Apostila de Exercícios Resolvidos 2 - TEORIA DAS ESTRUTURAS I -

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1 
 FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 - TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
PROVA FINAL – TURMA: J 
 
 
1ª QUESTÃO: VALOR: “20 PONTOS”. DADA A ESTRUTURA ABAIXO, PEDE-
SE: 
01) Calcular as Reações de Apoio. 
02) Calcular os Esforços N.Q e M, somente da Barra 
CD
. 
03) Traçar os Diagramas correspondentes. 
 
OBS.: Utilizar duas casas decimais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
KNHKNHHHHH AFAFA 72,10216150 

 
KNVKNVVxxxM FFFA 83,1620212012265,6204150 
 
KNVVVKNVVV AFAFA 17,320200 
 
KN28,10HKN49,92H9
04249,50H907x6V3H90M
FF
FFF)DIR(D


 
SEÇÃO S ( 0  x  5 ) 
NS = - 15 + 10,72 = - 4,28 KN 
KNQx
Qxxx
KNQxxxVQ
S
S
SAS
83,165
079,079,017,34
17,30417,34



 
MS = VA (x + 4) + HA x 9 – 15 x 5 – 4 .  / 2 










0M5x
mxKN42,35M79,0x
mxKN16,34M0x
48,21x2)4x(17,3
S
)MÁX(
S
S
2
 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 – TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
PROVA SUPLEMENTAR – TUMA: A 
 
 
 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dada a questão acima, pede-se calcular os esforços N, Q e M na barra 
AB
. 
Traçar os diagramas correspondentes. Valor: 22 Pontos. 
 
 
 
OBS.: UTILIZAR DUAS CASAS DECIMAIS. 
 
 
 
 5 
 
 
DADA A ESTRUTURA ACIMA PEDE-SE CALCULAR OS ESFORÇOS N, Q e M 
NA BARRA 
CB
. TRAÇAR OS DIAGRAMAS CORRESPONDENTES. 
 


KNHHKNHHxHHH FFFAAF 26,174,2440410
 
 

KNVKNVVV FFA 97,880
 




KN74,2HKN15H3
)97,0(7KN15H3V70112x4x25x4x1H3V70M
AA
AAAAF
 
 

KN8H4V302x4x1H4V30M AAAA)ESQ(B
 


3xKN8H4V3
4xKN15H3V7
AA
AA
 
KNV
KNHV
KNHV
A
AA
AA
3637
24129
601228



 
37VA = -36 KN 

VA = - 0,97 KN 
 6 
SEÇÃO S ( 0  x  4) 
 
NS = HF = - 1,26 KN 
x
xVQ FS
297,8
2


 







KNQx
KNQx
S
S
97,04
97,80
 
 
MS = 8,97  + HF x 7 – 11 – 2  . /2 = 8,97  - 8,82 – 11 – 2 
 










mx
mx
x
xx
94,3
03,5
2
09,197,8
18,128,7946,80
82,1997,82
 











0M494,3x
006,0M4x
mxKN88,5M2x
mxKN82,19M0x
S
S
S
S
 
 
 
 
 
 
 
 
19,82 
 7 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 – TEORIA DAS ESTRUTURAS I – TURMA: J 
PROVA SUPLEMENTAR – TURNO NOTURNO 
 
 
 
QUESTÃO: VALOR: (22 PONTOS) 
 
Dada a Estrutura abaixo pede-se calcular os esforços solicitantes N,Q e M 
na barra 
CDE
 . Traçar os diagramas correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Utilizar duas casas decimais. 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
 
 
 


KNHKNHHH BBA 67,6120
 
 

KNVKNVVVVV BBABA 43,13240240
 




KN204V14H3
03x127x24V14H30M
AA
AAB
 
 

KN18V7H305,134V7H30M AAAA)esq(D
 
 


)1(KN18V7H3
KN204V14H3
AA
AA
 



KNV
KNVH
KNVH
A
AA
AA
22221
1873
204143
 
 Calculo de HA = 
KNVA 57,10
 
 
KN67,18HKN56H3
KN1857,107H3
AA
A

 
 
 
 9 
 
Cálculo da Seção S1 ( 0  x  6 ) 
NS1 = - HA = - 18,67 KN 
 









KNQx
Qx
KNQx
xxVQ
S
S
S
AS
43,136
064,2
57,100
457,104
1
1
1
1
 
 
MS1 = - HA x 3 + VA ( + 4) – 4  – 
2
x
 = - 55,71 + 10,57 (  +4) – 2 2 
 
043,1357,102
0228,4257,1071,55
2
2


xx
xx 





m13,2"x
m16,3'x 
0Mm13,2x
mKN01,22M6x
mKN54,0Mm64,2x
0M3x
mKN43,13M0x
1S
1S
(max)
1S
1S
1S





 
 
 10 
 
 11 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
3º T.A. DE TEORIA DAS ESTRUTURAS I – DES010 
TURMA: J – NOTURNO 
 
 
 
DADA A ESTRUTURA ABAIXO, PEDE-SE CALCULAR O MOMENTO FLETOR 
NAS BARRAS 
DC
 E 
CB
. TRAÇAR OS DIAGRAMAS CORRESPONDENTES. 
VALOR: 22 PONTOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: UTILIZAR DUAS CASAS DECIMAIS 
 
 
 
 12 
 
 


KNHHHHH DADA 03,7003,430
 
 

KNVVVVV ADAD 96,7096,70
 
KN95,19H4V13
0103,4296,7H4V130M
AA
AAD

 
 
 

KN6H6V3023H6V30M AAAA
)ESQ(
B
 
KNHV
KNHV
AA
AA
663
95,19413

 


4
6
KNV
KNHV
KNHV
A
AA
AA
7,14366
242412
7,1192478



 
 
KNVA 18,2
 
VD + 2,18 = 7,96  VD = 5,78 KN 
3 (-2,18) + 6 HA = 6 KN 6 HA = 6 + 6,54 HA = 12,54 / 6 = 2,09KN 
HA = 2,09 KN 
HD = 7,03 – 2,09 = 4,94 HD = 4,94KN 
 
Dada a Estrutura acima pede-se calcular o momento fletor nas barras 
DC
 e 
CB
. Traçar os diagramas correspondentes. 
 
 13 
Seção S1 ( 0  z  4,47 ) 
 
MS1 = (-HD sen  - VD cos ) z + 2z x
2
z
= 
-7,37 z + z2








mKN95,12M07,4z
mKN74,10M2z
0M0z
1S
1S
1S
 
 
Seção S2 ( 0  z  6 ) 
MS2 = - VD ( + 4) + 7,96 ( + 2) + 4,03 x 1 – 4,94 x 2 = 
= -5,78 ( + 4) + 7,96 ( + 2) – 5,85 





003,0M6x
mKN05,13M0x
2S
2S
 
ou 
Seção S2 ( 4  z 10 ) 
MS2 = - VD x + 7,96 (  – 2) – HD x 2 + 4,03 x 1 = 
= - 5,78  + 7,96 (  – 2 ) – 5,85 





0mKN03,0M10x
mKN05,13M4x
2S
2S
 
DIAGRAMAS 
(M) em KN x m 
 
 
 14 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
3º T.A.DE TEORIA DAS ESTRUTURAS I – DES010 
TURMA A – DIURNO 
 
 
QUESTÃO: DADA A ESTRUTURA ABAIXO, PEDE-SE CALCULAR O 
MOMENTO FLETOR NAS BARRAS 
DC
 e
CB
. TRAÇAR OS DIAGRAMAS 
CORRESPONDENTES. VALOR: 22 PONTOS. 
 
 
 
 
 
 
OBS: UTILIZAR DUAS CASAS DECIMAIS. 
 
 15 
 
 


KNHHH AA 07,601207,180
 
 

KNVVV AA 07,18007,180
 
 

26,227M0MA48505,707,185,1007,180M AA
 KN x m 
50261  zxzM S
 
 












0M08,4z
mKN93,3M24,4z
mKN48,13M12,2z
mKN50M0z
50z3
1S
1S
1S
1S
2
 
 08,4
6
5,240
50120 


 xx
 
 
 
 
 16 
Seção S2 ( 3  x  9 ) 
 
 
MS2 = -18,07 x (  –1,5) – 18,07 x 1,5 +50 





mKN63,112M9x
mKN21,4M3x
2S
2S
 
Seção S2 ( 0 x  6 ) 
 
MS2 = 50 – 18,07 x 1,5 – 18,07 x ( + 1,5) 





mKN63,112M6x
mKN21,4M0x
2S
2S
 
 
DIAGRAMA 
 17 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 – TEORIA DAS ESTRUTURASI 
TURMAS A e J 
 
 
 
1ª QUESTÃO: (VALOR: 18 PONTOS) 
 
NA ESTRUTURA ABAIXO, PEDE-SE: 
 
1 – CALCULAR AS REAÇÕES DE APOIO; 2 – CALCULAR AS EQUAÇÕES 
DOS ESFORÇOS SOLICITANTES; 3 – DETERMINAR OS DIAGRAMAS 
CORRESPONDENTES. 
 
OBS.: UTILIZAR TRES CASAS DECIMAIS. 
 
 
 
 
 
 
 18 
 


KNHH A 5,100
 
 

KNVVVVVV ADADA
P
900
 



KN9V064625,27xV0M DDA
 
cos  = 0,6 – sen  = 0,8 
 
 
Seção S1 ( 0 z  5 ) 
 
NS1 = - HA cos  - VA sen  = - 13,5 KN 
 
QS1 = VA cos  - HA sen  = - 3 KN 
 
MS1 = (VA cos  - HA sen ) z = -3 z 
 






mKN15M5z
0M0z
z3
1S
1S
 
 
Seção S2 ( 0  x  4) 
 
 NS2 = - HA = - 10,5 KN 
QS2 = VA = 9 KN 
MS2 = VA (+ 3) – HA x 4 
= 9 (x + 3) – 42 








mKN21M4x
0M67,1x
mKN15M0x
2S
2S
2S
 
 
 
 
Seção S3 ( 0  y  4 ) 
 
NS3 = - VD = - 9 KN 






KNQy
Qy
yQ
S
S
S
5,104
00
625.2
3
3
3
 
 
MS3 = 2,625 x y2/2 








mKN21M4y
mKN25,5M2y
0M0y
3S
3S
3S
 
 
 
 
 
 
 19 
 
 
 
 
 
 20 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 –TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
PROVA SUPLEMENTAR – TURMA J 
 
OBS.: UTILIZAR DUAS CASAS DECIMAIS. 
 
1ª QUESTÃO: (VALOR 08 PONTOS) 
 
DADA A ESTRUTURA ABAIXO, PEDE-SE CALCULAR AS REAÇÕES DE 
APOIO, A EQUAÇÃO DO ESFORÇO SOLICITANTE M (MOMENTO FLETOR) E 
TRAÇAR O DIAGRAMA CORRESPONDENTE. 
 
 
 
 



HH 0
= 6 KN 
 

0365,552V80M CA
 
  

KNVKNVKNVVV CCC 63,4378100
 
 
KNVA 37,563,410 
 
 
Seção S1 ( 0  z  4,24) Seção S2 ( 0  x  5) 
MS1 = (5,37 x 0,71-6 x 0,71) z MS2 =4,63  – 2 ./2 = 4,63  – 2 
 
= -0,45 z 





mKN9,1M24,4z
0M0z
1S
1S
 











mKN85,1M5x
0M63,4x
mKN33,5M5,2x
0M0x
2S
2S
2S
2S
 
 21 
 x ( 4,63 – x ) =0 
 
 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010-TEORIA DAS ESTRUTURAS I – TURMA A 
PROVA SUPLEMENTAR 
 
1ªQUESTÃO: ( VALOR 08 PONTOS) 
 
DADA A ESTRUTURA ABAIXO, PEDE-SE: 
1 – Calcular as Reações de Apoio 
2 – Calcular a Equação do Momento Fletor 
3 – Traçar o Diagrama Correspondente 
 
OBS.: Utilizar duas casas decimais. 
 
 
 22 
  


KNHH 100
 
  

KNVV 60
 
  

mKN58M0410361M0M
 
 
Seção S1 ( 0 z 5 ) 
 
MS1 = -10 x 0,8 x z = -8z





mKN40MSz
0M0z
1S
1S
 
 
Seção S2 ( a    6 ) 
 
 MS2 = - M + 6 – 1 . /2 
 
-58 + 6 – 2/2 








mKN40M6x
mKN5,44M3x
mKN58M0x
2S
2S
2S
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 – TEORIA DAS ESTRUTURAS 
3º TRABALHO – TURMA A 
 
 
 
 
 
 
DADA A ESTRUTURA ACIMA, PEDE-SE: 
 
a) Diagrama de Corpo Livre. 
b) Cálculo das Reações de Apoio. 
c) Cálculo das Equações dos Esforços M,N e Q somente das Barras 
CD
 e 
DE
. 
d) Traçar os Diagramas Correspondentes. 
 
OBS.: Usar duas Casas Decimais. 
 
 
 24 
a) iagrama de Corpo Livre. 
b) Cálculo das Reações de Apoio. 
 


KNHHHHHH AEAEA 67,200
 
 

KNVKNVVV AEA 67,5140
 
 

I)3(KN53H2V705,3724H2V70M EEEEA
 
 

IIKN9H6V305,132H6V30M EEEE)ESQ(C
 
 
 
KNVKNV
KNHV
KNHV
EE
EE
EE
33,815018
963
159621



 
 
De II : -3 ( 8,33) + 6 HE = - 9 KN 

 6HE = 15,99 KN 

HE = 2,67 KN 
 
c) Cálculo das equações dos esforços M,N e Q 
 
Seção S1 ( 0  y 9 ) 
 
NS1 = - VE = - 8,33 KN 
QS1 = HE = 2,67 KN 
MS1 = - HE y = - 2,67 y





mKN03,24M9y
0M0y
1S
1S
 
 
 
 
OBS.: Transportamos a força horizontal HE para o ponto D, com o seu respectivo 
momento de transporte. MD = ( 2,67 x 9 ) KN x m 
 
KN 
 
 
24,03 KN x m 
 
 25 
MS2 = 8,33 x 0,707 x z + 2,67 x 0,707z – 24,03 – 
 
-2 x x 0,707 z/2 = 5,91z + 1,90 z – 0,71z x 0,71 z – 
-24,03 = 7,78 z – 0,5z2 – 24,03 








003,0M24,4z
mKN75,16M1z
mKN03,24M0z
2S
2S
2S
 
NS2 = - 2,67 x 0,707 – 2 x 0,707 z x 0,707 + 8,33 x 0,707 = 
= 4 – z 








KNNz
Nz
KNNz
S
S
S
24,024,4
04
40
2
2
2
 
 
QS2 = - 8,33 x 0,707 – 2,67 x 0,707 + 2 x 0,707z x 0,707 = - 7,78 + z 





KNQz
KNQz
S
S
54,324,4
78,70
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
 
 
 
 
 
 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


KNHH A 180
 
CD
 = 7,21m 
 

KNVKNVVV ADA 980
 cos x = 
55,0
21,7
4

 
 

KN1V0124163V100M DDA
 sen x = 
83,0
21,7
6

 
 
Seção S1 ( 0  z  7,21 ) ( 0  x  4 ) 
 ( 0  y  6 ) 
MS1 = VD x - 3y . y / 2 

 - x – 1,5 y2 








mKN58M6y4x
mKN5,15M3y2x
0M0y0x
1S
1S
1S
 
NS1 = - VD sen  - R cos  = 1 x 0,83 – 3 x 0,83z x 0,55 = 0,83 – 1,37z 
z = 
61,0
37,1
83,0

 








KNNz
Nz
KNNz
S
S
S
05,921,7
061,0
83,00
1
1
1
 
 
 
 28 
 
 
 
 
QS1 = - VD cos  + R sen  = 1 x 0,55 + 3 x 0,83 z x 0,83 = 0,55 + 2,07z 





KNQz
KNQz
S
S
47,1521,7
55,00
1
1
 
 
MS1 = VD cos  x z - R sen  x z/2 = - 0,55z – 1,5 x 0,83z x 0 ,83 x z = 









mKN51,57M21,7z
mKN41,15M61,3z
0M0z
z03,1z55,0
1S
1S
1S
2 
( 0  

  4 ) 
MS2 = VD ( 

 + 4 ) – 3 x 6 x 3 = -1(

 + 4 ) – 54 





mKN62M4x
mKN58M0x
2S
2S
 
 
MS2 = VD 

 –3 x 6 x 3 = - 

 – 54 





mKN62M8x
mKN58M4x
2S
2S
 
 29 
 
 30 
 
01) CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO 
 
 


KNHHHHHH BBABA 800
 
 

KNVKNVVxxVVV BBABA 1122052620
 
 

KN94H2V100252762V102H100M AAAAB
 
KN26H5V6036210V6H50M AAAA
)ESQ(
F  

 


)2(KN26H5V6
5KN94H2V10
AA
AA
 
KNVKNV
KNHV
KNHV
AA
AA
AA
1141838
521012
4701050


 
 
CÁLCULO DE HA : 
 
KN8HKN40H5
KN26H5116KN26H5V6
AA
AAA

 
 
 
 31 
02) CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
Seção S1 ( 0  y 3 ) 
NS1 = - VA = - 11 KN 
QS1 = - HA = - 8 KN 
MS1 = - HAy = - 8y




mKN24M3y
0M0y
1S
1S
 
Seção S2 ( 0  x  2 ) 
NS2 = 0 
QS2 = 0 
MS2 = 10 KN x m 
Seção S3 ( 3  y  5 ) 
NS3 = - VA = - 11KN 
QS3 = - HA = - 8 KN 






mKN301040M5y
mKN141024M3y
10y810yHM
3S
3S
A3S
 
Seção S4 ( 0  

  6 ) 
NS4 = - HA = - 8 KN 
QS4 = VA – 2 

 = 11 – 2 

 








05,5
16
110
4
4
4
S
S
S
Qx
KNQx
KNQx
 
 11 – 2 

 = 0  

 = 5,5 m 
MS4 = VA 

 – HA x 5 + 10 – 2

 x 

/2 = 11

 - 30 - 

2 












0M5x
0M6x
mKN25,0M5,5x
mKN30M0x
30x11x
4S
4S
)MÁX(
4S
4S
2
 
- 

2 + 11 

 – 30 = 0 
 = 121 – 120 = 1 
 








mx
mx
6
5
2
111
''
' 
 32 
 
S5 ( 0  z  5 ) 
6,0
5
3
sen
8,0
5
4
cos




 
 
 
 
NS5 = - VB sen  + HB cos  + 2 z sen  = - 6,60 – 6,40 + 1,2 z = 
= - 13 + 1,2 z 





KNNz
KNNz
S
S
75
130
5
5
 
QS5 = - VB cos  - HB sen  + 2 z cos  = - 4 + 1,6 z 
- 4 + 1,6 z = 0  z = 2,50 m 








050,2
45
40
5
5
5
S
S
S
Qz
KNQz
KNQz
 










0M5z
mKN5M5,2z
0M0z
z8,0z42/zcosz2z)senHcosV(M
5S
)Máx(
5S
5S
2
BB5S
 
 33 
03) - D I A G R A M A S