Levantamento topográfico

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MA092 - Geometria plana e anal´ıtica - Segundo projeto
Levantamento topogra´fico
Francisco A. M. Gomes
Novembro de 2016
1 Descric¸a˜o do projeto
Nessa atividade, vamos usar a lei dos senos e a lei dos cossenos para desenhar um mapa
topogra´fico, e para calcular a a´rea e o per´ımetro de uma regia˜o delimitada em um terreno.
Para tanto, vamos supor que as medidas do terreno tenham sido coletadas com o aux´ılio de um
teodolito, que e´ um aparelho usado em topografia.
O teodolito e´ composto, basicamente, por um telesco´pio que pode ser girado em torno de
dois eixos perpendiculares, um horizontal e outro vertical. Usando o telesco´pio para mirar
pontos diferentes, e medindo os aˆngulos entre eles, podemos determinar as coordenadas no
plano e a altura desses pontos. Apesar de existirem teodolitos eletroˆnicos sofisticados, um bom
teodolito o´tico-mecaˆnico, como o que e´ mostrado na figura abaixo, e´ suficiente para que se
obtenha dados precisos.
Figura 1: Teodolito o´tico-mecaˆnico.
2 Determinac¸a˜o das medidas do terreno
A regia˜o da UNICAMP selecionada para o projeto e´ mostrada na Figura 2. Nela, foram cravadas
cinco estacas que representam os ve´rtices do pol´ıgono a ser demarcado. Como o terreno tem
declividade suave e na˜o possui acidentes, trabalharemos apenas com esses cinco ve´rtices.
Figura 2: Regia˜o que conte´m o que conte´m o terreno a ser mapeado.
A determinac¸a˜o precisa das coordenadas de pontos topogra´ficos envolve algumas te´cnicas
que fogem ao escopo desse projeto. Assim, fizemos apenas uma medic¸a˜o simples e ra´pida de
aˆngulos, mantendo o teodolito em uma posic¸a˜o fixa pro´xima ao centro da regia˜o a ser mapeada,
de modo que, a partir desse ponto, pude´ssemos ver todas as estacas.
Cada observac¸a˜o feita com o teodolito e´ chamada visada. Os dados fornecidos pelo teodolito
sa˜o suficientes par que se calcule os aˆngulos θ1, . . . , θ5 entre as visadas, as distaˆncias d1, . . . , d5
entre o aparelho e as estacas, e os lados do pol´ıgono, p1, . . . , p5. A Figura 3 resume as medidas
horizontais que podem ser determinadas.
2.1 Determinac¸a˜o dos aˆngulos θ1, . . . , θ5
A primeira etapa necessa´ria a` correta locac¸a˜o dos pontos em um mapa e´ a a determinac¸a˜o dos
aˆngulos horizontais θ1, . . . , θ5 mostrados na Figura 3. Seguindo uma estrate´gia muito simples
para a obtenc¸a˜o desse aˆngulos, usamos uma bu´ssola para determinar o norte magne´tico da
Terra, que define a direc¸a˜o a partir da qual o aˆngulo horizontal do teodolito sera´ medido (ou
seja, a direc¸a˜o correspondente a 0◦).
Em seguida, medimos o azimute, zi, de cada uma das estacas i = 1, . . . , 5. Em topografia,
azimute e´ o aˆngulo que uma determinada visada faz com o norte. Esse aˆngulo e´ medido no
sentido hora´rio, de modo que o azimute de um ponto perfeitamente a leste e´ 90◦, enquanto um
ponto perfeitamente a oeste tem azimute 270◦.
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Figura 3: Medidas horizontais a serem determinadas.
Os aˆngulos θ1, . . . , θ5 desejados podem ser obtidos pela diferenc¸a dos azimutes. A Figura
4 mostra as estacas i e i + 1, bem como seus azimutes. Nessa figura, o aˆngulo θi e´ dado
simplesmente por θi = zi+1 − zi.
Figura 4: Azimutes de duas estacas sucessivas.
Apesar de na˜o ser muito precisa, essa estrate´gia exige um nu´mero pequeno de visadas e
permite que incorporemos facilmente o norte magne´tico da Terra ao nosso mapa. Ale´m disso,
ela garante que os aˆngulos θ1, . . . , θ5 somem exatamente 360
◦.
2.2 Determinac¸a˜o das distaˆncias d1, . . . , d5 e do desn´ıvel do terreno
A determinac¸a˜o das distaˆncias d1, . . . , d5 e´ um pouco mais complexa, exigindo na˜o so´ algumas
medic¸o˜es com o teodolito, como tambe´m uma boa dose de trigonometria. Usando os mesmos
dados, tambe´m e´ poss´ıvel calcular o desn´ıvel hi entre a posic¸a˜o do teodolito e a estaca.
O topo´grafo calcula distaˆncias com o aux´ılio de uma mira topogra´fica, que nada mais e´ que
uma grande re´gua, que costuma ser telesco´pica, ou dobra´vel, para permitir seu transporte. A
Figura 5 reproduz uma parte de uma mira que, quando aberta, atinge 4 m de comprimento. Os
trac¸os pretos a` esquerda da escala teˆm 1 cm de altura. Os pequenos c´ırculos vermelhos sobre
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um nu´mero indicam o nu´mero inteiro de metros contados a partir do solo. Ja´ o nu´mero exibido
na mira indica os dec´ımetros (ou seja, as dezenas de cent´ımetros) contados a partir da u´ltima
medida inteira em metros. Para facilitar a interpretac¸a˜o dessa notac¸a˜o, o intervalo entre 3,70
e 3,80 m esta´ destacado na figura.
Figura 5: Fragmento de mira topogra´fica.
Para calcular a distaˆncia di entre o teodolito e a estaca i e´ necessa´rio mirar dois pontos ri
e si diferentes da re´gua, e fazer duas leituras αi e βi do aˆngulo zenital, que e´ o aˆngulo medido
em relac¸a˜o a` semirreta vertical que parte do centro do teodolito em direc¸a˜o ao zeˆnite, o ponto
da esfera celeste exatamente acima do observador (ou do teodolito, em nosso caso).
A Figura 6 mostra os quatro valores lidos no teodolito – ri, αi, si e βi–, bem como as medidas
verticais que queremos determinar – di e hi. O desenho da esquerda corresponde a uma estaca
situada em um ponto mais alto que o teodolito, enquanto a imagem da direita mostra uma
estaca abaixo do n´ıvel do teodolito.
(a) Aˆngulo zenital menor que 90◦ (b) Aˆngulo zenital maior que 90◦
Figura 6: Medidas verticais a serem lidas e determinadas.
O ca´lculo de di e hi e´ feito de forma indireta. Primeiramente, aplicamos a lei dos senos para
obter a distaˆncia qi em func¸a˜o dos aˆngulos zenitais αi e βi e da diferenc¸a entre os valores lidos
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na re´gua, vi = ri − si. O triaˆngulo usado nesse ca´lculo e´ reproduzido na Figura 7.
qi
sen(αi)
=
vi
sen (βi − αi) .
Figura 7: Triaˆngulo usado para a determinac¸a˜o de qi atrave´s da lei dos senos.
De posse dos valores de qi, si, t (altura do teodolito) e do aˆngulo βi, e´ poss´ıvel determinar o
desn´ıvel hi entre o ponto no qual esta´ localizado o teodolito e a estaca i, bem como a distaˆncia
di entre o teodolito e a estaca. Para tanto, usa-se os triaˆngulos mostrados na Figura 8.
(a) Aˆngulo zenital menor que 90◦ (b) Aˆngulo zenital maior que 90◦
Figura 8: Triaˆngulos usados para determinar di e hi.
Vejamos, inicialmente, como determinar di. Da Figura 8(a), conclu´ımos que, para βi ≤ 90◦,
di = qi · sen(βi).
Por outro lado, a Figura 8(b) indica que, para βi > 90
◦,
di = qi · sen (180◦ − βi) .
Felizmente, como sen(180◦−βi) = sen(βi), podemos escrever uma fo´rmula u´nica para a obtenc¸a˜o
de di:
di = qi · sen(βi).
Passemos, agora, a` determinac¸a˜o de hi. Se βi ≤ 90◦, a Figura 8(a) nos fornece
hi = t+ wi − si = t+ qi · cos (βi)− si.
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Ja´ se βi > 90
◦, a Figura 8(b) nos permite escrever
hi = t− wi − si = t− qi · cos (180◦ − βi)− si.
Lembrando, enta˜o, que cos(180◦ − βi) = −cos(βi), podemos reunir as duas fo´rmulas acima em
uma so´, escrevendo simplesmente
hi = t + qi · cos (βi)− si.
Observe, entretanto, que cos(βi) < 0 se βi > 90
◦. Dessa forma, hi pode ser negativo, o que
indica que ha´ um declive no terreno, ou seja, que o ponto do terreno em que foi fincada a estaca
i esta´ abaixo do n´ıvel do terreno no qual se encontra o teodolito.
2.3 Determinac¸a˜o das medidas p1, . . . , p5
Obtidas as distaˆncias d1, . . . , d5, podemos determinar, finalmente, os comprimentos p1, . . . , p5
dos lados do pol´ıgono. Isso nos permite, por exemplo, obter o per´ımetro da regia˜o, informac¸a˜o
muito u´til quando queremos cerca´-la.
Para calcular o valor de pi, aplicamos a lei dos cossenos ao triaˆngulo que tem como ve´rtices
o teodolito e as estacas i e i + 1 (usando a estaca 1 no ca´lculo de p5). Tomando como base o
triaˆngulo apresentado na Figura 9, escrevemos
pi =
√
d2i + d
2
i+1 − 2 · di · di+1 · cos(θi).
Figura 9: Triaˆngulo usado para determinar pi.
3 Planilhas do projeto
Agoraque voceˆ ja´ sabe como obter as informac¸o˜es necessa´rias para a elaborac¸a˜o de um mapa
topogra´fico, podemos passar ao problema pra´tico que sera´ objeto desse projeto.
Nesse semestre, como na˜o teremos tempo para efetuar as medidas em campo, suporemos
que os dados do levantamento topogra´fico ja´ foram coletados. Esses dados, obtidos com um
teodolito instalado a 1,40 m do cha˜o, sa˜o apresentados na Tabela 1.
A partir da Tabela 1, voceˆ deve criar uma outra tabela que contenha os valores de θi, qi,
di, hi e pi, para i = 1, . . . , 5.
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Tabela 1: Dados coletados no campo.
Estaca Azimute Leitura Aˆngulo Leitura Aˆngulo
(i) (zi) re´gua 1 zenital 1 re´gua 2 zenital 2
(ri) (αi) (si) (βi)
1 188,22 3,9 87,78 0,1 89,66
2 260,03 3,9 84,50 0,1 88,90
3 12,69 3,9 86,19 0,1 89,70
4 97,18 3,9 85,00 0,1 87,80
5 168,37 3,9 84,98 0,1 91,00
4 Confecc¸a˜o do mapa
Para a confecc¸a˜o do mapa topogra´fico do terreno, empregamos os valores de zi, di e hi. O
mapa pode ser feito a` ma˜o ou com o emprego de um programa de computador. Entretanto, as
seguintes diretrizes devem ser seguidas:
1. A escala deve ser 1:700, e deve ser indicada no mapa.
2. O ponto que representa o teodolito deve coincidir com a origem dos eixos coordenados.
3. A direc¸a˜o do norte magne´tico da Terra deve coincidir com o eixo y, e tambe´m deve ser
mostrada no mapa.
4. E´ preciso indicar o comprimento dos lados do terreno.
5. E´ preciso apresentar ao menos quatro curvas de n´ıvel, com a indicac¸a˜o da cota do terreno
em relac¸a˜o ao seu ponto mais baixo.
Um modelo de mapa e´ apresentado na Figura 10. Observe que o seu mapa na˜o precisa
conter os eixos x e y.
5 Ca´lculo da a´rea e do per´ımetro do terreno
Como u´ltima tarefa do projeto, voceˆ deve calcular a a´rea e o per´ımetro do terreno. O per´ımetro
pode ser facilmente obtido a partir das medidas p1, . . . , p5. Ja´ para a determinac¸a˜o da a´rea,
pode-se somar as a´reas dos triaˆngulos que teˆm como ve´rtices o teodolito e duas estacas sucessivas
(vide a Figura 3). Para tanto, e´ preciso lembrar que a a´rea do i-e´simo triaˆngulo e´ dada por
Ai =
1
2
didi+1sen(θi).
Como alternativa para o ca´lculo da a´rea, pode-se empregar o mesmo procedimento adotado
no primeiro projeto, que consiste em aplicar a fo´rmula
A =
1
2
∣∣∣∣∣
6∑
i=1
(xiyi+1 − xi+1yi)
∣∣∣∣∣ ,
considerando que (x6, y6) = (x1, y1). Para tanto, e´ preciso conhecer as coordenadas Cartesianas
dos ve´rtices do pol´ıgono, que podem ser extra´ıdas do mapa ou obtidas usando trigonometria.
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Figura 10: Modelo de mapa do terreno.
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