APOSTILA DE BIOESTATÍSTICA E ESTATISTICA EXPERIMENTAL

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS 
Departamento de Matemática 
Área de Estatística
IC 283 – BIOESTATÍSTICA
IC 284 – ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
Marcelo Jangarelli
Prof. Adjunto – DEMAT/ICE/UFRRJ
Seropédica – Rio de Janeiro
Março – 2012
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
Departamento de Matemática
Área de Estatística
IC 283 – BIOESTATÍSTICA
IC 284 – ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
Esta apostila constitui o material básico das disciplinas IC 283 – Bioestatística e IC 284 – Estatística Experimental. Em todas as aulas serão feitas complementações suplementares com o objetivo de atualizar, acrescentar novas informações relevantes ainda não implementadas e facilitar o entendimento do material apresentado. Adicionalmente, serão disponibilizadas tabelas para o teste de Tukey e para as distribuições Normal, F (Fisher), t (Student) e Qui-quadrado.
Marcelo Jangarelli
Prof. Adjunto – DEMAT/ICE/UFRRJ
Seropédica – Rio de Janeiro
Março – 2012
Sumário
	I
	Distribuição Amostral e Intervalo de Confiança
	01
	II
	Testes de Hipóteses
	05
	III
	Contraste
	18
	IV
	Princípios Básicos da Experimentação
	20
	V
	Delineamentos Experimentais e Teste de Comparação de Médias
	24
	VI
	Experimentos Fatoriais
	40
	VII
	Regressão Linear
	45
	VIII
	Listas de Exercícios
	50
	IX
	Gabarito
	67
	X
	Referência Bibliográfica Adicional
	69
�
CONTEÚDO I
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E INTERVALO DE CONFIANÇA
1 – INTRODUÇÃO
	Ao retirarmos uma amostra aleatória de uma população e calcularmos a partir desta amostra qualquer quantidade (medidas descritivas numéricas), encontramos a estatística, ou seja, chamaremos os valores calculados em função dos elementos da amostra de estatísticas.
	As estatísticas, sendo variáveis aleatórias, terão alguma distribuição de probabilidade, com uma média, uma variância, etc. A distribuição de probabilidade de uma estatística é denominada de Distribuição Amostral.
	A inferência estatística tem por objetivo fazer generalização sobre uma população com base em dados de uma amostra. As populações são caracterizadas por medidas descritivas numéricas, chamadas de parâmetros. Muitas pesquisas estatísticas tem por objetivo fazer inferência a respeito de um ou mais parâmetros da população. Essa inferência pode ser por meio de um único valor numérico (estimação por ponto), por uma amplitude de valores numéricos (estimação por intervalo) ou pelo simples “sim” ou “não” (teste de hipótese).
	Como exemplo, considere uma nova marca de inseticida lançada no mercado. A pesquisa estatística pode ter diversos interesses: i) saber qual dose de inseticida mata 90% dos insetos (estimação por ponto); ii) desejar um intervalo da dose com coeficiente 1 – α de confiança para que se tenha a mortalidade de 90% dos insetos (estimação por intervalo); iii) ou ainda o interesse poderia focar se o inseticida novo é melhor do que os já existentes no mercado (testes de hipóteses). 
	A estimação por ponto utiliza a informação da amostra para chegar a um único valor numérico ou ponto, que estima o parâmetro de interesse (parâmetro populacional). Ex: Média, Variância, Coeficiente de Variação, etc.
	A estimação por intervalo utiliza a informação da amostra para chegar a dois números, entre os quais pretende-se que esteja o parâmetro de interesse. Caso esse intervalo esteja associado a uma probabilidade “1 – α”, tem-se um intervalo de confiança com coeficiente de confiança de 1 – α.
	
 
2 – DEFINIÇÕES
População: é o conjunto de todos os elementos sobre os quais desejamos desenvolver determinado estudo;
Amostra: é uma parte desses elementos, ou seja, qualquer subconjunto da população;
Parâmetro: é uma medida utilizada para descrever uma característica da população;
Estatística: é uma característica da amostra, ou seja, uma estatística T é uma função de X1, X2, X3, ..., Xn → T = f (X1, X2, X3, ..., Xn);
Estimador: é qualquer estatística T = f (X1, X2, X3, ..., Xn) utilizada para estimar uma quantia desconhecida. Em geral, ele é representado por uma determinada fórmula;
Estimativa: é o valor numérico assumido pelo estimador quando os valores observados (X1, X2, X3, ..., Xn) são considerados.
3 – DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA
	A distribuição amostral de determinada estatística é a distribuição de todos os possíveis valores que ela pode assumir, calculados a partir de todas as possíveis amostras de mesmo tamanho.
	Para determinado tamanho “n” da amostra, tomada de uma população com média “μ”, o valor da média amostral (
) irá variar de uma amostra para outra. A distribuição amostral da média é descrita para determinar o valor esperado [E(
)] e o desvio padrão [σ(
)] da distribuição das médias. Uma vez que este desvio padrão indica a acurácia da média da amostra como um estimador por ponto, σ(
) é usualmente chamado de erro padrão da média. Em geral, o valor esperado e o erro padrão da média são definidos como:
E(
) = μ
σ(
) = 
Se o desvio padrão da população (σ) for desconhecido o erro padrão da média pode ser estimado por meio do desvio padrão amostral (s).
s(
) = 
4 – INTERVALO DE CONFIANÇA (IC)
	A estimação por ponto é bastante útil, embora não indique nenhuma acurácia ou precisão associada a ela. Assim, ao invés de inferirmos sobre um único valor referente ao parâmetro populacional, podemos inferir se o verdadeiro parâmetro está contido em um determinado intervalo compreendido entre dois valores, que representam os extremos do intervalo (LSuperior e LInferior).
	 O objetivo da estimação por intervalo é gerar intervalos pequenos que incluam o verdadeiro parâmetro populacional com alta probabilidade. 
	Os extremos do intervalo podem variar aleatoriamente de uma amostra para outra, pois estão em função das médias amostrais (estimativas). 
O comprimento do intervalo pode ser obtido pela diferença entre os limites superior e inferior (LSup. – LInf.).
4.1 – IC para a média (μ) de uma população normal com σ2 conhecida
P 
 = 1 – α
IC (μ) 1 – α: 
 ± 
	Note que, o comprimento do IC também pode ser obtido pela expressão:
2.
Caso seja mantido os valores de “n”, “σ” e “α” o seu comprimento será fixo/constante. Já a estimativa da média (
) continua sendo uma variável aleatória, determinando os extremos do intervalo de acordo com a amostra considerada.
	A interpretação do IC pode ser assim mencionada: Tem-se 1 – α (%) de confiança de que o parâmetro populacional (μ) esteja compreendido no intervalo obtido. Ou mesmo, se construirmos n intervalos do mesmo tipo (tamanho e nível de confiança), espera-se que em 1 – α (%) deles contenha o verdadeiro parâmetro (μ).
4.2 – IC para a média (μ) de uma população normal com σ2 desconhecida
	Se a variância populacional (σ2) não for conhecida, podemos substituir o σ(
) por s(
), em que o desvio padrão amostral (s) é a raiz quadrada da variância amostral (s2). 
A pressuposição da distribuição normal é garantida para amostras grandes (n ≥ 30), ou mesmo amostras menores, desde que sua população seja normalmente distribuída e o σ conhecido. Para amostras pequenas em que não se pode afirmar sobre sua normalidade, a distribuição normal (Z) deve ser substituída pela distribuição t de Student.
IC (μ) 1 – α: 
 ± 
 … 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – Suponha que a média de uma população seja μ = 50,00 e o desvio padrão σ = 12,00.
Determinar a distribuição de amostragem das médias das amostras de tamanho n = 36 em termos de valor esperado e erro padrão;
Determinar o tamanho da amostra para se obter um erro padrão da média igual a 3,00.
2 – Uma variável aleatória X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10.
Qual a P (90 < X < 110)?
Se 
 é a média de uma amostra de 16 elementosretirados dessa população, calcule P (90 < 
 < 110);
Que tamanho deveria ter a amostra para que P (90 < 
 < 110) = 95%?
3 – Seja X a duração da vida de uma peça de equipamento tal que σ = 5 horas. Admita que 100 peças foram ensaiadas fornecendo uma duração de vida média de 
 = 500 horas.
Obter um intervalo de 95% para a média μ;
Qual o tamanho da amostra para que o intervalo 500 ± 1,63 tenha 95% de confiança?
4 – Em uma amostra aleatória de 25 crianças de uma determinada comunidade, encontrou-se altura média 150 cm e desvio padrão 5 cm. Admitindo que a distribuição das alturas das crianças é normal, determine:
Um intervalo de 95% de confiança para a altura média da população;
O comprimento do intervalo obtido na letra “a”.
CONTEÚDO II
TESTES DE HIPÓTESES
1 – INTRODUÇÃO
	As duas principais áreas de inferência estatística são: estimação de parâmetros populacionais e testes de hipóteses.
	O objetivo dos testes de hipóteses é desenvolver métodos gerais para testar hipóteses, aplicando tais metodologias a alguns problemas comuns. Em geral, é feita uma determinada afirmação sobre uma população, usualmente sobre um parâmetro desta, e desejamos saber se os resultados de uma amostra contrariam ou não tal afirmação.
	Desta forma, a finalidade do teste estatístico de hipótese é fornecer ferramentas que nos permitam validar ou rejeitar uma hipótese através dos resultados amostrais.
2 – DEFINIÇÕES
Parâmetro → é uma função de valores populacionais. Em geral, representa um valor desconhecido associado à população;
Estimador → O estimador de um parâmetro é qualquer função das observações amostrais (X1, X2, ..., Xn). Ele representa uma determinada fórmula de cálculo, fornecendo valores diferentes conforme a amostra selecionada;
Estimativa → É o valor numérico assumido pelo estimador quando os valores amostrais (X1, X2, ..., Xn) são considerados.
3 – TESTES DE HIPÓTESES
	É uma regra decisória que nos permite aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base nos elementos de uma amostra. Estas hipóteses são, em geral, sobre parâmetros populacionais ou relacionadas à natureza da distribuição da população.
3.1 – Hipótese Estatística
	É uma suposição referente ao valor de um parâmetro populacional que será verificada por um teste paramétrico, ou mesmo uma afirmação quanto à natureza da população que pode ser verificada por meio de um teste de aderência.
	Exemplos de hipóteses estatísticas:
A média populacional da altura dos brasileiros é de 1,66 metros, isto é, μ = 1,66;
A proporção de brasileiros com determinada doença é de 40%, ou seja, p = 0,40;
A distribuição dos pesos dos alunos da UFRRJ é normal, ou seja, X ~ N (μ;σ2);
Hipóteses a serem formuladas:
3.1.1 – Hipótese de Nulidade (H0)
	É a hipótese a ser testada, também chamada de hipótese básica ou nula. Os testes são construídos sobre a pressuposição de que H0 seja verdadeiro.
	O teste de hipótese consiste em verificar se determinado valor estimado, a partir de uma amostra representativa da população, difere significativamente do resultado esperado sob H0. 
Exemplos:
Um pesquisador informa que a produtividade média de uma cultura é de 500 kg/ha; H0: μ = 500;
Duas marcas de rações (I e II) para leitões em fase de crescimento propiciam em média o mesmo ganho de peso. H0: μ1 = μ2.
Para os dois exemplos, o raciocínio é que enquanto não houver evidências amostrais sugerindo que tais informações não sejam verdadeiras, elas são tomadas como verídicas (verdadeiras).
3.1.2 – Hipótese Alternativa (H1)
	É a hipótese que contraria H0, formulada com base no conhecimento prévio do problema, informações de pesquisas/científicas, entre outras indagações. Considerando os exemplos anteriores:
H1: μ > 500 ou μ < 500 ou μ ≠ 500;
H1: μ1 > μ2 ou μ1 < μ2 ou μ1 ≠ μ2.
No teste de hipótese, a rejeição de H0 implicará na aceitação automática de H1. Isso se deve ao fato dessas hipóteses serem contrastantes e mutuamente excludentes, impossibilitando que sejam simultaneamente verdadeiras.
Denomina-se teste de significância àquele utilizado para se testar tais hipóteses.
 
3.2 – Região Crítica (RC)
	É a faixa de valores da estatística do teste que nos leva a rejeição da hipótese H0, ou seja, a RC para um teste de hipótese é a que nos leva a rejeição de H0. É válido ressaltar que o teste estatístico é construído na suposição de que H0 é verdadeiro.
	Caso o valor observado da estatística do teste (F, t, 
, etc.) pertença à região crítica, rejeitamos H0, caso contrário, não rejeitamos ou aceitamos H0.
3.3 – Tipos de Erros
	Para qualquer decisão que tomarmos, a partir de uma amostra da população, estaremos sujeitos a erros, pois trabalhamos com amostras e não com a população como um todo.
3.3.1 – Erro tipo I ou erro α
	O erro tipo I é caracterizado pelo fato de rejeitarmos H0 sendo H0 verdadeiro. Sua probabilidade é representada por “α”, sendo denominada nível de significância do teste. Logo, α = P (erro tipo I) = P (rejeitar H0/ H0 é verdadeiro).
3.3.2 – Erro tipo II ou erro β
	O erro tipo II é caracterizado pelo fato de não rejeitarmos H0 sendo H0 falso. A probabilidade de cometermos este tipo de erro é indicada por β. Logo, β = P (erro tipo II) = P (não rejeitar H0/ H0 é falso).
	
A tabela a seguir apresenta as probabilidades de cometermos os erros do tipo I e do tipo II.
	Decisão \ Realidade
	H0 é verdadeiro
	H0 é falso
	Rejeitar H0
	α
	1 – β
	Não rejeitar H0
	1 – α
	β
3.4 – Tipos de Testes
3.4.1 – Teste Unilateral à Direita
	
A partir de uma valor C (ponto crítico), rejeita-se H0 se 
 ≥ C.
H0: μ = K
H1: μ > K
3.4.2 – Teste Unilateral à Esquerda
 
	A partir de uma valor C (ponto crítico), rejeita-se H0 se 
 ≤ C.
H0: μ = K
H1: μ < K
3.4.3 – Teste Bilateral
	Rejeita-se H0 se 
 ≤ C1 ou 
 ≥ C2.
H0: μ = K
H1: μ ≠ K
3.5 – Etapas para construção de um Teste de Hipótese
Enunciar a hipótese nula (H0) e a hipótese alternativa (H1);
Especificar o nível de significância (erro I ou α) a ser utilizado, selecionando a estatística do teste;
Estabelecer o valor crítico (C) ou os valores críticos (C1 e C2) da estatística do teste em função do nível α e das tabelas estatísticas apropriadas;
Determinar o valor real da estatística do teste por meio dos elementos amostrais;
Tomar a decisão pela não rejeição ou rejeição de H0 (conclusão) pela comparação do valor obtido na 4ª etapa com o valor crítico (ou valores críticos) fixado (s) pela estatística do teste na 3ª etapa.
4 – DISTRIBUIÇÃO F E O TESTE DA DIFERENÇA ENTRE DUAS VARIÂNCIAS DE POPULAÇÕES NORMAIS (Teste F)
	Sejam X e Y duas variáveis aleatórias normalmente distribuídas. Considere duas amostras, casuais e independentes, de tamanho nx e ny, respectivamente.
	Sejam as hipóteses: H0: 
= 
 H1: 
> 
 ou
 
< 
 ou
 
≠ 
	Para testar H0, utiliza-se a estatística “F” (Teste F), definida por:
,
que tem Distribuição de Fisher com (nx – 1) e (ny – 1) graus de liberdade.
OBS: Para simplificar o uso da tabela utilizaremos a expressão:
	Assim, a hipótese alternativa corresponderá ao teste unilateral à direita.
H0: 
= 
H1: 
> 
	O valor crítico da distribuição F será estabelecido de acordo com o nível de significância (α) e o número de graus de liberdade.
Ftab = f (α; n1 ; n2)
n1 = número de g.l. do numerador
n2 = número de g.l. do denominador
	Tomada de decisão (conclusão):
Se Fcalc. ≥ Ftab: Rejeita-se H0;
Se Fcalc. < Ftab: Não Rejeita-se H0 ou Aceita-se H0.
5 – DISTRIBUIÇÃO “t” DE STUDENT E O TESTE PARA UMA MÉDIA DA POPULAÇÃO COM DESVIO PADRÃO POPULACIONAL (σ) DESCONHECIDO (Teste t)
	Para testar hipóteses referentes à média de uma população, cujo desviopadrão populacional (σ) é desconhecido, utiliza-se a estatística “t” (Teste t), definida por:
,
que tem Distribuição de Student com n – 1 graus de liberdade (g.l.).
	Hipóteses:
	H0: μ = K
H1: μ > K ou 
 μ < K ou
 μ ≠ K
	Valor crítico da distribuição t:
ttab. = f [α; (n – 1)g.l.]
Tomada de decisão (conclusão):
Se 
 ≥ ttab: Rejeita-se H0;
Se 
 < ttab: Não Rejeita-se H0 ou Aceita-se H0.
OBS: A tabela da distribuição t de Student a ser utilizada em nossas aulas é bilateral. Assim, se o teste efetuado for bilateral, entra exatamente com o α na tabela. Caso contrário, o teste realizado seja unilateral, deve-se entrar com 2α na tabela.
6 – DISTRIBUIÇÃO “t” DE STUDENT E O TESTE PARA COMPARAR MÉDIAS DE DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES DE POPULAÇÕES NORMAIS COM VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS (Teste t)
	Muitos problemas aparecem quando se deseja testar hipóteses sobre médias de populações. Por exemplo, um pesquisador pode ter interesse em investigar um novo tipo de adubo, comparando a produtividade de determinada cultura em dois períodos simultâneos, um referente à utilização do adubo antigo e outro referente à utilização do adubo novo.
	Quando as variâncias das populações são substituídas pelas variâncias das amostras, isto é, σ2 por s2, o teste recomendado é o Teste t. A execução do teste fica na dependência se as variâncias das populações são ou não iguais entre si, tendo assim dois casos a serem considerados.
	Seja X a medida de certo atributo dos elementos de uma população A, e Y a medida do mesmo atributo dos elementos de uma população B. Sejam X e Y normalmente distribuídas com variâncias desconhecidas.
	Considere as hipóteses:
H0: μA = μB
H1: μA > μB ou 
 μA < μB ou
 μA ≠ μB
	Inicialmente deve-se efetuar um Teste Preliminar com o objetivo de comparar as variâncias das duas populações, ou seja, temos que aplicar o Teste F.
H0’: 
= 
H1’: 
> 
	
Ao testar estas hipóteses teremos dois casos a considerar:
6.1 – Caso 1 ou Caso A
	Quando H0’ não for rejeitada. Admitimos que as variâncias sejam iguais, cujos valores assumidos por 
 e 
 são estimativas de um mesmo valor σ2. Devemos combinar essas variâncias (
 e 
), estimando-se uma variância comum (
).
 = 
 = 
 = 
	A seguir, testa-se H0 utilizando-se a distribuição t de Student (Teste t), definida por:
ttab. = f (α ; nA + nB – 2 g.l.)
Tomada de decisão (conclusão):
Se 
 ≥ ttab: Rejeita-se H0;
Se 
 < ttab: Não Rejeita-se H0 ou Aceita-se H0.
6.2 – Caso 2 ou Caso B
	Quando H0’ for rejeitada. Admitimos que as variâncias sejam diferentes, não devendo assim estimar uma variância comum. Neste caso, utilizaremos para o nosso teste, os valores assumidos por 
 e 
.
	Neste caso, a estatística t de Student (Teste t) fica definida:
,
que segue distribuição “t” com n* graus de liberdade, em que n* é dado por:
ttab. = f (α ; n* g.l.)
OBS: Adotar como g.l. o maior valor inteiro desde que não supere o valor calculado.
Tomada de decisão (conclusão):
Se 
 ≥ ttab: Rejeita-se H0;
Se 
 < ttab: Não Rejeita-se H0 ou Aceita-se H0.
7 – DISTRIBUIÇÃO “t” DE STUDENT E O TESTE PARA COMPARAR A DIFERENÇA ENTRE AS MÉDIAS DE DUAS AMOSTRAS DEPENDENTES (DADOS PAREADOS/EMPARELHAD0S) (Teste t)
	Os procedimentos do item seis (6) são baseados na hipótese de que as duas amostras foram coletadas independentemente uma da outra. Contudo, em muitas situações as amostras são coletadas como pares de valores, tal como medidas sobre o mesmo indivíduo antes e depois da aplicação de algum medicamento; sobre um mesmo animal antes e depois do fornecimento de uma suplementação alimentar; ou também sobre uma mesma planta antes e depois de administrar um determinado fertilizante. Referimo-nos a isto como observações/dados emparelhados ou pareados. Contrastando com amostras independentes, duas amostras que contém observações emparelhadas são chamadas de amostras dependentes.
	Para observações emparelhadas, o teste apropriado para a diferença entre as médias das duas amostras consiste em determinar primeiro a diferença “d” entre cada par de valores, e então testar a hipótese nula de que a média das diferenças na população é zero (ou igual a determinado valor ∆). Logo, do ponto de vista de cálculo, o teste é aplicado a uma única amostra de n diferenças di.
	A média e o desvio padrão da amostra de valores di são obtidos pelas fórmulas básicas de estatística, substituindo os valores Xi por di. 
 e 
	O erro padrão da diferença média entre as observações emparelhadas é obtido por:
	Sejam as hipótese:
H0: 
 = 0 
H1: 
 > 0 ou 
 
 < 0 ou
 
 ≠ 0
	Para testar H0, utiliza-se a estatística “t” de Student, definida por:
	Sob H0 
 = 0:
,
que tem distribuição “t” de Student, cujo grau de liberdade representa o número de pares observados menos um, ou seja, (n – 1) graus de liberdade (g.l.).
ttab. = f [α; (n – 1)g.l.]
Tomada de decisão (conclusão):
Se 
 ≥ ttab: Rejeita-se H0;
Se 
 < ttab: Não Rejeita-se H0 ou Aceita-se H0.
8 – TESTE DE QUI-QUADRADO – 
	Na biologia/genética, assim como em muitas outras ciências, os resultados numéricos observados em um experimento são frequentemente comparados com aqueles esperados com base em alguma hipótese. Por meio dessas comparações obtêm-se os desvios. Devemos verificar se os desvios são significativos ou não, de acordo com uma probabilidade de ocorrência do evento. Se os desvios não são significativos, conclui-se que eles são devidos ao acaso, aceitando a hipótese H0 formulada. Por outro lado, se os desvios são significativos, a hipótese H0 é rejeitada, concluindo que os desvios não são devidos ao acaso.
	O teste estatístico que pode ser utilizado para verificar a significância dos desvios, muito utilizado na biologia/genética, é o Teste Qui-quadrado (
). Nele, os desvios são transformados em um único valor de 
, o qual representa uma medida padronizada da magnitude dos desvios. O valor de 
 é estimado pela seguinte expressão:
, em que:
Oi = número/valor observado na classe/categoria i;
Ei = número/valor esperado na classe/categoria i;
n = número de classes/categorias.
	A hipótese H0 é formulada no sentido de que a frequência observada se ajusta à frequência esperada. Nesta hipótese testa-se se os desvios são devido ao acaso.
Para aceitarmos ou não a hipótese H0, isto é, para verificar se os desvios são devido ao acaso, deve-se comparar o valor calculado do 
 com o valor tabelado. Esse valor tabelado é obtido em tabelas próprias para o teste 
, de acordo com um nível de significância/probabilidade e um número de graus de liberdade (g.l.).
Em uma análise de 
, os g.l. correspondem ao número de classes/categorias em que os dados foram separados (n) menos 1, ou seja, “n – 1”, representando o número de classes independentes. De posse dos valores calculado e tabelado do 
 é tomada a decisão (conclusão):
Se 
 ≥ 
: Rejeita-se H0;
Se 
 < 
: Não Rejeita-se H0 ou Aceita-se H0.
OBS: O Teste 
 somente deve ser aplicado aos dados observados do experimento e nunca às percentagens ou proporções oriundas dos mesmos.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – Com o objetivo de controlar a Umidade Relativa (UR - %) em uma casa de vegetação ao longo do dia, procedeu-se medições em dois períodos (manhã e tarde), em um intervalo de duas horas. No período da manhã, de dez medições, foi obtida a média de 72,8% e desvio padrão de 0,074%. No período da tarde, os seguintes valores de UR (%) foram fornecidos: 71,7%; 72,0%; 72,9%; 73,1%; 71,6%; 71,5% e 71,2%. Ao nível de 5% de significância, podemos concluir que tenha ocorrido variabilidade da UR entre os dois períodos investigados?
2 – Um fertilizante foi aplicado a uma variedade de tomate. As produções, em kg, de dez pés de tomate foram: 1,6; 1,7; 1,8; 1,4; 1,5;1,9; 2,3; 2,1; 1,9 e 1,7 Kg. Verificar se o fertilizante proporciona uma produção superior a 1,5 kg por pé de tomate. Adotar α = 5%.
3 – Em indivíduos sadios o consumo renal de oxigênio (O2) distribui-se normalmente com média de 12 cm3/minuto. Deseja investigar, com base em cinco indivíduos portadores de certa doença, se esta tem influência no consumo renal médio de O2. Os consumos medidos para os cinco pacientes foram: 14,4; 12,9; 15,0; 13,7 e 13,5 cm3/minuto. Qual a conclusão ao nível de 1% de significância?
4 – Os dados a seguir referem-se a um experimento de competição de duas progênies de Eucalyptus saligna. Cada progênie foi cultivada em solos com características semelhantes e a avaliação das plantas foi feita pela média dos diâmetros à altura do peito (DAP) de cada parcela. Foram utilizadas dez parcelas para cada progênie. Avaliar as progênies (A e B) com relação à característica mensurada. (α = 5%)
	
	Progênie A
	Progênie B
	Média – DAP (cm)
	15,4
	13,5
	Variância – DAP (cm2)
	2,5
	3,0
	Número de Parcelas
	10
	10
5 – Desejando saber se duas rações A e B, para determinada raça de suínos, são equivalentes ou se a ração A é superior a ração B em relação ao ganho de peso, há 11 animais sorteados ao acaso foi dado a ração A e a outros 19 a ração B. Os resultados, em kg, foram:
 = 66 kg e 
 = 40 kg2
 = 63 kg e 
 = 16 kg2
	A que conclusão chegar se adotarmos o nível de significância de 5%?
6 – A Tabela abaixo apresenta dados da pressão sanguínea sistólica de dez mulheres, na faixa etária de 30 a 35 anos, que fizeram uso de anovulatório por determinado período e depois não o fez, e vice e versa. Teste a hipótese de que o uso de anovulatório não tem efeito sobre a pressão sanguínea sistólica. (α = 5%)
	Anovulatório
	Mulheres (30 – 35 anos)
	Sim
	111
	119
	121
	113
	116
	126
	128
	123
	122
	121
	Não
	109
	113
	120
	117
	108
	120
	122
	124
	115
	112
7 – Foi realizado um experimento envolvendo o estudo da herança da cor e textura da semente do milho. Considere que cada caráter (cor e textura) seja controlado por um gene de modo independente. Deste experimento foram obtidas 480 sementes assim distribuídas:
268 → Sementes Amarelas e Lisas (AL);
86 → Sementes Amarelas e Enrugadas (AE);
97 → Sementes Brancas e Lisas (BL);
29 → Sementes Brancas e Enrugadas (BE).
Verificar se os genes segregam na proporção 9:3:3:1 para as categorias AL, AE, BL e BE, respectivamente. Adotar α = 5%.
CONTEÚDO III
CONTRASTE
1 – INTRODUÇÃO
	O estudo de contraste na estatística experimental é de grande relevância, principalmente quando o experimento em análise é composto por dois ou mais tratamentos. O uso de contraste possibilita ao pesquisador estabelecer comparações entre tratamentos ou grupos de tratamentos que sejam de interesse. Os contrastes assim estabelecidos podem ser testados por meio de um teste de comparação de médias, o qual complementa o resultado da análise de variância.
	Os conhecimentos adquiridos neste tópico serão posteriormente utilizados para realização do teste de comparação de médias e procedimentos de análise de variância.
2 – DEFINIÇÃO DE CONTRASTE
Considere a seguinte função linear de médias populacionais de tratamentos:
Y = a1m1 + a2m2 + ... + anmn
	A função Y será um contraste entre médias se satisfazer a seguinte condição:
3 – ESTIMADOR DO CONTRASTE
	
Na prática, geralmente não se conhece os valores das médias populacionais “mi”, mas sim suas estimativas. Desta forma, na estatística experimental não trabalhamos com o contraste Y, mas sim com o seu estimador Ŷ. Este também representa uma função linear de médias obtidas por meio de experimentos ou amostras. Assim, tem-se que o estimador para o contraste de médias é dado por:
Ŷ = a1
+ a2
+ ... + an
4 – CONTRASTES ORTOGONAIS
	
Em algumas situações desejamos testar um grupo de contrastes relacionados com o experimento em estudo. Alguns tipos de testes indicados para este objetivo necessitam que os contrastes, que compõem o grupo a ser testado, sejam ortogonais entre si.
	A ortogonalidade entre os contrastes indica independência linear na comparação estabelecida por um contraste com a comparação estabelecida pelos outros contrastes.
	Sejam os estimadores dos contrastes de Y1 e Y2, dados respectivamente por:
Ŷ1 = a1
+ a2
+ ... + an
Ŷ2 = b1
+ b2
+ ... + bn
	A condição para que estes dois contrastes sejam ortogonais entre si para determinado experimento, de acordo com o número de repetições dos tratamentos, é dada por:
 = 0
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – Em um experimento de consórcio na cultura do abacaxi, com cinco repetições, as médias de produções foram as seguintes (toneladas de frutos/ha):
	Tratamentos
	
	Abacaxi (0,90 x 0,30 m) – Monocultura
	53,50
	Abacaxi (0,80 x 0,30 m) – Monocultura
	56,50
	Abacaxi (0,80 x 0,30 m) + Amendoim
	62,00
	Abacaxi (0,80 x 0,3 0m) + Feijão
	60,40
	Pede-se:
Obter a estimativa do contraste, interpretando;
Y = m1 + m2 – m3 – m4
Estabelecer um contraste para comparar a produção média de abacaxi quando em consórcio.
2 – Por meio dos dados e dos contrastes fornecidos abaixo, obter suas estimativas e verificar se são ortogonais.
 ; 
 ; 
 ; 
r1 = r2 = 6 ; r3 = 4 ; r4 = 5
Y1 = m1 + m2 – m3 – m4
Y2 = m1 – m2
CONTEÚDO IV
PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO
1 – INTRODUÇÃO
	Grande parte do conhecimento que a humanidade acumulou ao longo dos séculos foi adquirido através da experimentação. A ideia de experimentar não se limita a antiguidade, pois também está presente no nosso dia a dia. Todos nós já aprendemos alguma coisa ao longo da vida experimentando. Entretanto, a experimentação só se difundiu como técnica sistemática de pesquisa há pouco mais de um século, quando foi formalizada através da estatística (Vieira, 2006).
Entende-se por experimento uma experiência realizada sob condições previamente estabelecidas e que opera com causas controladas. O propósito da estatística experimental é analisar, objetivamente, os dados experimentais, isolando as causas da variação do acaso, próprias de qualquer conjunto de dados observados (Dias & Barros, 2009). 
	A experimentação tem por objetivo o estudo dos experimentos, ou seja, seu planejamento, execução, análise dos dados e interpretação dos resultados.
2 – CONCEITOS
Experimento ou Ensaio: é um trabalho previamente planejado seguindo determinados princípios básicos. Nele se faz a comparação dos efeitos dos tratamentos;
Tratamento: é o método, elemento ou material cujo efeito desejamos medir ou comparar em um experimento;
Unidade Experimental: é a unidade que vai receber o tratamento e fornecer os dados que deverão refletir o seu efeito;
Delineamento Experimental: é o plano utilizado na experimentação. Implica na forma como os tratamentos serão designados às unidades experimentais e em um amplo entendimento das análises a serem feitas quando todos os dados estiverem disponíveis.
A pesquisa científica está constantemente se utilizando de experimentos para avaliar e validar suas hipóteses. Apesar dos experimentos variarem de uma pesquisa para outra, todos eles são regidos por alguns princípios básicos, necessários para que as conclusões que venham a ser obtidas se tornem válidas.
3 – PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO
	São três os princípios básicos da experimentação: Repetição, Casualização e Controle Local.
3.1 – Repetição
	O princípio da repetição consiste na reprodução do experimento básico e tem por finalidade propiciar a obtenção da estimativa do erro experimental. A repetição consiste em aplicar determinado tratamento em várias parcelas em um mesmo experimento.
	Quanto maior o número de repetições, maior será a precisão do experimento. Contudo, esta relação é válida até determinado número de repetições, a partir doqual o incremento na precisão não é significativo.
	O número de repetições é dependente do conhecimento que o pesquisador tem sobre o assunto e do conjunto de condições em que será realizado o experimento. O número de tratamentos, o nível de precisão desejado, o tipo de unidade experimental a ser estudada/utilizada e o custo da realização do experimento são alguns exemplos de fatores limitantes ao número de repetições. 
	O número de repetições necessárias pode ser calculado através de fórmulas. A aplicação de tais fórmulas exige, no entanto, que o pesquisador tenha informações estatísticas de experimentos anteriores.
	Quanto menor a diferença a ser comparada entre os tratamentos, maior deverá ser o número de repetições para cada tratamento. Aumentando o número de repetições, menores diferenças entre os tratamentos podem atingir a significância estatística, isto é, há um aumento da precisão do experimento.
	De acordo com Gomes (2009), os experimentos devem ter pelo menos 20 unidades experimentais (parcelas) e 10 graus de liberdade para o erro experimental ou resíduo.
3.2 – Casualização
	O princípio da casualização tem por finalidade propiciar, a todos os tratamentos, a mesma probabilidade de serem designados a qualquer uma das unidades experimentais. Desta forma, seu objetivo é evitar que determinado tratamento venha a ser sistematicamente favorecido ou desfavorecido por fatores externos nas diversas parcelas. Isto significa que a distribuição dos tratamentos nas unidades experimentais deve ser feita ao acaso, através de um mecanismo qualquer de sorteio.
	O princípio da casualização se faz necessário para que as variações que contribuem para o erro experimental sejam convertidas em variáveis aleatórias. Além disso, a casualização permite obter uma estimativa válida do erro experimental, além de garantir o uso de testes de significância por tornar os erros experimentais independentes. 
	É digno de nota ressaltar que sem os princípios básicos da repetição e da casualização não existe experimentação.
3.3 – Controle Local
	A finalidade do controle local é dividir um ambiente heterogêneo em sub-ambientes homogêneos, tornando o experimento mais eficiente pela redução do erro experimental. O controle local isola fontes de variação que podem ser controladas e que normalmente seriam incluídas no resíduo, o que acarreta a redução do erro.
	O material experimental é dividido em porções homogêneas ou blocos, cada um dos quais contendo todos os tratamentos. A formação dos blocos corresponde a uma estratificação. A casualização dos tratamentos às unidades experimentais sofre a restrição de ser dentro de cada bloco.
	Entre os blocos poderá existir grande variabilidade. Entretanto, dentro de cada bloco a uniformidade/homogeneidade deve ser máxima.
4 – FONTES DE VARIAÇÃO DE UM EXPERIMENTO
4.1 – Premeditada
	É a variação introduzida pelo pesquisador com a finalidade de fazer comparações. Exemplo: os tratamentos.
4.2 – Sistemática
	Variação não intencional, porém de natureza conhecida. São variações inerentes ao material experimental, que podem ser controladas pelo pesquisador. Exemplo: heterogeneidade do solo, tamanho de semente, idade dos animais, etc.
4.3 – Aleatória
	São variações de origem desconhecida, que não podem ser controladas. Constituem o erro experimental propriamente dito. São resultantes de duas fontes: variações do material experimental e falta de uniformidade nas condições experimentais.
	Ressalta-se que nem sempre é possível distinguir claramente esse tipo de variação da variação sistemática.
CONTEÚDO V
DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS E TESTE DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS
1 – DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC)
	É o tipo de delineamento mais simples que existe, representando o delineamento básico. Os demais delineamentos se originam dele, pela imposição de restrições (ex. controle local). A distribuição dos tratamentos às unidades experimentais é feita completamente ao acaso, ou seja, sem nenhuma restrição na casualização.
	O DIC envolve dois princípios básicos da experimentação: repetição e casualização. Ele é indicado quando as condições experimentais são homogêneas, sendo mais recomendado em experimentos de laboratório e casas de vegetação, em que as condições ambientais podem ser melhor controladas.
	Para a instalação deste delineamento no campo deve-se ter certeza quanto à homogeneidade das condições ambientais e do material experimental.
1.1 – Vantagens e Desvantagens do DIC
1.1.1 – Vantagens
Pode-se utilizar qualquer número de tratamento e repetições, sendo que o número de repetições pode variar de um tratamento para outro sem ocasionar maiores dificuldades na análise estatística. No entanto, sempre que possível, deve-se manter o mesmo número de repetições entre os tratamentos;
1.1.2 – Desvantagens
Exige homogeneidade total das condições experimentais;
Pode conduzir a uma estimativa da variância residual bastante alta, uma vez que ao não utilizar o princípio do controle local todas as variações serão consideradas como variação do acaso, exceto as devidas aos tratamentos.
1.2 – Quadro de tabulação dos dados
	A título de exemplo, considere um experimento instalado no DIC com I tratamentos e J repetições. A coleta de dados da pesquisa pode ser resumida no quadro a seguir:
	
	Tratamentos
	Repetições
	1
	2
	.....
	I
	1
	Y11
	Y21
	.....
	YI1
	2
	Y12
	Y22
	.....
	YI2
	.....
	.....
	.....
	.....
	.....
	J
	Y1J
	Y2J
	.....
	YIJ
	Totais
	T1
	T2
	.....
	TI
	Deste quadro podem-se retirar algumas informações de interesse:
Nº de unidades experimentais: N = I x J
Total geral: G = 
Total para o tratamento i: Ti = 
Média para o tratamento i: 
 = 
Média geral do experimento: 
 = 
1.3 – Análise de Variância (ANOVA)
	É uma técnica de análise estatística que permite decompor a variação total, ou seja, a variação existente entre todas as observações, na variação devido à diferença entre os tratamentos e na variação devido ao acaso (erro experimental ou resíduo). Entretanto, para que esta técnica seja empregada é necessário que sejam satisfeitas diversas pressuposições, entre elas citam-se:
Os erros são variáveis aleatórias independentes;
A variância é constante (homocedasticidade);
A distribuição dos erros é normal ou aproximadamente normal.
Por meio do modelo estatístico pode-se decompor a variação total entre as observações em duas partes que a compõem, como será demonstrado a seguir.
Considere o modelo estatístico para um experimento instalado segundo o DIC:
Yij = m + ti + eij ,
fazendo ti = mi – m, tem-se:
(Yij – m) = (mi – m) + eij ,
Substituindo m e mi por seus estimadores, elevando ambos os membros ao quadrado e aplicando somatório, tem-se:
	Escrevendo de forma mais simplificada, a igualdade anterior representa:
SQTotal = SQTratamentos + SQResíduo
	Aplicando as propriedades do somatório em cada termo da soma de quadrados tem-se o desenvolvendo de fórmulas mais práticas para encontrar os valores das respectivas somas de quadrados. 
	Para a SQTotal tem-se que:
SQTotal = 
 = 
	Para a SQTratamento:
SQTrat. = 
 = 
	Esta fórmula é utilizada quando o número de repetições é igual para todos os tratamentos. Quando ocorrer variação no número de repetições entre os tratamentos a fórmula apropriada é:
SQTrat. = 
,
em que:
N = é o número de unidades experimentais = 
;
ri = é o número de unidades experimentais (repetições) do tratamento i.
A soma de quadrados do resíduo é obtida por diferença:
SQResíduo = SQTotal – SQTratamento
	O quadro da Análise de Variância (ANOVA) para um experimento instalado segundo o DIC, com igual número de repetições para todos os tratamentos, é dado a seguir:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Tratamentos
	(I – 1)
	SQTrat.
	
	
	ResíduoI(J – 1)
	SQRes.
	
	
	Total
	IJ – 1
	SQTotal
	-
	-
	A partir das SQTratamentos e SQResíduo obtêm-se os respectivos quadrados médios, por meio do quociente entre a soma de quadrado com o respectivo número de graus de liberdade.
	Para concluir se existe diferença entre os tratamentos calcula-se o valor da estatística F, que é obtido pelo quociente do QMTrat. com o QMRes. Este valor de F calculado deve ser comparado com o valor de F tabelado, o qual é obtido na tabela de distribuição da variável aleatória F (Fisher), de acordo com o nível de significância do teste, o grau de liberdade para tratamento e o grau de liberdade para resíduo.
	As hipóteses para o Teste F da Análise de Variância são:
H0: m1 = m2 = ... = mI = m; O que equivale a dizer que todos os possíveis contrastes entre as médias dos tratamentos são estatisticamente nulos ao nível “α” de probabilidade/significância em que foi realizado o teste;
H1: não H0; O que equivale a dizer que existe pelo menos um contraste entre as médias dos tratamentos estatisticamente diferente de zero ao nível “α” de probabilidade/significância em que foi realizado o teste.
A regra decisória para o Teste F é a seguinte:
Se o valor do F calculado for maior ou igual ao valor do F tabelado, rejeita-se H0. Conclui-se que os tratamentos tem efeitos diferenciados ao nível de significância em que foi realizado o teste;
Se o valor do F calculado for menor que o valor do F tabelado, não rejeita-se H0. Conclui-se que os tratamentos tem efeitos iguais ao nível de significância em que foi realizado o teste.
2 – MEDIDAS DE AVALIAÇÃO DA QUALIDADE DOS EXPERIMENTOS
2.1 – Coeficiente de Variação (C.V.)
O Coeficiente de Variação permite avaliar a precisão do experimento. Quanto menor o C.V., maior será a precisão do experimento. O conhecimento desta precisão auxilia na avaliação dos seus resultados.
O C.V. é calculado da seguinte maneira:
, em que 
	
De acordo com Gomes (2009), na experimentação agrícola (experimentos de campo) o coeficiente de variação pode ser classificado nas seguintes categorias, com relação a sua precisão:
	C.V.(%)
	Precisão
	< 10%
	Alta
	10% a 20%
	Média
	20% a 30%
	Baixa
	> 30%
	Muito Baixa
2.2 – Coeficiente de Determinação (R2)
Por definição, o Coeficiente de Determinação (R2) é a razão entre a soma de quadrado de tratamento e a soma de quadrado total, isto é:
Portanto, o R2 é uma medida da proporção da variação total explicada pela variação devido aos tratamentos. Como o valor de R2 varia entre 0 e 1, pode-se interpretá-lo como uma percentagem.
	Ex: R2 = 0,9215 → 92,15% da variação total está sendo explicada pela variação devido aos tratamentos.
3 – TESTE DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS
Os modelos de Análise de Variância são geralmente utilizados para analisar os efeitos de um ou mais fatores (variável independente sob estudo) sobre a variável dependente.
	O Teste F tem seu emprego na Análise de Variância dos delineamentos experimentais. Ele é utilizado para comparar variâncias, representando um teste preliminar, cujo resultado estabelece se será necessária uma detalhada análise dos efeitos dos níveis do fator em estudo.
	Se o Teste F leva a conclusão que os efeitos dos níveis do fator são iguais, a implicação é que não existe nenhuma relação entre o fator e a variável dependente. Todavia, se o Teste F leva a conclusão que nem todos os níveis do fator tem efeitos idênticos, a implicação é que existe uma relação entre o fator e a variável dependente.
	Em experimentos envolvendo dois ou mais tratamentos (ou níveis do fator) é de interesse saber onde estão as diferenças no caso em que o Teste F leva a rejeição da hipótese de igualdade dos efeitos dos tratamentos. Isso pode ser feito pela comparação direta dos tratamentos (ou níveis do fator) utilizando técnicas de estimação. Neste caso, podem-se estimar contrastes entre os níveis do fator em estudo e, posteriormente, aplicar um Teste de Médias.
	Existe um grande número de procedimentos para comparações de médias utilizados posteriormente à Análise de Variância quando o Teste F for significativo. Os testes de médias são utilizados para identificar os níveis do fator (ou tratamentos) que diferem estatisticamente entre si. Cada teste está fundamentado em um particular conjunto de suposições que o torna efetivo para os propósitos específicos.
3.1 – Teste de Tukey
	O teste de Tukey, baseado na amplitude total estudentizada, pode ser utilizado para comparar todo e qualquer contraste entre duas médias de tratamentos. Ou seja, para nI tratamentos (número de tratamentos ou de níveis do fator em estudo) poderão ser estabelecidos nI(nI – 1)/2 contrastes do tipo Yij = mi – mj, para i ≠ j.
	Este teste baseia-se na diferença mínima significativa (DMS), representada por ∆, dada por:
∆ = q
em que:
	∆ = é a diferença mínima significativa (DMS);
	q = é o valor tabelado da amplitude estudentizada, que é obtido pela expressão: qα(n1;n2), em que α é o nível de significância; n1 é o número de tratamentos ou níveis do fator e n2 representa o número de graus de liberdade do resíduo na Análise de Variância.
	A estimativa da variância da estimativa do contraste é dada por:
 = QMRes 
	
Para ri ≠ rj, o cálculo de ∆ é dado pela seguinte fórmula:
∆ = q
	Para ri = rj = r, o cálculo de ∆ pode ser representado pela expressão:
∆ = q
	Para a realização do Teste de Tukey é necessário:
Enunciar as hipóteses:
H0: mi = mj
H1: mi ≠ mj , para i ≠ j	
Obter as estimativas dos contrastes: 
, com base nos valores amostrais;
Calcular a diferença mínima significativa (∆);
Concluir a respeito da significância dos nI(nI – 1)/2 contrastes em teste, utilizando a seguinte relação:
Se 
, rejeita-se H0;
Se 
, não rejeita-se H0.
Neste caso, a conclusão será: “As médias seguidas por pelo menos uma mesma letra não diferem entre si ao nível “α” de probabilidade pelo Teste de Tukey”.
4 – DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS (DBC)
	O Delineamento em Blocos Casualizados (DBC) constitui no delineamento estatístico mais utilizado na pesquisa agronômica, devido a sua simplicidade, flexibilidade e alta precisão. Ele é utilizado quando as condições experimentais não são completamente homogêneas. Nesta situação, devemos subdividir a área ou o material experimental em blocos (ou grupos), de modo que exista homogeneidade dentro de cada bloco e que ele contenha uma repetição de cada tratamento, distribuído dentro de cada bloco inteiramente ao acaso.
	Os experimentos em blocos casualizados levam em consideração os três princípios básicos da experimentação: repetição, casualização e controle local. No controle local faz-se a divisão do local ou material experimental em subgrupos ou blocos, de tal forma que se tenha garantido a uniformidade dentro de cada bloco.
	Em experimentos de campo deve-se subdividir a área em blocos de maneira que se tenha homogeneidade dentro deles, por exemplo: com relação à declividade do solo; a fertilidade do solo; a incidência de luz solar; etc. Em experimentos zootécnicos deve-se subdividir os animais em blocos de tal forma que cada bloco possa ser homogêneo dentro de si, por exemplo: com relação a idade; peso; raça; etc.
	Em experimentos instalados segundo o DBC, não importa que as condições experimentais de um bloco sejam diferentes das condições experimentais do outro bloco. O importante é a homogeneidade dentro de cada bloco.
4.1 – Vantagens e Desvantagens do DBC
	
4.1.1 – Vantagens
Se o controle local se fizer necessário, esse delineamento é mais eficiente que o inteiramente casualizado (DIC), pois a formação dos blocos isola as variações controláveis (sistemática) que causam a heterogeneidade, diminuindo sensivelmente a variação ao acaso (aleatória ou erro experimental);
O delineamento não tem restrições de uso, seja com relação ao número de tratamentos (Delineamento em Quadrado Latino –DQL), seja por exigir uniformidade nas condições experimentais (DIC).
4.1.2 – Desvantagens
O delineamento perde eficiência quando o controle local for dispensável, uma vez que o número de graus de liberdade do resíduo será menor ao que se obteria caso o delineamento utilizado fosse o inteiramente casualizado;
Esse delineamento exige que todos os tratamentos tenham o mesmo número de repetições. Logo, quando há perda de parcela a soma de quadrado para tratamento (SQTrat.) é apenas aproximada.
4.2 – Quadro de tabulação dos dados
	Considere um experimento instalado no DBC, com I tratamentos e J repetições (blocos). A coleta de dados da pesquisa pode ser resumida no quadro a seguir:
	
	Tratamentos
	
	Blocos
	1
	2
	.....
	I
	Totais
	1
	Y11
	Y21
	.....
	YI1
	B1
	2
	Y12
	Y22
	.....
	YI2
	B2
	.....
	.....
	.....
	.....
	.....
	.....
	J
	Y1J
	Y2J
	.....
	YIJ
	BJ
	Totais
	T1
	T2
	.....
	TI
	G
	Deste quadro podem-se retirar as seguintes informações:
Nº de unidades experimentais: N = I x J
Total geral: G = 
=
Total para o tratamento I: Ti = 
Total para o bloco J: Bj = 
Média para o tratamento I: 
 = 
Média para o bloco J: 
 = 
Média geral do experimento: 
 = 
4.3 – Análise de Variância (ANOVA)
	Para analisar os dados obtidos no delineamento em blocos casualizados deve-se decompor a variação total, que existe entre todas as observações, na variação devido à diferença entre os efeitos de blocos, na variação devido à diferença entre os efeitos de tratamentos e na variação devido ao acaso, que também é denominada de erro experimental ou resíduo.
	Neste tipo de delineamento a decomposição é feita da seguinte forma:
SQTotal = 
SQTrat. = 
SQBloco = 
SQResíduo = SQTotal – SQTratamento – SQBloco
	O quadro da Análise de Variância (ANOVA) para um experimento instalado no DBC é dado a seguir:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Blocos
	(J – 1)
	SQBlocos
	-
	-
	Tratamentos
	(I – 1)
	SQTrat.
	
	
	Resíduo
	(I – 1)(J – 1)
	SQRes.
	
	
	Total
	(IJ – 1)
	SQTotal
	-
	-
As hipóteses para o Teste F da Análise de Variância são as seguintes:
H0: m1 = m2 = ... = mI = m
H1: não H0
Ou,
Todos os possíveis contrastes entre as médias dos tratamentos são estatisticamente nulos ao nível “α” de probabilidade/significância;
Existe pelo menos um contraste entre as médias dos tratamentos estatisticamente diferente de zero ao nível “α” de probabilidade/significância.
Por fim chega-se a tomada de decisão:
Se Fcal ≥ Ftab → Rejeita-se H0
Se Fcal < Ftab → Não Rejeita-se H0
5 – DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO (DQL)
	Os delineamentos em quadrado latino, assim como os blocos casualizados, consideram os princípios da repetição, casualização e controle local. Neste delineamento o controle é efetuado em duas direções: blocos horizontais (linhas) e blocos verticais (colunas). Entretanto, os delineamentos em quadrado latino são menos usuais na experimentação agrícola, em analogia aos blocos casualizados. 
O Delineamento em Quadrado Latino (DQL) é mais utilizado nas pesquisas em que duas fontes principais de variação estão presentes e precisam ser controladas, sendo sua aplicação mais comum na experimentação animal. A sua configuração é constituída de linhas e colunas, cada qual estruturado como um bloco. Assim, em caso de I tratamentos, o número total de parcelas é I2. No DQL cada tratamento está representado uma única vez em cada linha e em cada coluna. Logo, o DQL é utilizado quando podemos observar duas fontes de variabilidade nas unidades experimentais.
Vejamos alguns exemplos ilustrativos nos quais o seu emprego é recomendado:
Exemplo 1 – Em um laboratório devem ser comparados cinco métodos de análise (A, B, C, D, E), programados em cinco dias úteis e, em cada dia, é feita uma análise a cada hora, totalizando um período de cinco horas.
O quadrado latino assegura que todos os métodos sejam processados uma única vez em cada período e em cada dia. O quadro abaixo ilustra a configuração a ser adotada.
	
	Dias
	Períodos
	1
	2
	3
	4
	5
	1
	A
	E
	C
	D
	B
	2
	C
	B
	E
	A
	D
	3
	D
	C
	A
	B
	E
	4
	E
	D
	B
	C
	A
	5
	B
	A
	D
	E
	C
OBS: Note que os níveis de uma fonte formam as linhas e os níveis da outra fonte formam as colunas.
	Exemplo 2 – Em um experimento com suínos pretende-se avaliar quatro tipos de ração (A, B, C, D), em quatro raças distintas e em quatro idades de animais. Como o interesse é avaliar os quatro tipos de ração, tomam-se as raças e as idades dos animais como blocos, ou seja:
	
	Raças
	Idades
	R1
	R2
	R3
	R4
	I1
	A
	B
	D
	C
	I2
	B
	C
	A
	D
	I3
	D
	A
	C
	B
	I4
	C
	D
	B
	A
5.1 – Características do DQL
O número total de unidades experimentais necessárias é igual a I2, sendo I o número de tratamentos;
Cada tratamento é representado uma única vez, e ao acaso, em cada linha e em cada coluna;
O número de tratamento é igual ao número de repetições;
Este delineamento é aconselhável quando o número de tratamentos oscila entre 3 e 10. Contudo, para 3 e 4 tratamentos somente quando se puder repetir o experimento em vários quadrados latinos.
5.2 – Análise de Variância (ANOVA)
	Admitindo-se K tratamentos, I linhas e J colunas (I = J = K), o esquema da Análise de Variância fica conforme o quadro a seguir:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Linhas
	(I – 1)
	SQLinhas
	-
	
	Colunas
	(J – 1)
	SQColunas
	-
	-
	Tratamentos
	(K – 1)
	SQTratamentos
	QMTrat.
	
	Resíduo
	(K – 1)(K – 2)
	SQResíduo
	QMRes.
	
	Total
	(K2 – 1)
	SQTotal
	-
	-
	
Considerando:
LI = Total da linha i;
CJ = Total da coluna j;
TK = Total do tratamento k;
G = Total geral.
	As somas de quadrados são dadas por:
SQTotal = 
 → C = 
SQLinhas = 
SQColunas = 
SQTratamentos = 
SQResíduo = SQTotal – SQLinhas – SQColunas – SQTratamentos
As hipóteses para o Teste F da Análise de Variância, bem como a tomada de decisão, seguem os mesmos princípios já mencionados para os delineamentos anteriores (DIC e DBC).
Hipóteses:
H0: m1 = m2 = ... = mI = m
H1: não H0
Ou,
Todos os possíveis contrastes entre as médias dos tratamentos são estatisticamente nulos ao nível “α” de probabilidade/significância;
Existe pelo menos um contraste entre as médias dos tratamentos estatisticamente diferente de zero ao nível “α” de probabilidade/significância.
Tomada de decisão:
Se Fcal ≥ Ftab → Rejeita-se H0
Se Fcal < Ftab → Não Rejeita-se H0
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – Para comparar o crescimento de mudas de quatro espécies de eucalipto um pesquisador tomou 20 parcelas similares e distribuiu, inteiramente ao acaso, cada uma das quatro espécies em cinco parcelas experimentais. A partir dos dados fornecidos abaixo, é possível concluir que existe diferença significativa entre as espécies com relação ao crescimento das mudas? Utilizar o nível de significância de 5%.
	
	Espécies
	
	A
	B
	C
	D
	
	25
	31
	22
	33
	
	26
	25
	26
	29
	
	20
	28
	28
	31
	
	23
	27
	25
	34
	
	21
	24
	29
	28
	Totais
	115
	135
	130
	155
2 – Considere as seguintes produções diárias (kg) de leite a 4% de gordura de vacas em lactação submetidas à administração de raízes e tubérculos como suplementação de inverno na alimentação.
	Sem Suplementação
	Mandioca
	Araruta
	Batata Doce
	19,58
	23,40
	35,42
	22,15
	21,07
	22,37
	32,47
	24,37
	23,43
	24,36
	34,48
	26,54
	25,42
	25,12
	33,79
	20,37
	22,81
	22,94
	35,04
	19,54
	23,54
	-
	35,19
	24,06
Ao nível de 5% de significância, concluir a respeito das suplementações utilizadas;
Obter o Coeficiente de Variação;
Obter o Coeficiente de Determinação, interpretando-o.
3 – Foi montado um experimento no DIC com o objetivo de verificar qual meio de cultura(A, B, C e D) propicia maior crescimento de colônias bacterianas. O número de colônias bacterianas, 48 horas após a inoculação, é fornecido abaixo:
	Meio de Cultura
	Nº. de Colônias Bacterianas
	Totais
	A
	-
	19
	31
	15
	30
	95
	B
	40
	35
	46
	41
	33
	195
	C
	39
	27
	20
	29
	45
	160
	D
	27
	12
	13
	28
	30
	110
	Considerando o nível de significância de 5%, pede-se:
Proceder a ANOVA;
Comparar as médias pelo Teste de Tukey.
4 – Aplicar o Teste de Tukey as comparações múltiplas obtidas com as médias dos tratamentos. O experimento foi conduzido utilizando o Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC). Concluir para o nível de 1% de significância.
 ; 
 ; 
 ; 
 ; 
r1 = r2 = r3 = 4 ; r4 = r5 = 3
SQResd. = 438,8631
5 – Com a finalidade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meio de uma alimentação mais apropriada, um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como eram de idades diferentes elas foram divididas em sete grupos, de modo que dentro de cada grupo existiam quatro ovelhas com idade similar e homogeneidade para as demais características. Em cada grupo foi realizado um sorteio para distribuir inteiramente ao acaso quatro tipos de alimentação. O experimento iniciou-se no momento de se realizar uma nova tosquia, obtendo os seguintes resultados expressos em unidades de medidas de lã por animal:
	
	Grupos
	
	Alimentação
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	Totais
	1
	30
	32
	33
	34
	29
	30
	33
	221
	2
	29
	31
	34
	31
	33
	33
	29
	220
	3
	43
	47
	46
	47
	48
	44
	47
	322
	4
	23
	25
	21
	19
	20
	21
	22
	151
	Totais
	125
	135
	134
	131
	130
	128
	131
	914
Avaliar os tipos de alimentação. Adotar α = 1%.
6 – Com os resultados apresentados a seguir, resultantes de um experimento conduzido no Delineamento em Quadrado Latino (DQL), pede-se: (α = 5%)
	
	Dias
	
	Períodos
	1
	2
	3
	4
	5
	Totais
	1
	40,8 (A)
	57,3 (E)
	61,8 (C)
	38,6 (D)
	50,6 (B)
	249,1
	2
	66,3 (C)
	46,5 (B)
	54,8 (E)
	38,7 (A)
	30,2 (D)
	236,5
	3
	33,4 (D)
	70,6 (C)
	53,2 (A)
	41,7 (B)
	50,1 (E)
	249,0
	4
	60,2 (E)
	35,6 (D)
	54,2 (B)
	64,0 (C)
	45,3 (A)
	259,3
	5
	51,7 (B)
	48,7 (A)
	29,8 (D)
	55,3 (E)
	65,7 (C)
	251,2
	Totais
	252,4
	258,7
	253,8
	238,3
	241,9
	1.245,1
ANOVA;
Teste de Tukey.
CONTEÚDO VI
EXPERIMENTOS FATORIAIS
1 – INTRODUÇÃO 
	Os Experimentos Fatoriais são aqueles em que se estudam dois ou mais fatores simultaneamente, cada qual com dois ou mais níveis. O experimento fatorial é um tipo de esquema, ou seja, uma maneira de organizar os tratamentos, não constituindo um tipo de delineamento.
	Os experimentos fatoriais são montados seguindo determinado tipo de delineamento (DIC, DBC ou DQL). Neles, os tratamentos são obtidos pelas combinações dos níveis dos fatores. Cada nível de um fator combina com todos os níveis dos outros fatores.
	Exemplo:
Fator A → A1 ; A2 ; A3 ; A4 (quatro níveis)
Fator B → B1 ; B2 ; B3 (três níveis)
A combinação dos níveis entre os Fatores A e B totalizam 12 tratamentos (4Ai x 3Bj).
	O objetivo da aplicação dos experimentos fatoriais é avaliar o efeito/influência de diversos fatores sobre a variável em estudo, bem como o relacionamento entre os fatores sobre a variável resposta.
	A simbologia comumente utilizada é indicar o produto dos níveis dos fatores em teste. Exemplo: o experimento fatorial (2 x 4 x 6) informa que foram testados três fatores simultaneamente. O primeiro com dois níveis, o segundo com quatro níveis e o terceiro com seis níveis. Quando o número de níveis é igual para todos os fatores pode-se utilizar a seguinte simbologia: nF, em que: F é o número de fatores e n é o número de níveis de cada fator. Exemplo: 43 → indica que no experimento fatorial foram testados três fatores com quatro níveis cada (4 x 4 x 4).
2 – VANTAGEM E DESVANTAGEM DO EXPERIMENTO FATORIAL
2.1 – VANTAGEM
Permite o estudo dos efeitos principais dos fatores e a interação entre fatores;
2.2 – DESVANTAGEM
Requer maior número de unidades experimentais em comparação aos experimentos simples.
3 – EFEITOS AVALIADOS EM UM EXPERIMENTO FATORIAL
	Nos experimentos fatoriais podem ser estudados os seguintes efeitos:
Efeito Principal: é o efeito de cada fator, independente do efeito dos outros fatores;
Efeito da Interação: é o efeito simultâneo dos fatores à variável em estudo. Ocorre interação entre os fatores quando os efeitos dos níveis de um fator são modificados pelos efeitos dos níveis de outros fatores.
4 – QUADRO DE TABULAÇÃO DOS DADOS
	Uma maneira de tabular os dados de um experimento fatorial com dois fatores A e B, com i e j níveis, respectivamente, instalados segundo o DIC com k repetições, é fornecida abaixo:
	A1
	A2
	...
	AI
	B1
	B2
	...
	BJ
	B1
	B2
	...
	BJ
	...
	B1
	B2
	...
	BJ
	Y111
	Y121
	...
	Y1J1
	Y211
	Y221
	...
	Y2J1
	...
	YI11
	YI21
	...
	YIJ1
	Y112
	Y122
	...
	Y1J2
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	Y11K
	Y12K
	...
	Y1JK
	Y21K
	Y22K
	...
	Y2JK
	...
	YI1K
	YI2K
	...
	YIJK
	A1B1
	A1B2
	...
	A1BJ
	A2B1
	A2B2
	...
	A2BJ
	...
	AIB1
	AIB2
	...
	AIBJ
Total do ij-ésimo tratamento : (AB)ij = 
Total do i-ésimo nível do fator A: Ai = 
Total do j-ésimo nível do fator B: Bj = 
Total geral: G = 
Média do i-ésimo nível do fator A: 
Média do j-ésimo nível do fator B: 
Média geral: 
A tabulação dos dados fornecida acima pode ser resumida no quadro a seguir:
	Bj \ Ai
	A1
	A2
	...
	AI
	Total
	B1
	A1B1
	A2B1
	...
	AIB1
	B1
	B2
	A1B2
	A2B2
	...
	AIB2
	B2
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	BJ
	A1BJ
	A2BJ
	...
	AIBJ
	BJ
	Total
	A1
	A2
	...
	AI
	G
5 – ANÁLISE DE VARIÂNCIA
	A Análise de Variância de um experimento fatorial é feita desdobrando-se a soma de quadrados de tratamentos (SQTrat.) nas partes devido aos efeitos principais de cada fator e na parte devido à interação entre os fatores.
	O quadro abaixo representa a ANOVA de um experimento fatorial com dois fatores A e B, com i e j níveis, respectivamente, e com k repetições, instalado segundo o DIC.
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Fator A
	(I – 1)
	SQA
	QMA
	
	Fator B
	(J – 1)
	SQB
	QMB
	
	Interação (AxB)
	(I – 1)(J – 1)
	SQ(AxB)
	QM(AxB)
	
	Tratamento
	(IJ – 1)
	SQTrat.(AB)
	-
	-
	Resíduo
	(IJ)(K – 1)
	SQResíduo
	QMRes.
	
	Total
	(IJK – 1)
	SQTotal
	-
	-
SQTotal = 
SQTrat(AB) = 
SQA = 
SQB = 
SQ(AxB) = SQTrat(AB) – SQA – SQB
SQResíduo = SQTotal – SQTrat(AB)
ou
SQResíduo = SQTotal – SQA – SQB – SQ(AxB)
As hipóteses estatísticas para o Teste F da análise de variância devem ser lançadas para cada um dos efeitos principais, como também para a interação. As hipóteses serão assim enunciadas:
Efeitos Principais
Fator A:
H0: mA1 = mA2 = ... = mAI = m
H1: Não H0
Ou,
H0: Todos os possíveis contrastes entre as médias dos níveis do fator A são estatisticamente nulos ao nível de α% de probabilidade;
H1: Existe pelo menos um contraste entre as médias dos níveis do fator A estatisticamente diferente de zero ao nível de α% de probabilidade.
	Fator B:
H0: mB1 = mB2 = ... = mBJ = m
H1: Não H0
Ou,
H0: Todos os possíveis contrastes entre as médias dos níveis do fator B são estatisticamente nulos ao nível de α% de probabilidade;
H1: Existe pelo menos um contraste entre as médias dos níveis do fator B estatisticamente diferente de zero ao nível de α% de probabilidade.
Efeito da Interação
H0: Os fatores atuam independentemente;
H1: Os fatores não atuam independentemente.
	Os valores de Fcal obtidos na análise de variância para cada uma das fontes de variação em teste(efeitos principais e efeito da interação) devem ser comparados com os valores de Ftab apropriados, os quais serão obtidos na tabela para valores de F, de acordo com o nível de significância (α) desejado, graus de liberdade da fonte de variação em teste (n1) e o grau de liberdade do resíduo (n2).
	A Tomada de Decisão deve ser feita inicialmente para a interação. Se Fcal ≥ Ftab → A decisão é Rejeitar H0 ao nível de significância em que foi executado o teste. Caso contrário (Fcal < Ftab) → Não Rejeita H0.
	A Não Rejeição de H0 para a interação implica que os fatores atuam independentemente. Assim, devem-se estudar os fatores isoladamente. Neste caso, observa-se o resultado do teste F para cada fator e, caso ele seja significativo, aplica-se um teste de média para comparar os níveis do fator.
	A Rejeição de H0 para a interação implica que os fatores não atuam independentemente. Assim, não se devem estudar os fatores isoladamente. Neste caso, deve-se proceder a uma nova análise estatística de cada fator dentro dos níveis do (s) outro (s) fator (es).
EXERCÍCIO PROPOSTO
1 – Considere um Experimento Fatorial com dois fatores: Variedade de Sorgo com três níveis e Adubação Nitrogenada com quatro níveis. Ele foi instalado utilizando o DBC, com três repetições (blocos). Os dados, para os totais de produção, são apresentados a seguir:
	
	Adubação Nitrogenada
	
	Variedade de Sorgo
	1
	2
	3
	4
	Totais
	1
	25,4
	27,8
	29,6
	31,4
	114,2
	2
	23,1
	25,0
	27,2
	29,6
	104,9
	3
	20,5
	22,8
	24,8
	26,8
	94,9
	Totais
	69,0
	75,6
	81,6
	87,8
	314,0
Dados: SQResd. = 36,2780 e α = 5%
Pede-se:
ANOVA;
Teste de Tukey.
CONTEÚDO VII
REGRESSÃO LINEAR
1 – INTRODUÇÃO
	A Análise de Regressão consiste na realização de uma análise estatística com o objetivo de verificar a existência de uma relação funcional entre variáveis dependente e independente.
	A expressão Análise de Regressão Simples indica que a predição da variável dependente é feita por uma única variável independente, enquanto a Análise de Regressão Múltipla diz respeito à predição da variável dependente com base em duas ou mais variáveis independentes.
	Na análise de regressão obtém-se uma equação que tenta explicar a variação da variável dependente pela variação dos níveis da (s) variável (is) independente (s). As variáveis independentes são classificadas como quantitativas, cujos níveis representam diferentes quantidades de um mesmo fator.
2 – ANÁLISE DE REGRESSÃO
	Para tentar estabelecer uma equação que representa o fenômeno em estudo pode-se plotar (desenhar) um Diagrama de Dispersão para verificar como se comporta os valores da variável dependente (Y) em função da variação dos níveis da variável independente (X). O diagrama de dispersão é um gráfico no qual cada ponto plotado representa um par observado de valores para as variáveis dependente e independente. O valor da variável independente X é plotado no eixo horizontal, enquanto o valor da variável dependente Y no eixo vertical.
	O comportamento de Y em relação a X pode-se apresentar de diversas maneiras: linear, quadrático, exponencial, etc. Para estabelecer o modelo apropriado para explicar o fenômeno, deve-se verificar qual o tipo de curva e equação de um modelo matemático que mais se aproxima dos pontos plotados no diagrama de dispersão.
	Contudo, pode-se observar que os pontos do diagrama de dispersão não se ajustarão perfeitamente ao modelo matemático proposto. Existirá, na maioria dos pontos, uma distância entre os pontos do diagrama e os pontos do modelo matemático. Isto é devido ao fato do fenômeno em estudo não ser um fenômeno matemático e sim um fenômeno sujeito a influências que acontecem ao acaso. Desta forma, o objetivo da regressão é obter um modelo matemático que melhor se ajuste aos valores observados de Y em função da variação dos níveis da variável X.
2.1 – Método e Estimação dos Parâmetros do Modelo de Regressão Linear
	Um método adequado para estimar a equação de regressão linear simples entre duas variáveis X e Y será aquele que minimize as distâncias entre os pontos do diagrama de dispersão e do modelo matemático. Este método é denominado de Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Nele, a soma dos quadrados das distâncias entre os pontos do diagrama de dispersão e os respectivos pontos na curva da equação estimada é minimizada, obtendo assim uma relação funcional entre X e Y com o mínimo de erro possível, de acordo com o modelo escolhido.
	Seja o modelo estatístico da Regressão Linear Simples (1º grau):
Yi = β0 + β1Xi + ei 
em que:
Yi → é o valor observado para a variável dependente Y no i’ésimo nível da variável independente X;
β0 → é a Constante de Regressão. Representa o intercepto da reta com o eixo Y;
β1 → é o Coeficiente de Regressão. Representa a variação de Y em função da variação de uma unidade da variável X;
Xi → é o i’ésimo nível da variável independente X (i = 1, 2, 3, ..., n);
ei → é o erro associado a distância entre o valor observado Yi e o seu respectivo correspondente na curva do modelo proposto (valor estimado).
	Os estimadores de β0 e β1 são obtidos pelo MMQ, minimizando a soma de quadrados dos erros, por meio de derivações. As fórmulas pelas quais se estimam os valores de β0 e β1 são:
	Uma vez obtida as estimativas de β0 e β1, podemos escrever a equação estimada de regressão linear simples (1º grau) da seguinte maneira:
2.2 – Análise de Variância da Regressão
	A obtenção da equação estimada apenas estabelece uma relação funcional entre a variável dependente e a variável independente para o fenômeno em estudo. A simples obtenção da equação estimada não responde ao pesquisador se a variação dos níveis da variável independente (X) influencia significativamente a variável dependente (Y).
	Para solucionar esta indagação é necessário realizar um teste estatístico para a estimativa do coeficiente de regressão (
). Um teste que pode ser realizado para verificar tal fato é o Teste F da Análise de Variância.
	O quadro para Análise de Variância da Regressão fica assim estabelecido:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Regressão
	p
	SQRegressão
	
	
	Resíduo da Regressão
	n – 1 – p 
	SQResíduo
	
	
	Total
	n – 1 
	SQTotal
	-
	-
em que:
p → é o número de Coeficientes de Regressão (não inclui o β0);
n → é o número de observações ou níveis;
SQTotal = 
SQRegressão = 
SQResíduo = SQTotal – SQRegressão
As hipóteses estatísticas para o Teste F são as seguintes:
H0: β1 = 0; O que equivale a dizer que a variável independente não exerce influência na variável dependente, de acordo com o modelo proposto;
H1: β1 ≠ 0; O que equivale a dizer que a variável independente exerce influência na variável dependente, de acordo com o modelo proposto.
	Considerando Fα (p ; n – 1 – p), a regra decisória para o Teste F é a seguinte:
Se o valor do F calculado for maior ou igual ao valor do F tabelado, então Rejeita H0 ao nível α% de probabilidade. Pode-se inferir que o modelo proposto é adequado para descrever o fenômeno.
Se o valor do F calculado for menor que o valor do F tabelado, então Não Rejeita H0 ao nível α% de probabilidade. Infere-se que o modelo proposto não é adequado para descrever o fenômeno.
2.3 – Coeficiente de Determinação
	O Coeficiente de Determinação, denominado R2 (Regressão Linear Múltipla) ou r2 (Regressão Linear Simples), fornece uma informação auxiliar ao resultado da análise de variância da regressão, verificando se o modelo proposto é adequado ou não para descrever o fenômeno.
R2 = r2 = 
	O valor do coeficiente de determinação varia no intervalo de 0 a 1. Valores próximos de 1 indicam que o modelo proposto é adequado para descrever o fenômeno. Ele representa a percentagem da variação total (Y – variável dependente) que é explicada pela equação de regressão (X – variável independente).
2.4 – Gráfico da Equação de RegressãoEstimada
O Gráfico da Equação de Regressão Estimada pode ser obtido atribuindo valores para a variável independente e, consequentemente, obtendo os respectivos valores estimados para a variável dependente. Esses pares de valores são plotados nos respectivos eixos X e Y, obtendo assim o gráfico da equação de regressão estimada. 
A distância dos pontos observados no experimento em relação ao gráfico (curva ou reta) da equação de regressão estimada também é uma indicação da adequação ou não do modelo de regressão proposto para descrever o fenômeno.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – De acordo com os dados fornecidos abaixo para a variável X (dose de Zn em ppm) e para a variável Y (MS(g)/planta), pede-se:
Obter a equação de regressão de 1º grau;
Verificar se o modelo de regressão linear de 1º grau é adequado para descrever a relação entre as variáveis. Utilize os métodos vistos em sala de aula: i) ANOVA; ii) Coeficiente de Determinação; iii) Gráfico da Equação de Regressão Estimada. (α = 5%).
	X
	1,0
	2,5
	4,0
	5,5
	7,0
	8,5
	Y
	20,3
	26,3
	29,6
	31,1
	32,2
	34,7
2 – Um laboratório está interessado em medir o efeito da temperatura sobre a potência de um antibiótico. Sete amostras foram guardadas em diferentes temperaturas (ºC) e após 15 dias mediu-se a potência. Os resultados estão no quadro abaixo:
	Temperatura (ºC)
	20
	30
	40
	50
	60
	70
	80
	Potência
	43
	41
	34
	30
	26
	23
	18
Estime a equação de regressão de 1º grau;
Proceder a ANOVA (α = 5%);
A que temperatura (ºC) a potência do antibiótico seria nula?
VIII – LISTAS DE EXERCÍCIOS
CONTEÚDO I – Distribuição Amostral e Intervalo de Confiança
1 – O peso dos ovos de determinada linhagem de ave de postura tem distribuição normal, com média de 65 gramas e desvio padrão de cinco gramas. Considere uma amostra aleatória de uma dúzia (caixa) desses ovos. Qual a probabilidade de que o peso dessa caixa esteja compreendido entre o intervalo de 750 e 825 gramas?
2 – Para avaliar a precisão de uma balança de laboratório, pesa-se repetidas vezes um objeto padrão de peso conhecido igual a 10 gramas. As leituras da balança tem distribuição normal. Sabe-se que o desvio padrão das leituras é 0,0002 gramas. Pesa-se o objeto cinco vezes e o resultado médio é 10,0023 gramas. 
Estabeleça um intervalo de 95% de confiança para a média de repetidas pesagens do objeto;
Quantas pesagens ou medidas devem entrar no cálculo da média a fim de que se obtenha uma margem de ( 0,0001 de erro com 95% de confiança?
3 – Uma agência de propaganda, que atende a uma das principais estações de rádio, gostaria de calcular a quantidade média de tempo que a audiência gasta diariamente ouvindo radio. rio?ess99% de confiança, que tamanho de amostra a num intervalo de ������������������������������������������������������������A partir de estudos anteriores, o desvio padrão é calculado em 45 minutos.
Que tamanho de amostra é necessário se a agência quiser ter 90% de confiança de estar correta em um intervalo de ± 5 minutos?
Se for desejado um nível de 99% de confiança, que tamanho de amostra é necessário para o mesmo intervalo da alínea anterior (± 5 minutos)?
Faça inferências a respeito dos tamanhos das amostras encontrados nas alíneas anteriores (a e b), explicando o motivo de ter encontrado dimensões distintas.
4 – O tempo de reação de um novo medicamento pode ser considerado como tendo distribuição normal. Deseja-se fazer inferência sobre a média que é desconhecida por meio de um intervalo de confiança. Vinte pacientes foram sorteados ao acaso e tiveram seu tempo de reação anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos):
	2,9 
	3,4 
	3,5 
	4,1 
	4,6 
	4,7 
	4,5 
	3,8 
	5,3 
	4,9
	4,8 
	5,7 
	5,8 
	5,0 
	3,4 
	5,9 
	6,3 
	4,6 
	5,5 
	6,2 
Obter um intervalo de 95% de confiança para a média do tempo de reação;
Obter um intervalo de 99% de confiança para a média do tempo de reação;
Estabelecer a amplitude (comprimento) para cada intervalo de confiança obtido nas alíneas anteriores (a e b). Faça inferências pertinentes ao comprimento.
5 – Estudos anteriores levam a supor que crianças de dois meses alimentadas exclusivamente com leite do tipo A sofrem um aumento de peso que segue distribuição normal, com média desconhecida, porém de variância 9.000 gramas2. Escolhe-se ao acaso 20 crianças de dois meses, alimentando-as exclusivamente com leite do tipo A. Nesta amostra o aumento de peso médio foi de 475 gramas. Obtenha um intervalo de 99% de confiança para o aumento médio do peso das crianças nas condições apresentadas.
6 – O consumo mensal de calorias (kcal/g) de certa espécie de esquilos segue distribuição normal com desvio padrão 0,16. Recolheu-se uma amostra aleatória de dimensão 18 cuja média amostral foi de 0,41.
Obtenha um intervalo de confiança a 95% para o consumo médio de calorias;
Qual deve ser a dimensão da amostra para que um intervalo de confiança a 95% para a média tenha amplitude 0,2?
7 – Um conjunto, composto por 12 animais em experiência, foi alimentado com uma dieta especial durante determinado tempo e verificou-se que os ganhos de peso (em kg) foram de: 25 – 22 – 30 – 26 – 24 – 39 – 32 – 26 – 32 – 33 – 28 – 30. Encontrar os limites de confiança para a média ao nível de 90% de probabilidade.
8 – Qual deve ser a dimensão da amostra a recolher de uma população normal de valor médio μ e desvio padrão 10 de modo que o intervalo de confiança para μ a 99% tenha amplitude 1?
9 – Considere que o comprimento dos corpos de uma espécie de camarão de água doce apresente distribuição normal. Uma amostra de 60 camarões apresentou uma média de 5,315 cm e desvio padrão 0,8293 cm.
Determine um intervalo de confiança a 99% para a média da população;
Qual o erro padrão associado à média da amostra?
10 – A altura (em mm) da espuma de sabão em uma bacia é importante para os fabricantes de detergentes e supõe-se que sua distribuição é normal. Foi efetuada uma experiência colocando a mesma quantidade de detergente em 10 bacias de tamanho padrão e, depois de certa agitação da água, mediu-se a altura da espuma. Obtiveram-se os seguintes resultados:
 ; 
Determine uma estimativa pontual para a média e para o desvio padrão;
Determine um intervalo a 99% de confiança para a média;
Comente os dois tipos de estimativa obtidos (nas alíneas anteriores) para a média.
CONTEÚDO II – Testes de Hipóteses
1 – Um experimentador deseja testar o efeito de certo fertilizante na produção de milho. Para realizar o experimento tinha-se 12 unidades experimentais de áreas iguais, onde 7 receberam o fertilizante e as outras não. As demais condições foram mantidas iguais. As produções em kg/unidade experimental foram as seguintes:
	c/ fertilizante
	25
	35
	45
	30
	20
	25
	30
	s/ fertilizante
	35
	25
	20
	15
	30
	
	
	De posse dos dados acima, pode o experimentador concluir que há aumento de produção de milho por causa do fertilizante, com nível de significância igual a 5%?
2 – Desejando comparar os efeitos de dois analgésicos, A e B, em termos do tempo de ação sobre pacientes com certa doença, ambos foram aplicados a 14 doentes, em dias diferentes, sendo que 7 pacientes receberam primeiro o A, e os outros 7 primeiro o B. A situação foi controlada de forma a não haver interferência do efeito de um sobre o outro. Os resultados (em minutos) foram:
	Paciente
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	A
	362
	345
	356
	370
	360
	365
	345
	363
	358
	332
	335
	370
	335
	362
	B
	320
	330
	315
	325
	323
	328
	318
	322
	320
	310
	308
	332
	307
	325
	Testar a hipótese de diferença nula entre as médias populacionais, ao nível de significância de 1%.
3 – Considere uma amostra de 10 leitões da raça Large White. Aos 21 dias de idade foram feitas medições dos seus pesos (kg), fornecendo os seguintes