 14 exercícios. 
e) 16 exercícios. 
 
Conjunto dos números irracionais 
 
I = {x | x é uma dízima não periódica}. (o 
símbolo | lê-se como "tal que"). 
Exemplos de números irracionais: 
 = 3,1415926... (número pi = razão entre o 
comprimento de qualquer circunferência e o seu 
diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não 
periódica) 
3 = 1,732050807... (raiz não exata). 
Por exemplo: 
=> Todos estes valores não podem ser 
representados por uma fração de números inteiros, 
portanto, são chamados de números irracionais. 
 2 3  Este número também não tem uma 
representação em forma de fração, por isso 
também é um número irracional. Ou seja, se 
somarmos um racional com um irracional teremos 
como resultado um irracional. 
 
3 15 => Este também é irracional, pelo mesmo 
motivo do número acima. 
 
- Todas as raízes não exatas fazem parte do 
conjunto dos números irracionais. Mas não são só 
elas, também estão neste conjunto o número pi 
(π=3,141592...), o número de Euler (e = 
2,71828...), e alguns outros. 
 
Portanto, se um número for racional, não pode ser 
irracional, e vice-versa. Por isso que, ao 
representarmos nos balões, devemos separá-los. 
Veja a figura a seguir: 
117 
 
 
 
 Conjunto dos números reais 
Os números racionais e irracionais foram utilizados 
por séculos e até hoje são considerados os mais 
importantes. Por este motivo, foi dado um nome 
para o conjunto formado por todos estes conjuntos. 
O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS 
NÚMEROS REAIS" que é a reunião do conjunto 
dos números irracionais com o dos racionais. 
 
 
 
R = { x | x é racional ou x é irracional }. 
 
Notas: 
a) é óbvio que N  Z  Q  R 
b) I  R 
c) um número real é racional ou irracional; não 
existe outra hipótese! 
 
Potenciação 
 
 
CONCEITO 
A notação 
(+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) 
 
 
é um produto de três fatores iguais 
 
Analogamente: 
( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) 
 
 
é um produto de quatro fatores iguais 
Portanto potência é um produto de fatores 
iguais. 
 
Na potência (+5 )2 = +25, temos: 
+5 ---------- base 
 2 ---------- expoente 
+25 ---------- potência 
 
Observacões : 
(+2 ) 1 significa +2, isto é, (+2 )1 = +2 
( -3 )1 significa -3, isto é, ( -3 )1 = -3 
 
Cálculos 
 
O expoente é par 
Calcular as potências 
1) (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 
isto é, (+2)4 = +16 
2) ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 
isto é, (-2 )4 = +16 
 
Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16 
 
Então, de modo geral, temos a regra: 
 
Quando o expoente é par, a potência é sempre 
um número positivo. 
 
Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9 
 
O expoente é ímpar 
Calcular as potências: 
1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8 
 isto é, (+2)3 = + 8 
2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8 
 ou seja, (-2)3 = -8 
 
Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8 
 
Daí, a regra: 
Quando o expoente é ímpar, a potência tem o 
mesmo sinal da base. 
 
 
Propriedades: 
1 – Produto de potências de mesma base 
Repetimos a base e somamos os expoentes 
nmnm aaa  
 
Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+2 = (+2 )5 
 
 ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10 
 
Para multiplicar potências de mesma base, 
mantemosa base e somamos os expoentes. 
 
2 – Quociente de potência de mesma base: 
Repetimos a base e subtraímos os expoentes 
nm
n
m
nm a
a
a
aa  , 0a 
Exemplos: 
 
(+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3 
 
( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4 
 
Para dividir potências de mesma base em que o 
expoente do dividendo é maior que o expoente do 
divisor, mantemos a base e subtraímos os 
expoentes. 
 
3 – Potência de potência: 
Multiplicamos o expoente 
  nmnm aa  
118 
 
Polinomios: Produtos Notáveis e 
Fatoração de Expressões Algébricas 
Exemplos: 
 
[( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15 
Para calcular uma potência de potência, 
conservamos a base da primeira potência e 
multiplicamos os expoentes . 
 
4 – Potência de um produto: 
Elevamos cada fator ao expoente 
  nnn baba  
Exemplos: 
 
[( -2 )3 . (+3 )2 . ( -5 )]4 = ( -2 )12 . (+3 )8 . ( -5 )4 
 
Para calcular a potência de um produto, sendo 
n o expoente, elevamos cada fator ao expoente n. 
 
 
5 – Potencia de um quociente: 
Elevamos o numerador e o denominador (ou 
dividendo e o divisor) ao expoente 
 
 
n
nn
n
b
a
b
a
ba 





 , 0b 
 
OBS.: 
 POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO 
(+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0 
e (+2 )5 : (+2 )5 = 1 
 
 Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1 
 
Qualquer potência de expoente zero é igual a 1. 
 
 Não confundir -32 com ( -3 )2, porque 
-32 significa -( 3 )2 e portanto 
-32 = -( 3 )2 = -9 
 
enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9 
 
Logo: -3 2  ( -3 )2 
 
Notação científica 
 
A escrita dos valores acima pode tornar-se algo 
extremamente chato, especialmente quando se 
trabalha com várias casas antes da vírgula (como 
o número 0,00001, por exemplo) ou com vários 
“zeros” (como o número 1.000.000.000.000.000, 
por exemplo). Neste caso, a matemática, a física, a 
química, a biologia etc. dispõem de um artifício 
muito importante, denominado NOTAÇÃO 
CIENTÍFICA. 
 
E o que vem a ser, afinal, a tal da NOTAÇÃO 
CIENTÍFICA? 
A NOTAÇÃO CIENTÍFICA é uma maneira de se 
representar um número através de uma forma 
padrão, simplificando a escrita matemática quando 
os valores são muito grandes ou muito pequenos. 
Esta forma é: 
 
X . 10y , onde X = número entre 1 e 10, e 10y = 
uma potência de base dez. 
 
A potência de dez é utilizada para abreviar 
múltiplos (ou submúltiplos) de dez. Assim: 
 
100 = 10 x 10; 
1000 = 10 x 10 x 10; 
100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10. 
 
Para escrevermos estes números de uma maneira 
abreviada, basta indicar o número de dezenas 
envolvidas na multiplicação com um pequeno 
número (expoente) no alto da potencia de 10. 
 
Logo, se 100 = 10 x 10, podemos dizer que 100 = 
102. Da mesma maneira 1000 = 103, e 100000 = 
105. 
 
Nestes exemplos o expoente da base 10 é igual ao 
número de zeros. 
 
Para os submúltiplos de dez, também utilizamos o 
sistema exponencial. Assim: 
 
0,01 = 1/10 x 1/10 ; 
0,001 = 1/10 x 1/10 x 1/10 
0,00001 = 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10 
 
Neste caso, para abreviar esses números 
indicamos o número de casas decimais com 
expoente negativo da potencia de 10. 
 
Assim, se 0,01 = 1/10 x 1/10, podemos dizer que 
0,01 = 10-2 . Da mesma maneira, 0,001 = 10-3 e 
0,00001 = 10-5. 
 
Vamos ver alguns exemplos: 
 
40 é igual a 4 vezes 101, então em notação 
científica representa-se 40 = 4 x 101. 
 
15000 é igual a 15 vezes 1000, ou 1,5 vezes 10000. 
Como 10000 que é igual 104, então em notação 
científica representa-se 15000 = 1,5x104. 
 
0,2 corresponde a 2 dividido por 10, ou 2 
multiplicado por 0,1 que corresponde a 1/10. Como 
1/10 pode ser representado por 10-1, então em 
notação científica representa-se 0,2 = 2 x10-1. 
 
Notamos então que fica muito mais fácil de 
representar números muito grandes ou muito 
pequenos utilizando a notação científica e a 
potencia de dez. 
 
 
 
 
 
 
1) DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição 
algébrica de monômios. 
 
MONÔMIOS: toda expressão algébrica 
inteira representada por um número ou apenas por 
119 
 
uma variável, ou por uma multiplicação de números 
e variáveis. 
 
Exemplos: 
a) m5 
b) 
2p 
c) xy2 
d) my 
 
Geralmente o monômio é formado por 
uma parte numérica chamada de coeficiente 
numérico e por uma parte literal formada por uma 
variável ou por uma multiplicação de variáveis. 
 
 Os monômios que formam os polinômios são 
chamados de termos dos polinômios. 
Obs. 1: O monômio ay4 é um polinômio de um 
termo só. 
Obs. 2: y4x2  é um polinômio de 2 termos: 
x2 e y4 . 
Obs. 3: 4abx2  é um polinômio de 3 
termos: x2 , ab e 4. 
 
Operações com polinômios 
Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos 
apenas os termos semelhantes. 
Exemplo: 
a) Obter o perímetro do triângulo abaixo: 
 
 
 
 
 
Primeiro, eliminaremos os parênteses tomando 
cuidado quando houver sinal negativo fora dos 
parênteses. 
 
 
Multiplicação Algébrica de Polinômios 
A multiplicação de um polinômio por outro 
polinômio deve ser feita multiplicando-se cada 
termo de um deles pelos termos do outro 
(propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos 
semelhantes. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Divisão Algébrica de Polinômio 
 
 Divisão de um polinômio por um monômio 
 A divisão de um polinômio por um monômio 
deve ser feita dividindo-se cada termo do 
polinômio pelo monômio. Exemplo:
 
120 
 
 
Produtos Notáveis 
 
Quadrado da soma de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o 
produto do primeiro termo pelo segundo termo, 
mais o quadrado do segundo termo. 
Exemplo: 
(x + 3y)2 = x2 + 6xy + 9y2 
 
Quadrado da diferença de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o 
produto do primeiro termo pelo segundo termo, 
mais o quadrado do segundo termo. 
Exemplo: 
(a - b)2 = a2 – 2ab + b2 
 
Produto da soma pela diferença de dois termos 
é igual ao quadrado do primeiro termo menos o 
quadrado do segundo termo. 
Exemplo: 
(7 – am).(7 + am) = 49 – a2 m2 
 
Cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do 
primeiro termo, mais três vezes o produto do 
quadrado do primeiro termo pelo segundo termo, 
mais três vezes o produto do primeiro termo pelo 
quadrado do segundo termo mais o cubo do 
segundo termo. 
Exemplo: 
(2a + 1)3 = 8a3 + 12a2 + 6a + 1 
 
Cubo da diferença entre dois termos é igual ao 
cubo do primeiro termo, menos três vezes o 
produto do quadrado do primeiro termo pelo 
segundo termo, mais três vezes o produto do 
primeiro termo pelo quadrado do segundo termo 
menos o cubo do segundo termo. 
Exemplo: 
(2a - 1)3 = 8a3 - 12a2 + 6a - 1 
 
Fatoração 
 
A fatoração surge como um recurso da 
Matemática para facilitar os cálculos algébricos; 
através dela conseguimos resolver situações mais 
complexas. 
Na fatoração por fator comum em evidência, 
utilizamos a ideia de fazer grupos de polinômios, 
ao fatorar escrevemos a expressão na forma de 
produto de expressões mais simples. 
O polinômio x² + 2x possui forma fatorada, veja: 
 
x² + 2x .: podemos dizer que o monômio x é 
comum a todos os termos, então vamos colocá-lo 
em evidência e dividir cada termo do polinômio x² 
+ 2x por x. 
Temos: x (x + 2) 
Concluímos que x (x + 2) é a forma fatorada do 
polinômio x² + 2x. 
Para termos certeza dos cálculos, podemos 
aplicar a distribuição na expressão x (x + 
2) voltando ao polinômio x² + 2x. 
 
Exemplos de fatoração utilizando fator comum em 
evidência: 
 
1º Fator Comum e evidência 
Exemplo 1 
8x³ - 2x² + 6x (fator comum: 2x) 
2x (4x² - x + 3) 
 
Exemplo 2 
a6 – 4a² (fator comum: a²) 
a² (a4 – 4) 
 
2º fatoração: Agrupamento 
Agrupamento é o método pelo qual simplificamos 
uma expressão algébrica, agrupando os termos 
semelhantes (termos em comum). 
Ao usarmos o método do agrupamento, 
necessitamos fazer uso da fatoração: termo 
comum em evidência. 
Observe no exemplo a seguir: 
 
4x² + 8x + 6xy + 12y 
 
4x(x + 2) + 6y(x + 2) 
Colocamos novamente em evidência, pois os 
termos 4x e 6y possuem termos em comum: (x + 
2) 
 
(4x + 6y) (x + 2) 
 
Exemplo 1 
2xy – 12x + 3by – 18b 
2x(y –6) + 3b(y – 6) 
(2x + 3b) . (y – 6) 
Exemplo 2 
6x²b + 42x² – y²b – 7y² 
6x²(b + 7) – y²(b + 7) 
(6x² – y²) (b + 7) 
 
3 º Diferença de dois quadrados 
Para compreendermos melhor como e quando 
utilizarmos é necessário que saibamos que 
diferença na matemática é o mesmo que 
subtração e que quadrado é elevar um número, 
letra ou termos ao quadrado. 
 
A fatoração pela diferença de dois quadrados só 
poderá ser usada quando: 
 
- Tivermos uma expressão algébrica com dois 
monômios (sejam binômios). 
- Os dois monômios sejam quadrados. 
- A operação entre eles for de subtração. 
 
121 
 
Veja alguns exemplos de expressões algébricas 
que seguem esse modelo: 
 
 
• a2 - 1, a expressão algébrica tem apenas dois 
monômios, os dois estão ao quadrado e entre eles 
há uma operação de subtração. 
• 1 – a2 
 3 
• 4x2 – y2 
 
Como escrever a forma fatorada dessas 
expressões algébricas? 
 
Dada a expressão algébrica 16x2 – 25, veja os 
passos que devemos tomar para chegarmos a 
forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração. 
 
 
 
A forma fatorada será (4x – 5) (4x + 5). 
 
Veja alguns exemplos: 
Exemplo 1: 
A expressão algébrica x2 – 64 é uma expressão 
com dois monômios e as raízes quadradas são 
respectivamente x e 8, então a sua forma fatorada 
é (x – 8) (x + 8). 
 
 
Exemplo 2: 
Dada a expressão algébrica 25x2 – 81, a raiz dos 
termos 25x2 e 81 é respectivamente 5x e 9. Então, 
a forma fatorada é (5x – 9) (5x + 9). 
 
4º Trinômio Quadrado Perfeito 
Veja um exemplo: 
 
Veja se o trinômio 16x2 + 8x + 1 é um quadrado 
perfeito, para isso siga as regras acima: 
 
 
Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e 
o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 
16x2+ 8x + 1 é quadrado perfeito. 
 
Então, a forma fatorada do trinômio é 16x2 + 8x + 1 
é (4x + 1)2, pois é a soma das raízes ao quadrado. 
 
Exemplo: 
 
Dado o trinômio 1 + 9a2 – 6a. 
Devemos, antes de usar as regras do quadrado 
perfeito, colocar o trinômio em ordem crescente de 
expoentes, ficando assim: 
9a2 – 6a + 1. 
Agora, tiramos a raiz dos termos 9a2 e 1, que serão 
respectivamente 3a e 1. O dobro dessas raízes será 
2 . 3a . 1 = 6a, que é igual ao termo do meio (6a), 
então concluímos que o trinômio é quadrado 
perfeito e a forma fatorada dele é (3a – 1)2. 
 
 
Exercícios 
 
1) Efetua, simplificando o máximo possível: 
 
a)     aaxaaxax 325327 
 
b)        57351034 abaabaab 
 
c) 











 xyyxyxxyxy 22222
3
2
3
1
2
1
2
3
3
4 
d
      6314273 222 baabbaababab 
 
e) 

























4
1
8
3
28
4 222
x
x
x
x
x
x 
 
f) 
       57351034 abaabaab 
 
g) 












 byaybaybabya 2222
3
1
9
1
3
2
9
5
 
 
h)      63636 3155882 yyyyy 
 
i) 
      zyxyxzzxyzxyxzyzxy 222 
 
2 - Sendo: 
22 2 aaxxA  ; 
22 435 aaxxB  ; 
22 2aaxxC  ; 
122 
 
Calcule: 
a) CBA  
b)   CBA  
c)    BAC  
 
Exercícios 
 
1) Calcule o valor das expressões numéricas a 
seguir: 
 
2) Passe os números abaixo para a forma de 
notação científica: 
a) 32 000 000 
b) 0,00032 
c) 971000 
d) 0,00568 
e) 774,9 
f) 5 000 000 
 
3) Para resolver as potências a seguir é preciso 
fazer cada cálculo passo a passo, evitando 
assim erros com sinais: 
a) -2 ³ = 
b) -3² = 
c) -4³ = 
d) -5³ = 
e) -5² = 
f) – (-2)³ = 
g) – (-3)² = 
h) – (-5)² = 
i) - 
3
4
5






 = 
j) 
  32
1


= 
k) 
  43
1


= 
l) 
  52
1


= 
 
4) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso): 
( ) 5 – 6 . 5 6 = 1 
( ) 6 -2 . 6 -5 = 6 10 
( ) 7³ : 7 5 = 7 -5 . 7³ 
( ) 2 5 : 2³ = 1² 
( ) 3³ . 3 5 = 9 8 
( ) 
5
7
7
5
1
1



 
( ) 
23
23
32
32
1  

 
( )  7 – 3 = 
73
1

 
( ) ( + 3) -2 =  -2 + 3 -2 
( ) 7² + 7³ = 7 5 
( ) (3 5)² = 3 7 
( )(2³)² = 
232 
5) Simplifique as expressões, usando sempre que 
possível as propriedades da potência: 
a) (2xy²)³ = 
b) (3xy²) . (2x²y³) = 
c) (5ab²)² . (a²b)³ = 
d) 
xy
yx
3
9 32

= 
e) 
3
72
4
ba8
ab16








= 
6) Simplifique as expressões: 
a) 
11
2
33
33




nn
nn
= 
b) 
n
nn
2
12
2
42 
= 
123 
 
c) 
 
n
nn
2
22 21
 
 
7) Usando potências de mesma base, e 
as propriedades das potências, resolva: 
a)   2
5
75,0
4
3 






= 
b) 5 m + 2 : 5 m – 1 = 
c) 
3
3
4
1
16.
2
1












= 
d) 2 m + 1 . 2 m + 2 : 4 m – 1 = 
e) (0,25) -1 . 
3
4
1






= 
 
8) Sabendo que m
x 3 , o valor de 
12 33   xx é: 
a) 12 m 
b) 13 m 
c) 
3
28m
 
d) 12 m 
e) 13 m 
 
9) Sabendo que m
x 3 , o valor de 
xxx 3927  é: 
a) mmm  23 
b) m6 
c) 
6m 
d) m39 
e) 
63m 
 
10) Simplificando 
3
4
22
222




n
nn
, obtemos: 
a) 
8
1
2 1 n 
b) 
12  n 
c) 
n21 
d) 
8
7
 
e) 
8
1
 
 
11) Simplificando a expressão 
1
1
2 

m
xmmx
, 
obtemos: 
a) 
1
1


m
x
 
b) 
1
1


m
x
 
c) 
1
1


m
x
 
d) 
1
1


m
x
 
e) 
 21
1


m
x
 
 
12) Dado que 5ba e 2ab , o valor 
numérico de 
22 ba  é: 
a) 19 
b) 20 
c) 21 
d) 22 
e) n.d.a. 
 
13) Considere o número a, tal que 0 < a < 1, e 
assinale a alternativa ERRADA. 
 
a) a3 > a2 
b) a-3 > a-2 
c) a0 > a 
d) (-a)2 > (-a)3 
 
14) Considere os números m = 3 x 10-3, n = 2 x 10-
1 e p =
n
m
. O valor de n – p é 
a) 1,85 x 10-2 
b) 1,3 x 10-1 
c) 5 x 10-2 
d) 1,7 x 10-2 
 
15) Determine o valor de x nas equações 
exponenciais abaixo: 
a) 
4
1
2 x 
b)   85,0 2 x 
c) 27
9
1

x
 
 
Radicais 
 
De modo geral, sendo n um número natural 
diferente de zero e a um número real, dizemos 
que ban  , se, e somente se, ab
n  . 
 
O sinal é chamado de RADICAL. 
 
6.1 Potência com expoente fracionária: 
relacionando radiciação com potenciação. 
 
124 
 
Se a é um número real positivo, m é um número 
inteiro e n é um número natural não-nulo, temos: 
n mn
m
aa  
 
Propriedades dos radicais 
 
1ª propriedade: 
 
Para os radicais de índice n de uma potência com 
expoente também igual a n temos: 
 se n é um número natural , 
aa
n n  
 
2ª propriedade: 
 
Dividindo-se o índice e o expoente do radicando 
por um mesmo número natural maior que zero, o 
valor do radical não se altera, ou seja: 
 
pn pmn m aa
  
 
sendo a um número real positivo, m um número 
inteiro, n um número natural não-nulo e p divisor 
de m e n. 
obs.: Da mesma forma que podemos dividir o 
índice e o expoente por um número natural 
também podemos multiplicar, caso seja 
necessário. 
pn pmn m aa
  
Essa propriedade permite simplificar certos 
radicais, isto é, transformá-lo em outros radicais 
mais simples e equivalentes aos radicais dados. 
Ex.: 

  4 528 2108 10 222 
 
 
3ª propriedade: 
 
O radical de índice natural não-nulo n de um 
produto ba  , com a e b números reais positivos, é 
igual ao produto dos radicais de mesmo índice n 
dos fatores (a e b) do radicando, ou seja: 
 
nnn baba  
 
Ex.: 
55 3.23.2  
 
 
4ª propriedade: 
 
O radical de índice natural não-nulo n de um 
quociente 
b
a
, com a e b números reais positivos, é 
igual ao quociente dos radicais de mesmo índice n 
dos termos a e b do radicando, ou seja: 
 
n
n
n
b
a
b
a
 
 
 
 
 
Exs.: 
5
4
5
16
25
256
25
256
 
 
 
3
2
243
32
243
32
5
5
5 

 
 
 
5ª Propriedade 
 
nmm n aa . 
 
Exs.: 
105 66  
 
15
18
3
5
6
7
3
7
3
 
 
 
Expoente fracionário 
n mn
m
aa  
EX.: 22 2
1
 
 
Extração de fatores do radical 
Usando as propriedades, podemos simplificar 
radicais. 
 183.23.23.2324 24242  
 13.213.213.252 22  
 22222.22.64 5 55 55 65  
 
Introdução de fatores no radical 
Elevamos o fator ao índicedo radical. 
 123.232 2  
Radical de um produto Produto dos radicais 
Quociente 
dos radicais 
Radical de um quociente 
125 
 
 333
33 1897.277.)3(7)3(  
 
6 5
6
6
63 22.
2
1
2
2
1
2
2
1 





 
 
Exemplos de aplicação: 
1 - Reduzir ao mesmo índice os radicais 
9 553 2 aaa ,, 
 
Solução 
45 2545 945 30
45 5545 945 152
9 553 2
45953
aaa
aaa
cmm
aaa
,,
)(,,)(
),,(..
,,

 
 
 
2 - Simplifique a expressão. 
4
6 3 9
4
3 6 9
5 6
2.2
4831031













 
 
Solução: 
   
  
8
1
16
2
4.4
32
2.2
131
2.2
91031
2.2
2831031
2.2
4831031
5
22
5
18 3618 36
5 6
4
18 9
4
18 9
5 6
4
6 3 9
4
3 6 9
5 6




















 
Racionalização de Frações 
 
Racionalizar uma fração cujo denominador é um 
número irracional, significa achar uma fração 
equivalente a ela com denominador racional. Para 
isso, devemos multiplicar ambos os termos da 
fração por um número conveniente. Ainda 
podemos dizer que racionalizar uma fração 
significa reescrever a fração eliminando do 
denominador os radicais. Vejamos alguns 
exemplos: 
 
 (1o caso) 
 
 
 
(2o caso) 
 
(3o caso) 
 
 
Exercícios 
1)Calcule: 
 
a)  1649 
 
b)  43 168 
 
c)  169295 
 
d) 
333 224210 
 
e)  50218 
 
f)  43 812725 
 
g)  63 646464 
 
h)  56553 
 
 
i)  5555 3323235 
 
j)  45254 33 
 
k)  55 33333232 
 
l)  81850 
 
 
m)  125272 
 
n)  7634 
 
o)  1087512 
 
3
37
3
3
3
7
3
7
5 2
5 2
5 2
5 35 3
 
126 
 
2 - Encontre o perímetro das figuras, cujas medidas 
de seus lados são dadas numa mesma unidade de 
medida de comprimento. 
a) 
 
 
b) 
 
 
3 - Efetue as multiplicações: 
a)  33 65 b) 
 82 
 
c)  362 d)  33 64 
 
e)   515 f) 
    32223 
 
4 - Calcule a área e o perímetro das figuras, cujas 
medidas indicadas são dadas numa mesma 
unidade de medida de comprimento. 
 
 
a) 
 
b) 
 
 
5 - Efetue as divisões: 
a)  312 b)  250 
 
c) 
25
49
 d) 
3
3
23
612
 
 
6 - Calcule o valor das expressões: 
a)    8222009818  
 
b)   3103102710  
 
c)   2218101020  
 
7 - Calcule as potências: 
a)   215 b)   273 
 
c)    237 d)    273 
 
 
8 - Calcule o valor da expressão 
224  xxA para 3x . 
 
 
 
9 - Transforme em radical: 
a) 2
3
9 = 
b) 4
3
16 = 
c) 1024 0,4 = 
d) 625 -0,25 = 
e) 2
1
4

= 
f) 3
2
64

= 
10 - Reduza a um único radical. 
a) 10 b) 2 
c) 3 3 d) 
3 3 3 
 
11 - Reduza a um único radical e em seguida 
simplifique, se possível: 
a) 
6 35 b) 
415 
 
c) 
3 422 d) 4 53 
12 - (UFRGS) O valor da expressão é: 
 
(A) -4 
(B) 1/9 
(C) 1 
(D) 5/4 
(E) 9 
 
 
 
127 
 
13 - (UFRGS) A expressão é igual 
a: 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
14 - (UFRGS) O valor 
de para e 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
15 - (UFRGS) Sendo n > 1, a 
expressão é equivalente a: 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
16 - A expressão 
 
3
2
02222
8
18322 
 é igual a: 
(A) 164 
(B) 83 
(C) 82 
(D) 45 
(E) 41 
17 - Simplificando encontramos: 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
18 - O valor da expressão é: 
(A) 3.103 
(B) 3 
(C) 3.10 
(D) 9.103 
(E) 27.103 
19 - O valor da expressão é: 
 (A) (B) 
 (C) (D) (E) 
20 - Assinale a relação correta, das citadas abaixo. 
(A) se a > 1 
(B) se 0 < a < 1 
(C) se 0 < a < 1 
(D) se 0 < a < 1 
(E) se a > 0 
21 - O valor da expressão 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
22 - Qual o valor da expressão: 
 
para n pertencente aos naturais - {0, 1} 
(A) 5 
(B) 1/5 
(C) 1/25 
(D) 5² 
(E) 5º 
23 - (FUVEST) Dos números abaixo, o que está 
mais próximo de 
 
(A) 0,625 
(B) 6,25 
(C) 62,5 
(D) 625 
(E) 6250 
128 
 
24 – Racionalize os denominadores: 
 
25 - O valor da expressão 
3 22182  é: 
 
a) 6
7
2 
b) 6
7
6 
c) 5
3
2 
d) 5
3
6 
 
26 - Considere um retângulo de base igual a 
122 cm e altura igual 8 cm ; e um quadrado de 
lado  32  cm. 
 
Determine qual das duas figuras possui maior 
perímetro. 
 
27 - Resolva a expressão matemática a seguir. 
 
 
O resultado correto dessa expressão é um 
número: 
 
a) Ímpar 
b) Primo 
c) Decimal exato positivo 
d) Natural divisível por 4. 
 
28 - Desenvolva os produtos notáveis a seguir: 
 
29 – Qual o valor de 
 
 
30 – 
 
 
 
Equações 
 
Introdução 
 
Um breve relato sobre a história das Equações. As 
equações foram introduzidas pelo conselheiro do 
rei da França, Henrique IV, o francês François 
Viète, nascido em 1540. Através da matemática 
Viète decifrava códigos secretos que era 
mensagens escritas com a substituição de letras 
por numerais. Desta forma Viète teve uma idéia 
simples, mas genial: fez o contrário, ou seja, usou 
letras para representar os números nas equações. 
O sinal de igualdade foi introduzido por Robert 
Recorde (matemático inglês) que escreveu em um 
de seus livros que para ele não existiam duas 
coisas mais parecidas que duas retas paralelas. 
Um outro matemático inglês, Thomas Harriot, 
gostou da idéia de seu colega e começou a 
desenhar duas retas para representar que duas 
quantidades são iguais. Observe: 
 
 
Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, 
passando a usá-lo nas equações de Viète. Até o 
surgimento deste sistema de notação as equações 
eram expressas em palavras e eram resolvidas 
com muita dificuldade. A notação de Viète 
significou o passo mais decisivo e fundamental 
para construção do verdadeiro idioma da Álgebra: 
as equações. Por isso, Fraçois Viète é conhecido 
como o Pai da Álgebra. Podemos dizer que 
equação é uma igualdade entre duas expressões 
algébricas. Observe: 
 
 
 
 
Os termos localizados à esquerda do sinal de 
igualdade formam o 1º membro da equação, e os 
localizados à direita formam o 2º membro. 
Observe: 
 
129 
 
O valor atribuído à incógnita x para esta equação 
que torna verdadeira a igualdade é x = 4. Logo o 4 
é a solução da equação, denominado raízes da 
equação. 2 
 
Equação Polinomial do 1º Grau 
 
Denomina-se equação do 1º Grau na incógnita x, 
toda equação da forma: 
 
 
Solução da equação polinomial do 1º Grau. 
 
Resolver uma equação do 1º Grau significa 
determinar a suas raízes. Observe: Exercícios 
resolvidos: 
a) 2x - 1 = x + 3 
 2x – x = 3 + 1 
 x = 4 S = { 4 } 
 
 
b) 2(- 3 – y) + 4 = y + 6 
 - 6 – 2y + 4 = y + 6 
 – 2y – y = + 6 - 4 + 6 
 - 3y = + 8 . (- 1) 
 3y = - 8 
8
3
y   
8
3
S
 
  
 
 ` 
 
 
 
4
9
x   ` 
4
9
S
 
  
 
 
 
d) Qual é o número cujo dobro aumentado de 9 é 
igual ao seu quádruplo diminuído de 21? 
 
Representamos o número desconhecido por x. 
Então, 
2x + 9 = 4x – 21 
2x – 4x = - 21 – 9 
- 2x = - 30 .(- 1) 
2x = 30 
30
2
x  
x = 15 S = { 15 } 
 
 
 
 
 
 
e) Um litro do vinho A custa R$ 6,00, e o litro do tipo 
B, R$ 4,80. Quantos litros de vinho A se deve 
misturar a 100 litros de vinho B para se obter um 
vinho C, que custe R$ 5,50 o litro? 
 
 
Sistema de equação do 1° Grau 
A soma de dois números é 12 e a diferença entre 
eles é 4. Quais são estes números? 
Para a resolução de problemas como este que 
apresenta duas incógnitas desconhecidas, 
utilizamos um sistema de equações. 
Chamamos de x o primeiro número (o maior) e 
de y o segundo número. 
Pelo enunciado: 
 » soma de dois números é 12, ou seja: 
 x+y = 12 ...I 
 » a diferença entre eles é 4, isto é : 
 x-y = 4 .....II 
A solução de um sistema de equações com duas 
variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais 
que satisfaz as duas equações ( I e II ). 
Verificando o par ordenado (8,4), notamos que 
satisfaz as duas equações: 
8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4)